Ветвление представлений p-элементарных квадратичных форм родом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГо ОД

1 П ¿-П ' ^

Владимирский государственный педагогический университет

На правах рукописи Фёдорова Светлана Викторовна

ВЕТВЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ р-ЭЛЕМЕНТАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ РОДОМ

01.01.06. - математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владимир 2000

Работа выполнена на кафедре алгебры и теории чисел Владимирского государственного педагогического университета.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор Журавлев В.Г.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук,

Ведущая организация — Санкт-Петербургское отделение

математического института РАН им. В.А. Стеклова

на заседании диссертационного совета К.113.31.01 во Владимирском государственном педагогическом универстете по адресу: 600024, Владимир, проспект Строителей, 11, ауд. 236.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Владимирского государственного педагогического универстета.

Автореферат разослан ноября 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К.113.31.01 во Владимирском государственном педагогическом универстете доктор физико-математических наук, доцент

доцент Гриценко С.А.,

кандидат физико-математических наук, доцент Юдин А.А.

Защита диссертации состоится декабря 2000 г. в 16 часов

Степанов С.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Задачи классификации и представления квадратичных форм являются классическими для теории чисел. В диссертации для положительно определенных квадратичных форм А размерности т и форм С} размерности тг > т решается вопрос о весе примитивных представлений формы А родом формы С}. Первый общий результат для веса представлений п{А, [<3]) формы А родом [С?] был получен Зигелем [1] в 1935 году

п(Л,[<2]) = т([д]) Д ар(Л.О). НЯ)

Здесь т([<3]) = 1 ) ~ масса /г-классного рода [<2], вы-<=1

численная в 1885 году в инагурационной диссертации Минков-ским [2]. В дальнейшем предпринимались многочисленные попытки вычисления локальных плотностей Зигеля ар(А, С?) с применением многомерных гауссовых сумм и точной формулы для обычной суммы Гаусса. Китаока [3] техникой модулярных форм получил качественные и оценочные результаты о представлении формы А размерности т ^ 2 формой <3 размерностей п ^ 2т + 2 и п ;> 2т + 3.

Используя операторы Гекке, Андрианов [4] - [6] для произвольных размерностей т выразил усреднение числа представлений формы А родом [<5]. В последнее время Андрианов [7] исследовал случай сингулярных операторов Гекке Т(р) для р, одновременно делящих определители форм А и С^. Другим методом Фоменко О.М. и Голубева Е.П. [8] - [9] исследовали равномерность распределения точек на поверхностях второго порядка.

Аддитивный подход к вычислению веса представлений формы родом, впервые предложенный Гауссом для нахождения ко-

личества представлений числа суммой трех квадратов, использовал Журавлёв В.Г. в 1996 [10]. Им были рассмотрены представления формы А бесквадратного уровня а родом [Q] определителя d, взаимно простого с а. Техникой приведенной системы р-символов Конвея и Слоэна [11] и масс-формулы Минковского-Зигеля он получил условия существования примитивных представлений и формулу веса примитивных представлений формы .4 родом [Q]. Геометрическим аналогом аддитивного подхода является склейка форм Витта - Кнейзера.

Случай не взаимно простых уровня а — level А и определителя d = |(Q| представляет трудность при любом подходе и не был ранее исследован. Если уровень а и определитель d имеют общие делители, то возникает ветвление представлений, проявляющееся в многообразии р-инвариантов форм сцепки.

В диссертации получены условия существования и формулы веса примитивных представлений р-элементарной формы родом в случае ветвления. Это стало возможным благодаря классификации всех минимальных неразложимых представлений. Последние задают число орбит примитивных представлений.

Геометрическим аналогом представления форм являются вложения соответствующих решеток.Задача о числе возможных под-решеток возникает в связи с ростом квазикристаллов и является актуальной проблемой кристаллографии.

Цель работы. Получить классификацию минимальных неразложимых представлений р-элементарной формы А = А\®рАр. Найти условия существования примитивных представлений и вес примитивных представлений р-элементарной формы родом в случае ветвления, то есть когда уровень а формы А и определитель d формы Q имеют общие делители р. Для взаимно простых а и d исследовать формы с условием а < |А|. Рассмотреть приложения формулы веса представлений к классическим решеткам корней.

По заданным локальным инвариантам найти метод построения новых родов форм.

Методы исследования. В работе использованы теория ветвления вложений над кольцами р-адических чисел, аддитивный метод склейки форм, локальный метод Минковского Хассе, теория р-адических символов Конвея и Слоэна.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты для положительно определенных квадратичных р-эле-ментарных форм А :

1) найдены все типы минимальных неразложимых представлений формы А родом [ф];

2) получена формула для веса примитивных представлений формы А родом [<5], если а < |Л| и наибольший общий делитель (а,ё) = 1;

3) получена формула веса примитивных представлений формы А родом [<3] в случае ветвления представлений (а, с/) > 1;

4) рассмотрены приложения формул веса к формам классических решеток корней;

5) найдены условия полноты рода.

Практическая и теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы для получения наиплотнейших упаковок в дискретной геометрии, для решения систем диофантовых уравнений второй степени в арифметической теории квадратичных форм и найти практическое приложение в задачах цифровой связи, а также для решения проблемы роста квазикристаллов. Результаты диссертации могут быть использованы для проведения спецкурсов по

теме "Диофантовы квадратичные уравнения и системы" в МГУ, СПбГУ, ВГПУ.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование." (Ростов-на-Дону, 1999), на XXII конференции молодых учёных (МГУ, 2000). Основные результаты были представлены в тезисах докладов на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2000), а так же докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподовательского состава ВГПУ (1998 - 2000 г. г., секция "Алгебра и теория чисел"), на научных семинарах по "Теории чисел" ВГПУ под руководством доктора физико - математических наук, профессора Н.М. Тимофеева (1999 - 2000 г.г.).

Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора [12]-[17].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих четырнадцать параграфов и изложена на 120 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 50 наименований, включая работы автора.

Обзор содержания работы

Во введении определен круг решаемых задач, обоснована их актуальность. Приведен обзор имеющихся результатов в этой области. Сформулирована цель работы и кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе, состоящей из шести параграфов, приводятся основные определения, используемые в диссертации. Форма А размерности т представима родом [<3] форм Ц размерности п, если хотя бы для одной формы С} 6 [(?] имеет целочисленное ре-

шение уравнение

Q[X] = tXQX =А, Х€Мп,т(Щ.

В работе рассмотрены представления р-элементарных форм А. Форма А называется р-элементарной, если Ь*А/Ьд © Ър является нетривиальной элементарной абелевой р-группой, еде L*A решетка, двойственная ¿д. Форма А будет р-элементарной тогда и только тогда, когда р входит в а в первой степени, то есть жорданово разложение формы А имеет вид А — А\ ф рАр.

В первом параграфе определяются локальные р-символы и приведенные (канонические) символы Конвея - Слоэна [11]. Приведены условия существования для каждой жордановой составляющей разложения формы над кольцом Ър.

Во втором параграфе сравниваются два подхода к вычислению веса примитивных представлений: мультипликативный подход Зигеля и аддитивный подход Гаусса.

В третьем параграфе получена классификация примитивных представлений X : Q[A'] = А формы А родом [Q] первого уровня {X} ► {G} и второго уровня {X} £—> {С}. Откуда очевидно, что в формуле Гаусса - Минковского

рп(А, [Q]) = с(п - m)std{n - m, |G|) JJ ap(A, Q)

p\2ad

локальный множитель ap(A,Q) распадается на сумму

aP(A,Q)= ]Г X^apiA.Q.Gi.Cj), {G-ЛСЛ

слагаемых вида

av(A,Q,Gi,Cj) = mp(Gi)cp(Cj)/stdp{Gi),

где mp(G) - p-масса рода [G], cp(C) - число орбит матриц сцепки, stdp(G) - стандартная р-масса рода [(?].

В четвертом параграфе найдены все инварианты родов форм G из ортогонального дополнения к А.

В пятом параграфе полу мена полная система инвариантов орбит матриц {С}, сцепляющих формы А и Q.

В шестом параграфе приведена геометрическая интерпретация представлений квадратичных форм Q[X] = А вложениями соответствующих решёток ¿д > Lq. Получены все минимальные неразложимые вложения р-элементарной формы А = А\ ф рАр. В Предложении 6.3. для формы А = Ai ® рАр с размерностью dim Ар ^ 7 построены все минимальные формы Q, начиная с которых возможно представление Q{X\ = А.

Во второй главе в явном виде получены локальные множители ap(A,Q) ветвления веса примитивных представлений формы А родом [Q], то есть когда а и d имеют общие делители р, а также приведены условия существования представлений. Для р-элементарных форм А это стало возможным, благодаря наложению ограничений на масштаб жордановых составляющих формы

Q-

В седьлюм параграфе для р-элементарных форм Q = Qi ®pQP доказан следующий результат:

Теорема 7.1. Для р-элементарных форм А и Q справедливы равенства

ср(А, Q, G) = о[Ар)о(Ср) £га stab({rQ})-\ stab({ra}) — pri(mp+fc' -ra~3ri-1}(7i(ri)o(e)o(<7i),

где {ra} = {ro0,rj} - полная система инвариантов орбит матриц сцепки {С}, тр = dim Ар, kx — dim Gp, g\ = Gp 0 J(ri), e = aA~[l Q(—Gi)QJ(ri), J(rj) гиперболическая форма размерности 2 Г).

В восьмом параграфе для форм с жордановым разложением вида А = Ai ®рАр и Q — Q\ в Теореме 8-1. получены локальные

множители ap(A,Q). В приложениях особенно важны случаи о>(Л, Q) = р2 — 1 для т — 2, п = 5, ap(A,Q) = p3~p для 7n=3, п = 6. В девятом параграфе для р-элементарных форм вида

Л = Л] Ф рЛр, Q = Qi ФpQp, dim Qp = 1

в Теореме 9.1. найдены все роды [6'] из ортогонального дополнения к Л и орбиты матриц сцепки: G; = G{ ф pGp, n(G'{) = m — 1, n{Glp) = n - 2m + 1, {C'} = K° = m-l,r?=l}, Gu = G{' ®pG'p' (Bp2G'p<, n{G[') = m,

{C"} = {rE0° = m, r? = 0}.

Посчитаны локальные множители ветвления для простого р ф 2, одновременно делящего and.

Так шестимерная решетка корней Госсета Ев имеет матрицу Грама

Е6 =

и инварианты й- 3, о(Е6) = 28 • З4 • 5, 3£б = 1+53+1, 2Яб = 17®0. Пусть тернарная форма Л имеет бесквадратный четный уровень а и жорданово разложение над кольцом Х3: А = ЗЛ3. Тогда по Теореме 9.1. число представлений формы Л формой решетки Ев равно

/ 2 -1 0 0 0 0 \

-1 2 -1 0 0 0

0 -1 2 -1 0 -1

0 0 -1 2 -1 0

0 0 0 -1 2 0

\ 0 0 -1 0 0 2 )

Г(А, Ев) = 27345(3 — е(Лз)) Д

Pll а,р*2,3

Р+1-НИ!)

где e(A¡) = ~ символ Лежандра, p||a означает, что

p]a, но p2 /а.

В десято.м параграфе для р-элементарных форм А и локально р-двумерных форм Q доказана

Теорема 10.1. Пусть квадратичные формы А и Q имеют жор-дановы разложения А — А\ ф рАр, Q = Qi (& pQp и dim Qp — = 2. Тогда локальные множители ветвления веса представлений формы А родом [Q] определяются соотношениями 1. a P(A,Q) = с • ар(А, Q, G1, С\)

j \ т —2

при тг - 2т + 2 = 0 и e{Q\) = ( у-J (*) или п — 2т +1=0 (**),

oP(>l,Q) = '¿ap{A,Q,G',Ci) + c-af{A,QiGn) >=i

при n — 2т — ] = 0 (*)

/ \ т- 1

или п — 2т = 0 и f(Qi) = ( ^Г ) (**)> ¿=1

при п — 2т — 2 > 0 (*)

или п-2т-2 = 0 и e(Qi) = (**),

ар(Л,<5) = 0 s остальных случаях. Коэффициент с = 1 для условий (*) и с = 2 для условий (**). Слагаелше ветвящихся множителей вычисляются из формул ар(А, Q, G1, С'\) = 0, если т = 2 и е(Ар) = -e(QP), a^A.Q.G'.C*) = 0, если e(Qp) = ~(f)-В остальных: случаях для т = 2то' + 1

• (ti • (т3 • erg"1 /2,

• (1 - (-1) - e{Qi)p » ) -(Ti cr3 .£г6 \

. (1 _ . ^ . ff-1/2i ¿ЛЯ 777 = 2 m'

ар(Л,<5, Gl,C\) = р5,(т2 • • (г8 • 1 • try S

ар(Л,д, G1,0?) = pS2(l - p-(n-2m+1))cr2 • <г4 • (Те 1 • а8 • erg"1 •

ap(A,Q, G") = р»(1 - р-(»~*т+1))(Г4*а/4,

ар(А, Q, GIH) = р'« (1 - р-( —2т-1))(1 _ р-(п-2т + 1))сГ4 .

л _ m(5~m)4-n(m-2)-4 __ m(n-fm-f 1) —2 _ m(n-m~l)~2

306 s i — 2 > ^2 — 2 ; — 2 ;

S4 = n(m+2)-m(m+3)-4| ^ = (1 _p-(m-l)j|

<r2 = (1 - p-(m~2)), = (1 - p-("~2m+2)) • • • (1 - p-t"-™-1)),

<76 = (p - 1), <77 = (1 ~ (~l)£fls(Qp)p-1),

as = (l-(-l )iE=^L£{Ap)p-m'), 0-9 = (1 - (-1) 2 e{Ap)p » ).

В одиннадцатом параграфе для р-элементарных форм вида

Л = Л!фрЛр, <? = Qi©p<5p, dimQp= 3

локальные множители ветвления ар(Л,<5) найдены в явном виде в Теореме 11.1.

В двенадцатом параграфе рассмотрены квадратичные формы вида

Л = Л1®рЛр, Q - Qi @p'Qf, О 2, dimQp, = 1.

Иначе, масштаб q = ps формы Q может быть сколь угодно большим, а ограничение наложено на размерность блока p'Qp>, так как форма Q локально р-одномерная. Ситуации s = 2 и s > 2 качественно отличаются друг от друга инвариантами орбит матриц сцепки {С} и описаны в Теореме 12Л. и Теореме 12.2. соответственно.

Теорема 12Л. Пусть квадратичные формы А и Q имеют окор-дановы разложения А = А\ фрАр, Q = Qi ф p2Qpi, dim Qp2 = 1.

-1

Тогда множитель ветвления веса примитивных представлений формы А родом [<3] для простого р > 2, одновременно делящего а и (I, равен

1. ар{А, = с ■ аг(.4, д. С1) для п - 2т = -1, О,

2. ар(А,0) = с,пг(Л,д,а')+{еШ + (т)™) «„{А^^'1) для п — 2т ~ 1,

3. ар{А, д) = с ■ оР{А, д, С') + аР(А, д, СП) для п - 2т > 1, 4■ ар(Л,д) = 0 в остальных случаях.

Коэффициент с = О для т = 1 и с = 1 для гп > 1. Слагаемые правой части локальных множителей ветвления вычисляются для т — 2т' + 1 по формулам:

ар(Л,д,С) -Р-<П,-1>)(Г1(Г2,

для т = 2т' по формулам.:

ар(Л<Э,С')=р"(1-р-(т-2,)(1- (^^^дОр-11^1)

/ \ -1

2 гюор-*^) «гз/2,

= п(т-2)-(т2-5т+4) ^ _ (т + 2)(п-т-1) <7! = (1 -р-("-2т + 2)) ... (1 _ ^ _ (1 _ р-1)-1,

а3= (1 -р-(«-2'"+1))...(1 -рЧ"-"»-!)).

Теорему 12.2. проиллюстрируем на примере четырехклассного рода [д], заданного формами вида

2-3 4

д1 = ъ2®\ -Ъ 10 0 | =

4 0 17

/ 2 0 0 -1 \

0 2 1 0

0 1 10 б

V -1 0 6 5 /

/2—10 0 4 \

-1 2 0 2 -4

Q3 = Z3 ф

2 5 5 26

0 0 2 -1 0

0 2-15 0

\ 4 -4 0 0 17 /

и имеет инварианты й — 27, Зд = 1~427-1, — Предположим, что бинарная форма А имеет определитель |Л|, делящийся на 3. Тогда вес примитивных представлений формы А родом [<3] равен

В третьей главе для получения новых родов форм с заданными локальными р-инвариантами предложен метод ортогонального дополнения. Используя данный метод, по конкретному представителю можно восстановить весь род.

Все результаты для конкретных формул прошли проверку на компьютере.

В заключение, автор выражает глубокую благодарность доктору физико - математических наук, профессору Владимиру Георгиевичу Журавлеву за постановку задачи, научное руководство и внимание на протяжении всей работы.

Литература

[1] Siegel C.L. Über die analytische Theorie der Quadratischen Formen // Ann. Math. - 1935. - Vol. 36. - P. 527-606.

[2] Minkowski H. Untersuchungen über quadratischer Formen. Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes. Genus enthalt. Königsberg. Innagural dissertation // Acta Math. - 1885. - Vol.7. - P. 201 - 258.

[3] jficher M., Kitaoka Y. Representation of positive quadratic forms with congruence and primitive conditions //J. Number Theory. - 1994. - Vol. 48, no 1. - P. 88-101.

[4] Андрианов A.H. Ряды Дирихле с эйлеровым произведением в теории зигелевых модулярных форм рода 2 // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. - 1971. - Т. 112. -С. 73-94.

[5] Андрианов А.Н. Эйлеровы произведения, отвечающие модулярным формам Зигеля рода 2 // УМН. - 1974. -Т. 29, Вып. 3. - С. 43-110.

[6] Андрианов А.Н. Мультипликативная арифметика зигелевых модулярных форм // УМН. - 1979. - Т. 34, Вып. 1. - С. 67-135.

[7] Andrianov A.N., Panchishkin A.A. Singular Frobenius operators on Siegel modular forms with characters zeta-functions //L'Institut Fourier, Univer. Grenoble. -1999. - no 469. - P. 1 - 31.

[8] Голубева Е.П., Фоменко O.M. Асимптотическое распределение целых точек на трехмерной сфере // Зап. науч. семинаров Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. -1987.-Т. 160.-С. 54-71.

[9] Голубева Е.П., Фоменко О.М. Замечание об асимптотическом распределении целых точек на большой трехмерной сфере // Зап. науч. семин. ЛОМИ. - 1990. -Т.185, №10. - С. 22-28

[10] Журавлев В.Г. Представление квадратичной формы родом квадратичных форм// Алгебра и анализ. - 1996. - Т. 8, №1. - С. 21-112.

[11] Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. - М.: Мир. 1990.

Публикации автора по теме диссертации

[12] Фёдорова C.B. Представление форм квадратичными формами //В кн. VII Международная конференция. "Математика. Экономика. Экология. Образование." Ростов-на-Дону. - 1999.

[13] Фёдорова C.B. Примитивные представления бинарной формы непростого определителя: Вестник ВГПУ. Вып. 5. -Владимир. - 2000. - С. 324 - 331.

[14] Фёдорова C.B. Динамика вложений р-элементарных решеток // В кн. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Владимир. - 2000.

[15] Фёдорова C.B. Представление форм одноклассным родом // Деп. ВИНИТИ. 2000. 1081 - В00. 12 с.

[16] Фёдорова C.B. Представление форм неодноклассным родом // Деп. ВИНИТИ. 2000. 1080 - В00. 15 с.

[17] Фёдорова C.B. Ветвление представлений форм родом квадратичных форм // Деп. ВИНИТИ. 2000. 1083 - В00. 13 с.

Типография ОАО "ЗиД" Тираж 100 Заказ 3655