Ветвление представлений ρ-элементарных квадратичных форм родом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

1 Параметризация представлений квадратичных форм

§1 Полная система инвариантов родов форм

§2 Вес представлений квадратичной формы родом.

§3 Орбиты примитивных представлений.

§4 Инварианты орбит матриц сцепки.

§5 Инварианты родов ортогонального дополнения.

§6 Вложение р-элементарных решеток.

2 Ветвление представлений у-элементарной формы родом

§7 Ветвление представлений родом р-элементарных форм

§8 Представления форм квадратного определителя

§9 Ветвление представлений родом локально р -одномерных форм

§10 Ветвление представлений родом локально р -двумерных форм

§11 Ветвление представлений родом локально р -трехмерных форм

§12 Ветвление представлений локально у -одномерными формами квадратного уровня.

3 Деформации родов квадратичных форм

§13 Метод ортогонального дополнения

Введение

1. Исследуется задача о весе примитивных представлений р-элементарной квадратичной формы .4 родом положительно определенной квадратичной формы Q большей размерности. Вводится понятие ветвления представлений форм над кольцом целых р-адических чисел Хр для простых р . одновременно делящих уровень формы А и определитель формы Q . В основу изучения положены минимальные неразложимые представления форм. Получены:

1. условия существования представлений р -элементарных форм или вложения р-элементарных решеток:

2. формулы веса примитивных представлений произвольной формы А родом формы Q без ветвления:

3. формулы веса примитивных представлений р-элементарной формы А родом формы Q в случае ветвления представлений;

3- Исторически сначала рассматривались представления чисел формами. Гаусс (1801) вывел формулу количества примитивных представлений рг{а, 1з) числа а суммой трех квадратов. Якоби (1829) ввел тета-ряды и получил аналитически, а затем чисто арифметически формулы для количества представлений числа а суммой 4, б, 8 квадратов. Эйзенштейн (1823 - 1852) сформулировал и доказал кубический закон взаимности, получил некоторые результаты о котнчестве представлений числа а суммой 3, 5, 7 квадратов.Венков Б.А. [б] нашел метод получения особого типа формул представлений чисел тернарными формами и на этом пути доказал теорему о представлении бинарных форм тернарными (1929). Последняя полол\;ила начало исследованию представимости одной формы другой формой.Теория родов впервые была создана Гауссом для бинарного случая, в котором она имеет специфические особенности и тесно связана с группой форм относительно операции гауссовой композиции [7]. Род состоит из непересекающихся классов целой эквивалентности. Формы, принадлежащие одному роду, рационально эквивалентны.Конвеем [19] была разработана система канонических р-адических символов для целочисленных форм, которая дает удобное обозначение для рода квадратичной формы. Не используя символ Гильберта норменного вычета, Конвей вводит элементарную систему инвариантов для квадратичных форм, значения которых являются вычетами по модулю 8. Впервые 2-адические инварианты появились в топологических исследованиях. Значение "формулы произведения" состоит в получении сравнений по модулю 8 д.ля сигнатуры. Благодаря по.пученным Конвеем инвариантам, можно сразу выписывать эти сравнения, а не получать их как результат утомительных вычисяений. Кроме того. Конвей [19] приводит условия существования для калчдой составляющей л-:орданова разлол^ения с|зормы. На основе новой техники Конвеем были классифицированы роды р-элементарных форм для всех р . В основе исследований диссертации лолуИт полная система канонических р-симво,пов рода, созданная Конвее.\к G 4. Весом представленир! n{A,[Q]) формы А родом [д] называется сумма 1 (4) где Н{д) - число всех классов рода [(5], о((?,-) число автоморфизмов формы (5,:.Локальные плотности Зигеля для р 7^ —1,2 определяются соотношением где Л^(Л,(^,р'') - число решений Л" матричного сравнения д[Х] = А{тос1 р"") и /• >> О - достаточно большое число. В дальнейшем предпринимались попытки вычисления локальных плотностей Зигеля с применением многомерных гауссовых су:\1м и точной формулы для обычной суммы Гаусса. Китаока [35] - [39] техникой модулярных форм получил качественные и оценочные результаты. касаюц;иеся локальных плотностей Зигеля.Целью диссертации является получение в явном виде локальных множителей ар{А,д) (И) для случая ветвления представлений формы родом.Последний возникает, когда уровень а и определитель с1 имеют общие делители р.5. Задача о весе иредставлений формы родом имеет смысл только для пололч:ите.льно определенных форм. Д л я неопределенных форм можно найти число орбит {Л'} решений уравнения ^[А'] =: А. Используя операторы Гекке, Андрианов реднение Е для произвольных размерностей т выразил усг(Л[Л/],[(5]) числа представлений формы А MeGLn(r)\Mn(Z),det M=b родом [д]. В последнее время Андрианов [29] исс.педовал случай сингулярных операторов Гекке Г(р) для р. одновременно делящих определители форм -4[Л/] и д. Последнее условие тождественно ветвлению иредставлений формы родом.Другим методом Фоменко О.М. и Голубева Е.П. [8] - [9], [27] - [28] исследовали равномерность распределения точек на поверхностях второго порядка. Уравнение (3) задает т векторов Л'^ . . . .Л'^ с нормой д[Х(\ и скалярным произведением ^X¿<ЗA'г•. То есть уравнение (3) содержит геометрическую информацию о взаимном расположении целых точек на различных эллипсоидах.6. Свойство примитивности представлений формы А родом [д] равносильно целой эквивалентности исходной формы форме вида Qg{C) = А С \ (12) Ветвление иредставлений проявляется в том, что форма А и род [Q] перестают однозначно определять род форм G (12) из ортогонального дополнения к А . Внутри же с])иксированиого рода [G] возмолуНО суш,ествование нескольких неэквивалентных орбит {С} матриц сцепки (12). В результате локальный множитель ветвления ap{A,Q) надкольцом Zp для р , одновременно делящих and, распадается на сумму: [Gi] {С,} (13) по неэквивалентным родам [6'] и орбитам {0} .7. Формула (И) показывает, что используемый в работе метод является аддитивным, поскольку вес примитивных представлений выражается через число родов [О] и орбит матриц {С} . Параметризации примитивных представленрпй Л' (3) родами ортогонального дополнения и орбитами мат]лщ сцепки посвяи;ена Глава Г Форма А называется р-элементарной, если Ь^/Ьа&^р является нетривиальной элементарной абелевой р-группой, где Ь*д - решетка, двойственная Ьа • Форма А будет р-элементарной тогда и только тогда, когда р входит в а в первой степени, и тогда жорданово разложение формы А имеет вид Л = Ф рАр .В §1 вводится описание системы р-адических символов для обозначения рода квадратичных форм. Приведены условия существования для каждой жордановой составляющей разложения квадратичной формы над локальными кольцами Хр. Формула произведения позволяет восстановить инварианты формы, полученной прямой ортогональной суммой двух форм.В §2 сравниваются два подхода к вычислению веса представлений п(Л. [д]) формы родом. в § § 3 - 5 найдены все инварианты родов форм С из ортогонального дополнения к Л в и орбиты матриц сцепки {С} (12). Получена биекция между мнолч'еством примитивных представлений А' (3) форумы Л родом д] и множеством классов эквивалентности родов [С] из ортогонального дополнения к Л : {Х}^[С].Зная минимальные неразлолчимые влолчсния, легко получать условия существования вложений решеток. В Предлолчении 6.3 Главы 1 для форм А = Ai Ф рАр с условием dim- Ар ^ 7 построены все минимальные формы Q, начиная с которых возмолчно представление формы А .8. В Главе 2 в явном виде по.пучены формулы для ветвления представлений формы А родом [Q], то есть когда уровень а и определитель d имеют общие делители р. А так же доказан результат, снимающий ограничение а = А для взаилшо простых and.Обозначение а толедественно 9. В §§9 - 12 исследуется ветвление представлений р-элементарной формы -4 родом [д] с ограничениями на размерность или масштаб блоков жорданова разложения форм. Для р-элементарных форм вида а , но р'""*"^ .Множитель ветвления илеет вид аз(.42.-45) = а з ( .42 ,Л ,С^) +лз(-42-А5,С'^') = \ у - 1) = 4.Тогда число примитивных влолчений решетки А2 в решетку равно рг^А^Ло) =2-^ - 3-5 = 240.В §14 показано как по отдельному представителю Л' .мол\но восстанавл1П;5ать полный род [Л']. Для этого вкладываем форму Л' в одноклассиую форму д !\п1Ни.\!альиой воз.\юл\ной размерности п . Определяем орбиты {АД представления (?[А'] = Л' . Тогда по Теореме 13.1 ортогональные допо.чнения {А'Д А {А',} oypi::/т образовывать полный род [А'], содерл<:аш,ий исходного представителя А'.Все результаты диссертации новые. Они опубликованы в работах автора 20] - [26]. Поскольку полученные формулы являются комплексны.ми, во избелчании неточностей, они прошли проверку на ко.мпьютере.Автор выралчает гл}'бокую благодарность профессору В.Г.Журавлеву за научное руководство п помои;ь в работе.13. В работе использованы следуюш,ие обозначения д — - пололчительно определенная квадратичная форма и тол<дествeIп^aя ей матрица Гра.ма.Я1: яII " нечетная и четная формы соответственно, 2" - кубическая п -мерная решетка, Ап - решетка корней нулевой суммы, Вп - шахматная решетка корней, Е(ь, , Ее ^ решетки корней Госсета.

1. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.. Наука.1969.

2. Андрианов А.Н. Эйлеровы произведения, отвечающие моду.пярнымформам Зигеля рода 2 / / УМН. 1974. Т. 29. вып. 3. с. 43 - 110.

3. Андрианов А.Н. Мультипликативная арифметика зигелевых модулярных форм '/ УА4Н. 1979. Т.34. вып.1. с.б7 - 135.

4. Андрианов А.Н., Журавлёв В.Г. Модулярные формы и операторы Гекке. М. Наука. 1990.

5. Боревич 3. Шафаревич И.Р. Теория чисел. М., Наука. 1972.

6. Венков Б.А. Иссяедования по теории чисел. Л., Наука. 1981.

7. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. М.: Издательство Академии наукСССР. 1959.

8. Faiyoeisa Е.П. Об исключительных числах для бинарных квадратичных форм Зап. науч. семин. ПОМП.1999. Т.254. с. 56 - 64. И. Журавлёв В.Г. Представление квадратичных форм родом квадратичных форм Алгебра и анализ. 1996. Т.8. ,Д^ 1^. с. 21 - 112.

9. Журавлев В.Г. Орбиты представлений чисел локальными квадратичными формаАП! Трзщы МИРАН. 1997. Т.218. с. 151 - 164.

10. Касселс Дл^.У.Ск. Введение в гео]\1етрию чисел. AL, Мир. 1965.

11. Касселс Дл-с.У.Ск. Рациональные квадратичные формы. М.,Мир. 1982.

12. Коган Л.А. О предсл^авлении целых чисел полол^ите.льно определенны.\П1 квадратичны.ли'1 форма.\п1. Ташкент. ФАН. 1971.

13. Коган .1.А. и др. Представление чисел квадратичными формами. Ташкент. ФАН. 1989.

14. Конвей Дж. , Слоэн И. Упаковки шаров, решетки и группы. М., А4ир.1990. Т.2.

15. Фёдорова C.B. Представ.ление форм квадратичными формами // ' Тезисы док.л. УИ А 1еждународная конференция. Математика. Эконо.мика. Экология. Образование. Ростов-на-Дону. 1999.

16. Фёдорова C.B. Примитивные представления бинарной формы непростого определителя / / Вестник ВГПУ. вып. 5. 2000. с. 324 - 331.

17. Фёдорова С В . Динамика вложений р-элементарных решеток • Тезисы докл. Meл^дународная конференция по д.к|,)ференциальным уравнениям и диналп^ческим системам. Владихшр. 2000.

18. Фёдорова С В . Представление форм одноклассным родом / / Деп. ВИНИТИ. 2000. 1081 BOO. 12 с.

19. Фёдорова С В . Представ.ттение форм неодноклассным родом / Деп.ВИНИТИ. 2000. 1080 - BOO. 15 с.

20. Фёдорова С В . Ветвление представлений форм родом квадратичныхформ / / Деп. ВИНИТИ. 2000. 1083 - BOO. 13 с.

21. Фёдорова С В . Представления р-элементарной формы родом. / / Зап.науч. се.мин. ПОМИ. 2000. (в печати).

22. Фоменко О.М. О ко,пичестве представлений чисел некоторыми тернарными квадратичными формами / / Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1986. с. 154 - 162.

23. Фоменко О.М. Суммы квадратов в .мнимых квадратичных полях/ / З а п . науч. семин. ЛОМИ. 1990. 185. .V^ 10. с. 160 - 167.

24. Andrianov A .N . , Panchishkin А.А. Singular Frobenius operators on Siegelmodular form.s with characters zeta-functions //L'Institut Fourier, Univer. Grenoble. 1999. 469. p. 1 - 31.

25. Conway J., Sloan N . The unimodular lattices of dimensions up to 23 andMinkowski-Siegel mass constants / /Eu r . Combinatoires. 1982. 3. p. 219 231.

26. Conway J., Sloan N . Low-dimensional lattices IV. The ma.ss formula / /Proc. R. London. 1988. A 419. p. 259 - 286.

27. Earnest A . G . The representation of binary quadratic forms by positivedefinite quaternary quadratic forms //Trans Amer. Alath. Soc. 1994. 345. № 2. p. 853 - 863.

28. Hsia J., Kitaoka Y . . Kneser M . Representations of positive cpiadratic forms/ / J. reine angew. Math. 1978. 301. p.132 - 141.

29. Jöcher AI-, Kitaoka Y . Representations of positive cpiadratic forms withcongruence and primitive conditions / / J . Number Theory. 1994. 48. JY^ 1. p. 88 - 101.

30. Kitaoka Y. Quaternary even positive definite quadratic forms of primediscriminant //Nagoya Alath. J. 1973. 52. p. 147 - 161.

31. Kitaolva Y . Lectures on Siegel modular Forms and representation byQuadratic Forms. Berlin. Springer. 1986.

33. Kitaoka Y . Some remarks on representations of positive definite quadraticforms //Nagoya Math. 1989. 15. p. 2 3 - 4 1 .

34. Kitaoka Y . A note on representation of positive definite quadratic formsin 6 variables / 'Acta arithm. 1990. 54. № 4. p. 317 - 322.

35. Knezer AI. Quadratischer Formen. Göttingen. Math. Inst. 1974.

36. Minkowski H. luitersuchungen über quadratischer Formen. Bestimmungder Anzahl verschiedener Formen, welche ein gegebenes. Genus enthalt. Königsberg. Innagural dissertation / / Acta Math. 1885.7. S. 201 - 258.

37. Pall G . The weight of a genus of positive n-ary quadratic forms. Proc.Symp. Pure Math. 1965. 8. p. 95 - 105.

38. Raghavan S. Modular forms of degree n representations by quadratic forms/ / Ann. of Math. 1959. v.70(2). p. 446 - 477. / / 44. Siegel C.L. Über die analytische Theorie der Quadratischen Formen / Ann. Math. 1935. 36. s. 527 - 606.

39. Siegel C.L. Lectures on the Analytical Theory of Quadratic Forms.Göttingen. Revised Edition. 1963.

40. Watson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms / / Alathematica. 1972. 19. A^ 1. p. 96 - 104.

41. Watson G.L. One-class genera of positive quaternary quadratic forms / /Acta Math. 1974. 25. :^ ^ 5. p. 461 - 475.

42. WAtson G.L. One-class genera of positive ternary quadratic forms. H / /Mathematica. 1975. 22. .A^ 1. p. 1 - 11.

43. Watson G.L. One-class genera of positive quadratic forms in least fivevariables / / A c t a Math. 1975. 26. № 3. p. 309 - 327.

44. Watson G.L. One-class genera of positive cpiadratic forms in eight variables/ / J. London Math. Soc. 1982. 26. № 2. p. 227 - 244.