О конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм g-типа Лиувилля, g-типа А. Вейля и формулах типа А. Вейля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО 1 7 РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. МИРЗО УЛУГБЕКА

На правах рукописи КУЛМАТОВ АЛИМ КАРШИБЕКОВИЧ <Л. ЛЛ^

О КОНЕЧНОСТИ ЧИСЛА КЛАССОВ ПРИМИТИВНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ д-ТИПА ЛИУВИЛЛЯ, д- ТИПА АВЕЙЛЯ И ФОРМУЛАХ ТИПА А. ВЕЙЛЯ

(01.01.06 - математическая лотка, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент -1996

Работа выполнена в Ташкентском государственном педагогическом институте им. Низами.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Доктор физико-математических наук, профессор Л .А.КОГАН.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Доктор физико-математических наук С.Т.ТУЛЯГАНОВ. Кандидат физико-математических наук, доцент К.М.ЭНДИБОЕВ.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Самаркандский государственный университет имА. Навои.

Защита состоится 'А: ОКТЬйр-Э, 1996 года в час. на заседании объединенного специализированного совета К 067.02.03 при Ташкентском государственном университете им.Мирзо Улугбека по адресу: 700095, г.Ташкент-95, механико-математический факультет, ауд. А-205.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ташкентского государственного университета (Вузгородок).

Автореферат разослан 0 " 0. ^ С Т <л. 1996 г.

О V

Ученый секретарь объединенного специализированного совета, кандидат /у фщ.-мат. наук, доцент

АААБДУКАДИРОВ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению квадратичных форм типа Лиувилля и типа А.Вейля, а именно-проблеме конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм типа Лиувилля, типа А.Вейля и вопросам построения формул типа А.Вейля для количества представлений натурального числа примитивными положительными квадратичными формами.

Вопросы представления чисел квадратичными формами являются основными в общей теории квадратичных форм и их решение тесно связано с современной теорией модулярных форм, алгебраической геометрией, в частности, с гипотезой. А.Вейля, обобщенной гипотезой А.Вейля с подъемом в теории модулярных форм, с задачами построения базиса пространства параболических форм с помощью обобщенных тэта-рядов и эллиптических кривых. Им посвящены многочисленные работы математиков как СНГ, так и дальнего зарубежья.

Кратко остановимся на истории вопроса(более подробно с историей вопроса можно ознакомиться в монографиях и обзорах авторов Дж.Касселс [1982] , Р.А.Ранкина [1977] , БА Венкова [1937], А.В.Малышева [1974], О.М.Фоменко [1977]) . Многие годы математики (Гаусс, Якоби, Лиувилль, Кронекер, Морделл, Харди, Б.А.Венков, Ю.В.Линник, АЗ.Вальфиш, А. Н.Андрианов, Г.А.Ломадзе, О.М.Фоменко, Т.В.Вепхвадзе и другие) занимались получением формул для количества представлений натурального числа конкретными примитивными положительными квадратичными формами.

В 1966-1990 годах Когану Л.А., основываясь на результатах и идеях своих предшественников, удалось провести классификацию существующих различных формул и дать точные определения формул типа Якоби, типа Лиувилля, типа Булыгина-Морделла, типа А.Вейля, типа Клостермана для количества представлений чисел квадратичными формами. Эти определения дали возможность создать методы получения таких формул и доказать теоремы о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм типа Якоби, типа Лиувилля и типа А.Вейля.

В предлагаемой диссертации некоторые из этих результатов Л.А.Когана о конечности числа классов примитивных положителных квадратичных • форм типа Лиувилля и типа

А.Вейля распространяются на примитивные положительные квадратичные формы д-типа Лиувилля и д-типа А.Вейля.

Цель работы. Целью работы являются доказательства теорем о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм д-типа Лиувилля, д-типа А.Вейля и получение формул типа А.Вейля для количества представлений натурального числа примитивными положительными квадратичными формами.

Методика исследования. Доказательства основных результатов базируются на теории модулярных форм, эллиптических кривых, исследованиях И.М.Виноградова о распределении квадратичных невычетов, оценках сингулярного ряда Харди-Литглвуда, результатах Дойринга о распределении нулей инварианта Хассе эллиптической кривой, теории подъема в теории квадратичных и модулярных форм.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказана теорема о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм

^„....х^ = ^аих1хг а, = оя,пг4,

1.1-1

п-четное с определителем

<2=2 "ЛрХ, з дДто(1д)({ = 1,...,л)

д-типа Лиувилля.

2. Доказана теорема о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм

л

0(х......х„) = £ а,,*,^, = ар1п 2 5,

п-нечетаоо, х, а Ь,(тос1 д)(/ = 1,2,..., п) д-типаЛлусиллч.

3. Дохшзаиа теорема о консшоега числа классоп пршгктнпшж колояхнтелъиьтх 1шздг)г.№лп;ьтг форм

0(xlrx21x3,x4) = Za4xixi< aa = aii> t.i'l

x, a bt (mod g) (i = 1,2,3,4 )

g-типа А.Вейля в узком смысле.

4. Получены формулы типа А.Вейля для некоторых классов квадратичных форм с шестью и восемью переменными,

Все результаты диссертации являются новыми.

Резултаты 1., 2., 3. являются обобщением результатов ЛА.Когана о конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм типа Лиувилля и типа А.Вейля.

Результат 4. является развитием результатов А.Н.Андрианова и ЛА.Когана.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер, её результаты могут быть использованы в дальнейшем для полного решения проблемы нахождения формул типа Лиувилля и типа АВейля.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на республиканской конференции Теория чисел и её приложения" (Ташкент, 1990), на объединенном научно-исследовательском семинаре кафедр математического факультета ТГПИ им. Низами.на научно-исследовательских семинарах: отдела вычислительных методов Института математики имени В.И.Романовского АН РУ.и кафедры алгебры и теории чисел ТашГУ им. Мирзо Улугбека.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10].

Структура й объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, и библиографии. Работа содержит 93 страницы машинописного текста. Библиография включает 63 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть

о = 0(х,.....Хп)= j^a^X; - (1}

i.j'l

положительно-определенная квадратичная форма с коэффициентами а,у = ау, от п24 переменных и

(х„...,хп)а (Ь,_...,ЬП ) (тос!д )ГЬГ..,ЬЛ -целые числа, д-натуральное число.

Если форма О такова, что а,у(г = 1,...,п ) и 2 < I < У 5 Л ) все целые числа, то форму О называют целочисленной; кроме того, если

(а,,,....0^,20,2,...,2ап.1п) = 1, то форму О называют примитивной.

Целочисленную примитивную положительно-определенную квадратичную форму О вида (1)мы в кратце будем называть примитивной положительной квадратичной формой.

Здесь и в дальнейшем сравнение

(х,,...,хл ) = (Ь,,..,Ьп )(шос1 д ) равносильно сравнениям

х, з Ь,(тос!д )(г = 1.....л ).

Пусть ти- натуральное число; обозначим через М[/П = О ] количество представлений числа ш формой О :

М[т = 0|= Е1 •

0(х,.....х„).т

Ясно,

что

если О, и 02 эквивалентны, то

М[т = О, ] = М[т - 02 ] , так что ЛГ[т = О ] - инвариант класса форм. Ясно также, что для натурального числа и

M[m = uQ] =

О, если и не делит пи

М — = О ,если и\т. Lu J

Поэтому при изучении функции M[m = О ] достаточно

рассматривать только примитивные формы О , выбирая из каждого класса лишь по одной форме.

Во введении дан краткий обзор известных работ по квадратичным формам типа Аиувилля, типа А.Вейля и приведены основные результаты диссертации.

Для изложения основных результатов диссертации нам понадобится некоторые определения, являющиеся аналогами известных определении форм типа Лиувилля и типа А.Вейля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Пусть

МГА.....= .....*.)] = Р9-а.....ьЛ"* О) + У„(т; О) -

количество представлений натурального числа т формой

0(х,.....х„ ) при(х,.....х„) а (Ь,,...,Ьп'Хшск1д),

'('„(щО )• дополнительный член. Если Ч'ДщО )(п > 5, Л -нечетное ) является линейной комбинацией выражений вида

£ /„(х ) (/Дх) - некоторая числовая функция), то

квадратичную форму <?(х1,...,хп ) будем называть формой д-

типа Лиувилля, а формулу для количества представлений чисел ею также будем называть д-типа Лиувилля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть

МдА.....- <?(х......х„)| = р^.....Ьл(пцО) + У„(т;0) - количество представлений натурального числа т формой

0(х1,..„х„ ) при (х,.....хп) а (Ь,,...,ЬпXшос!д),Ч'„(щО) -

дополнительный член. Если ^(щО )(п > 4, л -четное ) можно

представить, в виде конечной линейной комбинации коэффициентов Фурье,;обобщенных бинарных тэта-рядов вида

£ ра (х,. Х2) ехрГг^г

*1.*2—» 2- I 1 а и

х, з лДтосШ,, )

где > 0 - целое число; »

Оа(х{1х2) -целочисленная примитивная положительная квадратичная форма ступени /\Га(Л/а -пробегает делители N );

(Н

Р„ (х,, х2 ) -шаровая 2"'

соответствующая Са(х,,х2)

Л„ й2 - целые числа с условием

функция степени.

•Са(х„х2)

О(тоё^),

х, =

то квадратичную форму 0(х,,...|хЛ) будем называть формой д-типа Лиувилля, а формулу для количества представлений чисел ею также будем называть д-типа Лиувилля.

Для определения формул типа А.Вейля сформулируем обобщенную гипотезу А.Вейля. А.Вейль высказал гипотезу, относящуюся к построению модулярных форм веса 2. ЛАКоган, обобщая исследования АБейля, построил с помощью эллиптических кривых модулярные формы веса к(к & 2), а именно высказал в 1970 г. следующую гипотезу (В).

ГИПОТЕЗА (В). Пусть С-эллшггаческая кривая, определенная над полем рациональных чисел посредством уравнения Вейерпгграсса

уг = х3 + Ах + Я с рациональными коэффициентами. Пусть редукция

Ср в С(тос1р) хорошая (невырожденная) , положим для этих р

*м(5> =

,к- четное

(1-а£ 'р е(р)р ^ "'.к-нечетн.

где ар,5р - собственные числа эндоморфизма Фробениуса эллиптической кривой Ср, ff(p)-некоторая числовая функция,

е(р) = 1 при ар + йр * 0; е(р) = -1 при ар + ар = 0. В случае кривых с комплексным умножением эндоморфизмы кривой образуют порядок в некотором мнимом квадратичном поле, и е= х ~ характер этого поля, Тогда можно выбрать множители, отвечающие "плохим" простым числам р ("плохих"

р конечное число, обозначим их произведение через Fk{s) ), так, что определенный по L - ряду

Р mai

р-хорошие

m»l

ряд Фурье

ао 2л an

m»l

(г- комплексное число, Imr > 0 , t > 0 - целое число)

является некоторой параболической формой веса к ( при к = 2 гипотеза (В) является гипотезой А.Вейля). «

Для кривых с комплексным умножением гипотеза (В) доказана ЛАКоганом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть

МГ.Ь.....ьЛт = °(х>.....Х")} = Ря.ь,.....ь№0) + Va{mQ)-

количество представлений натурального числа m-формой

Q{xt.....x„)npu (*„...,ха) = (Ь......bJmodgl^imO) -

дополнительный член. Если 4J„ (m; О) может быть выражена в

виде линейной комбинации Ь _( Л 2 4, п -четное ), то

"•2

квадратичную форму 0(х,,...,хп) будем называть д - типа А.Вейля, а формулу для количества представлений чисел ею также будем называть д- типа АВейля. Если

Ь „ ( л'¡£ 4, л -четное ) определены с помощью

эллиптических кривых с комплексным умножением, то квадратичную форму 0(х„...,хп) будем называть д-типа А.Вейля в узком смысле.

В первой главе изложены некоторые определения, понятия из теории квадратичных форм, теории модулярных форм и эллиптических кривых, которые используются для доказательства основных результатов диссертации.

Во второй главе доказаны следующие теоремы:

ТЕОРЕМА I. Пусть

0(х„.:.,ха)« ¿«ус,*/ , (2)

Ч/-1 .

Оц ~ ау7 , Пк4, П -четное - примитивная положительная квадратичная форма с определителем с1 = 2 " Д* (Д,-нечетное,а 2: 0-целое),

(х,.....х„)ш(Ь,.....ЬлХпюс1д), Ь„...,ЬЯ-целые числа, д-

натуральное число. Тогда существует константа с>0 , зависящая только от п, что при выполнении условий (1>С,

.....Ь^кЩя-* ^

л *

)

( с > 0, > 0 -достаточно малые числа), д < сгй п (- абсолютная константа) ни одна форма вида (2) не является ((-типа Лнувилля.

ТЕОРЕМА 2. Число классов примитивных положительных квадратичных форм0(х,,...,х„) (Л > 4, л -любое фиксированное четное число) с определителем £¡=2 "Ар

(х„...,л:п) а (Ь|1...,Ь„Хтодд) при

ЦЬ,.....Ь„) <

*("-?) и ...

д < сгё " д-гипа

Лиувилля конечно.

ТЕОРЕМА 3. Пусть

0(х,.....х„)» £ ацх1х) >

и-1

(3)

примитивная форма с

а9 » а,,, п^ 5 | П-нечетное положительная квадратичная

(*,.....*п)а(Ь,.....ЬДтоад),'

Ь,,...,Ь„ -целые числа, д-натуралыюе число. Тогда < существует константа с>0, зависящая только от п, что при выполнении условий ё>С,

.....Ь„)<

я

( > 0, £•, > 0 - достаточно малые числа), д < Сгй " ( с2 -абсолютная константа) ни одна форма вида (3) не является д-типа Лиувилля.

И

ТЕОРЕМА 4. Число классов примитивных положительных квадратичных форм 0{хи..,,хп) (п 2 5, п -любое фиксированное нечетное число) с

О......х„) £ (Ьи...,Ь„)(тойд) при

.....->

Я * .

I

д < сгй " д-типа Лиувилля конечно.

В первом параграфе третьей главы доказаны следующие теоремы:

ТЕОРЕМА 5. Пусть

4

С?(х„х2,х3,х4) = (4)

а^ = Оу, - примитивная положительная квадратичная форма с определителем с?3 = 2 ^Д^ ( Д2 -нечетное, ^ £ 0 - целое), (х^^х,) е.(ЬиЬ2,Ь31Ь^тойд),Ь{,Ь2,Ь3,Ь^ -целые числа, д-натуральное число.

Тогда существует константа с>0 , что при выполнении условий

ё3>с, СНр1,Ьг,Ь3,Ъл) < ё}~"

( е6 -достаточно малое число ), д < <33 ни одна форма вида (4) не является д-типа А.Вейля в узком смысле.

ТЕОРЕМА 6. Число классов примитивных положительных квадратичных форм <?(х1,Х21А'з,Х4) с определителем -

d3=2 /,л^,(х1,х21хз,х4)з(ь1,ь2,ь3(ь4) (mod g) при

0(b„b2,b3,b4) < df",

g < d3 g -типа А.Вейля в узком смысле конечно. Во втором параграфе третьей главы получены формулы типа А.Вейля для некоторых классов квадратичных форм с шестью и восемью переменными.

Приведем некоторые из них:

ТЕОРЕМА 7. Пусть М[т = (?,]-число представлений натурального ^ числа ш формой

О, = х,2 + 4(х| +• Х3 + х42 + xj + х|), (^j -символ Якоби, t-

целое число, р-простое число (р = 41 4-1), М[р = Q,] * О, тогда справедлива формула

М[Р = <?,] = (р 2+l)

/ з ^ х - х

-2р

= (Р~1) %

/ ( 3

г? X - X

к р

\ V. * JS

ТЕОРЕМА 8. fiycn. М\т = 02]-число представлений натурального числа ш формой 02 = х,2 + х,х2 + х\ +

+3(xl + х3х4 + х\ + х\ + xsxe + х2 + х} + х,х8 +- х^' '

символ Якоби, t-целое число, р-простое число (р * 2,3), М[р = 02] # 0, тогда справедлива формула

/у

М[р = Оа] = 3 + 1)-4

2 Х-0

3 л

X +1

-зР£

х«0

» Л X +1

ТЕОРЕМА в. Пусть М[т = 03] -число представлений натурального числа Ш формой 03 = х\ + Х,Х2 + х| 4 X, +

+х3х4 + х\ + х\ + Х}Хе + х| + 3(х72 + х,ха + х£), -

символ Якоби, I- целое число, р-простое число (р * 2,3), М[р ш 03] * 0, тогда справед лива формула

М{р«03] = б(р 3 + 1)- 12

£

1.0

Г 3 л X + 1

-зР£

Их 3 + 1)1

*.о1

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Кулматов А.К. О конечности числа классов примитивных квадратичных форм типа Лиувилля с нечетным переменных // ДАН УзССР, 1988, №1, с.13-14.

2. Кулматов А.К. О конечности числа классов некоторых квадратичных форм // Методические рекомендации молодых ученых и специалистов ТГПИ им. Низами, Ташкент, 1988, с.40-41.

3. Кулматов А.К. О конечности числа классов квадратичных форм типа Лиувилля // Тезисы докладов Всесоюзной школы "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел " . Минск 1989, с.84.

4. Кулматов АК. О конечности числа классов примитивных квадратичных форм типа Лиувилля с четным числом переменных // ДАН УзССР, 1989, №1, с. 14-15.

5. Кулматов АК. Формулы типа А.Вейля для количества представлений чисел некоторыми квадратичными формами с восемью переменными //Тезисы докладов республиканской научно-теоретической конференции "Теория чисел и ее приложения". Ташкент, 1990, с. 69-70.

6. Кулматов Á.K. О конечности числа классов примитивных квадратичных форм типа Лиувилля с четным числом переменных // Сборник научных трудов ТГПИ им. Низами. Ташкент, 1991, с. 50-51.

7. Коган ДА, Кулматов АК. О связи обобщенной гипотезы А.Вейля по специальными рядами Дирихле и конечность числа классов квадратичных форм типа АВейля // Деп. в ВИНИТИ,

• №782-В92, 20 с.

8. Коган Л.А., Кулматов АК. Построение параболических форм с помощью эллиптических кривых и представление чисел квадратичными формами // Деп. в ВИНИТИ, № 2342-В92, 47 с.

9. Кулматов А.К. Формулы типа АВейля адя количества представлений чисел некоторыми квадратичными формами с шестью переменными // Сборник научных трудов ТГПИ им. Низами, Ташкент, 1993, с. 51-57.

10. Кулматов А.К. О конечности числа классов примитивных положительных квадратичных форм типа А.Вейля // Сборник научных трудов ТГПИ им. Низами, Ташкент, 1995, с. 82-84.

ЛИУВИЛЛНИНГ д-ТИПДАГИ, А.ВЕЙЛНИНГ д- ТИПДАГИ ПРИМИТИВ МУСБАТ КВАДРАТИК ФОРМАЛАР СИНФЛАРИ СОНИНИНГ ЧЕКЛИЛИГИ ВА АВЕЙЛЬ ТИПИДАГИ ФОРМУЛАЛАР ХДКДДА

АННОТАЦИЯ

Диссертация Лиувилль типидаги ва А.Вейль типидага квадратик формаларни урганишга, аникроги Лиувилль типидаги, А.Вейль типидага примитив мусбат квадратик формалар синфлари сонининг чеклилиги муаммосига ва натурал сонпи примитив мусбат квадратик формалар оркали ифодалашлар сони учун А.Вейль типидаги формулаларни куриш масалаларига багишланган.

Диссертацияда куйидаги. янги натижалар олинган:

1. Узгарувчилари сони учтадан куп булган Лиувиллнинг д-типдага примитив мусбат квадратик формалар синфлари сонининг чеклилиги х,акидаги теорема исботланган.

2. Турт узгарувчили тор маънодаги А.Вейлнинг д- типдаги примитив мусбат квадратик формалар синфлари сонининг чеклилиги хэкидаги теорема исботланган.

3. Олти ва саккиз узгарувчили квадратик формаларнинг баъзи синфлари учун А.Вейль типидаги формулалар олинган.

ON A FINITENESS OF THE NUMBER OF PRIMITIVE POSITIVE LIOUVILLE'S g- TYPE CLASSES, A.WEYEL"S g- TYPE QUADRATIC FORMS AND WEYEL TYPE FORMULAS

SUMMARY

The dissertation is devoted to the Liouville type and Weyel type quadratic forms are studied namely finiteness problem of the number of classes of primitive positive Liouville type, Weyel type quadratic forms, construction of Weyel type formulas for the number of representations of a natural number by means of primitive positive quadratic forms are considered.

The following new results are obtained in the dissertation:

1. Finiteness theorem of the number of classes of primitive positive Iiouville's g- type quadratic forms of more than three variables.

2. Finiteness theorem of the number of classes of primitive positive Weyel s g- type quadratic forms in weak meaning of four variables.

3. Weyel type formulas for the some classes of quadratic forms of six and eight variables,