Спектральные характеристики одномерного оператора Шредингера с негладкими коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА 1. ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ОБОБЩЕННЫМ СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ й{х,а,е) НА ВСЕЙ ОСИ В СЛУЧАЕ а <

§1. Постановка задачи и подготовительные леммы.

§2. Построение резольвенты оператора Н{е,а),{а < 0).

§3. Природа спектра оператора Н{б,а),{а <0).

§4. Асимптотика длины лакуны в непрерывном спектре оператора Н{е,о) в случае е Ф 0, а <

§5. Разложение произвольных функций из

Ь2{- оо;+оо) по спектру оператора Н(е,а),(а <0).

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОПЕРАТОРА н(е,а) С ОБОБЩЁННЫМ СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ ()(х,£,а) (а>0).

§ 1. Подготовительные леммы.

§2. Построение резольвенты оператора Н{е,а) (а > 0).

§3. Построение спектрального семейства Ех для оператора Н{б,о), (а>0).

§4. Природа спектра оператора Н(е,а).

Равенство Парсеваля-Стеклова (а >0).

§5. Разложение произвольных функций из Ь2 (- оо;+оо) по спектру оператора Н{е,а).

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С ОБОБЩЕННЫМ СИНГУЛЯРНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ й(х,р(х), £}.

§1. Постановка задачи и построение резольвенты оператора Н(е), р(х) е Х~. $ 2. Построение функции тг(Х), р(х) е Х~. $ 3. Некоторые подготовительные леммы в случаер(х) е Х~

§4. Природа спектра оператора Н(е), р(х) е Х~

§5. Равенство Пар се валя- Стеклова. Разложение произвольных функций из Ь (—со/+сс) по спектру оператора Н(б),р(х) е Х~.

§6. Построение резольвенты оператора Н( е)в случае р(х) е Х+. 7. Построение спектрального семейства Е(А) для оператора Н(б) в случаер(х) е Х+ 8. Природа спектра оператора Н(е). Равенство Парсеваля-Стеклова. Разложение произвольных функций из Ь оо;+оо) по спектру оператора Н(е) в случаер(х)Е Х+.

§9. Природа спектра оператора Н1(б) в случае р(х)=ах, 1т а^О.

При решении многих задач математической физики возникает необходимость исследования собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, а также проблема разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

Так, например, к такого рода вопросам приходят, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным данным и краевым условиям.

Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилля, соответствующий конечному отрезку и непрерывным коэффициентам уравнения, изучен сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.

Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа самосопряженных дифференциальных операторов в последнее десятилетие. Оказалось, что ряд важных случаев изучения ^-функции (одного из основных объектов, характеризующих поведение квантово-механической системы) сводится к спектральному анализу уравнения Штурма-Лиувилля

1\у] = -у'' + Ч{х)у{х) = Хр{х)у{х\ (а<х<Ъ), (0.1) решения которого должны быть подчинены некоторым граничным условиям и нормировочному условию ь у2(х)р{х)сЬс = \ (0.2) а в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что весовая функция р(х)>0, а функция д(х) - вещественнозначная).

Простейшими граничными условиями являются «условия закрепления» у(а) = у(Ь) = 0. (0.3)

Спектральная задача (0.1)-(0.3) является классической, ей посвящена огромная литература. Отметим работы Штурма [67] и Лиувилля [65]. В этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия

0<т< р(х)<М (0.4) было установлено:

1. Существует счетное множество собственных чисел Яп спектральной задачи (0.1)-(0.3) с единственной предельной точкой + оо.

2. Все собственные числа вещественны и при п —> +оо

Л, п2. (0.5)

4pC0dt а J

Все эти результаты были получены, в основном, путем применения асимптотических методов исследования решений дифференциальных уравнений при большом значении Л» И, развитых Лиувиллем [65], Биркгофом [62] и Я. Д.Тамаркиным [54].

Резюмируя итоги этих работ, можно сделать вывод о том, что в случае достаточно гладких коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия (0.4), спектральные свойства задачи Штурма-Лиувилля качественно совпадают со спектральными свойствами оператора {ц(х) = 0, р(х) = 1), рассмотренного еще Фурье.

Все вышеуказанные результаты получены при условии конечности области и определенной гладкости коэффициентов уравнения (0.1). Если область задания бесконечна или коэффициенты уравнения не суммируемы (или и то и другое), то задача Штурма-Лиувилля относится к так называемому сингулярному случаю, основы которого заложены Германом Вейлем в его известных работах [71 -73].

Сингулярные дифференциальные операторы могут иметь уже не только дискретный спектр, но и непрерывный, в связи с чем разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла Стильтьеса.

Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э.Шредингеру, опубликовавшему в 1926 году две заметки [68], в которых был заложен математический фундамент квантовой механики.

Задачи на определение энергетического спектра конкретных систем, изученные после этого в различных работах по квантовой механике, стали решающими для дальнейшего развития теории сингулярных дифференциальных операторов.

Результаты первостепенной важности были получены М.Г.Крейном, Э.Ч.Титчмаршем, Б.М.Левитаном, М.А.Наймарком. Эти работы подытожены в монографиях [33, 35, 48, 49, 56, 57].

Однако, несмотря на эти фундаментальные результаты, проблема спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов еще далека от завершения даже в одномерном случае.

Здесь в первую очередь следует указать на задачу определения спектра и его кратности в зависимости от свойств коэффициентов уравнения. Особенно мало разработаны эти вопросы для случая операторов с обобщенными периодическими коэффициентами.

Класс таких операторов Штурма-Лиувилля возникает в одном из разделов квантовой механики, а именно при описании одномерных структур и полимерных молекул в рамках простейших квантово-механических моделей [34, 50, 55, 66], которые с математической точки зрения сводятся к изучению спектральных характеристик в Ь2 (-оо;+оо) уравнения

-у" + д(х)у(х) = Лр(х)у(х), х е (—со;+со), (0.6)

В уравнении (0.6) р(х) и д(х) - вещественные, периодические с периодом, равным со>0, функции, причем р(х)>0.

При условии суммируемости функции д(х) и р(х) = 1 спектральные характеристики уравнения (0.6) были исследованы Э.Ч.Титчмаршем в его монографии [56], в которой было установлено:

1. Спектр уравнения (0.6) полуограничен снизу, абсолютно непрерывен и двукратен;

2. Спектр уравнения (0.6) состоит из объединения отрезков (зон) Л], разделенных интервалами (лакунами) 7" •;

3. Число лакун, вообще говоря, бесконечно;

4. Длина лакуны Гу- асимптотически при ) —> оо стремится к нулю; у

5. Произвольная функция /(х)еЬ (-ю;+оо) может быть представлена обобщенным интегралом Фурье, как суперпозиция решений уравнения (0.6), соответствующих непрерывному оо спектру Л=\JЛj . о

В дальнейшем, полагая, что периодический потенциал д(х) является гладкой функцией, был уточнен порядок стремления к нулю длины лакуны Г- (у—>оо) В.А.Марченко и И.В.Островским [45], а также найдены необходимые и достаточные условия на потенциал д(х), при которых спектр уравнения (0.6) состоит только из конечного числа зон.

И.М.Гельфанд (изложение его метода приводится в приложении к книге [57], написанном В.Б.Лидским) предложил новый метод разложения произвольных функций по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами, применяемый к системам дифференциальных уравнений с частными производными.

В связи с некоторыми задачами теории твердого тела М.М.Гехтман и И.В.Станкевич [14], [15] исследовали спектр дифференциального уравнения

Хилла с обобщенным периодическим потенциалом вида

00

2(х,б) = д(х) +е ^д(х-п), х е(-со;+оо). (0.7)

В формуле (0.7) £ -произвольное вещественное число, а 8(х)~ функция Дирака. Потенциал (0.7) при д(х) = 0 впервые был введен Р.Кронигом и В.Пенни в работе [64].

М.М.Гехтман и И.В.Станкевич показали, что в случае обобщенного потенциала Кронига-Пенни (0.7) для уравнения (0.6) остаются справедливыми все утверждения теории Э.Ч.Титчмарша, кроме утверждения о стремлении к нулю длины лакуны 7у (у -» со). Показано, что в случае

0 число лакун в спектре бесконечно и асимптотически при у' -> оо длина лакуны Гу стремится к пределу, равному с0 • е, (с0 >0).

М.Г.Гасымов и Р.З.Халилова выяснили, что в случае уравнения (0.6), где функция р(х + 1) = р(х)>0 определена формулой р(х) = <

V2 1, 0 <х <а < 1, ^^

1, а<х<1, длина лакуны в спектре уравнения (0.6) асимптотически стремится к бесконечности (у -» оо).

Наряду с изучением спектральных характеристик уравнения Хилла (0.6) и различных его обобщений, значительные усилия были направлены на изучение спектра возмущенного уравнения Хилла. Это возмущение может быть описано либо введением в уравнение (0.6) добавочного периодического потенциала р(х), либо рассмотрением уравнения Хилла на полуоси.

В последнем случае к уравнению (0.6) должны быть присоединены в граничной точке х=0 некоторые краевые условия, которые обеспечивают самосопряженность спектральной задачи на полуоси.

Эти исследования были обусловлены в значительной степени задачами квантовой механики и квантовой химии. Отметим прежде всего ставшую классической работу И.Е.Тамма [55], в которой была рассмотрена спектральная задача для уравнения Шредингера с потенциалом

V, х < 0,

0О (х,е,у) = \ ® (0.9) е - 2,Я(х-п), х>0,

- П=1 и впервые было указано на возможность появления собственных чисел (поверхностных или таммовских состояний) в лакунах Гу-.

Появление дискретной компоненты спектра в лакунах Т^, обусловленное граничными условиями или возмущением периодического потенциала д(х) слабым возмущением Р(х), было математически обосновано в работах [23-26].

Начиная с работы И.Е.Тамма [55], в физической литературе по теории твердого тела [14], [63] значительное внимание уделяется поверхностным состояниям, что особенно существенно в связи с рядом конкретных экспериментальных эффектов, установленных в последнее время.

В последние десятилетия проводится детальное исследование некоторого класса решаемых моделей квантовой механики, а именно моделей, задающихся оператором Шредингера с потенциалом, сосредоточенном на дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек (источников). Модели с точечными взаимодействиями такого рода являются решаемыми в том смысле, что для них можно явно определить резольвенты в терминах интенсивности взаимодействия и координат источников. В результате спектр, собственные функции, равно как резонансы и характеристики рассеяния, так же могут быть явно определены. Модели указанного типа уже широко обсуждались в физической литературе (см. библиографию в [4]), посвященной задачам атомной физики и физики твердого тела [21].

Последующие исследования привели, в частности, к первой математически строгой работе на эту тему - статье Березина и Фадеева [6], посвященной определению гамильтонианов вида

Н = -А+£еубу О, (0.10) уеУ где через Л обозначен самосопряженный лапласиан в Ь2(Яс1) с областью

0 /7 определения Ж2 (Я ) для с1=3. Здесь с1 - размерность объемлющего конфигурационного пространства, Г — дискретное (конечное или счетное) подмножество в Яа, £у - константа связи, приписанная точечному источнику, находящемуся в точке у, а 8 у- функция Дирака в точке у (т.е. единичная мера, сосредоточенная в точке у).

Любое возможное математическое определение самосопряженного оператора Н, отвечающего эвристическому выражению (0.10) в пространстве

Ь2 (Яа ), должно учитывать тот факт, что оператор Нсовпадает с оператором

00 // // ■ а на множестве Со (^ -Г) гладких в Я функций с компактным носителем, не содержащим точку;/.

Причем в одномерном случае возможно непосредственное описание

8 -взаимодействий с помощью квадратичных форм. На самом деле в одномерном случае имеет место новое явление: поскольку (в отличие от

1=2,3) оператор - обладает четырехпараметрическим семейством самосопряженных расширений в пространстве Ь (К), то существуют дополнительные типы взаимодействий (например, -взаимодействия).

Рассмотрим однопараметрическое семейство, отвечающее 8'-взаимодействию.

Для этого рассмотрим в Ь2 (Я) минимальный оператор Н'у а2 ну=--Т> (0-11) ох

0{Н'у) = ^^{К\¥)\Г{у]) = 0,у] еУ^-ем] (0.12)

Оператор Н'у [4, с.377-378] замкнут, неотрицателен и имеет индексы дефекта (оо;оо). В соответствии с результатами, приведенными в [4, с.445-450] оператор Н'у обладает самосопряженными расширениями следующего специального вида: н/з,¥ ~ а2 сЬс' ф^) \fzwhR\Y\fXyj +о) = -0) = Пу,),I (0ЛЗ) f(y^+o)-f(yj-o) = /зJf'(yJ),

По определению, оператор НрГ описывает 8' - взаимодействия интенсивности Р ■, сосредоточенные в точках у ^ еУ с: Я.

Исследованию спектральных характеристик оператора Н ^ у посвящена обширная литература (см. библиографию в [4]). Этому же кругу вопросов посвящена и настоящая диссертационная работа.

Заметим, что близкими к исследуемым в диссертационной работе вопросам относятся результаты, полученные в последнее время в работах Назарова А.Д. [47] и Бучаева Я.Г. [7] .

Рассмотрим в Ь2 (^-оо;+оо) спектральную задачу

-у" + Я(х,е)у = Лу, хе(-<ю;+оо), хФп (п = 1,2,3,.). (0.14)

Случай оо

2(х,е) = д(х) + £УЕЗ'(х-п), (0.15) п=-00 где д(х + 1) = д(х)е. С(-оо;+оо), £ - произвольное вещественное число {е а 8'(х) - потенциал нулевого радиуса или -взаимодействие, рассмотрен в работе Назарова А.Д. [47], в которой установлено, что спектр задачи (0.14), (0.15) абсолютно непрерывен, однократен и совпадает с множеством А = У А^ , называемым зонами, которые разделены лакунами Т] пропусками), причем число лакун счётно и длина лакуны Г. асимптотически при у —> оо стремится к бесконечности.

Зоны А ■ и лакуны Т] определены в главе 1 диссертационной работы. Случай

V, х<0, д(х,е,У) = \ « (0.16) х) + а• ¿¿о (х-п), х>0, п=1 где V - произвольное вещественное число ( V Ф оо), рассмотрен в работе Бучаева Я.Г. [7], в которой установлено, что спектр задачи (0.14), (0.16) состоит из дискретной и непрерывной компоненты.

Дискретная компонента состоит из разве что конечного числа собственных чисел, принадлежащих множеству (-оо;У)С\Т, где Т = У]Tj , а. непрерывная компонента заполняет множество

Г ;+«>) П(Л[) Т)) и ((-оо; V) С) Л), причем на множестве ((-со; V) П Л) и ([У;+со) Г) Т) - спектр абсолютно непрерывен и однократен, а на множестве - абсолютно непрерывен и двукратен.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Рассмотрим в Ь2 (-оо;+оо) спектральную задачу

- у" + £)(х, а, а)у = Яу, [ х |< оо, х ф п, (п = 1,2,3,.), (0.17) в соотношении (0.17) потенциал а>8) определим формулой ах, х<0; , (0.18) д(х) + £^5''(х-п), х>0. х,а,б) = <

У1—1

0.19)

Обозначим через в(х, Я) и ср{х, А) решения уравнения Чу) = ~у"(х) + <2(х, а,0)у(х) = Яу(х), | х |< оо, удовлетворяющие при х = 0 условиям Коши

0(0, Я) = <р'(0, Я) = 1; в'(0, Я) = <р(0, Я) = 0. (0.20)

Кроме того образуем функцию

Г(Я) = в(1,Я) + <р'(1Я) + е в'(1,Я). (0.21)

Обозначим через Я] а=0,1,.) нули функции (р(А,)+2), а через // • (у = 0,1,.) - нули функции(Р(Х)-2).

Обозначим также

5 = {Ц& = 0},

Л1 = ] = 2к, к = 0,1,2,., , ] = 2к + 1, к = 0,1,2,. .

0.22) (0.23)

0.24)

TJ =

-00 ;Л0),

Н]-1->»]\ ] = 2к + 1, к = 0,1,2,., (0.25)

-2к, к = 1,2,. .

Л = иЛ;- ; Т = [}Т]. (0.26) з з

Пусть в(х,Я) и ф(х,Х) - решения уравнения (0.17), которые на [0;1] совпадают с в(х,Л) и <р(х, Я), соответственно.

•у

В гильбертовом пространстве Ь (-со;+сс) на множестве функций 0(Н(£,а)), определенных условиями

D{H(s,a)) =

0.27) def feW2(R\N)f'(n + 0) = f'(n-0) = f'n, f(n + 0)- f(n-0) = efn>l[f] G L2(-co;-«*)} посредством дифференциального выражения l[f] (из (0.19)) определим оператор Н(s,a) по формуле

H(s,a)f = l[f], feD{H(s,a)). (0.28)

В первой главе диссертационной работы исследованы спектральные характеристики оператора Н( е,а) в случае а <0 ив этом направлении получены результаты:

1. Оператор Н(е,а) в существенном самосопряжен.

2. Резольвента оператора Н(s,a) (im определена формулой

R+xf,ImX>0, Rlf,ImX<0,

0.29) где

Rtf = Ro±ir{f>W-1{<j±ir) y/2{x,X) \y/3{t,X)f(t)it

00 y3(x,X) \y/2{t,X)f(t)dt

0.30) t>0).

В формуле (0.30) Ж (Я), у/2 (х, X) и ц73(х,А) определены формулами (1.2.7), (1.1.31), (1.1.35), соответственно.

3. Спектр оператора Н(£,а) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, расположенной на множестве Л, причем кратность спектра равна единице, и дискретной компоненты, которая состоит из разве что счетного множества чисел ^ е , где U S2 U S3, а множества Sj (j -1,3) определены соотношениями (1.3.2), (1.3.38), (1.3.48), соответственно.

4. Оператор H(s,a) полуограничен снизу.

5. Длина лакуны Г. в непрерывном спектре оператора Н(е,а) асимптотически при Л —» +оо стремится к бесконечности. л

6. Пусть f(x)<=L (—оо;+оо), тогда справедлива формула f(x)=-^sR,(f)-^\^f^%(t,<?)f(t)dtdv. (031) k'tzSj к к Д(ст)

В формуле (0.31) Q(cr),y/3(x,cr) и А (а) определены формулами (1.2.9), (1.3.4) и (1.3.52) соответственно.

Во второй главе диссертационной работы исследованы спектральные характеристики оператора H{s,a) в случае а> 0 ив этом направлении получены следующие результаты:

1. Оператор Н(s,a) в существенном самосопряжен.

2. Резольвента оператора Н(е,а) {im ЛфО) определена формулой

Rtf,ImÄ>0,

Rxf = 1

Rlf,ImX<0, где

Rlf - K.ir (/)=w;1 (x\v2 (x, Л) (/, X)f(i)dt+ 00 г;(х,л) \w2 (t, X)f{t)dt X

R-Xf = Rair(/) = w:1 {л\*2(x,Л) JiPy(t,X)f{t)dt +

00 f/M) \ч>2 (t,x)f(t)dt

0.32)

0.33)

0.34)

В формулах (0.33); (0.34) 1¥±(Л), \f/^(x,X) и у/2{х,Л) определены формулами (2.2.1), (2.2.2), (2.1.21), (2.1.24), (1.1.31), соответственно.

3. Спектр оператора Н(в, а) абсолютно непрерывен и расположен на всей спектральной оси Л, причем кратность спектра равна единице на множестве Т и двум на множестве А .

4. Оператор Н(s,a) не ограничен ни сверху, ни снизу.

5. Пусть f(x)eL ( оо;+оо), тогда справедлива формула

00 = \м(о-)у/2(х,ст) \y/2(t,Cj)f(t)dtd<

7 +

7t

2 +oo

J ^ J (A(cr)y/(t, а), y/(x, сг)) 2 f(t)dtda.

0.35) л

В формуле (0.35) функции у/ 2 (х, а), М{р), Л (а), Л(<т) и ц/(х,а) определены формулами (2.3.22), (2.3.23), (2.3.43), (2.3.50), (2.3.51), соответственно.

В гильбертовом пространстве Ь2(-со;+со) на множестве функций 0{Н(е)), определенных условиями

D{H(s)) = def feW22(R\N)f(n + 0) = f'(n-0) = f'n, п + 0)-/(п-0) = ^, 10Ше Ь2 (-<*;+«>)) посредством дифференциального выражения ь [У] = -у (*) + й(х, р(х),0)у(х) определим оператор Н(£) по формуле

Н(8)/ = 10[/], /ЕО{Н(£)), где р(х), х<0; д(х,р(х),£) = <

0.36)

0.37) (0.38)

0.39) q(x) + £^д'(х-п), х>0, п=1 в формуле (0.39) q(x)~ вещественная , периодическая с периодом равным единице, кусочно-непрерывная функция, а р(х) - вещественная функция, удовлетворяющая условиям 1)-4) из главы 3.

В третьей главе диссертационной работы исследованы спектральные характеристики оператора Н(s) в случае р(х)е Х~ и р(х)е Х+, где Х± -множества функций р(х) —> ±оо, соответственно, и получены следующие результаты:

1. Оператор Н(£) в существенном самосопряжен.

2. Построена резольвента оператора Н(£) как в случае р(х)е Х~, так ив случаер(х)е Х+, определенная формулами (3.1.31 )-(3.1.32), (3.6.3), соответственно.

3. Пусть р(х)е Х~, тогда спектр оператора Н(£) абсолютно непрерывен и расположен на всей спектральной оси Я, причем кратность спектра равна единице на множестве Тр = {jTf и равна двум на множестве Лр ={JAP , где ЛР,ТР,ЛР.,Т? определены j формулами (3.1.13)-(3.1.15).

4. Пусть р(х)е Х+, тогда спектр оператора H(s) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, расположенной на множестве Лр, причем кратность спектра равна единице и дискретной компоненты, которая состоит из разве что счетного множества чисел tk eSp cz Тр, где множество Sp определено соотношениями Sp =St U Sp U Sp а множества St,Sp ,SP определены в свою очередь соотношениями (3.6.10), (3.6.14)-(3.6.16), (3.6.21)-(3.6.23), соответственно.

5. Пусть р(х)е Х+, тогда оператор Н(е) полуограничен снизу.

6. Получены разложения произвольной функции из Ь2(-оо;+со) по спектру оператора Н(£) как в случае р(х) е Х~, так и в случае р(х)еХ+, определенные формулами (3.5.3) и (3.8.5), соответственно.

В заключении рассмотрен оператор Н¡(s) с областью определения D{H(б)) и р(х) = ах, (Ima 0), для которого исследована структура спектра и установлено, что спектр оператора Н1(б) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с множеством Лр и дискретной компоненты, совпадающей с множеством S4 при Ima >0 и с множеством S5 при Ima<0 (через S4 обозначили множество корней функции у(А,), определенной формулой (3.9.16), а через S5 - множество корней функции у (А), определенной формулой (3.9.17)), причем собственных чисел может быть разве что счетное множество с предельными точками на + со, или же на берегах разрезов Лр (j = 0,1,.).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинаре по спектральной теории в Даггосуниверситете (руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Айгунов Г.А.), на межвузовском городском семинаре (руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Вагабов А.И.), на семинаре по спектральной теории в Московском госуниверситете (руководители -доктор физ.-мат наук , профессор Костюченко А.Г., доктор физ.-мат. наук, профессор Шкаликов A.A.) и опубликованы в работах [36-44].

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966.

2. Арсеньев A.A. Сингулярные потенциалы и резонансы. М.: Изд-во МГУ,1974.

3. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.:Наука, 1979.

4. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели вквантовой механике. М.: Мир, 1991.

5. Айгунов Г.А. О спектре одного класса одномерных операторов типа Шредингера с обобщенным потенциалом. //Математические заметки. 1997. Т.62. №4. С.617-618.

6. Березин Ф.А., Фадеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера ссингулярным потенциалом. //ДАН СССР. 1961. Т.137, № 5. С.1011-1014.

7. Бучаев Я.Г. Авторская диссертация на соискание ученой степеникандидата физ.-мат. наук. 1998.

8. Бочвар Д. А., Станкевич И. В., Чистяков А. Л. Некоторые интегральныехарактеристики распределений в применении к квантовомеханическим системам. Энтропия локализации. //Журнал физической химии. 1962. Т.36, № 12. С. 2674-2679.

9. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., Наука, 1971.

10. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. // ДАН СССР. 1950. т.73, №6. С.1117-1120.

11. Гехтман М. М. К вопросу о спектре самосопряженных расширений симметрического полуограниченного оператора. // ДАН СССР. 1969. Т. 186, № 6. С. 1250-1252.

12. Гехтман М.М. Изучение спектра некоторых неклассических самосопряженных расширений оператора Лапласа. //Функц. анализ и его приложения. 1970. Т. 4, №4. С. 72.

13. Гехтман М.М., Станкевич И.В. Обобщенная задача Кронига-Пенни. //Функц. анализ и его приложения. 1977. T.II, вып.1. С.59-61.

14. Гехтман М.М., Станкевич И. В. Спектральная теория некоторых неклассических дифференциальных операторов. Учебное пособие. -Махачкала: Даггосуниверситет. 1985.

15. Гехтман М.М., Станкевич И.В. Исследование спектральных характеристик некоторых операторов Штурма-Лиувилля, применяемых в теории кристаллов. //Дифф. уравнения. 1981. Т.18. № 12. С.2269-2270.

16. Гехтман М.М., Станкевич И. В. О классификации локальных состояний в спектрах одномерных кристаллов. Первая Всесоюзная конференция по квантовой химии твердого тела. Тезисы докладов. Л. 1982. С.53-54.

17. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз. 1963.

18. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: изд-во ЛГУ. 1975.

19. Дмитрущенков В.А. О спектре обобщенного оператора Хилла. //Функц. анализ и его приложения. 1979. Т.13, вып.4. С.69-70.

20. Желудев В.А. О собственных значениях возмущенного оператора Шредингера с периодическим потенциалом. В сб.: Проблеммы математической физики, вып.2.изд-во ЛГУ. 1967.

21. Желудев В.А. О возмущениях периодического оператора Шредингера убывающим потенциалом. // Вестник ЛГУ, серия математическая, 1968, №7, вып.2.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

23. Китинявонг Тхепсаван. Авторская диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. -1993.

24. Кочубей А.Н. О спектре самосопряженных расширений симметрическогооператора.//Матем. заметки. 1976. Т. 19, № 3. С.429-434.

25. Костюченко А.Г., Левитан Б.М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля. //Функц. анализ и его приложения. 1967. Т.1, вып. 1. С.86-96.

26. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. -М.: Наука, 1979.

27. Красносельский М.А. О самосопряженных расширениях эрмитовыхоператоров. //УМЖ. 1949. № 1. С.21-38.

28. Крейн М.Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и её приложения 1. //Матем. сб. 1947. Т.20, вып.З. С.431-491.

29. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.-Л.: Гостехиздат,1948.

30. Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальныхуравнений второго порядка. М.: Изд-во научно-технической литературы, 1950.л

31. Лугуева A.C. О разложении произвольной функции из L (-оо;+оо) задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q(x,a,s) на всей оси в случае ос<0. ДГУ. Махачкала. 1999. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 16.04.99 №1227-В99.

32. Лугуева A.C. О резольвенте задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q(x,a,e) на всей оси в случае а<0. ДГУ. Махачкала. 1999. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 30.07.99 №2528-В99.

33. Лугуева A.C. О природе спектра задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом на всей оси. // Тез. докл. на междунар. научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала. 1999. С.365.

34. Лугуева A.C. О резольвенте задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом на всей оси. // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Ест. науки. 2000. № 1. С. 19-23.

35. Лугуева A.C. Изучение спектральных характеристик задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q(x,a,s) в случае а>0. ДГУ. Махачкала. 1999. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 07.11.99. № 3385-В99.

36. Лугуева A.C. Построение резольвенты оператора H(s,a) задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q(x,a,e) в случае а>0 // Вестник ДГУ. Естественно-технические науки. 1999. N4.

37. Лугуева A.C. Исследование спектральных характеристик дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с обобщеннымпотенциалом Q(x,p(x),e) в случае р(х)е!" . ДГУ. Махачкала. 2000. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 03.03.00. № 570-В00.

38. Лугуева A.C. Изучение спектра одного класса несамосопряженных операторов Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом. ДГУ-Махачкала. 2000. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 03.03.00. № 569-В00.

39. Лугуева A.C. Исследование спектральных характеристик дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с обобщеннымпотенциалом Q(x,p(x),e) в случае р(х) е Х+. ДГУ. Махачкала. 2000. 18 с. Деп. в ВИНИТИ

40. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла. Мат. сб. 1975, 97 (139), № 4(8), с. 540-606.

41. Назаров А.Д. Авторская диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук, 1982.

42. Назаров А.Д. О спектре задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на всей оси. Функционально-дифференциальныеуравнения и их приложения. //Межв. сб. Махачкала. 1997. С. 146-155.

43. Наймарк М.А. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического оператора. //Известия АН СССР. Сер.матем. 1940. Т.4, № 1. С.53-104.

44. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

45. Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.

46. Нижник Л.П., Дюженкова Л.И. Аналитическое продолжение резольвенты самосопряженного оператора через непрерывный спектр. //УМЖ. 1968. Т.20, № 6. С.759-765.

47. Пхомассон С. Авторская диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. -1989.

48. Рофе-Бекетов Ф.С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов вектор-функций. // ДАН СССР. 1969. Т. 184, № 5. С. 10341037.

49. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

50. Тамм И.Е. О возможной связи электронов на поверхности кристалла. Phys. 2, Soviet Union. 1932, VI 733.

51. Титчмарш Э.Т. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, T.I. М.: ИЛ, 1960.

52. Титчмарш Э.Т. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, T.II. М. : ИЛ, 1961.

53. Федорюк М.В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

54. Шкаликов A.A., Нейман-заде М.И. Операторы Шредингера ссингулярными потенциалами из пространства мультипликаторов. // Матем. заметки. 1999.Т.66, № 5.

55. Шкаликов A.A., Савчук A.M. Операторы Штурма-Лиувилля ссингулярными потенциалами из пространства мультипликаторов. // Матем. заметки.1999.Т.66, № 5.

56. Avron Y.E., On the spectrum of p +v(x)+ax with v periodic and a complecx. // Y.Phys. A: Math. Gen. 1979. Vol. 12, N 12.

57. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the Solutions of certain lineardifferential equations containing a parameter. //Trans. Amer. Math. Soc. 1908. 9. P.219-231.

58. Carleman T. Über die Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen. //Ber. der Sächs. Akad. d. Wiss. Leipzig, 1936. 86. -S.l 19-132.

59. Kronig R. and Penney W.G. Quantum mechanics of elektrons in krustal lattices //Proc Royal, Soc. Scr. A, 1930, V 130, p.449-513.

60. Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren.Math. Ann. 1929. V 102, N1 S.49-131.

61. Sears D., Nate of the unigueness of the Green functions associated with certaindifferential eguations. //Canadian J. Math. 1950. 2. P.314-325.

62. Weyl H. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte Linearer partieller Differential-gleichungen. //Math. Ann. 1912. 71. S.441-479.

63. Weyl H. Uber gewonliche Differentialgleichungen mit singularen stel len und ihre eigenfunch Kioner.// Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. K.l.1909. S. 37-64.

64. Weyl H. Uber gewonliche Differentialgleichungen mit singularen stel len undzugechorigln Entwick Lunglnwill Kurlichen Fienktionen // Math. Ann. 1910.-8d. 6b.-S. 220-269.