Деформации модулярных алгебр Ли тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Общие сведения из теории алгебр Ли.

1.1 Класические алгебры Ли.

1.2 Определение когомологий алгебры Ли.

1.3 Спектральные последовательности.

1.4 Деформации алгебр Ли.

1.5 Вспомогательные утверждения.

2 Вычисление когомологий.

2.1 Вычисление Н$(Ь,Ь).

2.2 Когомологии ненулевого веса при р > 2.

2.3 Когомологии ненулевого веса при р = 2.

3 Жесткость алгебры Ли типа С?2 при р = 3.

3.1 Общие сведения об алгебрах Ли типа 02.

3.2 Вычисление Н2(Ь,Ь).

3.2.1 Вычисление Н$(Ь,Ь).

4 Деформации алгебры Ли типа С?2 при р = 2. 82 Литература

В настоящей работе изучаются деформации классических алгебр Ли над полем ненулевой характеристики. Под классической алгеброй Ли над полем К мы понимаем алгебру Ли простой алгебраической группы, либо ее факторалгеб-ру по центру.

Глобальной деформацией алгебры Ли Ь называется семейство алгебр Ли, параметризованных точками связного гладкого многообразия, одной из точек которого соответствует алгебра Ли Ь. Алгебра Ли Ь называется жесткой, если существует ее окрестность (в топологии Зарисского на многообразии структур алгебр Ли на векторном пространстве V), все точки которой являются алгебрами Ли, изоморфными Ь.

Описание деформаций простых алгебр Ли представляет интерес в связи с одной из центральных проблем теории алгебр Ли - классификацией простых алгебр Ли. Классификация простых р-алгебр Ли была получена Р. Блоком и Р. Вильсоном [1] в 1984 г. для р > 7. В 1991 г. X. Штраде и Р. Вильсон [26] анонсировали доказательство гипотезы Кострикина-Шафаревича в общем случае также при р > 7. Согласно этой гипотезе простая алгебра Ли либо является классической, либо изоморфна простой алгебре Ли картановского типа. В последние годы появились результаты А. Премета и X. Штраде по классификации простых алгебр Ли при р = 5,7. Проведенное исследование показывает, что к списку простых алгебр Ли торального ранга <3 добавляется лишь алгебра Меликяна 1,(1,1). Тонкий случай классификационной проблемы для простых конечномерных алгебр Ли при р = 2,3 представляется чрезвычайно сложным. Здесь известно несколько серий простых исключительных алгебр Ли, отличных от классических алгебр Ли и алгебр Ли картановского типа. Более того, при малых характеристиках основного поля классические алгебры не определяются однозначно своей системой корней.

В случае малой характеристики основного поля особую роль играют деформации простых алгебр Ли и близких к ним алгебр. Теория деформаций дает технику построения новых алгебр Ли и выявления связей между различными алгебрами.

Классическая теория деформаций ассоциативных алгебр и алгебр Ли начинается с работ М. Герстенхабера [8] и А. Нийенхейса, Р. Ричардсона [21] в 1960 годах. Они изучали однопараметрические деформации и установили связь между когомологиями алгебры Ли и инфинитезимальными деформациями.

Г. Браун заметил, что классические простые алгебры Ли не являются жесткими при р = 3. Над полем характеристики 3 корневую систему типа Сг могут иметь неизоморфные алгебры Ли, см. [2]. В 1970 г. А.И. Кострикин построил параметрические семейства неизоморфных простых алгебр Ли характеристики 3, которые являются глобальными деформациями алгебры Ли С 2 [12]. Позднее А.С. Джумадильдаев [6] анонсировал результат, согласно которому алгебра Ли С2 - единственная среди алгебр Ли серий Ап, Вп, Сп, Оп, допускающая нетривиальные деформации при р = 3. Полное описание глобальных деформаций алгебры Ли С2 получено А. И. Кострикиным и М.И. Кузнецовым [13]. А.Н. Рудаковым [22] установлено, что над полем характеристики р > 3 все классические алгебры Ли являются жесткими. При р = 2 некоторые деформации алгебры Ли типа (?2 были построены китайским математиком Гуанжу Шень [10].

Проблема описания деформаций алгебры Ли разбивается на две задачи:

1) Описать пространство локальных деформаций, элементами которого являются коциклы из второй группы когомологий алгебры Ли с коэффициентами в присоединенном модуле.

2) Затем решить вопрос о продолжаемости локальных деформаций. Для решения этого вопроса необходимо найти разбиение на орбиты пространства локальных деформаций относительно действия группы автоморфизмов алгебры Ли и проверить продолжаемость представителей из каждой орбиты.

Условие Н2(Ь, Ь) = 0 является достаточным условием жесткости алгебры Ли Ь (см. [13], [8]).

В работе рассматриваются все классические алгебры Ли над полем характеристики р > 2. Над полем характеристики 2 рассматриваются алгебры Ли, схемы Дынкина которых не имеют кратных ребер, то есть алгебры Ли типов Л/, .О/, Еъ, Е7, Ев и их факторалгебры по центру, а также алгебра Ли типа

Приведем основные результаты работы.

1) Разработана новая схема исследования жесткости классических модулярных алгебр Ли над полем характеристики р > 0, основанная на теории градуированных алгебр Ли.

Используемая ранее техника позволяла доказать жесткость классических алгебр Ли только при р > 3 (А.Н. Рудаков, 1971).

На основе этой техники доказана

Теорема 1 Все классические алгебры Ли над полем характеристики р > 2 являются жесткими, кроме алгебры Ли типа С2 прир = 3. Над полем характеристики 2 алгебры Ли типов Л/ (I > 1), А (I = 1(2)), Ее, Е^, факторалгебры по центру А1 (I ф 3, Ъ), .0/ (I ф 6) являются жесткими алгебрами Ли.

Жесткость алгебры ли типа (?2 при р = 3 доказывается в данной работе на основе теории модулярных представлений группы Вейля IV = IV(02).

Жесткость алгебр Ли типов Ап, Вп, Сп, £)п при р = 3 была исследовала А.С. Джумадильдаевым (1976). Жесткость исключительных алгебр Ли типов Ее, Ет,Е&, (?2 при р = 3 доказана впервые. Деформации классических алгебр Ли над полем характеристики 2 ранее не исследовались. В работе изучаются деформации алгебр Ли над полем характеристики 2, корневые системы которых имеют схемы Дынкина без кратных ребер.

Среди перечисленных в теореме 1 типов алгебр только алгебры типа I)/ (I = 1(2)) при р = 2 имеют нетривиальные пространства локальных деформаций. Однако, они не продолжаются до глобальных деформаций.

2) Найдены пространства локальных деформаций алгебр Ли типов Лз, Л5, = 0(2)), В6, З1 (I = 1(2)), £7 над полем характеристики 2. А именно доказана

Теорема 2 Пусть Ь - алгебра Ли над полем характеристики 2.

1) Если Ь имеет тип Лз, то ШтЯ2(1,Ь) = 20.

2) Если Ь имеет тип А&, то дт\Н2{Ь,Ь) = 20.

3) Если Ь имеет тип то сНтН2(Ь,Ь) = 24.

4) Если Ь имеет тип Д (I = 0(2), I > 4), то сНтН2(Ь,Ь) = 21.

5) Если Ь имеет тип Бе, то сНтН2(Ь,Ь) = 64.

6) Если Ь имеет тип (I = 1(2),), то сНтН2(Ь,Ь) = 21.

7) Если Ь имеет тип £7, то сИт Н2(Ь, Ь) = 56.

3) Исследованы все глобальные деформации алгебры Ли типа (?2 при р = 2. Найдено естественное описание Н2(Ь, Ь) как модуля над группой АиЬЬ = б'р(б):

Теорема 3 Представление вр(б) на Н2(Ь,Ь) эквивалентно композиции моро физма Фробениуса и естественного представления на Д° V, где V - естественный модуль над 5р(6).

Используя теорему 3 найдены классы изоморфизма глобальных деформаций алгебры Ли типа и доказана

Теорема 4 Алгебра Ли типа (?2 прир = 2 имеет два неизоморфных семейства глобальных деформаций. В каждом из этих семейств содержится по 2 алгебры Ли, одна из которых изоморфна алгебре Ли типа С?2 •

Опишем структуру диссертации и содержание отдельных глав.

В главе 1 собраны сведения из теории алгебр Ли, которые используются в работе. Приводятся определения когомологий, деформаций и спектральных последовательностей алгебр Ли. Определяются градуировки на алгебре Ли, которые существенно используются в дальнейшем. Также приведены формулы вычисления дифференциала основного комплекса и дискриминанта формы Кил-линга в базисе Шевалле. Доказаны некоторые вспомогательные утверждения о алгебрах Ли с невырожденной формой Киллинга.

Во второй главе вычисляются пространства локальных деформаций, то есть вторые группы когомологий. В работе предлагается следующая схема вычисления Н2(Ь, Ь), пригодная для полей характеристики;? > 2. Группа АиЬЬ содержит присоединенную группу Шевалле (?(!/) (см. [7]). Основной комплекс раскладываем в прямую сумму весовых подкомплексов, используя естественное действие максимального тора группы О(Ь). Соответствующие группы когомологий являются весовыми подпространствами в группе когомологий основного комплекса. Далее показываем, что Н2(Ь,Ь) = Щ(Ь,Ь), если характеристика р > 2 для всех алгебр Ли, кроме алгебры типа С2 (р = 3). Над полем характеристики 2 найдены нетривиальные группы когомологий ненулевых весов у алгебр Ли типов Л3, Аъ, Аз, Ё7 А (I = 1(2)) и Оп(п = 0(2)).

Затем доказывается тривиальность Щ(Ь,Ь). Для коцикла ф нулевого веса строится алгебра Ли Ь{е) над алгеброй двойных чисел К[е]. Алгебра Ь(е) имеет градуировку с коэффициентами в группе (¿(Я), где (¿(Л) - подгруппа в евклидовом пространстве, порожденная корнями. Выбирая одну из стандартных градуировок, мы получим градуировку в алгебре Ь(е) глубины 1 или 2.

Теперь можно применить индукцию по рангу алгебры и считать, что коцикл ф тривиален на компоненте ¿о градуировки. Несложные рассуждения показывают, что исходный коцикл когомологичен коциклу, для которого ф(Ь-1,Ьо) = ф(Ь-1, Ь-х) = 0. После этого можно применить теорию продолжений Картана. Дело в том, что для каждого элемента I из Ь\ —) принадлежит продолжению Картана 1Д1) пары (£ 1,Хо) и нетривиальность ф означает наличие еще одного ¿о-подмодуля в , изоморфного ¿1, но отличного от Ь\. Отметим, что именно так возникают деформации Ь{е) в работе [12]. Исследование картановского продолжения показывает, что таких подмодулей не существует. Поэтому, заменяя ф на когомологичный коцикл, можно считать, что ф(Ь\,Ь-1) = 0. Из полученных условий следует, что ф - тривиальный коцикл. Таким образом, Ь) = 0.

В третьей главе доказывается, что Н2(Ь, Ь) = 0 для алгебры Ли типа Ст2 над алгебраически замкнутым полем К характеристики р = 3. Вычисление Н2(Ь, Ь) проводится в несколько этапов. Стандартный комплекс С'(Ь, Ь) раскладывается в прямую сумму весовых подкомплексов относительно максимального тора в группе Шевалле Ог(^).

Вычисление Н2(Ь, Ь) для старшего веса 7 может быть проведено непосредственно. Однако, чтобы избежать вычислений, для доказательства тривиальности Н2(Ь,Ь) мы применяем спектральную последовательность Серра - Хох-шильда. Наибольшую трудность представляет вычисление Н§{Ь,Ь). Используя теорию модулярных представлений группы Вейля \¥ = И^б^), доказывается, что Щ(Ь,Ь) изоморфна второй группе когомологий веса 0 подкомплекса IV -инвариантов, которая может быть эффективно вычислена.

В четвертой главе найдены все классы изоморфизма глобальных деформаций алгебры Ли типа С?2 ПРИ Р — 2, отличных от (?2- Таких классов оказалось ровно два. При р = 2 алгебра Ли типа Сг изоморфна факторалгебре алгебры Ли типа Л3 по одномерному центру (алгебре Ли типа Аз). Для алгебры Ли типа -Аз в главе 2 было найдено пространство локальных деформаций. Чтобы описать структуру Н2(Ь,Ь) как модуля над группой АиЬЬ = 5р(6) используем представление алгебры Ли типа как факторалгебру Д2 V по центру, где V -стандартный модуль над 679(6). Далее находим орбиты продолжаемых коциклов л из Д V. Доказываем, что множество продолжаемых коциклов имеет ровно 2 орбиты относительно действия группы вр(6). Каждая из этих орбит дает семейство глобальных деформаций алгебры Ли типа С?2. Можно выбрать представители орбит "ф\, 1р2 таким образом, что умножение на алгебрах Ли этого семейства задается формулами хоу = [х, у]+Ьф{(х, у), г = 1, 2, £ 6 К. При нахождении орбит было также показано, что Ьфг лежит в одной орбите с Поэтому в каждом семействе содержится не более одной алгебры Ли, не изоморфной алгебре Ли типа 62- При Ь Ф О алгебра с умножением х о у = [ж, у] + У) не является ограниченной алгеброй Ли, а, следовательно, не изоморфна Оч- Таким образом получается два семейства глобальных деформаций в каждом из которых содержится алгебра Ли типа (?2 и еще одна простая алгебра Ли, не являющаяяся ограниченной алгеброй Ли.

Результаты диссертации докладывались на международной алгебраической конференции памяти А. Г. Куроша, Москва, 1998 г.; международном алгебраическом семинаре посвященный 70-летию кафедры высшей алгебры МГУ, Москва,

1999; четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященной памяти М. А. Лаврентьева, Новосибирск, 2000; XXII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2000; IV Международной алгебраической конференции, посвященной 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова, Новосибирск, 2000; на алгебраических семинарах МГУ (Москва) и КГУ (Казань) и опубликованы в работах [5], [11], [16] - [19], [29] - [32].