Когомологии алгебр Ли положительной характеристики и их применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Л ' -

/с /

\ и^мЛ^1- А/ 1 3> 56 .

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО л/ КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. А. ЖДАНОВА

На правах рукописи

ДЖУМАДИЛЬДАЕВ Аскар Серкулович

УДК 512.5+519.46

К0Г0М0Л0ГИИ АЛГЕБР ЛИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЛЕНИНГРАД — 1987

Диссертация выполнена в Институте математики и механики Академии наук Казахской ССР.

Официальные оппоненты;

доктор физико-математических наук ¡O.A. Бахтурин,

доктор физико-математических наук А.Е. Залесский,

доктор физико-математических наук A.B. Яковлев.

Вздувая организация - Ленинградское отделение МИ АН СССР.

Защита состоится "_"_ 1988 г. в _ часов на

заседании специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Ленинградском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном университете им А.А.ЗЙданова Адрес совета: I98S04,Ленинград, Петродворец, Библиотечная пл.,2, математико-механический факультет ЛГУ.

Защита будет проводиться по адресу: I9I0II, Ленинград, Набережная реки Фонтанки, 27, зал.311 (помещение ЛОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького Ленинградского университета (Ленинград, Университетская наб., 7/9). ,

Автореферат разослан "_" 1988 г.

Ученый секретарь специализированного совета, профессор

Ю.А. Давыдов

.4 1

• ' I ОБЩАЯ ХАРА1СТЕРИСТЙКА РАБОТЫ . ТА*'1 .

1 'Актуальность теми. Когомологии составляют важный раздел теории алгебр Ли. Достаточно вспомнить, что такие фундаментальные результаты теории алгебр Ли нулевой характеристики как теорема Вейля о вполне приводимости представлений полупростых алгебр Ли и теорема Леви об отцепляеыости радикала являются когомологическими. К настоящему моменту когомологии полупростых алгебр Ли полностью вычислены. Сделаны крупные продвижения в области когомологии алгебр Ли других классов, включая бесконечномерные. Все эти достижения относятся к случаю нулевой характеристики.

По сравнению со случаем характеристики нуль когомологии алгебр Ли положительной характеристики практически не были изучены. Имеющиеся разрозненные факты показывали на резкое отлично когомологической теории в случаях алгебр Ли нулевой и положительной характеристик . Возникли ряд специфических проблем и направлений в характеристике р, требовавших применения когомологических методов. Важный стимул к разработке когомологической теории алгебр Ли положительной характеристики дает нерешенная до сих пор проблема классификации простых модулярных алгебр Ли.

Цель работы. Изучить расширения представлений, разрешимые расширения алгебр Ли характеристики р>0. разработать соответствующую когомологическую теорию и на конкретных примерах алгебр Ли, прежде всего алгебр Ли картановских типов, показать применение этой теории.

Научная новизна. "Х.Результаты общего характера.

Для любой алгебры Ли (р>0) размерности п : существует модуль, не являющийся сильно уничтожаемым; всякий конечномерный модуль уничтожаем;

для любого О^к^п найдется модуль с нетривиальной к-когомологией;

когомологии неприводимого модуля могут быть нетривиальными только в случае р-модулей;

число неприводимых неизоморфных модулей с нетривиальными кого-мологиями конечно.

Для любого ненулевого конечномерного модуля (р>0): найдется нерасщепляемое (левое) расширение;

всякое его расширение вложимо в некоторое расщепляемое расширение если модуль неприводим, то он изоморфен собственному (подмодулю) фактормодулю некоторого неразложимого модуля.

Всякая алгебра Ли (р>0) размерности больше I: обладает нераацешшешм расширением;

число таких неэквивалентных расширений с помощью неприводимых модулей конечно;

любое ее разрешимое расширение вложимо в некоторое расщепляемое разрешимое расширение.

Всякий 3-коцикл алгебры Ли I. (р^О) служит препятствием к некоторому Ц "Ядру. ■

Понятия срезанных индуцированных и срезанных коиндуцирован-ных модулей совпадают.

2.Конкретные результаты. Опксаш:

нерасщепляедае расширения с помощью неприводимое модулей трехмерной простой алгебры Ли и алгебры Цассенхауза; центральные. расширения алгебр Ли каргановских типов; невырожденные инвариантные формы алгебр Ли каргановских типов; неприводимые представления модулярной алгебры Вирасоро; простые алгебры Ли с подалгеброй коразмерности 1.

Установлена жесткость общей алгебры Ли.хартановского типа над совершенным полем. Получен когомологический критерий нильпотентности алгебр Ли характеристики р>0.

Приложения. Диссертация носит теоретический характер, результата диссертации могут бить использованы в !Я7, ЛГУ, ЖШ, Казанском университете и в института математики АН Белорусской ССР.

Апробация. По результатам диссертации о'шш сделан» пленарные доклады на ХУП и XIX Всесоюзных алгебраических конференциях (1983, 1387). доклады на У Всесоюзной симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (1982), на Всесоюзных научных школах "Алгебры Ли и их приложения в математика и физике", на алгебраических семинарах МГУ, ЛГУ и Л0М11, на семинаре "Алгебра и логика", на санитаре Тбилисского математического института и институте математики и механики АН Каэ.ССР.

Публикация. Список опубликованных работ приведен в конца автореферата.

Объем работы. Диссертация содержит 248 страниц и состоит ль введения и трех глав. Библиография содержит 112 найменпваний,

■¿-на-П

СОДЕРЖАНИЕ ДЙССЕРТАЦИИ

В главе 1 приводятся предварительные сведения. Доказано,что всякая модулярная алгебра Ли обладает минимальной р-оболочкой. Этот факт позволяет снимать требования об ограниченности алгебр Ли, обычно возникающие . при изучении представлений и их кого-иологий. Понятие срезанного коиндуцированного модуля, введенное в этой главе, представляет собой конечномерный аналог понятия коиндуцированного модуля. При атом оказывается, как и в случае конечных групп, понятия срезанных иццуцированных и срезанных коицдуцированных модулей совпадают. Чтобы дать более точную формулировку отого результата введем определения. Пусть Щь)-универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли ь , А - подалгебра в Ь и И - А-модуль. Цуст-ь - центральные элементы алгебры 1/(10, соответствующие Оазисным элементам алгебра Ли I, (будем считать, что подмножество ..

задает.базис в А и а - коразмерность а в I ) и ШЬ,А)-лодалгебра в и(1) порожденная- ими и подалгебры у(А) . Напомним, что коиндуцированный модуль Со1пс1 м определяется в пространстве гомоморфизмов и(ь)-»-м над Д(л) по правилу

иль г £ 6*1.

Срезанный коиндуцированный модуль Со1всЕ м определим как подмодуль Со1п<1 и , состоящий из гомоморфизмов ЩЬ)—-VII над Д(1),А) . Определения (ерезанны>) индуцированных модулей аналогичны; 1па ы» ц(ь) ы, ХпЗ и * и.

Отметим, что обозначения и нумерации теорем,используемые в диссертации и в автореферате, несколько отличаются.

Теорема 1.Пусть к - А-модуль, полученный из А -модуля и таким способом: = а V Тогда

ТпЗ к = СоТпЗ м. я

Несмотря на теорему 1 мн работаем только со среэанно коип-дуцированшми модулями. Причиной тому следующее обстоятельство: как и в случае бесконечномерных кошздуцированных модулей, среэанно коиндуцнрованшй модуль, наряду со структурой модуля над исходной алгеброй Ли, обладает дополнительной структурой модуля над ассоциативной коммутативной алгеброй - над алгеброй разделенных степеней. Более точно 111 , всякая алгебра Ли Ь с подалгеброй А коразмерности а над полем характеристики р обладает гомоморфизмом в некоторую общую алгебру Ли картановского типа (й) ; если в А не содержится нетривиальный идеал алгебры ь , то гомоморфизм не имеет ядра. Игами словами, для любой модулярной алгебры Ли Ь существует алгебра разделенных степеней и ■ Оа(ш), на которой всякий элемент Ь действует как специальное дифференцирование. Мы называем и = Сохло. Р, где Р -трипиалышй А-ыодуль, структурным модулем. Тогда СсЛш! и обладает структурами модуля над Ь , над и и выполнено условие

о(ид) « е(и)й + иеСе), е и€и,

Такие модули мы называем (Ь.и)-модулями. Пусть рг:У,(ь)— естественная проекция, ^ = (о.....о,1,0,...,о) - на 1-ом месте стоит I (число координат определяется из контекста) и

И (т) = {«=> ЗЬ 1 0« ^ ^ рш1 } .

Следующий результат нам понадобится при вычислении когомологии

алгебр Ли картановских типов.

Теорема 2. (L,U) -модуль SÓIH3 и изоморфен (Ь,и>модулю ием ? в котором действие ъ определяется по формуле

1(и%) «» 1(u)®e + ^__I]ux{oi)@pr(eot l)g. и «еГ(й)

О

В главе 2 установлен когомологические результаты общего характера. Для их формулировок необходимы определения.

Назовем модуль н алгебры Ли I : к-особым, если его к-кого-ыологии нк(ь,м) отличны от нуля; уничтожаемш (исчезаемш), если для некоторого конечномерного модуля Н существует мономорфизм й->п такой, что когомологические гомоморфизмы

нк(ь,м) —> Hk(l,H) будут нулевыми для всех к^о ; сильно уничтожаемым (сильно исчезаемым), если более того, Н (ь,н) ■> о для всех к>0 , Приведем основной результат главы 2.

Теорема З.Для любой алгебры Ли L размерности п над полем характеристики р имеют место следующие факты:

а)найдется модуль, не являющийся сильно уничтожаемым, в то же время всякий L -модуль уничтожаем;

б)для любого o^-k^n существует к-особый модуль, причем всякий такой неприводимый модуль является р-модулем и количество

. особых неприводимых модулей конечно.»

Здесь и в дальнейшем, если не оговорено противное, все алгебры и модули предполагаются конечномерными и рассматриваются над полем Р характеристики р>0.

С точки зрения приложений особенно интересны когомологии небольших степеней. Наломним, что f-когомологии отвечают за расширения модулей. Если последовательность модулей

<а): О -*> 3 Ы —О

точна, то будем говорить, что модуль и или эта последовательность задает расширена ыодуля и и левое расширение модуля з. Напомним, что последовательность (а) называется расщепляемой, если определен мономорфизм М —ы , делающий следующую диаграмму коммутативной:

о ————.

Теорема Вейля утверждает, что над полем характеристики нуль всякое расширение полупростой алгебры Ли расщепляемо. Будем говорить, что расширение (а) влоюшо в расширение

если имеется коммутативная диаграмма

вертикальные стрелки в которой суть мономорфизмы.

Теорема 4.Для любого конечномерного Ь-модуля и ;

а)найдется нерасщепляемое (левое) расширение, причем в случае неприводимости ы такое расширение можно выбрать неразложимым;

б)всякое расширение модуля ы вложиыо в расщепляемое расширение« Когомологии степени 2 отвечают за расширения алгебр Ли. Как

и выше, алгебра Ли в или последовательность алгебр Ли

(Ъ)I О -».й -»<1 —»-1 —Э>0

называется распшрением алгебры Ли Ь с ядром Н , если (Ъ)-?очна.

3-0847

Расширение алгебр Ли называется разрешимым, если ядро - разрешимо. Вложения расширений и их расщепляемость определяются как в случае модулей. Теорема Леви утверждает, что в случае характеристики нуль всякое разрешимое расширение полупростой алгебры Ли расщепляемо- Иными словами, всякий ?.-особый модуль полупростой алгебры Ли характеристики нуль есть нулевой модуль.

Теорема 5.Для любой алгебры Ли 1 размерности большей I :

а)найдется нерасщепляемое расширение, причем число нерасщепляе-• шх расширений с помощью неприводимых модулей{ с точностью до эквивалентности) конечно;

б)всякое разрешимое расширение алгебры Ли ь вложимо в разрешимое расщепляемое расширение, н

Пространство 3-когомологий связано с изучением ь -ядер. Дусть В -алгебра Ли с центром'и ' . НапЬмним, что пара (н,г) называется Ь -едром с центром . м , если задан гомоморфизм I алгебры Ли Ь в алгебру Ли внешних дифференцирований алгебры Е, (подробности см. [ 23). Всякому Ь -ядру можно сопоставить 3-ко-циклс коэффициентом вн.. Оказывается, верш и обратное.

Теорема 6. Дусть М -пройзвольный Ь -модуль. Всякий 3-коцикл модуля м служит препятствием к некоторому 1 гдцру с центром Ы. а

Прокомментируем эти,результаты; теорема 4 дает уточнение теоремы Джекобсона о существование неразлоишого модуля ([3], стр.225^ теорема 56 в случае абелевых расширений ранее была установлена Ивасавой ([4]); в [5,6,7] Хохшильд установил, что всякое препятствие к .X—ядру - уничтожаемой обратно, всякий уничтожаемый 3-коцикл служит препятствием к Ь-ядру; то, что существуют к-осо-О'ые модули было высказано Селигманом в , • ,.

Обратимся к другим результатам главы 2. Цусть ь1 - копрасое-диненный ь -модуль и

Б°(ь) - Ь',

Ck(L) = < y<=ck(b,l') 1 <VU£.....1k)'1lt+I> *

.....Ч-I'W'V ** °>

«*»,) - < y6ck(l,l') \ 4y € Можно проверить, что

О. Таким образом, в ) содержится коцепной подкомплекс Л) - © Ck(L).

Пусть = <£> Hk(L) - когомологии комплекса cf*(L).

Теорема 7.Для любого к^О, нк+1(ь,Р) /5Г1Гк(ь).0 Следствие. Пространство центральных расширений н2(ь,р) изоморфно подпространству в H*(L,L') , состоящему из классов коциклов, сохраняющих естественное спаривание ( , )i

Этот факт играет важную роль при вычислений центральных расширений алгебр Ли картановских типов. Пусть L = (+> ii -алгебра Ли картановского типа, c/L « © L. и^»® L . Для

i>o 1 ,i<0 1

(L,U)-модуля Л/ назовем ¿60~модуль М »фб^Ц 1(g)

основанием vK/ .

Теорема 8.Цусть L - алгебра Ли картановского типа, У -соответствующая алгебра разделенных степеней и <Д/- (L,и)-модуль с

основанием и . Тогда для любого к^О, 1с ,

ио

Следствие. При условиях перечисленных выше, Е^а'ы) = ML° Ф hHLo,M)Ф(Л

Фнга0,ы)Ф Ф н^оео.м). 0 *>о х 0

Здесь использованы такие обозначения: если и -модуль над алгеброй Ли <5 , то И*3 - подмодуль инвариантов и М' - сопряженный о-модуль. Кроме того, н?(#0,м) - когоыологии коиеп-ного подкомплекса порожденного классами коциклов 4>в ск0бо,ы)

таких, что 441^ »....Ц ) - о, 1а +...+1к И t.

I к

Относительно нильпотентных алгебр Ли в главе 2 доказана

Теорема 9. Алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем является нильпотентной тогда и только тогда, когда она имеет ровно один особый модуль.

Если Ь нильпотентна и и - структурный модуль^ соответ-ствунций нулевой подалгебре, то НчЬ,и) «Д ь. в

В главе 3 указаны конкретные примеры использования когомологических методов в теории алгебр Ли характеристики р.

По теореме 5 для любой алгебры Ли характеристики р можно ставить задачу об описании нерасщепляемых расширений с помощью неприводимых модулей. Любопытно отметить, что работы Картана о неприводимых представлениях простых алгебр Ли первоначально были вызваны в связи с такой задачей (см. по этому поводу замечание Еурбаки 19], стр,469). Как мы сейчас понимаем, по теореме Леви для полупростых алгебр Ли характеристики нуль эта задача неинтересна.

Теорема 10. Алгебра Ли 81(2), р^З, имеет ровно два неприводимых особых модуля", а именно одномерный Р и (рЧ)-мерный V;

ак(81(2),Р)^Р, к=0,э; нк(81(2),У) «Р© Р, к=1,2. ш

В частности, алгебра Ли а1(2) имеет ровно один неприводимый модуль с нерасщепляеыым расширением.

Следующая по сложности простая алгебра Ли изоморфна алгебре Цассенхауза. Напомним ее определение:

(т)»<е1 1 -К К рга-2, -» (Х(1))=ха"1) >.

Введем в рассмотрение (шЬыодуль ^ , определенный в пространстве и = Од-СтХю формуле а иЭ(у)+4'3(и)у. Заметим, что ^ - неприводим, если t>! о,1 ив содержится непри-

водимый подмодуль 17^ рш-2у> « Зададим линейные отображения ->-ог(т), по правилам

Т^г иТм—»»^(и) , -> х(рт~13и .

х т

Напомним, что для ч* Сс%(\/^(т) ,и), у с (¡'/^(т) ,11+) их спариваний определяется так: Ч^Ч5 (ХД) * - ЧЧХ)У(Х) .

Оказывается, алгебра Цассенхауза имеет ровно восемь (р>7) модулей (в классе неприводимых модулей) с нерасщепляешм расширением. Более точно, справедлива

Теорема •К. Расширение алгебры Ли '^(ш) с помощью неприводимого модуля и расщепляемо за исключением следующих случаев

ы = и_2 ,и_г , и2, и3 , и5 , и7.

В исключительных случаях базисные коциклы й размерность простран-2

ства Н (Ух(т),и) приведены в таблице 1.П

Доказательство этого факта основано на следующем результате, который, в свою очередь, вытекает из теоремы 8.

Тборема 12. Пусть н -неприводимый модуль над У/Да) . Тогда ——————— 1

н (и1(т),11)=оэа исключением случаев ы» \ и t £2/р2, тричем

нк(у;1(т),и1.) <= ® ф Н*"1^) ®Кк-2(^), к? о

ТАБЛИЦА Я. .

м Базисные коциклы

I

и„

-гАй6 + 9 "И/"а 5 , р> 7

Р> 7

к к к юг3лгр +2+ 5-о4 лгр г5 л зр , о<к-си, р>5

и? -эли3, зял-э3, -гг2лт>рЕ+2о-гк-и

т-Г га+1

ри-2

. .Л Ь-С р<пЧ1-1

'-1

к к АД>Р , 0<к<т, ■ .''вчК^ , Оск<ю,

Зю-2

1= г

3 л 4 _к Д

Л.7* • э ' 0<к^а<».

к 1 в Р ЛЪР +Р

т-1\

^ркрв+рк ^рв.-5.рк+р1

2 /

Р,7

Кроме того, в доказательстве теоремы 12 используется явное строение пространства 2-когомологии максимальной нильпотентной подалгебры ^ f<ç рт-г)с коэффициентом в тривиальном

модуле. Показано, что

dira Н2(^) = (m3+9m2+I4m)/6 - - (mî)^^ ,

в частности, при m - I пространство H2(î^) 4-мерно при р>7, 3-мерно при р=7 и 2-мерно при р=5.

Вычисление н2( X г) , более общо', изучение пространства центральных расширений градуированной алгебры Ли основано на следующем методе. Пусть класс коцикла Ч> g,z2(l) • нетривиален. Назовем однородные элемента ведущими, если

v(x,Y) ¿о , ночЧХ',*') = о , как только (здесь

запись вида ^ = i означает, что ïé ^ ). Тогда, нетрудно показать, что X ф С1*»1! - (т называем X - младшим, a ï старшим ведущими элементами). Таким образом, задача нахондения центральных расширений сводится к решению двух подзадач: 1)к нахождению младших ведущих элементов, т.е. пространства н2(1) и 2) к вопросу об описании старших ведущих элементов. Первая .задача, как правило, решается сравнительно легко. Задача нахождения старших ведущих .элементов достаточно утомительна. Поэтому при вычислении Ы (ь) для алгебр Ли картановских типов мы не всегда пользуемся! этим иетодоы( h2(L) »H2(l,î)),

Другой метод, используемый при описании центральных расширений алгебр Ли картановских.типов;базируется.на следствии теоремы 7 и на том обстоятельстве, что коприсоединенные "модули обладают структурами очень похожими на (I,и)"-модули. Для формулировки соответствующего результата ввёдем'' обозначения: определим линейное отображение ît алгебр! разделанных степеней и в р по

правилу X. (х )= ij д t где б «2] (P положим Sq.ivib)»

/ Ш. r) i 1 J

■ Sj 1 Vj через А обозначим спаривание коцепных комп-х, J

лексов и их когомологий соответствующее естественному билинейному отображению L'xt

Теорема ^З.Дусть ъ -простая алгебра Ли картановского типа

wn(n>, ап(в), Нд(й), Р>3, Kn+I(m), р$?3,

Кп+1(5), р> 3, о * -2(jnod р).

Тогда h2<l,P) тШЧх.) и Я?(Ь) -О за исключением случаев приведенных ниже

Базисные коциклы для H^L) dim H^d)

(ad3)p , Odc-cm m-I

a3: x<«W-W?(xW>te

(ad x_i)pki, Оск^п^, ed ii.Ij

adx<e>,

Д sx(<*}—■¡►(г-^)^! n5-2(mod p) i

(ad x^)* i, 0<ki<.m1, (a4 i)p OC^COq

-*>A, y-y (2- ^JxiP^ix^

w2(5),p»3 Wi(m),p>3

V5)

Kn+I(5).

a»-3(modp) fi=-2(modp)

S

ПН-1+

+ £<вг s-2(modp)

ш-2п-Г

2n+2

(здесь га =.2 и I - множество, элементами которого индзк-

снруется образующие алгебры разделенных степеней соответствующая к ь ). Яри ь=зп(5), р^З в н2(Ь,Р) можно выбрать базис, СОСТОЯЩИЙ ИЗ классов КОЦИКЛОВ ЗС^^Зц^) » 1<з и 21 ^Л 1(1, оск^^. в случае п=2 . В частности,

/п+1\

Ц2(3П(Й),Р) = V 2 Г 5п,2(т_зЬ н

Еще одна важная область применения когомологических методов касается программы исследования простых алгебр Ли характеристики р>7. Мгл имеем в виду часть программы А.И.Кострикина и И.Р.Шафа-ревича об изучении деформации алгебр Ли картановских типов. Пусть ь =(+) - градуированная алгебра Ли и -фильтрованная алгебра Ли. Если ассоцированная с Ь6 градуированная алгебра Ли изоморфна Ь , то % называется \ ^-деформацией алгебры I . В алгебрах Ли картановских типов градуировки нолю задать многими способами. Например, в 1 = '.'/^(5) можно задать (12-,...,^) -градуировку: * 2,^(с^-^^Назовем алгебру Ли х, =я|й)хееткой, если всякая {ь^-деформация изоморфна ей самой (градуировка стандартная, т.е. »...«а =1 ) и сильно жесткой, если это верно для любой (11,...дп) -градуировки { 1£, ...^-произвольные положительные целые числа).

Теорема 14. Над совершенным полем характеристики р>0 общая алгебра Ли картановского типа является жесткой. В случае алгебраического замкнутого поля алгебра Ли »п(й> является сильно жесткой тогда и только тогда, когда 5 имеет вид .23 (и +?<.<)£, , где и - целое ■ положительное число, = о или I.

Всякая простая алгебра Ли с подалгеброй коразмерности один

над совершенным полем изоморфна одной из следующих алгебр Ли: а!(2), '»У1(т)(р>2), «1(т) = \ (Р=г) О.

Выделим основные моменты доказательства этой теоремы. Отождествляя пространства алгебры Ли L и ее {-деформации £ видим, что умножение в & можно определить в виде

7

i" О

причем степенной ряд ^¡'Kt1 задает формальную (в смысле

l^v 1

Гйрр.тйнхабера НО]) деформацию алгебры Ли L . Пусть H,(L,L)-когомологии коцепного подкомплекса в C+(LPL) порожденного коцепями сохраняющими фильтрацию, т.е. такими у Ск(Ь,и , что Vf(xI,...,xk)|> |xIl + ...+ |xk| . Предположим, что

классы коциклов задают базис в H+{1,L) . Назовем

алгебру Ли L максимально продолжаемой, если в-параметричес-

s

кая локальная деформация -SUt^ продолжаема. Можно показать,

что понятие максимальной продолжаемости не зависит от выбора базисных коциклов Ч^,. •., yVB. Более того, для максимально продолжаемой алгебры Ли всякая {ь^-двформация получается из фиксированного максимального продолжения путем специализации параметров. Оказывается, алгебра Ли v/u(m) - максимально продолжаема. Кроме того, максимальное продолжение можно выбрать таким способом, что соответствующее умножение будет задаваться точно так же, как и в исходной алгебре Ли «п(й).с единственным исключением состоящим в замене специальных дифференцирований ^,161,на их деформации D± , i € I. Явные вычисления показывают, что систему дифференцирований {D;L|i€x}

можно"деформировать еще раз, что полученная система-^ 1 iSxj- будет удовлетворять условиям leí.

Как видно из теоремы ÍI алгебра Цассенхауза имеет ровно одно нерасщепляемое центральное расширение (р>3) WjGn) умножение в которой можно определить формулой

Л-*

По аналогии с характеристикой нуль ш называем w;j-(m) модульной алгеброй Вирасоро. В последнем параграфе главы 3 речь идет

0 неприводимых представлениях модулярной- алгебры Вирасоро. Пусть

= <0^,2 i нильпотентная подалгебра в tfjtia) и (z)u

эндоморфизм.соответствующий центральному элементу z в модуле ы.

Теорема Ï5. В случае алгебраически замкнутого поля характеристики р> 3 имеет место взаимно-однозначное соответствие между следующими классами неприводимых модулей:

а)над ffj(ia) = в1(2) , (z)?{ ^ О i

б)над \Ы), <а)ц t О ;

в)множеством пар (Uj.tL, ) , где Mg- - неприводимый модуль над sl(2) и и\0 неприводимый ¿?2-иодуль такой, что £

Напомним, что через мы обозначаем универсальную обер-

тывающую алгебру алгебры Ли L . Для подалгебр.! й<5 (и) содержащей элемент а , обозначим через ЯК3) локализацию UUi) по идеалу <z> , т.о. (ЦЗ) -алгебра дробей вида £их,

i€Z . Следующая переформулировка теоремы 15 кажется более привлекательной:

(m)) =Щol(2))0 Û(&2) « l](¥5Ы)).

{по-видимому, j wiûï-ôaa -Кириллова о телах частных справедлива и ь cuyuau характеристшш

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1 .Rûd'iord D.K. Divided power structures on ¡¡¡.pi ulgobrus t.ï.u

eahüddirig3 Lie algebras into special derivation ttigabraa//J ra—I9bb,-Vol.98, H*I.-1M43-I70.

2.Mori Ii. On the three-diicenaional cohontoiogy group of ¡/i.e. ¡ilbti, га-'гз//J .Math.Soc .Japan.-1953.-Vol.5,Mü2.-P.I7il'-Iä3.

3. Джекобсон H. Алгебры Ли.-M.:Мир, 1964.

4.1wasawa К. On the representations of Lie algebraa//Japan,J, Math.-1948.-Vol.19.-P.405-426. 5.Hochohild G. Lie algebra kernels and cohomology//Amer.J. ilath.-1954.-Vol «76.-P. 698-716.

Ê.Hoohflhild G. Cohomology classes oí finite type and finite dimensional kernels for Lie algebraa//Ajner.J.MatU.-I954.-Vol.76.-P.763-778.

7.HochiWíd G. Mote on Lie algebra kernels in characteristic p//

Proc.teer.Math.Soc.-1956.-Vol.7,-P.551-557.

8.Sellgraan G.Modular Lie algebras.-N.¥. sSpringer-Verlag, 1967.

9-Бурбаки H. Группы и алгебры Ли, глЛ-З.-М. :Мир, Í975.

ÏO.Gerstenhabûr lu.On the deformations of rings and algebras// Ann.Kath.-1964.-Vol.79.-P.59-103»

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ I.Деформации общей алгебры Ли картановского типа//ДАН СССР,-1980.-T.25Ï, №Ô.-C.i289-Ï292.

2.Относительные когомологии и деформации алгебр Ли картановских типов//ДЛН CCCP.-Í98Í.-T.257, F5.-C.Í044-Í048. З.Одно замечание относительно пространства инвариантных дифререн-циальных,операторов//Вестник МГУ, сер.мат.ыех.Д982.-№2 -С.49-54. 4.0 когомологиях модулярных алгебр Ли//Мат.сб.,-198z.-T.l'l'3 (Í61), «0.-С. 132-349.

5.Неприводимые представления сильно разрешимых алгебр Ли полохител* ной характеристики//Мат.сб.-1984.-ТЛ23(165),№2.-C.2i2-229.

6.Центральные расширения и инвариантные формы алгебр Ли картановских типов положительной характеристики//Функ.ан. и его прилЛ984. -Т.18, РА.-С.77-78.

7.Простые алгебры Ли с подалгеброй коразмерности один//УМН.-1985. -Т.40, ■¡¡4.-C.I93-Ï94.

8.Центральные расширения алгебры Цассенхауза и их неприводимиэ представления//!,(ат.сб.-1985.-Т. 126(168) ,Н°4.Ч3.473-48&.

9.Абелевы расширения модулярных алгебр Ли//Алгебра и логика.-1985.-Т.24,К?1.-С.З-12.

10.Обобщенные элементы Казимира//Изв./Л СССР,сер.мат.-1985.-Т.49, -С.1107-1117.

II. 2-когомологии нильпотентной подалгебры алгебры Цассенхауза// Изв. вузов, мат.-1986.-К.-С.59-61.

•12.К теореме Леви для алгебр Ли характеристики р //УМН.-1986,-Т.41, ¡№.-0.171-172.

13.Модулярные и целочисленные когомологии алгебр Ли//Тезисы докл. XIX Всесоюзн.алгебр.конф, Львов.-1987.-С.83. £4.Когомологии и расширения алгебр Ли характеристики р//Вестник АН Каз.ССР.-1988.-'Р1.-С.