Диффеоморфизмы и потоки на гладких многообразиях со свойствами отслеживания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Тодоров Дмитрий Игоревич

ДИФФЕОМОРФИЗМЫ И ПОТОКИ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ СО СВОЙСТВАМИ ОТСЛЕЖИВАНИЯ

Специальность 01.01.04 — Геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2014

2 4 ИЮЛ 2014

005550806

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических на-

профессор ПИЛЮГИН Сергей Юрьевич, Санкт-Петербургский государственный университет, профессор

Официальные оппоненты:

МАЛЮТИН Андрей Валерьевич, доктор физико-математических наук, ПОМИ РАН, ведущий научный сотрудник

БЕГУН Евгения Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения, доцент

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций имени проф. М. А. Бонч-Бруевича

Защита состоится 24 сентября 2014 г. в 18 часов на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, В.О. 10 линия 33-35, ауд. 74.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайте http://spbu.ru/science/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-i-svedeniya-o-zashchite.

Автореферат разослан 'УУ" ¿¿КЪЛЯ 2014 г.

У*,

Ученый секретарь диссертационного совета

Нежинский Владимир Михайлович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Классической задачей при изучении глобальной структуры множества диффеоморфизмов замкнутого гладкого многообразия является задача о характеризации множества диффеоморфизмов, топологически сопряжённых с их С1-малыми возмущениями. Такие диффеоморфизмы называются структурно устойчивыми (определение структурной устойчивости восходит к Андронову и Понтрягину).

Вопросу об условиях, при которых диффеоморфизм / или векторное поле X являются структурно устойчивыми, посвящены многочисленные исследования.

В последнее десятилетие появились работы, в которых структурная устойчивость характеризуется в терминах свойства отслеживания приближённых траекторий (псевдотраекторий).

Так, было показано, что С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания, совпадает со множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. Аналогичный результат был доказан для векторных полей без точек покоя.

Позднее оказалось, что структурную устойчивость можно характеризовать, накладывая дополнительные условия на свойство отслеживания; так, показано, что липшицево свойство отслеживания эквивалентно структурной устойчивости.

Цель работы

Цель работы состоит в нахождении новых достаточных условий структурной устойчивости диффеморфизмов и потоков на замкнутых гладких многообразиях.

Методы исследований

В качестве основного инструмента при изучении диффеоморфизмов используется теорема Мане о необходимом и достаточном условиях структурной устойчивости. Технически, применение теоремы Мане сводится к использованию дискретного аналога теоремы Плисса о связи между разрешимостью систем разностных уравнений и гиперболичностью последовательности коэффициентов. Доказательство теоремы, усиливающей этот дискретный аналог теоремы Плисса, приводится в приложении.

При изучении потоков дискретный аналог теоремы Плисса используется для доказательства гиперболичности неблуждающего множества и выполнения строгого условия трансверсальности. Классическая теория гиперболических систем, в свою очередь, гарантирует, что выполнение двух этих свойств эквивалентно структурной устойчивости в случае отсутствия точек покоя.

Основные результаты работы

Доказывается эквивалентность структурной устойчивости и липшицева обратного отслеживания для диффеоморфизмов и гладких векторных полей, гёльдерова обратного отслеживания для диффеоморфизмов, и одного из вариантов предельного свойства отслеживания.

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты позволяют характеризовать множество структурно-устойчивых систем с помощью различных свойств липшицева обратного и предельного отслеживания.

С точки зрения приложений результаты диссертации можно интерпретировать как доказательство невозможности хорошего численного приближения негиперболических систем.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы были изложены на следующих конференциях и семинарах:

1. семинар в Boston University - Бостон, США, 2013;

2. семинар в Georgia Institute of Technology - Атланта, США, 2013;

3. семинар в Northwestern University - Чикаго, США, 2013;

4. Динамика, бифуркации и странные аттракторы - Нижний Новгород, Россия, 2013;

5. International Conference Beyond Uniform Hyperbolicity-Бедлево, Польша, 2013;

6. Dynamical Systems: 100 years after Poincare - Хихон, Испания, 2012;

7. Dynamics, Topology and Computations - Бедлево, Польша, 2012;

8. ICTP-ESF School and Conference in Dynamical Systems -Триест, Италия, 2012;

9. семинар в Université de Bretagne Occidentale - Брест, Франция, 2012;

10. семинар в IRMAR - Ренн, Франция, 2012;

11. IUTAM Symposium on 50 Years of Chaos: Applied and Theoretical - Киото, Япония, 2011;

12. семинар по динамическим системам в лаб. им. П.Л. Чебы-шёва - Санк-Петербург, Россия, 2011, 2012, 2013.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в печатных работах автора [1-3] в рецензируемых научных журналах из перечня ВАК, ссылки на которые приведены в конце автореферата.

Работа [1] написана в соавторстве. Диссертанту принадлежит доказательство для случая класса методов ©s, соавторам -постановка задачи, введение и доказательство для случая класса методов 9f.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения и списка литературы. Список литературы включает 42 названия. Объём диссертации 72 страницы.

Содержание диссертации

В первой главе приводится обзор имеющихся результатов, связанных с липшицевым отслеживанием для диффеоморфизмов, определяется липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов и доказывается его эквивалентность структурной устойчивости.

Пусть / - диффеоморфизм класса С1 замкнутого гладкого многообразия М с римановой метрикой dist. Здесь и далее всегда будут иметься в виду многообразия гладкости С00. Обозначим т = dim М. Пусть d > 0.

Определение 1. Будем называть ¿-псевдотраекторией / последовательность {xk}keZ точек М, для которой выполнены неравенства

dist(a;fc+i, /(яг*.)) < d, к е Z.

Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживания псевдотраекторий, порождённых двумя классами методов.

Определение 2. Будем называть d-методом класса Qs семейство непрерывных отображений {Фк}ке%, Фк'- М -» М, для которого выполнены неравенства

dist(V>fc(:r), f(x)) <d, х е M, к е Z.

Последовательность {xk}keZ точек М называется траекторией ci-метода {фк} класса Э3, если

хк+1 = фк(хк), к е Z.

Определение 3. Будем называть ¿-методом класса Qt семейство непрерывных отображений {фк}кеz, фк : М -* М, для которого выполнено следующее:

Фо = И;

dist(/(^fc(x)),^fc+1(rr)) < d, х е M, к е Z.

Последовательность {xk}keZ точек М называется траекторией d-метода {фк} класса 0£, если существует такая точка х е М, что

Хк = Фк(х), ksZ.

Определение 4. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса 03 (класса 0г) на траектории точки р е М, если существуют такие положительные константы d0, L, что для любого ci-метода {фк} класса 0Я (класса 0t) с d, ^ do найдется такая траектория {хк} метода {фк}, что выполнены неравенства

dist (xk,fk(p))<Ld, keZ.

Определение 5. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса 0а (класса 0t), если он обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно этого класса на траектории каждой точки ре М. Будем писать, соответственно, / е LISPs или / е LISP*.

Рассмотрим множество Diff1(M) гладких диффеоморфизмов М на себя. Хорошо известно, что любое гладкое замкнутое многообразие вкладывается в R" для некоторого натурального п. Тогда можно отождествить касательное пространство ТХМ и пространство Мт <= Еп для любой точки х е М.

Пусть / е Diff1(M). Дифференциал Df(x) действует из одного m-мерного подпространства ]Rn в другое m-мерное подпространство Rn. Определим расстояние между диффеоморфизмами fi, /2 е Diff1(M) следующим образом:

Plifi, /2) = Ро(/ъ /2) + sup \\Df(x) - Dg(x)\\,

хеМ

где || • || - стандартная операторная норма и /ЗоС/ь/г) = maxmax (dist(/i(х), f2(x)),dist(f1-1(x), ^(х))) .

Очевидно, pi является метрикой на пространстве Diff1(M). Топологию, порождённую такой метрикой, называют С1-топологией.

Определение 1. Диффеоморфизм / называется структурно устойчивым, если существует такая окрестность U диффеоморфизма / в С1-топологии, что любой диффеоморфизм д е U топологически сопряжен с /.

Множество структурно устойчивых диффеоморфизмов будем обозначать через S.

Основным результатом главы является следующая теорема:

Теорема 1. Следующие условия эквиваленты:

• диффеоморфизм f структурно устойчив

• / е LISPs

• / е LISP*.

Во второй главе определяется липшицево обратное отслеживание для потоков и доказывается его эквивалентность структурной устойчивости.

Пусть Ф — поток на замкнутом гладком многообразии М с римановой метрикой dist. Пусть d > 0.

Определение 6. Будем говорить, что отображение ф : К —► М является d-псевдотраекторией для потока Ф, если для любого te R

dist (ij)(t + s), Ф(а, ф(г))) <d, se [-1,1].

Определение 7. Будем говорить, что гладкое отображение Ф : R х М —* М является ¿-методом для потока Ф, если для любого

t е Ш

dist (Ф (t + s, х), Ф(а, Ф (t, х))) <d, se [-1,1],

и Ф(0, х) = х для любого X 6 М.

Обозначим через Rep множество всех возрастающих гомеоморфизмов а : R —*■ М, для которых а(0) = 0. Введём также следующее обозначение:

Rep (¿) = |ае Rep

a{t) - a(s) _ l

t-s

t Ф s

Определение 8. Будем говорить, что поток Ф обладает свойством липшицева обратного отслеживания (Ф е LISP), если для любой точки ре М существуют такие константы L,dQ, что для каждого (¿-метода Ф при d < d0 существуют такая точка р^ е М и такая репараметризация а е Rep (Ld), что

dist^(t,p),y(a(t),p{d))) < Ld, te R.

Пусть поток Ф порождён С1 векторным полем X на М. Фиксируем вложение многообразия М в Мп для достаточно большого п.

Обозначим через DX дифференциал отображения X : М —* R", соответствующего векторному полю X при вложении многообразия М в1™. Зададим расстояние между двумя гладкими векторными полями X, Y на многообразии М следующим образом:

Pl(X, Y) = р0(Х, Y) + max \\DX(p) - DY(p)||,

рем

Pd(X,10 = max|X(p)-Y(p)|.

рем

Несложно проверить, что так определённая функция р\ - метрика на множестве гладких векторных полей на многообразии М.

Определение 2. Векторное поле X называется структурно устойчивым, если существует такая его окрестность U в пространстве X (с топологией, порождённой метрикой р{), что для любого векторного поля Y е U существует гомеоморфизм М на себя, который отображает траектории потока, порождённого полем X в траектории потока, порождённого полем Y, сохраняя их ориентацию.

Точка х называется точкой покоя для потока Ф, если х) = х для любого t 6 R.

Основным результатом главы является следующая теорема:

Теорема 2. Пусть у потока Ф нет точек покоя. В этом случае поток Ф структурно устойчив тогда и только тогда, когда Ф 6 LISP.

Во третьей главе определяется гёльдерово обратное отслеживание для диффеоморфизмов и доказывается его эквивалентность структурной устойчивости при некоторых значениях экспонент.

Пусть / — диффеоморфизм замкнутого гладкого многообразия М с римановой метрикой dist.

Определение 9. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показателем в > 0 на траектории точки р е М, если существуют такие положительные константы d0, L, что для любого d-метода {фк} класса Gs с d < d0 найдётся такая траектория {хк} метода {фк}, что выполнены неравенства

dist(xk,fk(p))<Ld9, ке Z.

Определение 10. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показа-

телем в > 0, если он обладает гёльдеровым свойством обратного отслеживания с показателем в на траектории любой точки р е М. Будем писать, соответственно, / е Н]БР(#).

Для формулировки основного результата понадобится следующее определение:

Определение 11. Пусть 6 е (0,1]. Мы будем обозначать через ВШ1+5(М) множество таких диффеоморфизмов / : М —► М, что для любой точки р существуют такие окрестность нуля V с ТРМ и число В, > 0, что выполняется следующая оценка:

(Ш (/(ехр»), ехр/(р) (1>/(р)«)) ^ Я |у|1+г , V е V.

Замечание 1. Очевидно, что поэтому

можно говорить о структурной устойчивости / е Б1йг1+'5(М).

Основным результатом главы является следующая теорема:

Теорема 3. Пусть / е БЖ1+5(М), 5 е (0,1] и пусть число в таково, что 1 > 0 > 1/(1 + 5). Диффеоморфзим / структурно устойчив тогда и только тогда, когда / е Н18Р(0).

В четвёртой главе приводится обзор имеющихся результатов, связанных с двусторонним предельным отслеживанием для диффеоморфизмов, определяется липшицево двустороннее предельное отслеживание для диффеоморфизмов и доказывается его эквивалентность структурной устойчивости.

Пусть / — диффеоморфизм замкнутого гладкого многообразия с римановой метрикой с^.

Пусть 7 - неотрицательное вещественное число. Обозначим банахово пространство последовательностей х = {а^} векторов из Ет, занумерованных целыми числами, с ограниченной нормой ||сс|| = вир \хк\ (|&| + I)7, через ЯЛЪ).

кеХ

Определение 3. Последовательность £ = {xk}keZ точек М назовём 7-убывающей d-псевдотраекторией динамической системы /, если ||Н(0}|17 < d.

Определение 4. Диффеоморфизм / обладает липшицевым двусторонним предельным свойством отслеживания с показателем 7, если существуют такие положительные константы d0,L > О, что для любой 7-убывающей (¿-псевдотраектории {хк} с d ^ d0 существует такая точка р е М, что

||{dist(fk(x),xk)}keZ\\y < Ld.

В таком случае будет использоваться обозначение / е LTSLmSP(7) •

Основным результатом главы является следующая теорема:

Теорема 4. Диффеоморфизм f структурно устойчив тогда и только тогда, когда f е LTSLmSP(7).

Публикации автора по теме диссертации в рецензируемых научных журналах:

1. Пилюгин С. Ю., Вольфсон Г. И., Тодоров Д. И. Динамические системы с липшицевыми обратными свойствами отслеживания // Вестник СПбГУ. 2011. Т. 3, № 1. С. 48-54.

2. Todorov D. Generalizations of analogs of theorems of Maizel and Pliss and their application in shadowing theory // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2013. T. 33, № 9. C. 4187-4205.

3. Todorov D. Lipschitz Inverse Shadowing For Nonsingular Flows // Dynamical Systems: An International Journal. 2014. T. 29. C. 40-55.

Другие публикации автора

4. Todorov D. Analogues of Theorems of Maizel And Pliss And Their Applications in The Shadowing Theory // 2011 Kyoto Workshop on NOLTA, Киото, Япония, 2011, С. 13, тезисы докладов.

5. Todorov D. Analogs of Theorems of Maizel And Pliss And Their Application in Shadowing Theory // Международная конференция "Dynamical Systems 100 years after Poincare", Хихон, Испания, 2012, С. 101, тезисы докладов.

6. Todorov D. Lipschitz inverse shadowing for nonsingular flows // Международная конференция "Динамика, бифуркации и странные аттракторы", Нижний Новгород, Россия, 2013, С. 109, тезисы докладов.

Подписано к печати 23.05.14. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать цифровая. Печ. л. 1,00 Тир 100 экз. Заказ № 55-06

Отпечатано в типографии ООО «Комлиз-Принт» 191119, Санкт-Петербург, ул. Звенигородская д. 11 тел.:(812)309-20-14

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

04201460754 На правах рукописи

Тодоров Дмитрий Игоревич

ДИФФЕОМОРФИЗМЫ И ПОТОКИ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ СО СВОЙСТВАМИ ОТСЛЕЖИВАНИЯ

Специальность 01.01.04 — Геометрия и топология

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Пилюгин С.Ю.

Санкт-Петербург 2014

Содержание

Введение................................................................4

1 Липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов . . 6

1.1 Обзор имеющихся результатов..................................7

1.2 Определения......................................................9

1.3 Основные результаты............................................10

1.4 Методы............................................................10

1.5 Доказательство ..................................................12

1.5.1 Обратное отслеживание в Ет............................12

1.5.2 Обратное отслеживание на замкнутых многообразиях 14

2 Липшицево обратное отслеживание для потоков........17

2.1 Определения......................................................17

2.2 Основной результат..............................................18

2.3 Идея доказательства..............................................19

2.4 Доказательство утверждения 2.5 для М = Ет........22

2.4.1 Построение метода....................26

2.4.2 Проверка условий ¿-метода...............27

2.4.3 Отслеживание точной траектории траекторией метода 33

2.5 Доказательство утверждения 2.5 для случая замкнутого многообразия...........................36

3 Гёльдерово обратное отслеживание................39

3.1 Определения...........................39

3.2 Основной результат.......................40

3.3 Доказательство..........................40

4 Липшицево предельное отслеживание..............43

4.1 Обзор имеющихся результатов.................44

4.1.1 Двустороннее отслеживание..............44

4.1.2 отслеживание.....................44

4.2 Определения...........................45

4.3 Основной результат.......................45

4.4 ЬТЗЬтЭР^) влечёт структурную устойчивость.......46

4.5 Структурная устойчивость влечёт ЬТ8Ьт8Р(7).......49

Заключение..............................52

Приложение. Связь разрешимости разностных уравнений и гиперболичности...........................53

5.1 Определения...........................54

5.2 Основные результаты......................56

5.3 Аналог теоремы Майзеля....................56

5.3.1 Технические леммы...................57

5.3.2 Доказательство дискретного аналога теоремы Майзеля 61

5.4 Аналог теоремы Плисса..........................................65

Литература...............................69

Введение

Основными объектами исследования в данной работе являются пространство диффеоморфизмов замкнутого гладкого многообразия и пространство гладких векторных полей на замкнутом гладком многообразии. Оба пространства наделяются С1 топологией.

Классической задачей является задача о характеризации множества диффеоморфизмов, топологически сопряжённых с их С1-малыми возмущениями. Такие диффеоморфзимы называются структурно устойчивыми (определение структурной устойчивости восходит к Андронову и Понт-рягину [1]).

Если гомеоморфизм к гладкого многообразия М сопрягает два диффеоморфизма /, д : М —> М, Ь о / = д о }г, то /г отображает траектории динамической системы, порождённой диффеоморфизмом / на траектории динамической системы, порождённой диффеоморфизмом д.

Этот подход используется в определении структурно устойчивого векторного поля. Гладкое векторное поле X на гладком многообразии М называется структурно устойчивым, если для любого С1-малого возмущения У поля X существует гомеоморфизм И : М —> М, отображающий траектории поля X на траектории поля У с сохранением направления движения по траекториям.

Вопросу об условиях, при которых диффеоморфизм / или векторное поле X являются структурно устойчивыми, посвящены многочисленные исследования (см. [2-13]).

В последнее десятилетие появились работы, в которых структурная устойчивость характеризуется в терминах свойства отслеживания приближённых траекторий (псевдотраекторий).

Так, было показано, что С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания, совпадает со множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов (см. [14]). Аналогичный результат для векторных полей без точек покоя был доказан в [15].

Оказалось, что структурную устойчивость можно характеризовать, на-каладывая дополнительные условия на свойство отслеживания; так, по-

казано, что липшицево свойство отслеживания эквивалентно структурной устойчивости (см. [16,17]).

В предлагаемой диссертационной работе изучается связь между несколькими новыми свойствами отслеживания и структурной устойчивостью. Доказывается эквивалентность структурной устойчивости и лип-шицева обратного отслеживания для диффеоморфизмов (глава 1) и гладких векторных полей (глава 2), гёльдерова обратного отслеживания для диффеоморфизмов (глава 3), и одного из вариантов предельного свойства отслеживания (глава 4).

В качестве основного инструмента при изучении диффеоморфизмов используется теорема Мане о необходимом и достаточном условиях структурной устойчивости. Технически, применение теоремы Мане сводится к использованию дискретного аналога теоремы Плисса о связи между разрешимостью систем разностных уравнений и гиперболичностью последовательности коэффициентов. Доказательство теоремы, усиливающей этот дискретный аналог теоремы Плисса, приводится в приложении.

Основные результаты работы опубликованы в статьях [18-20].

Глава 1

Липшицево обратное отслеживание для диффеоморфизмов

Существует множество различных свойств отслеживания для диффеоморфизмов замкнутых многообразий. Наиболее простое - классическое отслеживание. Говорят, что диффеоморфизм замкнутого римано-ва многообразия обладает классическим свойством отслеживания, если каждая псевдотраектория с достаточно малым размером ошибок может быть аппроксимирована (отслежена) точной траекторией. В [14] показано, что (^-внутренность множества диффеоморфизмов замкнутого ри-манова многообразия с классическим свойством отслеживания совпадает со множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. Классическое свойство отслеживание не даёт хорошоего контроля точности отслеживания в терминах размера ошибок псевдотраектории. Липшицево свойство отслеживания даёт линейный контроль.

Понятие обратного отслеживания для диффеоморфизмов было введено Пилюгиным и Корлессом в [21] и Клёденом и Омбахом в [22]. Известно, что структурно устойчивый диффеоморфизм обладает классическим и обратным свойствами отслеживания, и при этом эти свойства липшицевы (см. [23,24]).

Совсем недавно в [17] было показано, что из наличия свойства липши-цева отслеживания следует структурная устойчивость диффеоморфизма. В данной главе доказывается, что аналогичные утверждения верны также для липшицева свойства обратного отслеживания относительно двух классов методов. Основной результат главы включён в статью [18].

1.1 Обзор имеющихся результатов

Пусть / - диффеоморфизм класса С1 гладкого многообразия М с ри-мановой метрикой dist. Здесь и далее мы всегда будем иметь в виду многообразия гладкости С°°. Обозначим т = dim М. Пусть d > О

Определение 1.1. Будем называть (/-псевдотраекторией / последовательность {:r<k}keZ точек М, для которой выполнены неравенства

dist(xfc+i, f{xk)) <d, к е Z.

Мы будем рассматривать свойства обратного отслеживания псевдотраекторий, порождённых двумя классами методов.

Определение 1.2. Будем называть ¿-методом класса @,s семейство непрерывных отображений {Фк}кеъ-> Фк '• М —> М, для которого выполнены неравенства

dist(^fe(x), /(ж)) <d, х е М, к е Z.

Последовательность {.т^} кеЪ точек М называется траекторией d-метода {ф^} класса если

Xk+i = Фк(%к), к е Z.

Определение 1.3. Будем называть d-методом класса Qt семейство непрерывных отображений {фк}keZ, фк '■ М —»• М, для которого выполнено следующее:

Фа = И;

dist(/(^fc(a;)), фк+г{х)) < d, х е М, к е Z.

Последовательность {xk}keZ точек М называется траекторией d-метода {фк} класса 0/, если существует такая точка х е М, что

хк = фк(х), ке Z.

Замечание 1.1. Из определений немедленно следует, что любая траектория ¿-метода класса @s или Qt является ¿-псевдотраекторией /.

Определение 1.4. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает свойством обратного отслеживания относительно класса 0S (класса ©¡>) на траектории точки р е М, если для любого е > 0 существует такое ¿ > О, что для любого ¿-метода {фк} класса в,, (класса Qt) с найдется такая траектория {хк} метода {фк}, что выполнены неравенства

dist (a;*, fk(p)) < е, к е Z. 7

Определение 1.5. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает свойством обратного отслеживания относительно класса 6S (класса 0г), если он обладает свойством обратного отслеживания относительно этого класса на траектории любой точки р е М. Будем писать, соответственно, / е ISPя или / е ISPf.

Мы будем рассматривать либо случай компактного многообразия М без края, либо случай М = Шт. Рассмотрим множество Diff1(M) гладких диффеоморфизмов М на себя. Хорошо известно, что любое гладкое замкнутое многообразие вкладывается в Rn для некоторого натурального п. Тогда можно отождествить касательное пространство ТХМ и пространство Rm cz М" для любой точки х е М.

Пусть / е Diff1(M). Дифференциал Df(x) действует из одного т-мерного подпространства Шп в другое m-мерное подпространство Определим расстояние между диффеоморфизмами /2 е Diif1(M) следующим образом:

Pi(/i, /2) = М/1,/2) + SUP\Df{x) - Dg{x)|| ,

хеМ

где || • || - стандартная операторная норма и

Po(/i) /2) = max max (dist(/i(x), /2(ж)), dist(/i_1(x), •

хеМ

Очевидно, pi является метрикой на пространстве Difi'1 (Л/). Топологию, порождённую такой метрикой, называют С1-топологией.

Определение 1.1. Диффеоморфизм / называется структурно устойчивым, если существует такая окрестность U диффеоморфизма / в С1-топологии, что любой диффеоморфизм д е U топологически сопряжен с / (подробнее о структурно устойчивых диффеоморфизмах написано, например, в книге [25]).

Множество структурно устойчивых диффеоморфизмов будем обозначать через S.

Следующая теорема доказана в [24]: Теорема 1.1. ISPs с S и ISPf с= S.

Понятие персистентности (persistence) было определено Левовичем в [26].

Определение 1.2. Диффеоморфизм / называется персистентным, если для любого е > 0 существует такое <5 > 0, что для любого х е M и гомеоморфизма g : M —> M, удовлетворяющего pa(f, g) < S, существует такая точка у g M, что

dist(fk(x),gk(y))<e, к g Z.

Множество персистентных диффеоморфизмов будем обозначать через

V.

Для A a Diff1(M) будем обозначать внутренность множества А в С1 топологии через Intçi (Л). Следующий результат доказан в [27]:

Теорема 1.2. Int^i (V) = S.

Легко видеть, что обратное отслеживание для любого класса методов влечёт персистентность. Поэтому справедливо следующее следствие:

Следствие 1.2. IntCi (ISPe) = IntCi (ISP*) = S.

Упомянем также свойство, определённое Фрэнксом в [13]:

Определение 1.3. Диффеоморфизм / : M —»■ M класса гладкости С2 называется неавтономно устойчивым, если существует такая U - окрестность / в С1 топологии, что для любого натурального к из вложения gi,..., дь е U следует, что существует такой гомеоморфизм h : M —*■ M, что h'1 о fk о h = gi о ■ ■ ■ о дк.

Множество неавтономно устойчивых диффеоморфизмов / : M M будем обозначать через TDS.

В [13] доказана следующая теорема:

Теорема 1.3. TDS = S.

1.2 Определения

Определение 1.6. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает лип-шицевым свойством обратного отслеживания относительно класса 0,s (класса Qt) на траектории точки р g M, если существуют такие положительные константы do, L, что для любого (¿-метода {фь-} класса Os (класса Of) с d ^ do найдется такая траектория {хк} метода {фк}, что выполнены неравенства

dist (a*, fk{p)) < Ld, ке Z.

Определение 1.7. Будем говорить, что диффеоморфизм / обладает лип-шицевым свойством обратного отслеживания относительно класса 0,ч (класса 0<), если он обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно этого класса на траектории каждой точки р е М. Будем писать, соответственно, / е ЫБР^ или / б ЫБР^.

Замечание 1.3. Отметим, что в данном выше определении липшицева свойства обратного отслеживания не предполагается, что константы ¿о, Ь одни и те же для разных точек ре М.

1.3 Основные результаты

Пусть М компактно и не имеет края. В работе [24] было показано, что структурно устойчивый диффеоморфизм обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно классов методов 05 и 0£ (с одними и теми же константами г/о, Ь для всех точек р е М).

Мы обращаем теоремы статьи [24] и показываем, что выполнена следующая теорема:

Теорема 1.4. Если / е ЫЭР^ или / е ЫБР^ то f структурно устойчив.

1.4 Методы

Наши доказательства в случае диффеоморфизмов используют два известных результата, принадлежащих Р. Мане и В. А. Плиссу. Сформулируем их.

Пусть М компактно и не имеет края. Фиксируем точку р е М и рассмотрим два линейных подпространства ТРМ:

В+(р) = {г> £ ТРМ | \0/к(р)ь\ —► 0, к -> +оо} , В~(р) = {ьеТрМ | \В^{р)у\ —0, к —*■ —оо} .

Определение 1.8. Два линейных подпространства Уъ пространства Мт называются трансверсальными, если У\ + У2 = Мш.

Определение 1.9. Будем говорить, что для диффеоморфизма / в точке р выполнено аналитическое свойство трансверсальности, если В+(р) и В~(р) трансверсальны как подпространства ТрМ.

Теорема 1.5 (Мане, [28]). Диффеоморфизм / структурно устойчив тогда и только тогда, когда аналитическое свойство трансверсальности выполнено в каждой точке р е М.

Пусть / - либо = [кеЪ | к ^ 0}, либо Ъ~ = {к е Ъ | к < 0}. Пусть А = {Лк}ке1 - последовательность линейных изоморфизмов Мт —>• Мт, индексированных целыми числами из I.

Предположим, что существует такая константа N > 0, что все \\Ак\\, < N. Для двух индексов к,1 е I обозначим

{Ак-10 ■ ■ ■ о А1, I < к,

И, 1 = к, (1.4.1)

А^с-оА^ 1>к.

Мы используем следующее определение из [29]:

Определение 1.4. Будем говорить, что последовательность А гиперболична на I, если существуют такие константы К > 0, Л б (0,1) и проекции Рк,Як, к е I, что Б к = и к = С^кМ"1 и выполнено следующее:

Аквк = 5/с+ъ Ак11к — 11к+ь ^КА^М, ьеЯ, к ^ КХ1~к\у\, у е 1/1, к ^ 1-,

ИДИ, ¡<3*1 < к.

Везде здесь мы имеем в виду, что индексы принадлежат I. Положим

В+(Л) = {г; е Ет | |Фмг;| - 0, Л-+оо}, В'(А) = ЬеГ | *->-<»}.

Теорема 1.6 (Плисс). Следующие два утверждения эквивалентны:

1. для любой ограниченной последовательности {2к}ке% векторов Мт найдется такая ограниченная последовательность {ук)кеъ векторов что

Ук+1 = Акук + кеЖ\ (1.4.2)

2. последовательность А гиперболична на Ъ+ инаХ , и пространства В+(Л) и В~(Л) трансверсальны.

Замечание 1.4. Терема доказана в [30] для линейных систем ОДУ. Мы переносим доказательство следствия 1 => 2 на случай разностных уравнений в приложении.

Для установления структурной устойчивости мы показываем, что последовательность дифференциалов вдоль траектории для диффеоморфизма, обладающего соответствующим свойством обратного отслеживания, удовлетворяет условию 1 теоремы Плисса и потом применяем теорему Мане.

1.5 Доказательство

Перед основной теоремой докажем утверждение, относящееся к лип-шицеву свойству обратного отслеживания на траектории одной точки, ограничившись при этом случаем диффеоморфизма евклидова пространства. Это позволит проиллюстрировать методы, которые будут использованы в теореме 1.4, не отвлекаясь на некоторые технические подробности.

1.5.1 Обратное отслеживание в Мт

Пусть / - диффеоморфизм пространства М = Мт и пусть р е М. Обозначим рк = /к(р) и Ак = Б/(рк) для к ей. Сформулируем следующее условие (А):

нормы матриц Ак и Акх ограничены некоторой константой N, а последовательность функций

&к(х) = КРк + х) - рк+1 - Акх

обладает следующим свойством: по любому е > 0 можно указать такое 5 > 0, что

\ак(х)\ ^ е\х\, |ж| < 6, к е Z.

Теорема 1.7. Если выполнено условие (А) и диффеоморфизм / обладает липшицевым свойством обратного отслеживания относительно класса ©<, на траектории точки р, то в точке р выполнено аналитическое свойство трансверсальности.

Доказательство. Докажем, что при наших предположениях для последовательности матриц выполнено утверждение 1 теоремы Плисса. Тогда применение теоремы Плисса гарантирует выполнение утверждения 2. Легко видеть, что в нашем случае Ак = Б ¡(рк) будут выполнены следующие равенства: В+(р) = В+(А) и В~{р) = В~(А). Таким образом проверяется выполнение аналитического условия трансверсальности.

Фиксируем ограниченную последовательность векторов Мт;

пусть, для определенности, \гк\ < 1 для всех к е Ъ.

Выберем такое е > 0, чтобы выполнялось неравенство

е{2Ь +1)<1. (1.5.1)

Используя условие (А), найдем такое с? ^ гУ0/2, что

\ак(х)\ ^ ф|, \х\ ^ (2Ь + кеЪ.

Выберем такую непрерывную функцию /3(а), определенную при а ^ О, что /3(а) = 1 при а < 2Ьё, /3(а) = 0 при а ^ (2Ь + 1)с1 и 0 ^ /3(а) < 1. Определим непрерывные отображения фк : Мт —> Мт формулой

Фк{Рк + х) = рк+1 + Акх + р(\х\)(1гк + (1 - р(\х\))ак(х), к^Ъ.

Ясно, что /(Рк + х) и фк{рк+х) совпадают при |ж| ^ (2Ь+1)с1, поэтому величину

\fiPk + х) - фк{Рк + ж)| следует оценивать лишь при |х| ^ (2Ь + 1)(1. Но в этом случае

IКРк + фк(рк + ж)| < \йгк\ + \ак(х)\ ^(1 + е\х\ < 2й

(см. неравенство (1.5.1)). Следовательно, последовательность {фк} является 2(¿-методом класса 0,,. Из выбора с/ (напомним, что (1 < ¿о/2) и из нашего предположения следует, что существует траектория {хк} этого метода, для которой выполнены неравенства \хк — рк| 2Ьс1. Положим гик ~ хк — Рк- Так как \и)к\ < 2Ьй, верны равенства

Фк(хк) = Фк{Рк + УЗк) = Рк+1 + Акч)к + <1гк. Сравнивая их с равенствами

фк(Хк) = Хк+1 = Рк+1 + и)к+1,

мы видим, что

гик