Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова

На правах рукописи УДК 517.987.5+938.5

ТИХОНОВ Сергей Викторович

Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и

спектральная днзъюнктность

Специальность 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о

Москва, 2004г.

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель : доктор физико-математических наук,

профессор A.M. Степин

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Оселедец,

кандидат физико-математических наук, доцент О.Н.Агеев

Ведущая организация : Обнинский государственный технический

университет атомной энергетики

Защита состоится 14 мая 2004г. в 16ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д. 501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2,Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 14 апреля 2004г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических наук профессор

Т.ПЛухашенко

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. В работе исследуются типичные свойства абеле-вых групп преобразований с инвариантной мерой и строятся примеры, действий таких групп, имеющих необычные свойства.

Массивным подмножеством полного сепарабельного метрического пространства называется пересечение не более чем счетного семейства всюду плотных открытых множеств. Если некоторым свойством обладают элементы массивного множества, то это свойство называется типичным. Выражение "для типичного Т выполняется свойство А.." означает, что свойство А типично.

Начало систематическому исследованию типичных свойств в эргоди-ческой теории положили известные работы Халмоша и Рохлина о (сла-бо)перемешивающих преобразованиях.

Подход Рохлина применялся, например, в работах дель Юнко и Ле-манчика. Дальнейшее продвижение в этой области связано с появлением аппроксимационной теории преобразований и действий общих групп. Одно из ее применений — получение информации о преобразовании допускающем аппроксимацию с той или иной скоростью. Такие преобразования образуют массивное подмножество в пространстве автоморфизмов и, значит, свойство выполненное для них типично. В этом направлении можно отметить работы Степина1,2 и Агеева3. Следующий шаг был сделан Кингом и Глазнером. Они предложили в контексте эргоди-ческой теории использовать фундаментальный факт дескриптивной теории множеств, а именно теорему о структуре аналитических множеств.

1Степип А. М. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН. - 1967.

- Т. 176, №5. - С. 102»-1026.

2Stepin A.M. Les spectres des systèmes dinamiques Actes du Congres Intern. Math. - 1970.

- T. 2. - Pp. 941-946.

3Агеев О. H. О сопряженности группового действия своему обратному // Мат. заметки. - 1989. -Т.45, т. -С. 3-11.

Этот подход применялся в работах Кинга4, Агеева5,6, де ла Рю и де Сэм Лазаро7, Степина и Еременко8.

В ряде случаев теоремы о типичности применяются для доказательства существования действий с наперед заданными свойствами. Другой подход к этому вопросу основан на понятии дизъюнктности, введенном Фюрстенбергом9 и был предложен Рудольфом10; им были построены примеры динамических систем с необычными свойствами. Дизъюнктность преобразования Т своему обратному позволяет утверждать, что Г и Т-1 не имеют общих факторов и не сопряжены друг другу. Заметим, что со спектральной точки зрения преобразование и обратное ему эквивалентны. Преобразованиям несопряженным своим обратным посвящены статьи Анзаи 11, Оселедца12 , уже упоминавшаяся работа Агеева, статья Рыжикова 13, несколько статей Гудзона с соавторами14,15,18. Типичность

4King J. L. F. The generic transformation bas roots of all orders // Colloquium mathe-

maticura. -2000. - Vol. 84/85, Ж 2. - Pp. 521-547.

® А геев O.H. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширевием для любой конечной абелевой группы G // ДАН. -2000.- Т. 374, №4.- С.439-442. 8 Агеев О.Н. О типичности некоторых веасимптотическвх свойств // УМН. -2003.- Т. 58, №4.- С.177-178.

7T.de la Rue, J.de Sam Lasaro. Une transformation générique peut être insérée dans un flot.//Annalles de HHP.-2003.-PR 39, №1.-Pp.l21-134.

"Степян A. M., Еременко A.M. Типичное сохраняющее меру преобразование имеет обширный централизатор // ДАН. -2004.- Т. 394, ДО6.- С.739-742.

9Purstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in deophantine approximation // Math. Syst. Theory. -1967.- Vol. 1,- Pp. 1-49.

10D.J.Rudolph. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings and applications//J.Anal.Math. -1979.-JM5.-Pp.97-122.

11Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus // Osaka Math. J. -1951.-Vol. 3, №. 1.- Pp. 83-99.

12Оселедец В. И. Пример двух веиэоморфвых систем с одинаковым простым сингулярным спектром // Функц. анализ в его прил. -1971. -Т. 5, №3. -С. 75-79.

13Рыжвков В. В. Об ассвметрвв каскадов // Труды МИАН. -1997.- Т. 216. - С. 154-157.

14Goodson G. R., Ryihikov V. V. Conjugations, joinings, and direct products of locally

rank-one dynamical systems // J. Dyn. and Contr. Syst.-1997.- Vol. 3.- Pp. 321-341.

16Goodson G. R., Lemanczyk M. Transformations conjugate to their inverses have even essential values // Proc. of AMS. - 1996. - Vol. 124. - Pp. 2703-2710. leG. R. Goodson and M. Lemanczyk and A. del Junco and D. J. Rudolph // Ergodic transformations conjugate to their inverses by involutions, Ergodic th. and Dyn. Syst.-1996.- Vol. 16.- Pp. 97-124.

дизъюнктности преобразования своему обратному и некоторые связанные с этим факты установлены дель Юнко17.

Леманчик и дель Юнко18 показали, что примеры Рудольфа можно построить рассматривая декартовы произведения степеней типичного преобразования. Используемое ими типичное свойство является обобщением свойства взаимной сингулярности сверточных степеней максимального спектрального типа преобразований открытых и исследованных Степи-

19 20

ным , .

Взаимная сингулярность сверточных степеней максимального спектрального типа одного преобразования появилась в связи с вопросом Колмогорова о групповом свойстве спектра. Эти вопросы исследовались в работах Синая, Малышева, Вершика, Оселедца, Степина, Рыжикова, Приходько.

Цель работы. Получить аналоги результатов дель Юнко и Леманчика. Исследовать свойства типичных действий абелевых групп. Построить групповые аналоги примеров Рудольфа, опираясь на полученные результаты.

Научная новизна. Основные результаты работы новы и состоят в следующем:

(1)Получен ответ на вопрос де ла Рю и де Сем Лазаро о типичности

вкладываемого в инъективное -действие.

(2) Получены аналоги результатов дель Юнко и Леманчика для действий некоторых абелевых групп.

(3) Построены аналоги примеров Рудольфа для действий абелевых групп.

Методы исследования. В работе используются спектральные и аппрок-симационные методы.

17del Junco A. Dlsjointness of measure-preserving transformations, minimal self-joinings

and cathegory // Progress in Math. 10. - 1981. -Vol. 10. - Pp. 81-89.

18M. Lemanczyk, A.Del Junco. Generic spectral properties of measure-preserving maps,

and applications.// Proc.Amer.Math. Soc. -1992.-Vol.115. ЖЗ. Pp.725-736.

19Степин A. M. Спектральные свойства типичных динамических систем // Мат. Из-

20Степвв А. М. Спектральные свойства эргодвческих динамических систем с локально компактным временем// ДАН. -1966. -Т. 169, Ш. - С. 773-776.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам в метрической теории динамических систем и групп преобразований.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре под руководством академика Д.В. Аносова, профессора A.M. Сте-пина, профессора Р.И. Григорчука, семинаре под руководством профессора Б.М. Гуревича и профессора В.И. Оселедца, семинаре под руководством профессора A.M. Степина в МГУ в 2000-2003г.г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, библиографических примечаний и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 99 страниц. Список литературы насчитывает 57 наименований.

Основное содержание диссертации.

Предполагается, что группы преобразований действуют в пространствах с мерой (М, В, ц), изоморфных единичному отрезку с мерой Лебега. Два сохраняющих меру преобразования считаются эквивалентными, если они совпадают на множестве полной меры. Множество К классов эквивалентности по этому отношению можно снабдить слабой топологией заданной системой окрестностей

0(де1С,г€Ъ,ВеВ,е>0) = {ке1С\ц(дг (В) Ah' (В))<е}.

Пусть {./4^}ieN счетная система измеримых множеств порождающая а-алгебру В с точностью до множеств меры нуль. Тогда слабая топология К задается метрикой

d ■^ = Е h b{9 {Ai) A h {Ai))+p w л Л_1 (■*») •

С этой метрикой К есть полное сепарабельное метрическое пространство.

Пусть Г сепарабельная локально-компактная абелева группа. Г-дей-ствием {Т9 € называется отображение из Г в АС, если

1. для любых А, В € В функция д »-* (TaA П В) непрерывна на Г;

2. Т91 Т32 = Т9191.

Пусть К? множество Г-действий.

Мы будем рассматривать действия групп Zd,Qfi,Z00)Q00,]Kf,,Ga. Последним символом обозначена группа порожденная элементами = ¿г, при t = 1,2,..., a 6 N и операцией с л о ж ения^-тф d 1 ) .

4

Множество КУ можно снабдить метрикой, относительно которой оно становится полным сепарабельным метрическим пространством. Если группа Г дискретна и {7<}<еМ индексация ее элементов натуральными числами, то

Для группы К* метрика задается так

¿и* (з, Л) = зир <* (д7, К1),

где Sh единичный шар в Ю1.

Первая часть работы состоит из трех параграфов. В первом параграфе вводятся основные обозначения и исследуются всюду плотные в К2 семейства действий.

Будем говорить, что множество V С М* обладает свойством Р,' если в нем можно выбрать последовательность элементов {г><}<ен удовлетворяющую двум условиям:

1. первая координата всех векторов равна единице;

2. с ростом » каждая следующая координата вектора растет быстрее предыдущей.

Примером множества обладающего свойством Р может служить семейство векторов

Пусть мы понимаем действие, определенное

равенством

(Ть)а = Т<а'ь> для всех а € Ъ\

где угловые скобки обозначают скалярное произведение. Преобразование Г называется апериодическим, если

(х{х 6 М | Зг е г\{0} :Т*х = х} = 0.

Зафиксируем счетное всюду плотное множество И* С К, содержащее тождественное преобразование.

Наиболее важный результат первого параграфа есть

Теорема 1. Если Т — апериодическое преобразование, множество V обладает свойством Р, то семейство ЪЛ-действий

{(ИТИ^1)*}

УбУ.И'бП'

всюду плотно в кг*

Во втором параграфе первой части устанавливаются типичные свойства действий группы Z<,. Основной используемый здесь и далее прием это редукция многомерного утверждения о типичности к одномерному, обеспечиваемая теоремой 1. Одним из общих утверждений о такой редукции является

Теорема 2. Если О, массивное подмножество К, то семейство ЪЛ-действий

массивно.

Приведем доказательство для случаев с! = 1 и 2 в предположении, что множество О. инвариантно относительно сопряжения элементами семейства \У. Заметим, что является множеством типа в{. Действительно, 0.1* есть пересечение счетного числа прообразов -множеств при непрерывных отображениях Л Л1. Поэтому достаточно показать всюду плотность множества {Л|Л4 € 6} для любого I е гД {0}.

Известно, что массивным являются множество всех апериодических преобразований и преобразований имеющих корни всех степеней.

В случае й= 1 выберем в Q апериодическое преобразование Г, имеющее корень S степени ь Тогда S лежит в З1. Также в 21 лежат преобразования

По теореме 1 это множество всюду плотно. Значит, 0,ъ массивно.

Теперь пусть с1 = 2. Возьмем апериодическое Т € 0.ъ. Рассмотрим множество Z2-дeйcтвий

Имеем, ТШ.®») 6 2«. Тогда С С 21. Осталось заметить, что множество векторов {(1,1>2) (1) 1>з) > 0} удовлетворяет свойству Р и значи£всюду плотно.

Чтобы продемонстрировать как работает теорема 2 нам необходимо ввести несколько новых понятий. Два преобразования Т и S называются дизъюнктными, если их нельзя представить как факторы третьего на не

являющиеся независимыми подалгебры (обозначение Т ± 5'). Централизатором С (Т) преобразования Т называется множество преобразований < (не обязательно обратимых), коммутирующих с Т.

Пусть Ф есть подгруппа абелевой группы Г. Будем говорить, что действие д группы Ф вкладывается в действие к группы Г, если = Л^ для всех

Теорема 3.' Множества Я^действий

= {Л I Уа е Ъ\ {0} Ла 1 /»-"},

пг* = {л I Уа € Ъ\ {0}С Ю = Ы {Ль}ьб2,} ,

= {Л | Л вложимо вК1- действие}

содержатмассивныеподмножества. Здесь <:!{•} естьслабоезамыка-ние множества в пространстве К.

Первое утверждение доказывается так. Дель Юнко установил, что множество V преобразований, дизъюнктных своим обратным массивно. Тогда

Х>г,. = {Л1Уае2',\{0}Ла€2>}

и значит массивно по теореме 2.

Назовем свойство М наследственным, если из того что оно верно для какого-либо набора преобразований следует, что оно верно и для всех его поднаборов.

Теорема 4. Пусть М некоторое наследственное свойство. Если множество

{текКП^ем}

массивно, то для всякого конечного I С {0} множества

{*бХ?-!^ ем}

всюду плотны. Если, кроме того, последние множества имеют тип

для Iиз счетного набора {1^} : = {0},то множество

}

|л € К?' | для всех конечных 1С гДДО}, {Л'},61 €

массивно.

Применять эту теорему несколько сложнее, чем теорему 2: здесь нужно доказывать, что некоторые множества имеют тип Однако, она дает возможность доказывать типичность свойств с которыми теорема 2 не справляется.

С каждым Г-действием к естественным образом связана группа унитарных операторов {Е^}7ег» действующих на пространстве функций с интегрируемым квадратом по формуле Предполагая,

что группа Г абелева, через сгд обозначим максимальный спектральный тип группы

Для любого элемента абелевой группы Г можно определить его произведение на натуральное число: ггу = 7 + 7 + ... + 7, где справа стоит ровно п слагаемых. Пусть Z00 пространство конечных последовательностей целых чисел, Ф группа порожденная заменами знака в координатах элементов 2°° и изменениями порядка этих координат. Через 2 обозначим классы эквивалентности элементов относительно Ф (то есть, два элемента к, 1 эквивалентны, если найдется ф£ Ф такое, что фк = 1).

Теорема 5. Пусть Г = Z<1. Для типичного Т-действия к и любых не эквивалентных элементов (кг,А:2>—) и (¿1» —0 множества Zoc\{0} свертки максимальных спектральных типов

взаимно сингулярны. Здесь д через Н^") чается дей-

ствие {Л*'7}

»76Г*

Сформулированное свойство Г-действия h называется спектральной дизъюнктностью.

Пояснение к доказательству. Случай d — 1 разобран дель Юнко и Ле-манчиком. Далее, спектральная дизъюнктность — наследственное свойство, поэтому применима предыдущая теорема. Типы строящихся множеств определяются также, как и в одномерном случае.

В третьем параграфе устанавливаются существование инъективных К*-действий с различными свойствами.

Г-действие Л называется иньективным, если для разных 7 € Г, все К1 различны.

Теорема в. Типичное преобразование и типичное ЪЛ-действиевкладываются виньективное И-действие.

8

Это теорема усиливает результат второго параграфа (там не требовалось инъективности) и дает ответ на вопрос де ла Рю и де Сэм Лазаро.

Другое полученное здесь утверждение состоит в том, что существуют спектрально дизъюнктные инъективные К^-действия.

Во второй части работы устанавливаются типичные свойствадействий < счетных абелевых групп (У*,О00, Са.

Для действий групп О^О»00 результаты аналогичны результатам второго параграфа и кратко формулируются так:

Теорема 7. Пусть Г любая из групп 2>°°, 0^,0°°. Множества Г-действий

X* = {Л|У7бГ\{0}Л7±Л-т},

пГ = {л I6 Г\ {0} С (Л7) = ы {л7}^},

содержатмассибвывпЬдмножштв&гно дизъюнктно]

Основной инструмент здесь

Теорема 8. Пусть Г любая из групп Z00, ОР0 . Если О — массивное множество преобразований, то семейство Г-действий вг = {/фАуег\{0},л7€д}

массивно.

Подобные результаты не удается получить для Св -действия. Однако спектральная дизъюнктность есть и здесь (ср.21).

Действие А группы Оа вполне к-перемешивает с коэффициентами если при любом натуральном г

и существует последовательность такая, что

/х (лп л"<'>в) (лп в) + (1 - е,) м№(в),

21Стетш А. М. Группы преобразоваявй с новыми спектральвыкв свойствами. XI Всесоюзная школа по теории в функциональных пространствах. // Тезисы докладов. - Челябввск.-1986.

Теорема 9. Множество вполне к-перемешивающих Са -действий со-держитмассивное подмножество. Кроме того, из вполне к-перемеши-ванил следует сп ектральная дизьюнктност ь.

В третьей части изучаются факторы декартовых произведений элементов типичного действия и их композиций с перестановками координат, а также строятся аналоги упомянутых примеров Рудольфа в случае групповых действий.

Седьмой параграф посвящен техническим вопросам. В нем доказываются факты, касающиеся перестановок бесконечных множеств. Они используются нами при построении примеров.

В восьмом параграфе устанавливаются свойства декартовых произведений спектрально дизъюнктных действий и их композиций с перестановками. Попутно мы несколько усиливаем одномерный результат дель Юнко и Леманчика, что позволяет построить дополнительные примеры по сравнению с теми, которые анонсировались в статье этих авторов.

Пусть h есть счетный набор Г-действий Через Ь обозначим

семейство их различных прямых произведений: Будем говорить, что 11 удовлетворяет условию Т, если для любых Н 6 Ь и д 6 Ь всякая д-инвариантная относительно -алгебра такая что сужение д есть фактор действия Л, полностью содержится в некоторой координатной ст-алгебре В* с д Л.

Для Г-действия Л через Лобозначим действие {Л^7}7еГ*

Теорема 10.

(1) Пусть Г любая из групп, Z',) 2°°, (У1,030. Для типичных Г-дейст-вий Ь = удовлетворяетусловию Т.

(2) Для типичного Ов -действия семейство Ь л е -творяет условию Т.

(3) Существует инпективное К* -действие такое, что семейство Ь= удовлетворяетусловию Т.

Таким образом, например, в типичной ситуации действия h и не имеют общего фактора.

Пусть Т есть набор преобразований Обозначим через се-

мейство преобразований состоящее из всех композиций перестановок координат и элементов

Теорема 11. Пусть Г любая из групп Zd, Z00) О1,000. Для типичного Г-действияк централизатор (то есть множество коммутирующих с ним преобразований) действияд € содержитсявомножестве

В девятом параграфе строятся аналоги примеров Рудольфа. Предварительно доказываются несколько теорем, позволяющих нам сделать примеры слабо перемешивающими действиями. Мы можем взять слабо перемешивающее исходное действие, однако нам было необходимо показать, что слабое перемешивание сохраняется при счетных прямых произведениях и композициях с перестановками (последнее верно при некоторых условиях не позволяющих элементам действия выродиться).

Наиболее полный набор примеров получается для действий группы ЪЛ. В случае Z мы получили 8 примеров, то есть больше, чем анонсировано дель Юнко и Леманчиком. Для других групп такой полноты нет. Это и неудивительно: некоторые примеры вообще для других групп не могут существовать. Например, нельзя построить О-действия /г и g такие, что изоморфны, когда но неизоморфны в противном случае.

Ниже мы приводим один из примеров который строится для всех рассмотренных групп.

Действие / группы Г называется Z2-расширением, если существует инволюция Г ( то есть такое преобразование Т, что Т2 = I) коммугиру-ющая с и не имеющая неподвижных точек, с точностью до множества меры нуль.

Для И £ К? удовлетворяющего условиям теоремы 10, рассмотрим действие вида

Л ® Л ® Л{2) ® л(3) ®...

Покажем, что оно имеет несчетное число попарно неизоморфных факторов, каждый из которых является Z2-pacпшpeниeм.

Пусть ¡1 и ¡2 две различных монотонных функции из N в {1}. Рассмотрим действия

д = /»® л ® л(,|(1)) ® л<'1(2)) ®...

и

/з = Л ® Л ® Л^1» ® Л<'а<2» ®....

Оба этих действия являются факторами /. Каждое из них есть гг-рас-ширение (они коммутируют с перестановкой первых двух координат).

11

Пусть s первый номер, для которого li (i) ф I2 (i). Не теряя общности можно считать, что ii (t) > h (»)• Т о г|а(з)н е может встретиться в fi и по теореме 10 не имеет с f1 общего фактора. Таким образом, /1 и /2 не изоморфны между, собой. Осталось заметить, что монотонных функций из N в {1} несчетное число. Каждая из них задает фактор f и все эти факторы не изоморфны.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору A.M. Степину за постановку задач, полезные советы и внимание к работе.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Тихонов СВ. Типичное действие группы вкладываются в действия группы К* //Доклады РАН, 2003, т.391, №1, с.26-28.

2. Тихонов СВ. О связи метрических и спектральных свойств Ъ^- действий // Фундам. и прикл. Матем. 2002, т.8, №4, с. 1179-1192.

3. Тихонов СВ. О спектральных свойствах 22-действий // Депонировано в ВИНИТИ РАН., 2000, №8, с.25.

75 7®

Введение

Часть 1. Типичные свойства действий групп Zd и Rd

1. Всюду плотность семейств действий специального вида

2. Типичные свойства действий группы

3. Свободные действия группы Rd

Часть 2. Типичные свойства действий дискретных абелевых групп

4. Типичные свойства действий группы Z°°

5. Типичные свойства действий групп Q^ и Q°°

6. Типичные свойства действий группы Ga

Часть 3. "Машина контрпримеров" Рудольфа, основанная на спектральной дизъюнктности

7. Общие сведения о перестановках конечных и счетных множеств

8. Централизаторы и факторы декартовых произведений

9. Аналоги примеров Рудольфа 83 Библиографические примечания 90 Предметный указатель 94 Список литературы

Актуальность темы. Множество называется массивным, если оно является счетным пересечением всюду плотных Gs-множеств. Свойство А действий некоторой группы типично, если выполняется для массивного множества действий. Будем говорить "Для типичного действия выполняется свойство А если свойство А типично. Исследование типичных свойств групп преобразований началось с работ Халмоша [16] и Рохлина [46] ("Теоремы о категориях").

В работах Степина [52] появились /с-перемешивающие преобразования, которые также типичны и обладают свойством сингулярности сверточных степеней их максимальных спектральных типов. В разные годы были получены типичность дизъюнктности преобразования своему обратному, дизъюнктно-сти всех степеней преобразования [7], типичность преобразования коммутирующего только с элементами слабого замыкания его степеней [18], типичность й^-действия, ненулевые элементы которого не сопряжены своим обратным [32]. В последнее время были получены результаты о том, что типичное преобразование имеет корни всех степеней [19], (более того, несчетное число корней всех степеней [34]) является расширением конечной абелевой группы, [33], вкладывается в поток [6], и более того в несчетное множество потоков [53].

В [26] Рудольф построил "машину контрпримеров", которая позволяет получать преобразования с необычными свойствами. В своей конструкции оп использовал декартовы произведения очень специфического преобразования и их композиции с перестановками координат. Всего Рудольф построил 9 примеров. Леманчик и дель Юнко [20] показали, что большинство примеров можно построить используя декартовы произведения степеней типичного преобразования. Они сообщили, что умеют строить 6 из 9 примеров. Используемое ими типичное свойство является обобщением спектральных свойств «-перемешивания.

Цель работы. Исследовать типичные действия абелевых групп и построить примеры необычных действий опираясь на взаимную дизъюнктность сверточных степеней максимального спектрального типа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новы и состоят в следующем:

1) Получен ответ на вопрос де ла Рю и де Сем Лазаро о типичности действия вкладываемого в свободное ^-действие.

2) Получены примеры действий абелевых групп с необычными свойствами, в частности, пары Z^cftcTBiifi, всс элементы которых, соответствующие одному моменту времени эквивалентны, кроме двух.

3) Доказана вполне сингулярность для типичных действий группы Zd.

Свободность здесь понимается в смысле [33], то есть действие свободно, если не имеет двух одинаковых элементов.

Методы исследования. В работе используются спектральные и аппроксима-ционные методы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам в эргодической теории.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по динамическим системам в МГУ в 2000-2003г.г.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, библиографических примечаний и списка литературы.

1. Akcoghi М. A., Chacon R. V., Schwartzbauer Т. Commuting transformations and mixing // Proc. Amer. Math. Soc.-1970.-Vol. 24.-Pp. 637-642.

2. Alpern S. Return times and congugates of an antiperiodic transformation // Ergodic th." and Dinamic Syst.-1981.—Vol. 1.-Pp. 135-143.

3. Anzai H. Ergodic skew product transformations on the torus // Osaka Math. J.—1951.—Vol. 3, no. 1. — Pp. 83-99.

4. Chacon R. Transformations having continuous specrum // J.Math, and Mech. — 1966. — Vol. 16, no. 5.— Pp. 399-415.

5. Dovmarowicz Т., Kwiatkowski J. Weak closure theorem fails for Z2-actions // preprint.

6. Ergodic transformations conjugate to thier inverses by involutions / G. R. Goodson, M. Lemanczyk, A. del Junco, D. J. Rudolph // Ergodic th. and Dyn. Syst. —1996. — Vol. 16. —Pp. 97-124.

7. Friedman N., Gabriel P., King J. L. An invariant for rigid rank-1 transformations If Ergodic Theory of Dynam.Systems. —1988. — Vol. 8. —Pp. 53-72.

8. Purstenberg H. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in deophantine approximation // Math. Syst. Theory. —1967. — Vol. 1. —Pp. 1-49.

9. Glasner E., King J. L. A zero-one law for dynamical properties // Contemporary Mathematics. —1998. — Vol. 215.-Pp. 231-242.

10. Goodson G. R., Lemanczyk M. Transformations conjugate to their inverses have even essential values // Proc. of AMS. —1996. — Vol. 124.-Pp. 2703-2710.

11. Goodson G. R., Ryzhikov V. V. Conjugations, joinings, and direct products of locally rank-one dynamical systems // J. Dyn. and Contr. Syst. —1997.—Vol. 3. —Pp. 321-341.

12. Hahn P., Parry W. Some characteristic properties of dynamical systems with quazi-discrete spectrum // Math. Syst.-1968.-Vol. 2.-Pp. 179-190.

13. Halmos P. Approximation theories for measure — preserving transformations 11 Trans. Amer. Math. Soc.— 1944.-Vol. 55, no. l.-Pp. 1-18.

14. Katznelson Y., Weiss B. Commuting measure preserving transformations // Israel J.Math. —1972.— Vol. 12.-Pp. 16-173.

15. King J. L. The commutant in the weak closure of the powers, for rank-1 transformations // Ergod. Th.Dinam. Sys. —1986.—Vol. 6. —Pp. 363-384.

16. King J. L. F. The generic transformation has roots of all orders // Colloquium mathematicurn. — 2000. — Vol. 84/85, no. 2.-Pp. 521-547.

17. Lemanczyk M., del Junco A. Generic spectral properties of measure-preserving maps, and applications // Prvc.Amer.Math. Soc. -1992. — Vol. 115, no. 3.-Pp. 725-736.

18. Lemanczyk M., del Junco A. Simple systems are disjoint from gaussian systems // Studia Math. —1999.— Vol. 133, no. 3.-Pp. 249-256.

19. Newton D. Coaliscence and spectrum of automorphisms of lebesque space // Z. Wahr. Verw. Geb. —1971.— Vol. 19.-Pp. 117-122.

20. Omstein D. S. On the root problem in ergodic theory // Proc.Sixth Berkeley Sympos.Math.Statist.Probab. — 1972.-Vol. 2.-Pp. 347-356.

21. Ornstein D. S., Weiss B. Entropy and isomorphism theorems for actions of amenable groups // J. d'Analyse Math. —1987.—Vol. 48.-Pp. 1-141.

22. Prikhodko A. A. Special representations of Zd-actions // J. of Dinam and Conrol Syst. —1996. — Vol. 2, no. 2. —Pp. 239-253.

23. Rudolph D. J. An example of a measure-preserving map with minimal self-joinings and applications // J.AnaLMath. —1979. — Vol. 35.-Pp. 97-122.

24. Ryzhikov V. V. Joinings, intertwining operators, factors and mixing properties of dynamical systems I j Mat. sb.-1992.-Vol. 183, no. 3.-Pp. 133-160.

25. Ryzhikov V. V. Intertwinings of tensor products, and the stochastic centralizer of dynamical systems // Sbomik Math. —1997. — Vol. 188, no. 2.-Pp. 237-263.

26. Ryzhikov V. V. Homogeneous spectrum, disjointness of convolutions, and mixing properties of dinamical sytems // Selected Russian Math. —1999. — Vol. 1, no. 1. —Pp. 13-24.

27. Ryzhikov V. V., Prikhod'ko A. A. Disjontness of convolutions for chakon's authomorphism // Col. Math.— 2000.-Vol. 84/85, no. l.-Pp. 67-74.

28. Thouvenot J. Quilques proprifetes des systems dinamiques qui sedecomposent en un produit de deux systems dont l'un est un schema de bernoulli // Isr. J. Math. —1975. —Vol. 21, no. 2-3. —Pp. 177-207.

29. Агеев О. H. О сопряженности группового действия своему обратному // Мат. заметки.—1989.— Т. 45.W3.-C. 3-11.

30. Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-расширением для любой конечной абелевой группы G / j ДАН.—2000.—Т. 374, Л* 4. —С. 439-442.

31. Агеев О. Н. О типичности некоторых неасимптотических динамических свойств J j Успехи мат. наук. — 2003. — Т. 58, Л* 1. —С. 177-178.

32. Вершит А. М. Общая теория гауссовых мер в линейных пространствах // Успехи мат. наук. — 1964. — Т. 19, 1.-С. 210-212.

33. Каток А. В. Энтропия и аппроксимации динамических систем периодическими преобразованиями // Функц. анализ.—1967.—Т. 1, 1. —С. 75-85.

34. Колмогоров А. И., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1989.

35. Корнфельд И., Синай Я., Фомин С. Эргодическая теория. — Москва: Наука, 1980.

36. Куратовсхий К. Топология.—Москва: Мир, 1966.—Т. 1.

37. Малышев В. А. Почти инвариантные меры // Вест. Моск. Ун-та. —1964.—Т. 1, Л* 6. —С. 48-50.

38. Оселедец В. И. Автоморфизм с простым и непрерывным спектром без группового свойства // Мат. заметки. —1969.—Т. 5, Л* 3.—С. 323-326.

39. Оселедец В. И. Пример двух неизоморфных систем с одинаковым простым сингулярным спектром // Функц. анализ и его прил.—1971. —Т. 5, Л* 3. — С. 75-79.

40. Приходъко А. А. Специальное представление апериодического автоморфизма пространства Лебега // Мат. заметки.—1995.—Т. 58, № 2. —С. 314-317.

41. Приходъко А. А. Разбиение на башни фазового пространства Z''-действия сохраняющего меру // Мат. заметки.—1999.-Т. 65, № 5. — С. 712-725.

42. Приходъко А. А., Рыжиков В. В. Максимальная лемма Рохлина-Халмоша-Альперна // Вест. Моск. Ун-та. —1996.—JV* 3. —С. 37-41.

43. Рохлин В. А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // Успехи мат. наук.— 1949.-Т. 30, JY» 2.-С. 57-128.

44. Рохлин В. А. Общее сохраняющее меру преобразование есть перемешивание j j Мат. сборник.— 1949.-Т. 67, JV* 1.-С. 107-150.

45. Рыжиков В. В. Об ассиметрии каскадов // Труды мат.инст. им. Стеклова. —1997. — Т. 216.— С. 154-157.

46. Синай Я. Г. О свойствах спектров эргодических динамических систем // Докл. Акад. Наук. — 1963. — Т. 150, № 6. —С. 1235-1237.

47. Степин А. М. О квадратных корнях из метрических автоморфизмов // ДАН. —1967. — Т. 176, № 5. — С. 1023-1026.

48. Степин А. М. О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов // Мат. заметки.— 1973. —Т. 13, № 3. —С. 403-^09.

49. Степин А. М. Спектральные свойства типичных динамических систем // Мат. Известия.— 1986.— Т. 50, №4.-С. 801-834.

50. Степин А. М., Еременко А. Типичное сохраняющее меру преобразование имеет обширный централизатор // ДАН. 2004. - Т. 394, № 6. — С. 739-742.

51. Степин А. М., Каток А. В. Аппроксимации в эргодической теории // Успех, мат. наук.— 1967.— Т. 22,JV*5.-C. 81-106.

52. Тихонов С. В. О связи метрических и спектральных свойств Z''-действий // Фундам. и прикл. математика. — 2002.—Т. 8, № 4.-С. 1179-1192.

53. Тихонов С. В. Типичное действие группы Ъл вкладывается в действие группы Jf1 // ДАН. — 2003.— Т. 391, Л» 1. —С. 26-28.

54. Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. — Москва: Изд. Иностр.Литературы, 1959.