Продолжение сохраняющих меру действий с подгруппы на группу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.987.5+517.938.5

Еременко Антон Михайлович

Продолжение сохраняющих меру действий с подгруппы на группу

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А.М. Степии

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Оселедец,

кандидат физико-математических наук C.B. Тихонов

Обнинский государственный технический университет атомной энергетики

Защита диссертации состоится 21 апреля 2006 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан " ^ "_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических

наук профессор ^ ) /^'^Т.П. Лукашенко

¿ребА

Ж/У

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Локально компактная группа С? с инвариантной мерой тс действует на пространстве с мерой (X, ц), если определено измеримое отображение ((? х X, то х ц) —► (X, р),

(д,х) н-» Бдх,

такое что 5\с = Iс! (1с — единица группы С?, ¡с1 — тождественное преобразование) и

для элементов х 6 X из множества полной меры, не зависящего от <7ъ<?2-Действие Бс сохраняет меру, если для всех з 6 С и любого измеримого множества А С X

= /х(л).

Всюду далее принимается, что (X, /а) — пространство Лебега, а все действия подразумеваются сохраняющими меру. Не ограничивая общности можно считать, что X — [0; 1), р — стандартная мера Лебега на прямой.

Классическими объектами эргодической теории являются действия группы Ъ, т. е. собственно сохраняющие меру преобразования, и потоки — действия группы К. В общей ситуации одним из способов получить информацию о действии Яс? может быть изучение ограничения во на подгруппы Я с С?. Естественно спросить, какие в принципе действия Я могут возникнуть таким образом, иными словами, какие действия Я могут быть продолжены до действия объемлющей группы С?.

Определение 1.1. Пусть Я подгруппа в группе (7. Будем говорить, что действие Бс продолжает действие Тя, если Т/, = 5/, УН € Я. Обозначение: Эс Э Тд.

В задаче о продолжении можно выделить естественные подзадачи, которые несколько неформально перечислены ниже:

- Когда существует продолжение данного действия?

- Является ли свойство иметь продолжение типичным в пространстве всех действий группы Я?

- Для данной пары Я С О привести примеры действий Тя, имеющих и не имеющих продолжения.

- Сколько неизоморфных продолжений может существовать у данного действия и какое число продолжений реализуется в типичной ситуации? I-————--------

| РОС НАЦИОНАЛЬНА)! I 1 I БИБЛИОТЕКА [

! ;•

В вопросе о существовании продолжения Sg Э Тя, как правило, подразумевается, что действие Sg должно быть свободным, т. е. для каждого g eG множество неподвижных точек преобразования Sg имеет меру нуль.

Типичность того или иного свойства понимается в смысле слабой топологии в пространстве Aut(X, ц) (если речь идет о преобразованиях) или, более общо, во множестве представлений данной локально компактной группы преобразованиями из Aut(X, ц). При этом существенно, что слабая топология метризуема и соответствующее метрическое пространство полно.

Определение 1.2. Говорят, что некоторое свойство типично, если множество обладающих им действий Sg является массивным, т. е. дополнение к нему в пространстве всех G-действий представляет собой множество первой категории (= объединение счетного набора нигде не плотных множеств).

Классическими вариантами общей задачи о продолжении являются проблемы извлечения корней из преобразований (G — Z, Я = nZ) и включения преобразований в потоки. (G = R, Н = Z).

Корнем данной степени г, г 6 N, г > 2, из Т £ Aut(X, ц) называл ется такое сохраняющее меру обратимое преобразование S, что 5Г = Т. Совокупность всех корней данной степени будем обозначать \/Т. Необходимое и достаточное условие существования корня из эргодического преобразовния с чисто точечным спектром было найдено П. Р. Халмо-шем1. Этот результат поставил вопрос о существовании преобразований с непрерывным спектром, которые не имеют корней. Конструкция таких преобразований была предложена A.M. Степиным2, а также Р. Чеконом3. Примеры, доставляемые конструкцией A.M. Степина и ее обобщениями, являются групповыми расширениями и обладают несчетным централизатором. Пример перемешивающего преобразования То без корней предложил Д. Орнстейн4. В конструкции Орнстейна То обладает минимальным централизатором: С (То) = п € Z}. Другие примеры можно найти

'HalmoB P.R. Lectures on ergodic theory. Publications of the Mathematical Society of Japan. Tokyo, 1956.

Halmoe P.R. Square roots of measure preserving transformations// Amer. J. of Math. 1942. V. 64. P. 163-166.

2Степнн A. M. О корнях квадратных из метрических автоморфизмов // ДАН СССР. 1967. Т. 176. N5. С. 1023-1026.

'Chacon R.V. Transformations having continuous spectrum // J. Math, and Mech. 1966 V. 16. N5. P 399-415.

4Omstein D.S. On the root problem in ergodic theory. In: Proceedings of the Sixth Berkely Symposium on Mathematical Statistics and Probability (Univ. California, Berkely, Calif., 1970/1971). Berkely, Calif.: Univ California Press, 1972. V. П Probability Theory. P. 347-356

в работах Д. Рудольфа6, А. дель Юнко и М. Леманчика6. В упомянутой статье A.M. Степина показано, что число спектрально неэквивалентных корней простой степени р из преобразования Т с однократным спектром равно рп для некоторого п = 0,1,2,..., если, разумеется, множество конечно.

В статье Халмоша 1942 г. упоминается вопрос о включении данного преобразования Т в поток, т.е. о существовании такого потока {Ft, t € R}, что Fi = Т. Множество всех потоков, включающих данное Т, обозначим J-(T). В работе В.А. Рохлина7 эта задача поставлена одновременно с вопросом о возможном числе элементов множества 3-{Т).

Решение этих проблем связано со следующим утверждением, которое получило название «динамическая альтернатива»8.

Теорема 1.1. Пусть Г — группа гомеоморфизмов полного сепарабельно-го метрического пространства X, имеющая плотную орбиту. Тогда всякое множество M С X, инвариантное относительно Г и обладающее свойством Бэра (т. е. представимое в виде симметрической разности О A M, где О — открытое множество, a M — первой категории), либо массивно, либо имеет первую категорию.

Доказательство этого предложения использует единственность регулярного представления множества, обладающего свойством Бэра (т. е. та^ кого представления в виде О А М, где M — первой категории, а О совпадает со множеством внутренних точек своего замыкания).

В случае X = Aut(X, ц) в качестве Г естественно взять саму группу Aut(X, ц), действующую на себе сопряжениями. Назовем множество M С Aut(X, ß) динамическим, если оно обладает свойством Бэра и инвариантно относительно сопряжений.

Теорема 1.1'. Всякое динамическое множество либо первой категории, либо массивно.

Ключевым моментом при использовании «динамической альтернативы» является установление свойства Бэра для множества М. Дж. Кинг предложил9 использовать для этой цели следующий фундаментальный факт дескриптивной теории множеств, основанный на конструкции «ре-

sRudolph D.J. An example of a measure preserving map with minimal self-joinings and applications// J. Anal. Math. 1979. V. 35. P. 97-122.

'del Junco A , Lemariczyk M. Generic spectral properties of measure-preserving maps and applications // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V. 115. N3. P. 725-736.

тРохлин B.A. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // Успехи мат. наук. 1949. T. IV. Вып. 2(30).

'Glasner Е., King J. F. A zero-one law for dynamical properties // Contemp. Math. 1998. V. 215. P. 231-242.

'King J F. The generic transformation has roots of all orders // CoUoq. Math. 2000. V. 84/85. P. 521-547.

шета Лузина»10:

Теорема 1.2. Каждое аналитическое подмножество полного сепарабель-ного метрического пространства обладает свойством Бэра.

Напомним, что аналитическое множество это образ борелевского множества при непрерывном отображении.

После того как произведена редукция к динамической альтернативе, для доказательства типичности того или иного свойства достаточно показать, что множество обладающих им преобразований не является множеством первой категории. Удобное достаточное условие дает следующая лемма. Пусть А: X —► У — отображение топологических пространств. Точка х G X называется точкой локальной плотности отображения А, если для любой окрестности U Э х найдется окрестность V э А(х), таг кая что A(U) плотно в V. Множество точек локальной плотности данного отображения А обозначим LocDen(^).

Лемма 1.3 (R. Dougherty). Пусть А: X У — непрерывное отображение, и X является полным сепарабельным метрическим пространством. Если LocDen(A) плотно в X, то А(Х) не может иметь первую категорию в У.

Изложенный выше подход позволил Дж. Кингу установить, что типичное преобразование имеет корни всех степеней. A.M. Степин высказал гипотезу о бесконечности множества корней в типичном случае. О.Н. Агеев, опираясь на метод Кинга, доказал это утверждение11. Этот результат был затем независимо уточнен О.Н. Агеевым12 и A.M. Степиным совместно с A.M. Еременко [2]: было доказано, что типичное преобразование имеет континуум корней данной степени.

Отметим, что во второй из упомянутых работ О.Н. Агеева также анонсирован следующий общий результат о продолжении действий групп: Теорема 1.4. Пусть G — счетная абелева группа с бесконечной циклической подгруппой Н. Тогда типичное преобразование (— действие Н) продолжается до действия G.

Доказанная Дж. Кингом теорема о существовании у типичного преобразования корней всех степеней стимулировала решение вопроса о включении преобразований в потоки. Ясно, что если преобразование Т включается в поток {St: t е R}, то для каждого г существует бесконечная цепочка корней {Si/r», n € N}:

(Si/r"У = Si/^-i, п > 2,

10Куратовский К. Топология, т. 1. М.: Мир. 1966.

11 Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопряжен с G-раоишрением для любой конечной абелевой группы G // Доклады РАН. 2000. Т. 374. N4. С. 439-442.

1гАгеев О. Н. О типичности некоторых неасимптотических динамических свойств // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58. N1. С. 177-178.

(Si/rY = т,

такая что в слабой топологии Si/,.« —> id, п —+ оо. Как отметил Дж. Кинг, доказанное утверждение гарантирует лишь существование цепочки корней сколь угодно большой, но конечной длины. Более того, существует пример преобразования, имеющего цепочку корней любой наперед заданной конечной длины, но не имеющего бесконечной цепочки (В. Мадор13). Доказательство существования корней так же не дает контроля над поведением d(Syrn, id) с ростом n(d — метрика в Aut(X, д), задающая слабую топологию).

Положительный ответ на вопрос о включении типичного преобразования в поток дали де ла Рю и де Сэм Лазаро14, используя «динамическую альтернативу» и лемму 1.3.

Топологический подход в сочетании с результами настоящей работы, изложенными на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории (Кацивели, "Украина, 2000 г.), Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003 г.) и опубликованными в [2], позволил C.B. Тихонову установить многомерные аналоги упомянутых выше результатов. В частности, им доказано,

что типичное действие решетки Zfc вкладывается в действие группы М* 15

Следует отметить еще два варианта постановки задачи о продолжении. В связи с примером Б. Мадора правомерно сформулировать следующий вопрос: если Я-действие продолжается до действия каждой собственной подгруппы в G, содержащей Н, то в каком случае оно является ограничением G-действия?

Другой вариант постановки задачи о продолжении действий на ц) необходимо требует расширения пространства X. Этот случай возникает, когда вместо подгруппы H С G рассматривается полугруппа S. Пусть, например,

G = Z, S = Z+, тогда задача продолжения формулируется так: дано 2+-действие Т в пространстве (X, /л) и требуется построить Z-действие Т в пространстве (X',fjf), сохраняющее меру //, и инвариантное разбиение £ пространства X' такие, что T/Ç ~ Т. Эта задача, как и общая задача для пары S С G,

18Madore В. Rank-one group actions with simple mixing Z-subactions // New York J. Math. 2004. V.

10. P. 175-194.

ude la Rue T., de Sam Lazare J. Une transformation générique peut être insérée dans un flot // Annales de 11HP. 2003. V. 39. P. 121-134.

15Тихонов С В Типичное действие группы Z* вкладывается в действие группы R* /,/ Доклады РАН. 2003. Т. 391. N1. С. 26-28.

Тихонов C.B. Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизыонктность // Дисс. канд. физ.-мат. н. М.: МГУ, 2003.

где 5 — подполугруппа в б, решается с помощью конструкции естественного расширения. Без расширения пространства можно обойтись, лишь если энтропия ^-действия равна нулю.

Цель работы. Получить критерии продолжаемости действия подгруппы Я С С? для определенных пар (#, С?) и классов групп. Установить степень неединственности таких продолжений в типичном случае. Исследовать, какие возможности могут встречаться в общем случае, и построить явные примеры действий, реализующие эти возможности.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

- Развит новый подход к установлению типичности свойств сохраняющих меру преобразований, основанный на теореме Куратовского-Улама, и с его помощью доказано, что в централизаторе типичного преобразования содержится бесконечномерный тор;

- Для класса действий с точечным спектром найден критерий продолжаемости действия с подгруппы абелевой группы на всю группу. Построены примеры преобразований с однократным спектром, реализующие все возможности для числа корней из преобразования;

- Получен критерий продолжения действия с подрешеток в г* и построен пример действия, обладающего нетривиальным препятствием к продолжению до действия объемлющей решетки.

- Получен критерий существования продолжения в случае, когда Н является компактной нормальной подгруппой в локально компактной группе С (Н и (7, вообще говоря, неабелевы).

Методы исследования. В работе используются спектральные, ап-проксимационные и топологические методы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам по эргоди-ческой теории и общей теории динамических систем и групп преобразований.

Апробация работы. Основные результаты, представленные в настоящей диссертации, докладывались на семинарах по динамическим системам в МГУ в 1999-2005 гг. и на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории, посвященной памяти В.М. Алексеева (Кацивели, Украина, 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах [1-4], список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух частей основного текста и списка литературы, насчитывающего 50 наименований. Первая часть состоит из пяти, а вторая - из четырех параграфов. Общий объем диссертации - 85 страниц.

Формулы, определения и утверждения имеют номерацию вида X.Y, где X — номер части, a Y — номер формулы (определения, утверждения) в этой части.

Основное содержание диссертации

В первой части диссертации рассматривается задача о продолжении сохраняющего меру действия с подгруппы счетной абелевой группы. Важным частным случаем является задача о существовании корней из преобразования. В §1.1 упомянутое выше утверждение о том, какие значения может принимать card \/Т, если множество у/Т конечно, обобщается снаг чала для случая произвольного показателя г, а затем распространяется на продолжения действий подгруппы счетной абелевой группы. Строятся примеры, реализующие все возможности для конечного числа корней. В конце параграфа рассматривается проблема существования корня из неэргодического преобразования (п. 1.1.4).

В §1.2 для целей дальнейшего изложения воспроизводится схема докаг зательства Дж. Кинга существования корня данной степени из типичного преобразования, основанная на бэровском свойстве аналитических множеств и использовании понятия точки локальной плотности непрерывного отображения. Изложение в этом параграфе следует упомянутой работе Дж, Кинга9 с некоторыми упрощениями.

Один из основных результатов первой части сформулирован в §1.3: Теорема 1.5. Для каждого г € N, г > 2, в централизаторе типичного

ОО

преобразования Т е Aut(X, fi) содержится прямое произведение П

Следствие 1.6. Для типичного Т € АЫ(Х, ц) множество \/Т имеет мощность континуума, причем геометрически различные корни из Т спектрально неэквивалентны.

Доказательство использует дополнительно к схеме Кинга новый топологический прием, основанный на следующем аналоге теоремы Фубини из теории меры:

Теорема 1.7 (Куратовский-Улам). Пусть X, У — полные сепарабель-ные метрические пространства. Если Е массивное подмножество в X хУ, то для типичного х € X множество Ех = {у € У: (х, у) € Е} массивно в

у.

Как уже было отмечено, утверждение следствия 1.6 доказано О.Н. Агеевым с помощью другого подхода12.

Поясним, как работает теорема 1.7, для чего введем следующие определения. Пусть Т € АЫ(Х, у) и /: X —> Ът — измеримая функция на X со значениями в группе Ъг\ множество всех таких функций будем обозначать через Тт(Х). Косым произведением (надстройкой) с базой Т, слоем Ът и коциклом / называется преобразование

Т*(х, п) = (Тх, }(х) + п), хеХ,пе%т, (1.1)

пространства (У, и) — (Х,у) х (1,г,1лг), где цг — равномерная мера на Ъг. Группу косых произведений вида (1.1) обозначим БАМ (У, и). Она замкнута в АиЬ{у, г/) и, стало быть, является полным метрическим пространством, изометричным произведению АиЬ(Х, /л) и пространства коциклов ЪТ{Х) (топология в ЪТ(Х) может быть задана с помощью метрики <Цдъ 92) = б X: дг(х) ф дг(х)}).

Именно к ЗАы(У, и) и будет применена теорема Куратовского-Улаг ма. В качестве сомножителей X и У будут выступать АЫ(Х, ¡л) и 2Г(Х) соответственно, а роль Е будет играть массивное множество надстроек, обладающих корнем степени г: Теорема 1.8. Множество

К = {Т! 6 &4и*(У, V): у/Т* ф 0}

массивно в БАи^У, и).

В следующем утверждении используются понятия теории аппроксимаций периодическими преобразованиями16.

Теорема 1.9. Пусть Т принадлежит множеству СААиЦХ, /л) преобразований, допускающих циклическую аппроксимацию со скоростью о(1 /п)

"Каток A.B., Степин A.M. Аппроксимации в эргодической теории // Успехи мат. наук. 1967. Т 22. Вып. 5. С. 81-106.

относительно некоторой последовательности разбиений {С1}, стремящейся к разбиению на точки, и \/Т не более чем счетно. Тогда множество К.? коциклов /, для которых л/Т? 0, имеет первую категорию в ЪТ{Х).

Пусть эти утверждения доказаны. Для типичного преобразования Т множество К.т массивно в пространстве коциклов благодаря теоремам 1.8 и 1.7. Множество СААЫ(Х, р) массивно в АЫ(Х, /А поэтому в силу теоремы 1.9 для типичного Т £ АиЬ(Х, р) множество уТ несчетно. По теореме Александрова - Хаусдорфа10 всякое несчетное борелевское множестю полного сепарабельного метрического пространства содержит подмножество, гомеоморфное канторову множеству, следовательно, имеет мощность континуума. Множество \/Т, очевидно, является борелевским, что доказывает теорему 1.5.

Доказательство теоремы 1.8 основано на изложенной выше схеме Кинга. Множество К, является образом пространства БАи^У, и) при непрерывном отоборажении Рг: Т V, поэтому в силу теоремы 1.2 оно обладает свойством Бэра. Кроме того, К инвариантно относительно действия ЯАи^У, V) на себе сопряжениями. Это действие обладает плотной орбитой (лемма 1.20), следовательно К, либо массивно, либо первой категории. Вторая возможность исключается установлением плотности множества ЬосОЕЫ(Рг) в баицу, i/).

В доказательстве теоремы 1.9 анализируется связь между существованием корня из косого произведения с коциклом / и разрешимостью гомологического уравнения на /. Если для данного преобразования Т существует аппроксимация с требуемой в условии скоростью, то такую аппроксимацию можно построить и для косого произведения Т?, где / пробегает некоторое массивное подмножество в "ЕТ(Х). В этом случае Т} обладает однократным спектром, следовательно, всякий корень из Т? также является косым произведением. Отсюда следует, что / гомологично единичному коциклу над некоторым эргодическим преобразованием, но такие коциклы составляют множество первой категории в 2Г(Х) (лемма 1.25).

§1.4 посвящен продолжению действий с евклидовых подрешеток. т.е. подгрупп группы Zfc. Пусть Я С — подрешетка индекса п, и /Я ~ Zn, 1 < п < к. Вектор г € 2 назовем примитивным в Ък , если его нельзя представить в виде ¿ч, ^ € > 1, с[ € Ък. Вектор г £ Ък примитивен тогда и только тогда, когда его координаты взаимно просты. Вектор р € Я назовем опорным (относительно Я), если он является примитивным в Я и при этом р = п • в, 8 е Ък. Заметим, что тогда в обязан быть примитивным в Ък\ действительно, если в = £и, £ > 1, то р = {(пи) и пи £ Я. Теорема 1.10. Пусть ..., а* — какой-либо базис в Я, г — опорный относительно Я вектор. Можно указать действие Эх» ЗТ н, если и только

если существует преобразование S € коммутирующее с образующими действия Тн:

ST^T^S, i = l,...,fc. (1.2)

В диссертации приведены примеры Я-действий с непрерывным спектром, которые обладают нетривиальным препятствием к продолжению до действия объемлющей решетки, а именно, нарушено условие (1.2).

Теорема Халмоша о необходимых и достаточных условиях существовал ния квадратного корня из эргодического преобразования с чисто точечным спектром обобщается в §1.5. Пусть Я — подгруппа счетной абелевой группы G и дано эргодическое действие Тя с чисто точечным спектром. Собственные значения Тя составляют подгруппу £я в группе характеров Я группы Я. Рассмотрим теперь в G какую-либо максимальную подгруппу М, не содержащую элементов аннулятора Ann Я (т. е. характеров, тождественно равных единице на Я). Существование такой подгруппы следует из леммы Цорна. Ограничение на М канонического гомоморфизма л л л

p\G~*H- G/АппЯ

является изоморфизмом на свой образ. Подгруппа L = р(М) не зависит от выбора М.

Теорема 1.11. Можно указать действие Sq, продолжающее Тя, если и только если £я С L.

Отметим, что продолжение действия абелевой группы с чисто точечным спектром автоматически принадлежит этому же классу.

Во второй части задача о продолжении рассматривается в классе локально компактных групп. Если преобразование Т с однократным спектром допускает включение в поток, то либо такое включение единственно, либо множество Т(Т) потоков, включающих Т, бесконечно (теорема 2.1). Одним из основных результатов части 2 является

Теорема 1.12. Централизатор типичного преобразования Т £ Aut(X, /л) содержит бесконечномерный тор.

Следствие 1.13. Для типичного Т £ Aut(X, ц) множество Т{Т) потоков, включающих Т, имеет мощность континуума, причем потоки из F(T) спектрально неэквивалентны.

Доказательство теоремы 1.12 также основано на использовании теоремы Куратовского-Улама, но роль SAut(Y, v) теперь играет пространство SFlow(Y, I/), состоящее из таких действий группы М, которые являются косыми произведениями со слоем Z2 относительно проекции (x,n) t-> х. Это полное сепарабельное метрическое пространство в топологии, индуцированной из пространства всех потоков на (Y, v) (последняя задается

метрикой

M{Ft},{St})= sup d(Ft,St), <e[o,i]

где d — соответствующая метрика на Aut(Y, v)). Сформулируем соответствующие аналоги предложений 1.8 и 1.9: Теорема 1.8'. Множество

К = {Т! £ SAut{Y, V): F{TS) ф 0} массивно в SAut(Y, и).

Теорема 1.9'. Пусть Т принадлежит множеству преобразований, допускающих циклическую аппроксимацию со скоростью o(í/n), и Т(Т) не более чем счетно. Тогда множество K,j коциклов f, для которых Т{Т?) ф 0, имеет первую категорию в Z2(X).

Доказательство теоремы 1.8' использует подход де ла Рю и де Сэм Лаг заро14, модифицированный для работы в пространстве SFlow{Y, и). В частности, устанавливается, что каждый поток из множества

V = {{F¿} € SFlaw(Y, и): За е R \ Q, 6 SAut(Y, и)

Т.Ч. Fl — (pPaip'1}

является точкой локальной плотности отображения {Ft} н-> Fi. Здесь через Ра обозначено преобразование, соответствующее сдвигу

х' i—► х' + a mod 1

при изоморфизме пространств (X, р) и (У, и) посредством отображения (x,j) i-» х' = (х + j)/2. Наконец, непосредственно проверяется всюду плотность V в SFlow(Y, и).

С помощью теоремы 1.11 для преобразования Т с чисто точечным спектром формулируется критерий существования потока, включающего Т (п. 2.1.8).

В параграфах §§2.2- 2.4 изложены некоторые результаты, относящиеся к задаче продолжения действий неабелевых групп. §2.2 посвящен обзору траекторного подхода к рассматриваемой задаче, предложенного в работах С. Безуглого и других авторов17. В частности, ими построен пример действия R, которое не продолжается до действия группы М+ к R. аффинных преобразований прямой. С помощью спектрального подхода в §2.4 показано, что эта ситуация является типичной. В §2.3 получен критерий

"Bezuglyi S., Dajaoi К., Dooley А.Н., Ham achí Т. Isomorphic actions of group extensions on a measure space // Indag. Math. 2004. New Ser. 15. N2. P. 167-188., Bezugiyi S H-cocyles and ergodic actions of group extensions // Dop. NAN Ukraine 1999. N9. P. 21 -26.

продолжаемости действия группы Я сдвигами на своем однородном пространстве Я/Г в ситуации, когда объемлющая группа есть расширение Я с помощью группы D, т. е. точна последовательность

Получаемые утверждения можно использовать, когда, например, Я компактна, так как эргодическое действие компактной группы обладает орбитой полной меры, а стало быть, изоморфно сдвигу на однородном пространстве.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору A.M. Степину за ценные советы и вдохновляющие обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

[1] Eremenko A. Examples of measure preserving transformations with given number of square roots. // International Conference On Ergodic Theory and Dynamical Systems Dedicated to the Memory of Vladimir Mikhailovich Alexeyev (1932-1980), Katziveli, Ukraine. 2000. P. 16.

[2] Степин A. M. Еременко A. M. Типичное сохраняющее меру преобразование имеет обширный централизатор // Доклады РАН. 2004. Т. 394. N6. С. 739-742.

A.M. Степину принадлежит постановка задачи и предложение 2. A.M. Еременко принадлежит теорема 1 и предложение 1. Основная теорема работы [2] (теорема 4) выводится из предложений 1 и 2 с помощью теоремы Куратовского-Улама.

[3] Степин А. М. Еременко А. М. Неединственность включения в поток и обширность централизатора для типичного сохранющего меру преобразования // Матем. сб. 2004. Т. 195. N12. С. 95-108.

A.M. Степину принадлежит постановка задачи и предложение 1.3 A.M. Еременко принадлежит предложение 1.2. Основная теорема работы [3] (теорема 1.3) выводится из предложений 1.2 и 1.3.

[4] Еременко А. М. К вопросу о продолжении групповых действий, сохраняющих меру // Депонировано в ВИНИТИ РАН. 2005. N1579-B2005

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж | НС экз. Заказ № ¡¿2,

¿P06/L Wf

5814

j

Введение.

1. Продолжение действий счетных абелевых групп.

1.1. Существование и число корней из сохраняющего меру преобразования.

1.2. Подход, основанный на «динамической альтернативе»

1.3. Число корней из типичного преобразования.

1.4. Евклидовы решетки.

1.5. Действия с чисто точечным спектром.

2. Задача о продолжении в классе локально компактных абелевых и неабелевых групп.

2.1. Число потоков, включающих типичное преобразование

2.2. Обзор траекторного подхода к задаче продолжения

2.3. Продолжение действия с нормальной подгруппы.

2.4. Использование спектрального подхода.

Актуальность темы. Локально компактная группа G с инвариантной мерой тд действует на пространстве с мерой (X, р), если определено измеримое отображение S^: (G х Х,тс х р) —У (X, //), ж) н- Sgx, такое что SiG = id (1g — единица группы G, id — тождественное преобразование) и

9192х = Sgi^SgzX, для элементов х Е X из множества полной меры, не зависящего от gi,g2-•Действие Sg сохраняет меру, если для всех g £ G и любого измеримого множества А С X rtS^A) = ,л(А) по поводу определений см. также [10]). Всюду далее принимается, что (X, /i) — пространство Лебега, а все действия подразумеваются сохраняющими меру. Не ограничивая общности можно считать, что X — [0; 1), /2 — стандартная мера Лебега на прямой.

Классическими объектами эргодической теории являются действия группы Z, т. е. собственно сохраняющие меру преобразования, и потоки — действия группы R. В общей ситуации одним из способов получить информацию о действии Sg может быть изучение ограничения S^ на подгруппы Н С G. Естественно спросить, какие в принципе действия Н могут возникнуть таким образом, иными словами, какие действия Н могут быть продолжены до действия объемлющей группы G.

Определение 0.1. Пусть Н подгруппа в группе G. Будем говорить, что действие Sg продолжает действие если Тд = S/t Vh Е Н. Обозначение: Sq Э Тя

В задаче о продолжении можно выделить естественные подзадачи, которые несколько неформально перечислены ниже:

- Когда существует продолжение данного действия?

- Является ли свойство иметь продолжение типичным в пространстве всех действий группы HI

- Для данной пары Н С G привести примеры действий Т#, имеющих и не имеющих продолжения.

- Сколько неизоморфных продолжений может существовать у данного действия и какое число продолжений реализуется в типичной ситуации?

В вопросе о существовании продолжения S^r Э Т#, как правило, подразумевается, что действие Sg должно быть свободным, т. е. для каждого g Е G множество неподвижных точек преобразования Sg имеет меру нуль.

Типичность того или иного свойства понимается в смысле слабой топологии в пространстве Aut(X, д) (если речь идет о преобразованиях) или, более общо, во множестве представлений данной локально компактной группы преобразованиями из Aut(X, /i). При этом существенно, что слабая топология метризуема и соответствующее метрическое пространство полно.

Определение 0.2. Говорят, что некоторое свойство типично, если множество обладающих им действий Sq является массивным, т. е. дополнение к нему в пространстве всех G-действий представляет собой множество первой категории (= объединение счетного набора нигде не плотных множеств).

Классическими вариантами общей задачи о продолжении являются проблемы извлечения корня из преобразования (G = Z, Н = пЪ) и включения преобразования в поток (G = Ж, Н = Z).

Корнем данной степени г, г G N; г > 2, из Т £ Aut{X, /i) называется такое сохраняющее меру обратимое преобразование S, что Sr = Т.

Совокупность всех корней данной степени будем обозначать у/Т. Необходимое и достаточное условие существования корня из эргодического преобразовния с чисто точечным спектром было найдено П. Р. Халмо-шем в работе [34]. Эта публикация (см. также [33]) поставила вопрос о существовании преобразований с непрерывным спектром, не имеющих корней. Конструкция таких преобразований была предложена A.M. Сте-пиным в [14] (анонсирована на Международном конгрессе математиков 1966 г.), а также Р. Чеконом [26]. Примеры, доставляемые конструкцией из [14] и ее обобщениями, являются групповыми расширениями и обладают несчетным централизатором, см. также [29]. Пример перемешивающего преобразования То без корней предложил Д. Орнстейн [43]. В конструкции Орнстейна То обладает минимальным централизатором: С(То) = {Tq: п £ Щ. Другие примеры можно найти в работах [45], [35]. В [14] показано, что число спектрально неэквивалентных корней простой степени р из преобразования Т с однократным спектром равно рп для некоторого п = 0,1,2,., если, разумеется, множество Ут конечно.

В статье Халмоша [34] упоминается вопрос о включении данного преобразования Т в поток, т.е. о существовании такого потока {Ft, t G М}, что Fi = Т. Множество всех потоков, включающих данное Т, обозначим F(T). В работе В.А. Рохлина [13] эта задача поставлена одновременно с вопросом о возможном числе элементов множества F(T).

Решение этих проблем связано со следующим утверждением, которое получило название «динамическая альтернатива».

Теорема 0.1 (см. [30]). Пусть Г — группа гомеоморфизмов полного сепарабельпого метрического пространства X, имеющая плотную орбиту Тогда всякое множество М. С X, инвариантное относительно Г и обладающее свойством Бэра (т. е. представимое в виде симметрической разности О Д М, где О — открытое множество, а М — первой категории), либо массивно, либо имеет первую категорию.

Доказательство этого предложения использует единственность регулярного представления множества, обладающего свойством Бэра (т.е. такого представления в виде О А М, где М — первой категории, а О совпадает со множеством внутренних точек своего замыкания, см. [11]).

В случае X — Aut(X, /i) в качестве Г естественно взять саму группу Aut(X, /1), действующую на себе сопряжениями. Назовем множество М С Aut(X, fi) динамическим, если оно обладает свойством Бэра и инвариантно относительно сопряжений.

Теорема 0.1'. Всякое динамическое множество либо первой категории, либо массивно.

Ключевым моментом при использовании «динамической альтернативы» является установление свойства Бэра для множества Л4. Дж. Кинг предложил в [38] использовать для этой цели следующий фундаментальный факт дескриптивной теории множеств, основанный на конструкции «решета Лузина»(см., например, [9], §39):

Теорема 0.2. Каждое аналитическое подмножество полного сепара-белыюго метрического пространства обладает свойством Бэра.

Напомним, что аналитическое множество это образ борелевского множества при непрерывном отображении.

После того как произведена редукция к динамической альтернативе, для доказательства типичности того или иного свойства достаточно показать, что множество обладающих им преобразований не является множеством первой категории. Удобное достаточное условие дает следующая лемма. Пусть А: X —> У — отображение топологических пространств. Точка х £ X называется точкой локальной плотности отображения А, если для любой окрестности U Эх найдется окрестность V Э А(х), такая что A(U) плотно в V. Множество точек локальной плотности данного отображения А обозначим LocDen(.A). Лемма 0.3 (R. Dougherty). Пусть А: X н-> У — непрерывное отображение, и X является полным сепарабельным метрическим пространством. Если LocDen(^) плотно в x, то А(Х) не может иметь первую категорию в У.

Изложенный выше подход позволил Дж. Кингу установить, что типичное преобразование имеет корни всех степеней [38]. A.M. Степин высказал гипотезу о бесконечности множества корней в типичном случае. О.Н. Агеев, опираясь на метод Кинга, доказал это утверждение в [2]. Этот результат был затем независимо уточнен О.Н. Агеевым [3] и A.M. Степиным совместно с A.M. Еременко [48]: было доказано, что типичное преобразование имеет континуум корней данной степени.

Отметим, что в [3] также анонсирован следующий общий результат о продолжении действий групп:

Теорема 0.4. Пусть G — счетная абелева группа с бесконечной циклической подгруппой Н. Тогда типичное преобразование (= действие Н) продолжается до действия G.

Доказанная в [38] теорема о существовании у типичного преобразования корней всех степеней стимулировала решение вопроса о включении преобразования в поток. Ясно, что если преобразование Т включается в поток {St: t € R}, то для каждого г существует бесконечная цепочка корней {5i/rn,n Е N}:

Si/rn)r = S\jrn-1, n > 2, такая что в слабой топологии S\/rn —> id, n —>■ oo. Как отмечено в заключении к [38], доказанное там утверждение гарантирует лишь существование цепочки корней сколь угодно большой, но конечной длины. Более того, существует пример преобразования, имеющего цепочку корней любой наперед заданной конечной длины, но не имеющего бесконечной цепочки (Б. Мадор, [42]). Доказательство существования корней так же не дает контроля над поведением d{S\/rn, id) с ростом n (d — метрика в Aut(X, fi), задающая слабую топологию).

Положительный ответ на вопрос о включении типичного преобразования в поток дали дела Рю и де Сэм Лазаро в [44], используя «динамическую альтернативу» и лемму 0.3.

Топологический подход в сочетании с результами настоящей работы, изложенными на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории (Кацивели, Украина, 2000 г.), Международной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003 г.) и опубликованными в [48], позволил С.В. Тихонову установить многомерные аналоги упомянутых выше результатов. В частности, им доказано, что типичное действие решетки Ък вкладывается в действие группы Шк [19, 20].

Следует отметить еще два варианта постановки задачи о продолжении. В связи с примером Б. Мадора правомерно сформулировать следующий вопрос: если iJ-действие продолжается до действия каждой собственной подгруппы в G, содержащей Н, то в каком случае оно является ограничением G-действия? Другой вариант постановки задачи о продолжении действий на (X, /i) необходимо требует расширения пространства X. Этот случай возникает, когда вместо подгруппы Н С G рассматривается полугруппа S. Пусть, например,

G = Z, S = Z+, тогда задача продолжения формулируется так: дано Z+^eflcTBne Т в пространстве (X, ц) и требуется построить Z-действие Т в пространстве (Х',ц'), сохраняющее меру //, и инвариантное разбиение £ пространства X' такие, что Т/£ ~ Т. Эта задача, как и общая задача для пары S С G, где S — подполугруппа в G, решается с помощью конструкции естественного расширения. Без расширения пространства можно обойтись, лишь если энтропия S-действия равна нулю.

Цель работы. Получить критерии продолжаемости действия подгруппы Н С G для определенных пар (Н, G) и классов групп. Установить степень неединственности таких продолжений в типичном случае. Исследовать, какие возможности могут встречаться в общем случае, и построить явные примеры действий, реализующие эти возможности.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

- Развит новый подход к установлению типичности свойств сохраняющих меру преобразований, основанный на теореме Куратовского-Улама, и с его помощью доказано, что в централизаторе типичного преобразования содержится бесконечномерный тор;

- Для класса действий с точечным спектром найден критерий продолжаемости действия с подгруппы абелевой группы на всю группу. Построены примеры преобразований с однократным спектром, реализующие все возможности для числа корней из преобразования;

- Получен критерий продолжения действия с подрешетки в Ък и построен пример действия, обладающего нетривиальным препятствием к продолжению до действия объемлющей решетки.

- Получен критерий существования продолжения в случае, когда Н является компактной нормальной подгруппой в локально компактной группе G.

Методы исследования. В работе используются спектральные, ап-проксимационные и топологические методы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам по эр-годической теории и общей теории динамических систем и групп преобразований.

Апробация работы. Результаты, представленные в настоящей диссертации, докладывались на семинарах по динамическим системам в

МГУ в 1999-2005 гг. и на Международной конференции по динамическим системам и эргодической теории, посвященной памяти В.М. Алексеева (Кацивели, Украина, 2000 г.).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, списка литературы и двух частей основного текста. Первая часть состоит из пяти, а вторая - из четырех параграфов. Формулы, определения и утверждения имеют номерацию вида X.Y, где X — номер части, а У — номер формулы (определения, утверждения) в этой части.

1. Агеев О. Н. О функции кратности спектра динамических систем // Матем. заметки. 1999. Т. 65. N4. 619-621.

2. Агеев О. Н. Типичный автоморфизм пространства Лебега сопря- Щ жен с (7-расширением для любой конечной абелевой группы G //Доклады РАН. 2000. Т. 374. N4. 439-442.

3. Агеев О. Н. О типичности некоторых неасимптотических динами- ческих свойств // Уснехи мат. наук. 2003. Т. 58. N1. 177-178.

4. Ауслендер А., Грин Л., Хан Ф. Потоки на однородых нростран- ствах. Библиотека сб. "Математика". М.: Мир, 1966.

5. Каток А. Б., Степин A.M. Аппроксимации в эргодической тео- ^ рии // Успехи мат. паук. 1967. Т. 22. Бып. 5. 81-106.

6. Каждан Д. А. О связи дуальпого пространства грунпы со строением ее замкнутых подгрупп // Функц. анализ и его прил. 1967. Т. 1. N1.С. 71-74.

7. Кириллов А. А. Элемепты теории представлений. М.: Наука. 1978.

8. Корнфельд Н.П., Синай Я.Г., Фомин С В . Эргодическая теория. М.: Наука. 1980.• 9. Куратовский К. Тонология, т. 1. М.: Мир. 1966.

9. Общая эргодическая теория групп преобразований с инваринтной мерой. В кн.: Динамические системы-2. Сер. Современные про-блемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ.1985. Т. 2.

10. Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир. 1974. ^ 12. Нонтрягип Л. Непрерывпые группы. М.: Наука, 1984.81

11. Рохлин в.А. Избранные вопросы метрической теории динамиче- ских систем // Успехи мат. паук. 1949. Т. IV. Вып. 2(30).

12. Степин А. М. О корнях квадратных из метрических автоморфизмов // ДАН СССР. 1967. Т. 176. N5. 1023-1026.

13. Стенин А. М. Применение метода нериодических анпроксимаций в спектральной теории динамических систем. Канд. дисс, МГУ, 1968.

14. Стенин А. М. О когомологиях грунн автоморфизмов пространства Лебега // Функц. анализ и его нрил. 1971. Т. 5. N2. С 91-92.

15. Стенин А. М. О связи аппроксимативных и спектральных свойств метрических автоморфизмов // Матем. заметки. 1973. Т. 13. N3. С403-409.

16. Степин А. М. Снектральные свойства тиничных динамических си- стем // ДАН СССР. 1977. Т. 176. N5. 1023-1026.

17. Тихонов СВ. Тиничное действие группы 1^^ вкладывается в дей- ствие группы R^ // Доклады РАН. 2003. Т. 391. N1. 26-28.

18. Тихонов СВ. Тииичные свойства абелевых грунп нреобразований с инвариантной мерой и снектральная дизъюнктность // Дисс. канд.ж физ.-мат. н. М.: МГУ, 2003.

19. Е1 Abdalaoui Е. Н. Оп the spectrum of the powers of Ornstein transformations // Special issue on Ergodic theory and harmonicanalysis. Shankya, ser. A. 2000. V.62. N3. P. 291-306.

20. Bezuglyi S., Colodets V. Type IIIo transformations of measure space and outer conjugacy of countable amenable groups of automorphisms^ // J. Operator Theory. 1989. N21. P. 3-40.82

21. Bezuglyi S., Golodets V. Weak equivalence and the structures of cocycles of an ergodic automorphism / / Publ, RIMS, Kyoto Univ. 1991.N27. P. 577-625.

22. Bezuglyi S. H-cocyles and ergodic actions of group extensions / / Dop. A NAN Ukraine. 1999. N9. P. 21-26.

23. Bezuglyi S., Dajani K., Dooley A.H., Hamachi T. Isomorphic actions of group extensions on a measure space / / Indag. Math. 2004. New Ser.

25. Chacon R.V. Transformations having continuous spectrum / / J. Math, and Mech. 1966. V. 16. N5. P. 399-415.

26. Chacon R.V. Weakly mixing transformations which are not strongly mixing / / Proc. Amer. Math. Soc. 1969. V. 22. P. 559-562.

27. Danilenko A. On cocyles with values in group extensions. Generic • results / / Mat. Fiz. Anal. Geom. 2000. N7. P. 153-171.

28. Friedman N., Gabriel P., King J.L. An invariant for rigid rank-1 transformations / / Ergodic Th. and Dyn. Syst. 1988. V. 8(1). P. 53-72.

29. Golodets V. Sinel'shchikov. Classification and structure of cocylces of amenable ergodic equivalence relation / / J. Funct. Analysis. 1994.N121. P. 455-485.

30. Halmos P.R. Lectures on ergodic theory. Publications of the ^ Mathematical Society of Japan. Tokyo, 1956.83

31. Halmos P.R. Square roots of measure preserving transformations// Amer. J. of Math. 1942. V. 64. P. 153-166.35. del Junco A., Lemanczyk M. Generic spectral properties of measure-preserving maps and applications // Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V.

32. King J. F. The generic transformation has roots of all orders // Colloq. Math. 2000. V. 84/85. P. 521-547.

33. King J. F. For mixing transformations rank T^ = к • rank T // Isr. J. Math. 1986. V. 56. P. 102-122.

34. Katok A., Robinson E.A. Jr. Cocycles, cohomology and combinatorial constructions in ergodic theory // Proc. of Symposia in Pure Math.2001.

35. Lemanczyk M. Extensions of cocycles for hyperfinite actions and applications // Monatshefte fiir Mathematik. 1997. V. 123. N4. P. 209-228.

36. Madore B. Rank-one group actions with simple mixing Z-subactions // New York J. Math. 2004. V. 10. P. 175-194.