Подгруппы расщепимых классических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. А. ЖДАНОВА

На правах рукописи

ВАВИЛОВ Николай Александрович

УДК 513.6 + 519.46

ПОДГРУППЫ РАСЩЕПИМЫХ КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

01.01.06 —МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЛЕНИНГРАД —1987

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Ленинградского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета им. А. А. Жданова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Борис Борисович ВЕНКОВ, доктор физико-математических наук, профессор Леонид Аркадьевич БОКУТЬ,. доктор физико-математических наук, Александр Ефимович ЗАЛЕССКИЙ

Ведущая организация — Московский государствгнный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится « » 198 г. в « » часов на

заседании специализированного совета Д 063.57.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Ленинградском государственном университете им. А. А. Жданова по адресу: 199011, Ленинград, наб. р. Фонтанки, д. 27, ЛОМИ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А. М. Горького ЛГУ им. А. А. Жданова (Университетская наб., 7/9).

Автореферат разослан « » 198 г.

Ученый секретарь совета, доктор физико-математических наук, профессор

Ю. А. ДАВЫДОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория классических групп является важный разделом математики, имеющим многочисленные связи с такими областями, как теория алгебраических групп, теория колец« теория групп и алгебр Ли, геометрия и линейная алгебра, алгебраическая К-теорня, алгебраическая теория чисел.

Исследования по классическим группам широко ведутся как в нашей стране, так и за рубежом. При этом эти группы изучаются в самых различных аспектах: как абстрактные группы, как алгебраические группы, как группы матриц и т.д. Множество работ посвящено таким вопросам, как задание образующими и соотношениями, классы сопряженных элементов и представления, автоморфизмы и изоморфизмы. Наша же работа относится к изучению расположения подгрупп в этих группах.

Конечно, недостижимым идеалом было бы явное описание вообще всех подгрупп в линейных группах. Однако до сих пор такое описание получено лишь в линейных группах небольших степеней над конечным полем (см. обзор этого направления в С20»Г2б]). Даже для бесконечного основаного поля - не говоря уже о кольцах - аналогичная задача совершенно нереалистична. Во всяком случае даже имеющееся описание подгрупп в нельзя наз-

вать вполне эксплицитным С37]. Поэтому обычно ограничиваются изучением подгрупп, выделяемых условиями различного характера; теоретико-группового, алгебро-геометрического, матричного и т.д. Перечислим несколько важнейших циклов исследований.

Тематика, связанная со строением линейных групп, как абстрактных групп, и изучением подгрупп в них, выделенных условиями теоретико-группового характера (разрешимых, нильпотентных, абелевых, периодических, силовских, холловских и т.д.), восходит к работам классиков - К.Жордана, И.Шура, Л.Дикоона, У.Берн-сайда, Х.Цассенхауза, А.И.Мальцева. Особое развитие эта тематика получила з созданной Д.А.Супруненко школе, занимающей в этом направлении ведущие позиции в мире. Многие основные результаты здесь были получены самим Д.А.Супруненко, А.Е.Залес-ским» Р.И.Тшжевич, Р.Т.Вольвачевыы, В.С.Конвхом и другими. Библиограф;® этого направления можно найти в [32] ,[21] ,С221.

С конца 1940-х годов чрезвычайно активно изучается вопросы, связанные со строением групп матриц как алгебраических групп. Решающий вклад в формирование этого направления внесли К.Шевалле, Э.Колчин, А.Борель, А.Вейль, М.Розенлихт, К.Титс, Ж.-П.Серр. Ряд принципиальных результатов в структурной и арифметической теории алгебраических групп был получен В.П.Платоновым и его учениками,, среди которых следует отметить В.И.Ян-чевского, А.А.Бондаренко, М.В.Милованова, Г.В.Матвеева, О.В. Мельникова, А.А.Шаромета, В.И.Черноусова, А.С.Рапинчука. В связи с теорией инвариантов чрезвычайно важные результаты по алгебраическим группам были получены В.Е.Воскресенским, Э.Б. Вннбергом, В.Л.Поповым, А.Г.Элашвили, Д.И.Паншевыы. Общее состояние теории алгебраических групп в настоящее время отражено в превосходных обзорах В.П.Платонова [28],[291 и В.П.Платонова и А.С.Рапинчука [30]. Очень выпуклый очерк применения теории алгебраических групп к теории линейных групп дан в обзоре А.Е.Залесского [21].

Еще одно важное направление - это изучение подгрупп, порожденных подгруппами или элементами специального вида (трансве-кциши, псевдоотражениями, двумерными элементами, квадратичными элементами и т.д.). Наиболее известным достижением классического периода является описание конечных линейных групп над полем характеристики 0, порожденных псевдоотражениями, завершенное Г.С.Ы.Коксетером, Дж.Шепардом и Дк.Тоддом. В последние два десятилетия очень важные результаты здесь были получены Дж.Маклафлиным, Б.Старк, Дж.Томпсоном, А.Е.Залесским, В.Н.Се-режкиным, А.Вагнером, У.Кантором, А.М.Коэном, Б.Куперстейном, Ч.Хо, У.Хаффман, Д.Уэлсом, А.А.ПреметфШ.Д.Супруненко, А.В. Корлюковым и другими авторами [211»[42].

Новый мощный импульс получила теория линейных групп из теории колец и алгебраической К-теории. С работ Я.Васса середины 60-х годов началась подлинная революция общности, в ходе которой выяснилось, что многие результаты, которые доказывались ранее для полей или тел, справедливы - в соответствующем смысле - почти для любых ассоциативных колец. При этом Х.Басс ввел новое понятие размерности колец - стабильный ранг - которое играет громадную роль в теории линейных групп. Чрезвычайно

большой вклад в развитие этого направления внесли А.А.Суслин» Л.Н.Васерштейн» В.ван дер Каллен, А.Бах [342. Очередной перелом произошел во второй половине 70-х годов, когда было осознано» что многие результаты« доказывавшая ранее на стабильном уровне, для коммутативных и близких к ним (почти коммутативных, РГ и т.д.) колец справедливы начиная с некоторого места, не зависящего от размерности кольца. Здесь нувно назвать имена Дя.Уилсона, А.А.Суслина, И.З.Голубчина, В.И.Копей-ко» М.С.Туленбавпа. Одним из наиболее впечатляющих достижений этого направления явилась революция з теории автонорфазмов и гомоморфизмов линейных групп, произведенная работами И.З.Голубчика и A.B.Михалева, В.М.Петечука, Е.И.Зельыанова и В.Н. Герасимова, полностью перекрывшими многие десятки предшествующих работ t2SÜ.

Огромная литература возникла на стыке с теорией конечных групп. Во-первых, классификация конечных простых групп потребовала детального изучения известных простых групп. В работах М.Ашбахера, Г.Зейтца, У.Кантора, П.Камерона, Ч.Херинга, Б.Ку-перстейна, Н.Бургойня, Р.Грисса, Р.Лайонса и других авторов был накоплен громадный конкретный материал, который адот 940 своего осмысления с общих позиций. Особенно нузно отмэтнть грандиозный цикл работ Г.Зейтца о подгруппах конечных групп Шевалле, содерзащих максимальный тор [48] -fei]. Во-вторых, завершение классификационной программы дало возмогность ставить ноэыз проблемы, такие, скажем, как классификация максимальных подгрупп простых групп. С этой задачей связаны работы Р.Дая, Дя.Ки, О.Кинга, М.Ашбахера, Л.Скотта, М.О'Нана, Р.Гуральника, ДОЛибека, Дк.Саксла, А.С.Кондратьева, В.А.УСтименко и других авторов [26]. В-третьих, сама классификация конечных простых групп стала мощным инструментом при исследовании подгрупп линейных групп.

Ношй мощный толчок получила теория классических групп в связи с построением групп Шевалле [31], [39]. Важный аспект этой конструкции состоит в том, что многие вопросы, которые раньше казались имеющими алгебро-геометрическую природу, стали чисто алгебраическими. В работах К.Шевалле, Р.Ри, Ж.Титса, Р. Стейнберга, Р.Картера была создана новая техника вычислений в

линейных группах, которая позволяет избежать матричного счета и во многих случаях избавляет от необходимости рассматривать отдельно группы разных серий. Важный результаты на таком пути были получены Х.Мацумото, Э.Абе, Н.Ивахори, Дж.Харли, М.Штей-ном, К.Судзуки, Дж.Хамфри, В.Деодхароы и другими авторами.

Еще одно направление в изучении линейных групп - это описание надгрупп некоторой фиксированной подгруппы. Классическим образцом результата такого роде является описание параболических подгрупп, полученное Ж.Титсом» Систематическое изучение задач такого типа было начато З.И.Боревичем и продолжено в дальнейшем его учениками Е.В.Дыбковой, В.А.Койбаевым, Л.Ю.Коло-тилиной, С.Л.Крупецким, Х.О.Лесама Серрано» А.А.Пащевским, Е.Б.Плоткиным, Х.Ролоффом, Р.А.Шмидтом и другими (об^ор всего этого направления можно найти в [22]). В других ситуациях многие результаты такого рода были получены Д.А.Супруненко, Н.С. Романовским, Б.Нуперстейном, И.Д.Супруненко, Е.Л.Башкировым и другими авторами.

Настоящая диссертация также примыкает к этому направлению и является естественным продолжением цикла работ З.И.Боревича и автора, посвященных подгруппам полной линейной группы СII -[8],[55]-[57]. Большой интерес для теории линейных групп представляет изучение важного класса подгрупп, содержащих максимальный расщепимый тор или регулярно вложенную полупростую подгруппу. По вопросу описания этих классов подгрупп до недавнего времени мало, что было известно даже в случае поля. Однако в настоящее время появились новые методы, которые позволили получить полное решение этих и целого ряда близких вопросов не только для поля, но и для широких классов колец. Эти вопросы оказываются естественно связанными со всеми перечисленными выше циклами исследований (более конкретно об этой связи будет говориться в связи с каждым отдельным результатом). Ясно, поэтому, что тема диссертации вполне актуальна.

ЦШ> РАБОТЫ. Основной целью работы является описание подгрупп классических групп над кольцами, содержащих расщепимый максимальный тор или регулярно вложенную полупростую подгруппу и дальнейшее подробное изучение этих классов подгрупп.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе использу-

ются как стандартные общие методы теории групп, теории ассоциативных колец и линейной алгебры* так и некоторые более специальные методы теории линейных групп, теории групп Шевалле, теории алгебр Ли и их представлений. Доказательства почти всех основных результатов базируются на изучении элементов простейшего вида (типа трансвекций, псевдоотражений, двумерных элементов и их ортогональных и симплектических аналогов), содержащихся в подгруппах классических групп. В связи с этим в диссертации развиваются некоторые специфические методы получения элементов такого вида. В главе Ш получает дальнейшее развитие и использование метод весовых диаграмм.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

- Описание подгрупп расширенных расщепимых классических групп над полулокальным кольцом, содержащих группу диагональных матриц,

- Описание подгрупп расщепимых классических групп над полем, содержащих группу диагональных матриц,

- Теоремы сопряженности для подгрупп, содержащих группу диагональных матриц,

- Описание подгрупп расщепимых классических групп над произвольным коммутативным кольцом, содержащих регулярно вложенную полупростую подгруппу.

В работе получены и другие результаты в близких направлениях, получающиеся в процессе решения этих задач или как следствие их решения. Отметим, в частности, следующие результаты, представляющие самостоятельный интерес:

- Классификация неприводимых линейных групп над телом, порожденных однопараметрическими группами одномерных преобразований,

- Классификация неприводимых подгрупп ортогональных групп над полем, порожденных длинными корневыми подгруппами,

- Явная классификация максимальных подгрупп расщепимых классических групп, содержащих группу диагональных матриц,

- Вычисление разложения Брюа ыикровесовых элементов и длинных корневых полупростых элементов,

- Коммутационные формулы для подгрупп классических групп.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЩННОСГЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы - и уже используются - в различных вопросах, связанных со строением и представлениями классических групп и групп Шевалле над полями и кольцами.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на ХУ, ХУ1, ХУП, ХУ111 и XIX Всесоюзных алгебраических конференциях (Красноярск,1979$Ленинград,1981$Минск,1983¿Кишинев,1985$Львов, 1987), УП,1Х,Х Всесоюзных симпозиумах по теории групп (Шушенское, 1980}Москва,1984}Гомель,1986), У Всесоюзном симпозиуме по теории колец, алгебр и модулей (Новосибирск,1982), I и П Всесоюзных школах по теории алгебр Ли и их приложений (Москва, 1981 и 1984), Ш Всесоюзной школе по теории многообразий алгебраических систем (Омск, 1983), а е.»кже на следующих алгебраических семинарах: на объединенном семинаре лаборатории алгебраических методов ЛОШ АН СССР и кафедры высшей алгебры и теории чисел ЛГУ (многократно в течение 1978-1987 годов), на алгебраическом семинаре Московского университета (в 1979,1981,1983гг.), на Минском городском алгебраическом семинаре (1981 г.), на семинаре отдела алгебры ИМ АН БССР (1983,1984), на семинаре Московб-кого университета по теории колец (1963), на алгебраическом семинаре Киевского университета (дважды в 1981 и в 1984гг.), на расширенном семинаре по алгебре Тартусского университета (1987г.), на алгебраическом семинаре Ивановского университета (1986г.), на алгебраическом семинаре Вроцлавского университета (трижды в 1979-1980гг.) и на заседаниях Польского математического общества во Вроцлаве, Торуни и Ченстохове (в 1980г.).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [55] - [71], перечисленных в конце автореферата.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения и пяти глав и занимает 31? стр.машинописного текста. Библиография содержит 581 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена описанию некоторых классов подгрупп в,классических группах над кольцами, выделенных уело-

виши матричного характера (впрочем* мотивировка этих задач относится, по существу, к теории алгебраических груш). Отметим несколько циклов исследований, к которым она ближе всего примыкает.

1. Наибольшее количество работ посвящено описанию нормальных делителей. Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что в настоящее время ответ получен (или, по крайней мере, ясно, как он должен выглядеть) в следующих ситуациях, связанных с рассмотрением все мзнее и менее широких классов групп над все более и более широкими классами колец:

Произвольные полупростые алгебраические группы над глобальными полями: В.П.Платонов, Ы.Кнезер, С.А.Рапинчук,Г.А.Маргулис}

Изотропные полупростые группы над произвольными полями? Ж.Титс, В.П.Платонэв, В.И.Янчовский}

Группы Шевалле нормальных и скрученных типов над произвольными коммутативными кольцами? К.Шевалле, Р.Стейнберг, Э.Абе, и Н.Судзуки, Л.Н.Ваеерштейн, автор, Е.Б.Плоткин и А.В.Степанов;

Полная линейная и унитарная группы над произвольными кольцами: Х.Басс, А.Бак5 Дз.Уилсон, И.3.Голубчик, Л.Н.Ваеерштейн.

2. Параболические и близкие к ним подгруппы в различных ситуациях описывались Й.Титсом, М.Ньюменом и И.Райнероы, Н.Йвахо-ри и Х.Мацуыото, Н.С.Романовским, З.И.Боревичеи, Е.В.Дыбковой, автором, Е.Б.Плоткинкм, И.3.Голубчиком, В.М.Левчуком 1131.

3. Блике всего наша работа связана с работам по описанию подгрупп, содержащих максимальный тор. Для расщепимого тора эта задача рассматривалась М.Лазером, А.Борелем и Ж.Титсом, З.И.Бо-ревичем, автором, Г.Зейтцем, В.А.Койбаевш, Е.В.Дыбковой, а для нэрасщепимого тора У.Кантором, С.Л.Крупецким, Г.Зейтцем, З.Дьо-ковичем.

4. Другая задача, также весьма близкая к теме настоящей работы - это описание подгрупп, содержащих полупростую подгруппу. Более изучен случай регулярно вложенной подгруппы: Н.С.Романовский, З.И.Боревич и автор, В.А.Койбаев, И.З.Голубчик, А.В.Степанов. Результаты для нерегулярных вложений относятся к конечному полю: И.Д.Супруненко, Б.йуперстейн, Г.Зейтц.

5. В ряде работ изучались подгруппы, лежащие между группами над различными кольцами: Н.С.Романовский, З.И.Боревич,Р.А.Шыидт,

А.И.111куратский, Я.Н.Нужин,Е.Л.Башкиров,Ф.О.Аракелян. В самое последнее время решающий сдвиг в этой задаче был достигнут автором, Р.А.Шмидтом и А.В.Степановым.

6. Подгруппы, порожденные элементами данного вида, изучались, в основном, для наиболее простых элементов: (трансвекции-Дж.Пайпер,Дж.Маклафлин,А.Вагнер,А.Е.Залесский,В.Н.Сережкин; длинные корневые элементы - Б.З.Старк,У.Кантор,Б.Куперстейн, А.Андреассян; квадратичные унипотентные элементы - Д».Томпсон, Ч.Хо, Б.З.Старк, А.А.Премет, И.Д.Супруненко^ псевдоотражения - А.Е.ЗалесскиЙ, В.Н.Сережкин, А.Вагнер, А.М.Коэн; двумерные элементы - У.Хаффыан, Д,Уэйлс, А.В.Корлюков.

Содержание нашей диссертации тесно соприкасается и с другими циклами исследований, которые были перечислены в начале автореферата. Главной ее целью является изучение подгрупп расщепи-мых классических групп, содержащих фиксированную подгруппу. В качестве таковой у нас обычно выступает группа диагональных матриц или какие-то ее аналоги. Пусть - коммутативное ассоциативное кольцо с I. Как очень хорошо известно, имеется четыре серии расщепимых классических групп над Я а именно, Ае, : специалсная линейная группа 31*(.-£+4, Я.), : расщепимая ортогональная группа +

С^ : симплектическая группа йр (2.1, К) ,

- расщепимая ортогональная группа 80(2£, ЯЗ. При этом вместо самих этих групп, являющихся группами Шевалле соответствующих типов, во многих задачах естественно рассматривать их диагональные расширения, а именно, полную линейную группу СгЬ(1+1, Я) полную симплектическую группу ) и полную ортогональную группу СО (к, Я^). Впрочем, для последнего случая это обычно не является необходимым, так как ортогональные группы уже расширены при помощи некоторых (хотя, вообще говоря, не всех) диагональных автоморфизмов. Подлинным аналогом групп ЗЬ^ и £>р2£ является, конечно, спинорная группа $р1пл.

Основные результаты работы формулируются в следующих терминах: все искомые подгруппы располагаются вблизи так называемых "сетевых подгрупп", т.е. конгруэнц-подгрупп по модулю систем идеалов из Я , называемых сетями (ниже будут даны точные

определения). Для бесконечного поля это означает, грубо говоря, что все промежуточные подгруппы являются алгебраическими. С точки зрения теории алгебраических групп группа диагональных матриц является группой -точек расщепимого максимального тора. Естественно, разумеется, ставить задачу описания ее надгрупп и для особых групп Шевалле (а на самом деле и в еще более широком контексте), но эта задача оказывается значительно более сложной в техническом отношении и решена к настоящему моменту лишь для случая поля С61],[64],[68Д. В принципе в главах Ш и 1У нашей диссертации содержатся все идеи необходимые для решения этой задачи и в общем случае, но тщательное проведение всех вычислений требует объема в 3-4 раза большего, чем максимальный разрешенный объем докторской диссертации (так, лишь доказательство для случая расширенной группы Шевалле типа Е6 насчитывает около 180 машинописных страниц), поэтому мы вынуждены ограничиться классическими группами. По той же причине оставлены в стороне обобщения на квазирасщепимые группы (см., в частности, С14]) и многие другие вопросы, самым тесным образом связанные с темой настоящей диссертации.

Перейдем к описанию содержания диссертации по главам.

Глава I посвящена случаю полной линейной группы. Здесь в отличие от всей остальной части диссертации основное кольцо не предполагается коммутативным.

В § I напоминаются понятия сети и сетевой подгруппы, введенные в работах З.И.Боревича [1]-[4]. В различных специальных случаях эти понятия появлялись ранее в работах К.Шевалле,Д.К. фаддеева, М.Ньюмена, И.Райнера, Дж.Свифта, Д.А.Супруненко, Ф.Холла, Ю.И.Мерзлякова, К.Филдса, Н.С.Романовского, Р.Б.Тарси, В.А.Джатегаонкара, М.Р.Китинга и некоторых других авторов. Напомним эти определения, так как они необходимы для понимания дальнейшего.

Пусть А. - ассоциативное кольцо с I, К - натуральное число. Система (Г= (6ц), 1 ^ ^ ^ двусторонних идеалов в А называется сетью идеалов в _А порядка У1 если для любых выполнены включения 6"гт.Множество(€)

всех матриц а^) из М(п,.,Л) Для которых выполнено включение а... е для всех 1,1 является в этом случае

кольцом, а множество € гДе е - единичная матрица, -

мультипликативной системой. Наибольшая подгруппа полной линейной группы Qr= G-L (ц,Л) содержащаяся в множестве в +>1(6*3 называется сетевой подгруппой и обозначается &(бГ) (см.Щ-М,[63). Для тех колец, которые будут у нас встречаться, сетевые подгруппы допускают более простую характеризацию. Напомним, что ассоциативное кольцо 7V. называется слабо 1-конеч-ным (или конечным по Дедекинду), если для любых из

ОС у =4. следует ух = Кольцо JV называется слабо конечным, если все кольца матриц над ним слабо I-

конечны и вполне слабо конечным, если то же свойство справедливо и для всех его фактор-колец. В [6] (см.также С57]) получен следующий результат (теоремы без номера в диссертации не доказываются и в число основных результатов диссертации не включаются) .

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы для любой сети идеалов 6" над кольцом Л имело место равенство (е +

необходимо и достаточно, чтобы кольцо _Л_ было вполне слабо конечным.

В частности, эта формула справедлива для полулокальных колец [553 и для колец, конечно порожденных как модуль над своим центром £33, [4]. Сеть iT называется lb-сетью, если = _Л_ для всех L« В случае поля-сети.находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутыми множествами корней порядка. Таким образом, смысл сетей идеалов совершенно понятен - это просто обобщения замкнутых множеств корней, учитывающие структуру идеалов основного кольца. В § I вводятся еще две подгруппы в G- связанные с сетью 6Г а именно, элементарная сетевая подгруппа порожденная всеми элементарными трансве-кциями вида ~Ы(°0 = ^Ц ' ^} * ^где чеРез

обозначается, как обычно, стандартная матричная единица, т.е. матрица, у которой в позиции (СЛ ) стоит I и нули во всех остальных позициях) и нормализатор группы G-(JoJ в G-.

Основными результатами этой главы являются следующие две теоремы - называемые нами в дальнейшем теоремой классификации и теоремой сопряженности - которые служат образцом для всего дальнейшего. Напомним, что кольцо Л. называется полулокальным, если его фактор-кольцо по радикалу Джекобсона арти-

ново или, что то же самое, если для Д/^ имеет место разложение

А/Ч = Жго*Да)®...©Ж»1З>Т3), а)

где Т3 - тела. Кольцо А называется матрично-лакаль-

ным, если в этом разложении всего одно слагаемое.

ТЕОРЕМА I. Пусть - полулокаяьное кольцо такое, что в разложении (I) не встречаются в качестве прямых слагаемых поля из -<■ -5Г элементов и кольцо Л (¿^р^) матриц второго порядка над полем из двух элементов. Тогда для любой

подгруппы Н в полной линейной группе 6-= содержащей группу 1>=Э(и.,Л) диагональных матриц, существует единственная 1> -сеть б" идеалов в порядка п, такая,что

ТЕОРЕМА 2. Пусть .Л,- матрично локальное кольцо, удовлетворяющее условиям теоремы I. Тогда группа 1).— ЗЭ^ПдА) диагональных матриц пронормальна в - И11™11 сло~

вами, для любых двух промежуточных подгрупп Э 6 Н, Р 4 и любого СС ^ От такого, что ОгНсЕ^-Р найдутся такое У^Н и такая мономиальная матрица \л/, что а*. = .

Полученное в теореме I описание промежуточных подгрупп будет в дальне^лем называться стандартным. Эта теорема является итогом большого цикла работ З.И.Боревича и автора (см., в частности , И,£55]). В приведенной здесь окончательной форме она Доказана в СбОЛ - это доказательство воспроизводится в § 2. Заметим, что основным результатом кандидатской диссертации автора была менее точная версия этой теоремы, где условия накладывались не на само кольцо а на его центр. Все случаи, исключенные в формулировке теоремы I действительно являются исключительными, т.е. стандартное описание промежуточных подгрупп для них не имеет больше места (для полей , Л-^, .£5 и кольца промежуточные подгруппы изучены в цикле работ З.И.Боревича и В.А.Койбаева).

Теорема 2 установлена в [58] - ее доказательству посвящен § 5. В связи с этой теоремой напомним, что. подгруппа 3) группы

Q называется пронормальной в &■ Сем..например, [53), если любые две сопряженные с ней подгруппы сопряжены уже в подгруппе ими порожденной, т.е. для любого 5С6 найдется

xDx_i> такое, что ХЭХ~£= иХи~1 . Из

результатов В.А.Койбаева [25] вытекает, что на самом деле поля IE/j , Jt 5" и кольцо С^) не являются исключениями

для этой теоремы: хотя стандартное описание промежуточных подгрупп и не имеет больше места, но подгруппа 3) продолжает оставаться пронормальной в &. В [25] найдено и условие сопряженности содержащих D подгрупп для поля JF5 (здесь подгруппа "3) перестает быть пронормальной).

В § 3 метод, использованный в § 2, применяется к доказательству результатов, обобщающих и развивающих теорему Дж.Мак-лафлина о неприводимых подгруппах, порожденных корневыми подгруппами. Пусть Т - тело, 6-= 01, (ti, Т). Для I Ф j положим Xí; = {"t'uC^^éT] . Группы, сопряженные с 1[Г называются однопараметрическими группами трансвекций или (уни-потентными) группами корневого типа. Основной результат работы [47] состоит в том, что если X - поле, содержащее не менее трех элементов, К,- неприводимая подгруппа в Q- , порожденная корневыми унипотентными подгруппами, то либо Jí совпадает со специальной линейной группой , либ° ^ четно и

сопряжена с симплектической группой $ р (п., К^). Позже он рассмотрел и случай K=iF2; для которого появляются новые подгруппы. Пусть теперь Т - некоммутативное тело. Напомним, что через Е (п., Т) обозначается элементарная подгруппа в & 7 порожденная всеми подгруппами 3Cíj Л ^ ¿ - Х0Рошо известно, ) совпадает с ядром определителя Дьедонне.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть Т - некоммутативное тело, ]-[ - неприводимая подгруппа в порожденная унипотентными корневыми подгруппами. Тогда Н = Е(и/Г) •

В сравнении с теоремой Маклафлина это предложение может быть истолковано как еще одно доказательство несуществования симплектической группы в некоммутативном случае. Через di(z) для Т* обозначается диагональное псевдоотражение

£ 4-(б-4.) в^ • Однопараметрической группой псевдоотражв-

ний в б- называется любая подгруппа, сопряженная с = =-[с([(£3,£^Т*}.0сновным результатом этого параграфа является следующая теорема.

ТЕОРЕМА. 3. Пусть Т - тело, отличное от полей ЛГ^, содержащих менее семи элементов. Тогда если неприводимая подгруппа в (г= , порожденная однопараметрически-ми группами псевдоотражений, то Н = б-ЬСи-Д.).

Разумеется, для конечного поля теорема 3 сразу же вытекает из вьщающихся результатов А.Е.Залесского,В.Н.Сережкина,А.Вагнера [231,[24],[2£] о неприводимых линейных группах, порожденных псевдоотражениями. Из этих работ легко получить и описание класса подгрупп, рассматриваемых в теореме, для исключительных случаев .

Следующий § 4 является прообразом главы Ш. Именно, там обсуждается связь теоремы классификации с разложениями Брюа и Гаусса. В частности, там приводится еще одно доказательство этой теоремы, основанное на совершенно других идеях, чем элементарное доказательство из § 2.

В главах П и Ш основные результаты главы I переносятся на все остальные раещепимые классические группы. Начнем с главы П. Напомним, прежде всего, о каких группах идет речь. Пусть & -коммутативное кольцо. Предположим, что 2 6 Я*", Строго говоря, это предположение не является необходимым, так как результаты, аналогичные результатам настоящей главы, могут быть получены и без этого предположения. Однако при этом во-первых ортогональные группы следовало бы определять иначе, чем это сделаем мы, а, во-вторых, все доказательства (а для симплектического и нечетномер-ного ортогонального случаев и формулировки) стали бы заметно сложнее. Определение расщепимых классических групп напоминается в § I. Нам будет удобно, следуя Г39], занумеровать строки и столбцы матриц из =(И,следующим образом: ¿,...,£,-¿,...¿-4-^ если (г четной если К—

нечетно. Обозначим через вс^'а^а^«"* О-п, ) матрицу, у которой на побочной диагонали стоят .. • , & ^ и нули на всех остальных местах и положим = и. = ..

где число I равняется определяются условием _

& ^ 6

и иилишш у = пищу. . . О^)

И. . Иначе говоря, элементы матрицы

= • Определим теперь матрицу ^

следующим образом: ..если

1х=^2Л четной (I,..1,2, к,.-.,

если К— 2-1+ 1 нечетно. Здесь каждая серия I и -I состоит из '¿членов. Иначе говоря, и £<>(> +1. " это в^1вточньге ма-

трицы, у которых на побочной диагонали идут и -^ и, соответственно, 2,, ^ а все остальные клетки нулевые.

Расщепимые классические группы типов В^,С^^З^состоят из тех матриц ае БЬ (к^)которыв сохраняв? билинейную форму с матрицей А- совпадавшей с Р2* соответственно.Иначе говоря, $0(. в О (г?. Я) состоят из тех матриц а в 3^,(2.)для которых СС^аУ = у где

^ = Р соответственно. Таким образом, группа

!30(££Д>охр£няет квадратичную форму 2С_£

если Счетно и , если п нечет-

но. Эти формы расщешшы, т.е. имеют максимальный индекс Витта. Как очень хорошо известно, группы 50(2£+4., Ю, 5р(2-£,Ю и 30 (^21,5.) являются группами Шевалле типов со-

ответственно [ЗХ],СЗЯ!. Кроме специальных групп рассматриваются также полные группы, сохраняющие соответствующую форму в смысле подобия. Иными словами, (тврС^КХ

состоят из тех Я. 6 (И* Оь Ю , Для которых СК^СЬ^^'Дс^ при некотором £ Я*" у где, как и выше, ^ , $2.1 > 22,

соответственно. Перечисленные здесь группы являются расширенными группами Шевалле типов С^ . Основную роль во всех наших вычислениях будут играть элементарные корневые унипотенты, или, говоря классическим языком, элементарные си-мплектические и ортогональные трансвекции. Элементарная ортогональная трансвекция имеет вид

где ("длинный корневой элемент")

("короткий корневой элемент").Матрицы второго типа возникают только если нечетно. Элементарная же симплектическая трансвекция имеет вид (.тИ « & +

(т.е.это обычная "линейная трансвекция" или "длинный корневой

элемент" теории групп Шевалле) и вид '

где а Ъ1 обозначает знак индекса С ("короткий кор-

невой элемент"). Подгруппа, порожденная всеми элементарными корневыми унипотентами, называется элементарной подгруппой.- В ортогональном случае она обозначается £0(4,Я) > а в симплек-тическом - Е р Я) . В главе У она будет обозначаться также

Ю* Г'де ^ ~ соответствующая система корней. В случае, когда Я=К - поле, группа ЕО(ц,К) совпадает с ядром спинорной нормы, обозначаемым обычно через . Напомним,

что Бр11г01ЛО/$>еЗ , где ЗрСк(л,К)

спинорная группа.

Напомним еще, как выглядят диагональные подгруппы классических групп. Для К* и I # | обозначим через с1'п(Ю матрицу сЦО«!= сэто

"корневой полупростой элемент" специальной линейной группы). Положим, далее, Э^Ся) =• (£-3 ♦ Тогда группа диагональных матриц, содержащихся в йр (26, Я.З и 3 порождена всеми матрицами "З^С^З, £ ¿Л*, 1 ^ £ ^ ? а группа диагональных матриц, содержащихся в А У кроме того матрицами = (£, . .•••Д3< Группа жз диагональных матриц, содержащихся в 5? (п.,КЗ несколько меньше. Она порождается матрицами 3)ц (£) =3£С&3 ^¿(.Ю > где £ • Обозначим через "V группу Еэйля системы , Иными словами, для й р и 5021+± группа "V -пто октаэдральная группа ОсЬ^ состоящая из всех перестановок V/ из симметрической группы б (или, что то же самое, из ), Для которых w(-LJ=-всех I (напомним, что наши индексы занумерованы так I, . Для четномерной же ортогональной группы вО2& группа IV -это подгруппа индекса 2 октаэдральной группы Ос^ Л состоящая из четных перестановок. Для перестановки мы будем обозначать той же буквой и какой-то ее мономиальный прообраз в самой классической группе.

В § 2 напоминаются определения симплектических и ортогональных сетевых подгрупп. Следуя работам и С713 будем гово-

ворить, что сеть <Г идеалов в .R. порядка w является симплектической, если бм = для всех С, J и ортогональной, если, кроме того , 6"j; = ; _t t ^ ± \ . для всех С Сеть С соответствующего типа (т.е. симплекти-ческая для симплектической группы и ортогональная для ортогональной) задает сетевую подгруппу Г СЮ в Г= S р (2?, R), S О (n, R.) по формуле Г(6"> Г" П В{6). Эти определения согласованы с общими определениями сетей и сетевых подгрупп для групп Шевалле, данными в работах К.Судзуки, автора и Е.Б.Плоткина [523,112"], LI5]» В случае, когда ß = К поле, 3-сети идеалов находятся во взаимно однозначном соответствии с замкнутыми подмножествами в соответствующей системе корней (предложение I). Это показывает, что понятие симплектической сети и ортогональной являются естественным обобщением понятия замкнутого множества корней, учитывающим структуру идеалов основного кольца.

Пусть Г - по-прежнему обозначает одну из групп Sp (£(f R \ SO(u,lO> а б"- сеть соответствующего типа. Элементарной сетевой подгруппой в Г, отвечающей сети 6" называется подгруппа Е р(6") порожденная всеми элементарными корневыми унипо-тентами TuC%^»rjie \^ ? l ^ ^ (в ортогональном случае мы считаем^ что е Для всех ? € Я ). Через Jfp (&)

обозначается нормализатор подгруппы Г(£Г) в Г . Теперь у нас все готово, чтобы сформулировать основные результаты главы -теоремы классификации и сопряженности для подгрупп в Г1 содержащих группу Тг диагональных матриц, лежащих в Г1.

ТЕОРЕМА 4. Пусть R - коммутативное полулокальное кольцо, такое, что 2€R* и все поля вычетов R содержит не менее семи элементов. Тогда для любой подгруппы Н в Г=-= SO(ri,fV) t содержащей группу Тг диаго-

нальных матриц, существует единственная З-сеть б" идеалов в Ü соответствующего типа (т.е. симплектичесхая для симплектической группы и ортогональная для ортогональной) такая, что

ТЕОРЕМА 5. Пусть Р, - коммутативное локальное кольцо, удовлетворяющее условиям теоремы 4. Тогда подгруппа Тр пронорма-

льна в X1. Иными словами, если для двух подгрупп Н и р в Г, содержащих Тр имеем при некотором сс^Р,

то Ос , где е Н ,

Доказательству этих теорем посвящены §§3-6. Теорема 4 доказана там полностью, а теорема 5 сведена к случаю поля, который будет рассмотрен в главе Ш. Для полной симплектической группы теоремы 4 и 5 опубликованы в совместных работах автора и Е.В.Дыбковой С70Л. Эти результаты принадлежат лично автору, в диссертацию Е.В.Дыбковой [203 включены результаты из тех же работ, относящиеся к случаю обычной симплектической группы над полем. По поводу ортогонального случая см. [713.

В главе Ш для случая поля предлагается альтернативный подход к доказательству результатов предыдущей главы. Дело в том, что хотя доказательства из предыдущей главы вполне элементарны, они не могут быть непосредственно перенесены на группы других типов - в частности, на особые группы Шевалле. В главе О предлагается доказательство, использующее лишь обычные структурные факты о группах типа Ли. В § I напоминаются необходимые обозначения, связанные с группами Шевалле, их подгруппами и представлениями. Напомним самые необходимые из них. Пуйть $ -приведенная неприводимая система корней, Р - решетка, лежащая между решеткой корней 0.(5?} и решеткой весов; Р(^) (хр(Ф, групповая схема Шевалле-Демазюра типа <Ш,Р (см. [91),Тр(Ф7 )- расщепимый максимальный тор в ней. Обычно решетка весов в обозначениях опускается, так как она не играет существенной роли в рассматриваемых нами вопросах. Если Р. -коммутативное кольцо (в главе Ш рассматривается только случай, когда ^ = Х - поле), то соответствующая груша Шевалле и расщепимый максимальный тор в ней будут обозначаться просто и Т=Т(Ф,Ю . Каждому корню ^ £ отвечают корневые унипотентные элементы ^ и корневые полупростые элементы вей.*". Напомним, что

= ^(е^ОГ*, гДе ^ЖХ'^ЬЫ^)

(см. [3 Д,[39]). Если мы хотим подчеркнуть, что речь идет о корневых элементах, отвечающих фиксированному выбору максимального тора, мы называем их элементарными - вообще же корневыми элементом называется любой элемент, сопряженный с некоторым элемен-

тарам корневым жлементом.Пусть - подгруппа, по-

рожденная Т и всеми . Как хорошо известно, фактор-

группа К/Т канонически изоморфна группе Вейля системы корней <5 и мы можем для каждого элемента рассмотреть какой-то его прообраз И,^ и "V/ (как правило, мы отождествляем V/ с И.^ и пишем, например, Ь\л/В = В)г^В.

Множество корней Б — Ф называется замкнутым, если из того, что сумма двух корней является корнем, вытекает,

что она принадлежит 8 . Определим группу Е(£>3 как подгруппу, порожденную всеми З^^дб^а группу &0О как Е 0>)-Т . Через

обозначим подгруппу, порожденную и теми И^ ,

для которых УУ 8 = £> . Группы Е (.5.) и являются,

соответственно, аналогами сетевой подгруппы, элементарной сетевой подгруппы и сетевого нормализатора. Назовем подгруппу р1 в группе Шевалле стандартной, если найдется такое

замкнутое множество корней 6» ^ , что &{й) 4 Р 4 МС$) . Будем говорить, что в (7- имеет место стандартное описание подгрупп, содержащих расщепимый максимальный тор Т если каждая содержащая Т подгруппа стандартна.

Фиксируем на ф некоторый порядок и пусть

... соответственно множества положительных, отрицательных и простых корней относительно этого порядка. Группы и порождены всеми О^р,"§ ^ где и о(.е§>~ соответственно. Подгруппа В=В(3? яв~ ляющаяся произведением Т и "Ц" называется стандартной боре-левской подгруппой в ^ а подгруппы, ее содержащие, называются стандартными параболическими подгруппами. Параболические подгруппы - это сопряженные к стандартным параболическим. В §2 устанавливается следующая теорема, создающая предпосылки редукции аналогичной редукции к примитивным неприводимым подгруппам в теории линейных групп.

ТЕОРЕМА 6. Пусть - приведенная неприводимая система корней, X - поле. Тогда в группе Шевалле От = К^) имеются следующие максимальные стандартные подгруппы: -£. классов сопряженности максимальных параболических подгрупп и классы сопряженности групп 1Г(А^,где Д- подсистема корней в , указанные в следующей таблице:

Л- л(те&АД

&(ск + с£_к), 1 4 к <г/а .

О)* : Ж-е/Юк), Ш, м+1^САеч) ;

ЖЛ + ^-к^ 4. ¿к .

Эта теорема получена в

[65] ,Сб8].

В диссертации теорема формулируется и для особых случаев, но полное доказательство приводится только для классических групп. В случае, когда описание подгрупп в б- содержащих Т1 стандартно, эта теорема дает описание с точностью до сопряженности всех максимальных подгрупп, содержащих Т. Этот вопрос представляет интерес в связи с различными задачами, в частности, в связи с проблемой описания максимальных подгрупп конечных простых групп. Для комплексных полупростых груш Ли теорема такого типа была ранее получена Ы.Голубицким и Б.Ротшильдом С4(Д,[411, но их таблицы содержали ошибки. В § 2 приводятся и геометрическая переформулировка теоремв 6, показывающая, что большинство результатов работ Дж.Ки, О.Кинга и Р.Дая (см.,в частности, [431-[45]) вытекают из наших теорем 1,4,9 и 10.. Именно, вспомним, что группа (г действует на Н-—мерном векторном пространстве "\Г= К.11, базис которого мы обозначаем через в. к •

Для всех групп, кроме £>Ь(к,К) мы нумеруем эти векторы как обычно . В случае это простран-

ство снабжается нулевым скалярным произведением, в остальных же случаях - невырожденным симметрический или симплектическиы произведением. Все векторы, кроме изотропны, а индекс

Витта пространства "V равен . Будем считать, что и есть базис Витта. Тогда теорема 6 означает, что если в &

имеет место стандартное описание подгрупп, содержащих Т, то максимальные содержащие Т подгруппы выглядят следующим образом:

A) Максимальные параболические подгруппы. Это почти то же сякое, что стабилизаторы вполне изотропных подпространств размерности 4-t Параболические подгруппы выглядят.как подходящие группы клеточно треугольных матриц.

B) Стабилизатор невырожденного подпространства размерности 2.Г } где i ^ k ¿-t, если К нечетно и L ^ если гь четно'. Эта группа устроена как группа клеточно диагональных матриц с двумя блоками. В двух оставшихся случаях получающаяся группа выглядит как подходящая группа клеточно мономиальных матриц.

C) Стабилизатор в 9- пары, состоящей из максимального вполне изотропного подпространства и дополнительного к нему подпространства.

3)) Стабилизатор в G- разложения ... ®~Vrn. в

прямую сумму попарно изометричных подпространств.

Обратно, когда в G- имеет место стандартное описание подгрупп, содержащих ГГ или Ep(V)(см.главу У), эти группы действительно максимальны в G-.

В § 3 изучаются весовые элементы, диагональные автоморфизмы и диагональные расширения групп Шевалле. Доказываемые здесь результаты - теорема 7 и предложение 3 - играют центральную роль в альтернативном подходе к доказательству теоремы классификации. Из-за ограниченности объема мы лишены здесь возможности воспроизводить детали и ограничимся поэтому следующими глубокими определениями. Пусть - система корней, двойственная к Ф и а>еР(3^).Рассмотрим такой элемент "^(Д),который коммутирует со всеми элементами из Т и задает на группе Шевалле диагональный автоморфизм, отвечающий характеру е (jb) =■ £ (-fj

Группа Gr— получающаяся из Cr присоединением всех

элементов 4tназывается расширенной группой Шевалле типа над К f аналогичный смысл имеют обозначения f;b и т.д. (по поводу точной конструкции см. Сзв1). Весовым элементом

в & типа со £ РСФ9 называется любой элемент, имеющий вид ^«(Oä-"1" для некоторых C£€G- и €.6К*. В приложени-

ях наиболее важен случай, когда со=и)^ - фундаментальный вес системы , Предложение I описывает действие элементов в представлениях группы G- . Для веса обозначим

через ^ ^ замыкание множества <3? + ) ^ О } .

Тогда множество oj в том и только том случае абелево, когда W - микровес (см. ПШ).

ТЕОРЕМА 7. JfycTb W - либо микровес системы либо и со = (В^,причем в случае ф = С^ предположим, что С-Aar К 2. Тогда любой весовой элемент типа Со в расширенной группе Шевалле G-= (7^<3>,|<)принадлежит одному из классов

где ^,..., &Y+S" попаРНо строго ортогональные корт, причал если длинные, а YnL,..., )fr+s - короткие, то

ГЧ- 2.S hl. При этом для фиксированного ссе G- элемент V/ в разложении элемента Xu^S-J) ОС. не зависит от выбора £ Ф О, 1 (для Cü=ä7±(be)- от выбора 0, ).

В предложении 3 уточняется и вид множителей из Ь в этом разложении.

Для классических случаев и для Ш=Е6в этой теореме 171 = 2., при ш = ZoL и Ф = Е, , ш = uirf. здесь m = 3 .

В § 4 с использованием теорем 6 и 7 доказывается теорема сопряженности для случая поля, а точнее следующий результат, усиливающий известную теорему сопряженности Титса Г3б1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть |К| Если для некоторого замкнутого множества ö и некоторого а е-(Г имеет место включение otTar-1- ^ ^ то ^ = для подходящих W€ Jf и

чеКО. d

Напомним, что в теореме Титса вместо фигурирьваяа

меньшая подгруппа W(ß>) . В этом параграфе получен ряд других результатов, в частности, предложение 8, утверждающее, что если для всех собственных подсистем в ф теорема классификации для подгрупп, содержащих Т У»е доказана, то при доказательстве этой теоремы для группы G-— достаточно огра-

ничиться подгруппами, не содержащимися ни в одной подгруппе, сопряженной с собственной стандартной.

В § 5 доказывается еще один результат, нужный нам для теоремы классификации, но представляющий и самостоятельный интерес, гак как в сочетании с теоремой Маклафлина, о которой шла речь в главе I, он завершает описание неприводимых подгрупп расщепимых классических групп, порожденных длинными корневыми унипотентными подгруппами.

ТЕОРЕМА 8. Пусть С?\агК^2и К • Тогда для неприво-

димой подгруппы р в Б О (п., К ) порожденной длинными корневыми унипотентными подгруппами, имеет место одна из следующих возможностей:

1. Г 0,30,

2. 4т,Р <у$У(т,1.), Е1:Ю = 2,

3. Р ~ йреаС^КЗ ,

4. Р ~ 6-^00.

Для конечного основного поля эта теорема была ранее доказана Б.Старк и У.Кантором С423, для бесконечного поля имелся частичный результат А.Андреассян, к которому эта теорема сводится при помощи предложения 9.

Кульминацией главы Ш является § 6, в котором на основе всех предшествующих результатов этой главы дается новой доказательЛ ство теоремы классификации для классических групп. Заметим, что рассуждения, проводимые в этом параграфе позволяют на самом деле доказать и следующий результат (см.£б13).

ТЕОРЕМА. Пусть К - поле, содержащее не менее 7 элементов. Тогда в расширенной группе Шевалле Е ^ или

над полем X имеет место стандартное_описание подгрупп, содержащих расщепимый максимальный тор Т= -

Следующая глава 1У посвящена переносу результатов предшествующих глав на обычные (нерасширенные) классические группы, т.е. на Spv.iT, ^ - Их рассмотрение оказывается

значительно более трудным в техническом отношении и мы ограничиваемся случаем, когда основное кольцо является полем. Эта глава почти целиком посвящена доказательству следующего результата.

ТЕОРЕМА 9. Пусть имеет место одна из следующих ситуаций:

1. 5Ц>,Ю, и

2. Г= ЗрС«,КЗ^сАаг-К |К(> и-1бХ**

3. Г= Брси^Ю, и» 6 и .

Тогда в группе Г имеет место стандартное описание подгрупп, содержащих Т р .

Сделаем в связи с этой теоремой несколько исторических замечаний. Описание подгрупп групп Шевалле, содержащих максимальный расщепимый тор, восходит к классической статье А.Бореля и Ж.Титса [юЗ, где оно было получено для алгебраически замкнутого поля. Г.Зейтц получил такое же описание для конечного поля характеристики отличной от 2 содержащего не менее 13 элементов [48] и в [491 поставил проблему получения такого описания для всех полей, содержащих не менее 4-х элементов. Позже в замечательных работах [50] ,[513 Г.Зейтц описал подгруппы конечных групп Шевалле, содержащие произвольный - не обязательно расщепимый - максимальный тор. Для остальных случаев теорема 9 является новой. Симплектический случай рассматривался ранее в работе автора и Е.В.Дыбковой [703 при другом, значительно более ограничительном предположении 1К*| > |К*/К*21 (см.также [20]). Стандартность при условии - ¿вК автор доказал под влиянием работы О.Кинга [4б1. Стоит отметить, что для случаев

и.ДО, ^ 1К | = М,^описание подгрупп, содержащих группу диагональных матриц, получено В.А.Койбаевым (разумеется, оно не является больше стандартным). Так как для групп йЬ^К-^КЗА^^над конечным полем известно описание вообще всех подгрупп, то для случая цитированная выше

проблема Зейтца полностью решена. Методы глав Ш и 1У позволяют на самом деле доказать следующий результат.

ТЕОРЕМА. Пусть §5ф С.£ - неприводимая система корней и X - бесконечное поле характеристики отличной от 2 для ф и от 2,3 для ф = . Тогда в группе Шевалле 6-= имеет место стандартное описание подгрупп, содержащих расщепимый максимальный тор Т=ГГ(Ф7ХЗ •

Несколько особняком стоит глава У. Она посвящена обобщению результатов предыдущих глав на произвольные коммутативные ко-

льца. При этом, разумеется, было бы совершенно нереалистично обобщать эти результаты буквально - нужно заменить группу диагональных матриц на некоторую большую групцу. Алгебраическая К-теория подсказывает и естественные кандидаты - группу клето-чно диагональных или элементарных клеточно диагональных матриц. Пусть множество индексов (для симплекти-ческой и ортогональной групп мы будем нумеровать это множество так же, как в главах П-1У, т.е.V - отношение эквивалентности на множестве X . Мы пишем если С и | эквивалентны относительно Для всех случаев, кроме линейного, рассматриваются только самосопряженные отношения эквивалентности, для которых £-1)л» (-¿О,если I ~ ^ . Отношению 9 отвечает сеть идеалов Г V 3 над любым кольцом £ у определенная равенствами С^Згг. Я , если и£УЗп = 0 ■ противном случае. (Эта сеть симплектическая для самосопряженного отношения и ортогональная, если, кроме того, 9 не содержит двухэлементных классов вида ^ . Группа соответствующая этой сети - это элементарная подгруппа группы Шевалле.

Через 'а(у) обозначим наименьший из порядков классов, на которые у разбивает X. Основным результатом этой главы и, по-видимому, одним из центральных результатов диссертации является следующая теорема.

ТЕОРЕМА 10. Пусть К - коммутативное кольцо, Г= й)., б-$р(_2-С.,Я) или бЮ , а V - отношение эквивалент-

ности на множество индексов X В симплектическом и ортогональном случаях предположим дополнительно, что 2С Я*" и V самосопряжено. Если ^(У)^- 3 , а для ортогонального случая

в Г имеет место стандартное описание пдогрупп, содержащих Ег (?) . Иными словами, для любой такой подгруппы найдется единственная сеть (Г идеалов в Я соответствующего типа такая, что

Для случая полной линейной группы описание подгрупп, содержащих группу клеточно диагональных матриц, изучалось в большом цикле работ З.И.Боревича и автора. Именно, в работах [8]

рассматривался случай, когда основное кольцо не обязательно коммутативно, но удовлетворяет условиям стабильности, аналогичным конечности стабильного ранга. В применении к дедекиндовым кольцам это давало оценку > 3 . В работах 15б] , [57] было выяснено, что с тем же условием на ^ стандартное описание справедливо для любого коммутативного кольца. Позже И.3.Голубчик перенес этот результат на Р1 -кольца[18^. Условие на в теореме не может быть ослаблено даже для случая когда Д=К - поле - отметим, что теорема 10 является новым результатом даже для этого случая. Она служит широким обобщением большого количества результатов, опубликованных многими авторами в течение трех последних десятилетий. В частности, она обобщает большинство результатов работ Дг.Кр, О.Кинга и Р.Дая (Г431-С453 и содержащишея там ссылки).

Доказательству теоремы 10 посвящены 2-5. В последнем § 6 решается вопрос о том, будет ли в условиях этой теоремы подгруппа ЕГ(<Г) нормальным делителем в 1/р(б~) .Для полной линейной группы соответствующий результат был ранее получен З.И.Боревичем ГЙ Д56] , [571 , а для остальных групп дается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА II. Пусть - коммутативное кольцо, такое, что а б- _ сеть идеалов соответствующего типа такая, что б"-. для всех С и ^ эквивалентных относительно такого я£в отношения V как в теореме 10. Тогда _ЬГр (б*^) совпадает с нормализатором Ер^З в Г»

Эта теорема является очень широком обобщением результатов о нормальности элементарной подгруппы. Ее доказательство в диссертации основано на чрезвычайно красивой идее А.В.Степанова.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Боревич З.И. О параболических подгруппах в линейных группах над полулокальным кольцоы//Ве стн»Ленингр.ун-та.-1976,№13.-

с.16-24.

2. Боревич З.И. О параболических подгруппах в специальной линейной группе над полулокальным кольцом//Вестн.Ленингр.ун-

та. - 1976, № 19. - с.29-34.

3. Боревич З.И. Описание подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных ыатриц//3ап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР. - 1976. - т.64. - с.12-29.

4. Боревич З.И. О подгруппах линейных групп, богатых транс-векциямиУ/Зап.науч.семмнаров ЛОШ АН СССР. - 1978. - т.75.-с.22-31.

5. Боревич З.И. О расположении подгрупп//Зап.науч.семинаров ЛОМИ АН СССР. - 1979. - т.94. - с.5-12.

6. Боревич З.И.,Вавилов H.A. Об определении сетевой подгруппы/У Зап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР. - 1983. - т.132. -с.26-33.

7. Боревич З.И.,Вавилов H.A. Расположение подгрупп, содержащих группу клеточно диагональных матриц, в полной линейной группе над кольцом//Изв.ВУЗов,математика. - 1982.-№II.-c.11-15.

8. Боревич З.И.,Вавилов Н.А.,Наркевич В. О подгруппах полной линейной группы над дедекиндовым кольцом//3ап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР. - 1979. - т.94. - с.13-20.

9. Борель А. Свойства и линейные представления групп Шевалле// В кн.:Семинар по алгебраическим группам.-M.-I983.-c.9-59.

Ю.Борель А.,Тите S. Редуктивные группы/УМатематика.-1967. -т.II,И. - с.43-Шг №2. - с.3-31.

П.Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Гл.УП,УШ. - M.-I978.-342C.

12.Вавилов H.A. О параболических подгруппах групп Шевалле над полулокальным кольцом//Зап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР.-1978.-т.75.-с.43-58.

13.Вавилов Н.А.Параболические подгруппы групп Шевалле над коммутативным кольцом//3ап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР.-1982.-T.II6. - с.20-43.

14.Вавилов H.A. О подгруппах унитарной группы над полулокальным кольцомУУУспехи мат.наук.-1982.-т.37,№4.-с.147-148.

15.Вавилов Н.А.,Плоткин Е.Б. Сетевые подгруппы групп Шевалле. 1,ПУ/Зап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР.-1979.-т.94.-с.40-49.

16.Голубчик И.З. О полной линейной группе над ассоциативным кольцомУУУспехи мат.наук.-1973.-т.28,№3.-с.179-180.

17.Голубчик И.З. О нормальных делителях ортогональной группы над ассоциативным кольцом с инволюциейУ/Успехи ыат.наук.-1975.-т.30,J£6.-с.165.

18. Голубчик И.З. О подгруппах полней линейной группы

над ассоциативным кольцом/Дспехи мат.наук.-1984.-т.38, »I. - с.125-126.

19. Дыбкова Е.В. О некоторых конгруэнц-подгруппах симплекти-ческой группы//3ап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР.-1976.-т.64.-с.80-91.

20. Дыбкова Е.В. Расположение подгрупп в симплектических гру-ппах.-Канд. дисс»- Л.»1986. - 145с.

21. Залесский А.Е. Линейные группы//Успехи мат.наук.-1981.-т.36,№. - с.56-107.

22. Залесский А.Е. Линейные группы//В кн»: Итоги науки.Алгеб-ра.Топология.Геометрия. - М.,1985.-вып.21.-с.135-182.

23. Залесский А.Е.,Сережкин В.Н. Линейные группы,порожденные псевдоотражениями//Изв.АН БССР,сер.физ-мат.наук.-1977. -Jf5.-c.9-I6.

24. Залесский А.Е.,Сережкин В.Н. Конечные линейные группы, порожденные отражениями//Изв.АН СССР,сер.мат.-1980.-т.44, Щ. - с. 1279-1307.

25. Койбаев В.А. Подгруппы полной линейной группы над полем

из трех элементов//В кн.:Структурные свойства алгебраических систем. - Нальчик,1981.- с.56-68.

26. Кондратьев A.C. Подгруппы конечных групп Шевалле//Успехи мат.наук. - 1986. - т.41,№1. - с.57-96.

27. Копейко В.И. Стабилизация симплектических групп над кольцом многочленов//Мат.сб. - 1978.-r.I06,M.-с.94-107.

28. Платонов В.П. Алгебраические группы//В кн.:Итоги науки. Алгебра.Топология.Геометрия. - М.,1974.-вып.II.-c.5-37.

29. Платонов В.П. Арифметическая теория алгебраических групп// Успехи мат.наук.-1982.-т.37,№3.-с.3-54.

30. Платонов В.П.,Рапинчук A.C. Алгебраические группы//В кн.: Итоги науки.Алгебра.Топология.Геометрия.-М.,1963.-вып.21.-с.80-134.

31. Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле.-М.,1975.-262с.

32. Супруненно Д.А. Группы матриц.-М.,1972.-351с.

33. Суслин A.A. О структуре специальной линейной группы над кольцом многочленов//Изв.АН СССР,сер.мат.-1977.-т.42,№2.-

с.235-252.

34. Суслин А.А. Алгебраическая К-теория//В кн.:Итоги науки.Алгебра .Топология. Геометрия. - М.,1982. - вьш.20.-с.71-152.

35. Суслин А.А.,Нопейко В.И. Квадратичные модули и ортогональная группа над кольцом многочленов//3ап.науч.семинаров ЛОМИ АН СССР. - 1977. - T.7I. - с.216-250.

36. Тйтс £. Изотропные полупростые группы//Математика.-1965.-т.9, №-1. - с.149-161.

37. Bass Н. Groups of integral representation type//Pacif.J, Math. - 1980. - v.86, HI. - p.15-51.

38. Berman S.,Moody R. Extensions of Chevalley groups//Isr.J. Math. - 1975. - v.22,HI. - p.42-5I.

39. Carter R.W. Simple groups of Lie type. - London, 1972,33 Ip.

40. Golubitsky M..Primitive actions.and maximal eubgroups of Lie groups//J.Diff.Geom. - 1972. - v.7,NI-2.-p.I75-I9I.

41. Golubitsky M.,Rothschild B. Primitive subalgebras of exceptional Lie algebras//Pacif.J.Kath.-I97I.-v.39,N2.-P.371-393.

42. Kantor W.M. Subgroups of classical groups generated by long, root elements//Trans Amer.Math.Soc.-I979.-v.248, IE. -p.347-379.

43. Key J.D. Some maximal subgroups of certain projective uni-modular groups//J.London Math.Soc.-I979.-v.I9,H2.-p.29I-300.

44. King 0. Imprimitive maximal subgroups of the general linear, special linear symplectic and general symplectic groups//J.London Math.Soc. - 1982. - v.25,10. - p.416-424.

45. King 0. Imprimitive maximal subgroups of the symplectic, orthogonal and unitary groups//Geom.dedic.-I984.-v.I5, №. - p.339-353.

46. King 0. On subgroups of the special linear group containing the special orthogonal group//J.Algebra.-1935.-v.96,HI.-p.178-193.

47. McLaughlin J. Some groups generated by transvections// Arch.Math. - 1967. - Bd.IS.W. - S.364-363.

48. Seitz G.i.i. Subgroups of.finite groups of Lie type//J.Algebra. - 1979. - v.6I, NI.-p. 16-27.

49. Seitz G.M. Properties of. the known simple groups//Proo. Symp.pure.Math. - 1980. - v.37. - p.231-237.

50. Seitz G.M. On the subgroup.structure of classical groups// Commun.Algebra. - 1982. -v.10,N8. - p.875-885.

51. Seitz G.M. Root subgroups for .maximal • .tori in finite groups.of Lie type//Pacif.JoMath. - 1983.-v. 106, NI.-p. 153244.

52. Suzuki K. On parabolic subgroups of Chevalley-groups over local rings//Tohoku Math.J, -1976.-v.28,NI.-p.57-66,

53. Vas erstein L.N. On the normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings//Tohoku Math.J. - 1986.-v.38, N2. , p.219-230.

54. Wilson J.S. The normal and.subnormal structure of the general.linear group//Proo.Cambr.Phil.Soc,-I972.-v«7I, N2. - p. 163-177.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЩИ

Боревич З.И.,Вавилов Н.А. Подгруппы полной линейной группы, содержащие группу диагональных матриц//Тр.Мат.ин-та АН СССР. 1978. - т.148. - с.43-57. Боревич З.И.,Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над коммутативным кольцом/УДокл.АН СССР.- 1982.-т.267,№2. - с.777-778.

Боревич З.И.,Вавилов Н.А. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом//Тр.Мат. ин-та АН СССР. - 1984. - т.165. - с.24-42. Вавилов Н.А. О сопряженности подгрупп полной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц/Аспехи мат.наук. - 1979. - т.34,№. - с.216-217. Вавилов Н.А. Разложение Брюа для подгрупп, содержащих группу диагональных матриц.1,П//Зап.науч.семинаров ЛОШ АН СССР. - 1980. - тЛ03.-с.20-30; 1982. - т.114.-с.50-61.

Вавилов Н.А. О подгруппах полной линейной группы над по-

55.

56.

57.

58.

59.

лулокальным кольцом, содержащих группу диагональных мат-риц//Вестн.Ленингр.ун-та. - 198I. - №1. - с.10-15.

61. Вавилов H.A. О подгруппах расширенных групп Шевалле, содержащих максимальный тор//16-я Всесеюзн.алгебр.конф.: тез.докл. - 4.1. - Л.,1981. - с.26-27.

62. Вавилов H.A. О подгруппах групп Шевалле над коммутативным кельцом//8-й Всесоюзн.сиып.по теории групп:тез.докл.~ Киев, 1982. - с.17-18.

63. Вавилов H.A. Коммутационные формулы в классических группах Шевалле//17-я Всесоюзн.алгебр.конф.:тез.докл.-чЛ.Минск, 1983. - с.37.

64. Вавилов H.A. Подгруппы групп Шевалле над полем, содержащие максимальный тор//17-я Всесоюзн.алгебр.конф.:тез. докл. - 4.1. - Минск, 1983. - с.38-39.

65. Вавилов М.О. Максимально тдгруппи груп Шевалле, що

мьстять максимальний розщеплюваний тор//Во:н.1йив.унмэ., Матем.ь мех. - 1985. - вип.27. - с.28-30.

66. Вавилов H.A. О подгруппах специальной линейной группы, содержащих группу диагональных матриц.1-Щ//Вестн.Ленингр. ун-та, сер Л. - 1985. - №22. - с.3-7; 1986. - вып.1. -

с.10-15; 1987. - вып.2. - с.3-6.

67. Вавилов H.A. О строении группы Шевалле типа Е^.1,П// Л., 1986. - 46 с. - Деп.в ВИНИТИ 22.04.86; К962-В; - 38с. -Деп.в ВИНИТИ 17.07.86, IÍ0228-B.

68. Вавилов H.A. Максимальные подгруппы групп Шевалле, содержащие максимальный расщепимый тор//В кн.:Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятностей, вып.1. - Л.:1986. - с.67-75.

69. Вавилов H.A. Разложение Брюа одномерных преобразований// Вестн.Ленингр.ун-та, серЛ. - 1986. - вып.З. - с.14-20.

70. Вавилов Н.А.,Дыбкова Е.В. О подгруппах полной симплекти-ческой группы, содержащих группу диагональных матриц.I, П/УЗап.науч.семинаров ЛОМИ АН СССР.-1980.-т.103.-с.31-47; 1983. - т.132. - с.44-56.

71. Vavilov U.A. On subgroups of split orthogonal.groups in even.dimensions//Bull.AcacUPolon.Sei.,ser.sei.math.-1981,- - v.29,H9-IO. ~p.425-429.