Подгруппы расщепных классических групп над кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

санкт-петербургски:'! государственный университет

На правах рукописи

КХАТИЕ Абду.чбасет подгруппы раке пк,их классических групп над кольцами

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

автореферат

диссертации ка соискание ученой степени кандидата физико-математических нэук

Сонкт-Пеге^у! г ютег.

Работа выполнена на кафедрз висней алгебры и теории чисел Государственного Санкт-Петербургского университета.

' 1ШЩ1Й РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор Физико-математических наук

н.л.вттоз

ОИЦИАЛЬННЕ ОППСНЕЛТЦ - доктор физико-математических наук А.ВЛЖЛЕЗ

кандидат физико-математических наук А.В.СТЕПАНОВ

ВВДУД.1Я ОРГАНИЗАЦИЯ - Киевский государственный университет кы.Т.ГХепченко

Защита диссертации состоится -С/у- УЗ 1992 г.

в У^? часов на заседании Специализированного совета К 063.57.45 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Государственном Санкт-Петербургском университете (адрес совета: 198904, С.-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл., 2, математике механический факультет, СПГУ). Защита будет проходить по адресу: 191011, С.-Петербург, наб.реки Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 (помещение П01.М).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.А.М.Горького Санкт-Петербургского унизерситета (Университетская наб., 7/9).

■ Автореферат разослан "3/" 04 1992 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Р.А.ШЩТ

■■ ок'дя характеристика работы

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В предлагаемой диссертации рассматриваются вопросы описания подгрупп расцепимих классических групп над кольцами.

Вопросы описания подгрупп традиционно занимают одно из вая-нейдих мест в теории линейных групп. Одно из крупных направлений связано с описанием промежуточных подгрупп, т.е. надгрупп некоторой фиксированной группы. В последние два десятилетия это направление получило значительное развитие, в первую очередь в Великобритании, США, СССР, Китае. Именно к этому направлению и относится настоящая работа.

Сейчас мы перечислим несколько циклов исследований, с которыми наша диссертация особенно тесно связана. Общий обзор исследований в этой области и дальнейшие ссылки можно найти в [14], [15], [17], [9], [10], [20].

Одним из классических направлений, которое формально относится к изучению линейных групп как абстрактных групп, но на самом деле исключительно тесно связано с описанием-подгрупп в них, является классификация нормальные делителей. Этому направлению посвящено громадное количество публикаций многих авторов, начиная с 19 века.

Итоги классического этапа развития подведены в работах Н.Дьедонне, с работ В.Ктингенберга, Х.Бзсса, Дк.Уилсона начался переход к кольцам общего вида, а в последние полтора десятилетия И.3.Голубчиком, Л.Н.Васерштейном и другими авторами получены результаты, близкие к окончательным.

.Другое вагяое направление - описание параболических и близких к ним подгрупп, восходящее к классическим работам Н.Титса ■ 1962 года. Я.'Тите рассматривал группы над телами, а в дальнейшем в работах Н.С.Романовского, З.И.Бсревича, К.Судзуки, Н.Л.Вавилова, Е.В.ДыбковоП, Е.Б.Плоткинп, И.3.Голубчика и других авторов, эти результаты бмли распространены на широкие классы колец. Спда тэ относится описание парпхорических подгрупп, связанное с именами 11 .Ивахори, Х.Мацумото, О.Брюа, К.'Гитса.

Следующим интенсивно развивающимся направлением било описание надгрупп максимальных торов. Отправной точкой здесь была работа Л.Борсля и К.Титса 1965 года, в которой рассматривался слу- -чай алгебраически замкнутого поля. В дальнейшем, в работах З.И.Борсвича, Г.ЗеКтца, Н.А.Вавилова, В.А.Койбаева, Е.В.ДыбковоЯ, эти результаты были обобщены на случай раскепимых торов в классических группах над полями и некоторыми классами колец. В работах Г.Зейтца к Н.А.Вавилоьа эти результаты были перенесены на всо группы Певалле, последний, оставшийся неразобранным случай группы 51.2. изучен О.Кингом в 1909 году. Для нерасцепимых торов ситуация значительно хуке поддается контролю и полностью разобран лишь случай конечного поля. Для остальных полей имеются лиаь частичные результаты З.И.Боревича, С.Л.Крупецкого, Д.Дьоко-вича, В.А.Койбаева, Чан Нгок Хоя. Заметим, что в самое последнее время И.Хавдан и В.Голубовски рассматривали некоторые обобщения этих задач, связанные с рассмотрением части максимального тора и близких к нему групп.

Близко связанным с предыдущим направлением, к которому и относится настоящая диссертация, является описание надгрупп полупростых групп. Для случая регулярных вложений (типа групп кпеточ-ио-диагональных матриц) здесь имеются весьма законченные результаты. Случай полной линейной группы изучался в работах Н.С.Романовского, З.И.Боревича, Н.А.Вавилова, В.А.Койбаева, И.3.Голубчика, А.В.Степанова, а другие расщепимые классические группы в работах Н.А.Вавилова.

Это направление тесно связано также с описанием максимальных подгрупп в классических группах и доказательством максимальности некоторых классов подгрупп, получивл;:х развитие в последние 10 лет, в особенности для случая конечного или алгебраически замкнутого поля. Здесь в первую очередь нужно упомянуть имена Ы.Ас_бахера, Г.Зейтца, М.Либека, П.Клейдмана, О.Кинга, Р.Дая, Ли Шанг Чжы, Д.Тестерман.

Отметим, что упомянутые вьшв работы дают, в частности, новые доказательства и очень широкие обобщения многих результатов о максимальности. Так, для случал поля о надгруппах расщепимых

\-5 -

\

максимальных торов и регулярных полупростых групп, в частности, результаты настоящей диссертации почти полностью покрывают результаты о максимальности групп из классов Аибахера С, и .

Именно включение этих результатов в общий контекст промежуточных подгрупп к было одной из целой настоящей работы.

Конечно, для случая поля эти результаты могут быть получены тактке с использованием другого ваютейшего направления в описании подгрупп классических групп, а именно, описание подгрупп, порожденных подгруппами или элементами данного вида (трансвекциями, отражениями, корневыми элементами и т.д.), получившими замечательное развитие в работах Дж.Макла^ина, А.Е.Залесского, В.Н.Се-режкина, А.Вагнера,- У .Кантора, Б.Куперстейна, Дк.Томпсона, $.ТиммеС(*ельдэ, Ли Шзнг Чжн, Е.Л.Башкирова.

Еще одной типичной задачей, тесно связанной как с описанием надгрупп полупростых групп, так и с описанием нормальных делителей является задача классификации подгрупп, лемщих между однотипный!! группами над разными кольцами. К этой теме относились работы }1.С.Романовского, З.И.Боревича, Н.Я.Нужина, Е.Л.Башкирова, Р.А.11!мидта, Ф.О.Аракеляна, А.В.Степанова, А.Е.Залесского.

Как уже упоминалось, в работах 1!.А.Вавилова описаны подгруппы расщепимых классических групп, содержащие группу точек регулярно (в смысле Дынкина) вложенных полупростых подгрупп в расщепимых классических группах над произвольным коммутативным кольцом [10], [б], [7], [4]. Эти группы выглядят как подходящие группы элементарных клеточно-диагональных матриц в соответствующих группах. При этом в цитированных работах предполагалось, что размер диагональных клеток не менее трех для симплектической группы и не менее пяти для ортогональной группы. Там яз приведены примеры, показывающие, что в общем случае эти оценки нельзя понизить.

Возникает мысль, нельзя ли для некоторых важнейших классов колец (таких, скажем, как полулокальше или дедекнндовы) все ке понизить эти оценки - может быть до двух - рзссирив рассматриваемую группу при помощи некоторых диагональных элементов. Именно рассмотрению этого вопроса и посвящена настоящая диссертация.

Тем самым ш ограничиваемся надгруппсми групп типа клеточно-диагональных (точнее, это поэлементные стабилизаторы разложений пространства, на котором действует группа.в прямую сумму пространств размерности > 2 ), но получаем более точные, чем ранее, оценки, что позволяет нам, в частности, обобщить ряд предшествующих результатов Р.Дая, О.Кинга, Н.А.Вавилова и Ли Шанг Чкы.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью работы является описание подгрупп ортогональных и симплектических групп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц над кольцами.

ОБЩАЯ 1.ЕТ0ДЖА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе используются методы теории групп, теории коммутативных колец и линейной алгебры и некоторые специальные методы теории линейных групп, в особенности метода извлечения трансвекций и вычислений с отражениями.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основными новыми научными результатами диссертации являются следукэдие:

1. Описание подгрупп в расщепимой ортогональной группе, со-держаких ортогональную подгруппу клеточно-диагональных матриц над коммутативным кольцом.

2. Описание подгрупп в симплектической группе, содержащих симплектическую подгруппу ГС')) над полулокальным кольцом.

3. Описание подрадикальккх подгрупп в симплектической группе над коммутативным кольцом, содержащих группу Г.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут найти дальнейшее приложение в изучении подгрупп ортогональной и симплектической групп над кольцами, а такие при изучении аналогичных вопросов в других типах групп, в частности, в группах Шевалле.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы представлены на международной алгебраической конференции по теории конечных групп (Барнаул, 1991 г.), а таете докладывались на совместном семинаре Лаборатории методов Ленинградского отделения Математического института АН СССР и кафедры высшей алгебры и теории чисел ЛГУ.

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликована работа [23] и сданы в печать две статьи.

I. Кхатиб А. О подгруппах расщепимой ортогональной группы

над коммутативным кольцом.

2. Вавилов H.A., Кхатиб А. О подгруппах расцепишх симплек-тических групп над полулокальнш кольцом.

ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав и списка литературы, и занимает £8 страниц ыапиюпис-ного текста. Библиография содержит 89 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Настоящая диссертация посвящена изучению некоторых классов подгрупп в расцепи,гай ортогональной группе Р =СгО (и,Я) над коммутативным кольцом К, и симплектической группе Г=Сг5р(г.£,Я) над коммутативным полулокальным кольцом К .

Во Введении обоснована актуальность исследования, проведенного в работе, дана структура изложения материалов диссертации с формулировкой основных результатов и кратким обзором некоторых вопросов, близких к теме диссертации.

Глава I носит подготовительный характер. В ней приводятся основные определения и обозначения. А такте доказываются некоторые вспомогательные результаты о подгруппах, связанных с сетями.

В § I мы напоминаем определения групп Пусть Я - коммутативное кольцо, Я - его мультипликативная группа, Ог - полная линейная группа степени и, над

Я . Положим £=[н/2.] . Для матрицы ае& через СЦ^ обозначается ео коэффициент на месте - Через си_<=(ац)

обозначается обратная к а матрица, а через СЬ* - транспонированная. Нам будет удобно занумеровать строки и столбцы матриц из О- следующим образом: (,...,•£•,-£,...)-1 , если ,

и (,•■•) 0,-1,- ••)-( . если 4=2.1 + 1 . Определим матрицу | = равенствами = . Определим теперь матрицу

Р = Гн следующим образом:

( 0 (° 0

в зависимости от четности и . Множество всех матриц аей , для которых a^a^^Xg- для некоторого X £ В.* < образует группу GrO(2.t-M,R) , если <¿ F^t-n « группу Gr5р(.at,RJ если ^ = , и группу cj. ■= , если ^ = {¿Í .

Это расширенные группы Шевалле типов Ф = Е>(, , С(, . Х>( соответственно.

В § 2 обсуждаются корневые унипотенты и отражения в r — GrO^R) . CrSp(üí.,R) и приводятся связывающие их коммутационные формулы, являющиеся одним из основных инструментов наших доказательств.

Напомнил, что элементарные корневые унипотенты в этих группах [l9] выглядят следующим образом. Здесь, как обычно, через обозначается единичная матрица, а через ец - стандартная матричная единица, у которой на месте (I, ]•) стоят I и кули во всех остальных местах. Элементарная ортогональная трансвекция имеет вид

если i, j. =£0, i. ф ij (длинный корневой элемент), и вид TioW -Te-^-ot) -е +«.ei)0 -2¿e0)4 -<¿%rt

(короткий корневой элемент). Элементарная симплектическая трансвекция имеет вид

T^tOO-e+oie^i у

(длинный корневой элемент) и вид

если ¿ f. , где через £,{, обозначен знак индекса i (короткий корневой элемент). Подгруппа, порожденная всеми корневыми

элементами, называется элементарно!) подгруппой группы Г , В ортогональном случае эта группа обозначается Е0(и,К) , а в сим-плектическом Ер (;>.(•, Я)

В 5 3 ш напоминаем определения сети и сетевых подгрупп. Именно в этих терминах формируются основные результаты настоящей диссертации. Напомним (см. [I] , [2]), что набор б -=>(6^), 1<1, ^ идеалов б^ кольца Я называется сетью идеалов и

Я порядка и. , если ПРИ всех значениях индек-

сов . Сеть б называется I) -сетью, если при

всех I е I , где I - множество индексов. Для произвольной сети б множество М (б) матриц си(а^) порядка над Я , таких, что Щ € ^| , является подкольцом кольца N (К > К) всех матриц порядка м, над Я . Сетевой подгруппой & (б) в &«>&и(л,Я) , соответствующей сети б ., называется наибольшая подгруппа в & , содержащаяся в е+М(б) . Иными словами, сетевая подгруппа От (б) в & =Сх1Дн,й) состоит из всех матриц 0,=(сцре.& , для которых С1ц =бц((моАб^) при всех Сеть б = называется симплектической, если бц =

для всех и ортогональной, если, кроме того,

(см.[13], [22]). Сеть б соответствующего типа (т.е. ортогональная для ортогональных групп и симллектическая для симплентичес-ких) определяет сетевую подгруппу Г (б) в Г по формуле

Г(б)=й(б)ПГ. Через Ыр(б) обозначается нормализатор Г(б) в Г , а через £г (б) - элементарная сетевая подгруппа, порожденная элементарными корневыми унипотентами, содержащимися в Г (б) , т.е. всеми матрицами вида (оС), оС е бц при всех I ^^ (для ортогональной группы можно предполагать, кромэ того, что V ^ - ^ ).

Пусть теперь - отношение эквивалентности на множестве индексов X— > мы пишем , если с эквива-

лентно относительно *) . В дальнейшее мы будем рассматривать только самосопряженные отношения эквивалентности, т.е. такие, для

которых (-1) г» , если • Для такой эквивалентности

кавдоыу классу С отвечает сопрякенныЯ класс -С и, таким образом, все классы эквивалентности разбиваются на два типа: самосопряженные, для которых - С «• С .и несамосопряженные, для которых - С С

Пусть-!I,,..., - все несамосопрякенные классы порядков •и,,,..., , I . .., Хуи. - самосопряженные классы порядков + ,и-щ, . причем 0 е.1м. » если -и, нечетно. Положим

, < ^ ^ "Ь [1Ц/2] ) ^

Как в работах [21, [3], [7] обозначим через к (-)) наименьший из порядков и.,,..., . Напомним, что к , если и.<,..., 1Ц5»2. , а 1Ы >4 • а £(*0>3 . если • а ^Н*« »• ■ ■ > ^^ • Я°но> что условие

влечет условие 10 оно, в свою очередь,

условие |.

Каждому разбиению отвечает сеть [_•)] над любым кольцом, определенная равенствами [-^ ^ = В. , если 1 ~ , и ш =0 в противоположном случае. Эта сеть симплектическая в силу самосопряженности -) . Если, кроме того, не содержит двухэлементарных классов вида , то эта сеть яатяется

ортогональной. Подгруппа в Г , порожденная всеми элементарными трансвекциями Тц. £ (?., ф ±% > обозначается Ер^) •

Она является элементарной сетевой подгруппой, соответствующей сети , т.е. Ер =ЕГ(М). Она изоморфна

I

в ортогональном случае и

в симплектическом, где - элементарная подгруппа в &

= й (.л,К) , а Е0(и,(1), Ер(к.,Р,) ■ обозначаются элементарные подгруппы в соответствующее группах в Г^ОО^Д), &-5р(г1, К). Сетевая подгруппа Р ([•)]) обозначается также чэрез Г(")) . Она изоморфна подгруппе а

(а, ..Х&Ц1Ч ,Р.) хйо (н+|, .. .х йО (и,И1 ,Рч) в ортогональном случае и

в симплектическом.

В следующем параграфе мы доказываем и напоминаем несколько связанных с сетевыми подгруппами фактов, которые будут использоваться в следующих двух главах.

Глава 2 посвящена доказательству следующего результата, который поникает оценку на по сравнения с работами [8],

[4].

ТЕОРЕМА I. Пусть Я - коммутативное кольцо, такое, что 2е.й. и существует элемент е е. Я такой, что &(е,гН) также обратим. Тогда, если ^ (*))>■ 3 » то ДОЯ любой подгруппы Н в 50 (>, К) . содержащей группу Г (-)) , существует единственная ортогональная 1> -сеть б идеалов такая, что

Ег (б) < Н < Мг(б).

Доказательство этого результата в-принципа следует тому ке плачу, что в работах [4],[8], но на заключительном этапе для извлечения трансвекции используются диагональные матрицы.

В § 5 доказываем несколько технических утверждений, необходимых нам для доказательства теоремы I.

В § 6 приводим контрпример, показывающий, что оценка к О) >3 не может быть, вообще говоря, понижена даже когда основное кольцо Я-К. -поле.

В главе 3 диссертации мы доказываем теорему, которая является одним из основных результатов в нашей диссертации.

ТЕОРЕМА 2. Пусть R - коммутативное полулокальное кольцо, такое, что 2. <=,R , и у R нет поля вычетов F3 , из трех элементов, а - самосопряженное отношение эквивалентности на множестве индексов X I,...,- i} такое, что Ц-»)>г -Тогда для любой подгруппы Н в расщепимой симплектической группе Г =Gr5p(2.t,R) , содер-лацей симплектическую подгруппу

Г типа , существует единственная симплектическая D -сеть идеалов такая, что

Г(б)<Н<Мб).

Для случая li^-J) эта теорема вытекает из результатов

[4], а для случая, когда it, (-J) 2. , все классы эквивалентности -) самосопряжены, а R = К. является полем, она доказана В.А.Койбаевым [1б]. На сомом деле, основные трудности в ее доказательстве связаны с анализом двухэлементных несамосопрякен-ных классов (приводя wix для подгрупп Н > Ер ("J) к бесконечному числу различных контрпримеров).

План доказательства этой теоремы таков: мы последовательно рассматриваем случай поля, прямой суммы полей, подрадикальных подгрупп и производим сборку полученных результатов.

В § 7 доказывается несколько лемм об извлечении трансвек-ций, необходимых ном в дальнейшем.

В § 8 рассматривается случай поля. Этот случай оказывается неожиданно трудны!,! и каие доказательство следует такому плану. Мы рассматриваем подгруппу Н , удовлетворяющую условии теоремы и обозначаем через б ассоциированную с ней симплектичес-кую сеть идеалов в R (т.е. наибольшую сеть, такую, что Ер(б)<Н ). Группа Ер (б) содержится в подгруппе группы Г(б) , порожденной длинными корневыми элементами и длинными корневыми отражениями (т.е. матрицами, сопряженным» в Г с 3){1-1)). Мьг показываем, что каждый принадлежащий И длинный корневой элемент лежит в Г(б) (предложение I), а каждое

прикадлежгкее Н длиннее корченое отражение - в Мр (б) (предложение 2). Тем самым для любого X вН имеем ХЕГ(6)Х Нг(б), откуда, как известно, вытекает, что ХЕ.Нр(б) > т.е. Н ^ .

В § 9 рассматривается случай прямой суммы полей.

Наконец, в § 10 рассматривается случай подрздикалымх подгрупп .

Для разбиения обозначим через Вг подгруппу

в Г >= й 5р (21, Я) , состояли из тех матриц а =(ац ) , для которых а^ , а.\; е I при всех 1> £ , '/-} • Иными словами,

, ,7) ото сетевая группа, соответствующая сети б , определенная следующем образом:

при I ~ |) I < £

6ч 1

1 (Г , в противном случае

мы будем называть подгруппы, содержащиеся в , под-

радикальными.

ТЕ0РЕ"!А 3. Пусть К - коммутативное кольцо, такое, что 2 £Я и существует обратимый элемент £, <Н.Р. такой, что • ЗГ - его радикал Дг.екобсона, -) - разбиение степени м, такое, что к > 2. • Тогда для любой подгрупп1.! . в Г = &5р(2.1,Я) . содержащей группу Г я содержащейся

а Вр (•), Я, 3") , существует единственная симплентячестая I) -сеть идеалов в Я . такая, что Н=Г(б) .

Доказательство этого результата близко следует доказательству аналогичного результата для подрэднкалькпс подгрупп полной линейной группы из [II].

В работе [5] показано, что для случая полной линейной группа описание надгруппы &(_•)) справедливо при

для дедекпндовых колец арифметического типа, удовлетворяющих незначительным дополнительны;.! ограничениям. Отправной точкой доказательства как раз и ясляотся описание этого класса подгрупп для полулокальшх колец.

Идейно и технически этот результат примыкает К предшествуй"?!

результатам Н.-П.Серра, Л.Н.Васеритейна, В.Ван дер Каллена [18], [Ii] , [2l] , показывающим, что для дедекиндовых колец арифметического типа с бесконечной мультипликативной группой стабилизация наступает на единицу раньше того места, где она должна наступать, исходя из соображений размерности.

Используя георуму 2, автор надеется в ближайпее время закончить перенос результатов работы [5] на подгруппы в симплекти-ческой группе над дсдекицдоЕьки кольцами арифметического типа. Как показывает контрпример из главы 2, для ортогональной группы зто невозможно.

В заключение автор вьгракает искреннюю благодарность своему научному руководителю Н.Л.Вавилову.

ли гература

1. Боревич З.И. Описание подгрупп полкой линейной группы, содержащих группу диагональных матриц // Зап.научн.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1976, т.64, с.12-29.

2. Боревич З.И., Вавилов H.A. Подгруппы полной линейной группы над полулокэльным кольцом, содержащие группу диагональных матриц //.Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1978, т.148, с.43-57.

3. Боревич З.И., Вавилов H.A. Расположение подгрупп в полной линейной группе над коммутативным кольцом // Тр.Мат.ин-та АН СССР, 1978, т.165, с.24-42.

4. Вавилов H.A. Подгруппы расцепикых классических групп // Докт. дисс. Л., 1937, 337 с.

5. Вавилов H.A. О подгруппах полной линейной группы над дедекин-довкм кольцом арифметического типа // Изв.ВУЗов. Математика, 1987, П2, с.14-20.

6. Вавилов H.A. Строение расщепимых классических групп над коммутативными кольцами // Докл.АН СССР, 1988, т.299, К1 6,

с .1300-1303.

7. Вавилов H.A. О подгруппах расщепимых ортогональных групп // Сиб.маг.жури., 1983, т.29, J? 3, с. 12-25.

8. Вавилов H.A. О подгруппах расщепимых ортогональных групп над

кольтом // Сио'.мт.журн., IC-ЗО, т.29, ? 4, с.31-43.

.9. Взгклов Н.Л. Подгруппа групп Швваяло, содррхгсиэ гакскмаль-1Г.;й тор// Тп.Л':1-;и;'.гр.Мат.сб-гл, 1990, ':•.!, c.C-i-IC9.

10. Запилов Н.А. О подгруппа picr.o.i'vn-x пасскческкх групп // Тр.Мат.нн-тя СССР, 19?0, тЛЗЗ, с.29-12.

11. Вовнлоэ Н.А., С",-слакс я Л.В. О подгруппах полной лииойнод группы над кольце,», удовлстзоргт'чдпм узяоги.та стабильности// Изв.ВУЗоз. "атекатккз, 1989, 10, с. 19-25.

12. ВасерзтсГ.н Л.Н. О группа SLj над дедекгадоск::! кольцами ариф;/етхческсто тша // 1972, т.09, .'' 2, с.313-322.

13. Дцбкова Е.В. О некотор!я у.пгрузиглодгруппзх с:г.ллекткчсс:'о11 группы // Зап.изучи.семинаров Лен:пгр.отд.;/.а?.ин-тз АН СССР, 1979, т.64, с.50-91.

14. Залесский А.Е. ЛннэГнпо группы // В кн.: Итоги наукп. Алгебра. Топология. Гесметрнл. М., 1933, plzj.21, с.135-182.

15. Залесский А.Е. Лкнейнкэ групп:: // Успехи млт.клук, 1981, т.36, !? 5, с.56-107.

16. Ксйбаев В.А. О подгруппах линейной группу, содермп;«;) группу слгмгнтэрт« клетснно-д::агональк:лс матриц // Весткчк Леиннгр.ун-та, 1932, .Т 13, с.33-10.

17. Кондратьев B.C. Подгруппы конечных групп И'еоалла // Успехи мат.наук, 1986, т. 14, I? I, с.57-96.

18. Сэрр Я.-П. Проблема кенгрупнцподгрупп для // Математика. Пер.сб.пер.изд.. 1971, т.15, № б, с.12-45.

19. Carter R.V. Simple groups of lio type. L, j II.Y.: '.Шоу, 1972, 330 p.

20. H.ihn A.J., O'Meara 0.1. The clo,33ical jjroupa and К -thoovy // Berlin ot al. Springer, 1939, 576 p.

21. Eallen \7. van der. Stability for Ka of Dcdekind rlncs of arithmetic typo, Leot.notes.truth., 1S81, v.354, p.217-243.

22. Vavilov II.A. On гчЬсгоирэ of split orthogonal с^оирэ .in even dinensiono // Bull.Acad.Polon.Sci., ncr.Sii.I^th., 1381, v.29, 29-30, p.425-423.

23. Кхатиб A. О подгруппах рзецептой ортогональной ^уппн над коммутатишг.т! кольцом. МзТуСтсрздпая конференция по алгебра (Барнаул, 20-25 опгуста 1991) Тоэиси докл.по теории групп.