Однородные супермногообразия, связанные с проективным пространством тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Д. УШИНСКОГО

специализированный; совет к пз.27.01

р Г Б од

На правах рукописи

з П 0;1| <•-•-'

ПЛАТОНОВА Ольга Владимировна

ОДНОРОДНЫЕ СУПЕРМНОГООБРАЗИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЕКТИВНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль — 1995

■ Работа выполнена на кафедре алгебры п .математический логики Ярославского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор Он и щ и к Аркадии Львович.

О ф и ц н а л ь н ы с о п п о н с и т ы:

доктор физико-математических наук, профессор Г о р б а ц е в и ч Владимир Витальевич,

кандидат физико-математических' наук, доцент Ястребом Александр Васильевич.

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

седакии специализированного совета IV iu.zi.ui при Ярославском государственном педагогическом университете по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

Защита состоится

года на за

В. Г. Ш е н д е р о в с к и й.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение однородных комплексных супермногообразий было начато в 80-х годах Ю.И.Маниным, который построил супермногообразия флагов, связанные с различными сериями классических линейных суперагебр Ли (см. [1]). Имея в виду приложения к теоретической физике, Ю.Н.Манин поставил и частично решил задачу классификации всех однородных комплексных супермногообразий вида (Grlt2,0), где GV4 2 - грассманово многообразие 2-плоскостей в С4 или, иначе, модель Пенроуза (см. [1], гл. 5). Представляется актуальной следущая задача: классифицировать все однородные комплексные супермногообразия вида (М, О), где М - заданное флаговое комплексное многообразие, т.е. однородное пространство вида G/P, где G - комплексная группа Ли, Р - ее параболическая подгруппа. В диссертации рассматривается случай, когда М = CP" - комплексное проективное пространство. Заметим, что известным примером является здесь нерасщепимое (при п ^ 2) однородное супермногообразие nC?rn+1(n+liI(1 - изотропный суперграссманиан. Ранее были получены следующие отдельные результаты по этой задаче: в [2] классифицированы все однородные супермногообразия вида (CP1,0) нечетной размерности ш, где 1 ^ т ^ 3; в [3] построено однопараметрическое семейство нерасщепимых однородных супермногообразий вида (CP1,0) нечетной размерности 4.

Цель работы. Основной целью работы является классификация однородных супермногообразий (М, О) размерности n|m, где М ~ СРП и п ^ т, а также вычисление их групп когомологий со значениями в касательном пучке.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Классифицированы расщепимые однородные супермногообразия размерности п\т, n ^ т, редукция которых является проективным пространством CP".

Typeset by Лд^ТеХ.

2. Классифицированы нерасщешшые однородные супермногообразия размерности п|т, п ^ т, редукция которых является проективным пространством СР", в предположении, что их группа автоморфизмов содержит 1_(С).

3. Вычислены группы когомологий со значениями в касательном пучке однородных супермногообразий (СРП, О), группа автоморфизмов которых содержит (С). В частности, доказано, что нерасщепимые супермногообразия такого типа жесткие.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в исследованиях по классификации супермногообразий.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии в ЯГПУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы [4, 5].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Содержание работы

Во введении дается обоснование актуальности темы и краткое изложение содержания диссертации.

Глава 1 содержит предварительные определения, уже известные результаты, а также некоторые новые утверждения, необходимые в дальнейшем. Пусть (М, О) - компактное комплексное супермногообразие, Т — Т)егО - его касательный пучок, о(М, О) = Я°(М, Т) - супералгебра Ли голоморфных векторных полей на (М, О), ТХ(М, О) - касательное пространство к (М, О) в точке х £ М. Супермногообразие называется однородным, если естественное отображение о(М, О) —> Тх(М,0) сюръективно для всех х € М. В этом случае М - комплексное однородное пространство.

Супермногообразие (М, О) называется расщепимым, если оно изоморфно (М, Д £), где <£" - пучок голоморфных сечений некоторого голоморфного векторного рассоения Е над М. С каждым комплексным супермногообразием (М, О) связано некоторое расгцепимое супермногообразием (М, 0&1), которое называется его ретр актом. Если (М,0) однородно, то (М,Оё1) также однородно (но обратное неверно). С другой стороны, расщепимое супермногообразие (М, Д £) однородно тогда и только тогда, когда выполнены условия:

(1) Е —> М - однородное векторное расслоение;

(2) сопряженное расслоение Е* М порождается своими глобальными голоморфными сечениями.

Предположим, что М - флаговое многообразие. Если выполнено условие (1), то Е можно представить в виде расслоенного произведения Е^ = С? х Е = (С? X Е)/Р, где С? - полупростая комплексная группа Ли, Р - ее параболическая подгруппа, (р : Р —> 0/(Е) - голоморфное линейное представление, М'= С/Р. В этих обозначениях условие (2) можно выразить в терминах представления ¡р. Таким образом, в расщепимом случае наша задача сводится к теории линейных представлений.

В главе 2 дала классификация однородных расщепимых супермногообразий (СР", О) размерности п\т, где п ^ т. Пусть Е —» СРга - однородное векторное расслоение. Тогда группа Аг^ Е индуцирует на СР" транзитивную группу преобразований, совпадающую либо с полной проективной группой, либо с ее симплектической подгруппой (в последнем случае п нечетно). Соответственно этому Е называется 5!/„_)_! [С)-однородным. или 5рп+а (С)- о <?нор о дньш. Можно считать, что С 5Х„+1(С) или Зрп+1(С). Если СР" = <3/Р, то редуктивная часть Я подгруппы Р изоморфна 0ЬП(С) или 5р„_1(С) х С* соответственно.

Теорема 1. Пусть Е —> СР™ - (С)-однородное голо-

морфное векторное расслоение ранга т ^ п. Расщепимое супермногообразие (СР", Д 6) однородно тогда и только тогда,

з

когда Е задается одним из вполне приводимых представлений <р подгруппы Р с ¿>£п-н(С), таких что

(1) 1р\Я = рс1к, к ^ —1;

(2) =

(3) = с**1 + • • • + ^ 0.

Здесь р - стандартное линейное представление гругшы б?Х„(С), <1 = det - характер этой группы.

Теорема 2. Пусть Е —► СР™ - 8р„+1(С)-однорсдное голоморфное векторное расслоение ранга т ^ п. Расщепимое супермногообразие (СРп, Д €) однородно тогда и только тогда, когда задается одним из вполне приводимых представлений <р подгруппы Р С 5'р„4-1(С), таких что

(1) ср]К = р0(1к, к^-1;

(2) у 1-й = р ® <** + КЧКО;

(4) п = 5, <р\11=1;®с1к, к 4-1,

Здесь р - стандартное линейное представление группы 5р„_х(С), ^ - базисный характер группы С*, а - трехмерное неприводимое представление группы Бр2(1С)) и - пятимерное неприводимое представление группы Яр^С).

В той же главе описан общий метод вычисления функций перехода для однородных супермногообразий, описанных в теореме 1 (будем называть их Я однородными). Далее в главе 2 вычислены когомологии 8Ьп+1 (С)-однородных супермногообразий со значениями в касательном пучке. При этом используется теорема Ботта о когомологиях однородных расслоений. Отметим, в частности, следующий результат:

Теорема 3. Пусть (СР"\ Д £) - Я£п+1(С)-однородное расщепимое супермногообразие размерности п\тп, где п ^ т, и <р - представление, определяющее структурный пучок этого супермногообразия. Тогда группа Н1 (СРп,7д)5£,"+1^ (или Н1(СРП,) нетривиальна тогда и только тогда, ко-

гда

(1) п = т и ср = р*<1~2;

(2) п = ш = 2 и <р = (¿* + ¿1, где к + / = -3, к, I ^ 0.

В главе 3 рассматриваются нерасщепимые однородные супермногообразия вида (СРП, О). Мы изучили случай, когда ретракт супермногообразия является 6"^п+1(С)-однородным. Классификация всех однородных супермногообразий с заданным ретрактом сводится к некоторым результатам теории ко-гомологий. Используя теорему 3, приходим к следующей классификации:

Теорема 4. Пусть (СРП, О) - однородное нерасщепимое супермногообразие размерности п\т, где п ^ т, имеющее 5Хп+1 (С)-однородный ретракт. Тогда п = т; при этом, если п = тп > 2, то (М, О) ~ П<7гп+1|п+1>1|1. Если п = ш = 2, то кроме П(3гз|зд|1, существует только одно супермногообразие такого типа, ретракт которого связан с представлением <р = (1-1+<1-2.

В процессе доказательства явно строятся функции перехода указанных супермногообразий.

В главе 4 вычислены когомологии касательного пучка не-расщепимых однородных супермногообразий, описанных в главе 3. Обозначим через 7Г(п +1 \п +1) подалгебру полной линейной супералгебры Ли д1п-ц|п-ц(С)> состоящую из матриц вида:

(ь а)' а'Ьеди1(С).

Теорема 5. Когомологии касательного пучка Т супермногообразия ПСгп+1|п+1,1|1 имеют вид:

Я°(М,Т) ~ 7г(п + 1|п + 1 )/(Е) (как супералгебры Ли); НП-\М,Т)~С;

НР(М,Т) = 0 в остальных случаях.

Теорема 6. Пусть (CP2,0) - нерасгцепимое однородное супермногообразие размерности 2|2, рстралт которого связан с представлением ip = d~x -f d~2, тогда

Я0(CP2, Г) ~ g[3|1(C)/(Е) + С3'6 (как супералгебры Ли),

где С3'6 - коммутативный идеал, Н\СГ2,Г) = Н2(СГ2,Т) = 0.

Следствие. Супермногообразия (n ^ 3) и су-

пермногообразие теоремы 6 являются жесткими.

Литература

1. Ю.И.Манин. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М: Наука, 1984.

2. В.А.Бунегина, А.Л.Онищик. Однородные супермногообразия, связанные с комплексной проективной прямой //Итоги науки и техники ВИНИТИ. Совр. математика и ее прил. Т. 19. Алгебраическая геометрия - 1. М., 1995. С. 133 - 169.

3. V.A.Bunegina, A.L.Onishchik. Two families of flag super-manifolds //Diff. Geom. Appl. 1994. V. 4. P. 329 - 360.

4. О.В.Платонова. Об однородных супермногообразиях размерности 2|2 //Успехи мат. наук. 1995. Т. 50. С.

5. О.В.Платонова. Об однородных супермногообразиях, связанных с комплексным проективным пространством / /Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук. Математика. Информатика. Ярославль, 1995. С. 46 - 47.