Однородные супермногообразия, связанные с комплексной проективной прямой и комплексным тором тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

БАШКИН МИХАИЛ АНАТОЛЬЕВИЧ

ОДНОРОДНЫЕ СУПЕРМНОГООБРАЗИЯ, СВЯЗАННЫЕ С КОМПЛЕКСНОЙ ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ И КОМПЛЕКСНЫМ ТОРОМ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

ЯРОСЛАВЛЬ — 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Онищик Аркадий Львович

Официальные доктор физико-математических наук, профессор

Защита состоится 17$евебря 2004 года в 14 часов на заседании диссертационного совета К 212.002.06 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150008, г. Ярославль, ул. Союзная, 144.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

оппоненты:

Горбацевич Владимир Витальевич

кандидат физико-математических наук, доцент Кочетков Юрий Юрьевич

Ведущая организация

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Яблокова СИ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Изучение однородных комплексных супермногообразий было начато в 80-х годах Ю.И. Маниным, который построил супермногообразия флагов, связанные с различными сериями классических линейных супералгебр Ли. Он также поставил и частично решил задачу классификации однородных комплексных супермногообразий вида 1[Сг4,2, С), где Сг4]2 — грассманово многообразие 2-плоскосгей в С4. В связи с этим возникла более общая задача, поставленная А. Л. Онищиком: классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные комплексные супермногообразия вида (М,0), где М — заданное компактное комплексное однородное многообразие.

Как известно, с каждым комплексным супермногообразием связано более просто устроенное комплексное супермногообразие (М,0^), называемое его ретрактом, которое расщепимо, то есть определяется некоторым голоморфным векторным Е

над М. Легко показать, что ретракт однородного супермногообразия также является однородным. Поэтому общую задачу классификации однородных супермногообразий можно свести к следующим двум подзадачам:

Описать все однородныерасщепимые супермногообразия, соот -ветствующие голоморфным векторным расслоениям Е над М.

Для заданного расщепимого однородного супермногообразия (М, О^) классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные супермногообразия, имеющие его в качестверетракта.

Решение первой подзадачи можно дать в следующих терминах: расщепимое супермногообразие, соответствующее голоморфному векторному расслоению Е —+ М, однородно тогда и только тогда, когда Е —♦ М является однородным расслоением, а двойственное расслоение порождается глобальными голоморфными сечениями. Вторая подзадача в настоящее время является довольно мало изученной; в некоторых случаях ее решение дается в настоящей диссертации.

Укажем основные результаты по задаче классификации однородных супермногообразий, полученные в последние годы.

Пусть М — неприводимое односвязное компактное эрмитово симметрическое пространство. А.Л. Онищик (1997 г.) классифицировал все супермногообразия с ретрактом (М, П), где П — пучок голоморфных форм на М, и доказал, что единственными однородными среди

них являются П-симметрические суперграссманианы, построенные Ю.И. Маниным. В случаях, когда М = СР771, т > 2 и М = Сгдг^, 2 < э < N — 2, однородные супермногообразия вида (М, О) были перечислены А.Л. Онищиком и О.В. Платоновой (1998 г.) и С.А. Иго-ниным (1999 г.) соответственно при определенных условиях на нечетную размерность супермногообразий. Далее, В.А Бунегина и А.Л. Онищик (1994 г.) полностью исследовали случай .М = СР1 при условии, когда нечетная размерность супермногообразия п = 2 или 3, и построили однопараметрическое семейство однородных супермногообразий, ретрактом которых является комплексная проективная суперпрямая размерности 1|4. Кроме однородных супермногообразий, изучались также четно-однородные, т.е. супермногообразия (М,0), четные голоморфные поля на которых порождают касательное расслоение над М.

Исходя из вышесказанного, актуальным является, во-первых, продолжение классификации для СР1 при п > 4, во-вторых, проведение классификации для однородных многообразий М, отличных от рассматривавшихся ранее.

Цель работы:

• описать супермногообразия, ретрактами которых являются комплексные проективные суперпрямые СР1'4 и СР1'5 размерностей 1|4 и 1|5, и выделить среди них однородные.

• описать супермногообразия размерности 1|4 над СР1, ретракт которых СР^ц определяется векторным расслоением, разлагающимся в сумму линейных расслоений степеней —2, —2, — 1, — 1, и выделить среди них однородные.

• описать супермногообразия надт- мерным комплексным тором

ретракт которых определяется тривиальным векторным расслоением ранга и выделить среди них однородные.

Методы исследования. На сегодняшний день существуют следующие подходы к задаче классификации комплексных супермногообразий с заданным ретрактом (М,ОёТ). Согласно теореме Грина, классы изоморфных супермногообразий такого вида находятся в биективном соответствии с орбитами группы автоморфизмов соответствующего векторного расслоения Е на множестве когомологий со значениями в пучке автоморфизмов

пучка тождественных по модулю квадрата подпучка нильпо-тентных элементов. В некоторых случаях вычисление этих неабе-

левых когомологий удается свести к вычислению обычных (абеле-вых) когомологий со значениями в пучке Т&т векторных полей на (М,0&г). А именно, пусть п — нечетная размерность супермногообразия (М, Оёг), т.е. ранг расслоения Е. При п < 3 имеем изоморфизм пучков групп Оет ~ 72. В настоящей диссертации рассматривается случай, когда с!1т(М, О^) = 1|гс, где п < 5, и Я0(М,7з) = 0. При этих условиях существует биекция между множеством Н1(М,ЛиЬ^2)Оег) и векторным пространством Я1(М,7г Ф^). При этом как абелевы, так и неабелевы когомологии допускают два различных описания — при помощи комплекса Чеха, связанного с штей-новым открытым покрытием многообразия М, и при помощи комплексов типа Дольбо, состоящих из дифференциальных форм на М. Конструкция нелинейного комплекса такого рода, приводящего к неабелевым когомологиям Нх{М,ЛиЬ^2)0&1), была дана А.Л. Они-щиком; этот подход позволяет применять теорию Ходжа к изучению неабелевых когомологий. Комплексы Чеха непосредственно используются в диссертации в случае М = СР1, а комплексы типа Доль-бо — в случае При исследовании супермногообразий на

однородность и четную однородность существенное значение имеют критерии подъема на супермногообразие с его ретракта векторных полей и действий групп Ли, связанные с инвариантностью класса когомологий, определяющего супермногообразие, относительно этих действий. Все это требует применения аппарата гомологической алгебры и теории представлений. При проведении некоторых вычислений использовался компьютер.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Для расщепимого компактного супермногообразия (М, 0&г) размерности 1|п с условиями п < 5 и Н°(М,Т2) = {0} дано описание множества Н1(М, Ли1^2) 0&г) в терминах 1-когомологий касательного пучка а также описание в тех же терминах множества классов когомологий, инвариантных относительно некоторого действия компактной группы Ли на

2. Для расщепимых супермногообразий (СР1, О^) найдены базисы пространств Тг) и Я1 (Я, Т2р), р — 1,2, а также инварианты этих пространств когомологий относительно стандартного действия группы ЗЬг(С).

3. Выведена формула для второго нетривиального дифференциала спектральной последовательности касательного пучка су-

пермногообразия.

4. Дана полная классификация (с точностью до изоморфизма) супермногообразий с ретрактом СР1\4. Доказано, что все они четно-однородны, и найдены все однородные супермногообразия этого вида.

5. Для всех однородных супермногообразий с ретрактом СР4 найдены базисы супералгебр Ли голоморфных векторных полей и составлены таблицы их коммутаторов.

6. Для всех супермногообразий с ретрактом СР14 вычислены размерности пространств когомологий со значениями в касательном пучке.

7. Найдены базисные коциклы, задающие четно-однородные супермногообразия с ретрактом СР15.

8. Найдены уравнения на коэффициенты линейных комбинаций базисных коциклов, выделяющие однородные супермногообразия с ретрактом СР15.

9. Найдены все коциклы, задающие четно-однородные и однородные супермногообразия с ретрактом СР15. Дана полная классификация (с точностью до изоморфизма) однородных супермногообразий этого вида.

10. Описаны все супермногообразия с ретрактом Тт'п, доказано, что все они четно-однородны и что единственным однородным супермногообразием этого вида является ТтК

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут найти применение в исследованиях по классификации супермногообразий, а также для построения математических моделей в теоретической физике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на областной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Ярославль, 1999), на Втором Международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука — третье тысячелетие"(Москва, 2002), на IV Научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Ярославской области (Ярославль, 2003), на Всероссийской научной конференции,

посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003).

Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликовано 10 научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы из 31 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, приводится краткий обзор основных результатов, проблем и методов исследования, формулируется цель диссертации, характеризуется ее научная новизна, дается краткий обзор работы.

Первая глава носит вводный характер. В ней вводятся необходимые понятия и обозначения, а также формулируются некоторые вспомогательные результаты, используемые в диссертации. Большинство из них известны и приводятся без доказательств, но некоторые являются новыми; они указаны ниже. Под комплексным супермногообразием размерности тп\тг мы понимаем Z2-градуированное окольцованное пространство (М, О), где М — комплексное многообразие, а О — пучок коммутативных супералгебр на М, локально изоморфное паре (U, • • • >£п)), где U — область в Ст и Тт — пучок голоморфных функций в С. В частности, любое голоморфное векторное расслоение Е над комплексным многообразием (Ai, Т) определяет комплексное супермногообразие (М, Д^ £), где £ — пучок голоморфных сечений расслоения Е. Супермногообразие называется расщепимым, если оно изоморфно супермногообразию этого вида, и нерасщепимым в противном случае. Приводится конструкция, которая позволяет связать с любым супермногообразием (М, О) расще-пимое супермногообразие (M,Cgr) той же размерности, называемое его ретрактом. На любом комплексном супермногообразии (JVÍ, Ö) определяется касательный пучок Т = Ver О. Его сечения называются голоморфными векторными полями на (М, О) и составляют супералгебру Ли v{M,ö). Описывается связь между касательными пучками супермногообразия и его ретракта. Компактное супермногообразие (M,ö) называется однородным, если векторные поля на нем порождают касательное пространство в любой его точке, и четно-однородным, если четные векторные поля порождают касательное пространство к многообразию М в любой его точке. Рет-

ракт однородного (или четно-однородного) супермногообразия всегда однороден (соответственно четно-однороден), но обратное неверно. Вводится понятие подъема векторного поля или действия группы на ретракте на супермногообразие и приводятся известные критерии подъема.

Формулируется теорема Грина, дающая классификацию (с точностью до изоморфизма) супермногообразий с заданным ретрактом (M, Cgr) в терминах множества неабелевых 1-когомологий Я1(М, Aut(2) Ogr) со значениями в некотором подпучке Autç^ Cgr пучка автоморфизмов пучка Ogr. Описывается также нелинейный комплекс К, состоящий из дифференциальных форм со значениями в пучках векторных полей ?2р на {M,Ggr), введенный A.JL Онищи-ком, 1-когомологии которого совпадают с Н1(М, Aut^) Cgr)- В компактном случае в этом комплексе рассматривается теория Ходжа, позволящая построить многообразие модулей для этого множества когомологий. Если M — компактная риманова поверхность, то это многообразие совпадает с а если при этом нечетная

Р>1

размерность п < 5 и Н°(М, 7г) = {0}, то отсюда получается биек-ция между Нг(М,АиЬ(2) и Н1(М,Т2 ® Т4). Новым результатом является описание этой биекции в терминах когомологий Чеха.

Затем рассматриваются расщепимые супермногообразия над M = СР1. Любое такое супермногообразие определяется расслое-

п

нием Е = ф где — голоморфное расслоение на пря-

мые степени -kj. Расщепимое супермногообразие однородно тогда и только тогда, когда все Новыми результатами здесь явля-

ются явное вычисление базисов пространств Н°(М,72), Н1{М,Т2) и Hx{M,Ti) и выделение-инвариантных классов когомологий. В случае п < 5 это, в частности, позволяет описать все наборы для которых существуют четно-однородные нерасщепимые супермногообразия с данным ретрактом.

В заключение этой главы описывается спектральной последовательность касательного пучка супермногообразия, предложенная А.Л. Онищиком. Доказывается формула для второго нетривиального дифференциала этой последовательности.

Втораяглавапосвягценаклассификациисупермногообразиинад M — СР1 с ретрактами СР1'4 и СР1'5, которые задаются наборами чисел (1,1,1,1) и (1,1,1,1,1). Здесь в терминах коциклов Чеха описываются классы когомологий из соответству-

ющие которым нерасщепимые супермногообразия четно-однородны. В частности, оказывается, что все супермногообразия с ретрактом

четно-однородны. Проводится классификация всех таких супермногообразий с точностью до изоморфизма и выделяются однородные супермногообразия. Основным результатом в этом случае является следующая

Теорема. Супермногообразие с ретрактвШ1^ однородно тогда и толькотогда, когдасоответствующийкласскогомологийпредстав-ляется в стандартном покрытМ. одним из следующих коциклов и е ^(СР1, (Тег)2) © ^(СР1, (7-^)4):

Основной результат для супермногообразий с ретрактом СР15 состоит в том, что указана система уравнений на коэффициенты линейной комбинации базисных коциклов, определяющих четно-однородные супермногообразия, которая выделяет среди них однородные супермногообразия.

Кроме того, для всех супермногообразий с ретрактом СР14 вычислены размерности пространств когомологий касательного пучка (при этом используется спектральная последовательность), а для однородных супермногообразий найдены в явном виде базисы супералгебр Ли векторных полей.

Третья глава посвящена супермногообразиям над С Р1 с ретрактом, заданным набором чисел (2,2,1,1). В терминах когомологий Чеха описаны все четно-однородные супермногообразия, среди них выделены однородные , и последние классифицированы с точностью до изоморфизма. Основной результат имеет следующий вид:

Теорема. Супермногообразие с вышеуказанным ретрактом однородно тогда и только тогда, когда соответствующий класс когомологий представляется в стандартном покрытии U одним из следующих

коциклов и е Л^СР1, (Гйг)2) Ф 2г(СР\ (Твг)4):

1) 0;

2) х-1^! 5 ;

3);

4) аГ^бй ^ '

5) х-^зй&д^-+

д .

Четвертая глава содержит классификацию супермногообразий над комплексным тором Тразмерности т с ретрактом Г"1'", определяемым тривиальным голоморфным векторным расслоением Е ранга п. Используя комплекс дифференциальных форм К, мы находим явный вид многообразия модулей супермногообразий с этим ретрак-том и описываем супералгебры Ли векторных полей на этих супермногообразиях. Отсюда выводится следующая

Теорема. Любое супермногообразие сретрактоЖ^Ъетно-одно-родно. Онооднороднотогдаитолъкотогда, когдаизоморфнорет-рактуТт\п.

Приложение содержит таблицы коммутаторов базисов супералгебр Ли векторных полей для всех однородных супермногообразий с ретрактом СР14.

В заключении формулируются основные результаты и перечисляются возможные направления дальнейшей работы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Башкин М.А. Супералгебры Ли векторных полей на семействе супермногообразий размерности 1|4 // Современные проблемы естествознания. Математика: Сборник тезисов областной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Ярославль: ЯрГУ, 1999. С.5-6.

[2] Башкин М.А. Супералгебры Ли векторных полей на семействе супермногообразий размерности 1|4 // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.2. Ярославль: ЯрГУ, 1999. С.17-24.

[3] Башкин М.А. Когомологии касательного пучка одного семейства супермногообразий размерности 14 // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов

молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.4. Ярославль: ЯрГУ, 2001. С.;6-12.

[4] Башкин М.А. Когомологии касательного пучка одного семейства супермногообразий, связанного с комплексной проективной прямой // Тезисы Второго Международного конгресса студентов, молодых ученых и специалистов "Молодежь и наука — третье тысячелетие"/ YSTM'02 (15-19 апреля 2002г.) Россия. Москва. Часть 2. С. 28-29.

[5] Башкин М.А. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным тором // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.5. Ярославль: ЯрГУ, 2002. С.5-10.

[6] Башкин М.А. Однородные супермногообразия с ретрактом СР14 // Математика: Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Яросл. гос. ун-та им. П.Г.Демидова / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2003. С.6-28.

[7] Башкин М.А. Супермногообразия, соответствующие тривиальному векторному расслоению над комплексным тором // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: Сб. науч. тр. / Под ред. проф. А.Л. Онищика. — Ярославль: ЯрГУ, 2003. С.19-34.

[8] Башкин М.А. Классификация супермногообразий, связанных с комплексным тором // Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии: Сборник материалов конференции / IV областная научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых вузов, Ярославль, 13-14 мая 2003 г. — Ярославль: МУБиНТ, 2003. С.53.

[9] Башкин М.А. Когомологии касательного пучка супермногообразий с ретрактом СР14 // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.б. Ярославль: ЯрГУ, 2004. С.5-7.

[10] Bashkin М.А. Supermanifolds Corresponding to the Trivial Vector Bundle over Complex Torus. E. Schrodinger Intern. Inst. Math. Phys. Preprint 1328. Vienna, 2003. 13 p.

12293«

Введение

1. Предварительные сведения

1.1. Супермногообразия.

1.2. Касательный пучок и векторные поля

1.3. Пучки автоморфизмов и теорема классификации.

1.4. Нелинейный комплекс и применение теории Ходжа.

1.5. Действия на супермногообразиях.

1.6. Случай римановой поверхности.

1.7. Расщепимые супермногообразия над CP

1.8. Спектральная последовательность супермногообразия

2. Однородные супермногообразия с ретрактом CP ' и CP1'

2.1. Супермногообразие CP1'4. Когомологии касательного пучка

2.2. Описание классов изоморфных супермногообразий с ретрактом CP114.

2.3. Исследование на однородность супермногообразий с ретрактом CP114.

2.4. Вычисление когомологий касательного пучка супермногообразий с ретрактом CP114.

2.5. Супермногообразие CP1'5. Первая группа когомологий касательного пучка

2.6. Исследование на 0-однородность супермногообразий с ретрактом CPlt5.

2.7. Исследование на однородность супермногообразий с ретрактом CP1'5.

3. Однородные супермногообразия с ретрактом СР^п

3.1. Супермногообразие СР^ц- Первая группа когомологий касательного пучка

3.2. Исследование на О-однородность супермногообразий с рет-рактом СР22П

3.3. Исследование на однородность супермногообразий с рет-рактом СР2Й

4. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным тором

4.1. Комплексный тор.

4.2. Супермногообразия, связанные с тривиальным расслоением на торе

4.3. Супералгебра Ли векторных полей на супермногообразиях с ретрактом Tm|n

4.4. Однородные супермногообразия с ретрактом Тт\п.

Настоящая диссертация посвящена задачам классификации однородных комплексных супермногообразий. При этом супермногообразие называется однородным, если супералгебра голоморфных векторных полей транзитивна на нем, т.е. порождает касательное суперпространство в каждой его точке. Изучение однородных комплексных супермногообразий было начато в 80-х годах Ю.И. Маниным, который построил супермногообразия флагов, связанные с различными сериями классических линейных супералгебр Ли (см. [14]). Он также поставил и частично решил задачу классификации однородных комплексных супермногообразий вида (Gr4t2,0), где Gr^ — грассманово многообразие 2-плоскостей в С4 (см. [14, гл.5]). В связи с этим возникла более общая задача, поставленная A.JI. Онищиком в [17]: классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные комплексные супермногообразия вида (М, О), где М — заданное компактное комплексное однородное многообразие.

Как известно, с каждым комплексным супермногообразием (М, О) связано более просто устроенное комплексное супермногообразие (М, Ogr), называемое его ретрактом, которое расщепимо, то есть определяется некоторым голоморфным векторным расслоением Е над М. Легко показать (см., например, [11]), что ретракт однородного супермногообразия также является однородным. Поэтому общую задачу классификации однородных супермногообразий можно свести к следующим двум подзадачам (см. [17]):

Описать все однородные расщепимые супермногообразия, соответствующие голоморфным векторным расслоениям Е над М.

Для заданного расщепимого однородного супермногообразия (М, 0&) классифицировать с точностью до изоморфизма все однородные супермногообразия, имеющие его в качестве ретракта.

Решение первой подзадачи можно дать в следующих терминах: рас-щепимое супермногообразие, соответствующее голоморфному векторному расслоению Е —¥ М, однородно тогда и только тогда, когда Е —> М является однородным расслоением, а двойственное расслоение Е* М порождается глобальными голоморфными сечениями. Вторая подзадача в настоящее время является довольно мало изученной, и в некоторых случаях ее решение будет дано в настоящей работе.

Укажем основные результаты по задаче классификации однородных супермногообразий, полученные в последние годы.

Пусть М — неприводимое односвязное компактное эрмитово симметрическое пространство. A.JI. Онищик в [26] классифицировал все супермногообразия с ретрактом (М, fi), где Q, — пучок голоморфных форм на М, и, в частности, доказал, что единственным однородным среди них является П-симметрический суперграссманиан, построенный в [14]. В случаях, когда М = CPm, т > 2 и М = GrN,s, 2 < s < N-2, однородные супермногообразия вида (М, О) были перечислены A.JI. Они-щиком и О.В. Платоновой в работах [19] и [20] и С.А. Игониным в [13] соответственно при определенных условиях на нечетную размерность супермногообразий. Далее, В.А. Бунегина и A.JI. Онищик полностью исследовали в [11] случай М = CP1 при условии, когда нечетная размерность супермногообразия п = 2 или 3, а в работе [23] построили однопараметрическое семейство однородных супермногообразий, ретрактом которых является комплексная проективная суперпрямая размерности 1|4. Кроме однородных супермногообразий, изучались также четно-однородные, т.е. супермногообраэия (М, О), четные голоморфные поля на которых порождают касательное расслоение над М.

Исходя из вышесказанного, актуальным является, во-первых, продолжение классификации для М = CP1 при п > 4 и, во-вторых, проведение классификации, когда в качестве М рассматривается однородное многообразие, отличное от рассматривавшихся выше. Как показано в [11], голоморфное векторное расслоение ранга п над М = CP1, определяющее однородное расщепимое супермногообразие, имеет вид , где все ki > 0 и через L^ обозначается голоморфное линейное расслоение степени к. В частности, ретракт любого однородного супермногообразия вида (М, О) нечетной размерности п определяется набором неотрицательных целых чисел (fci,. ,кп). В настоящей работе изучаются случаи п — 4 и 5. В случае п = 4 мы полностью решаем задачу классификации однородных супермногообразий с ретрактами, отвечающими наборам (1,1,1,1) (комплексная проективная суперпрямая) и (2,2,1,1), с точностью до изоморфизма. При этом вычисляются супералгебры Ли голоморфных векторных полей и группы 1-когомологий касательных пучков этих однородных супермногообразий. В случае п = 5 мы описываем семейство коциклов, задающее все однородные супермногообразия с ретрактом, отвечающим набору (1,1,1,1,1) (комплексная проективная суперпрямая), но классификацию с точностью до изоморфизма в этом случае провести не удается. Изучен также случай, когда М = Тт — m-мерный комплексный тор, а ретракт определяется тривиальным векторным расслоением произвольного ранга п.

На сегодняшний день существуют следующие подходы к задаче классификации комплексных супермногообразий с заданным ретрактом (M,OgT) (см. [18]). Согласно теореме Грина [24], классы изоморфных супермногообразий такого вида находятся в биективном соответствии с орбитами группы автоморфизмов соответствующего векторного расслоения Е на множестве когомологий Н1(М,Аи1(2)0&) со значениями в пучке Aut(2)Ogr автоморфизмов пучка Ogr, тождественных по модулю квадрата подпучка нильпотентных элементов. В некоторых случаях вычисление этих неабелевых когомологий удается свести к вычислению обычных (абелевых) когомологий со значениями в пучке TgT векторных полей на (М, Ogr). А именно, пусть п — нечетная размерность супермногообразия (М, Ogr), т.е. ранг расслоения Е. При п < 3 имеем изоморфизм пучков групп Ogr ~ 7г (см. [11]). В настоящей работе рассматривается случай, когда dim(M, Ogr) = 1|п, где n < 5, и Я°(М, 7г) = 0. При этих условиях существует биекция между множеством Н1(М, Aut(2)Osг) и векторным пространством #J(M, 7г 0 74). При этом как абелевы, так и неабелевы когомологии допускают два различных описания — при помощи комплекса Чеха, связанного с штейновым открытым покрытием многообразия М, и при помощи комплексов типа Дольбо, состоящих из дифференциальных форм на М. Конструкция нелинейного комплекса такого рода, приводящего к неабелевым когомологиям Z/1 (М, Aut^)Ogr), была дана в [29, 30]; этот подход позволяет применять теорию Ходжа к изучению неабелевых когомологий. Комплексы Чеха непосредственно используются в диссертации в случае М = CP1, а комплексы типа Дольбо — в случае М = Тт. При исследовании супермногообразий на однородность и четную однородность существенную роль играют критерии подъема на супермногообразие с его ретракта векторных полей (см. [26]) и действий групп Ли (см. [31, 32]). Эти критерии связаны с тем, что класс неабелевых когомологий, определяющий супермногообразие, всегда инвариантен относительно поднимающегося действия.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы.

Заключение

Перечислим основные результаты данной диссертации:

1) Для расщепимого супермногообразия (М,0) размерности 1|п, где п < 5, с условием Н°(М, (7^г)г) — {0} дано описание множества Hl{M, Aut(2)0) в терминах пространств H1(M,T2q), q = 1,2 (теорема 1.6.3). В тех же терминах описано множество инвариантов Нг(М, Aut(2)O)0 относительно действия компактной группы Ли 65. Доказано, что действие группы (J5 поднимается на супермногообразие с ретрактом (М, О) тогда и только тогда, когда оно отвечает классу когомологий из Hl{M,Aut(2)0)(& (теорема 1.6.5).

2) Для расщепимого супермногообразия (CP1,0) найдены базисы пространств когомологий //"''(CP1, Tq), р = 0,1, (теоремы 1.7.6 и 1.7.7) и пространств инвариантов ЯХ(М, относительно стандартного действия алгебры Ли з[г(С) (теорема 1.7.8).

3) Выведена формула для второго нетривиального дифференциала спектральной последовательности когомологий касательного пучка (теорема 1.8.3).

4) Дана классификация супермногообразий с ретрактом CP1'4 с точностью до изоморфизма (теорема 2.2.1).

5) Доказано, что любое супермногообразие с ретрактом CP1'4 четно-однородно и описаны все однородные супермногообразия этого типа (теорема 2.3.11).

6) Вычислены базисы супералгебр Ли векторных полей и составлены таблицы коммутаторов базисных элементов для всех однородных супермногообразий с ретрактом CP114 (раздел 2.3 и приложение).

7) Вычислены размерности пространств когомологий касательного пучка для всех супермногообразий с ретрактом CP114 (теорема 2.4.1)

8) Описаны все 0-однородные супермногообразия с ретрактом CP1'5 (теорема 2.6.3).

9) Найдены системы уравнений для коциклов, определяющих 0-одно-родные супермногообразия с ретрактом CP1'5, которые выделяют среди них однородные супермногообразия.

10) Дано описание всех 0-однородных супермногообразий с ретрактом СР5?п (теорема 3.2.2).

11) Дана классификация с томностью до изоморфизма всех однородных супермногообразий с ретрактом СР^п (теорема 3.3.2).

12) Доказано, что супермногообраэие однородно тогда и только тогда, когда оно может быть задано коциклом теоремы 3.3.1.

13) Описаны все супермногообразия с ретрактом Тт1п и доказано, что все они 0-однородны и что Тт\п является единственным однородным супермногообразием этого типа (теорема 4.4.1).

В заключение я хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Онищику Аркадию Львовичу за постоянное внимание и всестороннюю поддержку в научной работе.

1. Башкин М.А. Супералгебры Ли векторных полей на семействе супермногообразий размерности 114 // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.2. Ярославль: ЯрГУ, 1999. С. 17-24.

2. Башкин М.А. Когомологии касательного пучка одного семейства супермногообразий размерности 1|4 // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.4. Ярославль: ЯрГУ, 2001. С. 6-12.

3. Башкин М.А. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным тором // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.5. Ярославль: ЯрГУ, 2002. С. 5-10.

4. Башкин М.А. Однородные супермногообразия с ретрактом CP1'4 // Математика: Материалы Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Яросл. гос. ун-та им. П.Г.Демидова / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2003. С. 6-28.

5. Башкин М.А. Супермногообразия, соответствующие тривиальному векторному расслоению над комплексным тором / / Вопросы теории групп и гомологической алгебры: Сб. науч. тр. / Под ред. проф. А.Л. Онищика. — Ярославль: ЯрГУ, 2003. С. 19-34.

6. Башкин М.А. Когомологии касательного пучка супермногообразий с ретрактом CP1'4 // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.6. Ярославль: ЯрГУ, 2004. С. 5-7.

7. Бе-резин Ф.А. Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими переменными. — М.: Изд. МГУ, 1983. 208 с.

8. Бунегина В.А., Онищик А.Л. Однородные супермногообразия, связанные с комплексной проективной прямой // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. математика и ее прил. Т. 19. Алгебраическая геометрия 1. Москва. 1994. С. 133-169.

9. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т.1. Москва: Мир, 1982. 496 с.

10. Игонин С.А. Однородные расслоения и супермногообразия, связанные с грассманианами // Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов. Вып.2. Ярославль: ЯрГУ, 1999. С. 11-17.

11. Манин Ю.И. Калибровочные поля и комплексная геометрия. М: Наука, 1984. 336 с.

12. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. Изд-во "Платон". Волгоград, 1997. 232 с.

13. Онищик А.Л. Транзитивные супералгебры Ли векторных полей / Ярославский ун-т. Ярославль, 1986. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 12.06.86, №4329-В86.

14. Онищик А.Л. О комплексных однородных супермногообразиях // Математика в Ярославском университете. Сборник обзорных статей. К 20-летию математического ф-та. Ярославль, 1996. С. 133-153.

15. Онищик А.Л. Проблемы классификации комплексных супермногообразий // Математика в Ярославском университете: Сб. обзорных статей. К 25-летию математического факультета/ Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2001. С. 7-34.

16. Онищик А.Л., Платонова О.В. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным проективным пространством, I // Мат. сб. 1998. Т. 189. №2. С. 111-136.

17. Онищик А.Л., Платонова О.В. Однородные супермногообразия, связанные с комплексным проективным пространством, II // Мат. сб. 1998. Т. 189. №3. С. 421-441.

18. Онищик А.Л., Серов А.А. Супералгебры Ли векторных полей на расщепимых флаговых супермногообразиях // Докл. АН СССР. 1988. 300, №2. С. 284-287.

19. Bashkin М.А. Supermanifolds Corresponding to the Trivial Vector Bundle over Complex Torus. E. Schrodinger Intern. Inst. Math. Phys. Preprint 1328. Vienna, 2003. 13 p.

20. Bunegina V.A., Onishchik A.L. Two families of flag supermanifolds // Different. Geom. and its Appl. V. 4. 1994. P. 329-360.

21. Green P. On holomorphic graded manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. V. 85. P. 587-590.

22. Onishchik A.L. Non-split supermanifolds associated with the cotangent bundle. // Univ. Poitiers, Depart. Math., Prepubl. №109. Poitiers, 1997. 70 p.

23. Onishchik A.L. A Construction of Non-Split Supermanifolds // Annals of Global Analysis and Geometry. 1998. V. 16. P. 309-333.

24. Onishchik A.L. On non-abelian cochain complexes // Вопросы теории групп и гомологической алгебры: Сб. науч. тр. / Под ред. проф. A.JI. Онищика. — Ярославль: ЯрГУ, 1998. С. 171-197.

25. Onishchik A.L. A spectral sequence for the tangent sheaf cohomology of a supermanifold // Lie groups and Lie algebras. Kluwer. Dordrecht, 1998. P. 199-215.

26. Onishchik A.L. Non-Abelian Cohomology and Supermanifolds. SFB 288. Preprint N«360. Berlin, 1998.

27. Onishchik A.L. On the classification of complex analytic supermanifolds // Lobachevskii J. Math. 1999. V. 4. P. 47-70.

28. Onishchik A.L. Lifting of holomorphic actions on complex supermanifolds. E. Schrodinger Intern. Inst. Math. Phys. Preprint 966. Vienna, 2000. 23 p.

29. Onishchik A.L. Lifting of holomorphic actions on complex supermanifolds // Lie Groups, Geometric Structures and Differential Geometry / Adv. Studies in Pure Math. 37. Tokyo, 2002. P. 317-335.