Конечные группы с независимыми подгруппами

Цирхов, Аубекир Ахметханович

Конечные группы с независимыми подгруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Цирхов, Аубекир Ахметханович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нальчик МЕСТО ЗАЩИТЫ

2014 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Конечные группы с независимыми подгруппами»

Автореферат диссертации на тему "Конечные группы с независимыми подгруппами"

На правах рукописи

ЦИРХОВ АУБЕКИР АХМЕТХАНОВИЧ

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОДГРУППАМИ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ИЮЛ 2014

005550784

Нальчик — 2014

005550784

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Журтов Арчил Хазешович

Официальные оппоненты: Шлепкин Анатолий Константинович,

доктор физико-математических наук, профессор, Сибирский государственный аэрокосмический университет, кафедра информационных экономических систем, профессор

Старолетов Алексей Михайлович,

кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, научный сотрудник

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук.

Защита состоится 18 сентября 2014 года в 17:00 часов на заседании диссертационного совета Д003.015.02 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук и на сайте www.math.nsc.ru

Автореферат разослан 16 июля 2014 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

7-J Л,

Стукачев Алексей Ильич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение влияния свойств подгрупп и их вложений в группу на строение этих групп — одна из центральных задач теории групп.

Еще в 1897 году Р. Дедекинд [40] изучил группы в которых нормальны все подгруппы. Неабелевы группы с таким свойством он называл гамильтоновы-ми в честь Гамильтона — создателя алгебры кватернионов, в структуре которой одна из гамильтоновых групп — группа кватернионов — играет важнейшую роль.

В 1903 году Г. Миллер и X. Морено [41] описали конечные группы, в которых все собственные подгруппы абелевы.

В 1926 году О.Ю. Шмидт [26] обобщил их результаты, классифицировав все конечные группы с нильпотентными собственными подгруппами.

Соответствующее направление в теории конечных групп, связанные с описанием классов групп, в которых все подгруппы (или их определенная часть) обладают теми или иными свойствами, получило дальнейшее плодотворное развитие. Одним из главных результатов этого направления является классификация групп, все локальные подгруппы которых разрешимы [38].

Вслед за упомянутой выше статьей Шмидт опубликовал обобщение результата Дедекинда, а именно, классификацию групп, в которых есть ровно один класс сопряженности неинвариантных подгрупп [25]. Эти исследования были продолжены в ряде работ отечественных и зарубежных авторов.

Естественным обобщением гамильтоновых групп является класс мета-гамильтоновых групп, состоящий из групп, в которых нормальны все абелевы подгруппы.

Начало изучению метегамильтоновых групп положила работа Г.М. Ро-малиса и Н.Ф. Сесекина [15]. Конечные ненильпотентные метагамильтоновы группы классифицировал В.Т. Нагребецкий [13]. Конечные нильпотентные метагамильтоновы группы описаны в работе A.A. Махнева [12]. Бесконечные метагамильтоновы группы, а также обобщения как конечных, так и бесконечных метагамильтоновух групп рассматривались в работах различных авторов, из которых отметим работы С.Н. Черникова [22], Н.Ф. Кузенного и H.H. Семко [9], F. De Mari, F. De Giovanni [32]. Наиболее "свежие"результаты на эту тему содержатся в [29].

К этой теме примыкают и результаты настоящей диссертации.

Напомним, что подгруппа А группы G называется независимой, если Ng{B) < Ng(A) для каждой неединичной подгруппы В из А.

Независимыми подгруппами, очевидно, являются группы простых порядков, нормальные подгруппы, дополнения групп Фробениуса. Другими примерами независимых подгрупп служат силовские 2-подгруппы в простых группах Ь2 (2т), Бг (22т+1) и и3 (2т).

М. Сузуки [37] классифицировал конечные группы четного порядка с независимыми силовскими 2-подгруппами.

Л.И. Шидов [23] описал конечные группы, в которых независима каждая нильпотентная подгруппа, а Х.Я. Уначев [20] — конечные группы, в которых независимыми являются все ¿-максимальные подгруппы при г = 1,2,3. В работе А.Х. Журтова [7] содержится описание конечных простых групп с независимыми циклическими 2-подгруппами. Некоторые подходы к проблеме классификации конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами предприняты в работе Л.И. Шилова [24].

Тем не менее, до последнего времени задача описания конечных групп, в которых независимы все абелевы (соответственно, все неабелевы) подгруппы, оставалась нерешенной.

Цель диссертации. Получение классификации конечных групп, все абелевы (соответственно, все неабелевы) подгруппы которых независимы.

Методы исследований. Используются методы абстрактной теории

групп.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Они имеют теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.

Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "МАЛЬЦЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ" (Новосибирск, 2013 год), на семинаре "Теория групп" Кабардино-Балкарского государственного университета, на 8-й и 9-й Международных школах-конференциях (Нальчик, 2010 год; Владикавказ, 2012 год) по теории групп, на 18-й и 19-й Международных алгебраических конференциях (Нальчик, 2009 год; Челябинск, 2011 год).

Основные результаты диссертации.

1. Доказано, что в конечной группе С? все неабелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда (7 — метагамильтонова.

2. Получено исчерпывающее описание конечных групп, все абелевы подгруппы которых независимы.

Оба основных результатов опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Публикации. Результаты работы содержатся в [42-46], из них три работы [42-44] опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем и лемм привязана к нумерации глав, разделов и подразделов работы. Текст диссертации содержит 48 страниц, включая библиографию, которая содержит 46 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации доказана

Теорема 1.2. В конечной группе И любая неабелева подгруппа независима тогда и только тогда, когда (7 метагамилътонова.

Эта теорема получена в работе [42], написанной совместно с научным руководителем диссертанта А.Х. Журтовым, которому принадлежит постановка задачи и доказательство первых двух лемм, использованных при доказательстве данной теоремы.

Во второй главе диссертации приводится доказательство следующего результата.

Теорема 2.1. Пусть в конечной группе С любая абелева подгруппа независима. Тогда верно одно из следующих утверждений:

(1) О двуступенно нильпотептна и С = {г), где гр = 1 для некоторого простого числа р;

(2) (3 — группа Фробениуса с нилъпотентным дополнением;

(3) С? изоморфна Аа, Ьг(7) или Ь2(2т) для некоторого натурального числа т ^ 2.

Эта теорема получена в работе [43], написанной совместно с научным руководителем диссертанта А.Х. Журтовым, которому принадлежит доказательство нетривиальности подгруппы Фиттинга минимального противоречащего примера.

Далее уточняется теорема 2.1 и тем самым завершается классификация конечных групп, все абелевы подгруппы которых независимы.

Теорема 2.2. В конечной нильпотентной группе б все абелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

(1) С — абелева или гамильтонова группа, т.е. группа, в которой все подгруппы нормальны.

(2) С — р-группа нечетного порядка, являющаяся центральным произведением экстраспециальной группы периода р и порядка р3 на циклическую группу.

(3) б изоморфна

(а,Ь\ар = 1?т = 1, а-1Ьа = Ь1+р'п-1) для некоторого т ^ 2. Здесь р — простое число.

(4) С? — центральное произведение группы диэдра порядка 8 на циклическую 2-группу или группу кватернионов порядка 8.

Скажем, что циклическая группа (к) действует скалярно на абелевой группе К, если найдется такое целое число а, что кк = к° для любого к 6 К.

Теорема 2.3. Пусть С — конечная группа Фробениуса с ядром К и дополнением Н. В С тогда и только тогда все абелевы подгруппы независимы, когда выполнено одно из следующих условий:

(1) Н = (/г), К — экстраспециальная группа периода р, т.е.

К = <а,Ь | а? = Ц> = [[а, 6] ,а] = Ца,Ъ} ,Ь] = 1),

где р — нечетное простое число, и существует целое число а такое, что ак = аа, Ьн = Ьа;

(2) К — абелева группа, а Н — циклическая подгруппа, действующая скалярно на К;

(3) К = (А^) х (/сг)- элементарная абелева группа Н = {К), к\ — к^1, = к22 для некоторых целых а\, ос?;

(4) Н — циклическая группа, К — нециклическая элементарная абелева группа, Н действует неприводимо на К при сопряжении, а любая собственная подгруппа из Н действует на К либо неприводимо, либо скалярно;

(5) К — элементарная абелева группа порядка р2 для некоторого нечетного простого числа р, Н = <2 х Но, где <5 — группа кватернионов порядка 8, #о — циклическая группа, действующая скалярно на К.

Теоремы 2.2 и 2.3 доказаны диссертантом лично и опубликованы в [44].

ЛИТЕРАТУРА

1. Алеев Р.Ж. Конечные группы с циклическими коммутантами силовских 2-подгрупп // Матем.сб, 1975, 97, №3, 323-340.

2. Брюханова Е.Г. 2-длина и 2-период конечной разрешимой группы // Алгебра и логика, 1979, 18, №1,9-31.

3. Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР, 1948, 60, №8, 1313-1315.

4. Журтов А.Х. О локально-разрешимых группах конечного показателя // Сборник статей "Структурные свойства алгебраических систем". -7 Нальчик, 1981, 39-41.

5. Журтов А.Х. О локально-разрешимых группах // XIII Всес. симпозиум по теории групп (тезисы докладов), Киев, 1982, 37.

6. Журтов А.Х. О независимости 2-подгрупп в конечных группах // IX Всес. симпозиум по теории групп (тезисы докладов). Москва, 1984, 94-95.

7. Журтов А.Х. Конечные группы с независимыми циклическими 2-подгруппами // Сиб. мат. ж., СО АН СССР, Новосибирск, 1984, 10 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 26 июня 1985г., №4599-85 деп., РЖ Мат.. 1985, ILA 195 деп.)

8. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. — М.: Наука, 1982.

9. Н.Ф. Кузенный, H.H. Семко. Строение разрешимых ненильпотентных ме-тагамильтоновых групп // Матем. Заметки, 34, №2 (1983), 179-188.

10. Мазуров В.Д. 2-группы, обладающие автоморфизмом нечетного порядка, тождественным на инволюциях // Алгебра и логика, 1969, 8, №6, 674-685.

11. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силов-скими 2-подгруппами // Мат. заметки, 1974, 14, №2, 217-222.

12. A.A. Махнев. О конечных метагамильтоновых группах // Матем. Зап. Уральского Университета, 10, №1 (1976), 60-75.

13. В.Т. Нагребецкий. Конечные ненильпотентные группы, любая неабелева подгруппа которых инвариантна // Матем. Зап. Уральского Университета, 6, Xsl (1967), 80-88.

14. Размыслов Ю.П. О проблеме Холла-Хигмена // Изв. Ан СССР, сер. Матем., 1978, 42, №4, 833-847.

15. Т.М. Ромалис, Н.Ф. Сесекин. О метагамильтоновых группах И Матем. Зап. Уральского Университета, 5, №3 (1966), 45-49.

16. Сыскин С.А. О конечных группах с разрешимыми централизаторами инволюций // Алгебра и логика, 1971, 10, №3, 329-346.

17. Сыскин С.А. Простые конечные группы 2-ранга 3 с разрешимыми централизаторами инволюций // Алгебра и логика, 1971, 10, №6, 668-709.

18. Сыскин С.А. Абстракные свойства простых спорадических групп // Успехи мат. наук, 1980, 35, №5, 181-212.

19. Сыскин С.А. О локально-нильпотентных группах конечного показателя // XVII Всес. алг. конференция (тезисы сообщ), с.1, Минск, 1983, 182.

20. Уначев Х.Я. Конечные группы, любая макисмальная подгруппа которых независима // Сиб. мат. ж., 1971, 12, №4, 926-930.

21. Холл Ф„ Хигмен Г. Длина разрешимых групп и редукционные теоремы для проблемы Бернсайда // Математика (период, сб. переводов ин. статей), 1969, 13, №2.

22. С.Н. Черников. Группы с заданными свойствами систем подгрупп. — М.: Наука, 1980.

23. Л.И. Шидов. О конечных группах с нормализаторным условием // Сибирск. Матем. Ж., 21, №6 (1980), 141-145.

24. Шидов Л.И. Конечные группы с независимыми абелевыми подгруппами // Структурные свойства алгебраических систем., Нальчик, 1981, 129-132.

25. Шмидт О.Ю. Группы, имеющие только один класс неинвариантных подгрупп // Матем. сб., 1926, 33, 161-172.

26. Шмидт О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем. сб., 1924,31,366-372.

27. J.L. Alperin, D. Gorenstein. The multiplicators of certain simple groups. Proc. Amer. Math. Soc.,1966, 17, №2, 515-519.

28. B. Baumann. Endliche Gruppen mit einer 2-zentralen involution, dener zentralizator 2-abgeslossen ist. - 111. J. MATH., 1978, 22, №2, 240-261.

29. A. Ballester-Bolinches, J. Cossey. Finite groups with subgroups supersoluble or subnormal, J. Algebra, 321, №7 (2009), 2042-2052.

30. W. Feit, J.G.Thompson. Solvability of groups of odd order. - Pacif. J.Math., 1963, №3, 13, 775-1029.

31. D.M.Goldschmidt. 2-fiision in finite groups. - Ann.Math., 1974, 99, №1, 70117.

32. F. De Mari, F. De Giovanni. Groups with finitely many normalizers of non-abelian subgroups. Ricerche di matematica, 55, №2 (2006), 311-317.

33. D.Gorenstein. Finite groups. - Harper and Row, New York, 1968.

34. B. Huppert. Endliche Gruppen. 1. - Springer - Verlag, 1967.

35. M. Suzuki. A characterization of the 3-dimensional projective unitary group over a finite field of odd characteristic. - J. Algebra, 1965, 2, №1, 1-14.

36. M. Suzuki. On a class of double transitive groups. - knn. Math., 1962, 75, №1, 105-145.

37. M. Suzuki. Finite groups of even order in which Sylow 2-subgroups are independent. - Ann. Math., 1964, 80, №1, 58-77.

38. J.G. Thompson. Nonsolvable finite groups all of whone local subgroups are solvable. - Bull. Amer. Math. Soc., 1968, 74, №3, 384-437.

39. J.H. Walter. The characterization of finite groups with Abelian Sylow 2-subgroups. - Ann. Math., 1969, 89, №3, 405-514.

40. R. Dedekind. Ueber Gruppen, deren samtliche Teiler Normalteiler sind. Mathematische Annalen 48, 4 (1897), 548-561.

41. G.A. Miller, H.C. Moreno. Non-abelian groups in which every sungroup is abelian. Trans. Amer. Math. Soc., 4 (1903), 398^104.

Работы автора по теме диссертации опубликованные в изданиях из

перечня ВАК:

42. Журтов А.Х., Цирхов A.A. О некоторых группах с независимыми подгруппами// Владикавказский мат.журнал. 2010,Т 12, №7, с. 15-20.

43. Журтов А.Х., Цирхов A.A. конечные группы с независимыми абелевыми подгруппами // Тр. Института математики и механики УрО РАН 2011, Т 17, №4, с.88-91.

44. Цирхов A.A. Характеризация конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами // Владикавказский мат.журнал. 2013, Т.15, №4, с.76-81.

Прочие работы автора по теме диссертации:

45. Цирхов A.A. Конечные группы с независимыми неабелевыми подгруппами // IX Международная школа-конференция по теории групп. Тезисы докладов. Владикавказ, 2012. с.37.

46. Цирхов A.A. Конечные группы с независимыми подгруппами // Международная конференция "МАЛЬЦЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ". Тезисы докладов. Новосибирск, 2013. с.25.

ЛР №040940 от 04.12.1999

Подписано к печати 12.07.2014 г.

Гарнитура Times. Формат 84 х 108 1/32. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 0.63. Тираж 100 экз. Заказ №7.

360000, г.Нальчик, ул. И.Арманд, 37"а"

Издательство КБНЦ РАН тел.: (8662) 42-65-42

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Цирхов, Аубекир Ахметханович, Нальчик

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ II НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное лчреждение высшего профессионального образования КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. X. М. БЕРВЕКОВА

Математический Факультет

0420146050:

На правах рукописи УДК 512.54

ЦИРХОВ Аубекир Ахмегханович Конечные группы с независимыми подгруппами

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.и., профессор Журтов А.Х.

Нальчик — 2014

ВВЕДЕНИЕ

Еще в 1897 году Р. Дедекинд [40] изучил группы в которых нормальны все подгруппы. Неабелевы группы с таким свойством он называл га-мильтоновыми в честь Гамильтона — создателя алгебры кватернионов, в структуре которой одна из гамильтоновых групп — группа кватернионов — играет важнейшую роль.

В 1903 году Г. Миллер и X. Морено [41] описали конечные группы, в которых все собственные подгруппы абелевы.

В 1926 году О.Ю. Шмидт [26] обобщил их результаты, классифицировав все конечные группы с нильпотентпыми собственными подгруппами.

Вслед за упомянутой выше статьей Шмидт опубликовал обобщение результата Дедекинда, а именно, классификацию групп, в которых есть ровно один класс сопряженности пеинвариантных подгрупп [25]. Эти исследования были продолжены в ряде работ отечественных и зарубежных

авторов.

Естественным обобщением гамильтоновых групп является класс ме-тагамильтоновых групп, состоящий из групп, в которых нормальны все абелевы подгруппы.

К этой теме примыкают и результаты настоящей диссертации.

Напомним, что подгруппа А группы С называется независимой, если Мс{В) ^ АЪ(Л) для каждой неединичной подгруппы В из А.

Независимыми подгруппами, очевидно, являются группы простых порядков, нормальные подгруппы, дополнения групп Фробениуеа. Другими примерами независимых подгрупп служат силовские 2-подгруппы в простых группах Ь2 (2т), 5,г (2м) и С/3 (2т).

М. Сузуки [37] классифицировал конечные группы четного порядка с независимыми силовскими 2-подгруппами.

Л.И. Шидов [23] описал конечные группы, в которых независима каждая нильпотентная подгруппа, а Х.Я. Уначев [20] — конечные группы, в которых независимыми являются все /-максимальные подгруппы при \ — 1,2,3. В работе А.Х. Журтова [7] содержится описание конечных простых групп с независимыми циклическими 2-подгруппами. Некоторые подходы к проблеме классификации конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами предприняты в работе Л.И. Шидова [24].

Тем не менее, до последнего времени задача описания конечных групп, в которых независимы все абелевы (соответственно, все неабелевы) иод-группы, оставалась нерешенной.

Цель диссертации. Получение классификации конечных групп, все

абелсвы (соответственно, все неабелевы) подгруппы которых независимы.

Методы исследований. Используются методы абстрактной теории групп.

Основные результаты диссертации.

1. Доказано, что в конечной группе С все неабелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда С — метагамильтопова.

2. Получено исчерпывающее описание конечных групп, все абелсвы подгруппы которых независимы.

Оба основных результатов опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Публикации. Результаты работы содержатся в [42-40]. из них три работы опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертации доказана

Теорема 1.2. В конечной группе С любая неабелева. подгруппа независима тогда и только тогда,, когда С метагамилътоиова.

Во второй главе диссертации приводится доказательство следующего результата.

(1) О двуступепно нилгмотеитна и С = (с), где zp = 1 для некоторого простого числа р;

(2) С — группа Фробсниуса с нилъпотентным дополнением;

(3) С изоморфна 54, Ле- ¿2(7) или ЬоС!"1) для некоторого натурального числа т ^ 2.

Эта теорема получена в работе [43], написанной совместно с научным руководителем диссертанта А.Х. Журтовым, которому принадлежит доказательство нетривиальное™ подгруппы Фиттипга минимального противоречащего примера.

Теорема 2.2. В конечной нилыют,ситной группе С все абелевы, подгруппы, независимы тогда и только тогда, когда выполнено одно из условий:

(1) С — абелева или гамильтоиова группа, т.е. группа, в которой все подгруппы нормальны.

(2) С — р-группа, нечетного порядка, являющаяся центральным произведением экстраспециальной группы периода р и порядка р3 на, циклическую группу.

(3) С изоморфна

(а, Ь | ар = 1Г = 1, а~Ча = Ь1+р"' ^ для некоторого т ^ 2. Здесь р — простое число.

(4) С — центральное произведение группы диэдра порядка 8 на циклическую 2-группу или группу кватернионов порядка 8.

Скажем, что циклическая группа (Ь) действует скалярпо на абеловой группе К, если найдется такое целое число а, что кн = ка для любого к Е К.

Теорема 2.3. Пусть С — конечная группа Фробениуса, с ядром К и дополнением II. В С тогда и только тогда все абслевы подгруппы независимы. когда выполнено одно из следующих условий:

(1) II = (//), К — экстраспегщальпая группа периода р, т.е.

К = (а, Ь\ар = Ьр= [[а, Ь],а] = [[а, Ь], Ь] = 1),

где р — нечетное простое число, и существует ■целое число а такое, что а}г — аа, У1 = Ьа;

(2) К — абелева группа, а II — циклическая подгруппа, действующая скалярпо на К;

(3) К = (к[) х (^2)- элементарная абелева группа II = {//), = , к'2 — Щ1 для некоторых 'целых ах, 0:2;

(4) II — циклическая группа, К — нециклическая элементарная абелева группа, Н действует, неприводимо на К при сопряжении, а любая собственная, подгруппа из II действует па К либо неприводим о, либо скалярпо;

(5) К — элементарная абелева группа порядкар2 для некоторого нечетного простого числа р, II = х Щ, где — группа кватернионов порядка 8, По — циклическая группа, действующая скалярпо на К.

Теоремы 2.2 и 2.3 доказаны диссертантом лично и опубликованы в [44].

СПИСОК ОПРЕДЕЛЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

Наши обозначения и определения будут в основном стандартными, см. [42-44]. Будем рассматривать здесь только конечные группы, (7 означает группу, р — простое число. Через С^ обозначим множество всех неединичных элементов из О, Аяй С — группа всех автоморфизмов С.

С называют /»-группой, если ее порядок |С| равен степени числа р. и р' — группой, если |С| не делится па р.

Инволюцией называют элемент порядка 2, т.е. такой д Е что д2 = 1. Четвертая группа — нециклическая группа порядка 4.

Запись ЯСС будет означать, что Я есть подмножество С (Н С С — собственное подмножество); если хотят подчеркнуть, что Я — подгруппа Ст, то пишут Я ^ С (Я < С — собственная подгруппа).

Если А С С, то (Л) означает подгруппу, порожденную подмножеством А.

Если а Е С и Я < С, то а (я), С<з(Я) означают централизатор элемента а и подгруппы Я, соответственно. Аналогично, Ат<з(Я) — нормализатор подгруппы Я в группе С.

Для произвольной пары элементов а, Ь группы (7, [а, Ь] = а~1Ь~1аЬ будет означать коммутатор а и Ь.

Если А. В — подгруппы в С, то [А, В] — ([а, Ь] \ а Е А, Ь Е В) — взаимный коммутант А и В.

Пусть а — автоморфизм группы G. для д G G место с\ (д) будем писать да. тогда централизатором будем называть множество

CG(a) = {д е G | да = д} .

Если /1 ^ Auf С, то [С, А] определяется как

([д, о] = д~]да I д eG, а е А) .

G будем называть /»-разрешимой, если каждый из ее композиционных факторов является либо /»-группой, либо //-группой.

Op'(G) и Op(G) — минимальная нормальная подгруппа из G. факторгруппа по которой является //-группой и р-группой, соответственно.

Наименьшее возможное число /»-факторов в /7-рядах /»-разрешимой группы называют ее р-длиной.

Op'(G) и Op(G) — максимальная нормальная подгруппа из G. которая является //-группой и /»-группой, соответственно. Через Opip(G) обозначают прообраз 0P(G/0P'(G)).

Z(P), Р', Ф(Р) обозначают, соответственно, центр, коммутант и подгруппу Фраттипи группы Р.

Группа II называется /»-скованной для простого числа /л если для силовской /»-подгруппы Р из 0Р'Ф{П) выполнено включение

н(Р) < Ор,,р(П).

Sn, А„ — соответственно, симметрическая и знакопеременная группы степени п. Zn — циклическая группа порядка п.

Группой диэдра (диэдральной группой) называют группу

(а, Ь | ап = Ь'2 = 1, аь = а"1) .

Группой кватернионов называют нециклическую 2-группу с (единственной инволюцией, т.е. группа кватернионов задается соотношениями:

/ 7 I 2" г4 2"-1 7 2 Ь -А

(а, 6 I а = о , а —Ь\ а = а ) .

Голоморфом группы С называют естественное полупрямое произведение С на Аи1 С, где АиЬ С означает группу всех автоморфизмов С. Изоморфизм групп А и В будем обозначать так: А ~ В. Поле из рп элементов обозначаем С/7 (рп).

ГЛАВА 1

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ НЕАБЕЛЕВЫМИ ПОДГРУППАМИ

Подгруппа II группы G называется независимой подгруппой, если Nq (А') ^ Nq (Я) для любой нетривиальной подгруппы К из Я.

М. Сузуки [37] классифицировал конечные группы четного порядка с независимыми силовскими 2-подгруппами.

Л.И. Шидов [23] описал конечные группы, в которых независима каждая пильпотентная подгруппа.

Целью настоящей работы является изучение класса конечных групп, в каждой из которых любая неабелева подгруппа независима. Очевидно, рассматриваемому классу принадлежат все конечные метагамильтоно-вы группы, т.е. группы, в которых нормальны все неабелевы подгруппы. Начало изучению метегамильтоновых групп положила работа Г.М. Ро-малиса и Н.Ф. Сесекина [15]. Конечные ненильпотентные метагамильто-новы группы классифицировал В.Т. Нагребецкий [13]. Конечные нилыто-тентные метагамильтоиовы группы описаны в работе A.A. Махнева [12]. Бесконечные метагамильтоиовы группы, а также обобщения как конечных, так и бесконечных метагамильтоновых групп рассматривались в работах различных авторов, из которых отметим работы С.Н. Чериико-

ва [22], Н.Ф. Кузенного и Н.Н. Семко [9], F. De Mari, F. De Giovanni [32]. Наиболее "евежие"результаты на эту тему содержатся в [29].

Основным результатом настоящей главы является следующая

Теорема 1.2. В конечной группе Q любая неабелева подгруппа независима тогда и только тогда, когда G мелпагамильтонова.

Предварительно докажем следующий результат.

Теорема 1.1. Пусть G — конечная группа, в которой каждая неабелева 'подгруппа независима. Тогда G обладает с/иловской башней. Более того, G является полупрямым произведением холловой нильпотеит-ной подгруппы па абелеву подгруппу.

Напомним, что группа по определению обладает силовской башней, если она может быть получена с помощью полупрямых произведений из своих силовских подгрупп. Более точно, скажем, что нетривиальная группа G обладает силовской башней высоты h > 0, если при h — 1 G примарна, а при h > 1 в ней есть нормальная нетривиальная силов-ская подгруппа, фактор-группа по которой обладает силовской башней высоты h — 1.

§1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ

Группа G называется группой Фробениуса с ядром F и дополнением Я, если 1 ф F < G, 1 ф II ^ G, G = F ■ Я, F П Н = 1 и CF(h) = 1 для любого 1 ф h е Я.

Подгруппой Фраттини Р(С) группы С называется пересечение ее максимальных подгрупп.

Приведем известные результаты, на которые будем ссылаться как на предложения с соответствующими номерами.

1. ([40|, теорема 4.2.4). Любая подгруппа конечной группы С, содержащая нормализатор некоторой силовской подгруппы, совпадает со своим нормализатором в С.

2. ([40], теорема 14.2.1). Если силовская подгруппа Р конечной группы С лежит в ценре своего нормализатора, то С обладает нормальным дополнением к Р, т.е. С = Р • А" и Р П Ат = 1 для некоторой нормальной подгруппы Л7" из С.

3. ([30], теорема. Фейта-Томпсона). Любая группа нечетного порядка разрешима.

4. ([37]). Если С — конечная простая пеабелева группа, в которой пересечение любых двух различных силовских 2-подгрупп тривиально, то С изоморфна Ь2{(/)-, или £Уз(д) для некоторого четного числа д.

5. ([37]). Пусть Т — силовская 2-иодгруппа простой группы /л((/)3

или Тогда МС{Т) неабелева, АТС(Т) = Т ■ II, где II ф 1 и

1МП) £ лЪ(Т).

6. ([41]). Пусть Я— дополнение группы Фробениуса. Тогда

(а) Силовские р-нодгруппы из II являются циклическими при р > 2, а при р = 2 — циклическими или кватернионными группами;

(б) Если в II есть инволюция t, то (£} содержит все инволюции из II и /г = /~"1 для любого элемента / из ядра.

7. ([41]). Если все силовские подгруппы группы (7 циклические, то С — полупрямое произведение холловой циклической подгруппы на циклическую подгруппу.

8. ([40], теорема 12.2.2) Если N — конечная примарпая группа, А — группа порядка, взаимно простого с действующая нетривиально на N. то А действует нетривиально на фактор-группе по подгруппе Фраттини Ф(АГ) группы Лг.

9. ([40], теорема 16.3.2). Если V — элементарная абелева группа и А — действующая на V группа, порядок которой взаимно прост с |V], то V = \\ х • • • х К,, где каждая Х7г, г = 1,..., является минимальной Л-иивариаптной подгруппой.

§2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ 2.1. Доказательство теоремы 1.1

В дальнейшем С означает конечную группу, каждая неабелева подгруппа которой независима.

Лемма 1.2.1.1. В любой подгруппе и любой фактор-группе группы С все пеабелевы подгруппы независимы.

Доказательство. Пусть II < С, УаС. Если 1 Ф Я ^ К ^ II и К — неабслева, то АТН{Я) = II Г) Ма{Я) ^ II П 1Уа{К) = АГН(К). Поэтому К независима в II.

Если и = 11/ V — иеабелева подгруппа в С/ V = С и 1 ф IV/ V ^ и/V, то II иеабелева, \У ф 1 и

А7;/т-г • (1Г/ V) = А^ (ТГ/ V) ^ Мс(и/ У) = А^/г • (II/ V),

поэтому 17 — независимая подгруппа в С. □

Лемма 1.2.1.2. Пусть Р — силовсжая р-подгруппа группы С и И — подгруппа, содержащая АТс(Р). Если II иеабелева, то ^ II для

любой нетривиальной подгруппы К из Н.

Доказательство. По условию II независима.

По предложению 1 Агс(Я) = II. Поэтому Мс{К) ^ Мс(П) = II. □

Лемма 1.2.1.3. Если Р — силовская р-подгруппа, в О и АТв{Р) неабслева, то

(а) Р П Рх = 1 для любого х е С\АгСг(Р),

(б) Мс(Р) — холлова подгруппа.

Доказательство. Докажем (а). Предположим противное. Тогда С Ф Агс;( Р) и (существует х €Е С, для которого Р ф Р С\ Рх Ф 1. Выберем х так, чтобы порядок подгруппы В = Р П Рх был наибольшим. Тогда (Ар(1)), АТрт(В)} не являетсяр-подгруппой и поэтому в Мс(О) существуют, по меньшей мере, две различные силовские ^-подгруппы. С другой

стороны, Лтс{Р) независима, поэтому Мс{1)) ^ Ьтс{Р) и, следовательно, в Ата{Н) есть только одна еиловская р-подгруппа. Полученное противоречие доказывает (а).

Докажем (б). Пусть 1 ф II — силовская подгруппа из N = Мс(Р). По условию Атс(и) ^ МсШ). По предложению 1 Мс(М) = Аг, поэтому Ас (и) ^ Аг. Отсюда вытекает, что и — силовская подгруппа в С и, таким образом, Агс{Р) — холлова подгруппа. □

Лемма 1.2.1.4. Группа С разрешима.

Доказательство. Предположим противное. По лемме 1.2.1.1 можно считать, что С — неабслева простая группа. По теореме Фейта-Томпсона (предложение 3) порядок О четен. По предложению 2 нормализатор силовской 2-подгруппы группы С пеабелев и, следовательно, по лемме 1.2.1.3 пересечение любых двух различных силовских 2-подгрупп из С тривиально. По предложению 4 С изоморфна £2(<у), И?,(<[) или для

некоторого четного числа д. По лемме 1.2.1.2 из предложения 5 получаем противоречие. □

Лемма 1.2.1.5. Если Р — силовская подгруппа, в С, нормализатор N которой пеабелев и отличен от С