Исследование специальных однородных интегральных уравнений второго рода в пространстве счетно-аддитивных функций множества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

В в е д е н и е

ГЛАВА I. ОДНОРОДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО РОДА

С ЭРГОДИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ.И

1.1. Эргодический линейный интегральный оператор в пространстве счетно-адцитивных функций множества.

1.2. Достаточный признак эргодичности интегрального оператора./

1.3. Ядерные функции

1.4. Достаточный признак эргодичности интегрального оператора специального вида

1.5. Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения однородного интегрального уравнения второго рода.

ГЛАВА 2. СВЕДЕНИЕ СПЕЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К ОДНОРОДНОМУ' ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ ВТОРОГО РОДА

2.1. Специальная система интегральных уравнений относительно счетно-адцитивных функций множества

2.2. Теорема существования и единственности неотрицательного нормированного решения специальной системы интегральных уравнений.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,

ВОЗНИКАКЩЕЙ В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЕ

3.1. Счетная система интегральных уравнений, возникающая в теории массового обслуживания.

3.2. Теорема существования и единственности неотридательного нормированного решения рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений

3.3. Счетная система инте:гральных уравнений относительно плотностей.8f

3.4. Примеры.

3.5. Одно семейство функционалов на решениях рассматриваемой счетной системы интегральных уравнений

3.6. Примеры.-//5"

3 а кл ю ч е н и е

JI и т ер а тура

Теория линейных интегральных уравнений в пространстве счетно-адцитивных функций множества разработана не так систематически, и детально, как, например, теория Фредгольма. Между тем такие уравнения возникают в приложениях, и тогда сказывается вышеупомянутое отсутствие систематичности и детальности теории. В частности, сказывается отсутствие готовых теорем существования и единственности решения. Такая ситуация, возможно, объясняется трудностью применения общих критериев компактности множества и компактности оператора в пространстве счетно-аддитивных функций множества. Эта трудность вызвана, главным образом, несепарабельностью указанного пространства и отсутствием для него удовлетворительного описания сопряженного пространства.

Таким образом, проблема расширения класса исследованных интегральных уравнений в пространстве счетно-адцитивных функций представляется актуальной.

В диссертации рассматриваются следующие интегральные уравнения.

Пусть J - топологическое пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности, и пусть - борелевская h -алгебра в пространстве Введем в рассмотрение пространство с.262] всех вещественных счетно-аддитивных функций множества, заданных на X и имеющих конечную полную вариацию. Обозначим через полную вариацию функции на множестве . Формулой Мог@72)вМ(7") определим норму в пространстве С такой нормой caCp?) превращается в банахово пространство [i, с .178-17эЗ • Введем далее в рассмотрение пространство в всех ограниченных борелевских функций, заданных в пространстве •

В настоящей работе рассматривается однородное уравнение второго рода

9-U<t=0,<f6ca,(%Z). " /I/

В отличие от уравнения Фредгольма второго рода [4, с.114] здесь (J является интегральным оператором, действующим в пространстве согласно определению:

Шч)(А) = jK(A,r)<j>(dr), /2/ л Г

Символ = означает "равно по оцределению". Правая часть равенства /2/ представляет собой обычный интеграл Лебега от функции К(/1?т) по счетно-адцитивной функции множества ^ ^ Функцию К(/\?т) называем далее ядром'оператора U -.На ядро К(А)Т) презде всего накладываются следующие три условия:

I) при любом фиксированном Те J ядро является функцией множества, принадлежащей цространству оси ff^X) i {ii) при любом фиксированном ядро является функцией аргумента Ть^Г » принадлежащей пространству B^T^i

Hi) sa/3 ilt\{',tjll (ту) <00 т <ьТ ''

Из условий (i) - (и с) следует, что интеграл в /2/ существует для всех qtaLfflZ) , а оператор U является непрерывным линейным оператором, отображающим пространство ссь^Х) в себя.

Основной текст диссертации состоит из трех глав и заключения.

Основным результатом настоящей работы /глава I/ является теорема 1.5 существования и единственности неотрицательного нормированного /т.е. с нормой £/ решения уравнения Д/, в котором интегральный оператор U вида /2/имеет ядро К(А}г) вида

MA,*) £р(А,Г,а>)Р(с(Ш). /3/

Здесь Р - нормированная мера, заданная на множествах & -алгебры JD в цространстве Q , а само пространство Р) есть произведение счетного множества "экземпляров" произвольного пространства (SiyO,Р) с нормированной мерой Р . В теореме 1.5 на функцию наложены такие ограничения, из которых следует прежде всего существование интеграла /3/ и справедливость условий (с)-(ССI), а также одномерность линейного многообразия

Sy ={<* |u?eccb(<rZ), 9 = /4/ неподвижных точек оператора U . Именно из одномерности многообразия /4/ выводится в теореме 1.5 существование и единственность неотрицательного нормированного решения уравнения Д/.

Случай одномерного многообразия /4/ изучался в [2, с.50] , где оператор U являлся унитарным оператором в гильбертовом пространстве с конечной мерой ju . Этот оператор порождался некоторым сохраняющим меру ja эргодическим взаимно однозначным преобразованием согласно определению: 9~Uf эквивалентно равенству д(г) -i(H) для и -почти всех

TtrT . /5/

Для оператора U вида /5/ из эргодичности преобразования Т следует одномерность многообразия /4/ [i, c.7lo] . В связи с этим несмотря на то, что оператор {] вида /2/ сначала не связан у нас с каким-либо преобразованием , мы называем оператор U вида /2/ эргодическим, если он имеет одномерное собственное подпространство, соответствующее собственному значению!. Доказательство теоремы 1.5 опирается на устанавливаемый теоремой 1.2 общий достаточный признак эргодичности оператора U вида /2/ с ядром , которое удовлетворяет условиям (с)-(СсС) но необязательно стеснено ограничением /3//. Доказательство теоремы 1.2 опирается на лемму 1.2.2, связывающую многообразие /4/ с пределами средних yi U ф , ^е ссь (7TZ) при п-*со г г в топологии пространства ох(]!Г}£) , которую мы назовем 6 ц2)-то-пологией. Эта топология вводится следующим образом. Пусть G(%~I) --подпространство заданных на Z) непрерывных линейных функционалов вида

J^crjc^ccftr;, «t В /6/

Поскольку является тотальным подпространством пространства всех заданных на caOTJS) непрерывных линейных функционалов, то можно рассматривать GZ)-топологию простран-: ства 2") [I, с.453-455] , которая оказывается слабее слабой топологии пространства со./заметим, что, по-видимощу, не известно никакого вполне удовлетворительного описания всего пространства ca*(^Z) [I, с.408] /.

В условиях теоремы 1.2 участвуют повторные ядра rW)= JKCAdK^fasc), Г /7/ V

К г, /в/ которые цри условиях (J;— (ач^ являются ядрами соответствующих П, степеней U , /г= 0Д-. интегрального оператора U вида /2/. Точнее говоря, среди условий теоремы 1.2 участвует сходимость средних TiYLK (s) при любом фиксированном T^f в G(T.Z)-е=о

-топологии пространства При фигурирующем в теореме 1.2 условии

Sysm^Y^K' '{• jtJIIccifrZ) <0° ограниченности средних указанная сходимость средних п К vfi) эквивалентна некоторой сходимости средних п U к оператору / проектирования на многообразие /4/. Эта последняя сходимость является сходимостью в топологии пространства непрерывных линейных операторов V'ca (J^Z)—заданной базисом окрестностей вида

Заметим, что общий'вид условий, которые являются необходимыми и достаточными для такой сходимости, но не имеют прямого отношения к рассматриваемым в настоящей работе вопросам, был установлен^. работе £з 3. Точнее говоря, в работе [3 ]рассматривался оператор Т' С действующий в банаховом пространстве C(S%сех вещественных непрерывных функций, заданных в компактном хаусдор-фовом пространстве % а также сопряженный оператор Т*:CO.)~*са(ZTZ.) . Оператор Тназывался в [3] слабо*эр-годическим / wafc* теоцгь engocfLc. /, если имела место сходимость средних -я 2Г(' ) в операторной топологии, заданной базисом е=о окрестностей /9/. Основным результатом работы [3 J является Теорема. Для того, чтобы оператор был слабо*" эргодическим, необходимо и достаточно, чтобы для всякого ХеС^У) функционал С^. £ вида

П-4

СО/ пЦ J (TxXrMck), че cclCZZX о у если предел существует да всех ytcag^Z) / разделял элементы многообразия /4/. п ± Отметим, что сильная сходимость средних Ti иг ЭС- при исследовалась в работах [4-13]и обобщена °в этих работах на произвольные линейные непрерывные операторы в банаховом пространстве; сходимость же средних в пространстве L с конечной мерой ^с исследовалась в работах [14-17]. Нам не удалось, однако, использовать результаты перечисленных работ в настоящей диссертации.

Поскольку б-^ГД^-топология слабее слабой топологии пространства , то операторная топология с базисом окрестностей /9/ слабее слабой операторной топологии [I, с.513] и тем более слабее сильной операторной топологш [I, с.512-513], фигурирующей в эргодической тео]эии [I ,V]IJ.5] цри выполняемом там изучении сходимости средних pi к оператору проектирования на многообразие /4/. Наш выбор операторной топологии с базисом окрестностей

9/ обусловлен тем обстоятельством, что именно в такой оператор/ С* £ ной топологии удается вывести сходимость средних к 2Z U из ориентированных на приложения [18-22] условий основной теоремы 1.5. Точнее говоря, условия теоремы 1.5 ориентированы на тот класс интегральных уравнений /I/, к которым сводятся специальные системы однородных интегральных уравнений, возникающие в результате применения интегральных методов теории массового обслуживания [18-22] . Такие системы уравнений рассмотрены в общем виде в главе 2 настоящей работы.

Для иллюстрации использования теоретического материала глав 1-2 в главе 3 дается вывод и анализ системы интегральных уравнений, возникающей в теории массового обслуживания. Приводится несколько примеров расчета системы обслуживания с очередью. Результаты этих расчетов сравниваются с известными. Заключение содержит краткую сводку основных полученных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [23-2б| и доложены на расширенных заседаниях отдела математического анализа Института математики и механики УНЦ АН СССР /1983-1984 г.г./; на республиканском научном семинаре "Моделирование и оптимизация систем управления" в Киевском государственном университете им. Т.Г. Шевченко /1983 г./; на научном семинаре кафедры математической теории систем в Харьковском государственном университете им. A.M. Горького /1983 г./; на научном семинаре "Адаптивные системы управления" в Институте кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР /Киев,1983 г./; на научном семинаре по прикладной теории интегральных уравнений в Институте проблем управления /Москва,1983 г./; на научном семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета им. A.M. Горького /1984 г./.

В работе принята сквозная нумерация всех лемм, теорем, следствий и определений в пределах каждого параграфа и сквозная нумерация всех формул в пределах каждой главы. Символ Н обозначает конец доказательства.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Ю.И.Алимову за научное руководство, постоянное внимание и всестороннюю помощь в работе, а также доценту Р.М.Эйдинову за многочисленные ценные замечания.

U9 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты работы.

1. Введены в рассмотрение эргодические линейные интегральные операторы в пространстве счетно-адцитивных функций множества и доказан достаточный признак эргодичности /теорема 1.2/.

На основе этого признака доказана основная теорема 1.5 существования и единственности неотрицательного нормированного решения специального однородного интегрального уравнения второго рода.

2. Введена в рассмотрение специальная счетная система интегральных уравнений относительно счетно-аддитивных функций множества, эквивалентная рассмотренному в главе I однородному интегральному уравнению второго рода. Доказана теорема 2.2.2 существования и единственности неотрицательного нормированного решения такой системы уравнений.

3. Для иллюстрации использования перечисленных результатов работы построена счетная система интегральных уравнений, описывающая функционирование системы массового обслуживания с очередью /п. 3.1/, и доказаны существование и единственность решения этой системы уравнений /теорема 3.2/. Рассмотрены примеры 3.4.I--3.4.3, в которых удалось найти решение построенной в п. 3.1 системы уравнений в явном виде. В первом примере получены формулы для вероятностей состояния, выведенные ранее в другом стиле Такачем [32]. Во втором примере получена, по-видимому, новая формула, частный случай которой, относящийся к иной математической модели, известен под названием формулы Поллачека-Хинчияа [33, с.252] . В третьем примере получена новая формула.

В п. 3.5 выведены общие выражения для величин типа временных средних. Они применены к первому и третьему примеру. Второй пример здесь попадает в сферу приложения известных косвенных методов вычисления временных средних. В первом примере получены аналоги известных выражений [32] , но без требования нерешетча-тости распределения времен между моментами прихода соседних заявок. В третьем примере получена новая формула при нерешетчатом /эрланговском/ распределении времен между моментами прихода соседних заявок.

Hi

1. Данфорд H. и Шварц Да.Т. Линейные операторы. Общая теория. - М.: ИЛ, 1962.- 896 с.

2. Pa&lf.J. rnotk.,2? (/968),/ss-lt6.

3. Й. S ctze. CL ггъе&п, zvpcloc, tkeffierri.— Ргос. Qmere./Tilth. Soc.} 24 (/970) 9

4. В. Jamison,, @.Sinj3s. $>атр1&jxd/ъ со плещемоеfflwbov processes. z. yoJi^chdn&'M^eitstk^Ce,, 2£(S97li\ <73-/7?.7./?. Sine. Sasnpfe fxvth oorweaa&bce o£ sta£& flbztzJconrpioсши Д.-Inckana, Unbr. ulodk, J., P5(/S?6), 23-43.

5. E B. kMqht. Geti&ia&zed rnecuTsrTbosis. Q-теь. J72a/h. 9Z (№I) %

6. S. P. L PoycL. On exh&ne о^о-еяси^пд o/±&ieJ&ts. Pcoc.drnez. fUcdk. Soc.r H (/363)> 3Q&-3JO.

7. UtriOLS, J. triodk^ 4 (Ж^ {£-3-/W.16. /71.(2. McooEic. foLnksLse, ezgodic ikeo^ems- Hdns.1. Cimei • £96-309.17. fi. CikcGflicc> M Зк&ърг Se^pofc. ikemy. Сипе/ Sourthrii&s—

8. Ticlks. Отел. WoiL Sgc.j А/О. 2 (496€), 44 7-460.

9. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.- 368 с.

10. Ахмаров И., Леонтьева Н.П. Условия сходимости к предельным процессам и усиленный закон больших чисел для систем обслуживания. Теория вероятн. и ее примен., 1976, XXI, № 3, с.559--570.

11. Леонтьева Н.П. Сходимость к предельным процессам в многоканальных системах обслуживания. Сиб. мат. ж., 1978, XXI, & 4, с. 793-814.

12. Кофман А., Крюон Р. Массовое обслуживание. Теория и приложение.- М.: Мир, 1965.- 303 с.

13. Кениг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания.- М.: Радио и связь, 1981.- 128 с.

14. Мучник В.Л. Об одной счетной системе интегральных уравнений в теории массового обслуживания. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1980, вып. 7,с. 60-73.

15. Мучник В.Л. Об использовании решения счетной системы интегральных уравнений для вычисления усредненных по времени характеристик систем массового обслуживания с очередью. В кн.: Дискретные и распределенные системы. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1981, с. 98-105.

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. - 496 с.

17. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 744 с.

18. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г., Раковщик Л.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 448 с.

19. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. - 719 с.

20. Постников А.Г. Арифметическое моделирование случайных процессов. В кн.: Тр. Математического ин-та им. В.А. Стеклова. - М.: Наука, I960, т. 57.

21. Алимов Ю.И., Мучник В.Л. Неравенства и счетномерные вероятностные пространства в "безансамблевой" мизесовской теории массового обслуживания. В кн.: Обобщенные функции и векторные меры.- Свердловск: ШШ УНЦ АН СССР, 1979, вып. 31, с. 75-89.

22. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966. - 432 с.

23. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. -М.: Физматгиз, 1963. 236 с.

24. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. М.: Наука, 1966. - 244 с.