Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом в исключительном случае тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

п гЧ"

ГГ I

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 О МАЙ 1997

УДК 517.948

Дубатовскал Марина Валерьевна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СИНГУЛЯРНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С БЕСКОНЕЧНЫМ ИНДЕКСОМ В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ

01.01.01- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск -1997

Рабага выполнена о Белорусском государственном университете

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент РОГОЗИН Сергей Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

СИЛЬВЕСТРОВ Василий Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор КРОТОВ Вениамин Григорьевич

Оппонирующая организация: Харьковский государственный университет

(Украина)

Защита состоится "Л?" мая 1997 г. в 10.00 на заседании совет Д.02.01.07 по защите диссертаций в Белорусском государственном университете по адресу: 220050, г.Минск, пр.Ф.Скорины, 4, главный корпус, ауд.206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белорусского государственного универсктетп.

Автореферат разослан -Ль' " апреля 1997 г.

Ученый секретарь совета по защите диссертпций

локтор физико-математических наук СУ ^ >

Д.Л.КИЛКЛ£

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения продолжают привлекать интерес математиков и механиков в течение последних пятидесяти лет. Прежде всего это связано с многочисленными приложениями данных задач и уравнений. Начало исследования краевых задач для аналитических функций восходит к классическим работам Б.Римана и Д.Гильберта. Большой вклад в создание и развитие теории краевых задач внесли Т.Карлеман, Ф.Нетер, Н.И.Мусхелишвили, Ф.Д.Гахов, З.Пресдорф, С.Г.Михлин, Р.П.Гильберт и другие. Важную роль в этих исследованиях играет понятие индекса. Один из фундаментальных результатов Ф.Д.Гахова состоит в том, что индекс краевой задачи Римана определяет число.линейно независимых решений задачи или число ее условий разрешимости.

В начале 60-х годов Н.В.Говоров получил основополагающие результаты для краевых задач в предположении, что их индекс бесконечен. В существенном его исследования опирались на развитую им теорию аналитических функций вполне регулярного роста в угловых областях. Позже результаты Н.В.Говорова были применены к изучению сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом. Последняя тематика далека от своего завершения в силу того, что вопрос равносильности сингулярных интегральных уравнении и соответствующих краевых задач в случае бесконечного индекса является гораздо более сложным, чем в случае конечного индекса. Большой интерес к интегральным уравнениям с бесконечным индексом вызван также появляющимися прикладными исследованиями, в которых указанные уравнения играют важную роль.

Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости сингулярных интегральных уравнений в важном для приложений исключительном случае. Основная идея данного исследования состоит в доказательстве равносильности уравнений и соответствующих краевых задач с бесконечным индексом.

Связь работы с круппъши научными программами, темами. Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной темы НИР Белгосу-ниверситета (раздел 1.1.8. "Теория функций комплексного переменного" плана НИР Белгосуниверситета, № 19951145).

Цель и задачи исследования. Целью Диссертационной работы является исследование разрешимости и решение в замкнутой форме характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае.

Научная новизна полученных результатов, В диссертационной работе исследована разрешимость характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае при различных соотношениях параметров уравнения. Доказана равносильность это-

го уравнения в классе локально гельдсровских ограниченных функций и соответствующей краевой задачи Римана в классе ограниченных аналитических функций. Сформулированы условия разрешимости и построено в замкнутой форме общее решение рассматриваемого характеристического сингулярного интегрального уравнения.

Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретический характер. Ее результаты могуг найти применение в теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений, в теории упругости, электро- и гидродинамике, теории массового обслуживания, а также могут быть использованы при чтении спецкурсов по теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. Полученные решения сишулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае представлены в замкнутой форме и, следовательно, удобны для практического использования в моделях, приводящих к таким интегральным уравнениям.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Доказательство равносильности характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае в классе локально гельдеровских ограниченных функций и соответствующей краевой задачи Римана в классе ограниченных аналитических функций.

2. Условия разрешимости характеристическою сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае.

3. Общее решение характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае в замкнутой форме.

4. Решение специальной задачи факторизации функций, имеющих счетное множество разрывов второго рода аналитического характера, и возни- • кающих при этом интерполяционных задач в классе аналитических функций, ог раниченных в полуплоскости.

Личный вклад соискателя. Все результаты, приводимые в диссертационной работе, получены автором' лично. В совместных печатных работах работах с научным руководителем ему принадлежат постановки задач.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на Международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию академика Ф.Д Гахова, VI конференции математиков Белоруссии (Гродно, 1992), VII Белорусской математической конференции (Минск. 1996) и неоднократно на Минском городском семинаре по краевым задачам и сингулярным нше-фальиым уравнениям им. академика Ф.Д.Гахова (рук. при]). Э.П.Знсро-вич).

Опубликованность результатов. Результаты диссертации опубликованы п 7 печатных работах, в том числе в 4 статьях, 2 из которых без соавторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, выводов и списка использованных источников, включающего в себя 105 наименований. Общий объем диссертации составляет 102 страницы машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена обзору литературы по теме. В ней также содержатся предварительные результаты, примыкающие к теме диссертации, обсуждаются возникающие проблемы.

Вторая и третья главы диссертационной работы посвящены исследованию разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения:

(К VX0 - аИЫО + ¿(0— Тт-^Ч " /<'>•' е 1 = R> 1>

в исключительном случае в классе П функций, ограниченных для - оо s / S +оо, удовлетворяющих условию Гельдера на любом конечном промежутке.

В главе 2 рассматриваются такие ограничения на коэффициенты уравнения (1), при которых символ интегрального оператора К0 вырождается в конечном числе точек вещественной прямой. В разделе 2.1 приводится постановка задачи.

Уравнение (1) исследуется в главе 2 в предположениях:

a{t) + b(t) = П С ~ Ь, У' gt (t)e'1# j* i

ГО, при t <, О, где//(/)= '

[\,nput>0,

Н)0<рй1,

. Hi) a,, ft - вещественные постоянные (¡=1,2),

(а,-Д)2+(«г-А)2

а^, Ь1 - вещественные числа,

аи г к = ГД У = тк,р1 £N,2»'* = ™,Ц.Р, ~ Р>

/у) А (О е II(%), 0 < щ <. 1, & (/) * 0, / е Ь, к = 1,2,

у) функции /(/),£,(/), дифференцируемы щ и р) раз в точках ак и Ь/ соответственно (к - } = 1, V), а производные максимальных порядков удовлетворяют условию Гельдера в окрестностях этих точек.

Здесь через 0 <77^1, обозначен класс функций, удовлетво-

ряющих условию Гельдера на сомкнутой прямой.

Введем функцию, заданную аналогом интеграла типа Коши, плотностью которого служит искомое решение <р е Я интегрального уравнения (1):

Интеграл (2) сходится при любом конечном геБ* и представляет собой функцию, аналитическую в £)+ и £Г , причем Ф (-/) = 0. Существуют предельные значения функции Ф±(л), и для них имеют место формулы Со-хоцкого-11 лемели:

Подставляя в уравнение (1) значения <р(1) и особого интеграла из формул Сохоцкого-Племели, получим, что функция Ф*(г) удовлетворяет краевому условию задачи Римана с бесконечным индексом:

г е £>* = {г|± 1шг > 0}, (2)

<К0 = Ф+(0-Ф~(0,

/

= Ф+(0 + Ф"С).

ФЧ0 = С(0Ф"(0 + й(0. /б£.

(3)

где

/'

ПС-^ГЧт ПС"«,Г

0(/) = ^--ЕШ е'».и = ^-О0(/)О,(/), (4)

. ПС-А,)"

У'1

Здесь Л, = от, -Д,^ = аг, - Д.

8(0

_М__(5)

Обозначим аг = 1гиЮ0(1).

Рассмотрим следующие классы аналитических функций: В1 - класс функций, аналитических в £)*, ограниченных в любой области О* = |г| ± 1тг > 0| и непрерывных вплоть до Ь, а В„ - подкласс В1,

состоящий из функций Ф1 (г), ограниченных в Б±, удовлетворяющих условию Ф~(-/) = 0.

Будем изучать разрешимость краевой задачи Римана (3) в классе . Прн ее исследовании мы применяем известную методику решения краевых задач с бесконечным индексом, учитывая специфику рассматриваемых постановок и выбор класса решений.

Основная проблема исследования - установить равносильность интегрального уравнения (1) в классе Н и краевой задачи (3) в классе В„. Установление равносильности позволит дать исчерпывающую картину разрешимости и вид решения интегрального уравнения (1), исходя из результатов, полученных для краевой задачи (3).

В разделе 2.2 изучается модельный случай интегрального уравнения (1): предполагается, что

р= 1, а,' = -сг.Д = <7,«2 = ст,Д = -а,а (6)

Модельный случай позволяет без особых технических трудностей проследить основную схему исследования, которая, как оказывается, применима и в более сложных случаях (раздел 2.3 главы 2 и глава 3).

В подразделе 2.2.1 рассматривается однородное характеристическое уравнение (1) (т.е. при /(1)=0) и соответствующая ему "однородная краевая задача Римана (3) (т.е. при = 0).

• Доказана следующая

Теорема 1. Однородное характеристическое сингулярное интегральное уравнение (1) в предположениях ¡)-1у) в классе II равносильно однородной краевой задаче Римана с бесконечным индексом (3) в классе В„.

При доказательстве этой теоремы сначала устанавливается, что каждому решению однородной краевой задачи (3) Ф±(г) еВд соответствует по формуле

К') = Ф+(/)-Ф'(0 (7)

решение однородного интегрального уравнения (1) из класса II.

Более сложным оказывается доказательство обратного утверждения, что для любого решения /р(1) еН однородного интефального уравнения (1)

существуют функции Ф±(г)еВд, являющиеся решениями однородной краевой задачи (3), связанные с "(р(() соотношением (7). Здесь выделяются два случая: сг<0 и сг> 0. В случае с < 0 установлено, что краевая задача (3), а также уравнение (1) имеют только тривиальное решение.

Далее рассматривается случай <т>0. Функция вида (2) в силу построения краевой задачи (3), соответствующей уравнению (I), является се .решением в классе В1. С другой стороны известен вид общего решения однородной краевой задачи (2) в указанном классе:

(8)

ф- (г) = х; (г)П (2 - ь, Г'е-!<'(:),

где /-'(г) - целая функция, а Л'ц (г) - каноническая функция, имеющая вид:

= (9)

2л1 Л,(г +/)(*"-г)

В теореме доказано существование целой функции ^(г), дающей ограниченное решение задачи по ()юрмуле (8), удовлетворяющее условию Ф„ (-|') = 0 и представимос в виде интеграла (2) с плотностью из П . Описаны свойства таких целых функций.

Следствие 1. Однородное характеристическое сингулярное интегральное уравнение (I) в предположениях ¡)-п') при а >0 имеет бесконечно много решении вида:

<р(1) = Х0(1)е-1ЯГ(1)

с0иу-"-П(<-<ьГ -па-*,)* »=1

где Г(1) - граничные значения па вещественной прямой целой функции Р{:) порядка рР <. 1, типа аР < а, такой что при / е I*

•(/) = о(|/Г"и"<",'р>),!/|-

□О.

При а < 0 однородное характеристическое сингулярное интегральное уравнение (1) не имеет нетривиальных решений.

В подразделе 2.2.2 рассматриваются аналогичные вопросы для неоднородного сингулярного интегрального уравнения (1) и соответствующей ему неоднородной краевой задачи (3) в случае сг>0. В силу линейности уравнения и задачи здесь достаточно рассмотреть лишь связь между их частными решениями в рассматриваемых классах. Такая связь установлена, построены примеры целых функций, позволяющих представить частное решение краевой задачи (3) интегралом (2) с некоторой плотностью из 11.

При исследовании разрешимости краевой задачи (3) возникает необходимость решения вспомогательной задачи интерполяции с узлами в заданных точках ак,Ьг

В подразделе 2.2.3 неоднородное интегральное уравнение (1) изучается в предположении ег<0. В этом случае оказывается, что как уравнение (1), так и задача (3), вообще говоря, неразрешимы в соответствующих классах. Построены условия разрешимости уравнения (1), которые представляют собой условия ортогональности правой части уравнения (1) некоторому базису {у/^ пространства решений союзного уравнения в классе Н1(г + /)2\

|Д/)^(/)^=0,/=1,2,3... . (10)

—со

Показано, что эти условия могут быть переписаны в виде ортогональности с весом (/ + /) 2 правой части исходного уравнения базису пространства решений некоторого вспомогательного характеристического уравнения в классе П . Приведены конкретные примеры таких базисов. Далее устанавливается, что и те, и другие условия равносильны стандартным условиям разрешимости неоднородной краевой задачи Римана (3) с бесконечным индексом. Трудность состоит в том, что последние имеют форму условий обращения в нуль значений некоторого интеграла в счетном числе точек плоскости:

I

= 0,

(И)

где - некоторое специальное мсроморфное решение вспомогательной

однородной задачи с коэффициентом О0С,, обеспечивающее сходимость интеграла в (11), гк - полюса функции ^(г).

Доказана следующая

Теорема 2. Условия разрешимости (10) сингулярного интегрального уравнения (1) с минус-бесконечньш индексом в ограничениях ¡)-у) выполняются или нет одновременно с условиями (11).

В разделе 2.3 уравнение (1) изучается в условиях ¡)-у) при 0< р< 1. В этом случае множитель в коэффициенте краевой задачи (3) может

быть факгоризован только лишь с помощью однозначных ветвей некоторых многозначных аналитических функций. Эти технические трудности преодолеваются на первом этапе исследования.

В подразделе 2.3.1 рассматривается однородное сингулярное интегральное уравнение (1) (т.е. при /(/)нО) и соответствующая ему однородная краевая задача Римапа (3) (т.е. при #(/)н0). Выделены соотношения параметров исходного уравнения, при которых интегральное уравнение (1) и задача (3) имеют бесконечно много решений, а также такие, при которых уравнение и задача имеют только тривиальные решения. При доказательстве равносильности уравнения (1) и задачи (3) в этом разделе существенно используются технические приемы, разработанные в модельном случае раздела 2.1.

В подразделе 2.3.2 объектами рассмотрения являются неоднородное интегральное уравнение (1) и краевая задача (3). Сначала рассматривается случай, когда Л, < 0, \ > 0. При этом соответствующая задаче (3) однородная краевая задача Римана имеет бесконечно много решений. Так же, как и в подразделе 2.2.2, здесь исследуется связь между некоторыми частными решениями краевой задачи и интегрального уравнения. Краевое условие (3) сначала преобразуется с помощью специального ограниченного частного решения Т* (г) вспомогательной однородной краевой задачи с коэффициентом О0(/)С,(/). Получим:

Ф+(0

Ф*(0

+

Ч'о (О п С-«*)"" О Г1С - Ь, )Л

V

"(-'иг, и" «(и»

Сначала исследуется случай, когда

/<ОЮ = 0,/<,)(*,) = 0, i = 0,mt -1,1 = к а у = ГТ'.

В этом случае искомое решение представляется в виде произведения ограниченного решения однородной задачи и интеграла (2) с плотностью, совпадающей с последним слагаемым в правой части равенства (12). Доказательство ограниченности такого интеграла - основной момент при анализе указанного случая.

В общем случае, когда правая часть уравнения (1) не обращается в нуль соответствующей кратности хотя бы в одной из точек ак и Ьг то приходится решать некоторую специальную задачу факторизации. Смысл этой задачи состоит в представлении последнего слагаемого в правой части равенства (12) в виде суммы интеграла (2) с некоторой плотностью из Я и f f

двух дробей вида —— и где Фц (z) - некоторое ограниченное решение

Фо фо

однородной краевой задачи, а функции f±(z) - ограниченные в соответствующих полуплоскостях аналитические функции. Данные функции находятся как решения интерполяционных задач о узлами интерполяции в точках at и Ь .

i ;шение факторизационнон задачи сводит общий случай к уже рас- . смотренному выше. Основной результат так же, как и выше, состоит в установлении равносильности интегрального уравнения (1) и краевой задачи (3) в рассматриваемых классах и построении на основании этого общего решения сингулярного интегрального уравнения.

Далее, при Ау >0, Л^ <0 исследование проводится по схеме подраздела 2.2.3. Доказывается эквивалентность необходимых и достаточных условий ралртщимости краевой задачи (3) и сингулярного интегрального урав-нениг; (!), т.е. аналог теоремы 2.

'vans 3 уравнение (1) рассматривается з таких ограничениях на ко-эфф lü' o-iTb!, при которых символ интегрального оператора К9 вырождается г, с 5-; жом множестве точек вещественной прямой.

i 3.1. гюиящеп постановке задаче и формулировке основных

проблем, которые должны быть решены при исследовании уравнения. Ураг;!?с а::-, (3) рассматривается в следующих условиях:

а; Vit) = /4(/)ехр{2яМ')!'Г}. <*(') = Л(')ехр{2^(/)|^},

- со < t < +00,

где /л(1),/в(1) - кошурные значения целых функций /''„(г), имею-

щих только исщественные нули:

А = (а^:-со <...< а^ < <0 <а1<а1 <...<+оо,

В = (Ь1 ):-<» <...< Ь_г << 0<Ь1 < Аг <...< +оо,

Ь) обобщенные считающие функции пА,пв последовательностей могут быть представлены в виде:

где функции рА(1) и ре(() - некоторые непрерывные функции, такие что

РмвМ" '

(но определению »„«) = ^ е2 ^ ^, < 0>

а символ [.] означает целую часть вещественного числа; функция Я„(1) определяется аналогично);

с) 0 < р < 1;

кроме того, существуют конечные односторонние пределы на бесконечности:

^)(±00) = <1»т5с(,)(/), рлт(±я>) = Нт рмв)(1),

для которых

(уД+оо) - ЛтД-в»))* + (лД-«>) - ¿¿(~<*>)У --А 0,

О) 4(')|<Г. Р'МК. Р'Л0|/Г еЩ-^,4«],

0 /(0) = о, |/(0| < С\!\г, /(/) е . я, > 1 - Л

|/'(/ + Л) - /'(0| < С,/!"', 0 < А < С3|/|"р,

|/'(/)| < Г-М/Г'"''^, у > о, С, = сспш,/ = 1,2,3,4.

В разделе 3.2 изучается разрешимость однородного характеристического сингулярного интегрального уравнения (1) (т.е. при /(/) = 0) в условиях а)-с). Здесь сформулирован и доказан аналог теоремы 1 о равносильности уравнения (1) и задачи (3), а также приведены формулы общего решения сингулярного интегрального уравнения, описаны классы целых функций, входящих в эти формулы.

Раздел 3.3 посвящен исследованию неоднородного характеристического сингулярного интегрального уравнения (1) в условиях a)-í). Здесь, в основном, сохранена схема, разработанная в главе 2. Однако, соответствующие результаты имеют гораздо более громоздкий характер и требуют привлечения более сложного аппарата. Тем не менее, в этой главе для большинства соотношений между параметрами рассматриваемого уравнения удалось установить теорему типа теоремы 1 о равносильности уравнения (1) и задачи (3) и получить общее решение характеристического сингулярного интегрального уравнения

Раздел 3.3 состоит из трех подразделов. Первый из них (3.3.1) посвящен исследованию уравнения (1) в случае плюс-бесконечного индекса при дополнительном условии:

/К ) = 0, к = ±1,±2,...;/(¿,) = 0, J = ±1,±2,... (13)

Основной момент исследования здесь - доказательство сходимости и ограниченности интеграла

(Z+/V7 dr

--;--— (14)

В этой формуле ограниченные функции Ч'л(д)(-) таковы, что

где A'*|S|(z) = exp{(r+ /')J--:--}, а функции Ч'0 (г) -ограниченное

решение краевой задачи:

ir = [.-(„.»-«(OK) Л'ДО _^ А'.ИО

Общее решение краевой задачи (3) п рассматриваемом классе нмеег-

внд:

ф- (г) = (7)%- (2)С2} (г) + ф; (х),1тг < О,

где Фд (г) - общее решейие-соответствующей однородной задачи.

Далее доказана теорема типа теоремы 1 о равносильности характеристического сингулярного интегрального уравнения (1) в предположениях а)-(13), и краевой задачи (3). На основании этой теоремы из формулы (15) получено общее решение сингулярного интегрального уравнения (1).

В случае аналога минус-бесконечного индекса при условиях (13) (подраздел 3.3.2) Фц(г) н О, а функции ^(г) в представлениях (14), (15) перестают быть ограниченными. Это порождает счетную систему условий разрешимости краевой задачи (3), представляющую собой условия обращения в нуль значений интеграла (14) на некоторой последовательности точек плоскости. Условия же разрешимости интегрального уравнения (1) имеют форму ортогональности правой части уравнения (1) базису пространства решений вспомогательного интегрального уравнения (см. подраздел 2.2.3). Установлению эквивалентности этих условий разрешимости посвящена основная часть подраздела 3.3.2. Окончательный результат аналогичен теореме 2.

В последнем подразделе 3.3.3 рассматривается интегральное уравнение (1) в предположениях а)-{) в общем случае (т.е. при нарушении условия (13)). Теорема типа теоремы I о равносильности уравнения (1) и краевой задачи (3), а также теорема типа теоремы 2 о связи условий разрешимости устанавливается здесь на основе решения задачи факторизации, аналогичной изученной в разделе 2.3.2.

Существенным отличием является тот факт, что множество узлов появляющихся в процессе исследования двух задач интерполяции счетно. Решают эти задачи некоторые аналоги интерполяционных рядов Лагранжа, свойства которых исследуются.

ВЫВОДЫ

1. Доказана равносильность характеристического сингулярного ингефаль-иого уравнения с бесконечным индексом в нсключшельном случае в классе локально гельдеровских ограниченных функций и соответствующей краевой задачи Рнмана в классе ограниченных аналитических функций в случае конечного и счетного множест в точек вырождения.

2. Установлены условия разрешимое™ характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае.

3. Построено общее замкнутое решение характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае.

4. Дано решение специальной задачи факторизации функций, имеющих счетное множество разрывов второго рода аналитического характера, и возникающих при этом интерполяционных задач в классе аналитических функций, ограниченных в полуплоскости.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ

1. Рогозин C.B., Дубатовская М.В. О сингулярном интегральном уравнении с бесконечным индексом в исключительном случае. Тезисы докл. Конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992). 1992. - 4.2. - С.61.

2. Дубатовская М.В., Рогозин C.B. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом в исключительном случае. 1 // Деп. в ВИНИТИ 01.08.95, № 2343-В95. - 27 с.

3. Дубатовская М.В., Рогозин C.B. Однородное характеристическое уравнение с бесконечным индексом в исключительном случае // Доклады АН Беларуси. - Т.40, №4,-1996. - С. 19-23.

4. Дубатовская М.В. О разрешимости неоднородного характеристического сингулярного интегрального уравнения с бесконечным индексом в исключительном случае // В сб. "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", Труды международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова (Беларусь, Минск, 16-20 февраля 1996 года). -1996. - С-81-88.

5. Дубатовская М.В. О разрешимости характеристического сингулярного интегрального уравнения с минус-бесконечным индексом в исключительном случае // Тезисы докладов международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д.Гахова (Беларусь, Минск, 16-20 февраля 1996 года). - Минск, 1996. - С 36.

6. Дубатовская М.В. Об одной интерполяционной задаче для пары вещественных последовательностей // Тезисы докл. УП Белорусской математической конференции (Минск, 18-22 ноября 1996 г.) -1996. - 4.2 - С. 9.

7. Дубатовская М.В. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с минус-бесконечным индексом в исключительном случае // Вестник 1>ГУ. Серия 1: физика, математика, информатика. - 1997. - № 1. - С. 53-56.

РЕЗЮМЕ

Дубатовская Марина Валерьевна .

Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом в исключительном случае

Ключевые слова: сингулярное интегральное уравнение, краевая задача Римана, бесконечный индекс, исключительный случай, ограниченные аналитические функции, интерполяционная задача.

Рассматривается характеристическое сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом в исключительном случае. Устанавливается равносильность указанного уравнения в классе локально гельдеровских ограниченных функций и соответствующей краевой задачи Римана в классе ограниченных аналитических функций.

Построены условия разрешимости уравнения и его общее решение в замкнутой форме.

В исследованиях использовано решение одной специальной интерполяционной задачи в классе ограниченных аналитических функций, узлами интерполяции которой являются точки вырождения символа рассматриваемого сингулярного интегральною оператора.

РЭЗЮМЭ Дубатоуская Марына Валер'еуна

Харакгэрыстычнае сшгулярнае штэгральнае раунанне з бясконцым ¡ндэксам у выключным выпадку

Ключавыя словы: сшгулярнае ¡нтэгральнае раунанне, краявая задача Рымана, бясконцы ¡ндэкс, выключны выпадак, абмежаваныя ан&ттычныя функцьн, штэрпаляцыйная задача.

Разглядаецца характэрыстычнас сшгулярнае ¡нтэгральнае раунанне з бясконцым ¡ндэксам у выключным выпадку. Устанаушваецна рауназнач-насць названага раунання у класс лакальна гельдэраусмх абмежаваных функций 1 адпаведнай краявой задачи Рымана у класе абмежаваных ана-л1тычных функций.

Пабудаваны умовы вырашальнасщ 1 яго щульнае рашэнне у замкнутой форме.

Пры даслсдаваннях выкарыстана рашэнне одной спецыяльнай иггэрпаляцыйнай задачы у класе абмежаваных аналпычных функцый, якая мае вузлам! штэрпаляцьи пункты выраджэння С1мвала раштядаемага сшгулярнага ¡нтэгральнага аператара.

SUMMARY

Dubatovskaya Marina Valeryevna

• Characteristic singular integral equation with infinity index in the exceptional case

Key words: singular integral equation, Riemann boundary value problem, infinity index, exceptional case, bounded analytic functions, interpolation problem.

It is considered characteristic singular integral equation with infinity index in the exceptional case. It is established an equivalence of this equation in the class of localy Holder-continuous bounded functions and the corresponded Riemann boundary value problem in the class of bounded analytic functions.

The nccessary and sufficient solvability conditions of the equation and its general formula of closed form solutions are constructed.

It is used the solution of a special interpolation problem in the class of bounded analytic functions. The knots of this problem are the degeneration points of the symbol of the considered singular integral operator.