Интегральное уравнение третьего рода с особым дифференциальным оператором главной части тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Вырожденный случай

§ 1. Некоторые вспомогательные сведения

§ 2. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом, имеющим нуль целого порядка в вырожденном случае.

§ 3. Расширение исходного пространства на дельта-функцию и ее производные.

§ 4. Случаи производной порядка выше

Глава 2. Случай граничной особой точки

§ 5. Эйлеров случай

§6. Случай р^2.".

§ 7. Случай уравнения порядка п.:.

§ 8. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом при старшей производной, имеющим нуль целого порядка в граничной точке

§ 9. Интегральное уравнение третьего рода с общим дифференциальным оператором в главной части

§ 10. Случай 7 = —1 при р =

§11. Случай нецелого показателя 0 < р <

Глава 3. Случай внутренней особой точки

§ 12. Главная часть оператора А. Случай р =

§ 13. Главная часть оператора А. Случай р ^

§ 14. Случай уравнения порядка п

§ 15. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом при старшей производной, имеющим нуль целого порядка

Актуальность темы. Изучению вопросов разрешимости интегральных уравнений третьего рода вида а(х)1 + К, где К — интегральный оператор, а а(х) известная функция, посвящено большое число работ (обзоры теории интегральных уравнений см. в [38, 20]). Такие уравнения часто возникают в различных прикладных задачах, причем характерной их чертой является наличие у а(х) одной или нескольких особенностей в области изменения х. Это не позволяет осуществить непосредственный переход к более изученным уравнениям второго рода. Здесь, как и в случае интегральных уравнений первого рода, приходится в каждом случае разрабатывать собственные подходы. Такой общепринятый подход, как метод нормализации, широко используемый в теории уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений (см., например, [17] -[19], [25, 26, 37, 39]), позволяет осуществлять переход от уравнений с вырожденным символом к нормальным уравнениям (другие подходы, связанные с явным построением в вольтерровской ситуации регуляризации с помощью резольвенты и дальнейшем изучении ее поведения можно найти в [38, 15]). В случае уравнений третьего рода приходится разрабатывать собственные методы. Такие методы по построению теории Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций были разработаны в работах Г. Р. Барта [2], Г. Р. Барта и P. J1. Варнока [3], B.C. Рогожина и Т.Н. Радченко [30], B.C. Рогожина и С.Н. Раслам-бекова [31, 32], Е.П. Баран [1], Т.Н. Габбасова [9, 10], Х.Г. Бжихатлова [7] и др. В них у а{х) допускалось либо конечное число нулей конечных т кратностей (а (ж) = П (х — Xj)^, либо счетное множество простых нулей j=1 а(ж) = егЬх — l). В основе исследований этих работ лежала идея использования с одной стороны понятия союзного оператора и союзного пространства, с другой — понятия тейлоровской (точечной) производной. Все это позволило в традиционной постановке пространства непрерывных функций сформулировать условия нетеровости в терминах условий ортогональности правой части уравнения решениям однородного союзного уравнения в союзном пространстве. На этом же пути эффективной и плодотворной оказалась идея работ Г. Р. Барта и P. J1. Варнока по расширению [2, 3] рассматриваемого пространства, путем присоединения к нему конечномерного пространства, либо из ^-функции и ее производных, либо построенного на основе главных частей. Отметим, что имеются и иные подходы, см., например, работу [35], где рассматривается уравнение третьего рода с сингулярным оператором (см. также [7]). Во всех перечисленных работах характер особенности определяется по существу оператором умножения а(х)1 и особенностями функции а{х). Причем наиболее полные результаты были получены для случая, когда у а(х) имеются степенные особенности.

Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов нетеровости и разрешимости интегральных уравнений третьего рода в том случае, когда оператор умножения заменен на линейный дифференциальный оператор ахр--Ь bxq I I в предположении, что р G N, g € и х = 0 - особая ах J точка. Исследование нетеровости таких операторов ранее не проводилось и представляется актуальной задачей.

Цель работы. Работа посвящена построению теории Нетера линейных интегральных уравнений третьего рода вида Ау = /, где

ЛП J71-1 \

А = ахр-f - + г I + К, (0.1)

V dxn dxn~x J к J где К — интегральный оператор с непрерывным ядром, а, Ь G М1, р G N, q € п ^ 1. Рассмотрение ведется либо на отрезке [—1,1], либо на [0,1], так что х = 0 является особой точкой, превращающей Ay = f в уравнение третьего рода. Функция /(ж) предполагается непрерывной и имеющей тейлоровские производные (см. определение 0.1 ниже) до порядка р независимо от q; ядро к(х, t) непрерывно по совокупности переменных и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям типа точечной гладкости, а решение у(х) разыскивается в подклассах пространства Сп[— 1,1] (или Сп[0,1]).

Основная задача — понять: 1) как нетеровость оператора (0.1) зависит от соотношения между параметрами, входящими в (0.1); 2) какое влияние связано с наличием особенности, а что зависит от наличия оператора дифференцирования; 3) как на нетеровость влияет расположение особой точки х = 0 — внутри или на конце рассматриваемого промежутка.

Методика исследования. В работе используются общие методы функционального анализа, существенно используются теория операторов Нете-ра (см. [12, 13, 16, 22, 25, 29]) и теория интегральных операторов с однородным степени —1 ядром (см. [21]—[23]), при прямом построении регуля-ризаторов для особых дифференциальных операторов.

Научная новизна. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

1. Построена теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода с главной частью в виде особого дифференциального оператора с особой точкой на границе рассматриваемого промежутка. Выявлено существенное различие между эйлеровой (р = q + 1) и неэйлеровой (р ф q + l) ситуацией.

2. Построена теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода с коэффициентом в неинтегральном члене в виде особого дифференциального оператора с особой точкой внутри рассматриваемого промежутка. Выявлено различие со случаем, когда особая точка лежит на границе.

3. Введены и изучены специальные классы пространств Cq^ и Cqp^s, состоящие из функций, имеющих тейлоровские производные, в терминах которых строится нетеровская теория.

4. В вырожденном случае b = 0 построены союзные пространства и союзные операторы.

5. Выявлены особые случаи по параметрам. В эйлеровом случае р = q+1 особым оказалось значение а/Ъ = —1; в неэйлеровом — аЪ Ф 0.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании разрешимости различных классов интегральных и интегро-дифференциальных уравнений третьего рода, а также использованы при чтении спецкурсов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались: на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо), 5-12 сентября 2000г.; на школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо), 5-11 сентября 2002 г. Сделаны сообщения на международной конференции AMADE в Минске 15-19 февраля 2001г., Белоруссия; на VIII Белорусской математической конференции в Минске 19-24 июня 2000 г. А также неоднократно результаты докладывались на семинаре по линейным интегральным операторам в функциональных пространствах на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [43]—[53]. Постановка задачи и общие рекомендации относительно метода их решения и доказательств были предложены научным руководителем, профессором Н. К. Карапетянцем. Работа [45] выполнена при большой поддержке Т. Н. Радченко, которой принадлежат общие рекомендации относительно метода и полезные советы.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 53 наименования. Объем диссертации 142 с.

1. Баран Е. П. Многомерные интегральные операторы с вырожденным символом в пространствах суммируемых и обобщенных функций. Дисс. . кандидата физ.-мат. наук, г.Ростов-на-Дону, 1984. 104с.

2. Bart G.R. Three theorems on third-kind linear integral equations // J. Math. Anal, and Appl. 1981. V.79, №1. P. 48-57.

3. Bart G. R., Warnock R. L. Linear integral equations of the third-kind // SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4, №4. P. 609-622.

4. Бетилгириев M. А. Асимптотика решений уравнения Винера-Хопфа в случае дробных нулей из символа // Изв. вузов. Матем. 1984. № 4. С. 6365.

5. Бетилгириев М. А. Об одном классе операторов с однородными ядрами в пространстве Ck,p■ В сб. «Матем. анализ и его прилож.», Грозный, 1984. С. 65-70.

6. Бетилгириев М.А., Карапетянц Н. К. О некоторых пространствах функции с асимптотикой на бесконечности, инвариантных относительно оператора Винера-Хопфа // Грозн. ун-т, Грозный, 1978. Деп. ВИНИТИ 24.11.1978. №3382-78Деп.

7. Бжихатлов X. Г. Об одном интегральном уравнении третьего рода // Изв. АН Уз. ССР. Сер. физ.-мат. наук, 1970. №2. С. 18-23.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

9. Габбасов Н. С. О прямых методах решения интегральных уравнений Фредгольма в пространствах обобщенных функций. Дисс. кандидата физ.-мат. наук. г. Казань, 1987. 132 с.

10. Габбасов Н. С. К теории интегральных уравнений Фредгольма третьего рода в пространстве обобщенных функций // Изв. вузов. Математика, 1986. №4. С. 68-70.

11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. 3-е изд., дополн. М.: Наука, 1977. 640с.

12. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов // УМН. 1957. Т. 12, вып. 2. С. 43-118.

13. Гохберг И. Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев, 1973. 426 с.

14. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Т. 1. М.: Физматгиз, 1959. 470 с.

15. Дербенев В.В., Цалюк З.Б. Асимптотика решений линейных уравнений Вольтерра с разностным ядром. Краснодар: Изд-во Кубанского унта, 2001. 106 с.

16. Дудучава Р. В. О теоремах Нетера для сингулярных интегральных уравнений в пространствах гельдеровых функций с весом // Тр. симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси, 1973. Т. 1. С. 89-102.

17. Дыбин В. Б. Исключительный случай интегральных уравнений типа свертки в классе обобщенных функций // ДАН СССР, 1965. Т. 161. №4. С. 753-756.

18. Дыбин В. Б., Карапетянц Н. К. Об случай интегральных уравнениях типа свертки в классе обобщенных функций // Сиб. матем. ж., 1966. Т. 7. №3. С. 531-545.

19. Дыбин В. Б. Корректные задачи для сингулярных интегральных уравнений. Ростов-на-Дону: Изд. РГУ, 1988. 160 с.

20. Иманалиев М.И., Хведелидзе Б. В., Гегелия Т. Г., Бабаев А.А., Бота-шев А. И. Интегральные уравнения // Дифференциальные уравнения, 1982. Т. 18, № 12. С. 2050-2069.

21. Карапетянц Н. К., Самко С. Г. Уравнения с инволютивными операторами и их приложения. Ростов н/Д.: Изд-во РГУ, 1988. 192 с.

22. Karapetiants N., Samko S. Equations with Involutive Operators. Birkhauser. Boston, Basel, Berlin, 2001. 427 p.

23. Михайлов JI. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени — 1. Душанбе: Дониш, 1966. 48 с.

24. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968. 511с.

25. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979.493 с.

26. Пресдорф 3. Сингулярное интегральное уравнение с символом, обращающимся в нуль в конечном числе точек // Матем. исследования. Кишинев, 1972. Т. 7, вып. 1. С. 116-132.

27. Раджабов Н. Об одном интегральном уравнении вольтерровского типа. // Доклады РАН, 2002. Т.383, №3. С. 314-317.

28. Радченко Т. Н. Сингулярные интегральные уравнения третьего рода в пространствах DF" и Р^ // Теория функций. Дифференциальные уравнения и их приложения. Элиста, 1976. С. 138-155.

29. Рогожин В. С. Теория операторов Нетера. 2-ое изд. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1982. 99 с.

30. Рогожин В. С., Радченко Т. Н. Об уравнении типа свертки и сингулярных интегральных уравнениях в исключительном случае // Изв. вузов. Математика, 1979. № 8. С. 87-93.

31. Рогожин B.C., Расламбеков С.Н. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций // Изв. вузов. Математика, 1979. №1. С. 61-69.

32. Рогожин B.C., Расламбеков С.Н. К теории интегральных уравнений третьего рода // Изв. вузов. Математика, 1986. №4. С. 77-79.

33. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

34. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Application. Gordon, Breach, Sci. Publ. London-New York. 1993. 1002 p.

35. Shulaia D. Solution of a linear integral equation of third kind. Georgian Mathematical Journal. Vol. 9 (2002). № 1. P. 179-196.

36. Тихонов A. H., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. 3-е изд., исправлен. М.: Наука, 1986. 288 с.

37. Хайкин М. И. Об интегральном уравнении типа свертки первого рода // Изв. вузов. Математика, 1967. №3. С. 105-116.

38. Цалюк 3. Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Математический анализ. Т. 15. С. 131-199.

39. Чеботарев Г. Н. О кольцах функции, интегрируемых с весом // Изв. вузов. Математика, 1963. №5. С. 133-145.

40. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1072 с.

41. Юрко В. А. О дифференциальных операторах высших порядков с особенностью внутри интервала. Краткие сообщения // Математические заметки, 2002. Т. 71, №1. С. 152-156.

42. Yurko V. A. Integral transforms connected with differential operators having singularities inside the interval // Integral transforms and special functions. 1997. V.5. №3-4. P.309-322.

43. Абдурахман. Об одном интегральном уравнении третьего рода с особым дифференциальным оператором в главной части-П // Ростов-на-Дону, 2002. Деп. ВИНИТИ 20.08.2002. №1529-В2002. 92с.

44. Абдурахман. Об одном интегральном уравнении третьего рода с особым дифференциальным оператором в главной части-1 // Ростов-на-Дону, 2000. Деп. ВИНИТИ 28.03.2002. №560-В2002. 125 с.

45. Абдурахман. Об одном интегральном уравнении с особенностью // Ростов-на-Дону, 2000. Деп. ВИНИТИ, 2000. № 810-В2001. 82 с.

46. Абдурахман. Интегральное уравнение третьего рода с особенностью, в главной части. Тезисы докладов международной конференции. Минск, 2001, 15-19 февраля. С. 13.

47. Абдурахман. Об одном интегральном уравнении третьего рода с особым дифференциальным оператором в главной части. X международная конференция. Математика. Экономика. Образование. II Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». 2002.

48. Абдурахман. О линейном дифференциальном уравнении с сингулярными коэффициентами. — В сб. «Интегро-дифференциальные операторы и их приложения», Ростов-на-Дону, 2001. Вып. 5. С. 4-10.

49. Абдурахман. Об одном интегральном уравнении с особенностью. Тезисы докладов. Часть 1. VIII Белорусская математическая конференция. Минск, 2000, 19-24 июня. С. 8.

50. Абдурахман. Об одном интегральном уравнении третьего рода с особенностью в главной части. Тезисы докладов. Международная школа142семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н. В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2000 г. С. 86-87.

51. Абдурахман. Об одном дифференциальном уравнении с сингулярными коэффициентами. — В сб. «Интегро-дифференциальные операторы и их приложения», Ростов-на-Дону, 1999. Вып. 4. С. 4-7.

52. Абдурахман. Об одном дифференциальном уравнении с сингулярными коэффициентами в классе обобщенных функций-1 // Ростов-на-Дону. Деп. ВИНИТИ 02.08.2000. №2035-В2000. 27с.

53. Абдурахман. Об одном дифференциальном уравнении с сингулярными коэффициентами в классе обобщенных функций-П // Ростов-на-Дону. Деп. ВИНИТИ 20.03.2002. №512-В2002. 51с.