Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

003452821

На правах рукописи

ФАЛАЛЕЕВ МИХАИЛ ВАЛЕНТИНОВИЧ

ТЕОРИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность: 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ИРКУТСК - 2008

003452821

Работа выполнена в Институте математики, экономики и информатики ГОУ ВПО "Иркутский государственный университет" (Федеральное агентство по образованию РФ).

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор

СИДОРОВ Николай Александрович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

ТРЕНОГИН Владилен Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор

ПРИЛЕПКО Алексей Иванович,

доктор физико-математических наук ЧИСТЯКОВ Виктор Филимонович.

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева

СО РАН (г. Новосибирск).

Защита диссертации состоится 4 декабря 2008 г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в ИДСТУ СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан 3 ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета,

д.ф.-м.н. A.A. Щеглова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию вопросов разрешимости в классах распределений линейных вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Интерес к этим уравнениям, как самостоятельному объекту исследований, в математической периодике наблюдается с 50-60-х годов прошлого века, когда на семинаре Л А. Люстерника в МГУ была поставлена проблема построения теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с нетеровым оператором в главной части. Один из подходов в исследовании таких уравнений напрямую восходит к основополагающим идеям A.M. Ляпунова1 (1906), Э. Шмидта2 (1908), А. Пуанкаре3 и связан с исследованием разветвляющихся решений нелинейных уравнений (и моделей), зависящих от параметров. Этот подход, получивший в настоящее время большое развитие и широкое применение в различных задачах, называется методом Ляпунова-Шмидта. Общая методология (идеология) применения метода Ляпунова-Шмидта в теории разрешимости вырожденных линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах была разработана профессором В.А. Треногиным. Именно к таким уравнениям сводятся моделирующие реальные динамические процессы начально-краевые задачи о фильтрации и влагопереносе, о колебаниях в молекулах ДНК, о выпучивании металлических балок, о поперечных колебаниях пластин, о термо- и вязко-упругих (вискоэластичных) явлениях в пластинах, о двутемпературной плазме во внешнем магнитном поле, о

'Ляпунов A M Собрание сочинений в 5 т. /' A.M. Ляпунов. — M -Л . Изд-во АН СССР, 1954-1965.

2Schmidt Е 2ш tlieoue del lmeazcn lind nichtlineareii integial gleichungen / E Schmidt /'/ Math. Ann - 1908. - Vol 65. - P. 370-399.

JPomcaie A Oluveis Vol 1-10 / A Poincaie. - Pans- Gauthier-Villars, 1928-1954

деформации механических систем, а также некоторые задачи термоконвекции и электротехники (модели Баренблатта-Желтова-Ко-чиной, Осколкова, Хоффа, V. Dolezal, Свешникова-Габова-Плетне-ра-Корпусова).

Исследования разрешимости задач Коши для вырожденных опе-раторно-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах в классе непрерывных функций, проведенные в разное время С.Г. Крейном, В.А. Треногиным, H.A. Сидоровым, Б.В. Логиновым, Г.А. Свиридюком, А.И. Кожановым, И.В. Мельниковой и их учениками, показали, что такие задачи имеют непрерывные (классические) решения лишь при определенных соотношениях между входными данными задачи, т.е. между начальными условиями и правой частью (свободной функцией) уравнения. Получение этих достаточных условий, равно как и формул для самого решения, обычно и является целью подобных исследований. Отсутствие же в общем случае классического решения естественным образом приводит в линейном случае к постановке задач уже в классе распределений (обобщенных функций), поскольку тогда нет необходимости в согласовании входных данных задачи. Поэтому для линейных уравнений в представляемых исследованиях требовалось, во-первых, выделить классы обобщенных функций в банаховых пространствах, в которых решения строятся единственным образом, во-вторых, разработать технологию восстановления обобщенного решения и, в-третьих, исследовать связь между обобщенным и классическим решениями, если последние существуют. Решается такая триединая задача с помощью фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов. Для нахождения решений дифференциальных уравнений, заданных в пространствах распределений, фундаментальная оператор-функция является наиболее естествен-

ным инструментом.

Нестационарные вырожденные дифференциальные уравнения сводятся с помощью метода Ляпунова -Шмидта к исследованию систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода или к системам Воль-терра 1-го рода с особенностью. Поэтому создание основ аналитической теории таких систем также стало одной из целей диссертации.

Следует отметить, что полная теория уравнений с нетеровым оператором в главной части весьма далека от завершения несмотря на усилия многих математиков, результаты которых опубликованы в серии статей и монографий, краткий обзор которых представлен во введении к диссертации. Здесь же заметим, что в более простом конечномерном случае систем обыкновенных дифференциальных уравнений с необратимой матрицей при старшей производной большой цикл работ, включая численные методы, выполнен группой иркутских математиков Ю.Е. Бояринцевым4, В.Ф. Чистяковым5, М.В. Булатовым, A.A. Щегловой. Ими были получены наиболее законченные результаты. Но эти авторы существенно использовали специфику алгебро-дифференциальных уравнений, применяя в основном методы линейной алгебры, и такие методы, как правило, не допускают обобщения на бесконечномерный случай. Последними по времени и наиболее важными для приложений являются, на взгляд автора, результаты по общей теории вырожденных дифференциальных уравнений, изложенные в монографиях А.Г. Свешникова0, С.А. Габова7, М.О. Корпусова, A.B. Альшина, Ю.Д. Плет-

4Бояринцев Ю Е Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю Е Бо-яршщев — Новосибирск1 Наука, 2000 — 233 с

'Чистяков В Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В Ф. Чистяков, А А Щеглова — Новосибирск Наука, 2003 — 320 с.

6Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, А.Б Альшин, М О Корпусов и др - М : Физыатлит, 2007. - 736 с.

7Габов С А Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн / С А Габон.

нера. Еще одним из новых направлений применения теории вырожденных дифференциальных уравнений являются обратные задачи "прогноз-управление" и "прогноз-наблюдение" для эволюционных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, основы которого заложены в работах профессора А.И. Прилеико8.

Практически во всех упомянутых выше исследованиях для рассматриваемых уравнений или систем строились непрерывные решения, существование которых, как уже говорилось, обусловлено рядом ограничительных условий, что сужает возможности использования полученных результатов. Поэтому возникает интерес к построению обобщенных решений, для существования которых нет необходимости в дополнительных условиях. Достаточно стройная теория построения обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений создана С.Т. Завалищиным9 и его учениками. К сожалению, методы профессора С.Т. Завалищи-на также не допускают прямого обобщения на дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, поэтому возникла проблема построения соответствующей теории именно в банаховых пространствах, чему в целом и посвящена представляемая диссертация.

Целями работы являются:

• построение фундаментальных оператор-функций для классов вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах и выделение на этой основе пространств

А Г. Свешников. — М : Наука, 1990

8Приленко А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений I // Дифференциальные уравнения. - 2005 - Т. 41, № 11. - С. 1560 -1571.

93авалищин С Т Импульсные процессы модели и приложения / С.Т. Завалищин, А.Н. Се-секип - М : Наука, 1991. - 256 с.

распределений, в которых соответствующие уравнения однозначно разрешимы;

• исследование связи между обобщенными и классическими решениями;

• построение основ аналитической теории систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы основополагающие идеи теории обобщенных функций, теория полугрупп операторов с ядрами, теория псевдообращения линейных операторов, методы функционального анализа и математической физики.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, строго доказанными, имеют теоретический характер и получены автором самостоятельно. В работе впервые решена задача построения в замкнутой форме обобщенных решений вырожденных линейных интегро-дифферснциальных уравнений в банаховых пространствах. На этой основе исследован ряд новых типов дифференциальных уравнений в банаховых пространствах как в обыкновенных, так и в частных производных. Доказаны новые теоремы о разрешимости систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода, для восстановления решений которых в виде логарифмо-стеиенных рядов получены рекуррентные формулы. Предложен способ исследования в пространствах распределений неклассических начально-краевых задач математической физики, основанный на применении теории фундаментальных оператор-функций.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенная в работе технология позволяет восстанавливать обобщенные решения различных классов вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, исследовать связь между непрерывными и обобщенными решениями. Для уравнений, заданных в пространстве распределений, подход, используемый в диссертации, позволяет строить решения в замкнутой форме и проводить их полное исследование. Предложенные в работе рекуррентные формулы в регулярном случае могут служить основой для создания численных алгоритмов решения систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода как при наличии у них особенностей, так и при отсутствии таковых. Представленная в работе теория фундаментальных оператор-функции дает новый инструмент исследования неклассических задач уравнений математической физики, в том числе прикладного характера.

Полученные в работе результаты легли в основу создания новых спецкурсов для студентов-математиков ИМЭИ ИГУ, а также используются студентами и аспирантами кафедры математического анализа ИГУ при написании курсовых, дипломных работ и кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ряде международных и всероссийских конференций и на семинарах, в числе которых: Международный симпозиум по компьютерной томографии (г. Новосибирск, 1993), Международная конференция "Обратные и некорректные задачи" (г. Москва, 1996), Всероссийская научная конференция "Алгоритмический анализ некорректных задач" (г. Екатеринбург, 1998), Международные конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операто-

ры. Проблемы математического образования" (г. Москва, 1998, 2003, 2008), III Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (г. Новосибирск, 1998), XI, XII, XIII и XIV Байкальские международные школы-семинары "Методы оптимизации и их приложения" (г. Иркутск, 1998, 2001, 2005, 2008), Международная конференция "Математика в приложениях" (г. Новосибирск, 1999), Международные конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г. Челябинск, 1999, 2002), Международная конференция "Некорректные и обратные задачи" (г. Новосибирск, 2002), Международная конференция "Computational Science — ICCS2003" (г. Берлин, 2003), Международная школа-семинар по геометрии и анализу (Абрау-Дюрсо, 2004), Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (г. Москва, 2005), Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (г. Новосибирск, 2005), Международная конференция "Тихонов и современная математика" (г. Москва, 2006), Всероссийская научная конференция "Математика. Механика. Информатика" (г. Челябинск, 2006), Международная конференция "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения" (г. Новосибирск, 2007), IX Международная Четаев-ская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Иркутск, 2007), Международный конгресс по индустриальной и прикладной математике ICIAM07 (г. Цюрих, Швейцария, 2007), Международная конференция "Обратные и некорректные задачи математической физики" (г. Новосибирск, 2007), семинар под руководством проф. Herman Konig на математическом факультете университета г. Киль (Германия), семинар под руководством проф. А.И. Прилепко на механико-математическом факультете МГУ (г. Москва), семинар под руководством чл.-к. РАН, проф.

И.А. Шишмарева на факультете ВМК МГУ (г. Москва) и семинар под руководством проф. H.A. Сидорова в Институте математики, экономики и информатики ИГУ (г. Иркутск).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 55 работ. Список основных публикаций приведен в конце автореферата, из которых №№ 1, 3, 5, 6, 9, 10, 11 входят в список журналов, рекомендованных ВАК для опубликования основных результатов докторских диссертаций. Из совместных статей и монографии в диссертацию включены результаты, полученные лично автором и не нарушающие авторских прав других лиц.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав и списка литературы. Работа изложена на 238 страницах, выполнена в системе LATEX.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проведенных исследований, приведено краткое описание работы и дан обзор публикаций, близких к теме диссертации.

В первой главе работы приведены основные определения и сведения из теории обобщенных функций в банаховых пространствах.

В § 1.1 определены основные пространства Е*) и Е*)

и сходимость в них, здесь и далее через Е и Е* обозначаются банахово пространство и сопряженное к нему, М^ — Л^-мерное арифметическое евклидово пространство.

В §1.2 введены понятия пространств обобщенных функций и §'(18^; Е), приведены простейшие примеры регулярных и сингулярных распределений, приведены формулировки теорем о полноте пространств обобщенных функций и аналог теоремы Дю-буа-Реймон. Выделены специальные классы К'(1£+;Е) и Е)

обобщенных функций с носителями в "первом октанте" пространства Е^ при N > 1 (при N = 1 эти пространства обобщенных функций с ограниченным слева носителем обозначаются К+(Е) и §'+(Е) соответственно). В дальнейшем именно К+(Е) и §'+(Е) являются наиболее естественными пространствами для восстановления обобщенных решений задачи Коши

Вй = Аи + /{Ь), и(0)=ио, которые строятся при Ь > 0.

В § 1.3 введены операции умножения и дифференцирования обобщенных функций К^Ж^Е). В этом же параграфе введены поня-

тия обобщенной оператор-функции и свертки обобщенной оператор-функции с обобщенной функцией.

Определение 1. Пусть Ei, Е2 - банаховы пространства; К,(х) £ С(Ei, Ез) - сильно непрерывная оператор-функция класса С00(МЛГ), причем К*(х) G £(Щ, Ej) существует при почти вссх х е MN; f(x) S O^R^) — "классическая" обобщенная функция. Тогда выражение вида )C(x)f(x) называется обобщенной оператор-функцией.

Определение 2. Пусть v(x) е K^R^jEi), тогда сверткой fC(x)f(x)*v(x) обобщенной оператор-функции IC(x)f(x) и обобщенной функции v(x) называется функционал

Щх)/{х) * v(x), s(x)) = (/C(x)f(x) ■ v(y), s(x + у)) =

= (f(x), (v(y), 1С*(х)з(х + у))) Va(i) e K(RN; Щ).

Определенная таким образом операция свертки существует не всегда, поэтому в § 1.3 на примерах обсуждаются достаточные условия корректности приведенного определения. В частности, отмечено, что если f(t) е В'+ и v(t) G K'+(Ei), то свертка tC(t)J{t) * v{t) G существует и обладает свойством ассоциативности.

В этом же параграфе определены операции прямого произведения K.(x)f(x) ■ v(y) £ К'(К^+м;Ег) обобщенной оператор-функции Цх)/(х), f(x) е D'(rJV), с обобщенной функцией v(y) е K'(RM; Ех) и прямого действия }C(x)v(x) G К^К^Ег) оператор-функции Цх) е £(ЕьЕ2) на обобщенную функцию v{x) Е K'(Rw;Ei).

В § 1.4 вводится понятие фундаментальной оператор-функции для дифференциальных и интегральных операторов — основного понятия всей работы. Всякому дифференциальному оператору

„ / d \ dn А dn~l л d .

с замкнутыми линейными операторами А,, действующими из Е в Е, = ставится в соответствие обобщенная оператор-

функция вида

C{5{t)) = I6("\t) + A„^ö{n-l\t) + ... + Aiö'(t) + A06(t),

которая в дальнейшем также называется дифференциальным оператором.

Определение 3. Фундаментальной оператор-функцией р,иффе-ренциального оператора £ (или C(5(t))) на классе К'+(Е) называется такая обобщенная оператор-функция £(t), что Vu(i) £ К+(Е) на основном пространстве К(Е*) справедливо двойное равенство

£(6{t)) * £{t) * u(t) = £(t) * C(S(t)) * u(t) = u(i).

Основной смысл введения такого понятия заключен в следующем утверждении.

Утверждение. Если £(t) — фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора L на классе К'+(Е) и существует свертка £(t) с обобщенной функцией g(t) £ К+(Е), то обобщенная функция £(t)*g(t) 6 Ж+(Е) на основном пространстве К(Е*) удовлетворяет сверточному уравнению

£(ö(t))*u(t)=g(t).

Функция u(t) = £(t)*g(t) является единственным решением свер-точного уравнения C(6(t)) * u(t) = g(t) в классе тех обобщенных функций, для которых существует свертка с £(t).

В § 1.4 построены фундаментальные оператор-функции для дифференциальных операторов (/¿(M)(i) - A5(t)) и (Iö"(t) - Aiö'(t) -Ло<5(£)), интегрального оператора (IS(t) — k(t)e(t)), дифференциально-разностного оператора (I6'(t)S(x) — A5(t)(S(x — ß) —8{x))) и оператора теплопроводности (Iö'(t) • <5(:г) — Aö{t) ■ A<5(i)).

Для нестационарного дифференциального оператора вида (/¿'(¿) * —А(Ь)) фундаментальная оператор-функция построена в §1.5.

Во второй главе при различных предположениях относительно операторных коэффициентов построены фундаментальные оператор-функции для вырожденных дифференциальных, интегральных, дифференциально-разностных и интегро-дифференциальных операторов.

В § 2.1 исследуются вырожденные дифференциальные операторы с фредгольмовым оператором при старшей производной.

Теорема 1. Если А, В — замкнутые линейные операторы из Ех

еЕ2, D{B) с D(A), D(A) = D(B) = Еь В - фредгольмов, im В = imB, В имеет полный А-жорданов набор г = 1 ,n, j = 1 ,p¡}, тогда дифференциальный оператор первого порядка (В5 (t) — A5(t)) на классе К'+(Е2) имеет фундаментальную оператор-функцию вида

€i(t) = ГеАГ> 11

-Е

т-

/=i

¿=i j=i

Lfc=o lj=i J

А*-жорданов набор оператора В*,

где г = 1,п, ] = 1,р,}

Г — оператор Шмидта.

Теорема 1 далее применяется при исследовании задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения первого порядка

В± = Ас+ /(«), х(0)=хо, (1)

единственное обобщенное решение которой класса К'+(Е1) имеет вид х{1) = £1(г) * (НЬ)вЦ) + Вх08(1)) (2)

и представляет собой сумму двух составляющих: сингулярной 8ирра;(<) = {0}, и регулярной и({]в{{), «(¿) е С1^). Обобщенное решение, имеющее такую структуру, можно восстанавливать, находя по отдельности обе его составляющие, но при такой поэтапной реконструкции остается открытым вопрос о единственности решения. Использование же аппарата фундаментальной оиератор-функции полностью решает и эту проблему. Последующий анализ формулы для обобщенного решения х(1) показал, что обобщенное решение совпадает с классическим, если хо и /(¿) удовлетворяют условиям

{Ахо + /(0), $)) + {/<(0)) ф^) + ... + (/Ь"1)(0), фЫ) = 0, (3)

Утверждение теоремы 1 далее обобщено на дифференциальные

операторы вида (Ш"(4) - М(Ь)), (ВбМф - А5(^)7 (Вд'{х)6'(у) -Аб(хЩу)), (В5№\х) ■ ё^м\у) ~АЗ(х) ■ <%)), (ВТУ6(х) - М{х)),

Т>а — частная производная, а — мультииндекс, для каждого из которых можно ставить и решать начально-краевые задачи так же, как это было сделано для теоремы 1. В диссертации соответствующие исследования проведены для задачи Коши

Последняя разрешима в классе С2(Е1), если краевые условия а(у), (3(х) и функция /(х, у) таковы, что

г = 1,..., гг, ^ = 1,..., р,-

Вх = Ах + /(¿), х(0) = х0, х(0) = XI

и задачи Гурса

и

а(у), и =0(х), а(0) = /3(0).

дкхдку ' '

,Ь,-к+ 1-j)

г = 1,... ,п, j = l,...,p,..

>

О,

Завершается § 2.1 исследованием дифференциально-разностного оператора первого порядка (BS'(t) ■ — A6(t) • (Ó(x — Д) — ¿(í))).

Следующий § 2.2 посвящен исследованию тех же дифференциальных операторов, что и в § 2.1, но с нетеровым оператором В при старшей производной. Начинается § 2.2 с основных сведений о псевдообратных операторах и А-жордановых наборах нетеровых операторов, далее последовательно рассматриваются операторы (В61 (t) — Ad(t)), (BS^(t) - A5(t)), (Вд^м\х) - 5(M\y) —AS(x) ■ ó(y)), (BVaS(x) -A5(x)), (B6'(t) • — A6(t) ■ (<5(x — Д) — 5(x))), для каждого из которых сформулированы и доказаны по 2 теоремы о виде фундаментальной оператор-функции, соответствующие положительному и отрицательному значениям индекса нетерового оператора В. Приведем здесь одну из таких пар теорем.

Теорема 2. Если А, В — замкнутые линейные операторы из Ei в Е2, ímВ = im В, D(B) С D(A), D(A) = D{B) = Еь п = dimkerB, т = dimkerB*, п > т, существуют полные жор-

дановы наборы г = 1,...,п, ^ = 1,...,Рг} и {Ф1", г

1,... ,т, 7 = 1,... ,р1), тогда дифференциальный оператор первого порядка (В<5'(£) —А5(£)) па классе К'+(Е2) имеет фундаментальную оператор-функцию вида

т-

,,0)

(г) = В+е

+ AB+t

Е

/=1

-Рг-1 (р,-к

EEb^V

,k=0 li=l

где ф^ при г = т + 1,...,тг, j = 2,... ,р, являются произволъ-пыми функционалами из W2 и ф^ — 0, г = т + 1,..., п, В+ — псевдообратный оператор.

Теорема 3. Если в условиях теоремы 2 п < т, то обобщенная оператор-функция £i(t) является фундаментальной для дифференциального оператора (B5'(t)—A5(t)) на подклассе обобщенных функций из К'+(Е2), удовлетворяющих условиям

(eAB4-^„)zvd{t) * u{t) = 0, v = п + 1,..., т.

В качестве иллюстрации применения этих теорем в диссертации исследована задача Коши (1) для дифференциального уравнения 1-го порядка с нетеровым оператором В при производной. Показано, что если оператор В имеет положительный индекс (теорема 2), то обобщенное решение (2) окажется многопараметрической функцией. Дальнейший анализ решения (2) позволил получить условия существования классического решения. В случае отрицательного индекса оператора В (теорема 3) таковыми являются условия (3) и соотношения

[\eAB+V-s\Ax о + f(s)), tpjds = 0, v = n + l,...,m.

Jo

В § 2.3 результаты предыдущих двух параграфов с помощью теории полугрупп операторов с ядрами профессора Г.А. Свиридюка10 обобщены на случаи, когда размерность ядра оператора В или длины Л-жордановых цепочек бесконечны. В § 2.3 рассмотрены случаи спектральной, секториальной и радиальной ограниченности операторного пучка (/J.B — А) и в каждом из трех случаев построены фундаментальные оператор-функции для дифференциальных операторов вида - A6(t)), (BSM{х) ■ 5^м\у) -А5{х) ■ <%)),

10Svnidyuk G.A Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Opeiatois / G A Sviridyuk, V.E Fedorov. - Utiecht; Boston. VSP, 2003

(.ВТ>°6(х)-Аё(х)), (В6'(г)-5(х)-АбЦ)-(6{х-р)-5(х))). Приведем одно из этих утверждений.

Пусть В £ £(Ех, Е2) необратим, А — замкнутый линейный оператор из Е1 вЕ2, В-резольвентным множеством оператора А называется множество рв{А) = {р. £ С : {цВ - А)~1 £ £(Е2,Ех)}, при этом сам оператор А называется спектрально ограниченным относительно оператора В, если За > 0 такое, что {/х £ С : \ц\ > а} С рв(А), т.е. вне круга радиуса а оператор (/гВ — А) непрерывно обратим. Пусть Г = {/ч £ С : = г > а}, тогда операторы

Р = ¿(цВ - А)-1Вйц, <Э = —1 ВЫВ - А)'Чр 2лп ] 2т 7

г г

являются проекторами в Ех и Е2 соответственно, порождают разложения пространств Ех и Е2 в прямые суммы Ех = Е? ф Е} = кег Р Ф ¡т Р, Е2 = Е!] ф Е2 = кег <3 ф кп <3- Действия операторов В и А расщепляются, причем Ао : Е^ —> Е2, В\ : Е| —»■ Е2 непрерывно обратимы, : Е* -> Е2 ограничен, (¿В = ВР, С}А = АР.

Теорема 4. Если оператор А спектрально ограничен относительно В, то дифференциальный оператор (В6'{Ь) — Л<5(£)) имеет на классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида

оо

ад = ЩЬ)В?<2в(1) - ^(Ло'ВоУАо'Ц - <2)6^®,

<7-0

здесь

ЩЬ) = <1(цВ - АГ^ВёЧр, 2пг } г

разрешающая полугруппа.

Если дополнительно предположить, что оо — несущественно особая точка (р,В - Л)"1 (т.е. ЕЗр £ {0} и N такое, что (А^ВоУ ф 0, но {А^1Во)р+1 = 0), то очевидно порядок сингулярности £(£) понизится до р.

Теперь если оператор А спектрально ограничен относительно В и оо — несущественно особая точка (цВ — Л)-1, то обобщенное решение (2) задачи Коши (1) окажется классическим при выполнении условия

(I - Р)х о + ¿Ио^МоЧ/ - д)/м(0) - 0.

<7=0

В § 2.4 в предположении полиномиальной ограниченности операторного пучка А2 В — АЛх — Ло рассмотрены дифференциальные уравнения высокого порядка вида

Ви^2т\1) - Л1иН(£) _ Аои{1) = (4)

ВТ>2аи(х) - Афаи{х) - А0и{х) = }{х)

и соответствующие им дифференциальные операторы {В5^2т\1) — Л1(5('»)(£)-Ло<5(£)) и (В^-а6(х)-А^а6(х)-Ао6(х)),гдеВ,АиАо € £(Е1,Ег), В — необратим, т е N. Получены формулы для фундаментальных оператор-функций, проведены полные исследования обобщенных решений начальной задачи для уравнения (4).

В § 2.5 рассматриваются следующие вырожденные интегральные, интегро-дифференциальные и полные дифференциальные уравнения второго порядка:

t

Ви(Ь) = У /с(£ - з)и(з)(1з + /(£), (5)

о

«

Вй{Ь) - АиЦ) = J з)и(з)(1з + /(¿), о

Вй(1) - - Л0м(г) = /(£)

с фредгольмовым оператором В. В начале §2.5 приведены основные определения и сведения из теории обобщенных жордановых

наборов фредгольмовых операторов, в терминах которых построены фундаментальные оператор-функции для интегро-дифферен-циальных операторов (В6(Ь) - ЩО^)), {В5'{Ь) - АЩ) - Щ)вЦ)), {В5"(Ь) — А\5'{Ь) — Соответствующие теоремы доказывают-

ся по одной универсальной методике, вполне применимой для получения аналогичных результатов для интегро-дифференциальных операторов других видов.

Приведем одну из доказанных в §2.5 теорем.

Пусть выполнена группа условий:

(С1) В,к{1) — замкнутые линейные операторы из Ех в Ег, ЩВ) = Б(к) = Еь В{к) не зависит от П(В) С О (к), ¡т В = ¡т В, к(Ь) — сильно непрерывная на 0(к) достаточно гладкая функция, В — фредгольмов;

(С2) оператор В имеет полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции к(Ь).

При выполнении условия (С2) оператор В* имеет полный обобщенный жорданов набор {ф^} относительно к*(1).

Пусть — резольвента ядра к(Ь)Г, Г — оператор Шмидта для В, = 6,3, I,] = 1,... ,п, т.е. {г,} - биортогональная система

элементов к ядру кет В*, 2; = (-, ф,)г,-, 2=^2, — проекторы.

Теорема 5. Если выполнены условия (С1) и (С2), то интегральный оператор (В6(1) — &(£)$(£)) имеет на классе йСДЕг) фундаментальную оператор-функцию вида

п

1=1

£{ь) = (гб{г) + ГЩЩ^ * (/од

здесь Л/"(£) — резольвента ядра ^{—(¿¡Л^'^^в^)).

В условиях теоремы 5 интегральное уравнение (5) имеет единственное обобщенное решение класса К'+(Е1) вида

зирра;(£) = {0}, г>(£) € С(Е1). Исходя из этого представления, можно уже получить как конструктивные формулы для восстановления обеих составляющих обобщенного решения, так и условия существования классического (непрерывного) решения.

Параграф 2.6 посвящен исследованию вырожденного оператора теплопроводности (В6'(1) ■ ¿(я) — А5{1) ■ А5{х)). Рассмотрены все случаи вырождения для операторного пучка (/лВ — Л): фредголь-мовость, нетеровость, спектральная, секториальная а радиальная ограниченности. Для каждого из этих случаев приведено по 2 теоремы, соответствующие четному и нечетному количеству пространственных переменных.

В последнем §2.7 второй главы в конспективной форме изложены операционные методы построения фундаментальных оператор-функций. Сформулированы основные определения и проиллюстрированы возможности таких методов на примерах операторов

- М{Ъ)), {Вс■ 5^(у) —А5(х) ■ 5(у)) и (В8■ 8{х) - А5{1) - (6(х - Д) - 8(х))).

Третья глава посвящена исследованию нестационарных вырожденных дифференциальных уравнений.

В § 3.1 рассматривается задача Коши

й(4) = £(£) * /(£)#(£) - + «(0^(0.

Вх{Ь) = А{Ь)х + /(£)

(6)

ж(0)

(7)

где В, A(t) — замкнутые линейные операторы из Ех в К2, D(B) с D(A(t)), D(B) = D(A(t)) = Е i, В — фредгольмов, оператор-функция A{t) в окрестности точки t = 0 принадлежит классу С00 (по операторной норме), im В = im /(£) — достаточно гладкая функция.

Непрерывное решение задачи Коши (6), (7) ищется в виде

п

x(t) = xa + Tv(t) + J^Ut)Vl, (8)

•1=1

<t7(i),^> = 0, j = (9)

v(0) = 0, &(0)=0, j =

где, как и выше, уз,-, г = l,n, — базис ядра kerB, г = 1, гг, — базис ядра кег В", Г —- оператор Шмидта. Пусть Li(t) эволюционный (разрешающий) оператор уравнения

m = Awry®,

тогда

v(t) = j\{t)U-\r) (а(т)хо + /(т) + dr. (10)

Отсюда в силу (9) следует, что функции £j(i) удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода t _ _

/C(t,s)£(s)ds = b(t), (11)

/

J о

Щ,а) = || £„(4, а) = (ОДГ^М^М, Ф3), 1,3 = 1,п

= = - ^ = тгн) .

Каждому непрерывному решению системы (11) по формулам (10) и (8) соответствует непрерывное решение задачи Коши (6), (7) и наоборот.

Пусть выполнено условие

(С1) все ядра системы /Су(£, й), р, I = 1, п, аналитичны в окрестности точки (0;0) при Щ < р, \ в |< р, и все их частные производные до порядка (т — 1) включительно обращаются в ноль в точке (0;0), но не все частные производные т-го порядка равны нулю в точке (0;0).

Обозначим через ¡С,3 матрицу, составленную из (г, коэффициентов Маклорена ядер й).

Определение 4. Точка Ь = О называется регулярной особой точкой ядра й), если матрица А = ]Г] )СЧ не вырождена, т.е.

/+]=т

сы ]Г /сц ф о.

Далее предполагается, что £ = 0 — регулярная особая точка ядра й). Саму систему (11) в этом случае естественно называть регулярной.

Введем ряд матричных функций _^ £

Ы*) = У] х , к = т,т + 1,...

А + 3 + 1

Определение 5. Характеристическим уравнением, соответствующим системе (11), называется уравнение

(1е1;1т(А) = 0. (12)

Такое уравнение возникает естественным образом, если искать аналитическое решение системы (11).

Для каждого натурального корня Ац характеристического уравнения (12) будем предполагать выполненным условие

(С2) матрица Ьт(Х0) относительно системы матриц {(—1)к+1/к\-о)} имеет полный обобщенный жорданов набор.

Определение 6. Кратностью натурального корня Ао характеристического уравнения (12) назовем число

то0 = max{pt, г = 1, п0},

здесь щ = dimkerLm(Ao), р,. — длины обобщенных жордановых цепочек базисных элементов ядра kerLm(Ao).

Наряду с кратностью введем показатель для корня Ао, а именно, величину

<7о = Pi + Р2 + • • • + ?W

Решение системы (11) ищется в виде

оо а=О

где

£»00 = laO + la 1 ln s + lc,2 (In s)2 + ' " ' + lara (Ь s)r".

Теорема 6. Если для задачи (6), (7) и соответствующей ей системы (11) выполнены условия (Gl), (G2), характеристическое уравнение (12) имеет I целых неотрицательных корней 0 < Ai < Аг < ... < А; кратностей mi, m2,..., то; с показателями <7i, дг, • • ■, ЯГ, t = 0 — регулярная особая точка ядра }C(t,s); функции K(t, s) и b(t) достаточно гладкие в окрестности нуля и Ь(0) =

0) = ... = 6М(0) = 0, то задача (6), (7) имеет (qi+q2~\-----\~Qi)-

параметрическое непрерывное решение вида (8).

Все формулы и процедуры, необходимые для восстановления решения (8), в диссертации описаны.

Заметим, что теорема 6 является обобщением результатов, полученных ранее H.A. Магницким11 и автором12 диссертации для одного интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода.

пМагницкий H.A. Асимптотика решений интегрального уравнения Вольтерра 1 рода / Н А Магницкий // ДАН СССР - 1983. - Т. 2С9, № 1. - С. 29-32.

12Фалалеев М.В Асимптотические представления непрерывных и обобщенных решений

Одно из условии теоремы 6, а именно 6(0) = = ... =

6("°(0) = 0, можно снять, если строить решения задачи (6), (7) в пространстве распределений. В обобщенных функциях задачу Коши (6), (7) можно переписать в форме

* -л(г)):ё(4) = /(0^(0 + Вх05{г).

Обобщенное решение можно искать в виде сумм

(п \ п

+ (13)

1=1 / 1=1

где

т

3=0

<3/(0*2/(0 = 0, Я} = (-,Ф}), / = 1,...,п, 2/(0 е К'(Е2).

Пусть

5(0 =г/(0 (/20(0*^-40).

тогда

2/(0 = ]щь)и-\т) (л(т):г0 + /(г) + ¿; ¿г0(О+

4=1

Вектор ^(0 удовлетворяет системе

I «■ Л п 11Ь

1=1 а '=1 <==0

" m h dkJCv(t, 0)

интегрального уравнения Вольтерра 1 рода / М В Фалалеев; Иркутский гос. ун-т - Иркутск, 1987. - 44 с. - Деп в ВИНИТИ 2G 12.86, № 1553-В87.

j = 1,...,п,

которая будет разрешимой в классе непрерывных функций, если константы с,к выбрать удовлетворяющими следующей алгебраической системе уравнений:

EB-tf^*^-«?<<>>. <">

i=l к=О

j = 1,... ,п, I = 0,1,... ,т,

имеющей рекуррентную структуру.

Если det JCim^i ф 0, то из (14) все с,к однозначно находятся. Таким образом, справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Пусть выполнены условия (Gl), (G2), характеристическое уравнение (12) имеет I целых неотрицательных корней О < Ах < < ... < Л; кратностей т\, rri2,.. ■, mi с показателями <7ь 92, ■ • • > <#, t = 0 — регулярная особая точка ядра JC(t,s), функции fC(t, s) и b(t) достаточно гладкие в окрестности нуля и detlCim-i Ф О, I = 0,1,...,т, то задача Коши (6), (7) имеет

(qi + Ч2 Н----+ qi)-параметрическое обобщенное решение вида (13).

В работе приведены все этапы восстановления регулярной и сингулярной составляющих обобщенного решения.

В § 3.2 рассматривается задача Коши вида B(t)x(t) = A(t)x + f(t), х(0) = 0.

где B(t), A(t) — замкнутые линейные операторы из Ei в Е2,

D(B(t)) = D(A(t)) = Ei, 6(0) — фредгольмов, причем для B(t) точка t — 0 является изолированной особой, A(t), B(t) — достаточное число раз сильно непрерывно дифференцируемые в окрестности

точки Ь = 0 оператор-функции, /(£) — достаточно гладкая функция. Исследуются малые решения х(Ь) —> 0 при Л —0.

Такая задача сводится к системе интегральных уравнений с особенностью вида

которая исследуется по той же схеме, что и система (11), с учетом естественной специфики задачи. Доказанные в работе теоремы для этой системы полностью включают в себя результаты С.Г. Крейна и И.В. Сапронова13, полученные ими для одного однородного интегрального уравнения Вольтерра с особенностью.

Четвертая глава работы посвящена приложениям теории фундаментальных оператор-функций к различным начально-краевым задачам прикладного характера. В этой главе рассмотрены:

- задача о процессах влагопереноса;

- задача о колебательных процессах в молекуле ДНК;

- уравнение теории выпучивания металлических балок; уравнение поперечных колебаний пластины;

- задачи теории вязко-упругости (вискоэластики);

- задача о процессах фильтрации жидкостей в неоднородных средах;

уравнение продольных колебаний стержней с учетом поперечной инерции;

- уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости;

- вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;

- модель двухконтурной электрической цепи.

13Крейн С.Г О полноте системы решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью / С Г Крейн, И.В. Сапронов // Докл РАН. - 1997 - Т. 355, № 4. - С. 450-452

Для дифференциальных операторов каждого из перечисленных уравнений (задач) построены соответствующие им фундаментальные оператор-функции, с помощью которых восстановлены обобщенные решения и получены условия существования классических (гладких) решений.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Построена теория фундаментальных оператор-функций для вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах, выделены классы распределений, в которых обобщенные решения восстанавливаются единственным образом, и предложена методика для их построения.

2. Выделены классы вырожденных интегральных и дифференциальных операторов в банаховых пространствах как в обыкновенных, так и в частных производных, для которых найдены их фундаментальные оператор-функции, и на этой основе в замкнутом виде получены обобщенные решения начальных задач для соответствующих сингулярных уравнений. Исследована связь между непрерывным и обобщенным решениями таких уравнений. Впервые проведено полное исследование вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах.

3. Построена аналитическая теория регулярных систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода как при наличии у них особенностей, так и при отсутствии таковых. Получены рекуррентные формулы для построения как непрерывных, так и обобщенных решений таких систем.

4. В пространстве распределений с ограниченным слева носителем исследован ряд неклассических начально-краевых задач математической физики прикладного характера, для которых построены обобщенные решения. На основе анализа последних получены результаты о разрешимости таких задач в классе непрерывных функций.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сидоров Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференциальные уравнения. - 1987. — Т. 23, № 4. - С. 726-728.

2. Сидоров Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев; Иркутский гос. ун-т. — Иркутск, 1986. —28 с.— Деп. в ВИНИТИ по решению редакции журн. Дифференциальные уравнения 04.02.86, № 813-В86.

3. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т. 41, № 5. - С. 11671182.

4. Sidorov N. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falalecv. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. — 568 p.

5. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, Е.Ю. Гражданцева // Сиб. мат. журн. — 2005. - Т. 46, № 6. - С. 1393-1406.

6. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности / М.В. Фалалеев, Е.Ю. Гражданцева // Дифференциальные уравнения. - 2006. - Т. 42, № 6. — С. 769-774.

7. Sidorov N.A. Generalized Solutions of Volterra Integral Equations

of the First Kind / N.A. Sidorov, M.V. Falaleev, D.N. Sidorov // Bull. Malays. Math. Sei. Soc. - 2006. - Vol. 29, № 2. - P. 101-109.

8. Фалалеев M.B. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секториальности и радиальности / М.В. Фалалеев // Изв. вузов. Математика. — 2006. — № 10. - С. 68-75.

9. Фалалеев М.В. Фундаментальная оператор-функция вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Докл. РАН. - 2007. - Т. 416, № 6. - С. 745-749.

10. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т. 44, № 8. — С. 1120 1130.

11. Фалалеев М.В. Системы дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 4. - С. 916-927.

12. Фалалеев М.В. Обобщенные решения задачи Коши для вырожденного нестационарного дифференциального уравнения первого порядка в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Известия Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. — Иркутск: Иркут. ун-т, 2007. — Т. 1. — С. 322-329.

13. Фалалеев М.В. О приложениях теории фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Нсклассические уравнения математической физики: Тр. Междунар. конф. "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", поев. 100-летию акад. И.Н. Векуа. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2007. - С. 283-297.

14. Сидоров H.A. Обобщенные решения вырожденных дифферен-

циальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. —- Новосибирск: Наука, 1988. — С. 308-318.

15. Фалалеев М.В. Обобщенные решения некоторых классов вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Тр. XI-ой Междунар. конф. по нелинейным колебаниям. — Будапешт, 1988. — С. '271 274.

16. Фалалеев М.В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Численные методы оптимизации и анализ. — Новосибирск: Наука, 1992. - С. 185 -188.

17. Falaleev M. V. Asymptotic expansions of continuous solutions of system of Volterra integral equations of the first kind / M.V. Falaleev /,/ Intern, symp. on computerized tomography. Novosibisk (Russia), August 10—14, 1993. - Amsterdam: Nord-Holl, 1994. - P. 155-158.

18. Фалалеев М.В. Асимптотические представления непрерывных решений неоднородной системы интегральных уравнений Воль-терра 2-го рода с особенностью n-го порядка /' М.В. Фалалеев // Методы оптимизации и их приложения: Тр. Междунар. конф. — Иркутск: Ин-т систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 1998. - Т. 4. - С. 183-186.

19. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Вестник Челябинского университета. — Челябинск: Изд-во Челяб. ун-та. - 1999. - Вып. 2. - С. 126- 136.

20. Сидоров H.A. Обобщенные решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев /'/Методы оптимизации и их приложения.: Тр. Междунар. конф. —Иркутск: Ин-т систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 2001. --Т. 4. —•

С. 173-178.

21. Sidorov N.A. Generalized Jordan Sets in the Theory of Singular Partial Differential-Operator Equations / N.A. Sidorov, M.V. Falaleev, O.A. Romanova // Computational Science —ICCS 2003: Proc. of Intern, conf. Part 2. - Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 2003. - P. 523-532.

22. Falaleev M. V. Generalized Solutions of Volterra Integral Equations of the First Kind / M.V. Falaleev, N.A. Sidorov, D.N: Sidorov [Электронный ресурс): Lobachevskii Journal of Mathematics. — Казань: Казанский ун-т, 2005. — Vol. 20. — P. 47-57. — Режим доступа: http://ljm.ksu.ru/vol20/27. html/.

23. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов и полугруппы операторов с ядрами при условиях спектральной ограниченности / М.В. Фалалеев // Методы оптимизации и их приложения: Тр. Междунар. конф. — Иркутск: Ин-т систем энергетики им. JI.A. Мелентьева СО РАН, 2005. - Т. 3. - С. 196-200.

24. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка специального вида в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск: МаГУ, 2006. — Вып. 9. — С. 104-112.

25. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции некоторых специальных классов вырожденных дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Труды СВМО. - Саранск, 2006. - Т. 8, № 2. -С. 187-195.

26. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции некоторых специальных классов вырожденных дифференциальных операторов в частных производных в банаховых пространствах / М.В. Фа-

лалеев // Аналитическая механика, устойчивость и управление движением: Тр. 1Х-ой Междунар. конф., поев. 105-летию Н.Г. Чета-ева -- Иркутск: Ин-т динамики систем и теории управления СО РАН, 2007. - Т.5. - С. 237-246.

27. Фалалеев М.В. Задача Коши для уравнения теплопроводности с фредгольмовым оператором при производной по времени в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Математика. Механика. Информатика: Материалы Всерос. науч. конф. Челябинск, 19-22 сентября 2006 г. - Челябинск: Челяб. ун-т, 2007. - С. 201-210.

Издательство Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бульвар Гагарина, д. 36, т (3952) 24 14 36 Подписано к печати 02.09.2008 Формат бумаги 60 х 84 1/16, усл. печ. л. 2,0 Заказ 60. Тираж 150 экз

Отпечатано в ИГУ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Обобщенные функции в банаховых пространствах и действия над ними

1.1. Пространства основных функций

1.2. Пространство обобщенных функций K'(RN\ Е)

1.3. Операции над обобщенными функциями из K'{RN; Е)

1.4. Фундаментальные оператор-функции регулярных дифференциальных и интегральных операторов

1.5. Фундаментальные оператор-функции регулярных нестационарных дифференциальных операторов

ГЛАВА 2. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных и интегральных операторов

2.1. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов с фредгольмовым оператором при старшей производной

2.2. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов с нетеровым оператором при старшей производной

2.3. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов и теория полугрупп операторов с ядрами

2.4. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка специального вида и теория Л4,Л/*-функций

2.5. Фундаментальные оператор-функции интегральных и интегро-дифференциальных операторов с фредгольмовым оператором при старшей производной

2.6. Фундаментальная оператор-функция вырожденного оператора теплопроводности

2.7. Интегральные преобразования обобщенных функций в банаховых пространствах и теория фундаментальных оператор-функций

ГЛАВА 3. Нестационарные дифференциальные уравнения с вырождением

3.1. Задача Коши для вырожденного нестационарного линейного уравнения и системы интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода

Представляемая работа посвящена исследованию вопросов разрешимости в классах распределений линейных вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Интерес к этим уравнениям, как самостоятельному объекту исследований, в математической периодике наблюдается с 50-60-х годов прошлого века, когда на семинаре Л.А.Люстерника в МГУ была поставлена проблема построения теории дифференциальных уравнений в банаховых пространствах с нетеровым оператором в главной части. Построение такой теории естественным образом пошло по двум направлениям: линейные и нелинейные уравнения с необратимым оператором при старшей производной. Развитие этих двух направлений происходило (и происходит) параллельно, но не изолированно друг от друга. Не ставя перед собой цели дать полный обзор всех полученных на сегодня результатов и сформировавшихся подходов, отметим одно из направлений исследований, напрямую восходящее к основополагающим идеям А.М.Ляпунова (1906) [1], Э.Шмидта (1908) [2], А.Пуанкаре [3] и связанное с исследованием разветвляющихся решений нелинейных уравнений (и моделей), зависящих от параметров. Этот подход, получивший в настоящее время большое развитие (см. например, [7, 8, 35, 113] и библиографию там же), называется методом Ляпунова-Шмидта, и он нашел свое широкое применение также в теории разрешимости вырожденных линейных дифференциально-операторных уравнений в банаховых просторанствах. Именно к таким уравнениям сводятся моделирующие реальные динамические процессы начально-краевые задачи о фильтрации и влагопереносе, о колебаниях в молекулах ДНК, о выпучивании металлических балок, о поперечных колебаниях пластин, о термо- и вязко-упругих явлениях в пластинах, о двутемпературной плазме во внешнем магнитном поле, о деформации механических систем, в термоконвекции и электротехнике (модели Баренблатта-Желтова-Кочиной, Оскол-кова, Хоффа, V.Dolezal-a, Свешникова-Габова-Плетнера-Корпусова [9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 54]).

Исследования разрешимости задач Коши для вырожденных опе-раторно-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах в классе непрерывных функций, проведенные в разное время С.Г.Крейном, В.А.Треногиным, Н.А.Сидоровым, Б.В.Логиновым, Г.А.Свиридюком, А.И.Кожановым, И.В.Мельниковой и их учениками, показали, что такие задачи имеют непрерывные (классические) решения лишь при определенных соотношениях между входными данными задачи, т.е. между начальными условиями и правой частью (свободной функцией) уравнения. Получение этих достаточных условий, равно как и формул для самого решения, обычно и является целью подобных исследований. Отсутствие же в общем случае классического решения естественным образом приводит (в линейном случае) к постановке задач уже в классе распределений (обобщенных функций), поскольку в этом случае нет необходимости в согласовании входных данных задачи. Поэтому целями представляемых исследований для линейных уравнений является, во-первых, выделение классов обобщенных функций в банаховых пространствах, в которых строятся решения, во-вторых, разработка технологии восстановления обобщенного решения и, в-трётьих, исследование связи между обобщенным и классическим решениями, если последнее существует. Решается такая триединая задача с помощью конструкции фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов. Эта конструкция на протяжении последних лет активно разрабатывается автором работы и его учениками [113,112,114,115,121,117,118,106,122,107,108, 109]. В представляемой работе при различных предположениях относительно операторных коэффициентов построены фундаментальные оператор-функции для ряда вырожденных дифференциальных, дифференциально-разностных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах.

Нестационарные вырожденные дифференциальные уравнения сводятся с помощью метода Ляпунова-Шмидта к исследованию систем интегральных уравнений Вольтерра. 1-го рода или к системам Воль-терра 1-го рода с особенностью. Поэтому создание основ аналитической теории таких систем также стало целью представляемых исследований [131, 119, 162, 133, 153, 147, 144, 132, 134, 123].

Ряд результатов, представленных в работе, проиллюстрирован начально-краевыми задачами прикладного характера [120, 159, 160].

Как отмечалось выше, вырожденные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах имеют свою историю исследований, которая довольно четко делится на две составляющие. Первая представляет собой исследования, проводимые в абстрактных банаховых пространствах, и для таких работ различные начально-краевые задачи (в том числе и прикладные) являются иллюстрациями для полученных теорем, имеющих достаточно общий характер. Второе направление предполагает некоторую конкретизацию как в выборе банахова пространства, так и вида самого исследуемого дифференциального уравнения (или систем), получаемые в этом случае результаты существенно используют специфику выбранного пространства (или уравнения) и, к сожалению, не всегда допускают прямые обобщения на иные типы пространств (и уравнений). В приводимом далее кратком обзоре (не претендующем на полноту) упомянуты публикации из обоих направлений.

Ряд авторов (К.Т.Ахмедов [105], Я.В.Быков, Н.А.Сидоров), проводивших исследования в банаховых пространствах общего вида, показали, что уравнения такого типа в нелинейном случае могут иметь ограниченные и неограниченные (особые) решения с алгебраическими точками ветвления. Для построения таких решений они модифицировали метод неопределенных коэффициентов Некрасова-Назарова, ранее широко использовавшийся в теории ветвления решений нелинейных операторных уравнений [7]. Позднее Н.А.Сидоров в серии своих работ [40, 41, 42, 43, 44] показал, что структура решений задачи Коши для таких уравнений в общем случае существенно сложнее. Решение может содержать логарифмические точки ветвления, существенно особые точки. Более того, в общем случае даже для линейных уравнений задача Коши разрешима лишь в пространстве обобщенных функций [110, 111, 124]. В нелинейном случае Н.А.Сидоров провел редукцию таких уравнений к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравениям бесконечного порядка и к интегральным уравнениям Вольтерра, дал и способ регуляризации проблемы в смысле А.Н.Тихонова [35]. Работая над развитием общей теории дифференциальных уравнений с нетеровым оператором в главной части, Н.А.Сидоров получил ряд важных результатов, а именно: провел редукцию проблемы к уравнениям разветвления, установил связь с асимптотической теорией особых точек дифференциальных уравнений, разработал конструктивные асимптотические и регуляризованные итерационные методы, позволяющие строить решения в окрестности особых точек. Н.А.Сидоров предложил достаточно общий подход к исследованию таких задач, использующий теорию возмущений линейных операторов, псевдообращения линейных операторов, аппарат обобщенных жордановых цепочек, метод диаграммы Ньютона, асимптотическую теорию особых точек дифференциальных уравнений, групповые методы, теорию полугрупп, концепцию регуляризации в смысле А.Н.Тихонова и М.М.Лаврентьева [45, 46, 47, 48, 49]. Б.В.Логинов, применяя теоретико-групповые методы (см. гл.5 монографии [113]), провел исследование бифуркаций Андронова-Хоффа для таких задач. Полная теория уравнений с нетеровым оператором в главной части весьма далека от завершения, не смотря на усилия многих математиков, результаты которых опубликованы в серии статей и монографий, обширный перечень которых можно найти в библиографических списках к монографиям Sidorov N., Loginov В., Sinitsyn A., Falaleev М. [113], Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. [54], Иванов B.K., Мельникова И.В., Филинков А.И. [85], Favini A., Yagi А. [95], Егоров И.О., Пятков С.Т., Попов С.В. [91, 92], Гаевский X., Грегер К., Захарис К. [93], Fattorini Н.О. [94].

В более простом конечно-мерном сиучае систем обыкновенных дифференциальных уравнений с необратимой матрицей при старшей производной большой цикл работ, включая численные методы, выполнен группой иркутских математиков Ю.Е.Бояринцевым, В.Ф.Чистяковым, М.В.Булатовым, А.А.Щегловой [50, 51, 52, 53]. Здесь ими были получены наиболее законченные результаты, но эти авторы существенно использовали специфику алгебро-дифференциальных уравнений, применяя в основном методы линейной алгебры, и их методы, как правило, не допускают обобщения на бесконечномерный случай.

Последними по времени и наиболее важными для приложений основ общей теории вырожденных дифференциальных уравнений являются, на наш взгляд, результаты, изложенные в монографиях А.Г.Свешникова, С.А.Габова, М.О.Корпусова, А.Б.Альшина, Ю.Д.Плетнера [10, 11, 12, 13]. Из более ранних работ прикладного характера укажем на статьи Г.И.Баренблатта, Ю.П.Желтова, И.Н.Кочиной и Е.С.Дзекцера [20, 22], а также на цикл статей А.П.Ос-колкова [24, 25, 26], посвященных изучению уравнений и систем, описывающих движения разных типов жидкостей: вязких, Кельвина-Фойгта, Олдройта в пространствах Соболева и Гельдера.

Большой цикл оригинальных работ, содержащих результаты по теории полугрупп операторов с ядрами и ее приложениям к вырожденным дифференциальным уравнениям в банаховых пространствах, в течение последних 10-15 лет опубликован группой челябинских математиков во главе с профессором Г.А.Свиридюком [57, 54, 55, 59]. При различных предположениях относительно операторного пучка (ХВ — A), N(B) ф 0 : спектральной ограниченности, секториальности, радиальности ими получены теоремы о разрешимости в классе непрерывных функций задачи Коши для дифференциальных уравнений вида BuW — Аи = /(£). Обобщая результаты И.В.Мельниковой [85] по теории Л4, Af—функций, А.А.Замышляева в [60] распространила идеи из [57, 54, 55] на уравнения вида Вй = Агй+Aqu+ f(t). В дальнейшем Е.Ю.Гражданцевой в [115, 106] удалось решить проблему разрешимости в классе распределений этого же уравнения, объединив основные результаты из [60] и идеи автора представляемой диссертации. Теоремы, сформулированные в [57, 54, 55] для банаховых пространств, были распространены В.Е.Федоровым [56, 58] на локально выпуклые пространства. С некоторыми из приложений результатов Г.А.Свиридюка и В.Е.Федорова можно ознакомиться по диссертациям В.В.Шеметовой [61], М.В.Плехановой [62], И.В.Бурлачко [63], М.А.Сагадеевой [64], С.А.Загребиной [65].

В работах А.И.Кожанова [66, 67, 68, 69, 70] исследовались на разрешимость начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений вида Аиь + В и = f(t,x) с вырождающимися эллипгико-па-раболическими дифференциальными операторами четного порядка по пространственным переменным х. В условиях достаточной гладкости и оценок на функциональные коэффициенты линейных дифференциальных операторов А к В в этих работах доказывается корректная разрешимость поставленных задач в соответствующим образом выбранных (конкретных) функциональных (банаховых) пространствах.

В объемной монографии Г.В.Демиденко и С.В.Успенского [9] проведена систематизация результатов авторского коллектива по исследованию эволюционных уравнений вида г-i к=0 где B,Ai,.,Ai~ линейные дифференциальные операторы по переменным х, причем символ квазиэллиптического оператора В не удовлетворяет условию невырожденности. Авторами проведена классификация таких уравнений на три типа: просто соболевские, исевдо-параболические и псевдогиперболические. Исследования проведены в пространствах Соболева и пространствах Соболева с весом. В этой же книге (и в этих же пространствах) рассмотрены системы уравнений вида с вырожденной матрицей А0. Авторами выделены два типа таких систем: соболевские и псевдопараболические. Для этих уравнений и систем изучены смешанные краевые задачи в "первом октанте"прост-ранства Rn+1, исследованы асимптотические свойства решений.

Различные (в том числе и вырожденные) неклассические уравнения математической физики и начально-краевые задачи для них исследовались так же в монографии В.Н.Врагова [Tlj, работах А.Г.Кос-тюченко и Г.И.Эскина [72, 73], М.И.Вишика [74], R.E.Showalter-a и T.W.Ting-a [75, 76, 77], И.А.Шишмарева [78].

Разнообразные по условиям на операторные коэффициенты постановки задач Коши для вырожденных дифференциальных уравнений 1-го порядка в банаховых пространствах представлены в исследованиях математиков воронежской школы профессора С.Г.Крей-на [29, 30, 32, 34]. В предположении обратимости оператора (А + /J.B), N(B) ^ 0 при некотором fi в работе С.Г.Крсйна и В.Б.Осипова [33] с помощью функции Ляпунова исследована на однозначную разрешимость задача Коши для однородного уравнения Вй = Ли. Начальная задача для неоднородного уравнения Вй — Аи-\- f в условиях регулярности того же операторного пучка (т.е. 3 (А + ЦВ)-1 при

A0Dtv + А^х, Dx)u = f(t, х) и

A0Dtu + А\(х, Dx)u + A2(x, Дё) «(s, x)ds — f(t, x)

V|//| > a > 0) рассмотрена в работах С.П.Зубовой и К.И.Чернышева [79, 80]. Исследования связи между решениями возмущенного (В + еК)й = Аи и невозмущенного Вй = Аи уравнений при е —> 0+, начатые в работе С.Г.Крейнаи К.И.Чернышева [81], были продолжены в статье С.П.Зубовой [82]. В случае конечномерных пространств для возмущенных уравнений (В + еК)й — Аи + Dv(t) в работах Г.А. Куриной [83, 84] изучены вопросы управляемости такими системами.

В серии статей И.В.Мельниковой и ее учеников [86, 87, 88, 89, 90] методами теории интегрированных полугрупп специального вида и сведением к дифференциальным включениям исследованы вопросы корректности для вырожденного однородного дифференциального уравнения 1-го порядка. В коллективной монографии [85] методами теории Л/1,Л/*-функций (обобщающей понятия косинус- и синус-функций) исследовалось на корректность полное дифференциальное уравнение вида й + А\й + А0и = /'.

Монографии И.Е.Егорова, С.Г.Пяткова, С.В.Попова [91] и С.Г.Пят-кова [92] посвящены исследованию неоднородного линейного вырожденного дифференциального уравнения Вй + Аи = f в гильбертовых пространствах с сопряженными или диссипативными операторами В и А. Псевдопараболическим операторно-дифференциальным уравнениям посвящена монография Х.Гаевского, К.Грегера и К.За-хариса [93]. Этот же тип уравнений редукцией к дифференциальным включениям исследовался в монографии A.Favini и A.Yagi [95]. В работах А.И.Прилепко [96, 97] рассматриваются обратные задачи "прогноз-управление"и "прогноз-наблюдение"для эволюционных дифференциальных уравнений 1-го порядка в банаховых пространствах.

Практически во всех упомянутых выше исследованиях для рассматриваемых уравнений или систем строились непрерывные решения. При этом, как уже говорилось, существование таких (непрерывных) решений обеспечивается рядом ограничительных условий, которые естественным образом сужают возможности использования полученных результатов. Поэтому возникает интерес строить обобщенные решения, для существования которых нет необходимости в дополнительных условиях. Достаточно стройная теория построения обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений создана С.Т.Завалищиным и его учениками (см. монографию [98] и библиографию в ней), нелинейные уравнения в классе распределений рассматривались в монографии В.К.Иванова и В.В.Перминова [99]. К сожалению, методы профессора С.Т.Завалищина не допускают прямого обобщения на дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, поэтому возникла проблема построения соответствующей теории именно в банаховых пространствах, чему в целом и посвящена представляемая диссертация.

Краткое содержание работы.

В первой главе работы приведены основные определения и сведения теории обобщенных функций в банаховых пространствах.

В §1.1 определены основные пространства K(RN; Е*) и S(RN; Е*), сходимость в них, здесь и далее через Е и обозначены соответственно банахово пространство и сопряженное к нему.

В §1.2 введены понятия пространств обобщенных функций K'(RN]E) и S'(RN]E), приведены простейшие примеры регулярных и сингулярных распределений, приведены формулировки теорем о полноте пространств обобщенных функций и аналог теоремы Дю-буа-Реймон.

В §1.3 определены операции умножения и дифференцирования обобщенных функций K'(RN\ Е). В этом же параграфе введены понятия, которыми в дальнейшем изложении многократно приходится оперировать, это понятия обобщенной оператор-функции и свертки обобщенной оператор-функции с обобщенной функцией. Приведем их здесь.

Пусть Е\, Ei, — банаховы пространства, /С(ж) g С(Е\, E-z) сильно непрерывная оператор-функция класса Cco(RN), причем /С* (х) g Е'{) существует при почти всех х g RN, f(x) g D'(RN) "классическая" обобщенная функция, тогда выражение вида JC(x)f(x) называется обобщенной оператор-функцией.

Пусть v{x) g K'{Rn]Ei), тогда сверткой JC(x)f(x) * v{x) обобщенной оператор-функции K,(x)f(x) и обобщенной функции v(x) называется функционал

JC{x)f(x) * 5(ж)) = (JC(x)f(x) ■ v(y), s(x + у)) = {№Mv)>K?{x)a(x + y))) Щх) g K(Rn-,E*2).

Определенная таким образом операция свертки существует не всегда, поэтому в §1.3 обсуждаются достаточные условия корректности приведенного определения и оформлено это в виде примеров. В этом же параграфе определены операции прямого произведения K.{x)f{x) • v(y) g K'(Rn+m; E2) обобщенной оператор-функции с обобщенной функцией и прямого действия JC(x)v(x) оператор-функции на обобщенную функцию.

В §1.4 вводится понятие фундаментальной оператор-функции для дифференциальных и интегральных операторов - главного (центрального) понятия всей работы. Всякому дифференциальному оператору dn л dn~l л d с замкнутыми линейными операторами А;, действующими из Е в Е, ПЙ D(Ai) = Е ставится в соответствие обобщенная оператор-функция вида

6(t)) = I8W(t) + An^n-V{t) + . + Atf'it) + A05{t), которую будем также называть дифференциальным оператором.

Фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора £>{jt) на классе К'+(Е) называется такая обобщенная оператор-функция S(t), что \fu(t) € К'+(Е) на основном пространстве К(Е*) справедливо равенство

5{t)) * £{t) * u(t) = £(t) * C(5(t)) * u(t) = u(t).

Основной смысл введения такого понятия заключен в следующем Утверждение. Если £{t)— фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора на классе К'+(Е) и существует свертка £(t) с обобщенной функцией g(t) <Е К'+(Е), то обобщенная функция £(t) *g(t) G К'+(Е) на основном пространстве К(Е*) удовлетворяет сверточному уравнению

C{6{t))*u(t)=g(t).

Функция u(t) = £(t) * g(t) является единственным решением свер-точного уравнения £(5(t)) * u(t) = g(t) в классе тех обобщенных функций, для которых существует свертка с £{t).

В §1.4 приведены фундаментальные оператор-функции для дифференциальных операторов (I5^M\t) — AS(t)) и (15"(t) — Ai6'(t) —

Ло£(£)), интегрального оператора (I5(t) — k(t)9(t)), дифференциально-разностного оператора (IS'(t)S(x) — AS(t)(6(x — fi) — 5(х))), оператора теплопроводности (16'(t) ■ 5(х) — A5(t) • А5(х)).

Для нестационарного дифференциального оператора (IS'(t)*—A(t)) фундаментальная оператор-функция построена в §1.5.

Во второй главе при различных предположениях относительно операторных коэффициентов построены фундаментальные оператор-функции для вырожденных дифференциальных, интегральных, дифференциально-разностных, интегро-дифференциальных операторов.

В §2.1 исследуются вырожденные операторы во фредгольмовском случае. Первой приведена и доказана следующая

Теорема 2.1.1. Если А, В — замкнутые линейные операторы из Ei в E2,D(B) с D{A),D{A) = D{B) = Eh В - фредголь-мов, R(B) = R(B), В имеет полный А—жорданов набор i =

1 ,п, j — 1 ,Pi} (см. [7] с. 4^4-426), тогда дифференциальный оператор первого порядка (B5'(t) — AS(t)) на классе К'+{Е2) имеет фундаментальную оператор-функцию вида п Pi г, (t)=TeArt - Е тг=1 j=1

- £ ЙЁь , i=l к=0 j=1 где{ф^\ г = 1,п, j = l,pi] А*—жорданов набор оператора В*, Г— оператор Шмидта (см.[7] с. 340).

Приведенная теорема далее применяется при исследовании задачи Коши для вырожденного дифференциального уравнения первого порядка. Получаемые при этом результаты сформулированы в виде следствий из теоремы 2.1.1.

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 2.1.1, fit) 'локально интегрируема и принимает значения в Е2, то задача Коши

Вх = Ах + fit), ж(0) = ж0 имеет обобщенное решение класса К'+(Е2) вида xi(t) = £1 (t) * (f(t)e(t) + Bx0S(t)) = + * (Az0 + /(*)Ж*).

В развернутой форме, при достаточной гладкости функции f(t), это обобщенное решение выглядит следующим образом

- dSE^'-^-'^whг=1 k=1 j=l п Рг п Pi i=l j=l i=1 j=l t

П Pi

Гехр ЛГ(* - а)[/ i=l i=l X здесь введены обозначения ш = - Е - /№)(о),#"'+1-Л>, k=0

Су = -(Аго + /(0),- (/'(0),- • • •

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы 2.1.1, fit) достаточно гладкая со значениями в Е2 и Cij = 0, г = 1,. ,n, j = 1,. ,pi, то обобщенное решение x\(t) задачи Коши

Вх — Ах + /(£), ж(0) = ж0 окажется классическим (непрерывным), построенным в [38, 36].

Утверждение теоремы 2.1.1 допускает обобщение на дифференциальные операторы вида (B5"(t) - A3 (J:)), {B5^M\t) - AS(t)), (.BS'(x)6'(y)-A6{x)5{y)), (B5(M\x)-5<<M\y)-A5(x)-6(y)), (BVa6(x)-A5(:?;)), для каждого из которых можно ставить и решать начально-краевые задачи так же, как это было выше проиллюстрировано для теоремы 2.1.1. В работе соответствующие исследования проведены для задачи Коши

Вх = Ах + /(£), аг(0) = х0, х(0) = х\ и задачи Гурса д2и Аи + f(x, у), и дхду a(y),.v =(3(х), а(О)=0(О). а-=0 у=О

Относительно последней приведем полученные результаты.

Следствие (Задача Гурса). Если выполнены условия теоремы 2.1.1, функция f(x,y) g C(R+) и принимает значения в Е2, то задача Гурса имеет обобщенное решение вида й{х,у) = Ех{х,у) * (f{x,y)0(x,y) + Ва'(у)5{х) • 6{у)+ +В(3'(х)в(х) ■ 6(у) + В(3{0)6(х) ■ 5{у)), здесь п Pi г=1 j=1

- £ |Е{ё<-. • ««« в(х,у)г=1 fc=0 j=l где t ш Ь ■ г=0 17

Дальнейшее детальное исследование полученного обобщенного решения й(х,у) показало, что оно (обобщенное решение) окажется классическим при выполнении условий ыу)=s о,

Jc—1 a«M = т*),^1-»)+Ф?-"-1-») - о,

Завершается §2.1 исследованием дифференциально-разностного оператора первого порядка (B5'(t) ■ 5(х) — A5(t) ■ (6 (х — ft) — 5 (х))).

Следующий §2.2 посвящен исследованию тех же самых дифференциальных операторов, что и в §2.1, но с нетеровым оператором В. Начинается §2.2 с основных сведений о пссвдообратных операторах и А—жордановых наборах нетеровых операторов, далее этот параграф своей структурой дублирует предыдущий. Для каждого из операторов (B5'(t) - AS{t)), (BS^M\t) - AS(t)), (BS^M\x) • 5^M\y) -A5{x) • <%)), (BVa5{x) - A8(x)), (BS'{t) ■ 5{x) - A5{i) ■ {5(x -Д) — 5(x))) сформулированы no 2 теоремы, соответствующие положительному и отрицательному значениям индекса нетерового оператора В. В качестве иллюстрации применения этих теорем исследована задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка с нетеровым оператором В при производной.

В §2.3 результаты предыдущих двух параграфов обобщены на случаи, когда размерность ядря оператора В или длины Л—жордановых цепочек бесконечны. В §2.3 рассмотрены случаи спектральной, секториальной и радиальной ограниченности операторного пучка (/iB — А). Приведем некоторые из результатов этого параграфа.

Пусть Ei, Ео — банаховы пространства, В £ Е2) - необратим, А — замкнутый линейный из Ei в Е2. Оператор А называют спектрально ограниченным относительно оператора В, если За > О такое, что вне круга радиуса а оператор (fiB — А) непрерывно обратим. Пусть Г = {(1 Е С : \ /I \— г > а}, тогда пара операторов [55], [54]

Р = тЛ: - A)~lBdii, Q = -3- (£ ВЫВ - A)~ldii 2т J 2т J г г являются проекторами в Е\ и Еч соответственно, порождают разложения пространств Ei и Еч в прямые суммы Е\ = Е\ ® Е\ = кегР 0 гтР, Е2 = 0 Е\ — kerQ 0 imQ. Действия операторов В и А расщепляются, причем Д) : Е^ —» Е2, В\ : El —> Е2 непрерывно обратимы, Ai : El Е\ ограничен, QB = BP, QA = АР [55], [54].

Теорема 2.3.1. Если оператор А спектрально ограничен относительно В, то дифференциальный оператор (B5'(t) — A5(t)) имеет на классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида оо

S(t) = U{t)B^Q6{t) - Y^{Aq1Bq)4Aq1{I - Q)6^(t), q=0 здесь

U{t) = — <t(fj,B - Ay^e^dfj, 2m J г разрешающая полугруппа [55], [5\].

Если дополнительно предположить, что оо — несущественно особая точка [55], [54] (дБ-Л)"1 (т.е. Зр е {0}UiV такое, что {А^В0)р ф О, но {А^В0)р+1 = 0), тогда t) = U(t)B?Q0(t) - iT(A^B0yA^(I ~ Q)S{q\t).

7=0

Теорема 2.3.2.Если выполнены условия теоремы 2.3.1 и со — несущественная особая точка (/ьВ — А)-1, то задача Коши

Вх = Ах + f(t), гс(0) = яг0, имеет в классе К'+(Е\) единственное решение вида x(t)=£(t)*(f(t)e{t)+Bx05(t)).

В развернутом виде представление для x(t) выглядит следующим образом t x(t) = U(t)Px0 + s)B^lQf{s)ds(t)0 g=0 g=0

ГД6 p u = (/ - р)ж0 + - Q)/(9)(0).

7=0

Отметим, что в силу условия (А^Во)^1 = 0, порядок сингулярности полученного обобщенного решения равен (р — 1).

Следствие. Если выполнены условия теоремы 2.3.2 и ш — 0, то обобщенное решение x(t) окаэюется классическим (непрерывным), построенным в работах [55] и [54J

Как и в §§2.1, 2.2, утверждения теорем 2.3.1 и 2.3.2 распространяются далее на операторы (B5^{t) - AS(t)), (BS^{x) ■ S^M\y) -A8{x) • 5{y)), (BVa5(x) - AS(x)), (BS'{t) • 6{x) ~ AS{t) ■ {S(x - Д) -<5 (ж))). Все полученные при этом теоремы в последующих пунктах §2.3 обобщены на секториально и радиально ограниченные операторные пучки (fiB — А).

В §2.4 рассмотрены следующие дифференциальные уравнения высокого порядка специального вида

Bu^\t) - AMm\t) - A0u(t) = /(*),

BV2au{x) - AxVau{x) - Aqu(x) = f{x), где B,Ai,A0 6 C(Ei, E2), E\, E2 — банаховы пространства, В — необратим, т £ N, V01 — частная производная, а — мультииндекс, и соответствующие им дифференциальные операторы.

Как и в §2.3, изложению основных результатов предшествует необходимая в дальнейшем информация. Операторный пучок (уч2В — цА\ — Ао) называют полиномиально В—ограниченным, если За > О такое, что оператор (fi2B — — Ло) непрерывно обратим вне круга радиуса а, т.е. при \fi\ > а

R*{Ab А0) = Ои2В - Mi - Л)"1 € С(Е2, Ег)}.

Пусть выполнены условия:

A) \/Г = {/7 е С : \ ц\= г > а}, г

B) операторы В и А\ псевдокоммутируют относительно R^(A\, Ло), т.е. У/л 6 pB{Ai, Aq) справедливо равенство

ВВ*{Аи А0)Аг = AtR^Au А0)В, в этом случае другие две пары операторов В и Aq, А1 и Aq также псевдокоммутируют относительно R^(Ai,Aq).

При выполнении условий А) и В) пара операторов вида р = 2b / Q = a г г являются проекторами в Е\ и Е2 соответственно [60]. Проекторы Р и Q порождают разложения пространств Е\ и Е2 в естественные прямые суммы вида

Е1 = Е\ ф Е{ = кегР © imP, Е2 = Е$ ф = kerQ ф imQ.

Действия же всех трех операторов В, А\, Aq расщепляются [60]

Аь А®: Е® El, Bi, А\, А\ : Е\ —> Е\, причем операторы Aq и В\ непрерывно обратимы, QB = BP, QA{ = Д-Р, г = 0,1 и г

Введем семейство операторов

KlQ=I, KQ = I, к\=#о = (^г1^), я? = -#х = -(А°гч, KqH0, А1+1 = ^ - K2qH\ и оператор-функцию г

Доказана

Теорема 2.4.1. Если операторный пучок (fi2В — fiA\ — Aq) полиномиально В-ограничен, выполнены условия А) и В); то дифференциальный оператор (BS^2m\t) — AiS^it) — A0S(t)) имеет на классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида

00

Sm(t) = Afm(t)B^lQe(t) - J2K2q(A00r\l - Q)5^m\t).

9=0

Если дополнительно предположить, что оо - несущественно особая точка [60] оператора (т.е. Эр е {0} U N такое, что К) ф 0, Щ ф 0 при j = 0,. ,р, но = К%+1 = 0), то фундаментальная оператор-функция имеет вид m(t) = Arm(t)B?Q0{t) -^Kftj^-^I - Q)S^\t). q=0

Далее эта теорема применена к исследованию задачи Коши Bv?m\t) = Ax4m\t) + A0u{t) + f(t), u(»')( 0)=иг, г = 0,1,., 2m - 1, обобщенное решение которой, когда оо - несущественно особая точка, имеет вид m—1 u(t) = sm(t) * (f(t)e(t) + + ^ я^(ат-1<)(«)+ i=0

T72 — 1 Y,{Bum+i - А1Щ)5^-1-1\€)

2=0 и совпадает с классическим, если

Uj = (/ - P)Uj + j^Kl{Al)-\l - Q)f(qm+j\0) = 0 j = 0,l,.,2m-l.

Заканчивается этот параграф построением фундаментальной оператор-функции для дифференциального оператора (.BV2a5{x) - A{Da5{x) - Aq5(x)).

В §2.5 рассматриваются вырожденные интегральные, интегро-дифференциальные и полные дифференциальные уравнения второго порядка во фредгольмовском случае. Начинается параграф с информации об обобщенных жордановых наборах фредгольмовых операторов.

Пусть В - фредгольмов, {<£>;, г == 1, п} <Е Е{ - базис ядра N(B), {фг, г = Iе Щ - базис ядра N(B*), {7,-, i = Т^п} е Е{ и i = 1,?г} G соответствующие им биортогональные системы элементов. Введем проекторы Qi = {•, = 1 ,п, Q — Qi

Введем условие

B) В, k(t) — замкнутые линейные операторы из Е\ в Е2, D(B) = D{k) = EhD(k) не зависит от t, D(B) С D(k),R{B) = R{B),k(t) -сильно непрерывная на D(A;) достаточно гладкая функция.

Теорема 2.5.1. Если операторы В и k(t) удовлетворяют условию (В), оператор В имеет полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции k(t): то интегральный оператор (B5(t) — k(t)0(t)) имеет на классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида s{t) = (гад + m(t)e(t)) * (/ад +jv(t)0(t))* n Р%

- Q)m - £ £<•» i=i j=i

M{t)- резольвента ядра Ya=

Введем условие

C) В, A, k(t) — замкнутые линейные операторы из Е\ в Е2, D{A)f]D(k) = D(B) = Ei,D(k)— не зависит от t, D(B) с D{A) f| f]D(k), R(B) — R(B),k(t) — сильно непрерывна на D(k), k(t) € C°°(t > 0).

Введем обозначения g(t)= [ k(t-s)TeArsds, Jo

Hi (t) — резольвента ядра g(t),

M(t) = U^t) + ATeArt + f ATe^-^lh^ds,

Jo

JC(t) = A+ [ k(s)ds. Jo

Теорема 2.5.2.Если операторы В, A, k(t) удовлетворяют условию (С), оператор В имеет полный обобщенный лсорданов набор относительно оператор-функции 1C(t), то интегро-дифференциаль-ный оператор (B5'(t) — A5(t) — k(t)6(t)) имеет на классе К'+(Е2) фундаментальную оператор-функцию вида i(t) = ГеАг^0) * (/<*(*) +7£i(t)0(t)) * +М(*Ж*))* n Pi •

J - QW*) - Е Х> г=1 j=1 edeM\(t) — резольвента ядра Y^=i{—QiM^Pi\t))9{t). Введем условие

D) В, Ai, — замкнутые линейные операторы из Ej в £?2i = D(4)nD(i!) = D(J5) С D{A0) П D{A{), R{B) =

R(B).

Введем обозначения

Pi(t) = exp(-|-i), Vl(t)=tPi(t), К^фЧЛоГ,

TZ2(t) — резольвента ядра tP\(t)K\ = Vi(t)Ki,

Mi(t) = AirVY(t) + ЛГЦ(^) + fn^t - s)Ki(s)ds.

Jo

Теорема 2.5.3. Если выполнено условие (D), оператор В имеет полный обобщенный жорданов набор относительно оператор-функции k(t) = A\t+Aq, то дифференциальный оператор (B6"(t) —

Ai5'(t) — Ao5(t)) имеет на классе К'+{Е<2) фундаментальную оператор- функцию вида s{t) = (гад + m2{t)e(t)) * Vi(t)0(*) * (/ад +л/адод)* n Pi i=1 j=1 где U2{t) — резольвента ядра

Все три теоремы 2.5.1, 2.5.2 и 2.5.3 доказываются по одной универсальной методике, которая вполне применима для получения аналогичных результатов для других интегро-диффереициальных уравнений.

Параграф 2.6 посвящен исследованию вырожденного оператора теплопроводности (B5'(t) • 5(х) — A5(t) • Д£(х)). Рассмотрены все случаи для операторного пучка {цВ — А) : фрсдгольмовость, нетеро-вость, спектральная, секториальная и радиальная ограниченности. Для каждого из этих случаев приведено по 2 теоремы, соответствующие четному и нечетному количеству пространственных переменных.

В последнем §2.7 второй главы в конспективной форме изложены операционные методы построения фундаментальных оператор-функций. Сформулированы основные определения и на примере 4-х теорем проиллюстрированы возможности таких методов.

Третья глава посвящена исследованию нестационарных вырожденных дифференциальных уравнений.

В §3.1 рассматривается задача Коши

Bx(t) = A{t)x + f(t) (3.1)

0) = х0, (3-2) где В, A(t) — замкнутые линейные операторы из Е\ в Еч, D(B) С D{A(t)), D(B) = D(A{t)) = ЕЪ В - фредгольмов, A{t) е С°° (по операторной норме) в окрестности точки t = О оператор-функция, R(B) = R(B), f(t) — достаточно гладкая функция.

Непрерывное решение задачи Коши (3.1)-(3.2) ищется в виде п x{t) = х0 + Tv(t) + Yl&WVi, (3.3) i=1 j = 1,П, (3.4) v(0) = 0, &(0) = 0, j = l,n, где, как и выше, (pi, г = 1,п — базис ядра N(B), ipi, г = 1, п — базис ядра N(B*), Г — оператор Шмидта. Пусть Hit) эволюционный (разрешающий) [28] оператор уравнения т = т ту®, тогда pt п v(t)= / и(Ь)Ы-\т)(р{т) + ^МФ1-Ь{г)Ут. (3.5) г=1

Отсюда, в силу (3.4), следует, что функции удовлетворяют системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода K(t,sj£(s)ds = b(t), (3.6)

Jo

K(t,s) Kij{t,s) = (u{t)U-\s)A{s)ipii Vj), i,j = hn II, b(t) = (bj(t) = - J*(u(t)u-\S)F(S), <фзу8, j = m).

Каждому непрерывному решению этой системы по формулам (3.5) и (3.3) соответствует непрерывное решение задачи Коши (3.1)—(3.2) и наоборот.

Пусть выполнено условие

Ai) все ядра системы Kpi(t, s), р, I = 1, п аналитичны в окрестности точки (0;0) при 11 |< R, \ s |< R и все их частные производные до порядка (т — 1) включительно обращаются в ноль в точке (0;0), но не все частные производные га-го порядка равны нулю в точке

Обозначим через К^ матрицу, составленную из (i,j) коэффициентов Маклорена ядер Kpi(t, s).

Определение. Точку t = 0 назовем регулярной особой точкой ядра K(t, s), если матрица А = ^2i+j=m Kij не вырождена, т.е.

Далее будем предполагать, что t — 0 - регулярная особая точка ядра K(t, s).

Введем ряд матричных функций

Определение. Характеристическим уравнением, соответствующим системе (3.6), назовем уравнение

Такое уравнение возникает естественным образом, если искать аналитическое решение системы (3.6).

Для каждого натурального корня До характеристического уравнения (3.8) будем предполагать выполненным условие Bi) матрица Ьт(Х0) имеет полный обобщенный

0;0). det К^ ± 0. det Lm(X) = 0.

3.8)

1)к+1/к\ • Lm\\о)} - жорданов набор.

Определение. Кратностью натурального корня Ао характеристического уравнения (3.8) назовем число шо : max{pi, г = 1, щ}.

Наряду с кратностью введем показатель для корня Ао, а именно, величину

Qo =Pi +Р2 + ---+Рп0

Решение системы (3.6) ищется в виде

00 а=0 где = ?аО + Ll ln S + ?а2 (Ь в)2 + • • • + (Ь ■

Теорема 3.2. Если для задачи (3.1)-(3.2) и соответствующей ей системы (3.6) выполнены условия А\), Bi), характеристическое уравнение (3.8) имеет I целых неотрицательных корней 0 < Ai < А2 < . < Ai кратностей 7П\, т2,. ■., mi с показателями Qii Я2, ■ ■ ■, qi, t = 0 регулярная особая точка ядра K(t, s), функции K(t, s) и b(t) достаточно гладкие в окрестности нуля и 6(0) = bW(0) = .= Ъ{т\0) = 0, то задача (3.1)-(3.2) имеет {сц + q2 + ----Ь Qi) -параметрическое непрерывное решение вида (3.3).

Все формулы и процедуры, необходимые для такого восстановления, в работе описаны.

Одно из условий теоремы 3.2, а именно Ъ{0) = 6^(0) = . = 6И(0) = 0, можно снять, если строить решения задачи (3.1)-(3.2) в пространстве распределений. В обобщенных функциях задачу Коши (3.1)-(3.2) можно переписать в виде

B5'(t) * -A(t)^x(t) = f(t)9(t) + Bx0S(t) и искать обобщенное решение как сумму п 11 x{t) = Г6(t) * y(t) + (xQ + У52Ш<Рг)о(д + (3-15)

1 г=1 где т

Щ = е D'+) j=о

Qj5(t)*y(t) = 0, Qj = {-,<i>j), j = l,.,n,

2/(t) G

Пусть тогда t t) =U{t)(l29{t)*U-\t)y p. n

0 i=1 i=l

Для восстановления вектора имеем систему: / *•«(*, «)6(»)Л = 63.(t) - Ё D-l^ca^y^ i=l £ г=1 fc=0 j = 1,.,П, которая будет разрешимой в классе непрерывных функций, если константы Cik выбрать удовлетворояющими следующей алгебраической системе уравнении п т

0). <М»> г=1 к=0 j = 1,.,п, г = 0,1,.,т, имеющей рекуррентную структуру.

Если det Kim-i ф 0, то из (3.19) вектор cmi однозначно восстанавливается через "предыдущие" cm-i+i, cm/+2) • • • ,ст. Таким образом, доказана следующая теорема

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия А\), В\), характеристическое уравнение (3.8) имеет I целых неотрицательных корней 0 < Ai < Л2 < . < Xi кратностей mi, 777,2, ■ • • > тi с показателями qi, q2, . . ■ , qi, t = 0 регулярная особая точка ядра K(t, s), функции K(t, s) и b(t) достаточно гладкие в окрестности нуля и det Kim-i ф О, I = 0,1,. ,т, то задача Коши (3.1)-(3.2) имеет обобщенное решение вида (3.15).

В работе приведены все рекомендации для восстановления различных составляющих обобщенного решения. В §3.2 рассматривается задача Коши вида где B(t), A(t)— замкнутые линейные операторы из Е\ в Е2, D(B(t)) = D(A(t)) = Еъ В{0) - фредгольмов, A(t), B(t) - достаточное число раз сильно непрерывно дифференцируемые в окрестности точки t = 0 оператор-функции, f(t) — достаточно гладкая функция. Исследуем малые решения x(t) —> 0 при t —> 0.

Такая задача сводится к системе интегральных уравнений с особенностью вида которая исследуется по той же схеме, что и система (3.6) с учетом естественной специфики задачи.

B(t)x(t)=A(t)x + f{t), ж(0) = 0.

Четвертая глава работы целиком посвящена приложениям теории фундаментальных оператор-функций к различным начально-краевым задачам прикладного характера. В этой главе рассмотрены:

- задача о процессах влагопереноса;

- задача о колебательных процессах в молекуле ДНК;

- уравнение теории выпучивания металлических балок;

- уравнение поперечных колебаний пластины;

- задачи теории вязко-упругости;

- задача о процессах фильтрации жидкостей в неоднородных средах;

- уравнение о продольных колебаниях стержней с учетом поперечной инерции;

- уравнение свободной поверхности фильтрующейся жидкости;

- вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами;

- модель двухконтурной электрической цепи.

На защиту выносятся следующие результаты

Теоремы о виде фундаментальной оператор-функции для следующих интегро-дифференциальных операторов: ~{B6^{t)-AS{t)), meN;

- (BVa8(x) — а—мультииндекс;

- (B5'(t) • 5(х) - A5(t) • - д) - <*(£)));

- (BS'(t) • 6(х) - AS(t) • А5{х));

- {BS(2m\t) - AiS^it) - A05(t)), m е TV;

- (BV2a5(x) - А^а5(х) - Аоб(х)), а-мультииндекс;

- (B5(t) - k(t)9(t)y,

- (B6'(t) - AS(t) - k{t)6(t)) в условиях фредгольмовости, нетеровости, спектральной, сектори-альной и радиальной ограниченности соответствующих операторных пучков.

Теоремы о разрешимости нестационарных дифференциальных уравнений вида

Bx(t) = A(t)x + f(t) или

B{t)x{t) = A{t)x + f(t) и тесно связанные с ними теоремы, относящиеся к аналитической теории систем интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода и систем интегральных уравнений Вольтерра с особенностью.

Теоремы о разрешимости ряда начально-краевых задач прикладного характера в классическом смысле, в пространствах распределений и о связи между такими решениями. Результаты диссертации докладывались на:

- Международном симпозиуме по компьютерной томографии (г. Новосибирск, август 1993) [131];

-Международной конференции "Обратные и некорректные задачи" (г. Москва, сентябрь 1996) [144];

-Всероссийской научной конференции памяти чл.-корр. РАН, проф. В.К.Иванова "Алгоритмический анализ некорректных задач" (г.Екатеринбург, февраль 1998) [146];

-Международной конференции, поев. 75-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д.Кудрявцева, "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." (г.Москва, март 1998) [145];

-Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, поев, памяти С.Л.Соболева (г.Новосибирск, июнь 1998) [147];

-11-ой Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения"(г.Иркутск, июль 1998) [132];

-Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г.Челябииск, июнь 1999) [148];

-Международной конференции, поев. акад. С.К.Годунову, "Математика в приложениях" (г.Новосибирск, август 1999) [149];

-12-ой Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения "(г. Иркутск, июнь 2001) [134];

-Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели."(г.Челябинск, февраль 2002) [150];

-Международной конференции, поев. 70-летию акад. М.М.Лаврентьева, "Некорректные и обратные задачи "(г.Новосибирск, август 2002) [151];

-Международной конференции "Computational Science - ICCS2003" (г.Берлин, июнь 2003) [135];

-Международной конференции, поев. 80-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д.Кудрявцева, "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." (г.Москва, март 2003) [152];

-Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2004) [153];

-Международной конференции, поев. 100-летию акад. С.М.Никольского, "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ"(г.Москва, май 2005) [155];

-Международной конференции, поев. 105-летию со дня рожд. акад. М.А.Лаврентьева, "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (г.Новосибирск, май 2005) [156];

-13-ой Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения"(г.Иркутск, июль 2005) [138];

-Международной конференции "Тихонов и современная математика" (г.Москва, июнь 2006) [157];

-Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика."(г.Челябинск, сентябрь 2006) [143];

-3-ей Межвузовской зональной конференции, поев, памяти проф. Б.А.Бельтюкова, "Математика и проблемы ее преподавания" (г.Иркутск, март 2007) [159];

-Международной конференции, поев. 100-летию со дня рожд. И.Н.Векуа, "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения "(г. Новосибирск, май 2007) [160, 120];

-9-ой Международной Четаевской конференции, поев. 105-летию Н.Г.Четаева, "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением"(г.Иркутск, июнь 2007) [142];

-Международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике ICIAM07 (г.Цюрих, Швейцария, июль 2007) [161];

-Международной конференции, поев. 75-летию акад. М.М.Лаврентьева, "Обратные и некорректные задачи математической физики" (г.Новосибирск, август 2007) [162];

-Международной конференции, поев. 85-летию чл.-корр. РАН, проф. Л.Д.Кудрявцева, "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования."(г.Москва, март 2008) [163];

Кроме этого, результаты диссертационных исследований докладывались на ряде семинаров, в том числе на исследовательском семинаре под руководством проф. Herman-a Konig-a на математическом факультете университета г.Киль (Германия), на исследовательском семинаре под руководством проф. А.И.Прилепко на механико-математическом факультетет МГУ (г.Москва), на исследовательском семинаре под руководством чл.-корр. РАН, проф. И.А.Шиш-марева на факультете ВМК МГУ (г.Москва), на исследовательском семинаре под руководством проф. Н.А.Сидорова в Институте математики, экономики и информатики ИГУ (г.Иркутск, систематически).

1. Ляпунов A.M. Собрание сочинений в 5 т. / A.M. Ляпунов —М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1954-1965.

2. Schmidt Е. Zur theorie der linearen und nichtlinearen integralgleichungen / E. Schmidt //Math. Ann. —1908. — Y. 65. -P. 370-399.

3. Poincare A. Oluvers. Vol.1-10. / A. Poincare —Paris: GauthierVillars, 1928-1954.

4. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров —М.: Наука, 1979. —320 с.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C.Владимиров — М.: Наука, 1981. —512 с.

6. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустырник и др.- М.: Наука, 1966. -500 с.

7. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин — М.: Наука, 1969. — 528 с.

8. Вайнберг М.М. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин //УМН -1962. -Т. 17, № 2. -С. .

9. Демиденко Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский —Новосибирск: Научная книга, 1998. —438 с.

10. Линейные и нелинейные уравнения соболевского тина / А.Г.Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов и др. —М.: Физ-матлит, 2007. -736 с.

11. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн / С.А.Габов —М.: Физматлит, 1998. —448 с.

12. Габов С.А. Задачи динамики стратифицированных жидкостейС.А. Габов, А.Г. Свешников —М.: Наука, 1986.

13. Габов С.А. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн / С.А. Габов, А.Г. Свешников —М.: Наука, 1990.

14. Dolezal V. Dynamics of linear systems / V. Dolezal —GoningenPrague: P. Noordhoff Acad., 1967.

15. Chen G. Initial boundary value problem for a system of generalized

16. Bq equations / G. Chen, H. Zhang// Math. Meth. Appl. Sci. -2004. -Vol. 27. P. 497-518.

17. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем / А.С.Вольмир М.: Мир, 1967.

18. Odgvist F.H. Kriechfestigkeit metallisther werkstoffe / F.H.Odgvist, T. Hult — Berlin: Springer-Verlag, Gottingen-Heidelberg, Abschn. 4, 1962.

19. Bisognin E. On Exponential Stability for Von Karman Equationsin the Presence of Thermal Effects / E. Bisognin, V. Bisognin, G. Perla Menzala et al.// Math. Meth. Appl. Sci. -1998. — Vol. 21. -P. 393-416.

20. Cavalcanti M.M. Existence and uniform decay for a non-linearviscoelastic equation with strong damping / M.M. Cavalcanti,V.N.Domingos Cavalcanti, J. Ferreira // Math. Meth. Appl. Sci. -2001. Vol. 24. -P. 1043-1053.

21. Баренблатт Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина//ПММ -1960. Т. 24, № 5. -С. 5873.

22. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. / Дж. Уизем —М.: Мир, 1977.

23. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых водсо свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер//ДАН СССР — 1972. Т. 202, № 5. -С. 1031-1033.

24. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических системЕ.И. Ушаков — Новосибирск: Наука, 1988.

25. Осколков А.П. О некоторых линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движений вязких жидкостей / А.П. Осколков//Записки научн. семин. / АН СССР ЛОМИ. -1976. -Т. 59. -С. 133-177.

26. Осколков А.П. К теории жидкостей Фойгта / А.П. Осколков//Записки научн. семин. / АН СССР ЛОМИ. -1980. — Т. 96. -С. 233-236.

27. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта / А.П. Осколков//Тр. / АН СССР Ин-т математики. -1988. -Т. 179. -С. 126-164.

28. Nashed M.Z. Generalized Inverses and Applications / M.Z. NashedNew York: Academ. Press, 1976.

29. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальныхуравнений в банаховых пространствах / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн М.: Наука, 1970.

30. Крейн С.Г. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, М.И. Хасан//Итоги науки и техники. Математический анализ. / АН СССР ВИНИТИ. -1983. -Т. 21. -С. 130-264.

31. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховых пространствах /С.Г. Крейн —М.: Физматлит, 1971. —104 с.

32. Крейн С.Г. О полноте системы решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью / С.Г. Крейн, И.В. Сапронов //Докл. РАН -1997. -Т. 355, № 4. -С. 450-452.

33. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах / С.Г. Крейн —М.: Наука, 1967. —275 с.

34. Крейн С.Г. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных / С.Г. Крейн,B.Б. Осипов //Дифференц. уравнения —1970. —Т. 6, № 11. —C. 2053-2061.

35. Васильев В.В. Полугруппы операторов, косинус операторфункции и линейные дифференциальные уравнения / В.В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев//Итоги науки и техники. Математический анализ. / АН СССР ВИНИТИ. -1990. -Т. 28. -С. 87-202.

36. Сидоров Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теорииветвления / Н.А. Сидоров —Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1982. -312 с.

37. Сидоров Н.А. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части / Н.А. Сидоров, О.А. Романова, Е.Б. Благодатская//Дифференц. уравнения -1994. -Т. 30, № 4. -С. 729-731.

38. Сидоров Н.А. Дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшем дифференциальном выражении / Н.А. Сидоров, Е.Б. Благодатская —Иркутск, 1991. — (Препринт / ИрВЦ СО АН СССР; №1).

39. Сидоров Н.А. О применении некоторых результатов теорииветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н.А. Сидоров, О.А. Романова//Дифференц. уравнения -1983. -Т. 19, № 9. -С. 1516-1626.

40. Сидоров Н.А. Точки бифуркаций решений нелинейных уравнений / Н.А. Сидоров, В.А. Треногин//Нслинейный анализ и нелинейный дифференциальные уравнения. —М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003. -С. 5-50.

41. Сидоров Н.А. Решение задачи Коши для одного классашггегро-дифференциальных уравнений с аналитическими нелшгейностями / Н.А. Сидоров//Дифференц. уравнения — 1968. —Т. 4, № 7. -С. 1309-1316.

42. Сидоров Н.А. О ветвлении решений задачи Коши для одного класса нелинейных интегро-дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров// Дифферепц. уравнения —1967. —Т. 3, № 9. -С. 1592-1601.

43. Сидоров Н.А. Задача Коши для одного класса дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров// Дифферепц. уравнения -1972. -Т. 8, № 8. -С. 1521-1524.

44. Сидоров Н.А. О ветвлении решений дифференциальных уравнений с вырождением / Н.А. Сидоров//Дифференц. уравнения -1973. -Т. 9, № 8. -С. 1521-1524.

45. Сидоров Н.А. Исследование непрерывных решений задачи Коши в окрестности точки ветвления / Н.А. Сидоров//Изв. ВУЗов. Математика -1976. № 9. -С. 99-110.

46. Сидоров Н.А. О регуляризации линейных дифференциальныхуравнений с постоянными операторами в вырожденном случае / Н.А. Сидоров//Дифференц. уравнения —1978. — Т. 14, № 3. —С. 556-560.

47. Сидоров Н.А. Регуляризация простых решений / Н.А. Сидоров, В.А. Треногин //Сиб. мат. журн. —1978. -Т. 19, № 1. — С. 180-185.

48. Сидоров Н.А. Явная параметризация решений нелинейногоуравнения в окрестности точки ветвления / Н.А. Сидоров //ДАН СССР -1994. -Т. 336, № 5. -С. 592-594.

49. Сидоров Н.А. Явная и неявная параметризация при конструировании ветвящихся решений итерационными методами / Н.А. Сидоров //Мат. сб. -1995. -Т. 186, № 2. -С. 129-141.

50. Сидоров Н.А., Абдуллин В.Р. Сплетаемые уравнения ветвления в теории нелинейных уравнений / Н.А. Сидоров, В.Р. Абдуллин //Мат. сб. -2001. -Т. 192, № 7. -С. 107-124.

51. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев —Новосибирск: Наука, 1988. —160 с.

52. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков —Новосибирск: Наука, 1996. -279 с.

53. Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы/Ю.Е. Бояринцев —Новосибирск: Наука, 2000. -233 с.

54. Чистяков В.Ф. Избранные главы теории алгебродифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова —Новосибирск: Наука, 2003. —320 с.

55. Sviridyuk G.A. Linear Sobolev Type Equations and DegenerateSemigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov — Utrecht; Boston: VSP, 2003.

56. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А.Свиридюк //УМН -1994. -Т. 49, № 4. —С. 47-74.

57. Федоров В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров //Мат. сб. -2004. -Т. 195, № 8. -С. 131-160.

58. Свиридюк Г.А. Исследование полулинейного уравнения типа Соболева в банаховых пространствах / Г.А. Свири-дюк//Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. — Челябинск, 1993. 213 с.

59. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров//Дис. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01, 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. —Челябинск, 2005. 271 с.

60. Свиридкж Г.А. Линейные уравнения соболевского типа: Учеб.пособие / Г.А. Свиридкж, В.Б. Федоров— Челябинск: Челяб. ун-т, 2002. -179 с.

61. Замышляева А.А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева/ /Дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. — Челябинск, 2003.

62. Шеметова В.В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах / В.В. Шеметова//Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Магнитог. гос. ун-т. — Магнитогорск, 2005. 109 с.

63. Плеханова М.В. Оптимальное управление распределеннымисистемами, не разрешенными относительно производной по времени / М.В. Плеханова// Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. —Челябинск, 2006. 154 с.

64. Бурлачко И.В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа / И.В. Бурлачко//Дис. к-та физ.-мат. наук: 05.13.18. Челяб. гос. ун-т. —Челябинск, 2005. 122 с.

65. Сагадеева М.А. Р1сследование устойчивости решений линейныхуравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева//Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. —Челябинск, 2006. 120 с.

66. Загребина С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости / С.А. Загребина//Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Челяб. гос. ун-т. -Челябинск, 2002. 100 с.

67. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математическойфизики нечетного порядка / А.И. Кожанов —Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990.

68. Kozhanov A.I. Composity Type Equations and Inverse ProblemsA.I. Kozhanov -Utrecht: VSP, 1999.

69. Кожанов А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов //ДАН СССР. — 1992. -Т. 326, № 5. -С. 781-786.

70. Кожанов А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной / А.И. Кожанов//Сиб. мат. журн. —1994, — Т. 35, № 2. -С. 359-376.

71. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравненийматематической физики / В.Н. Врагов —Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983. -179 с.

72. Вишик М.И. Задача Коши для уравнения с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Вишик// Мат. сб. -1956. -Т. 38, Вып. 1. -С. 51148.

73. Showalter R.E. Hilbert Space Methods for Partial DifferentialEquations / R.E. Showalter —London-San Francisco-Melbourne: Pitman, 1977.

74. Schowalter R.E. The Sobolev type equations. I (II) / R.E.Schowaltcr//Appl. analys. -1975. -Vol. 5, № 1. -P. 15-22. (№ 2. -P. 81-99.)

75. Schowalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differentialequations / R.E. Schowalter, T.W. Ting //SIAM J. math, analys. -1970. -Vol. 1, № 1. —P. 1-26.

76. Шишмарев И.А. Об одном нелинейном уравнении типа Соболева / И.А. Шишмарев//Дифференц. уравнения —2005. — Т. 41, № 1. -С. 1-3.

77. Зубова С.П. О линейном дифференциальном уравнении сфредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев//Дифференц. уравнения и их применения. Вильнюс. -1976. -Т. 14. -С. 21-29.

78. Зубова С.П. О дифференциальных уравнениях в банаховомпространстве, не разрешенных относительно производной /С.П. Зубова, К.И. Чернышев//Методы решения операторных уравнений: Сб. научн. раб. Воронеж. —1978. —С. 62-65.

79. Крейн С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальныеуравнения в банаховом пространстве //Препринт Ин-та ма-тем. СО РАН СССР. Новосибирск. -1979. 18 с.

80. Зубова С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве/ С.П. Зубова //ДАН СССР -1982. -Т. 264, № 2. -С. 286-291.

81. Курина Г. А. О полной управляемости одного класса линейныхсингулярно возмущенных систем / Г.А. Курина //Дифферент уравнения -1985. -Т. 21, № 8. -С. 1444-1446.

82. Иванов В.К. Дифференциально-операторные уравнения инекорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков —М.: Физматлит, 1995. —384 с.

83. Мельникова И.В. Интегрированные полугруппы и Сполугруппы. Корректность и регуляризация дифферен-циально-операторпых задач / И.В. Мельникова, А.И. Филинков //УМН -1994. -Т. 49, № 6. -С. 111-150.

84. Мельникова И.В. Корректность вырожденной задачи Коши вбанаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Альшан-ский //ДАН -1994. —Т. 336, № 1. -С. 17-20.

85. Мельникова И.В., Гладченко А.В. Корректность задачи Кошидля включений в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, А.В. Гладченко //ДАН -1998. -Т. 361, № 6. -С. 17-20.

86. Мельникова И.В. Свойства d-полугрупп Лионса и обобщенная корректность задачи Коши / И.В. Мельникова //Функц. анализ и его приложения. —1997. —Т. 31, № 3. —С. 23-37.

87. Мельникова И.В. Задача Коши для включения в банаховыхпространствах и пространствах распределений / И.В. Мельникова //Сиб. мат. жури. -2001. -Т. 42, № 4. -С. 892-910.

88. Егоров И.Е. Неклассические дифференциально-операторныеуравнения/И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов — Новосибирск: Наука, 2000. —336 с.

89. Pyatkov S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G.Pyatkov -Utrecht; Boston: VSP, 2002.

90. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения/Х. Гаевский, К. Грегер, К. Захарис —М.: Мир, 1978.

91. Fattorini Н.О. Second Order Linear Differential Equations inBanach Spaces / H.O. Fattorini —Amsterdam: North-Holland, 1985. -314 p.

92. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A.Favini, A. Yagi —New York-Basel-Hong Kong: Marcel Dekker Inc., 1999.

93. Прилеико А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Прогноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I / А.И. Прилепко //Дифференц. уравнения -2005. -Т. 41, № 11. -С. 15601571.

94. Prilepko A.I. Methods for solving inverse problems inmathematical physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin —New York-Basel: Marcel Dekker inc., 2000. —709 p.

95. Завалищин C.T. Импульсные процессы: модели и приложенияC.T. Завалищин, А.Н. Сесекин —М.: Наука, 1991. —256 с.

96. Иванов В.К. Нелинейные операторы в свертках: обыкновенныедифференциальные уравнения / В.К. Иванов, В.В. Перми-нов —Свердловск: Изд-во Урал, ун-та, 1989. —148 с.

97. Русак Ю.Б. Некоторые соотношения между жордановыми наборами оператор-функций и сопряженной к ней /Ю.Б. Ру-сак//Изв.АН УзССР, Сер. физ.-мат. -1972. 2. -С. 1519.

98. Логинов Б.В. Обобщенная жорданова структура в теории ветвления / Б.В. Логинов, Ю.Б. Русак//Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и их приложения. —Ташкент: ФАН, 1978. —С. 133— 148.

99. Магницкий Н.А. Асимптотика решений интегралыюго уравнения Вольтерра 1 рода / Н.А. Магницкий //ДАН СССР — 1983. -Т. 269, № 1. -С. 29-32

100. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов — М.: Мир, 1968. -464 с.

101. Strodt W. Contributions to the asymptotic theory of ordinarydiffer, eq. / W. Strodt// Memoirs A.M.S., № 109. 1971.

102. Ахмедов K.T. Аналитический метод Некрасова-Назарова внелинейном анализе / К.Т. Ахмедов //УМН —1957. —Т. 12, № 4. -С. 135-155.

103. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка в банаховых пространствах/ Е.Ю. Гражданцева//Дис. к-та физ.-мат. наук: 01.01.02. Иркут. гос. ун-т. —Иркутск, 2005. 119 с.

104. Коробова О.В. Сингулярные системы дифференциальныхуравнений с нетеровым оператором при производной в банаховых пространствах / О.В. Коробова//Известия Иркутского госуниверситета. Серия «Математика» / Иркутск: Иркут. ун-т. -2007. -Т. 1. -С. 132-140.

105. Красник А.В. Обобщенные решения вырожденной задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения четвертого порядка / А.В. Красник//Известия Иркутского госуниверситета. Серия «Математика» / Иркутск: Иркут. ун-т. — 2007. -Т. 1. -С. 141-148.

106. Сидоров Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев //Дифференц. уравнения —1987. — Т. 23, № 4. -С. 726-728.

107. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев //Сиб. мат. журн. —2000. — Т. 41, № 5. -С. 1167-1182.

108. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis andApplications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 p.

109. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях спектральной ограниченности / М.В. Фалалеев, Е.Ю. Гражданцева //Дифференц. уравнения —2006. —Т. 42, N 6. —С. 769774.

110. Sidorov N.A. Generalized Solutions of Volterra Integral Equationsof the First Kind / N.A. Sidorov, M.V. Falaleev, D.N. Sidorov //Bull. Malays. Math. Sci. Soc. -2006. -Vol. 29, № 2. -P. 101109.

111. Фалалеев M.B. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в условиях секто-риалыюсти и радиальности/ М.В. Фалалеев//Изв. ВУЗов. Математика. -2006. —№ 10. -С. 68-75.

112. Фалалеев М.В. Фундаментальная оператор-функция вырожденного уравнения теплопроводности в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев //Докл. РАН —2007. —Т. 416, № 6. -С. 745-749.

113. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденного уравнениятеплопроводности в банаховых пространствах /М.В. Фалалеев //Дифференц. уравнения -2008. -Т. 44, N 8. С. 11201130.

114. Фалалеев М.В., Коробова О.В. Системы дифференциальныхуравнений с вырождением в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова //Сиб. мат. журн. —2008. — Т. 49, № 4. —С. 916-927.Публикации по теме диссертации, примыкающие косновным

115. Фалалеев М.В. Асимптотические представления непрерывныхи обобщенных решений интегрального уравнения Вольтерра 1 рода / М.В. Фалалеев// Иркутск: Иркутский госуниверситет, 1987. —Деп. в ВИНИТИ 26.12.86, №1553-В87. 44 с.

116. Сидоров Н.А. Обобщенные решения вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев//Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем: Сб. тр. — Новосибирск: Наука, 1988. -С. 308-318.

117. Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальныхуравнений с оператором конечного индекса при производной / М.В. Фалалеев//Методы оптимизации и их приложения: Сб. тр.— Иркутск: Сиб. энергетич. ин-т СО АН СССР, 1988. -С. 231-237.

118. Фалалеев М.В. Обобщенные решения некоторых классов вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев//Труды 11-ой межд. конф. но нелинейным колебаниям: Сб. тр. — Будапешт, 1988. —С. 271274.

119. Фалалеев М.В. Обобщенные решения вырожденных интегродифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев //Численные методы оптимизации и анализ: Сб. тр. Новосибирск: Наука, 1992. —С. 185-188.

120. Фалалеев М.В. Задача Коши для вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев// Вестник Челябинского университета / Челябинск: Челяб. ун-т. -1999. -Вып.№ 2. -С. 126-136.

121. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных и дифференциальноразностных операторов и теория полугрупп операторов с ядрами / М.В. Фалалеев// Вестник МаГУ. Математика. / Магнитогорск: МаГУ, -2005. -Вып.№ 8. -С. 139-148.

122. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка специального вида в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев// Вестник МаГУ. Математика. / Магнитогорск: МаГУ, -2006. -Вып.№ 9. -С. 104-112.

123. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции некоторых специальных классов вырожденных дифференциальных операторов с частными производными в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев// Труды СВМО. / Саранск. — 2006. -Т. 8, 2. -С. 187 -195.

124. Falaleev M.V. То analytic theory of systems of Voltcrra integralequations of the first kind / M.V. Falaleev//Inverse and ill-posed problems (IIPP-96): Abstracts of Intern. Conf. —M.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 1996. —С. 65

125. Falaleev M.V. Fundamental operator-function of singular integrodifferential operator in Banach spaces / M.V. Falaleev//Ill-Posed and Inverse Problem: Abstracts of Intern. Conf. — Novosibirsk: Sobolev Inst, of Math. SB RAN, 2002. —P. 55.

126. Фалалеев М.В. Системы интегральных уравнений Вольтерраэлементы аналитической теории) / М.В. Фалалеев// Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова: Тр. Междунар. конф. —Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2004. -С. 233-235.

127. Фалалеев М.В. / М.В. Фалалеев// Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий: Регион, конф. Тез. докл. -Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2004. -С. 41.

128. Фалалеев М.В. Обобщенные решения задачи Коши для вырожденного нестационарного дифференциального уравнения первого порядка в банаховых пространствах /М.В. Фалалеев/ / М.М.Лаврентьев-75, 2007. (электронный ресурс)