Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных операторов высокого порядка в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи'

Гражданцсва Елена Юрьевна

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОР-ФУНКЦИИ ВЫРОЖДЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ИРКУТСК —2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Института математики, экономики и информатики Иркутского государственного университета.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент Фапалеев Михаил Валентинович.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Челябинский государственный университет.

Защита состоится 27 декабря 2005 года в 9 ч. 00 мин. на заседании специализированного совета Д 003.021.01 в Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления СО РАН.

доктор физико-математических наук Чистяков Виктор Филимонович, кандидат физико-математических наук, доцент Захарова Ирина Валентиновна.

134.

Автореферат разослан «~< _ 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н.

Г. А. Опарин

<о

Актуальность

Многочисленные начальные и краевые задачи математической физики, моделирующие реальные физические процессы: фильтрации, термоконвекции, деформации механических систем, электротехники, волновые процессы в электромагнитных анизотропных средах (волны в плазме, волны в ферромагнетиках во внешнем магнитном поле), волновые процессы в проводящих средах без дисперсии, колебания стратифицированной жидкости (модели Корпусова - Плетнера - Свешникова, Баренблатт - Желтова - Кочиной, Ос-колкова, Лерея, Хоффа, Долезала, Буссинеска и др.), допускают редукцию к уравнениям, которые можно трактовать как дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной (в иной терминологии такие уравнения также называют уравнениями соболевского типа).

В настоящее время имеется огромное количество теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, неразрешенных относительно старшей производной.

К направлению исследований, которое можно охарактеризовать как решение задач для конкретных уравнений и систем математической физики, можно отнести результаты Гальперина С.А., Эскина Г.И., Врагова В.П., Зе-леняка Т.И., Глушко В.П. и их учеников.

Янушаускасом А.И. и его учениками хорошо развита теория эллиптических уравнений с вырождением, в том числе с малым параметром при старшей производной. В частности, И.В. Захаровой удалось реализовать метод построения асимптотических решений (известный как метод регуляризации) вырождающегося дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной.

К направлению, заключающемуся в изучении абстрактных уравнений и систем математической физики, где объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения, а конкретные начально-краевые задачи служат иллюстрациями полученных результатов, мо>

исследований Крейна С.Г., Далецкого Ю.Л., Треногина В.А., Сидорова Н.А., Свиридюка Г.А., Мельниковой И.В. и их учеников.

Кроме того, хорошо разработана теория и численные методы решения вырожденных систем дифференциальных уравнений в работах Бояринцева Ю.Е., Чистякова В.Ф., Булатова М.В. и др.

Как хорошо известно, задачи для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной разрешимы в классе непрерывных функций не при всех начальных данных и правых частях. Поэтому естественно возникает проблема построения обобщенных решений, которую в полном объеме удается разрешить при помощи введенной М.В. Фала-леевым конструкции фундаментальной оператор-функции соответствующих дифференциальным операторам исходных уравнений.

Это дает возможность отойти от прямого построения обобщенного решения и позволяет выписывать обобщенное решение в замкнутой форме. Кроме того, это дает возможность определять условия существования непрерывного решения исследуемой задачи, избегая непосредственного построения последнего.

Постановка задачи

Пусть Ех и Е2 - банаховы пространства.

1. Рассматривается задача о построении и связи непрерывного и обобщенного решений для задачи Коши вида

Вт = А1т + Л0х(1) + /{Г), х(0) = *0, х(0) = *„ (*)

где А о, А\, В - замкнутые линейные операторы, действующие из Е\ в Ег, ЖЩ = ЖЩША) = Еь ОД = Щ), оператор В является фредгольмовым,&тЛг(В) = сНт.А'{В*)=и<ао, .Д?) - достаточно гладкая, х0, хх е й{В).

2. Исследуются задачи о построении фундаментальных оператор-функций для ряда сингулярных дифференциальных операторов, а именно:

2.1. Для полного дифференциального оператора второго порядка

а) А0, Ах, В — замкнутые линейные операторы, действующие

из Е, в Е2, R(B) = R(B), £(В)с(Я(4)П£>(4>)). ЩВ) = D(Al)l)D(A0) = Elt dim N(B) = dim N(B*) = n<oo,

оператор В фредгольмов; б) Aq, Аь В — линейные непрерывные операторы, действующие из Е] в Е2, операторный пучок (Аи А0) полиномиально ограничен относительно оператора В, оператор В необратим.

2.2. Для дифференциально-разностного оператора высокого порядка

Я"

В-—А Д„, dt" "

где А, В — замкнутые линейные операторы, действующие из £, в Е2, D(B) = D(A) = EU D(B) с D(A), dimN(B) = n, A\mN(B*) = m, m*n, &ии(г) = u(t,x-fi)-u{t,x).

2.3. Для дифференциального оператора первого порядка с производными от функционалов вида

dt

dt

где

где А — замкнутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из Е} в Е2, а, е Е2, а, е Е', i = l,n.

Цель работы

Целью работы является построение обобщенного и непрерывного решений задачи Коши (*) и фундаментальной оператор-функции для каждого из рассматриваемых дифференциальных операторов и получение условий разрешимости соответствующих дифференциальных уравнений в классах непрерывных и обобщенных функций.

Методы исследования

При исследовании применялись идеи и техника, развитые H.A. Сидоровым при решении вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, М.В. Фалалеевым при построении фундаментальных оператор-функций. Также в работе использовались элементы теории псевдообратных операторов, теории М, N— функций (разработанной И.В. Мельниковой), теории полиномиально ограниченных операторов (Свиридюк Г.А., Замышляева A.A.) и сведения из функционального анализа.

Новизна полученных результатов

При исследовании построены фундаментальные оператор-функции для каждого из рассматриваемых дифференциальных операторов и найдены достаточные условия их существования. Полученные результаты проиллюстрированы на примерах.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертационного исследования носят как теоретический, так и практический характер.

К теоретической значимости можно отнести найденные фундаментальные оператор-функции и условия их существования в каждом из рассматриваемых случаев.

Практическая значимость заключается в возможности отойти от непосредственного прямого построения обобщенного решения и выписывать обобщенное решение в замкнутой форме. А также определять условия существования непрерывного решения исследуемой задачи, избегая непосредственного построения последнего, что показано на примере решения начально-краевой задачи для уравнения Буссинеска-Лява.

Апробация работы.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Второй Восточно-Сибирской межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания (Иркутск, 2003), на IV Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004), на конференции «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий» (Иркутск, 2003, 2004), на XIII Байкальской международной школе-семинаре (Северобайкальск, 2005), на конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005), на кафедральных семинарах под руководством проф. H.A. Сидорова.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приводится в конце автореферата. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 119 страниц. Библиография содержит 100 наименований российских и зарубежных авторов.

Содержание работы.

Введение содержит краткий обзор литературы по исследуемой проблеме, здесь обосновывается актуальность работы и новизна, а также кратко излагаются основные результаты работы.

В автореферате вся нумерация совпадает с нумерацией в диссертации. Первая глава носит реферативный характер.

Пункт 1.1 отражает основные понятия, относящиеся к обобщенным функциям и их свойствам. Также здесь введено определение фундаментальной оператор-фунции дифференциального оператора.

Определение 1.1.7. Фундаментальной оператор-функцией дифференциального оператора = > Ак—^ на классе К'(Я,Е2) обобщенных

*=0 &

функций называется такая оператор-функция Е{{), что \/и(1)еК'(Я,Е2) на основном пространстве К(Я,Е2) справедливо равенство

¿(¿(0) *Е(0*и(0 = «(0-

Здесь ¿(¿(/)) = Х

*=о

В пункте 1.2 содержатся некоторые сведения о жордановых наборах в различных условиях.

1) Пусть АХ,А0,В - замкнутые линейные операторы из Е1 в Е2, где

ЕЬЕ2 - банаховы пространства, такие, что й(В) - 0(А<)) Г) П{АХ )-Ех\ Щ = Д(В); О(В) с (В(Ац) ПЩА1));с15шЩВ) = с!ш1 N(8*) = я > 1; В-фредгольмов.

Условие А) / = 1 ,п\ - базис N(8), 7 = 1, и} - базис #(£*); существуют такие элементы (р^ = (рп е , ¿ = 1 ,и, к = \,р„ р2й... < р„, что справедливы соотношения

В(р{? = 0, В(р\2) = , Вд>1к) = + = =

{)4°:к1р".. г-

причем элементы (р^, к > р1 строятся формально следующим образом:

<р$к) = + А0<р(к~2]), где Г - оператор Шмидта.

Условие А) означает (как показали исследования Б.В. Логинова и Ю.Б Русака), что оператор В имеет полный биканонический А1, А^- жорданов набор.

2) Пусть А, В - замкнутые линейные операторы из Ех в Е2, Ех и Е2 -

банаховы пространства, D(B) = D(Ä) = El, D(B)œD(A), dim N(B) = n, dimN(B*) = m, т,пФ 0.

Условие В) Пусть \ppj = 1,и} - базис в N{B), = 1,т) - базис в N(B*), \fj,j = 1,|zj5î = 1,m} - биортогональные системы элементов из Е* и Е2, соответственно.

п m

Введем проекторы Р = ^(•.Ху)^ > Vs)zs и псевдообратный

j=\ а=1

оператор В+ :

D(B¥ ) = N(Q) © R(B), R(B+ ) = N(P) Ф D(B), ВВ+ =I-QmD(B+), В+В = 1 -Р на D(B). (1.2.1)

На основании исследований, которые провел M.Z. Nashed, фиксированным базисам I(pj\, VJ, IYj\, {zj соответствует единственный псевдообратный оператор В+, определяемый условиями (1.2.1). Кроме того, оператор В+ замкнут и для него справедливы следующие равенства: Ar(B+) = N(I-Q), В+ВВ+ =В+, ВВ+В = В. Условие С) Пусть существуют элементы \pf\j = 1>иД = \,Pj j, = \,п,к = \, ps}, такие, что

<pf = <p, B<pf = Aqff-X\ к = l,Pj , j = 1 ,n, = w, № = ¿Vf'" > k = s = Um,

A<P{}P,),WS)\ = ranÀUhA"^\pA\ = / = min(«, m),

rang

где 7=1,и, s = l,m.

Это означает, что оператор В имеет полный А - жорданов набор.

В пункте 1.3 представлены определения и свойства семейств M, N -функций, введенные И.В. Мельниковой, в удобных для нас обозначениях.

Пусть Е - банахово пространство, Ах и Ад - линейные коммутирующие операторы с D(A¡) = D(Aq) = Е.

Определение 1.3.1. Однопараметрическое семейство ограниченных коммутирующих операторов M(t), N{t) называется са - сильно непрерывным семейством M, N- функций, порожденных операторами А ! иАа, если

1. M(t + h) = M{t)M(h) + A0N(t)N(h);

N(t + h) = M{t)N{h) + M(h)N(t)+AlN(t)N(h) ,t,h> 0 ;

2. N(0) = 0, M(0) = I, и существуют N'(0) = I, M'(0) = 0 ;

3. Оператор - функции M(í), N(t) сильно непрерывны по / > 0 ;

4. Эк > 0, со 2. 0 :||М(0||, ¡N(t^\ <, к exp(cot),t> 0.

Пункт 1.4 содержит определения В - резольвентного множества пучка операторов АХ,А$,В резольвенты пучка операторов ^^.полиномиальной ограниченности пучка операторов A¡,Ag и следующие условия, введенные A.A. Замышляевой в удобных для нас обозначениях:

УсловиеD) = Q Уу = \реС\\ц\ = г>а}\

г

Условие Е) BR%(Al,A0)Al = A1R^(A¡,A0)B V//ерв(А1,А0), т.е. пара

ь

операторов В и Ах псевдокоммутируютотносительно RM(AU Ад).

Вторая глава посвящена исследованию задачи Коши для полного дифференциального уравнения второго порядка в случае вырожденности оператора, стоящего при старшей производной. Т.е. исследуется задача

Bx(t) = Л,*(Г) + V(0 + ДО. где *(0) = х0, х(0) = х,. (*) В пункте 2.1 представлены некоторые соотношения для присоединенных элементов Aj, Ад - жордановых наборов фредгольмова оператора В.

В пункте 2.2 проведено непосредственное построение обобщенного и непрерывного решений исследуемой задачи как распространение на этот класс задач методов, разработанных ранее H.A. Сидоровым, O.A. Романовой и М.В. Фалалеевым.

Теорема 2.2.1. Если выполняются условия А) и F), то задача Коши (*) имеет обобщенное решение, которое Может быть восстановлено по формулам

я РгЦ Рг3

x(t) = eoit) + u(t)0(t), W(t) = £ £ Z

;=I *=0\ J-k

-2-j)

5(k\t),

n P,

"(0) = *0 + £ ' =*1 + '

/=1 *=1 1=1 k=1

и

u(t) = «(0) + ¿(0 )i + Tv(0 + .

<=i

vw=E

chjl{t - s)Ai +-t=—1\ + Ag <p,^{s)ds +

o/=i

41

n P, Axr(t-s) r

2 .») + ^»-D + +

+ JIIc*«

0 (=1

4i

t AT^t-s)

+ e

J-

shjl(t-s)

V7

((4 + +Л0х0 + f{s))ds,

M*=1 o*=l

о

/ = 1,и, 7=1,И,

где С,к определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Теорема 2.2.2. Если выполняются условия А) и Р), и начальные условия и функция /(Г) таковы, что /г^'(0) = 0, ] = 1,и, г = 1,ру, то обобщенное

решение задачи Коши (*) оказывается классическим (то есть непрерывным).

Здесь условие Р) означает, что операторы Л^Г, А}Г коммутируют, где Г - оператор Шмидта.

Однако если условие достаточной гладкости нарушается каким-нибудь образом, то подобная процедура восстановления решения порой просто невозможна. Но эту проблему, как отмечено было ранее, можно разрешить при помощи фундаментальной оператор-функции соответствующего задаче дифференциального оператора.

В третьей главе проведено исследование полного дифференциального

а1 а

оператора второго порядка В—г-- А,--А, где В, А,, А, - замкнутые ли-

¿г А

нейные операторы, действующие из банахова пространства Е, в банахово пространство Е2, оператор В фредгольмов.

В пункте 3.1 построена фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в условиях коммутирования, а именно: 1) в терминах М, N - функций, когда операторы АхГ, Г являются производящими операторами семейства М^- функций.

Теорема 3.1.2. Если выполнены условия А), Р), в), то дифференциаль-й2 (1

ный оператор В—=-Ах--имеет фундаментальную оператор-функцию

А Л

+1)(0) + СЛР] +1_г] = 0, у -1 л г = \р,

'Г

£(0 = ГЛГ(гЖ0(И(0<9(0+Щ 0)

/ « А

>=1 у=1

где - резольвентаядра

1=1

Условие Б) Операторы /^Г и коммутируют.

Условие в) Операторы /^Г и Л|Г являются производящими операторами со - сильно непрерывного семейства функций.

2) Когда операторное уравнение X2 - АхТХ - А^Г = 0 имеет пару решений Х| и Х2, таких, что существует оператор V = {Х\ - Х2 )-1, здесь Г - оператор Шмидта для оператора В.

Теорема 3.13. Если выполнены условия А), Н), оператор В фредголь-

с12 (1

мов, то вырожденный дифференциальный оператор В—--А имеет

Ж Л

фундаментальную оператор-функцию вида

п Р/

£(0 = г<У(*) * и(1)Ув(0 * (Л(о+щ)) ■'

/ад-! Е у««

(=1 А=0 п

где Л(0 —сверточная резольвента ядра (¿¡и^'^фУв^).

1=1

Условие Н) операторное уравнение Х~ - АхГХ - А$Г = 0 имеет пару решений Хх, Х2, таких, что X, + Х2 = Л,Г, ХхХ2 = =А0Г, V = (Хх -Х2)'\

Пункт 3.2 посвящен построению фундаментальной оператор-функции полного дифференциального оператора второго порядка в условиях полиномиальной ограниченности пучка операторов Ах, А0.

Теорема 3.2.1. Если операторный пучок (Ах, Лд) полиномиально ограничен относительно оператора В, выполнены условия Б), Е), то дифферен-

циальный оператор В—^ -Ах--имеет на классе К'(Я,Ег) фундамен-

Л Л

тальнуго оператор-функцию вида

=ммв^вт-¿^(ЛогЧ'-е)^«,

д=0

где = Щ0) = 0, N'(0) = Р, = =

2 Я1 *

Г

Здесь же построено обобщенное решение задачи Коши (*) и определены условия существования непрерывного решения этой задачи.

В четвертой главе исследуется дифференциально-разностный опера-

дг

тор высокого порядка 1(ДД^) = В--ААМ, где В, А - замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Е{ в банахово пространство Е2, х) = , х - /и) - х).

В пункте 4.1 приведены некоторые свойства А - жорданова набора оператора В и специальных операторных функций, облегчающие в дальнейшем изложение сути проведенных исследований.

В пункте 4.2. представлены основные результаты исследования дифференциально-разностного оператора высокого порядка, т.е. построена фундаментальная оператор-функция этого оператора при условии фредгольмово-сти оператора В.

Теорема 4.2.1. Если А, В - замкнутые линейные операторы из Е1 в Е2, и Е2 - банаховы пространства, ЩВ) = 0(А) = Е1, й(В)с:0(А), ЩВ) = Я(В), В - фредгольмов оператор и имеет полный А - жорданов набор элементов \р]к\ / = 1,и, £ = 1,р7), то дифференциально-разностный оператор

дг

1(ДДр) = 5—-~ААМ имеет на классе К'(Я,Е2) фундаментальную опера-&

1=0 +1> 1>- Л=0

/ - -1

*

тор-функцию вида

^ -'-1 ¿ар, -о) - 1ц

1=0 /=0 '

где ,] =\,п,к = является А* - жордановым набором оператора В*, Г - оператор Шмидта.

Также здесь показано, что данная теорема имеет обобщение на случай нетеровости оператора В (теоремы 4.2.2,4.2.3).

Пятая глава посвящена дифференциальному оператору первого порядка с производной от функционалов —( •!а1 А, где А - замкну-

^ ¡=1

тый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства в банахово пространство Е2, а, еЕ2, а, е Е*, г' = 1,и. В этой главе, используя операторные записи систем уравнений, построены фундаментальные оператор-функции названного оператора. В пункте 5.1 в случае непрерывной обратимости оператора А: Теорема 5.1.1. Если оператор А непрерывно обратим, оператор В имеет полный I - жорданов набор элементов / = 1, л, у = 1 ,р,), то дифференциальный оператор — V ( )а,-А имеет фундаментальную опе-

АЫ1

ратор-функцию вида

3,(0 = с^а.-Щ),

1=1

где с, (0 - элементы обобщенной вектор-функции с(0 = £^(0*£(0; С/,(0 = Гехр(П)(/-00(0-X X X ( )3(к\1)\ Г -опера-

тор Шмидта для В; ё = 2 £ ( / = й у =

¿=1 у=1

- жорданов набор оператора В*; <?(г) — дельта-функция Дирака. В пункте 5.2 в случае фредгольмовости оператора А: Теорема 5.2.1, Если оператор А фредгольмовский, оператор Е имеет полный £-жорданов набор |ер\ г = 1,пЕ, ] = 1,р,\, то оператор

( •,«, -имеет фундаментальную оператор-функцию вида

ш

/=1

+2/. О»,

-1*5(0,

Ч*=1 1=1

где Г^ - оператор Шмидта для А; £*(0> с,(Г), Л = / = 1,л, - элементы обобщенной вектор-функции

Г£ехр(ЛуХ/-£?ЖО-

/=1 *=0 У=1

ЁР1

У7 ( «.е*^ ^е^'+1-у); 1=1 >=1

г = 1,иЕ, у = 1,/7,} является - жордановым набором оператора £*.

В пункте 5.3 в случае нетеровосга оператора А:

Теорема 5.3.1. (положительный индекс) Если оператор А нетеров, оператор Ь имеет полный Г-жорданов набор |е,(у), г' = 1,й, 7 = 1

I | _■ ^ г» ^

к = 1,д, 7=1 ,рк1и И > д, то оператор -V ' *,а, а,-А имеет фун-

nt ™

даментальную оператор-функцию вида

З3(0 = А+

г» и г»

т

*=1

I./=1 /=1 ш

где с,(0» г' = 1.«> * = - элементы обобщенной вектор-функции

(с(0,#(0). которая восстанавливается по формуле №

т)

Гехр(7Х+/)(/-еЖ0-

1=1

'КО]

А л

1+ — псевдообратный для оператора I; 2 = ^ ^ { )7,е,(А+1~у),

1=1 7=1

{е*^, i-q + \,h, у = 1,р,} — произвольные функционалы.

Теорема 5.3.2. (отрицательный индекс) Если оператор А нетеров, оператор I имеет полный Г-жорданов набор г = 1,А, 7 = 1 ,р,\,

. _ _. д я ^

к = 1,д, 7=1,л) и Н <д, то оператор ^ •,а1 А имеет фун-

<=1

даментальную оператор-функцию вида

я и т

4=1

1=1 Лт=1

где с,(г), г' = 1,и, & = \,т - элементы обобщенной вектор-функции

(<?(/),!(/)), которая восстанавливается по формуле

¿+ехР(гго(/-ежо-

гад]

-t I t

,=i *= о y=i

-SS'

А А

Z,+ - псевдообратный для оператора L; 0 = ^ ^ ( )Te\Pt*x~]^

/=1

и для е„, v = /г +1, q, на классе обобщенных функций u(t) е K'(R+, )

выполняются условия f h

( .,е* )-£ ( Те<*К< ){ *,ek } S(t)*{exp(TL+t)m)*u(t) = 0

*=1

Vv=h + l,q.

Каждая глава сопровождается примерами.

Результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Для задачи Коши (*) построены обобщенное и непрерывное решения при помощи методов, разработанных ранее H.A. Сидоровым, O.A. Романовой и М.В. Фалалеевым.

2. Для полного дифференциального оператора второго порядка с фред-гольмовым оператором при старшей производной построены фундаментальные оператор-функции и получены условия их существования

а) в терминах М, N - функций,

б) в случае разрешимости соответствующего операторного квадратного уравнения,

в) в условиях спектральной ограниченности.

3. Построены фундаментальные оператор-функции для дифференциально-разностного оператора высокого порядка как с фредгольмовым, так и с нетеровым оператором при производной.

4. Найдены фундаментальные оператор-функции для дифференциального оператора с производными от функционалов в случаях обратимости, фредгольмовости и нетеровости свободного оператора.

Результаты исследования проиллюстрированы на конкретных начальных и начально-краевых задачах, в том числе рассмотрена начально-краевая задача для уравнения Буссинеска - Лява.

Список публикаций по теме диссертации.

1. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция полного вырожденного дифференциального оператора второго порядка в банаховых пространствах в условиях псевдокоммутирования // Труды Второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе. — Иркутск: Изд-во Иркут. гос. пед. ун-та. 2003. С. 21 — 25.

2. Гражданцева Е.Ю. Задача Кошидля полного вырожденного сингулярного дифференциального уравнения второго порядка в условиях псевдокоммутирования // Функциональный анализ и математическое моделирование: сборник статей. — Благовещенск: Амурский гос. ун-т. 2003. С. 7—13.

3. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция неполного вырожденного дифференциально-разностного оператора в банаховых пространствах // Вестник Бурятского ун-та. Серия 13: Математика и информатика, Вып. 1. — Улан-Удэ: Изд-во Бурятского ун-та. 2004. С. 13—25.

4. Гражданцева Е.Ю. Обобщенное решение сингулярного дифференциально-разностного уравнения второго порядка в банаховых пространствах // Вестник КраснГУ 2004'3. Физико-математические науки — Красноярск: ИЦ Краен ГУ. 2004. С. 23 — 29.

5. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка в банаховых пространствах // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Сб. науч. тр. — Иркутск: Изд-во БГУЭП. 2004. С. 183 — 189.

6. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция обобщенного дифференциального оператора с производными от функционалов // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Сб. науч. тр. — Иркутск: Изд-во БГУЭП. 2005. С. 211 — 217.

7. Фалалеев М.В., Гражданцева Е.Ю. Фундаментальные оператор-функции вырожденных дифференциальных и дифференциально-разностных операторов с нетеровым оператором в главной части в банаховых пространствах // СМЖ. 2005. Т. 46. № 6. С. 1393 - 1403.

8. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция вырожденного диффербнциально-разностного оператора второго порядка в банаховых пространствах // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск. 2003. С. 39 — 42.

9. Гражданцева Е.Ю. Обобщенное решение сингулярного дифференциально-разностного уравнения второго порядка в банаховых пространствах // III Всесибирский конгресс женщин-математиков, 15-18 января 2004. — Красноярск. С 9 —10.

10. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора с функционалами // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск. 2004. С. 19.

11. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция вырожденного сингулярного полного дифференциального оператора второго порядка в банаховых пространствах // Труды XIII Байкальской международной школы-семинара. Том 3. Обратные и некорректные задачи прикладной математики. — Иркутск: ИСЭМ СО РАН. 2005. С. 112 — 117.

12. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция полного сингулярного дифференциального оператора второго порядка в условиях спектральной ограниченности // Вестник МаГУ. Математика. - Магнитогорск: МаГУ. 2005. Вып. 8. С. 66 - 73.

Подписано в печать 18 11.05. Формат 60x84 1/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 120.

РЕДАКЦИОННО-ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ОТДЕЛ Иркутского государственного университета 664003, Иркутск, бульвар Гагарина, 36; тел. (3952) 24-14-36

*

A

) /9 /п /9 уул РНБ Русский фонд

2007-4 1161

* -г

а ' л

2 л •

<( » 1

29 т т:

Введение.

ГЛАВА 1. Основные понятия и определения.

1.1. Обобщенные функции в банаховом пространстве.

1.2. Сведения о жордановых наборах.

1.3. Определение и свойства семейства М, N— функций.

1.4. Полиномиально ограниченные пучки операторов.

ГЛАВА 2. Обобщенное решение полного дифференциального уравнения второго порядка.

2.1. Некоторые свойства A{,Aq — присоединенных элементов.

2.2. Построение непрерывного и обобщенного решений.

ГЛАВА 3. Фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в банаховых пространствах.

3.1. Фундаментальная оператор-функция в условиях коммутирования.

3.2. Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности.

ГЛАВА 4. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка в банаховых пространствах.

4.1. Вспомогательные результаты (сведения).

4.2. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка.

ГЛАВА 5. Фундаментальная оператор-функция дифференциального операторы с производной от 97 функционалов.

5.1. Фундаментальная оператор-функция в случае непрерывной обратимости.

5.2. Фундаментальная оператор-функция в случае фредгольмовости.

5.3. Фундаментальная оператор-функция в случае нетеровости.

В приложениях возникают начально-краевые задачи, которые можно трактовать как дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной (в иной терминологии такие уравнения также называют уравнениями соболевского типа). Возрастание интереса к уравнениям, неразрешенным относительно старшей производной, обусловлено необходимостью решения важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, теории электрических цепей, динамике колебаний стратифицированной жидкости, теории флаттера, теории ползучести металлов, теории фильтрации жидкости и многих других, а также естественным стремлением к изучению новых математических объектов.

В настоящее время имеется огромное количество теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, неразрешенных относительно старшей производной.

В связи с этим можно выделить два направления исследований: решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем математической физики [62, 85 - 87,] и изучение абстрактных уравнений и систем математической физики [22, 39, 65, 66, 77, 78,79,].

К первому направлению следует отнести работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы [26]. К этому разделу можно отнести результаты С.А. Гальперина, А.Г. Костюченко и Г.И.Эскина, В.Н. Вра-гова, А.И.Кожанова, В.П. Глушко и многие подобные. А.И. Янушаускасом и его учениками хорошо развита аналитическая теория эллиптических уравнений с вырождением [45 — 48].

Ко второму направлению относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения, а конкретные начально-краевые задачи служат иллюстративными примерами полученных общих абстрактных результатов.

Различные методы исследования и построения непрерывных решений дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах разрабатывались С.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким [21, 22], В.А. Трено-гиным, Б.В. Логиновым [24, 25, 26 — 30, 79,], Н.А. Сидоровым [31 — 39], О.А. Романовой [10, 40 — 42], B.C. Шароглазовым [43, 44].

В этих работах применялись такие методы, как метод эволюционного (разрешающего) оператора, метод сведения исходного уравнения к уравнению с особой точкой с использованием жордановых структур, метод дифференциального уравнения разветвления, метод мажорант и аналитические методы теории дифференциальных уравнений.

И.В. Мельниковой и ее учениками [63, 64 — 69] предложен подход исследования задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, основанный на разработанной ими теории М, N — функций, обобщающей теорию косинус, синус — функций.

В работах Р.А. Александряна [72] и Т.И. Зеленяка [61, 62] и их учеников исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, возникающих в уравнениях соболевского типа.

Г.А. Свиридюком [70, 71] введено понятие фазового пространства дифференциального уравнения как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши исследуемого уравнения.

Первым абстрактные операторные дифференциальные уравнения в их связи с уравнениями в частных производных встречаются у R.E. Showalter [88].

Хорошо разработаны теория и численные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в работах

Ю.Е. Бояринцева, А.В. Булатова, В.Ф. Чистякова, R. Marz, М.Р. Drasin [50 — 52, 80 — 83].

В большой части работ, посвященных теории краевых задач для дифференциальных уравнений рассматривался случай, когда оператор при старшей производной невырожден. Если условие невырожденности нарушается, то необходимы дополнительные требования на данные задачи. Подобного рода требования естественным образом сужают возможности применения полученных результатов. Поэтому представляется интересным строить обобщенные решения, для которых нет необходимости в дополнительных условиях.

Соответствующая теория, касающаяся обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построена С.Т. Завалищиным, В.И.Шариным, Ф.З. Рафиковым [49].

Обобщенные решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений или уравнений специального вида строились в работах И.М. Карасева [53], И.П. Лесковского [54, 55], Р.М.Малаховской [56, 57], И.Я. Винера [58], Ф.С. Алиева [59] и других.

Н.А. Сидоров, О.А. Романова, М.В. Фалалеев исследовали некоторые классы дифференциальных уравнений с вырождением на предмет существования и построения непрерывных и обобщенных решений [3, 4, 10, 14, 15, 33 — 35, 40 — 42], широко используя при этом теорию псевдообратных операторов и теорию ветвления.

Однако непосредственно построение обобщенного (и непрерывного в том числе) решения сопровождается очень громоздкими и достаточно неудобными выкладками, что в свою очередь затрудняет поиск решения.

М.В.Фалалеев ввел понятие фундаментальной оператор-функции как расширение понятия фундаментального решения дифференциального (интегрального и интегро-дифференциального) оператора на банаховы пространства. Это дает возможность отойти от прямого построения обобщенного решения, получая его как свертку фундаментальной оператор-функции с источником (правой частью уравнения — свободной функцией). Знание фундаментальной оператор-функции позволяет в замкнутой форме выписывать обобщенные решения и определять условия существования непрерывного решения исследуемой задачи, избегая непосредственного построения последнего.

НОВИЗНА РАБОТЫ

В работе исследуется полный дифференциальный оператор второго порядка с фредгольмовым оператором при старшей производной. Для этого оператора, используя различные подходы, построена фундаментальная оператор-функция.

Построены фундаментальная оператор-функция для неполного дифференциально-разностного оператора высокого порядка и фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора первого порядка с производными от функционалов в различных случаях.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

При исследовании применялись идеи и техника, развитые Н.А.Сидоровым при решении вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [10, 31, 54 — 57], М.В.Фалалеевым при построении фундаментальной оператор-функции [3,4]. Также в работе использовались элементы теории псевдообратных операторов, теория М, N — функций [12], теория полиномиально ограниченных пучков операторов [13] и сведения из функционального анализа.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Кроме введения диссертация содержит пять глав и список литературы.

Первая глава носит реферативный характер. В ней вводятся основные понятия обобщенных функций в банаховых пространствах, фундаментальной оператор-функции дифференциальных операторов и приведены основные правила действия с ними [1, 2, 4].

Также здесь представлены некоторые сведения о жордановых наборах операторов [4 — 11], о М, N— функциях [12], о полиномиально ограниченных пучках операторов [13].

Вторая глава посвящена исследованию задачи Коши для полного дифференциального уравнения второго порядка в случае вырожденности оператора, стоящего при старшей производной. Т.е. исследуется задача

Bx(t) = Axx(t) + A0x(t) + f(t), где x(0) = x0, x(0) = ^. (* *)

В п. 2.1 представлены некоторые соотношения для присоединенных элементов Ах, Aq — жордановых наборов фредгольмова оператора В.

В п.2.2 проведено непосредственное построение обобщенного и непрерывного решений исследуемой задачи (теоремы 2.2.1, 2.2.2) как распространение на этот класс задач методов, апробированных ранее в [10, 14,15].

В третьей главе проведено исследование полного дифференциального оператора второго порядка В -А1 — -А0, где В, Ах, Aq - замкнутые dt dt линейные операторы, действующие из банахова пространства Ех в банахово пространство Е2, оператор В фредгольмов.

В пункте 3.1 построена фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в условиях коммутирования, а именно: 1) в терминах М, N - функций [12], когда операторы ^Г, AqT являются производящими операторами семейства М, N — функций (теорема 3.1.2); 2) когда операторное уравнение X - АхГХ - А0Г = 0 имеет пару решений Х\ иХ2 [18] таких, что существует оператор V = {Хх - Х2)~1, здесь Г — оператор Шмидта для оператора В (теорема 3.1.4).

П. 3.2 посвящен построению фундаментальной оператор-функции полного дифференциального оператора второго порядка в условиях полиномиальной ограниченности пучка операторов А1, А0 [13] (теоремаЗ.2.1).

Здесь же построено обобщенное решение задачи Коши (**) и определены условия существования непрерывного решения этой задачи.

В четвертой главе исследуется дифференциально-разностный операдг тор высокого порядка L(D,AM) = В-^-Ак^, где В, А -замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Ех в банахово пространство Е2, AMu(t,x) = u(t,x-ju)-u(t,x).

В п. 4.1 приведены некоторые свойства А — жорданова набора оператора В и специальных операторных функций, облегчающие в дальнейшем изложение сути проведенных исследований.

В п. 4.2. представлены основные результаты исследования дифференциально-разностного оператора высокого порядка, т.е. построена фундаментальная оператор-функция этого оператора при условии как фред-гольмовости, так и нетеровости оператора В (теоремы 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3).

Пятая глава посвящена дифференциальному оператору первого поd -у", рядка с производной от функционалов: —V' ( •,ai )ai - А, где А — замкdt r-f ' 1 нутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства Ех в банахово пространство Е2, at е Е2, oci е , = 1, п. В этой главе, используя операторные записи систем уравнений построены фундаментальные оператор-функции названного оператора: в пункте 5.1 — в случае непрерывной обратимости оператора Л (теорема 5.1.1); в пункте 5.2 — в случае фредгольмовости оператора А (теорема

5.2.1); в пункте 5.3 — в случае нетеровости оператора А (теоремы 5.3.1,

5.3.2).

Каждая глава сопровождается примерами.

АПРОБАЦИЯ

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на: Второй восточно-сибирской межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания (Иркутск, 2003) [89], Ш-м Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004) [97], конференции «Ляпунов-ские чтения и презентации информационных технологий» (Иркутск, 2003, 2004) [96, 98], ХШ-ой Байкальской международной школе - семинаре (Се-веробайкальск, 2005) [99], конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005) и опубликованы, помимо материалов конференций, в [90 — 95, 100]. В совместных с М.В. Фалалеевым работах руководителю принадлежит постановка задачи, а все необходимые исследования проведены диссертанткой в полном объеме самостоятельно.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю доценту М.В.Фалалееву за постановку задач, постоянное внимание и чуткое руководство; Н.А. Сидорову за отзывчивость и полезные замечания и советы; коллективу кафедры математического анализа ИМЭИ ИГУ за конструктивные дискуссии; своему мужу Вячеславу Викторовичу за заботу и поддержку.

1. Владимиров B.C. уравнения математической физики. — М.: Наука, 1981. —512 с.

2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спец. курс. —2-е пере-раб. изд. — М.: Изд-во МГУ, 1984. — 208 с.

3. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах // СМЖ. 2000. Т. 41, № 5. С. 1167 — 1182.

4. Sidorov N., Loginov В., Sinitsin A., Falaleev М. Lypunov-Schmidt Method in Nonlinear Analysis and Application. Kluwer Academic Publishers, 2002. - 566p.

5. Вайнберг M.M. Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука. 1969. —528 с.

6. Логинов Б.В., Русак Ю.Б. Обобщенные жордановы структуры в теории ветвления // Прямые и обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных. Ташкент. ФАН. 1978. С. 133 — 148.

7. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1981. — 512с.

8. Nashed M.Z. Generalized Inverses and Application. Academ. Press/ NewJork. 1976.

9. Русак Ю.Б. Жорданова структура линейных нетеровских оператор-функций. // Дифференц. уравнения и их приложения. — Ташкент. ФАН. 1979. С. 130—138.

10. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1516 — 1526.

11. Сидоров Н.А., Романова О.А., Благодатская Е.Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части. — Иркутск. 1992. (Препринт / ИрВЦ СО РАН) 29с.

12. Иванов В.К., Мельникова И. В., Филинков А.И., Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. — М.: Наука, 1995. 176с.

13. Замышляева А.А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Челябинск, 2003. — 101 с.

14. СидоровН.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 4. С. 726 — 728.

15. Фалалеев М.В. Непрерывные и обобщенные решения одного класса линейных дифференциальных уравнений второго порядка с вырождением в банаховых пространствах // Краевые задачи. Иркутск: Ир-кут. гос. ун-т. 1990.

16. Fatorini Н.О. Second order differential equation in Banach space. Amsterdam e.a.:N. -Holl. 1985. - IX. - 314 p.

17. Фалалеев М.В. Обобщенные функции и действия над ними: Учеб. пособие. — Иркутск: Иркут. гос. ун-т. 1996. — 81 с.

18. Jodar L. Boundary Value Problems for Order Operator Differential Equations. Linear Algebra Appl. - 1986. N 83. P. 29 -38.

19. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их применения. — Киев: Выща шк. 1989.

20. Фалалеев М.В. Элементы теории обобщенных решений некоторых классов вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах. Дисс. на соискание степени кандидата физ.-мат. наук. — Иркутск. 1988. — 172 с.

21. Далецкий Ю.Л., Крейн Ю.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука. 1970. — 536 с.

22. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука. 1967. — 275 с.

23. Логинов Б.В. О ветвлении решений задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, №9. С. 1709—1712.

24. Логинов Б.В. Об инвариантных решениях в теории ветвления. // ДАН СССР. Т. 246, № 5. С. 1048 — 1051.

25. Логинов Б.В., Поспеев В.Е., Рахматова Р.Х. Об аналитических решениях системы уравнений Эйлера бесконечного порядка и их применении в теории ветвления. // Краевые задачи для дифференциальных уравнений, № 5. Ташкент. ФАН. 1975. С. 114-119.

26. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Устойчивость разветвляющихся решений бифуркации Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной. // Тр. Средневолж. мат. о-ва. 2004. Т.6, № 1. С. 82 — 95.

27. Логинов Б.В., Коноплева Н.В. Применение косимметрического тождества для построения уравнения разветвления потенциального типа по допускаемой группе симметрий. // Вестник УлГТУ. 2003, № 3 — 4. С. 17—19.

28. Логинов Б.В. Приложения бифуркационных задач с нарушениями симметрии. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит. 2003. С. 120 — 144.

29. Логинов Б.В., Треногин В.А. Групповые методы в теории ветвления. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Физматлит. 2003. С. 89 —119.

30. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Устойчивость периодических решений дифференциальных уравнений с вырожденным оператором при старшей производной. // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. 2003, № 22. С. 148— 156.

31. Сидоров Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией. // Матеатич. заметки. 1984. Т. 35, № 4. С. 569 —578.

32. Сидоров Н.А. О ветвлении решений дифференциальных уравнений с вырождением. // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 8. С. 1464 — 1481.

33. Сидоров Н.А. Задача Коши для одного класса дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 8. С. 1521 —1524.

34. Сидоров Н.А. Исследование линейных дифференциальных уравнений с постоянными операторами в вырожденном случае. // Дифференц. и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т1975, вып. З.С. 178-182.

35. Сидоров Н.А. О регуляризации линейных дифференциальных уравнений с постоянными операторами в вырожденном случае. // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 3. С. 556 — 560.

36. Сидоров Н.А., Треногин В.А. Об одном подходе к проблеме регуляризации на основе возмущения линейных операторов. // Математич. заметки. 1976. Т. 20, № 5. С. 747 —752.

37. Сидоров Н.А., Абдулин В.Р. Сплетаемые операторы а теории ветвления. // Труды конференции. Секц. 4. Обратные и некорректные задачи прикладной математики. Иркутск: изд-во ИСЭМ СО РАН. 2001. С. 143 —147.

38. Сидоров Н.А., Треногин В.А. Точки бифуркации решений нелинейных уравнений. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения М.: Физматлит. 2003. С. 5 — 49.

39. Сидоров Н.А., Синицын А.В. Стационарная система Власова-Максвелла в ограниченных областях. // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения М.: Физматлит. 2003. С. 50 — 58.

40. Сидоров Н.А., Романова О.А. Теоремы существования для дифференциальных уравнений с вырождением и разрывной правой частью. // Дискретные и распределенные системы. Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та. 1981. С. 78 — 89.

41. Романова О.А. Обо дном классе дифференциальных уравнений с производными от функционала. // Приближенные методы решения операторных уравнений и их применения. Иркутск: Изд-во Сибирского энергетического ин-та. 1982. С. 108 -120.

42. Романова О.А. О решении нелинейных дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. //Дифференц. и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. ун-т. 1980. С. 126 — 135.

43. Шароглазов B.C. К решению краевой задачи для одного класса ин-тегро-дифференциальных уравнений в вырожденном случае. // Дифференц. и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. ун-т. 1979, вып. 6. С. 689 — 699.

44. Шароглазов B.C. Об одной системе операторных уравнений. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1990. С. 62 — 69.

45. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений. Новосибирск. Наука. 1979. — 190 с.

46. Захарова И.В. Об одной задаче для уравнения эллиптического типа с постоянными коэффициентами, содержащего малый параметр в главной части. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1997. С. 15—19.

47. Захарова И.В. Применение метода регуляризации при решении некоторых задач для вырождающихся дифференциальных уравнений смалым параметром при старшей производной. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1997. С. 20 — 24.

48. Головко Е.А. О задаче Дирихле для одной эллиптической системы в полупространстве. // Краевые задачи: Сб. науч. тр. — Иркутск: Иркут. ун-т. 1997. С. 9 — 14.

49. Завалищин С.Т., Шарин В.И. Об одной конструкции умножения обобщенных функций и ее приложении к сингулярным дифференциальным уравнениям. // Обобщенные функции и векторные меры. Свердловск. 1979. С. 20 —32.

50. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1988. — 160 с.

51. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1980. —222 с.

52. Бояринцев Ю.Е., Орлова Н.В. Блочные алгебро-дифференциальные системы и их индексы. // Изв. вузов. Мат. 2004. С. 6 —13.

53. Карасев И.М. Дифференциальные уравнения с обобщенным оператором Чебышева в К. // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 2. С. 375 —376.

54. Лесковский И.П. О некоторых сингулярных краевых задачах для уравнения класса Фукса в пространстве обобщенных функций. // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, № 1. С. 123—129.

55. Лесковский И.П. О фундаментальной системе решений уравнениякласса Фукса в пространстве К . // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, №2. С. 377—380.

56. Малаховская P.M. Об обобщенных операторных функциях. // Вопросы математики. Науч. тр. / Томский ун-т. 1967. Т. 198, вып. 2. С. 34 — 41.

57. Малаховская P.M. Применение теории обобщенных функций к решению уравнения теплопроводности. // Уч. зап. Томского ун-та. 1960, №36. С 13—18.

58. Винер И.Я. Решение линейных систем в обобщенных функциях. // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 6. С. 1128 — 1130.

59. Алиев Ф.С. О решениях некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве обобщенных функций. // Вестник МГУ. серия 1, матем., механ. 1973., № 5. С 3 -10.

60. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. М.: Мир. 1986 -88.

61. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ. 1965.

62. Зеленяк Т.И., Белоусов B.C. Качественные свойства одной математической модели вращающейся жидкости. // Сиб. ж. индустр. мат. 2002. Т. 5, №4. С. 3—13.

63. Мельникова И.В. Филинков А.И. интегрированное семейство М, N — функций. // ДАН. 1993. Т. 46, № 2. С. 214 —219.

64. Мельникова И.В. Вырожденная задача Коши в банаховых пространствах. // Изв. УрГУ. Матем. и мех. 1998. Т. 3, № 1. С. 147 —160.

65. Мельникова И.В. Слабо некорректные дифференциальные задачи: Тезисы докладов. М.: МАКС Пресс. 2003. С. 45.

66. Мельникова И.В. Общий подход к проблеме регуляризации некорректных дифференциальных задач. // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Екатеринбург: Изд-во УрГУ. 2004. С. 200 —201.

67. Мельникова И.В. Полугрупповая регуляризация дифференциальных задач. Докл. АН РАН. 2003. 393, № 6. С. 744 — 748.

68. Мельникова И.В. Корректность задачи Коши для включения. // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 10. С. 1430 —1433.

69. Ануфриева У.А Вырожденная задача Коши для уравнения второго порядка. Критерий корректности. // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, №8. С.1131 —1133.

70. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. — Utrecht Boston - Koln -Tokyo: VSP. 2003.

71. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов. // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, № 4. С 47 -74.

72. Александрян Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева. //Тр.ММО. 1960. Т. 9. С. 455 —505.

73. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, неразрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга. 1998.

74. Габов С.А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: наука. 1986.

75. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука. 1989.

76. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой жидкости. М.: Наука. 1970.

77. Вишик М.И. Задача коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения. // Матем. сб. 1956. Т. 38, № 1.С. 51—148.

78. Вишик М.И., Чепыжов В.В. Траекторный и глобальный атракторы 3D системы Навье-Стокса. // Мат. заметки. 2002. Т. 71, № 2. С. 194 — 213.

79. Треногин В.А. О разрешимости операторно-функциональных уравнений с инволюциями. // Математические методы и приложения. М.: Изд-во МСГУ. 2003. С 118 —122.

80. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем. // Дифференц. Уравнения. 2004. Т. 40, № 1.С. 47—57.

81. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. // Уссур. Астрофиз. обсерв. Новосибирск: Наука. 2003. — 319с.

82. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Управляемость линейных алгебро-дифференциальных систем. // Автомат, и телемех. 2002, № 3. С. 62 — 75.

83. Булатов А.В., Бобылев Н.А., Кузнецов Ю.О. Аппроксимационная схема введения индекса Конли изолированных критических точек. // Дифференц. уравнения. 2004. Т.40, № 11. С. 1462 — 1467.

84. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.

85. Leis R. Начально-краевая задача теории упругости для сред с кубической симметрией. // Bonn. math. Schr. 1993. № 239. p. 11 —20.

86. Vadiaa А. Собственные колебания плоского маятника с полостью, заполненной системой несмешивающихся вязких жидкостей. // Spectral and evol. Probl.: CROMSH-IV/ Simferopol. 1995. P. 83 — 85.

87. Vadiaa A., Kopachevski N.D. Малые колебания плоского маятника с полстью, частично заполненной идеальной капиллярной жидкостью. // Spectral and evol. Probl.: CROMSH-IV/ Simferopol. 1995. P. 98 102.

88. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev Galperin type. // Pacific J. Math. 1963. V. 31, N 3. 787 - 793.

89. Гражданцева Е.Ю. Обобщенное решение сингулярного дифференциально-разностного уравнения второго порядка в банаховых пространствах. // Вестник КраснГУ 2004"3. Физико-математические науки — Красноярск: ИЦ Краен ГУ. 2004. С. 23 — 29.

90. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка в банаховых пространствах. // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Сб. науч. тр. — Иркутск: Изд-во БГУЭП. 2004. С. 183 — 193.

91. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция обобщенного дифференциального оператора с производными от функционалов. // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: Сб. науч. тр. — Иркутск: Изд-во БГУЭП. 2005. С. 211 — 217.

92. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция вырожденного дифференциально-разностного оператора второго порядка в банаховых пространствах. // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. 2003. С. 39 — 42.

93. Гражданцева Е.Ю. Обобщенное решение сингулярного дифференциально-разностного уравнения второго порядка в банаховых пространствах. // III Всесибирский Конгресс Женщин-математиков, 15 -18 января 2004. — Красноярск. С 9 —10.

94. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора с функционалами. // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. 2004. С. 19.

95. Гражданцева Е.Ю. Фундаментальная оператор-функция полного сингулярного дифференциального оператора второго порядка в условиях спектральной ограниченности. // Вестник МаГУ. Математика. Магнитогорск: МаГУ. 2005 . Вып. 8. С. 66 — 73.