Вероятностные меры на ультрапроизведениях линейных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Халиуллин, Самигулла Гарифуллович АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Казань МЕСТО ЗАЩИТЫ
1994 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.05 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Вероятностные меры на ультрапроизведениях линейных пространств»
 
Автореферат диссертации на тему "Вероятностные меры на ультрапроизведениях линейных пространств"

РГБ ОД

1 Зз^^Дп^ёЙургский государственный университет

На правах рукописи УДК 519.21

Халиуллин Самигулла Гарифуллович

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ НА УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.05 - "Теория вероятностей и математическая статистика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1994

Работа выполнена в Научно-исследовательском Институте Математики и Механики им.Н.Г.Чеботарева при Казанском Университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Д.Х.Муштари.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор 8.Н.Судаков,

Ведущая организация - Институт Математики Сибирского

отделения РАН

часов на заседании специализированного Ученого Совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете (198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, д.2, мат.-мех. факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета (Университетская набережная, д. 7/9).

Автореферат разослан " " 199^*г

доктор физико-математических наук, Е.И.Гордон.

Защита состоится "

/Ученый секретарь Совета доцент

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА*-РАБОТЫ.*

Актуальность.исследований: Известная теорема С.Какутани об эквивалентности и- сингулярности«продакт-мер положила начало циклу работ, посзящейных дихотомии веррятностных мер, заданных на различных пространствах. Развитие, и .различные обобщения .этого результата ..получили Дж. Фельдман,- Я.Гаек,' К.Ферник, М.Кантер, А.Ё.гкороход. -Обобщающим все предыдущие результаты является теорема Оказаки о дихотомии -Н-квазиинва-риантных'.эргодических вероятностных мер на локально выпуклом хаусдорфовой пространстве с цилиндрической сг-алгеброй, так как'В каждом случае можно указать соответствующее множество Н, относительно которого меры являются эргодическими.

ч . '

Дальнейшее , развитие последней теоремы •■- дихотомия эргодических.мер Нс1 .линейном црост^астве при'слабых ограничениях: без предположения существования тоцологии в исходном

• " у

просурадстре и, сепарабельности меры. Примером т.акого .про-, странства служит ультрапроизведение 'последовательности линейных ибмеримых пространйтв-с нерами.. Раз^чныё задачи теории меры в лицейны'х- пространствах' решались С.И.Фоминым, А. М. ВершикЬм, В'. Н. Судаковым, В.И.Авербухом.О.ГХмоляновым, И.В.Гирсановым,'Б..С.Митягиным-и-др.

Счетно-адд^итивнущ вероятностную- . меру . на ультрапроизведении последовательности вероятностных простраств ввел П.. Леб; стимулировав тем самым развитие теории гиперконечных вероятностных пространств. • '•

•-.Понятие контигуальности последовательностей'вероятностных, мер ввел Л. Ле Кац. в исследованиях' по математической •статистике'. Различные условия контигуальности, и полной асимптотической разделимости последовательностей вероятностных . мер получили . Й.Й.Кабанов,. Т.М.Липцер, А.Н.Ширяев, Р.Лойнс, Дж..К.Иглсон( В.Холл, С.Хи, Дж.Вонг, Б.Телен и др.-

•Техника у^ьтрапроизведешй -позволяет " свести.''понятие контигуальности последовательностей вероятностных мер к классическому понятию эквивалентности .мер н открывает пути к получению новых и новому! доказательству ' известных результатов о дйхотомии вероятностных 'мер и доследовйтельйостёй вероятностйых мёр. , ■ *

Цель работы. Целью работы является получение новых результатов в линейных измеримых пространствах с инвариантной относительно сдвигов о—алгеброй; изучение свойств ультрапроизведений последовательности линейных измеримых пространств с мерами; использование ультрапроизведений для получения нового доказательства теорем о дихотомии.

Общая методика исследований. Основные результаты базируются на теории меры в линейных пространствах. Используется также техника ультрапроизведений.

Научная новизна. В работе получены норые результаты о дихотомии мер, заданных на линейном измеримом , пространстве при слабых ограничениях. Изучены ультрапроизведения линейных измеримых пространств, введено и исследовано понятие линейного вероятностного пространства. Исследованы условия, при которых сохраняются важные свойства мер , в линейных пространствах: гауссовость, квазиинвариантность, эргодичность , непрерывность, дифференцируемость. Введено понятие квазистационарной эргодической случайной последовательности, доказаны теоремы о дихотомии таких последовательностей.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты можно использовать в исследованиях по теории меры в линейных простанс.твах, а также для решения конкретных задач математической статистики.

Апробация работы. Результаты,диссертации докладывались на 5-ой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989); на международной конференции "Алгебра и анализ" (Казань, 1994); итоговых научных конференциях Казанского университета (1987-1994); на семинаре "Гауссовские меры в бесконечномерных пространствах" под руководством В.В.Булдйгина (Киев, 1991); на семинаре "Дискретная математика" под руководством Е.И.Гордона (Н.Новгород, 1992); на семинаре "Нестандартные модели" института математики Сибирского отделения РАН под руководством Л.Я.Савельева (Новосибирск, 1993);.на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики ПОМИ им. Стеклова под руководством И.А.Ибрагимова (Санкт-Петербург, 1993), на семинаре■"Дифференциальные уравнения и меры

в бесконечномерных пространствах" под руководством О.Г.Смолянова (Москва, 1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на восемь параграфов и списка литературы, содержащего 52 наименования. Общий объем работы -115 страниц машинописного текста.

II. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ*. Во введении приводятся аргументы в пользу рассмотрения ультрапроизведений лишь тех линейных измеримых пространств, в которых не' предполагается наличие топологической структуры. Также приводится обзор результатов из теории меры- в бесконечномерных линейных пространствах, обзор литературы по дихотомии некоторых классов вероятностных мер и последовательностей вероятностных мер.

В первой главе (§§ 1 - 6) изучены ультрапроизведения линейных измеримых пространств, свойства ультрапроизведений мер.

В начале главы приведены основные определения и факты, связанные с понятием ультрапроизведений, обсуждены общие вопросы, касающиеся ультрапроизведений топологических пространств и пространств с мерами.

Определение. Пусть Ап (п е и) - произвольные непустые

множества, и - нетривиальный ультрафильтр в множестве и. В декартовом произведении

со

ПП=1АП = ( (аЛ=1: ап е Ап ]

введем отношение эквивалентности по ультрафильтру и, полагая, что два элемента (ап) и (Ъп) эквивалентны по

ультрафильтру и тогда и только тогда, когда множество

(п е и: а^ = Ьп)

содержится в ультрафильтре п.

Фактор-пространство декартова произведения множеств А

(n e in) -по данному отношению эквивалентности называется í, ■ -теоретико-множественным ультрапроизведением семейства ' мно-

. жеетв и обозначается (An)u- '

Пусть (Еп, ■ (?п)п и - последовательность измеримых1 '

пространств,- и' - .произвольный нетривиальный ультрафильтр' в множестве и натуральных -чисел.' Рассмотрим в (Еп)к следующую

систему множеств: ■ • . - "

- \"ч .■ (Vu-= 1;(АЛ: Апе en-п 6 .

Легко видеть, что эта система является алгеброй.

■ Рассмотрим^ далее ультрапроизведение п<?следовательнорти " вероятностных, пространств. Пусть Ёп - некоторое множество, ¿n - о—алгебра- eró измеримых подмножеств, ип вероятностная4 • • Mepá на б (n е w), и - произвольный1 ,нетривиальны# ультрафильтр в множестве N. На алгебре (e,n)u,вЬедем вероятностную меру полагая для всех А =. (A )'u е

• . • ,VA) ='дй(V-. . .' '

■' Эта конструкция построения счетно-аддитивной . вероятностной' меры на ул^трапроизведении 'в более общей ситуации''была • предложена'Лебом,- Легко видеть, что ' мера аддитивна .на -

, алгебре Известно'также, что'мера ц^ ст-аддитивна на

алгебре (en)u. Следовательно; _ она может быть продолжена до

сг-аддитивной меры на о—алгебру p-(en-)u.

. . ■ Продолжение меры с алгебры (®n)u на р-алгебру . •

обозначим тем же символом ии и назовем ультрапроизведением

.последовательности . -мер (u'n). " Пространство

((En)u, о-(гп)и,' называется.ультрапроизведением , последовательности пространств (Е"п, еп,.дп), n е и.-. ■'

■ f ■В первом параграфе .рассматриваются ультралроизведения •

измеримых пространств, вероятностных npocxpaHctB, изучены-их свойства. .

Теорема 1.'2.\В предположении справедливости 'гипотезы

континуума существует такой нетривиальный ультрафильтр в множестве N натуральных чисел, "что. ультрапроизведение последовательности' линейных измеримых пространств не является линейным измеримым пространством. . :

Далее ёведено понятие .линейного вероятностного пространства, и доказана следующая ' • •

Теорема 1.4. Ультрапроизведение - последовательности 'линейных вероятностных пространств ро произвольному' ультра-. фи^ьтру в множестве и является снова .линейным вероятностным .'пространством. ' "

Во втором параграфе описан класс измеримых и интегрируемых по Лебегу'относительно ультрапроизведения•-мер функций .да ультрапроизведении последовательности измеримых про-, странств. Отметим здесь, что результаты настоящего параграфа получены независимо' от результатов нестандартного анализа об измеримом поднятии измеримой числовой функции.'

В третьем параграфе показано, что в ультрапроизведении 'вводится понятие- свертки вероятностных мер, описываемое • мерами, сомножителей. Значит, можно' рассматривать гауссов-с'кие, р-устойчивые, безгранично-делимые, распределения.

'Лрмма 3.1.--Пусть- (Еп,' епЬ п- е и, - линейное

вароятностное пространство,¿причем о—аЛгебра <? инвариантна

относительно сдвигов, на элементы хд е Е , цп' и ,1>п - две.

вероятностные меры на (?п-, -и -„произвольный нетривиальный

ультрафильтр в- множестве ш. Тогда функция х —» -' х) - на

4 М

*(Еп)и, А € сг(еп)и, измерима по-'Лебегу по отношению'к мере Уц.

Тейрема. 3.1. ' Ультрапроизведение последовательности гауссовскйх мер есть гауссовская'мера.

. В четвертом параграфе' доказывается теорема", которая связываем понятия -"контигуал'ьность" и "эквивалентность", "полная>асимптотическая разделимость" и "сингулярность". С помощью этой, теоремы доказывается'- дихотомия для некоторых 'классов вероятностных мёр на .ультрапроизведении и классов последовательностей вероятностных мер на измеримых пространствах. _ • *

Теорема 4.1. 1) Две последовательности (ип) и вероятностных мер, где мп и V определены на некоторой о-алгебре ®п подмножеств Еп, контигуальны тогда и только тогда, когда ми и эквивалентны для каждого нетривиального

ультрафильтра и в множестве N.

11) Последовательности (ип) и вполне асимп-

тотически разделимы тогда и только тогда, когда существует такой нетривиальный ультрафильтр и в множестве и, что вероятности ии и р сингулярны.

В пятом параграфе рассматриваются понятия Н-квази-инвариантной и Н-эргодической мер на измеримом пространстве. Далее дана характеризация Н-эргодических мер как крайних точек в множестве Н-квазиинвариантных мер.

Теорема 5.1. Пусть (Е, (?) - линейное измеримое пространство , ц - вероятностная мера на е. Следующие ' условия эквивалентны:

1). ц - Н-эргодическая мера на е;

И). Всякая Н-кнвариантная для меры ц функция И ц - почти наверное совпадает с постоянной;

Ш). и - крайняя мера в множестве го Н-квазиинвариантных вероятностных мер на е.

Для меры ультрапроизведения в случае, когда сомножители - конечномерные пространства фиксированной размерности, дано полное описание множества квазиинвариантности и эргодичности. Показано, что в случае ультрапроизведения конечномерных пространств возрастающей размерности ультрапроизведение последовательности эргодических мер не является эрго-дической.

В шестом параграфе рассматриваются непрерывные и дифференцируемые по направлению вероятностные меры, заданные на линейном пространстве с измеримыми сдвигами. Исследуются соотношения между множествами непрерывности С(дп) и С(цц), и

между множествами дифференцируемости 0(дп) и 0(ди).

Вторая глава (§§ 7 - 8) содержит результаты о дихотомии

Н-квазиинвариантных эргодических мер, заданных на линейном измеримом пространстве с инвариантной относительно сдвигов о—алгеброй. Введено понятие квазистационарной эргодической последовательности, изучены свойства последних.

В седьмом параграфе рассматривается класс эргодических вероятностных мер на линейном пространстве, где о—алгебра инвариантна относительно сдвигов, доказана теорема , о дихотомии мер для этого класса. С помощью этой теоремы, соединенной с теоремой 4.1, получено простое доказательство, в частности, известной теоремы о дихотомии для'класса последовательностей гауссовских мер, заданных на (й, в(к)). .

Теорема 7.1. Пусть (Е, (?) - линейное пространство, причем с—алгебра <* инвариантна относительно сдвигов наэлементы х с Е, ц и v - две Н-эргодические вероятностные меры на 5, Н s Е. Тогда меры ц и v Либо эквивалентны, либо сингулярны. ^

Теорема 7.2. Пусть (Е, с) - линейное пространство, причем о—алгебра е инвариантна относительно сдвигов на элементы х е Е, ц - Н^-эргодическая вероятностная мера на в,

v - Н^-эргодическая вероятностная мера на е, где Н^ и Н^ -

линейные подпространства Е. Тогда меры д и v либо эквивалентны, либо сингулярны.

С помощью доказанных ранее теорем легко доказать следующую теорему:

Теорема 7.3. Пусть' с-СвСг?)^)) - ультрастепень

пространства (r, 8(к)), где и - произвольный нетривиальный ультрафильтр в множестве и, = Jim ц , i>1( = Jim v

Ц ц U U ц и

причем, ип и i>n - произвольные вероятностные меры на в(к),

эквивалентйые мере Лебега, n е W. Тогда меры цц и 1>ц либо

эквивалентны, либо сингулярны.

Следствие 7.3. Пусть в пространстве (R, в(к)) заданы две последовательности вероятностных мер (ип) и где

при всех п е и меры и-1>п эквивалентны мере Лебега. Тогда

они либо контигу^льны, либо вполне асимптотически разделимы.

В восьмом параграфе введены и изучаются понятия квази' инвариантных и эргодических относительно некоторой группу преобразований вероятностных ,мер," для! которых доказана-теорема о дихотомии. "Такжег введено "понятие квазистационарной случайной последовательности; .для таких последо-. вательностей получен закон '"нуля " и- единицы". Введено и изучается йо'нятие контигульноети случайных, последовательностей - в термина^ " -их .бесконечномерных распределений, доказана теорема о„дихотомии- эргодических. квазиствционарных последовательностей.

Теорема 8.1. Пусть (Б, е) - измеримое пространство, Т -некоторое" измеримое ртбражение пространства Е^ в- себя, ц и V две эргодические .относительно преобразования Т.; вероятностные меры на.а-алгёбре'е. Тогда меры и и' V либо эквивалентны,'либо сингулярны. . - ' ' •

■ Терремд 8.-2. Пусть в -измеримом пространстве (Е,.' ё) заданы две вероятностные меры и и и, £ =. (с^) - случайная

^последовательность на Ё, причей .о—алгебра е индуцирована последовательностью,?. Если последовательность (?!,)• являет-

« А

■ся эргодической относительно мер ц и\>, то Меры ц и V либо •эквивалентны; либо сингулярны. V - '

Теорема 8'.3. (Закон 0-1 ._длд эргодических случайных последовательностей). Пусть £ =, (с^) - квазистационарная

эргодическая случайная последовательность на (Е,'е, р), к^ -

остаточная относительно последовательности -'о—алгебра.

■ Если А е к^, то-вероятноЬть р(А) 'равнд'ли^о 0, либо 1..

.Тейрема 8.4. Пусть в пространстве .(Е, <?, р) заданы ^две случайные последовательности С?^) и (ч^), причем'о— алгебра'и

индуцирована последовательностями•£ и •»). Если (с^) и, (т^)

являются эргодическими относительно вероятности Р, то они. . либо контигуальны, либо вполне асимптотически разделимы. -

Основные результаты диссертации.

1). Доказано, что если о—алгебру ультрапроизведения последовательности линейных измеримых пространств пополнить относительно ультрапроизведения последовательности мер, то линейные операции согласуются со структурой измеримого пространства. В то же время, построен такой ультрафильтр в индексном множестве И, что в ультрапроизведении последовательности линейных измеримых пространств линейные операции не являются измеримыми.

2). Доказано, что ультрапроизведение последовательности гауссовских (р-устойчивых, 0 < р ^ 2) есть гауссовская (соответственно, р-устойчивая) мера на ультрапроизведении.

3). Устновлено, что две последовательности (дп) и (^п)

вероятностных мер

I). контигуальны тогда и только тогда, когда для любого нетривиального ультрафильтра и в множестве N ультрапроизведения и 1>и этих последовательностей эквивалентны;

II). вполне асимптотически разделимы тогда и только тогда, когда существует нетривиальный ультрафильтр в множестве 34, что меры дд и у сингулярны.

С помощью этой теоремы получено новое простое доказательство известных результатов о дихотомии последовательностей вероятностных мер.

4). Изучены свойства вероятностных мер на линейном пространстве с измеримым сдвигом: квазиинвариантность, эргодичность , непрерывность, дифференцируемость. Получено обобщение теоремы о дихотомии для класса Н-квазиинвариантных эргоди-ческих мер на линейные пространства с измеримым сдвигом.

5). Введены понятия и изучены свойства квазистационарности и эргодичности случайных последовательностей. Для них доказан закон "нуля и. единицы" и теоремы о дихотомии.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Данияру Хамидовичу Муштари за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

III. РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Д.Х.Муштари, С.Г.Халиуллин. Контигуальность и ультрапроизведения. - Материалы итоговой научн. конференции Казанского университета за 1987 год. Естеств. и точные науки, Казань, Изд - во Казанского ун - „та, 1988, с.10.

2. Д.Х.Муштари, С.Г.Халиуллин. Линейные пространства с вероятностными мерами, ультрапроизведения и контигуальность. - Известия ВУЗов. Математика, 1992, 4, с.92-95.

3. С.Г.Халиуллин. О контигуальности и полной асимптотической .разделимости случайных процессов. - Рукопись депонирована в

ВИНИТИ 08.07.92, 2221 - В92, 14 с.

4. S.G.Haliullin, D.H.Mushtari. Ultraproducts and contiguity of probability measures on linear spaces. - V international Vilnius conferece on probability theory and math, statistic. Abstracts of communications, Vilnius, 1989, p.198-199.

5. S.G.Haliullin. Dichotomy for a class of quasi-invariant ergodic measures on linear spaces. - Abstract of reports of the International Conference in honour of N.G.Chebotarev (1894-1947), part 2, Kazan, 1994, p.169.

Заказ 89 Тираж {00 Объем 0,7 п.л.

Волгоградская, 49

Ротапринт КИПКК