Вероятностные меры на ультрапроизведениях линейных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РГБ ОД

1 Зз^^Дп^ёЙургский государственный университет

На правах рукописи УДК 519.21

Халиуллин Самигулла Гарифуллович

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕРЫ НА УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯХ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.05 - "Теория вероятностей и математическая статистика"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 1994

Работа выполнена в Научно-исследовательском Институте Математики и Механики им.Н.Г.Чеботарева при Казанском Университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Д.Х.Муштари.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор 8.Н.Судаков,

Ведущая организация - Институт Математики Сибирского

отделения РАН

часов на заседании специализированного Ученого Совета К 063.57.29 по присуждению ученой степени кандидата наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете (198904, Санкт-Петербург, Петродворец, Библиотечная площадь, д.2, мат.-мех. факультет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Университета (Университетская набережная, д. 7/9).

Автореферат разослан " " 199^*г

доктор физико-математических наук, Е.И.Гордон.

Защита состоится "

/Ученый секретарь Совета доцент

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА*-РАБОТЫ.*

Актуальность.исследований: Известная теорема С.Какутани об эквивалентности и- сингулярности«продакт-мер положила начало циклу работ, посзящейных дихотомии веррятностных мер, заданных на различных пространствах. Развитие, и .различные обобщения .этого результата ..получили Дж. Фельдман,- Я.Гаек,' К.Ферник, М.Кантер, А.Ё.гкороход. -Обобщающим все предыдущие результаты является теорема Оказаки о дихотомии -Н-квазиинва-риантных'.эргодических вероятностных мер на локально выпуклом хаусдорфовой пространстве с цилиндрической сг-алгеброй, так как'В каждом случае можно указать соответствующее множество Н, относительно которого меры являются эргодическими.

ч . '

Дальнейшее , развитие последней теоремы •■- дихотомия эргодических.мер Нс1 .линейном црост^астве при'слабых ограничениях: без предположения существования тоцологии в исходном

• " у

просурадстре и, сепарабельности меры. Примером т.акого .про-, странства служит ультрапроизведение 'последовательности линейных ибмеримых пространйтв-с нерами.. Раз^чныё задачи теории меры в лицейны'х- пространствах' решались С.И.Фоминым, А. М. ВершикЬм, В'. Н. Судаковым, В.И.Авербухом.О.ГХмоляновым, И.В.Гирсановым,'Б..С.Митягиным-и-др.

Счетно-адд^итивнущ вероятностную- . меру . на ультрапроизведении последовательности вероятностных простраств ввел П.. Леб; стимулировав тем самым развитие теории гиперконечных вероятностных пространств. • '•

•-.Понятие контигуальности последовательностей'вероятностных, мер ввел Л. Ле Кац. в исследованиях' по математической •статистике'. Различные условия контигуальности, и полной асимптотической разделимости последовательностей вероятностных . мер получили . Й.Й.Кабанов,. Т.М.Липцер, А.Н.Ширяев, Р.Лойнс, Дж..К.Иглсон( В.Холл, С.Хи, Дж.Вонг, Б.Телен и др.-

•Техника у^ьтрапроизведешй -позволяет " свести.''понятие контигуальности последовательностей вероятностных мер к классическому понятию эквивалентности .мер н открывает пути к получению новых и новому! доказательству ' известных результатов о дйхотомии вероятностных 'мер и доследовйтельйостёй вероятностйых мёр. , ■ *

Цель работы. Целью работы является получение новых результатов в линейных измеримых пространствах с инвариантной относительно сдвигов о—алгеброй; изучение свойств ультрапроизведений последовательности линейных измеримых пространств с мерами; использование ультрапроизведений для получения нового доказательства теорем о дихотомии.

Общая методика исследований. Основные результаты базируются на теории меры в линейных пространствах. Используется также техника ультрапроизведений.

Научная новизна. В работе получены норые результаты о дихотомии мер, заданных на линейном измеримом , пространстве при слабых ограничениях. Изучены ультрапроизведения линейных измеримых пространств, введено и исследовано понятие линейного вероятностного пространства. Исследованы условия, при которых сохраняются важные свойства мер , в линейных пространствах: гауссовость, квазиинвариантность, эргодичность , непрерывность, дифференцируемость. Введено понятие квазистационарной эргодической случайной последовательности, доказаны теоремы о дихотомии таких последовательностей.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты можно использовать в исследованиях по теории меры в линейных простанс.твах, а также для решения конкретных задач математической статистики.

Апробация работы. Результаты,диссертации докладывались на 5-ой международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1989); на международной конференции "Алгебра и анализ" (Казань, 1994); итоговых научных конференциях Казанского университета (1987-1994); на семинаре "Гауссовские меры в бесконечномерных пространствах" под руководством В.В.Булдйгина (Киев, 1991); на семинаре "Дискретная математика" под руководством Е.И.Гордона (Н.Новгород, 1992); на семинаре "Нестандартные модели" института математики Сибирского отделения РАН под руководством Л.Я.Савельева (Новосибирск, 1993);.на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики ПОМИ им. Стеклова под руководством И.А.Ибрагимова (Санкт-Петербург, 1993), на семинаре■"Дифференциальные уравнения и меры

в бесконечномерных пространствах" под руководством О.Г.Смолянова (Москва, 1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на восемь параграфов и списка литературы, содержащего 52 наименования. Общий объем работы -115 страниц машинописного текста.

II. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ*. Во введении приводятся аргументы в пользу рассмотрения ультрапроизведений лишь тех линейных измеримых пространств, в которых не' предполагается наличие топологической структуры. Также приводится обзор результатов из теории меры- в бесконечномерных линейных пространствах, обзор литературы по дихотомии некоторых классов вероятностных мер и последовательностей вероятностных мер.

В первой главе (§§ 1 - 6) изучены ультрапроизведения линейных измеримых пространств, свойства ультрапроизведений мер.

В начале главы приведены основные определения и факты, связанные с понятием ультрапроизведений, обсуждены общие вопросы, касающиеся ультрапроизведений топологических пространств и пространств с мерами.

Определение. Пусть Ап (п е и) - произвольные непустые

множества, и - нетривиальный ультрафильтр в множестве и. В декартовом произведении

со

ПП=1АП = ( (аЛ=1: ап е Ап ]

введем отношение эквивалентности по ультрафильтру и, полагая, что два элемента (ап) и (Ъп) эквивалентны по

ультрафильтру и тогда и только тогда, когда множество

(п е и: а^ = Ьп)

содержится в ультрафильтре п.

Фактор-пространство декартова произведения множеств А

(n e in) -по данному отношению эквивалентности называется í, ■ -теоретико-множественным ультрапроизведением семейства ' мно-

. жеетв и обозначается (An)u- '

Пусть (Еп, ■ (?п)п и - последовательность измеримых1 '

пространств,- и' - .произвольный нетривиальный ультрафильтр' в множестве и натуральных -чисел.' Рассмотрим в (Еп)к следующую

систему множеств: ■ • . - "

- \"ч .■ (Vu-= 1;(АЛ: Апе en-п 6 .

Легко видеть, что эта система является алгеброй.

■ Рассмотрим^ далее ультрапроизведение п<?следовательнорти " вероятностных, пространств. Пусть Ёп - некоторое множество, ¿n - о—алгебра- eró измеримых подмножеств, ип вероятностная4 • • Mepá на б (n е w), и - произвольный1 ,нетривиальны# ультрафильтр в множестве N. На алгебре (e,n)u,вЬедем вероятностную меру полагая для всех А =. (A )'u е

• . • ,VA) ='дй(V-. . .' '

■' Эта конструкция построения счетно-аддитивной . вероятностной' меры на ул^трапроизведении 'в более общей ситуации''была • предложена'Лебом,- Легко видеть, что ' мера аддитивна .на -

, алгебре Известно'также, что'мера ц^ ст-аддитивна на

алгебре (en)u. Следовательно; _ она может быть продолжена до

сг-аддитивной меры на о—алгебру p-(en-)u.

. . ■ Продолжение меры с алгебры (®n)u на р-алгебру . •

обозначим тем же символом ии и назовем ультрапроизведением

.последовательности . -мер (u'n). " Пространство

((En)u, о-(гп)и,' называется.ультрапроизведением , последовательности пространств (Е"п, еп,.дп), n е и.-. ■'

■ f ■В первом параграфе .рассматриваются ультралроизведения •

измеримых пространств, вероятностных npocxpaHctB, изучены-их свойства. .

Теорема 1.'2.\В предположении справедливости 'гипотезы

континуума существует такой нетривиальный ультрафильтр в множестве N натуральных чисел, "что. ультрапроизведение последовательности' линейных измеримых пространств не является линейным измеримым пространством. . :

Далее ёведено понятие .линейного вероятностного пространства, и доказана следующая ' • •

Теорема 1.4. Ультрапроизведение - последовательности 'линейных вероятностных пространств ро произвольному' ультра-. фи^ьтру в множестве и является снова .линейным вероятностным .'пространством. ' "

Во втором параграфе описан класс измеримых и интегрируемых по Лебегу'относительно ультрапроизведения•-мер функций .да ультрапроизведении последовательности измеримых про-, странств. Отметим здесь, что результаты настоящего параграфа получены независимо' от результатов нестандартного анализа об измеримом поднятии измеримой числовой функции.'

В третьем параграфе показано, что в ультрапроизведении 'вводится понятие- свертки вероятностных мер, описываемое • мерами, сомножителей. Значит, можно' рассматривать гауссов-с'кие, р-устойчивые, безгранично-делимые, распределения.

'Лрмма 3.1.--Пусть- (Еп,' епЬ п- е и, - линейное

вароятностное пространство,¿причем о—аЛгебра <? инвариантна

относительно сдвигов, на элементы хд е Е , цп' и ,1>п - две.

вероятностные меры на (?п-, -и -„произвольный нетривиальный

ультрафильтр в- множестве ш. Тогда функция х —» -' х) - на

4 М

*(Еп)и, А € сг(еп)и, измерима по-'Лебегу по отношению'к мере Уц.

Тейрема. 3.1. ' Ультрапроизведение последовательности гауссовскйх мер есть гауссовская'мера.

. В четвертом параграфе' доказывается теорема", которая связываем понятия -"контигуал'ьность" и "эквивалентность", "полная>асимптотическая разделимость" и "сингулярность". С помощью этой, теоремы доказывается'- дихотомия для некоторых 'классов вероятностных мёр на .ультрапроизведении и классов последовательностей вероятностных мер на измеримых пространствах. _ • *

Теорема 4.1. 1) Две последовательности (ип) и вероятностных мер, где мп и V определены на некоторой о-алгебре ®п подмножеств Еп, контигуальны тогда и только тогда, когда ми и эквивалентны для каждого нетривиального

ультрафильтра и в множестве N.

11) Последовательности (ип) и вполне асимп-

тотически разделимы тогда и только тогда, когда существует такой нетривиальный ультрафильтр и в множестве и, что вероятности ии и р сингулярны.

В пятом параграфе рассматриваются понятия Н-квази-инвариантной и Н-эргодической мер на измеримом пространстве. Далее дана характеризация Н-эргодических мер как крайних точек в множестве Н-квазиинвариантных мер.

Теорема 5.1. Пусть (Е, (?) - линейное измеримое пространство , ц - вероятностная мера на е. Следующие ' условия эквивалентны:

1). ц - Н-эргодическая мера на е;

И). Всякая Н-кнвариантная для меры ц функция И ц - почти наверное совпадает с постоянной;

Ш). и - крайняя мера в множестве го Н-квазиинвариантных вероятностных мер на е.

Для меры ультрапроизведения в случае, когда сомножители - конечномерные пространства фиксированной размерности, дано полное описание множества квазиинвариантности и эргодичности. Показано, что в случае ультрапроизведения конечномерных пространств возрастающей размерности ультрапроизведение последовательности эргодических мер не является эрго-дической.

В шестом параграфе рассматриваются непрерывные и дифференцируемые по направлению вероятностные меры, заданные на линейном пространстве с измеримыми сдвигами. Исследуются соотношения между множествами непрерывности С(дп) и С(цц), и

между множествами дифференцируемости 0(дп) и 0(ди).

Вторая глава (§§ 7 - 8) содержит результаты о дихотомии

Н-квазиинвариантных эргодических мер, заданных на линейном измеримом пространстве с инвариантной относительно сдвигов о—алгеброй. Введено понятие квазистационарной эргодической последовательности, изучены свойства последних.

В седьмом параграфе рассматривается класс эргодических вероятностных мер на линейном пространстве, где о—алгебра инвариантна относительно сдвигов, доказана теорема , о дихотомии мер для этого класса. С помощью этой теоремы, соединенной с теоремой 4.1, получено простое доказательство, в частности, известной теоремы о дихотомии для'класса последовательностей гауссовских мер, заданных на (й, в(к)). .

Теорема 7.1. Пусть (Е, (?) - линейное пространство, причем с—алгебра <* инвариантна относительно сдвигов наэлементы х с Е, ц и v - две Н-эргодические вероятностные меры на 5, Н s Е. Тогда меры ц и v Либо эквивалентны, либо сингулярны. ^

Теорема 7.2. Пусть (Е, с) - линейное пространство, причем о—алгебра е инвариантна относительно сдвигов на элементы х е Е, ц - Н^-эргодическая вероятностная мера на в,

v - Н^-эргодическая вероятностная мера на е, где Н^ и Н^ -

линейные подпространства Е. Тогда меры д и v либо эквивалентны, либо сингулярны.

С помощью доказанных ранее теорем легко доказать следующую теорему:

Теорема 7.3. Пусть' с-СвСг?)^)) - ультрастепень

пространства (r, 8(к)), где и - произвольный нетривиальный ультрафильтр в множестве и, = Jim ц , i>1( = Jim v

Ц ц U U ц и

причем, ип и i>n - произвольные вероятностные меры на в(к),

эквивалентйые мере Лебега, n е W. Тогда меры цц и 1>ц либо

эквивалентны, либо сингулярны.

Следствие 7.3. Пусть в пространстве (R, в(к)) заданы две последовательности вероятностных мер (ип) и где

при всех п е и меры и-1>п эквивалентны мере Лебега. Тогда

они либо контигу^льны, либо вполне асимптотически разделимы.

В восьмом параграфе введены и изучаются понятия квази' инвариантных и эргодических относительно некоторой группу преобразований вероятностных ,мер," для! которых доказана-теорема о дихотомии. "Такжег введено "понятие квазистационарной случайной последовательности; .для таких последо-. вательностей получен закон '"нуля " и- единицы". Введено и изучается йо'нятие контигульноети случайных, последовательностей - в термина^ " -их .бесконечномерных распределений, доказана теорема о„дихотомии- эргодических. квазиствционарных последовательностей.

Теорема 8.1. Пусть (Б, е) - измеримое пространство, Т -некоторое" измеримое ртбражение пространства Е^ в- себя, ц и V две эргодические .относительно преобразования Т.; вероятностные меры на.а-алгёбре'е. Тогда меры и и' V либо эквивалентны,'либо сингулярны. . - ' ' •

■ Терремд 8.-2. Пусть в -измеримом пространстве (Е,.' ё) заданы две вероятностные меры и и и, £ =. (с^) - случайная

^последовательность на Ё, причей .о—алгебра е индуцирована последовательностью,?. Если последовательность (?!,)• являет-

« А

■ся эргодической относительно мер ц и\>, то Меры ц и V либо •эквивалентны; либо сингулярны. V - '

Теорема 8'.3. (Закон 0-1 ._длд эргодических случайных последовательностей). Пусть £ =, (с^) - квазистационарная

эргодическая случайная последовательность на (Е,'е, р), к^ -

остаточная относительно последовательности -'о—алгебра.

■ Если А е к^, то-вероятноЬть р(А) 'равнд'ли^о 0, либо 1..

.Тейрема 8.4. Пусть в пространстве .(Е, <?, р) заданы ^две случайные последовательности С?^) и (ч^), причем'о— алгебра'и

индуцирована последовательностями•£ и •»). Если (с^) и, (т^)

являются эргодическими относительно вероятности Р, то они. . либо контигуальны, либо вполне асимптотически разделимы. -

Основные результаты диссертации.

1). Доказано, что если о—алгебру ультрапроизведения последовательности линейных измеримых пространств пополнить относительно ультрапроизведения последовательности мер, то линейные операции согласуются со структурой измеримого пространства. В то же время, построен такой ультрафильтр в индексном множестве И, что в ультрапроизведении последовательности линейных измеримых пространств линейные операции не являются измеримыми.

2). Доказано, что ультрапроизведение последовательности гауссовских (р-устойчивых, 0 < р ^ 2) есть гауссовская (соответственно, р-устойчивая) мера на ультрапроизведении.

3). Устновлено, что две последовательности (дп) и (^п)

вероятностных мер

I). контигуальны тогда и только тогда, когда для любого нетривиального ультрафильтра и в множестве N ультрапроизведения и 1>и этих последовательностей эквивалентны;

II). вполне асимптотически разделимы тогда и только тогда, когда существует нетривиальный ультрафильтр в множестве 34, что меры дд и у сингулярны.

С помощью этой теоремы получено новое простое доказательство известных результатов о дихотомии последовательностей вероятностных мер.

4). Изучены свойства вероятностных мер на линейном пространстве с измеримым сдвигом: квазиинвариантность, эргодичность , непрерывность, дифференцируемость. Получено обобщение теоремы о дихотомии для класса Н-квазиинвариантных эргоди-ческих мер на линейные пространства с измеримым сдвигом.

5). Введены понятия и изучены свойства квазистационарности и эргодичности случайных последовательностей. Для них доказан закон "нуля и. единицы" и теоремы о дихотомии.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Данияру Хамидовичу Муштари за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.

III. РАБОТЫ, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Д.Х.Муштари, С.Г.Халиуллин. Контигуальность и ультрапроизведения. - Материалы итоговой научн. конференции Казанского университета за 1987 год. Естеств. и точные науки, Казань, Изд - во Казанского ун - „та, 1988, с.10.

2. Д.Х.Муштари, С.Г.Халиуллин. Линейные пространства с вероятностными мерами, ультрапроизведения и контигуальность. - Известия ВУЗов. Математика, 1992, 4, с.92-95.

3. С.Г.Халиуллин. О контигуальности и полной асимптотической .разделимости случайных процессов. - Рукопись депонирована в

ВИНИТИ 08.07.92, 2221 - В92, 14 с.

4. S.G.Haliullin, D.H.Mushtari. Ultraproducts and contiguity of probability measures on linear spaces. - V international Vilnius conferece on probability theory and math, statistic. Abstracts of communications, Vilnius, 1989, p.198-199.

5. S.G.Haliullin. Dichotomy for a class of quasi-invariant ergodic measures on linear spaces. - Abstract of reports of the International Conference in honour of N.G.Chebotarev (1894-1947), part 2, Kazan, 1994, p.169.

Заказ 89 Тираж {00 Объем 0,7 п.л.

Волгоградская, 49

Ротапринт КИПКК