О пространствах с абстрактной метрикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 ОА

На правах рукописи

ловягин

Юрий Никитич

О ПРОСТРАНСТВАХ С АБСТРАКТНОЙ МЕТРИКОЙ

01.01.01- математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сыктывкар 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Сыктывкарского государственного университета

Научные руководители -

кандидат физико-математических наук, доцент Д.А.ВЛАДИМИРОВ

кандидат физико-математических наук, доцент А.Г.ПОРОШКИН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Г.Я.Арешкин кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Флоринский

Ведущая организация - Мурманский государственный педагогический институт (кафедра математического анализа)

Защита состоится «/У»,

1 б*ча>

| г. в 16 часов на заседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по защите диссертации на соискание ученой степени кандидата наук в Российском государственном педагогическом университете им. А.И.Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р.Мойки, 48, корп.1, ауд.209).

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке РГПУ им. А.И.Герцена (191186, Санкт-Петербург, наб. р.Мойки, 48).

Автореферат разослан « 2 » 1996 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

И.Б.Готская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Цель настоящей работы - изложение некоторых аспектов теории множеств, метризованных по средствам функции, принимающей значения в линейном полуупорядоченном пространстве и обладающей всеми свойствами метрики. Такие метрики мы называем решеточнозначнымп. а соответствующие пространства - решеточнометризованными Такие объекты естественным образом возникают при исследовании равномерных и вполне регулярных пространств , а также при исследовании спусков метрических пространств внутри булевозначных моделей теории множеств. Мы также изучаем линейные рещеточнометризованные пространства как абстрактные аналоги линейных метрических пространств.

В связи с чтим возникает две задачи. Во-первых, исследовать спуски обычных (вещественнозначных) конструкций и топологическую структуру, получающуюся путем спуска естественной топологии. Во-вторых, исследовать естественные рещеточнозначные метрики равномерных пространств, топологию, порожденную абстрактной метрикой и ее связь с исходной топологической структурой.

Равномерные и вполне регулярные пространства, а также ре-шеточно метризованные пространства, по своим свойствам весьма близки к метрическим. Это связано с тем, что решеточнозначная метрика является абстрактным аналогом обычной вещественной метрики , прямым ее обобщением также, как понятие векторной решетки является обобщением понятия поля вещественных чисел. По-

этому возникает третья задача - найти полные абстрактные аналоги классических понятий метрического, линейного метрического, полного пространства, пространства Фреше.Так понятие расширенного К-пространства в силу теоремы Е.И.Гордона является полным аналогом поля вещественных чисел.

Впервые решеточнонорыированные пространства были введены Л.В. Канторовичем. Методами бу.тевозначных интерпретации они были исследованы А.Г.Кусраевым. Метрики со значениями в топологических полуполях - ^'-пространствах специального вида, а также вопросы метризуемости топологических структур по средствам таких метрик исследовались М.Я.Антоновским, В.Г.Болтянским, Т.А.Сарымсаковым. Булевозначные ре;шнзацин равномерных пространств исследовались ЕЖГордоном и В.А.Любецкнм. А.Г.Куе.раевым и С.А.Малюгиным в исследовались меры со значениями в решеточнонормированных пространствах.

Успешное применение булевозкачных методов обусловлено теоремой Е.И.Гордона, согласно которой расширенное К-пространство реализуется в подходящей булевозначной модели теории множеств как поле вещественных чисел и, следовательно, в этой модели ре-шеточнозначные функции реализуются как вещественные . Полная аналогия соответствующих объектов и возможность получать результаты об абстрактных конструкциях путем расшифровки истинностных значений соответствующих утверждений, верных в модели для вещественнозначных конструкций, возникает, если соответствующий абстрактный объект допускает "правильное" погружение в

подходящую булгвозннчную модель теории множеств, то есть его спуск совпадает с исходным объектом. Это чквивалентно цикличности соответствующего множества. Известно, что при "пропускании" через булевозначную модель множество "зацикливается". Это и является ключом к выделению констрз'кций, допускающих правильное "погружение".

Мы также исследуем вопрос о полноте и пополнении решеточ-иометризованных пространств, который ставится в двух аспектах. Во-первых, рассматриваются понятия полноты и пополнения, обусловленные некоторой сходимостью в векторной решетке и указываются условия, гарантирующие существование пополнения. Во-вторых, исследуется пополнение (и полнота), допускающее "правильное" погружение в булевозначиую модель. На этом пути выделяются абстрактные аналоги полных метрических пространств, в частности, - пространств Фреше.

Так как всякая векторная решетка является рещеточнометризо-ванным пространством относительно модуля разности, то интересен также вопрос, какая топология индуцируется этой метрикой в векторной решетке и при каких условиях исходная топология (или равномерность) равномерного или вполне регулярного просранства совпадает с топологией, индуцированной решеточной метрикой. Это снова связано с вопросом "правильного" погружения топологической (равномерной) структуры в булевозначиую модель. При атом мы даем описание некоторой естественной топологии архимедовой векторной решетки в терминах отношения строгого порядка, полу-

чающегося путем спуска отношения строгого порядка вещественной прямой внутри булевозначной модели.

Цель работай. Описание пространств г абстрактной метрикой. Получение результатов о пополнении пространств с абстрактной метрикой, перенесение на такие пространства некоторых класси ческпх результатов о метрических пространствах. Описание классов пространств, являющихся аналогами метрических, полных метрических пространств, пространств Фрсшс. Установление связи между' пространствами с абстрактной метрикой и равномерными пространствами, исследование вопроса об абстрактной метризуемости равномерных структур.

Методика исследования. В работе применяются методы теории векторных решеток, функционального анализа, булевозначных интерпретаций.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми или доказаны новыми способами.

Основные результаты:

1. Нестандартное описание архимедовых векторных решеток и некоторой естественной топологии в таких решетках, а также описание порядка в векторной решетке, порождающего эту топологию.

2. Описание естественной метрики со значениями в векторной решетке равномерных пространств и установление критерия абстрактной метризуемости равномерной структуры.

3. Выделение абстрактных аналогов метрических, метрических полных пространств и пространств Фреше.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть применены при исследовании конкретных функциональных пространств, в теории векторных решеток. Кроме того они могут использоваться при разработке спецкурсов и спецсеминаров по теории полуупорядоченных пространств и применению теоретико-модельных методов в анализе.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на 11-й Коми республиканской молодежной конференции (Сыктывкар 1986 г.), на первом и втором Всероссийском семинарах по нестандартному анализу (Горький 1988 г., Саратов 1990 г.), на Всероссийской конференции по теории функций, посвященной памяти А.Ф.Леонтьева (Сыктывкар 1993 г.), на февральских (1995) чтениях Ученого Совета Сыктывкарского госуниверситета, на Второй Международной конференции "Математические алгорифмы"' (Н.Новгород 1996 г.), а ткже на научных семинарах кафедры математического анализа СГУ, на семинарах по полуупорядоченн'ым пространствам в Ленинграде.

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, которые отражают ее основное содержание.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы, содержащего £5 наименований. Объем диссертации - 80 страниц ма-

шинописного текста.

Во введении дается краткий обзор сведении из теории булевознач-ных моделей тео])1ш множеств, в первой главе излагаются необходимые результаты из теории моделей, применяемые в исследовании. Основное содержание работы изложено в последующих главах. В каждом параграфе применяется внутренняя нумерация теорем и определений.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Первая глава посвящена некоторым теоретико-модельным конструкциям, которые используются при исследованиях' в последующих главах и носит вспомогательный характер.

В первом параг2)афс*лы рассматриваем общие вопросы булевознач-ных интерпретаций теорий первого порядка.

Пусть В - полная булева алгебра. Под В-структурой для языка £ мы понимаем пару 9Л[В] =< А1,П > , где М - некоторый (возможно собственный) класс, П -соответствие, сопоставляющее каждой константе с в -С элемент с11 Е М, Каждому /¡-местному предикату Р в ,0 Вгзначное отношение Р® : М" —> В.'

Далее рекурсией по строению определяется В-значная истинностная оценка ||<*||в Для каждого высказывания а в Л.

Мы говорим, что структура 9Я[В] является В-значной моделью теории Тв£, если все теоремы Т истинны внутри 97?[В] , то есть имеют максимальную истинностную оценку.

Говорят, что структура отделима, если |[т = /г]|щ = 1 тогда и только тогда, когда тп — п.

Структуру назывыают полной, если для любого разбиения единицы {¿>£ : £ € 2} С В и любого множества элементов {т^ : ( 6 Н} С М существует элемент т 6 М такой, что |[т = тс]| ^ Ь^ для всех

ген.

Далее мы вводим понятие (элементарного) усиления для В-структур.

Определение 2. Будем говорить, что структура является усилением структуры 9Л[В]], если для любого высказывния (V в £ из ОТ[В,] \= а следует <Я[В2] И

Параграф 2 обобщает идеи Р.Мансфилда. Основное понятие здесь - факторструктура.

Определение 1. Пусть ЯЛ [В] - В-структура для языка -фильтр в В, то факторструктура ЯЛ (В : и] есть класс М с В//у-интерпретацией предикатов Р" — рги о Р®, где рт„ - стандартная проекция на фаюгоралгебру.

Имеет место следующее обобщение основной теоремы об ультрапроизведениях

Теорема 2. Если V - ультрафильтр в булевой алгебре В, то для любого высказывания п в Л ЯЛ[В : м] }= гу тогда п только тогда,когда [|«|] € "

Третий параграф посвящен погружению булевозначных интерпретаций в булевозначный универсум теории множеств. Мы определяем С-структуру для языка £ внутри V®, применяем к этой структуре операцию спуска и указываем связь между получающимися истинностными оценками. Подробнее, если М,С £ V® такие эле-

менты, что

Vм [= М - непустое множество, С - полная булева алгебра

то мы можем рассмотреть внутри V® полную отделимую С-значную модель Мс — < М, ||.||с >В теории Т. Определим М = М1,3ЗС = РС 1.

Соответсевующую С |-значную истинностную оценку обозначим

Имеют место следующие утве])ждения

Теорема 1. Для каждого пьюсязывынния а' в И |[<«>с = 1И1с]| = 1

Теорема 2. Если и - ультрафильтр в С внутри Vй', то

1- |[|И1*=^,(1Мк)]|=1

2. У® [= "М„ « тогда я то лько тогда, когда ]|а|| £ м", где М„ = М[С : г/], а - произвольное высказывание в £.

Теорема 3. Обозначим У" — Р" | <3.0,, = с. о,:;у„ . Тогда для любого высказывания « в &

1. <П1>„ = рт„ I (оас>с)

2. |[<п>„ - }|«у | = 1

В четвертом параграфе осуществляется подъем булевозначных структур. Для каждой С-структуры 9Л[С] определим СА- структуру Шс внутри У®, полагая

МС = МА>СЛ = РС Т.

С помощью теоремы о возможности правильного погружения полной булевой алгебры в получаем, что имеет место

Теорема 2. Если 9Л[С] - полная отделимая модель теории Т и существует (о)-непрерывный мономорфизм г : В —> С таком, что для всех х £ V®, Ь б В имеет место

|[г(й)г = г(6)з,]| = Ь - |[х- = у]|, ^ ¿(%]| = Ь -> |[з: ^ у}\, Ы{Ъ)х = Ьт.,ЬЧ{Ь)г. = О,

то существует полная отделимая, <СА [-значная модель 9Л[С * В] такая, что ЯЛ[С] ^ 9Л[С * В].

Определение 1. Модель Ю1[С * В] назовем нестандартным расширением модели 9Я[С].

В пятол1 параграфе результаты §§'2 - 4 переносятся на случаи нестандартных расширений двузначных моделей. Мы используем погружение 2-значной модели в У®, факторизацию и спуск.

Определение 1. Пусть 1Л - двузначная модель теории Т, Неполная булева алгебра, *Ш - элементарное расширение модели ЗЛ2* внутри У®, и - ультрафильтр в В. Модель *9Л = (*9Л)в/;> назовем обобщенно!! ультраетепеныо модели ЯЛ или элементарным расширением в смысле Мансфилда - Робинсона.

Во второй главе мы методами, изложенными в главе 1, исследуем архимедовы векторные решетки.

В §1 приводятся основные результаты теории векторных решеток и К- пространств, а также основной результат, являющийся ключом

к применению методов булевозначных моделей теории множеств к анализу - теорема Е.И.Гордона.

Теорема. ЕслпШ - множество вещественных чисел внутри V®, то Ж является расширенным К-пространством с: базой изоморфной В, а также коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, подкольцо идемпотентов которого, изоморфно булеву кольцу В.

§2 посвящен обсуждению системы аксиом теории векторных решеток'

Б третьем параграфе иследуются нестандартные расширения моделей \>Л.

В архимедовой-векторной решетке со слабой единицей вводится отношение существенного порядка. В несколько ином аспекте методами нестандартного анализа векторные решетки исследоват Э.Ю. Емельянов.

Определение 1. Пусть А' - архимедова векторная решетка. Для .1,// 6 А" определим т << у, если для некоторой слабой единицы е имеет место равенство

х 4 е — у.

Одни из наиболее важных результатов в строении ' X - нестандартного расширения А'

Теорема 3. Существуют множества /, 1? С* А" л решеточный н линейный гомоморфизм ° : Р —> X такие, что

1. О £ I и г € / тогда и только тогда, когда Ух £ А"+|г| << х

2. / € F тогда и только тогда, когда 3.i: 6 Х+|/| SC х

3. / £ F тогда н только тогда, когда существуют единственный элемент х £ X, i £ I такие, что / = х + г. При чтом " f = х

4. dorn° = F, К er" = I^rng" = Л'

Далее вводится понятие монады.

Определение 2. Для х,у £* X определим отношение х « у. если ,г — .// 6 i. Для л.* € * Л' положим //(.г) = {;</ 6* X : у « .г}. Множество //(:*') называем монадой элемента х.

D четвертом параграфе вводится естественная топология архимедовой векторной решетки как относительная топология спуска топологии веществешшй прямой внутри I '". Это оправдано следующей леммой.

Лемма 1. Если S - бязи топологии (равномерности) внутри \Аа, то множество £' = {Е Е 6 Е Ц является базой некоторой топология (равномерности).

Определение 2. Естественной топологией K-пространства | называем топологию, база которой есть S [. где

F® |= S - естественная топология 3R.

Далее естественная топология описывается в терминах, внутренних по отношению к теории V£. Имеет место

Теорема 1. Естественная топология совпадает с интервальной топологией существенного порядки.

Теорема 3. Сходимость в естественной топологии совпадает со сходимостью с регулятором.

Третья глава - основная в работе.

Первый параграф посвящен мотивировке постановки задачи.

Определение 1. Пусть А' - непустое множество ,Е - архимедова векторная решетка и р - функция с domp --- X х X,rngp С Е+ , такая, что

1- 1>(:,\у) — 0 тогда и только тогда, когда .к — у.

2. для всех х,у Е Хр(х,у) = р{ц,х)

3. для всех х,у, 2 £ Хр(х,у) ^ р(х, z) +- p(z,y).

Функцию р будем называть ¿^-метрикой, а тройку < А', р, Е > - £,-метричееунм пространством. Если Е ~ .'R |,то R ¿-метрику называем абстрактной и обозначаем /?>)(, а пространство < А> = < Aj> - пространством с абстрактной метрикой.

Туорема 1. Если < X, р > - метрическое пространство внутри Vй, то < X р |> является пространством с абстрактной метрикой.

Теорема 2. Если < X, Е > - хну сдорфово равномерное пространство, то существует Л'-просгранство 'К и ЗС-метрика р на А.

Теорема 3. Равномерность S порождается метрик ой р.

Теорема 4. Равномерность S пнду пируете, я естественной топологией 'К.

В §2 исследуется полнота и вопрос о пополнении решеточно метризованных пространств относительно выделенной сходимости а в метризующей решетке Е. Основной результат:

Теорема 1. Пусть архимедова векторная решетка Е, полна относительно некоторой сходимости о, которая удовлетворяет принципу диагонали. Тогда всякое Е-метрическое пространство имеет единственное, с точностью до пзиметрпп пополнение относительно (р — о)-сходимости: (р — а) — lim д:„ = а тогда и только тогда, когда (о) — lim р(х„,а) — Ü.

Параграф третий носит вспомогательный характер и содержит фольклорные результаты о булевозначных метриках, то есть функциях d : X х X —► К, где X - непустое множество. Б -- полная булева алгебра, со свойствами: для любых .г-, у, z € А"

d(x,y) = О тогда и только тогда, когда х = у

d(x,y) = d(y,x)

d(x,y) ^ d(x,z) V d{y,z)

и их связи с множествами внутри V®.

Множество, снабженное B-метрикой называют В-метрпческим пространством.

Вводится понятие естественной B-метрики пространства с абстрактной метрикой, как функции а также понятие цикличе-

гкого решеточнометризованного пространства.

Определение 2. В-метрическое пространство называют циклическим, если для любого разбиения единицы : £ £ булевой алгебры В л произвольного множества : ( £ Н} С А' существует единственный элемент х £ А* такой, что для всех £ £ Е выполнено (1{х,хс)лЬ< = 0.

Определение 3. Циклической оболочкой В-метричесткого пространства < A\d, В > назовем наименьшее В-метрическое пространство < А',(/',В > такое, что d' о in у х ¿мЛ- — tl.

Известно, что А' = АЛ |, d' = |[. =

Цикличность и циклическая оболочка пространства с абстрактной метрикой понимается как соответствующие понятия относительно естественной В-метрики.

В §4 пространства с абстрактной метрикой исследуются методами булехюзначных моделей теории множеств. Мы выделяем класс пространств, допускающих правильное погружение в V , то есть А'л А.Эти же пространства являются абстрактными аналогами метрических пространств. Класс спусков полных метрических пространств дает аналог таких пространств. Мы приводим внутреннюю характеристику таких пространств, вводя понятия циклической полноты и пополнения.

Определение 1. Пространство с абстрактной метрикой мы называем циклически полным, если оно полно относительно сходимости, индуцируемой абстрактной метрикой по средствам сходимости в естественной топологии sü j, к является циклическим.

Определение 2. Пусть имеется /^-метрическое пространство < Х,р,Е >. Назовем ого циклическим пополнением наименьшее циклически полное пространство с абстрактной метрикой < У, рц; > такое, что

тЕ о р = рх о / х /

для некоторой пзометрни /, где ¿П£ - вложение Е в ее максимальное расширение.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 2. Всякое рршрточнометрпзчваннос пространсто имеет единственное, с точностью до нзометрпп, циклическое пополнение.

В этом же параграфе мы приводим абстрактный аналог теоремы С.Банаха о неподвижной точке и приме]) применения полученных результатов к теории Л"-проетранетв.

Параграф пятпыи посвящен вопросу о метризуемости данного равномерного пространства по средствам метрики со значениями в данном /{"-пространстве %. Сходный результат получен А.Г.Кусрае-вым.

Основной результат:

Теорема 1. Для Х-метризуемости полного хаусдорфопа равномерного пространства. < X, Е > необходимо и достаточно, чтобы в идеале [О, Е] решетки всех равномерностей на X существовала правильно вложенная полная булева подрешетка Т такая, что

1. для любых х, у £ X равен сто я = у имеет место тогда и только тогда, когда всякая равномерность А € Т не разделяет х и

.у, то есть любое окружение диагонали Е 6 Л содержит пару < X, у > .

2. для любых'двух точек х,у € А' наибольшая равномерность, не разделяющая х и у принадлежит Т

3. полная булева алгебра Т изоморфна базе 'X.

4. каждая равномерность из Т порождается некоторой ЗС-псевдо-метрикон.

5. если А^у - наибольшая равномерность, не разделяющая точки ж,у,то &ху = ([.г = ?/]|, где оценка вычисляется в

При этом внутри V1" существует полное мет]>ическое пространство

< У, р > такое, что < А, £ > изометрически и равномерно некоторому подпространству пространства < \г |>.

В шестом параграфе мы исследуем решеточнометризованные группы. Вместо метрики, которую мы предполагаем инвариантной, мы рассматриваем ква.тнорму.

Определение 1. Е-квазинормой на абелевой группе С? мы называем функцию р : С х С? —> Е1, обладающую свойствами

1- Р(й) ^ 0 и р{<)) — 0 тогда и только тогда, когда д = 0.

2- р{-д) = р(д)

3. р{<)1+92) ^ Р(т) +рЫ)

Мы ограничиваемся случаем абстрактных (со значениями в Й J.) квазинорм.

Для внутреннего описания класса пространств, допускающих правильное" погружение в подходящую булевознлчную модель теории множеств, мы вводим 5-условие на. квазинорму, обобщающее условие разложимости нормы, введенное Л.В.Канторовичем для пространств типа В/ч\

Определение 1. Будем говорить, что абстрактно метризованная группа < G,p > удовлетворяет SK, где к - некоторое кардинальное число, если Для любого элемента ;/ G G и любого разбиения {<?£ : f 6 Е} элемента р(д) с card Е к существует множество : f £ Е} С G такое, что p(<j() = для всех ( £ Е и

Если G удовлетворяет SK для любого ка]>динала к. то гово])Им, что G является 5-rpvnnoii.

Основной результат показывает, что S-условне равносильно цикличности.

Теорема 1. Если < G,p > - метрическая ибелевн группа внутри У®, то < G l,]> |> - S-группа.

Определение 2. Если (^-абстрактно метризованная группа, то ее SK- (соответственно S-) пополнением назовем наименьшую SK-полную (соответственно 5—)группу < G',p > такую, что p'oin(; = р.

Теорема 2. Всякая абстрактно метризованная группа имеет единственное, с точностью до изометрпп, SK- н S-пополнение.

Седьмой параграф посвящен векторным пространствам с абстракт-

hoíí метрикой. Мы также выделяем класс пространств, допускающих правильное погружение в \/Ш, а также абстрактный аналог пространств Фреше.

Определение 1. Решеточно квазинормнрованное векторное пространство X над полем вещественных чисел будем называть линейным решеточно квазинормированным пространством, если для любого х 6 Л' из А„ —> 0(Л,» € R) следуетр(А,—> 0.

Основной результат:

Теорема 1. Если X -линеиное метрическое пространство вну-трн 1/й, то X | -- линейное квазинормщюванное пространство, являющееся циклическим модулем над кольцом U [ (и S-труппой).

Хотя в общем случае из того, что А" - векторное пространство не следует, что Xa - векторное пространство внутри У®', имеет место

Теорема 2. Если X - линейное решеточно квазинормнрованное пространство и Y - пополнение X внутри 1/Е', то внутри V7® на Y можно ввести структуру полного линейного метрического пространства так, что при жом Y | является циклическим (и S-) пополнением пространства X.

Абстрактным аналогом пространств Фреше являются вводимые далее пространства типа F¡;.

Определение 2. Линейное абстрактно квазинормнрованное пространство будем называть пространством типа F¡< или пространством Фреше-Канторовича, если оно полно и S-полно.

Теорема 3. Всякое пространство типа Fu является точным мо-

дулем над метрпзуюидш Л'-П|х>гтран(твом.

В восьмом параграфе мы доказываем для пространств Фреше-Канторовича аналог теоремы о замкнутом графике и одно ее следствие.

Основные результаты диссертации опубликонаны. в работах,:

1. Ловягин Ю.Н. Пространства с абстрактной метрикой// Упорядоченные пространства и операторные уравнения: Межвуз. сб./Сыктывкар, ун-т. Сыктывкар, 1989. С.24 -- 32.

2. Ловягин Ю.Н. К-метризуемость равномерных сгруктур//Вопр. функц. анализа (теория меры упор, пр-ва, оператор, ур-я): Межвуз. сб./Сыктывкар. ун-т. Сыктывкар, 1991. С.39 - 43.

3. Ловягин Ю.Н. О некоторых вопросах нестандартной теории пространств Л.В.Канторовича//Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1, Вып 1, 1995. С.47 - 53.

4. Ловягин Ю.Н. Нестандартный критерий (г)-сходпмостп// Вторая Международная конф. "Математические алгорифмы". Тез. докладов/ Н.Новгород, 1995. С.35.

5. Ловягин Ю.Н. О некоторых теоретико-модельных конструкциях- CbiKTbf^Ko.piCht«, ГУ í Д-е/7 £ Винити.

гз&З-в96. - g с.