Обобщения разрешимости для групп ограниченного вычета тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

Институт Математики имени С. Л. Соболева Специализированный совет Д 002.23.01

На правах рукописи УДК 512.743

Захрямин Евгений Анатольевич

ОБОБЩЕНИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ДЛЯ ГРУПП ОГРАНИЧЕННОГО ВЫЧЕТА

(01.01.6 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск • 1997

Диссертация выполнена в Институте Математики имени С. Л. Соболева СО РАН.

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущее учреждение

действительный член Петровской академии на>к и искусств,

ДОКТОр ^иамкл^мятрмягцчргуму ияух.

Профессор I К"). И. Мерзляков 1

доктор физико-математических наук, профессор В. М. Левчук

доктор физико-математических наук, профессор И. Д. Супруненко

Новосибирский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится «22» ноября 11)97 года в «_» часов на

заседании специализированного совета Д 002.23.01 Института Математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск-90. Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инаитута Математики СО РАН Автореферат разослан «20» октября 1997 года.

Ученый секретарь совета кандидат физико-математических на^к-

Понятие разрешимой группы, идущее от Эвариста Галуа, рассматривавшего только конечные группы, при переходе к бесконечным группам сильно ветвится: равносильные определения разрешимости перестают быть таковыми. В этом году состоялся полувековой юбилей фундаментальной работы А.Г. Куроша и Н.С. Черникова "Разрешимые и нильпотентные группы", выдвинувших программу систематического исследования условий обобщённой разрешимости обобщённой нильпотентности, называемых в настоящее время условиями (классами) Куроша-Черникова. За истекшие пятьдесят лет усилиями ведущих мировых школ в области теории групп эта программа в значительной мере выполнена., но некоторые из более чем тридцати (совсем точно: тридцати одной) проблем, поставленных в работе [12] остаются нерешёнными по сей день. Появились и важные "подпрограммы", посвященные выяснению связей между условиями Куроша-Черникова в классах линеаризуемых (сибирская и белорусская школы) и финитарно линеаризуемых групп (сибирская и английская школы).

"Преобразования конечного ранга", т. е. линейные преобразования <р векторных пространств над полем имеющие конечномерный образ Im(<p — 1), рассматривались в конце пятидесятых годов, например, в книге [б, стр.113]. Позднее, О'Мира [30] получил известные результаты, относительно изоморфизмов общих линейных групп, исследуя автоморфизмы векторных пространств вида д = 1 + <р, где <р — преобразование конечного ранга. Он же назвал назвал dim Im(д — 1) вычетом линейного преобразования д. Систематическое изучение подгрупп, элементами которых являются обратимые преобразования конечного ранга (финитарно линейных подгрупп) началось сравнительно недавно. Тем не менее, в этой области уже получены интересные и глубокие результаты, например, Д. Холл (см. [29, с.147-188]) классифицировал периодические простые финитарно линейные группы. Существенным элементом этой классификации является представление линейных преобразований произвольных векторных пространств в ультрапроизведениях конечно порождённых линейных групп. Представления в ультрапроизведениях, порождённых локальными покрытиями финитарно линейной группы ранее рассматривались в работе В. В. Беляева [4]. Финитарно линейным группам посвящен обзор Р. Филлипса [29, с.111-146].

Основная цель диссертации — исследование классов обощённо линейных групп и соотношений между условиями Куроша-Черникова, возникающими в классе финитарно линеаризуемых групп. Диссерта-

ция состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов и библиографии по теме работы, насчитывающей тридцать девять наименований. Текст, занимающий сорок шесть страниц содержит две таблицы и пять рисунков. Нумерация утверждений (лемм, теорем) и параграфов — сквозная, т. е. каждый из перечисленных объектов идентифицируется с единственным числом. Для облегчения поиска ссылок, в тексте иногда встречаются выражения вида "Теорема X из параграфа У". Все результаты диссертации, за исключением специально указанных, являются новыми и получены автором самостоятельно. Они опубликованы в работах [34]—[39], докладывались автором на семинарах "Эварист Галуа","Алгебра и логика", на семинарах по теории групп в Новосибирском и Красноярском университетах, на Втором Конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ШРШМ-96). Прежде чем перейти к краткому изложению результатов диссертации, введём необходимые обозначения и определения.

Пусть К, — произвольный (абстрактный) класс групп. О группах из класса ¡С будем говорить, что они являются К,-группами или обладают свойством К,. Символами Э(/С) обозначим класс групп, изоморфных подгруппам /С-групп; Ц/С) — класс групп, все конечно порождённые подгруппы которого обладают свойством /С (локальное, замыкание класса /С); 1лт£ и — классы, состоящие из групп, изоморфных индуктивным (инъективным) пределам и ультрапроизведениям /С-групп соответственно; ц/С = 5(Ыт/С) — квазимногообразие, порождённое К,-

группами; £„ = Э(£п) — класс групп, имеющих точное представление автоморфизмами векторных пространств размерности п над полем.

Подгруппы автоморфизмов конечномерных векторных пространств

оо

называют линейными группами. Абстрактные группы из £ = и £„, т. е. группы изоморфные линейным, для которых не зафиксировано представление в векторном пространстве будем называть линеаризуемыми.

Первый параграф диссертации носит вспомогательный характер: в нём излагаются используемые в дальнейшем определения, приводятся формулировки наиболее важных из цитируемых теорем, вводятся единообразные обозначения, соответствующие книгам [10, 19].

Второй параграф посвящен доказательству критериев финитарной линеаризуемости абстрактных групп в терминах ультрапроизведений общих линейных групп и является продолжением исследований, связан-

ных с представлениями групп в ультрапроизведениях, начатых в [4]. Для любого линейного преобразования д векторного пространства V нал полем к определены вычетпое пространство Im (д — 1) и вычет res д = dimlm (д — 1) (см. [30]). Обобщая последнее определение на элементы ультрапроизведений линейных групп, вводится следующее

Определение. Пусть к{, г £ I, — семейство полей, индексированных множеством 1, V — ультрафильтр над I, д = (gi)f^/ Е lim GLni(&,).

Тогда

Res д = inf {п Е N | {г Е J|res д{ < п} £ V}

называется вычетом элемента д. (Как обычно, нижняя граница пустого множества считается бесконечной.)

Легко проверятся, что данное определение корректно, т. е. подмножество натуральных чисел, нижняя граница которого определяет Res д, не зависит от выбора представителя класса д.

Подгруппы группы li_mGLni(&,-), все элементы которых имеют конечный вычет, естественно назвать подгруппами ограниченного вычета.

Основные результаты § 2 сформулированы в следующих ниже теоремах.

Теорема 1. (Критерий финитарной линеаризуемости.) Класс групп, изоморфных группам ограниченного вычета, совпадает с классом финитарно линеаризуемых групп.

Теорема 2. Группа G финитарно линеаризуема тогда и только тогда, когда G изоморфна подгруппе ограниченного вычета улъ-трапроизведения конечных групп limGLnj(Fj) над конечными полями

FjjEJ.

В качестве следствий из этих теорем легко получаются известные результаты о локальной линеаризуемости финитарно линеаризуемых групп, о финитарной линеаризуемости факторгрупп финитарно линейных групп по унипотентному радикалу и другие.

В § 3 рассматриваются группы финитарно линеаризуемых в целом, т. е. группы G для которых существует точное представление р : G —» Autfc(Vr) автоморфизмами векторного пространства V над

полем к и такая база £ векторного пространства V, что матрица каждого линейного преобразования др, д £ G в этой базе лишь в конечном числе мест отличается от единичной.

Для любой матрицы а £ GLU(£) определяется подмножество

s(a)={(M)€{l,...,n}x{l,...,ra} | ак1ф8к1), здесь 5k¡ — 1 при к — I и 8ki = 0 при к ф I,

а для любого д = Í9j)j^j 6 limGLny(kj) — число (возможно бесконечное)

\S(g)\ = inf {m £ N | {j £ J | |S(fli)| < m} 6 v}.

Если же |5(5)| < oo, то g называется элементом с конечным носителем. Совокупность всех элементом с конечным носителем образует группу, подгруппы которой играют роль подобную подгруппам ограниченного вычета.

Точнее, справедлива аналогичная теореме 1,

Теорема 1'. Группа G финитарно линеаризуема в целом тогда и только тогда, когда G изоморфна подгруппе элементов с конечными носителями в улътрапроизведении линейных групп.

Очевидно, Res g < |S(fif)|, т. е. класс групп финитарно линеаризуемых в целом содержится в /£(Lim£). Для счётных групп свойства финитарной линеаризуемости в целом и финитарной линеаризуемости "поэлементно" эквивалентны. Более того, если существует точное финитарно линейное представление р : G —> Aut¿(V) счётной группы G, то представление р' и базу £, на которую др действует почти (за исключением конечного числа) тождественно можно выбрать в пространстве V' (содержащим V в качестве прямого слагаемого) над тем же самым полем к (см. [28, теорема 2.1]). Однако, группа FGLk(V) всех невырожденных финитарно линейных преобразований векторного пространства V над полем к не может иметь финитарно линейного в целом представления автоморфизмами бесконечномерного пространства V над любым полем: какую бы базу £ пространства V не выбрать, трансвек-ция t £ FGLk{V), определённая своим действием на базисных векторах правилом еоt = ео, et = е + ео при е £ £\{ео} имеет в этой базе матрицу с бесконечным столбцом. Автору не удалось найти ответ на следующий

Вопрос. Не исчерпывается ли класс финитарно линеаризуемых групп группами финитарно линеаризуемыми в целом?

В § 4 рассматриваются отношения включения и различия между классами групп £, Ьпп£, Ьпп£, Л°(1лт£), Л(Ьш1£), 3(1лт£) =

Здесь 5" -— класс всех конечных групп, Л(Ьнп £) — класс финитарно

линеаризуемых групп, Д°(1лт£) — класс групп, финитарно линеаризуемых в целом.

Классическая локальная теорема А. И. Мальцева для квазиуниверсальных классов моделей (см. [17, с. 77-99]) позволила единым образом получать локальные теоремы алгебры, доказывавшиеся до этого весьма специфическими способами.

Располагая ещё лишь начальным вариантом своей общей теоремы, А. И. Мальцев установил локальную теорему для групп, представимых матрицами фиксированной степени над полем (см.[18, теорема 4]), которую во введённых выше обозначениях можно выразить равенствами:

£„ = Ь(£п) = 1лт£„ = 1лт£п.

4 —> о

В этой же работе А. И. Мальцев установил критерий представимости абелевых групп матрицами над полем, из которого следует, что отказаться от равномерной ограниченности степени представлений в локальной теореме нельзя, т. е. класс линеаризуемых групп £ строго содержится в Ь(£), причём пример группы из Ь(£) \ £ может быть построен уже в классе абелевых групп. Класс Л(1лгп£), в отличие от £,

содержит все абелевы группы (лемма 2 из параграфа 4) и некоторые другие очевидные примеры локально линеаризуемых групп, не имеющих точных конечномерных представлений (например, прямые произведения бесконечного множества конечных неабелевых групп). Тем не менее класс Я(1лш£) по прежнему строго содержится в локальном замыкании Ь(£): в § 4 указаны примеры нильпотентных групп, которые нельзя линеаризовать финитарно, т. е. свойство группы быть финитарно линеаризуемой не является локальным. В частности, свойство Я(1лт£) нельзя выразить квазиуниверсальной формулой.

Основным результатом § 4 является следующая

Теорема 3. Естественный частичный порядок на множестве классов £, 1лш£, 1лш£, Я(1лщ£), Э(1лт£) полностью определён на схеме:

£ Я(1лт£) 1лт£

Здесь стрелкой от X к У обозначено утверждение: свойство X влечёт свойство У ( класс X меньше класса У ).

В частности, все рассматриваемые классы различны и класс 1лт£

о

не замкнут относительно взятия подгрупп.

За исключением класса все классы не замкнуты относительно прямых произведений.

Все рассматриваемые классы не замкнуты относительно взятия факторгрупп, а значит, отличны от класса всех групп.

В заключительных параграфах, составляющих главу 2, рассматриваются условия обобщенной разрешимости и обобщённой нильпотентности при дополнительном условии финитарной линеаризуемости групп. Исследованию обобщений разрешимости и нильпотентности в классе финитарно линеаризуемых групп посвящён ряд работ (см., в частности, [22, 24, 26]).

В §§ 5 и 6 в этом направлении будут доказаны следующие

Теорема4. В классе финитарно линеаризуемых групп свойства ЯЫ* и Ш* совпадают с локальной разрешимостью.

Теорема5. В классе финитарно линеаризуемых групп свойство N совпадает с локальной нильпотентностью.

В диссертации рассмотрены и другие обобщения разрешимости и нильпотентности и указаны примеры, разделяющие их в классе финитарно линеаризуемых групп. Отдельные вопросы в этом случае остаются открытыми; они также отмечены.

[2

[3

[4

[5

[6 [7

[8

[9

[10

[11 [12

[13

[14 [15

ЛИТЕРАТУРА

A. И. Будкин, В. А. Горбунов, К теории квазимногообразий алгебраических систем, Алгебра и логика, 14, N 2 (1975), 123-142.

М. С. Гаращук, К теории обобщённых нильпотентных групп, ДАН БССР, 4 (1960), 276-277.

М. С. Гаращук, Д. А. Супруненко, Линейные нильгруппы, ДАН БССР, 4 (1960), 407-408.

B. В. Беляев, Строение периодических групп финитарных преобразований, Алгебра и логика, 33, N 4 (1994), 347-366.

В. В. Беляев, Строение р-групп конечных преобразований, Алгебра и логика, 31, N 5 (1992), 453-478.

Н. Джекобсон, Строение колец, ИЛ, Москва, 1961.

Нерешённые вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 13-е изд., Новосибирск, 1995.

М. И. Каргаполов, Об обобщённых разрешимых группах, Алгебра и логика, 2, N 5 (1963), 19-28.

М. И. Каргаполов, Некоторые вопросы теории нильпотентных и разрешимых групп, ДАН СССР, 127, N 6 (1959), 1164-1166.

М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, 3-е изд., М., Наука,1982.

А. Г. Курош, Теория групп, 3-е изд., М., Наука, 1967.

А. Г. Курош, С. Н. Черников, Разрешимые и нильпотентные группы, УМН, 2, N 2 (1947), 18-59.

Я. Б. Ливчак, К теории обобщённо разрешимых групп, Сиб. мат. ж., 1, N 4 (1960), 617-622.

Я. Б. Ливчак, Локально разрешимая группа, которая не является Д//"-группой, ДАН СССР, 125 (1959), 260-268.

Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. - М., Мир, 1980.

[16] А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970.

[17] А. И. Мальцев, Избранные труды, том 2, Математическая логика и общая теория алгебраических систем, М., Наука, 1976.

[18] А. И. Мальцев, Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами, Матем. сб., 8, N 3 (1940), 405-422.

[19] Ю. И. Мерзляков, Рациональные группы, 2-е изд., М., Наука, 1987.

[20] Ю. И. Мерзляков, К теории обобщённых разрешимых и обобщённых нильпотентных групп, Алгебра и логика, 2, N 5 (1963), 29-36.

[21] Ю. И. Мерзляков, О группах Каргаполова, ДАН, 322, N 1 (1992), 41-44.

[22] Ю. И. Мерзляков, Эквиподгруппы унитреугольных групп: критерий самонормализуемости, ДАН, 339, N 6 (1994), 732-735.

[23] Г. А. Носков, Субнормальное строение конгруэнц-группы Мерзля-кова, Сиб. мат. ж., 14, N 3 (1973), 680-683.

[24] U. Meierfrankenfeld, R. Е. Phillips, О. Puglisi, Locally solvable finitary linear groups, J.London Math. Soc.,47,N 1 (1993),37-40.

[25] Higroan G. Finitely presented infinite simple groups // Notes Pure Math., Austral. Nat. Univ., Canberra, 1974. [Русск. пер.: Хигман Г. Конечно определённые бесконечные простые группы // Разрешимые и простые бесконечные группы. М.: Мир, 1981. С. 87-147.]

[26] W. A. F. Wehrfritz, Nilpotence in finitary linear groups, Mich. Math. J., 40, N 3 (1993), 419-432.

[27] F. Leinen, Hypercentral unipotent finitary linear groups, Comm. Algebra, 22, N 3 (1994), 929-949.

[28] F. Leinen, Puglisi O., Unipotent finitary linear groups, J. London Math. Soc., 48, N 1 (1993), 59-76.

[29] Finite and Locally Finite Groups, NATO ASI Series C, Vol. 471, 1995.

[30] О. Т. О'Меага, Lectures on linear groups, Providence, Rhode Island, 1974. [Русский перевод: О. Т. Мира, Лекции о линейных группах, В кн.: Автоморфизмы классических групп, М., Мир, 1976, С. 57-116.]

[31] J. S. Wilson, An S/-group which is not an SW-group, Bull. London Math. Soc., 5, N 2 (1973), 192-196.

[32] J. S. Wilson, On periodic generalized nilpotent groups, Bull. London Math. Soc., 9, N 1 (1977), 81-85.

[33] J. S. Wilson, SN-groups with non-abelian free subgroups, J. London Math. Soc., 7, N 4 (1974), 699-708.

Работы автора по теме диссертации

[34] Е. А. Захрямин, К локальной теореме Мальцева для линейных групп, Тезисы докладов международной конференции по математической логике, посвященной 85-летию А. И. Мальцева, Новосибирск, 1994, 48-49.

[35] Е. А. Захрямин, Об условиях обобщённой разрешимости и обобщённой нильпотентности в классе финитарно линеаризуемых групп, В сб.: Групповые и метрические свойства отображений, Новосибирск, 1995, 26-36.

[36] Е. А. Захрямин, О подгруппах ультрапроизведений линейных групп, Группы в анализе и геометрии: Тезисы докладов международной конференции, Омск, 1995, 44-45.

[37] Е. А. Захрямин, О подгруппах ультрапроизведений общих линейных групп, Препринт N 15, ИМ СО РАН, 1995.

[38] Е. А. Захрямин, К вопросу о строении FC-групп финитарно линейных преобразований, Второй Сибирский Конгресс по Индустриальной и Прикладной математике, посвященной памяти А. П. Ляпунова (1911-1973), А. П. Ершова (1931-1988) и И. А. Полетаева (1915-1983). Тезисы докладов, часть II, Новосибирск, 1996, 190.

[39] Е. А. Захрямин, Подгруппы ограниченного вычета в ультрапроизведениях конечных групп, Алгебра и логика, 36, N 5 (1997), 531542.

- И -