Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи Сотников Алексей Игоревич '—

ПОРЯДКОВЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Гутман Александр Ефимович

Консультант: кандидат физико-математических наук,

доцент Жданок Александр Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Водопьянов Сергей Константинович,

кандидат физико-математических наук, доцент Рубан Анатолий Альбертович

Ведущая организация: Северо-Осетинский государственный

университет

Защита диссертации состоится « 3 » 2004 г. в час.

на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л.Соболева СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 2004 г.

■гт/ У

Ученый секретарь диссертационного совета '} //

кандидат физ.-мат. наук Романов А. С.

I. Общая характеристика работы

1°. Актуальность темы. Сегодня общепризнанна важная роль вероятностных методов исследования как во многих прикладных задачах, так и в естественных науках. Одним из наиболее часто возникающих вероятностных объектов при построении математической модели разнообразных явлений являются марковские случайные процессы. В соответствии с запросами практики большинство исследований проводится в рамках теории случайных процессов с дискретным временем, т. е. цепей Маркова. Суть этих процессов заключается в том, что развивающаяся в дискретном времени динамическая стохастическая система имеет некоторую вероятностную закономерность, учитывающую свою предысторию только за один прошлый шаг либо за заранее фиксированное конечное число предыдущих шагов.

Развитие теории марковских процессов началось сразу же после основополагающих работ А. А. Маркова в начале прошлого века. В настоящее время лишь одно перечисление авторов, занимающихся исследованиями в этой области, может занять несколько страниц. Следует выделить два подхода, используемых при изучении цепей Маркова. Один из них базируется на исследованиях по цепям Маркова, выполняемых в рамках классической трактовки случайных процессов на языке случайных величин. Другой — функционально операторный — подход берет свое начало от работы К. Иосиды и С. Какутани, в которой теория цепей Маркова была переведена на язык теории линейных операторов в некоторых пространствах функций и пространствах мер.

Исследования последних лет характеризуются более широким использованием топологических и функциональных методов, стремлением ослабить ограничения на фазовое пространство и на сами марковские процессы. Эта тенденция нашла свое отражение в работах Э. Шида-ка, С.Фогеля, У.Херкенрата, А.А.Боровкова, Ю.В.Прохорова. Однако продвижение в этом направлении сдерживалось традиционной трактовкой вероятности как счетно-аддитивной меры. Придание конечно-аддитивной мере вероятностного смысла было инициировано Л.Е.Ду-

бинсом и Л. И. Сэвиджем в рамках задач по теории игр и послужило отправной точкой для изучения конечно-аддитивных цепей Маркова. В этом направлении отметим работы А. И. Жданка, в которых разрабатывается функциональный подход к изучению конечно-аддитивных цепей Маркова на произвольном измеримом пространстве. Последние результаты в этом направлении указывают на необходимость отдельного и широкого исследования конечно-аддитивных цепей Маркова.

2°. Цель работы. Цель настоящей работы заключается в применении порядкового подхода к исследованию конечно-аддитивных цепей Маркова на произвольном измеримом пространстве.

3°. Методы исследования. В основу диссертационной работы легло применение аппарата теории операторов, теории упорядоченных банаховых пространств и теории векторных мер к конечно-аддитивным цепям Маркова. Изложенный в этой работе подход позволяет преодолеть еще один психологический барьер при изучении цепей Маркова — отказаться от положительности «переходных функций» цепей Маркова и их нормированности, т. е. выйти за рамки вероятностного языка.

4°. Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Исследована взаимосвязь пространства конечно-аддитивных переходных функций с пространствами линейных операторов, векторных мер, и измеримых вектор-функций. Установлено, что упорядоченное векторное пространство переходных функций в общем случае не является векторной решеткой. На пространстве переходных функций введено естественное отношение дизъюнктности. Показано, что пространства счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных переходных функций являются взаимно дополнительными полосами относительно введенного отношения дизъюнктности. Установлено, что разложение конечно-аддитивной переходной функции в сумму счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной переходных функций, вообще говоря, не имеет места. Ведено пространство сильно аддитив-

ных переходных функций. Показано, что любая такая переходная функция допускает (единственное) разложение в сумму счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной составляющих. Также исследованы порядковые, метрические и алгебраические свойства пространства сильно аддитивных переходных функций и установлена его взаимосвязь с соответствующими пространствами линейных операторов, векторных мер и измеримых вектор-функций. В работе даны ответы на некоторые открытые вопросы, обозначенные в работах А. И. Жданка.

5°. Теоретическая ценность. Теоретическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они открывают новые возможности для более детального и широкого изучения конечно-аддитивных цепей Маркова. Полученные в работе результаты касаются не только исследования переходных функций с абстрактной точки зрения теории упорядоченных пространств и банаховых алгебр. Из них также следуют некоторые новые утверждения и для традиционных цепей Маркова, востребованность которых в математических приложениях общеизвестна.

6°. Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», на ежегодной республиканской научно-практической конференции, проводимой в Тывинском государственном университете, на объединенном семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, на заседании кафедры математического анализа Новосибирского государственного университета, а также на еженедельных семинарах лаборатории функционального анализа в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6], указанных в конце автореферата.

7°. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из списка основных обозначений, трех глав и списка литературы и занимает 74 страницы. Библиография включает 43 наименования.

II. Содержание работы

Для измеримого пространства (X, Е) символами В(Х), Ьа(Е), са(Е) и р/а(Е) обозначаются соответственно пространство ограниченных Е-измеримых вещественных функций, пространство ограниченных конечно-аддитивных мер на Е и его подпространства, составленные из счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных мер.

Во введении (глава 1) дано краткое обоснование актуальности исследуемой тематики и общая целевая установка работы, приводится краткая характеристика основных результатов, изложенных в диссертации, а также используемых методов.

Глава 2 носит вспомогательный характер и содержит обзор необходимых для понимания дальнейшего материала разделов теории операторов, теории упорядоченных банаховых пространств, теории векторных мер. Излагаемые в этой главе факты в основном не являются новыми и отражены в соответствующей литературе. Наряду с уточнением необходимых определений и фиксацией обозначений в этой главе вводится ряд новых понятий и устанавливаются некоторые результаты вспомогательного характера (см. ниже).

В параграфе 2.1 вводится понятие отношения «абстрактной» дизъ-юнктности на произвольном векторном пространстве. Показано, что если V — минорирующее векторное подпространство векторной решетки V, то отношение порядковой дизъюнктности на V индуцирует отношение на элементах V, которое обладает всеми свойствами «абстрактной» дизъюнктности.

Теорема 2.1.3. Пусть V — векторная решетка и V — минорирующее векторное подпространство V. Введем на V отношение с1, полагая VI (1 иг в том и только том случае, если VI Л г»2 (т. е. элементы их, г>2 € У дизъюнктны как элементы векторной решетки V). Тогда имеют место следующие утверждения:

(1) V наследственно вложено в V;

(2) вир^у е V : 0 < г/ < и} = V для всех 0 < г? € V;

(3) = и*-1- П V для любого подмножества (7 С V;

(4) отношение <1 является отношением дизъюнктности на V.

Последняя теорема многократно используется в данной работе и, в частности, характеризует отношение дизъюнктности, относительно которого пространства счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных переходных функций являются взаимно дополнительными полосами.

В параграфе 2.2 введены понятия комка, Е-согласованного множества и дискретного измеримого пространства. Доказана эквивалентность ряда условий дискретности измеримого пространства. В частности, показано, что измеримое пространство дискретно тогда и только тогда, когда все -согласованные множества измеримы (предложение 2.2.6).

Дан ответ на естественно возникающий вопрос о том, всегда ли измеримое пространство с атомной порядково полной -алгеброй является дискретным. Следующая теорема показывает, что (в определенном смысле) как положительный, так и отрицательный ответ на этот вопрос не противоречит системе аксиом

Теорема 2.2.8. Множество X имеет измеримую мощность тогда и только тогда, когда существует такая порядково полная атомная ст-алгебра Е подмножеств X, что измеримое пространство (Х, £) не дискретно.

Понятию дискретного измеримого пространства мы уделяем особое внимание по той причине, что в таких пространствах всегда имеет место разложение переходных функций в сумму счетно-аддитивной и конечно-аддитивной составляющих.

Как показывает следующая теорема, понятие лифтинга в пространстве с мерой (X, Е, ц) позволяет конструировать чисто конечно-аддитивные меры на в определенном смысле сосредоточенные в точках

Теорема 2.2.11. Пусть (X, Е,^) — пространство с мерой, обладающее лифтингом и булева алгебра не имеет атомов. Тогда существует множество такое, что и $х°Р € р/а(Е) при х € Если, кроме того, мера является ст-конечной, то 5Х о р е р/а(Е) для всех х £ X

Этот факт играет ключевую роль в построении примеров измеримых пространств, для которых отсутствует разложение конечно-аддитивных переходных функций в сумму счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных составляющих.

Глава 3 диссертационной работы посвящена изучению множества Т>(Х, Е) конечно-аддитивных переходных функций на произвольном измеримом пространстве , наделенного структурой упорядоченной нормированной алгебры, и исследованию его взаимосвязей с классическими пространствами линейных операторов, векторных мер и измеримых вектор-функций.

В параграфе 3.1 дается определение переходной функции и приводятся некоторые общие замечания, касающиеся этого понятия.

Определение 3.1.1. Переходной функцией на измеримом пространстве называется отображение удовлетворяющее следующим условиям:

(1) р(-,Е) € В(Х) для всех Е € Е;

(2) р(х, •) е Ьа(Е) для всех х € X.

Замена в определении переходной функции пространства Ьа(Е) пространствами са(Е) ир/а(Е) соответственно приводит к понятиям счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной переходной функции.

В параграфе 3.2 мы наделяем множество структурой упоря-

доченной нормированной алгебры и приводим коммутативную диаграмму (теорема 3.2.4), составленную из конкретных изоморфизмов между и следующими упорядоченными банаховыми алгебрами: алгеброй ограниченных операторов на , алгеброй слабо* непрерывных операторов на Ьа(Е)., алгеброй Ьа(Е, В(Х)) конечно-аддитивных ограниченных -значных мер и алгеброй ^(Х,6а(Е)) слабо* измеримых ограниченных 6а(Е)-значных функций.

Используя упомянутый выше факт, мы показываем, что упорядоченное векторное пространство переходных функций в общем случае не является векторной решеткой.

Теорема 3.2.10. Пусть (Х, Е,р) — пространство с мерой, имеющее лифтинг, причем {х} £ S и /i({x}) = 0 для всех х £ X и существует неизмеримое подмножество G С X. Тогда упорядоченное векторное пространство С(В(Х)) не является векторной решеткой.

В параграфе 3.3 мы исследуем пространства РСа(Х, Е) и Рр/а{Х, Е) счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных переходных функций, показываем, что они являются взаимно дополнительными полосами относительно естественной дизъюнктности и, в частности, устанавливаем, что разложение не всегда имеет место.

Теорема 3.3.7. Пусть (X, Е) — измеримое пространство.

(1) Множества РСа{Х, Е) и Ppfa(X, Е) являются взаимно дополнительными -полосами в , т. е.

Рса(Х, Е)х = Ppfa(X, Е), Vpfa(X, Е)х = Vca(X, Е).

(2) Если (X, Е) дискретно, то

Р(Х, Е) = Рса(Х, Е) © Ppfa(X, Е).

(3) Пусть — пространство с мерой, имеющее лифтинг, существует неизмеримое подмножество G С X и булева алгебра "Е/ц не имеет атомов. Тогда

Р(Х, Е) Ф Рса(Х, Е) + Ppfa(X, Е).

Попутно множество Р(Х, Е) плотным образом вкладывается в некоторое банахово К-пространство Р(Х, Е) и исследуются порядковые свойства этого вложения.

Переходную функцию р Е Р(Х, Е) будем называть равномерно абсолютно непрерывной относительно положительной меры и писать р «SC ß, если для любого ч и с жанЙ й д е т с я ч и с лфтй кое, что для всех из вытекает

Переходную функцию назовем сильно аддитивной, ес-

ли существует такая положительная мера ß £ Ьа(Е), что р ц. Дополнительные требования и приводят соответ-

ственно к понятиям сильно счетно-аддитивной и сильно чисто конечно-аддитивной переходной функции. Соответствующие пространства обозначаются символами VSa{X, S), Veca{X,Y^) и VSpfa{X,H).

В параграфе 3.4 данной работы мы исследуем пространство Vsa{X, £) и, в частности, показываем, что в отличие от произвольных переходных функций любая сильно аддитивная переходная функция допускает (единственное) разложение в сумму р = р„а + Ppfa счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной составляющих Ppfa € Vspfa(X, Е)

Теорема 3.4.11. Пусть (X, S) — измеримое пространство.

(1) Имеет место разложение VSa(X, S) = VSca{X, £) Ф Vspfa(X, £).

(2) Справедливы следующие равенства: Vaca(X, £) = Т^ор^Е) П Рса{Х, S), Vsp/a(X, S) = Vsa(X, S) n VPfa(X, S).

(3) Множества VscaiXf'S) и Vsp}a{X,Yl) являются взаимно дополнительными -полосами в , т. е.

V.ca(X, S)X = V,Pfa(X, S), V,pfa(X, S)X = Vsca(X, S).

(4) Если (X, S) — атомное измеримое пространство, то множества

наследственно вложены в

Мы также исследуем порядковые, метрические и алгебраические свойства пространства и устанавливаем его взаимосвязи с со-

ответствующими пространствами линейных операторов, векторных мер и измеримых вектор-функций (теорема 3.4.5).

Работы автора по теме диссертации

[1] Гутман А. Е., Сотников А. И. Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций // Сибирский математический журнал. 2004. Т. 45, N. 1. С. 80-102.

[2] Жданок А. И., СОТНИКОВ А. И. Регуляризация двузначных мер // Тезисы докладов в Республиканской научно-практической конференции. Кызыл: ТывГУ, 1999. С. 81-83.

[3] СОТНИКОВ А. И. Порядковые и алгебраические свойства пространства переходных функций и марковских операторов // Вестник НГУ. Серия «математика, механика, информатика». 2002. Т. 2, N. 1. С. 71-84.

[4] СОТНИКОВ А. И. Обобщенные марковские операторы // Материалы ХЬ международной научно-технической конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: НГУ,

2002. С.130-131.

[5] СОТНИКОВ А. И. Обобщенные переходные функции // Материалы ХЬ1 международной научно-технической конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск: НГУ,

2003. С.80-81.

[6] СОТНИКОВ А. И. Пространство сильно аддитивных переходных функций — Новосибирск, 2004. — 22 с. — (Препринт / Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН; N 127).

Подписано в печать 22.03.2004 г. Уч.-изд. л. 0.75 Офсетная печать. Формат 60x84 '/16 Тираж 80 экз. Заказ № 128

Лицензия ЛР №021285 от 6 мая 1998 г.

Издательский центр НГУ; 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

№-88 8 9

Основные обозначения

ГЛАВА 1. Введение

ГЛАВА 2. Предварительные сведения

§2.1. Вспомогательные сведения из теории упорядоченных пространств

§ 2.2. Вспомогательные факты из теории меры

I . "i

ГЛАВА 3. Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций . 42 (

I . •

§ 3.1. Понятие переходной функции

§ 3.2. Изоморфизмы между гфостранством переходных ^ функций и другими классическими пространствами

§ 3.3. Счетно-аддитивные и чисто конечно-аддитивные .•<-. переходные функции

§ 3.4. Сильно аддитивные переходные функции

Тема настоящего исследования имеет давнюю историю и восходит к ' ^ первым работам российских математиков по цепям Маркова. В начале XX века А. А. Марков построил основы теории важнейшего сегодня типа случайных процессов с дискретным временем, названных в последствии его именем — «цепи Маркова». Суть этих процессов заключается в том, что развивающаяся в дискретном времени динамическая стохастическая система имеет некоторую вероятностную закономерность, учитывающую свою предысторию только за один прошлый шаг, либо за заранее фиксированное конечное число предыдущих шагов. Оказалось, что большинство реальных процессов в физике, биологии, экономике и в других областях укладываются в математическую теорию цепей Маркова. Для динамичеi • ских систем, у которых непрерывность времени существенна, также построена аналогичная цепям Маркова теория марковских случайных процессов с непрерывным временем. ' После создания в 1933 г. А. Н. Колмогоровым новой аксиоматики теории вероятностей на основе общей 'Теории меры теория случайных процессов — ,и теория цепей Маркова в частности — начала бурно развиваться с использованием всего набора методов функционального анализа.Общепризнанной вехой в этом развитии является работа 1941 г. Иосиды и Какутани [43], в которой теория цепей Маркова была переведена на язык теории линейных операторов в некоторых пространствах функций и пространствах мер. Этот функциональный - операторный подход трудно пробивал себе дорогу в обилии исследований по цепям Маркова, выполняемых в рамках классической трактовки случайных процессов на • языке случайных величин (элементов). Признанию нового взгляда на теорию случайных процессов способствовали теперь уже классические работы Ю. В. Прохорова [20] и А. А. Боровкова [2], выполненные уже на функциональном языке с использованием конечно-аддитивных мер (зарядов).4, G Уместно также упомянуть работы Бартла и Данфорда (см. [7]) по выявлению общего вида линейных операторов в различных пространствах . функщ1й, которые показали, что все такие операторы имеют аналитический интегральный вид «марковского типа», т.е. задаются при помощи некоторого ядра — функщ^и двух переменных, являющейся обычной измеримой функцией по первой переменной и мерой по второй переменной.После этого стало ясно, ч1г) проблемы вероятностной теории цепей Маркова и основные задачи функционального анализа имеют много общегб.Все исследования в работа:: [9-11] проводятся в рамках функционального подхода, что привело к необходимости попутного решения и ряда ' проблем собственно функционального анализа. А. И. Жданок указывает # В [9-11] на необходимость отдельного и широкого исследования конечноаддитивных цепей Маркова, однако в этих работах он такой цели не ставит.Первоначально тема настоящего исследования была обозначена А. Е. Гутманом и А. И. Жданком как задача решения ряда проблем в теории цепей Маркова, оставшихся без внимания в рамках уже сложившихся функционально-операторных методов. Вскоре стало ясно, что для решения таких задач требуется привлечение аппарата теории векторных решеток и теории векторных мер, ргьзвитием которого, в частности, занимаются А. Г. Кусраев [17-19] и А. Е. Гутман [5].В работах А. И.Жданка [9-11] вводятся и исследу-ются конечно-аддитивные цепи Маркова, переходная вероятность которых удовлетворяет более слабому аналогу условия (2): р{х,*) 6 6а(Е) для всех х е X, где 6а (Е) — пространство всех ограниченных конечно-аддитивных мер из S в R. Стремясь превратить множество рассматриваемых функций в векторное пространство, мы отказываемся от их положительности и норлп!рованности и приходим к следующе^^ определению переходной функции.Переходной функцией на измеримом пространстве {X, Е) назовем отображение р: X X Л —^ Ж, удовлетворяющее следующим условиям: (1) р{; Е) G В(Х) для всех £7 € Е; (2) р{х^ •) G 6а(Е) для всех х & X.Следует заметить, что переходную вероятность также иногда называют переходной функцией. Мы различаем термины «переходная вероятность» и «переходная функция» и употребляем последний для любых функций, удовлетворяющих условиям приведенного выше определения.Совокупность всех переходных функций на измеримом пространстве [Х, S) будем обозначать символом Р{Х, Е).В параграфе 3.3 данной работы введены и исследованы пространства 7^са(-^ , Е) и Vpfa{X,E) счетно-аддитивных и чисто конечно-аддитивных переходных функций и показано, что они являются взаимно дополнительными полосами относительно естественной дизъюнктности. В частности, установлено, что разложение Р(Х, Е) = Vca{X,E) ®Vpfa{X,E) не всегда имеет место (см.- 3.3.7). Отметим, что данный вопрос был впервые обозначен в работе [9].В параграфе 3.4 данной работы мы рассматриваем подпространство Vsa{X, Е) С 'Р(Х, S), состоящее из сильно аддитивных переходных функций, и показываем, что любая такая переходная функция допускает (единственное) разложение в сумму счетно-аддитивной и чисто конечно-аддитивной составляющих (см. 3.4.11). Мы также исследуем порядковые, метрические и алгебраические свойства пространства Vsa{X,Yi) и устанавливаем его взаимосвязи с соответствующи^1И пространствами линейных рператоров, векторных мер и измеримых вектор-функций (см. 3.4.5). •t I I Полученные в работе результаты касаются не только исследования переходных функций с абстрактной точки зрения теории упорядоченных пространств и банаховых алгебр. Из них также следуют некоторые новые утверждения и для традиционных цепей Маркова, востребованность которых в математических приложениях общеизвестна (см. например теоремы 3.3.7 и 3.4.11).Все основные результаты данной диссертационной работы были опубликованы автором в работах [6,13,21-24] и докладывались на семинарах кафедры математического ангшиза Новосибирского государственного университета, лаборатории функционального анализа Института математики и.м. Л.Соболева СО РАН, а также на конференциях, проводимых в Новосибирском и Тывинском государственных университетах.Автор выражает благодарность А. Е. Гутману и А. И. Жданку за постановку задачи и ценные замечания.

1. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

2. Боровков А. А. Сходимость мер и случайных процессов // УМЕ. 1976. Т. XXXI, №2(188). С. 3-68.

3. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.N N N4 4. Вулих Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука, 1973.

4. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормирован-^ ных пространств // Линейные операторы, согласованные с порядком.Новосибирск: Институт математики, 1995. С. 63-211.

5. Гутман А. Е., Сотников А.Ц. Порядковые свойства пространства конечно-аддитивных переходных функций // Сибирский математи- i ческий журнал. 2004. Т. 45, № 1. С. 80-102.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Лилейные операторы. Общая теория. М.: , ИЛ, 1962.

7. Жданок А. И. Инвариантны^ конечно аддитивные меры и предель- J. ное поведение марковских процессов с дискретным временем // ДАНУкр. ССР. 1981, №3. С. 11-13.

8. Жданок А. И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. I // Математические труды. 2001. Т. 4, №2. С. 53-95.

9. Жданок А. И. Конечно-аддитивные меры в эргодической теории цепей Маркова. II // Математические труды. 2002. Т. 5, Xе 1. С. 46-66.

10. Жданок А. И. Гамма-компактификация измеримых пространств // Сибирский математический журнал. 2003. Т. 44, № 3. С. 463-476.

11. Жданок А. И.у Беляков К. И. Переходная функция как векторная 0 мера. Квазикомпактность и сильная феллеровость // Латвийскиймат. ежегодник. Рига.: Зинатие, 1989, №33. С. 463-476.

12. Жданок А. И., Сотников А. И. Регуляризация двузначных мер // Тезисы докладов в Респ. научно-практической конференции. Кызыл: ТывГУ, 1999. С. 81-83.

13. Канторович Jl. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

14. Куср&ев А. Г. Линейные операторы в решеточно кормированных пространствах // Исследования по геометрии «в целом» и математическому анализу. Новосибирск: Наука, 1987. С. 84-123.

15. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы. М.: Наука, 2003.

16. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Булевозначный анализ. Новосибирск: Институт математики, 1999.i 'i

17. Прохоров Ю. В Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей // ТВП. 1956. Т. I, № 2. С. 177-238.

18. Сонников А. И. Порядковые и алгебраические свойства пространства переходных функций и марковских операторов // Вестник НГУ. Серия «математика, механика, информатика». 2002. Т. 2, JNT® 1. C.tfl-84. А

19. Сотников А. И. Обобщенные марковские операторы // Материалы XL международной научно-техн. конференции. Серия «математика». Новосибирск: НГУ, 2002. С. 130-131.

20. Сотников А. И. Обобщенные переходные функции // Материалы XLI международной научно-техн. конференции. Серия «математика». Новосибирск: НГУ, 2003. С. 80-81.

21. Сотников А. И. Пространство сильно аддитивных переходных функций // Препринт. Новосибирск: Институт математики, 2004.

22. Халмош П. Теория меры. М.: ИЛ, 1953.

23. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces. I // Матем. сб. 1940. V. 8 (50), N2. P. 307-348.

24. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces. II // Матем. сб. 1941. V. 9 (51), N3. P.563-628.

25. Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces. Ill // Машем. сб. 1943. V. 13(55), N2. Р. 169-293.щ 29. Aliprantis C.D., Burkinshaw О. Positive Operators. New York: Acad. W Press, 1985.

26. Diestel J. Sequences and Series in Banach Spaces. New York, etc.: Springer-Verlag, 1984.

27. Diestel J., UhlJ.J.Jr. Vector Measures. Providence: Amer. Math. Soc., N s 1977. \

28. Foguel S. R. Existence of invariant measures for Markov processes.II //Proc. Amer. Math. Soc. 1966. V. 17, N'(2. P. 387-389.i

29. Halmos P. R. On the set of values of a finite measure // Bull Amer. Math. Soc. 1947. V.53, N2. P. 138-141.

30. Herkenrath U. Markov processes under' continuity assumptions // Revue Roumaine de Math. P. ett appl. 1977. V. XXII, N10. P. 1419-1431.1з7. Hildebrandt Т.Н. On bounded linear'ifunctional operations. // Trans, щ Amer. Math. Soc. 1934, N36. P. 868-875.

31. Ionescu Tulcea A., Ionescu Tulcea C, Topics in the Theory of Lifting. Berlin, etc.: Springer, 1969.

32. Maharam D. On a theorem of von Neumann // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. P. 987-994.

33. Ramakrishnan S. Finitely additive Markov chains // Trans. Amer. Math. Soc. 1981. V. 265(1). P. 247-272.

34. Sidak Z. Integral representations for transition probabilities of Markov chains with a general state space // Czechoslovak Math. J. 1962. V. 12(87), N4. P. 492-522.

35. Yosida K., Hewitt E. Finitely additive measures // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. V. 72, N 1. P. 46-66.43." Yosida K, Kakutani S. Operator-theoretical treatment of Markoff's process and mean ergodic theorem // Ann. Math. 1941. V. 42, N 1. P. 188-228.