Инваринтные меры и новые эргодические теоремы для динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах, рукописи У,Щ{ 519.25

Оселедец Валерий Иустинович

ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ И НОВЫЕ ЭРГОДИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре математики Военной академии им. Ф.Э.Дзержинского.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент АН СССР

г

профессор Д.В.Аносов

г

академик АН УССР Л.А.Пастур

'доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Тутубалин Ведущая организация: Институт Проблем Передачи Информации

Д 053.05.04 при Московском государственном университет им. М.В.Ломоносова по адресу: 119,899, ГСП Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

АН СССР.

Ученый секретарь специализированного Совета Д 053.05.04.

доктор физико-математических наук

Т.П.Лукашенко

. , I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

: 1°. Актуальность темы. Задача об инвариантных мерах динамических систем является одной из классических задач эргодической теории. Достаточно вспомнить о преобразовании Гаусса. Инвариантная мера была найдена Гауссом:

В этом примере инвариантных мер бесконечно много, но в классе мер абсолютно непрерывных относительно меры Лебега с1х вероятностная инвариантная мера только одна. Для многих динамических систем на гладких многообразиях можно явно указать вид инвариантной меры, имеющей плотность относительно меры Лебега, используя теорему Лиувилля. В,конце 60-х годов в связи с рядом математических задач, возникших в статистической механике, стала развиваться теория систем бесконечного числа взаимодействующих частиц» Основная задача связана с поведением системы на больших временах. Первый шаг в доказательстве предельных теорем состоит в описании инвариантных мер в классе "физически интересных" мер. Понятие гиббсовской меры позволило по-новому подойти к задаче об инвариантных мерах, и уточнить постановку задачи. Инвариантные меры естественно искать в некотором достаточно широком классе гиббсовских мер.

Я.Г.Синаем в 1973 году было дано общее определение эргодичности динамической системы относительно пары ( Ко КипС )» где некоторый класс К^ инвариантных мер содержится в классе мер К о . А тленно, если инвариантная мера £ . то с необходимостью должно быть /-с & К•

Эргодичестае теоремы такого гида для бесконечночастпчной

т

гамильтоновой динамики доказывались в работе Б.М.Гуревича, . Я.Г.Синал, Ю.М.Сухова 1973 года, в цикле работ Б.М.1"уревича, Ю.М.Сухова 1976-1980 годов, в работах Б.М.1Уревича 1986-1990 годов.

В последние годы возник большой интерес к бесконечным системам клеточных автоматов типа решеточного газа. Фришем, Хаслахером и Помо в 1986 году была построена модель, которая приводит в "гидродинамическом пределе" (когда, в частности, шаг решетки стремится к нулю) к уравнению Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Конечно, это сделано на физическом уровне строгости, но'численные эксперименты подтверждают эту гипотезу. Изучение эволюции таких негамильтоновых бесконечночастич-ных систем и инвариантных мер для них может привести к пониманию механизма необратимости для решеточного газа.

Другое направление в теории вероятностей - теория случайных блужданий на некоммутативных группах также приводит к задаче об инвариантных мерах ассоциированных динамических систем. И, наконец, эта же задача возникает в теории динамических систем в случайных средах. Хорошо известно, что имеется тесная связь между существованием инвариантных мер и эргоди-ческими теоремами. В данном случае возникает мультипликативная эргодическая теорема, обобщающая теорему фурстенберга-Кестена 1960 года.

Настоящая диссертация посвящена развитию теории инвариантных мер и новым эргодическим теоремам для негамильтоновых бесконечночастичных систем типа решеточного газа, для стационарных случайных блужданий на группах матриц, и для динамичес-

ких систем в случайных средах.

2°. Цель работы: для моделей решеточного газа изучить эргодичность эволюции относительно пары ( И0 Кuni )• где К g - класс гиббсовских мер с положительной непрерывной спецификацией, удовлетворяющих условию асимптотической аддитивности, a f^ufii - класс инвариантных бернуллиевских мер. Для стационарных случайных блужданий на CfL Я) доказать мультипликативную эргодическую теорему, и для динамических систем в случайной среде доказать случайную мультипликативную эргодическую теорему для случайных сред. Развить случайную эргодическую теорию для случайных сред.

Для этого

- описать вид инвариантных функций относительно динамики ■ в пространстве конечных конфигураций, удовлетворяющих условию асимптотической аддитивности, для моделей решеточного газа;

- исследовать структуру мультипликативных коциклов со значениями в и On над динамическими системами, и вид инвариантных мер для ассоциированных с коциклами динамических систем;

- получить конструктивную методику исследования эргодиче-ских свойств динамических систем в случайных средах;

- построить и исследовать ряд конкретных примеров детерминированных и случайных динамических систем в случайных средах.

3°. Общая методика исследования. Основным методом наших исследований моделей решеточного газа является теория рассеяния для возникающих в этой задаче марковских цепей на пространстве конечных конфигураций. Для этого ме-

тода оказался удобным вариант определения гиббсовской мери, в котором относительный гамильтониан гиббсовской меры, взятый со знаком минус, понимается как логарифм ее производной Радона-Ншсодима относительно действия прямой суммы по решетке на

прямом произведении по решетке. Это определение позво-

ляет доказать аналог теоремы Лиувилля. Мы систематически ис-п

пользуем условие астГтотической аддитивности гамильтониана, связывающее конфигурации с различным числом частиц. Это помогает нам преодолеть трудность, связанную с наличием "нераспадакь-щихся конфигураций", используя метод "развала" конфигурации дополнительной частицей.

Для доказательства мультипликативной эргодической теоремы мы применяем метод косых произведений, хорспо известный в эргодической теории, доказывая, в частности, что на;; некоторым расширением исходной динамической системы, "поднятый" на это расширение коцикл со значениями в ОгЦ^К) ос^сгскальио гомологичен треугольно;^ коциклу.

В случайной эргодической теории сьотс-к 5:

случайной среде псжло метода косых про^зведенл»! гл лслолкзуен простую эргодпческу;: коиструкц^а, аохоз^ю на конструэдвз доЕ-стеий Каккк в эрголш'эской теории. При этом ми ссрсш ну;::ну:о нам инвариантную меру.

4°. Научная новизна. До последнего времени в проблеме инвариантной мери для репг-точного газа баян только очень частные результаты. Наи подход позволял дать решите этой проблемы, близкое к окончательно::;'. Получив аналог теоремы Лиувилля, мы решаем "уравнение Лиук;лд'.''.

используя метод теории рассеяния. Применение метода рассеяния для вычисления инвариантных мер осуществлено наш не только для детерминированных моделей решеточного газа, но и для случайных моделей. Такое неожиданное взаимодействие теории рассеяния и теории марковских цепей при изучении бесконечночастич-ной негамлльтоновой системы возникло у нас в связи с своеобразной "двойственностью" между пространствами бесконечных и конечных конфигураций.

Отметил еще здесь эргодйческую конструкцию типа действия Макки, и доказательство ортогональной гомологичности коцикла со значениями в £-///7^/?) треугольному коциклу над некоторым расЕирзкием исходной динамической системы.

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах, список которых указан в конце автореферата.

5°. П р п л о ж е н и я. Результаты и методы, относящиеся к моделям решеточного газа, могут быть использованы для дальнейшего изучения эргодических свойств этих моделей, исследования их гидродинамических свойств. Эта проблематика приобрела сейчас особую актуальность в связи с появлением специализированных машин клеточных автоматов, их быстрым совершенствованием, и возможностью моделирования на них самых разнообразных физических явлений, например, явления турбулентности.

Мультипликативная эргодическая теорема уяе использовалась в те опии дискготннх подгрупп Ли , теории операторов Шредпн-гора со с.т5тз]!шо.? потенцкалом, теории стохастических дифференциальных уравпзнлй. Ее вариант для случайных сред может ока-

I -172.Л

заться полезным для исследования эргодических свойств детерминированных и стохастических динашческих систем в однород-шх случайных средах.

6°. Аппробация работы. Результаты диссертации автор докладывал на Международном математическом конгрессе (г.Москва, 1966), на международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике (г.Вильнюс, 1973, 1977, 1981, 1985, 1989), на международной конференции "Ъуп&т+с day*. " (г.Дюссельдорф, 1989), наряде семинаров механико-математического факультета МГУ, в ЛСМИ АН СССР, в ШЛИ АН СССР.

По материалам диссертации были прочитаны лекции в международной школе "Динамические системы, хаос и турбулентность" (Нацивели, 1990) и в ХУ1 всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г.Нижний Новгород, 1990).

7°. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (I) - (19). Статья (3) переведена и издана в США (см.(З)).

8°. Структура и объем диссерта-ц и и. Диссертация состоит из введения и трех глав, которые разбиваются на параграфы. Формулы, теоремы и прочее нумеруются отдельно в каждой главе.

Во введениях к главам мы стремились пояснить суть результатов и выделить самостоятельные факты.

Текст диссертации составляет 170 стр. Библиография содержит 104 наименования.

П. ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

1°. В первой главе мы изучаем задачу об эргодичности эволюции бесконечной системы клеточных автоматов относительно пары ( Ко, Кщ^ ). где И0 ~ класс гиб-бсовских мер с положительной и непрерывной спецификацией, удовлетворяющих условию асимптотической аддитивности, а

К ш<4 ~ класс инвариантных бернуллиевских мер. Во введении даются мотивировки и формулировки результатов главы. В § I вводится класс гиббсовских мер К на прямом произведении (^1)1 ) & , где ¿у - счетное множество. Используется

следующее определение гиббсовской меры /4. 6-К производная Радона-Никодима (?£)/Дуи(эс)

есть положительная непрерывная функвдяотр?^ Сг0, где -прямая сумма

Вводится отношение эквивалентности X ^ ¿А , если X и ^ лежат в одной орбите группы Сг0 . Коцикл Радона-Никодима определяется формулой:

Гомеоморфизм называется локальным, если ^Гх

для . Для локального доказана формула:

где

Функция Больцмана (X) , где X

принадлежит прямой сумме , ^ , ^о ~ ноль этс®

группы. Гомеоморфизм

т

называется вакуумным, если Ъ0-Хо.

. Для локального вакуумного гомеоморфизма Т1 из приведенной выше формулы следует, что ^ гр(х) — йц (71 х) . Это основная формула (аналог теоремы Лиувилля) при изучении моделей решеточного газа, в которых , где Ц - решетка Браве в /? (т.е.

совокупность всех целочисленных линейных комбинаций векторов из некоторого базиса), I/ - конечное множество векторов из [{ , причем

<?*!/= <2, 1/--1/ . Далее вводится класс мер Ко для моделей решеточного газа, а именно) уц 6 Ко > если ук^К и

где ^-{С}^)) > т-е- в точке > V) и О

в других точках.

§ 2 посвящен модели НРР. Это простейэая детерминированная модель решеточного газа. Для нее

где ~ (&> 1) • Локальный вакуумный гомео-

морфизм / имеет вид:

7= С $

, где Л задает свободное двияение: задает столкновения:

С Х(%0) = Х V) -Г -

- х(?,1Г) х(?~ V) ('!-х(% 1Г*))( 1-х(?г гг%

где , если V -

8

Для этой модели дсглзана теорема 3: ее;;;; // bl\c и уцЧ1— и , то /и. есть мера Еернуллл. В кепце § 2 дано полное описание инвариантных мер Бернулди для модели НРР •

5 3 главы I посвящен в основном модели FHP Зто прсстешлщ случайная модель решеточного газа, введенная Фрицем, Хасслахерсм, Немо.

В этом парлграс'О дано определение локальной марковской цеп;;, кщгутлно^ трксг-сясй цепи и для локальной вакуумной марковской цепи А' и инвариантной меры /1 £ К доказана основная формула (аналог уравнения Лиувилля):

^ [х) = ^ fy х) fn(äu>) ; если /М Р^уЦ .

Для модели PHP доказана теорема 4: если JU P-/M->yU. е > то ja есть мера Бернулли.

Для модели FHP инвариантная мера yU. есть мера Бер-нулшьФер1й!-Дпрака. 3 ненце § 3 дано полное описание инвариантных мер Еср:отлл;;-?-ормн-Д;фака для модели FHP

В ? 4 рассматривается сб:цпй класс детерминированных и кеяететгхтарсвшппо: педодеп реготочнего газа. Указаны основные моменты доказательства тоге, что инвариантная мера из Ко еетт, ?:ера Ес^нуплл. Дано новое доказательство того, что при ссоутсгглп л;;глп::: локальных законов сохранения инвариантная мерз Бернулл;: есг?ь ::сга Бйрнуллн-ч'ермп-^'раха.

Г;°. ТЛ j о у я ? л & в о диссертации посвящена изучен;: о -"лл.г'т.т':;" v кецпклов fii>x) над

динамической системой {7 или '' ] , сохраняю-

щей вероятностную меру на пространстве Лебега X ,

удовлетворяющих условию х

Для таких коциклов доказывается мультипликативная эргодичес-кая теорема.

В § I приведены основные определения и <|акты теории показателей Ляпунова в удобной для дальнейшего форме.

В § 2 дается определение ляпуновской гомологии и дается достаточное условие того, чтобы гомология была ляпуновской. Вводится основное условие на коцикл, приведенное выше. Определяется ляпуновский спектр такого коцикла, инвариантный относительно ляпуновской гомологии, и вводится понятие правильного по Ляпунову коцикла. С каждым коциклом, связывается однопара-ыетрическая группа ^ Т^ -Ь £ % и мл. Я ] . Она правильна по Ляпунову, если ее коцикл правилен по Ляпунову. В § 3 и § 4 доказываются теоремы 1,2,3,4. Теорема I это утверждение о правильности по Ляпунову группы {Т1} при ¿-э + оо .

Теорема 2 это утверздение о точности показателей Ляпунова коцикла всех порядков при ^ - 00 для почти всех X. по мере уЧ. .

Теорема 3 это утверждение о точности показателей сингулярных чисел коцикла при для почти всех по мере /ч .

Теорема 4 это утверждение о существовании спектрального

ГИ.

разложения измеримого расслоения С в прямую сумму изме-

10

римых, Т7 - инвариантных расслоений Е ' : i-i }

У У loo 1

К' J

равномерно по £ £ Ех } + ,

для почти всех X по мере /*- , где j К.'} есть спектр группы {Т*^}

X

тогда

Если в С Е

йпь ¿Г = ,

II

а К ^ О **

равномерно по с> ь х Для почти всех X по

мере /г , где - коэффициент растяжения

для / х) по Ц. -мерному направлению £ ^ .

В § 3 приведены примеры к этим теоремам. В § 4 по ходу доказательства теорем 1,2,3,4 указано такое расширение динамической системы {Т^} , что коцикл после естественного подъема до коцикла над этим расширением ортогонально гомологичен треугольному коциклу с положительной диагональю.

3°. Третья глава диссертации посвящена случайной эргодической теории и доказательству версии мультипликативной эргодической теоремы для коциклов заданных на пространстве с бесконечной мерой и зависящих от состояния случайной среды.

Во введении даны мотивировки, связанные с проблемой кинематического динамо и стохастическим! моделями кинематичес-

II

кого динамо.

В § I. рассматриваются случайные динамические системы и их линейные расширения. Даны основные определения, введены основные условия (I), (2), (3), (4), при которых в § 2 доказывается случайная мультипликативная эргодическая теорема в случайной среде. Приведены примеры, показывающие естественность и важность этих условий. Простейший пример, возникший в связи с проблемой стохастического кинематического динамо, подробно разбирается в § 3, и тлеет несомненный самостоятельный интерес для эргодической теории.

Приведем теперь основные условия (I), (2), (3), (4) из § I и формулировки теорем из § 2.

Пусть ^ -коцикл на / **X со значе-

ниями в группе над динамической системой

pifя-pt (ЦХ) X), НЛП К

с инвариантной мерой \1 /ч > где Р - вероятностная мера на пространство Лебега Л, /к- конечная мера на пространстве Лебега X . Требуется, чтобы

5 5 ил (I)

РгА^/^Л, (2)

где №3 — ^,$ ^ - динамическая система с "временем" Сг , сохраняющая меру ¡) , и Сг - локально компактная сепарабельная унимодулярная группа.

\Ц}П1)~ ) & >/Ц/п) (3)

для всех ^ &Q--

X = «>

для всех ОС 6 X .

Теорема I. Если выполнены условия (I), (2), (3), (4), то линейное расширенно

(^е)^(^Мх^а^х)с)

правильно по Ляпунову для псчтл всех ^ при -Ь ±

Теорема 2. Если гыполнекн условия (I), (2), (3), (4), то существуют точные псхаг.глслп Ляпунова всех порядков

г;'.: всех к

О — мете Р

реле;::':

IT,

т-у-Ы 1 '

•..........(<°>Х) _ сингулярные

Следепс-'. : reex X п- "п'г Р сущест-

""X рг M/iwuu >

Теорема 4. Если выполнены условия (I), (2), (3), (4), то для линейного расширения

: (&(*>),}(*,Цх)е)

измеримое расслоение раскладывается в пря-

-

мую сумму измеримых расслоении Е(и> х) :

Е ~ (^х) (для почти всех ьд

по

мере )) )

таких, что ,,, г— К1

рШ _ р

и для почти всех и) по мере р

йгг, гЪ

к'

равномерно по Е & ^ (^х) > Н^Н- 4}

где { - ляпуновский спектр линейного расширения

¿¿т}.

К. р ^ Если 6 £ Г (> то

йт,

К С ъ

равномерно по В Я ^ [сд^х) для почти всех СО ■

по мере ^

В основе доказательства . сформулированных теорем лежит исследование действия динамической системы на пространстве эргодических компонент динамической системы ьСг^] и редукция к теоремам 1,2,3,4 из главы 2.

Работы автора по теме диссертации:

1. Оселедец В.И. Марковские цепи, косые произведения и эрго-дические теоремы для общих "динамических систем". -Теория вероятн. и ее примен., 1965, т.10, вып.З, с.551-557.

2. Оселедец В.И. Усиленный закон больших чисел для случайных матричных процессов. Тезисы. М., СМ, 1966, с.52-54.

3. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем. - Труды Моск.матем.общества, 1968, т.19, с.179-210 (пер. на англ. Л пьиШ^саИ-^ ercp>cUc iMöresn. dLyafiuMV cJy*racie.rirtlC- nwnik/ч for itfbi&ni.— JJdi/апш iewM in h&n-6lntar

^mm,ca£ )

p./- 36).

4. Оселедец В.И. Перестройка Гиббса случайного процесса. Междунар. конф. по теор. вероятн. и матем. статистике. Тезисы докладов, Вильнюс, 1973, с.141-142.

о. Оселедец В.И. Диффузионные марковские процессы с большим числом локально взаимодействующих компонент. - Матем. ме-

тоды решения пш.задач, ВА им.Дзержинского, 1974, с.39-43.

6. Оселедец В.И.-Функции Еольцмана, гипотезы Боголюбова и трудности теории необрати:,;их процессов. - Матем.методы решения ин;к.задач, ВА им. Дзержинского, 1976, с.61-66.

7. Оселедец В.И.- Функции Больциана н цепочка уравнений Бого-любова-Зубарева-Макленнака. - Матем.методы решения инж. задач, ВА им. Дзержинского, 1977, с. 57-60.

8. Оселедец В.И. - Замечание об алгебраическом подходе к неравновесной статистической механике. - Матем. методы решения инк.задач, ВА им. Дзержинского, 1977, с.61-62.

9. Оселедец В.И. - Об одной случайной системе бесконечного числа частиц. - Мелздун. конф. по теории вероятн. и матем. статистике. Тезисы докладов, Вильнюс, 1977, с.93-94.

10. Оселедец В.И. - Дискретная эволюция систем частиц на решетке с локальным взаимодействием. - Матем. методы решения инж. задач, ВЛ ш.Дзержинского, 1979,. с.101-105.

11. Оселедец В.И. - Эволюция систем частиц на дискретном

пространстве с локальным взаимодействием. - Матем.методы решения инж.задач, ВА им.Дзержинского, 1979, с.106-108.

12. Оселедец В.И. - Эволюция одной случайной системы частиц.-Междун. конфер. по теор. вероятн. и матем. статистике. Тезисы докладов, 1981, с.96.

13. Оселедец В.И. - Вполне положительные линейные отображения, негамильтонова эволюция и квантовые стохастические процессы. - Теория вероятн. Матем. стат. Теор. каб. т.20, Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР, Москва, 1983,

с.52-94.

14. Оселедец В,И. - Л-энтропия и антидинамо-теорема. -6 Мекдун.симпоз. по теории инф., ч.З, М. - Ташкент, 1984, с.162-163.

15. Оселедец В.И. - Произведение случайных матриц к системы типа линейного динамо. - Меддун.инф. по теории вероятн. и матем.стат., Тезисы докладов,'1985, с.281-282.

16. O^Adti, У, Г - Zkyu-iw ^¿^{¿ОЯОГ^

о[ НРР-ТИР automatz

oje ßzr/uiuM. ~ TUFi' fwfyrUt '/W

P. -/-/ö.

17. Оселедец B.II. - Коллюгоровская теория турбулентности и эволюция состояний системы клеточных автоматов типа решеточного газа, ингариантные состояния. - Теория вероятн.

и ее. примен., 1989, т.34, вкп.1, с.165-177.

13. Оселедец В.И. - Замечание о мультипликативной эргодичес-

кой теореме в случайной среде. - Мезвдун. конф. по теории

вероятн. и матем.статистике, Тезисы докладов, 1989,

C.II7-II8. то Cktfia-dtc У-Т. - ^Ша^/ci Рп-

«W Mvfi. Uat;^ ; ßfwc. &./M 1Л£л1ил>

ist9, } VSP^