А-интеграл и его обобщения в теории рядов и преобразований Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Г8 О Л

; 3 На правах рукописи

УДК 517.518

Антер Али Аль Саияд

А-ИНТЕГРАЛ И ЕГО ОБОБЩЕНИЯ В ТЕОРИИ РЯДОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Т.П. Лукашенко

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Московский государственный технологический университет „Станкин"

Защита состоится 14 февраля 1997 г. в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1&-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

профессор М. И. Дьяченко

кандидат физико-математических наук, доцент А. И. Рубинштейн

Автореферат разослан января 1997 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д.053.05.04 при МГУ профессор

Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы Актуальность темы.

Диссертационная работа посвящена вопросу использования Л-интеграла и одного его обобщения в теории тригонометрических рядов и преобразований Фурье. Тригонометрическими рядами с монотонным коэффициентами занимались многие авторы, начиная с Фату. Но и сейчас они продолжают привлекать внимание. Такие ряды сходятся почти всюду, кроме, быть может, х — 2ттк, к € Z.

Для таких рядов естественно выяснить условия, при которых они являются рядами Фурье. Ответ заключается в следующем: чтобы эти ряды были рядами Фурье необходимо и достаточно, чтобы их сумма

оо

была суммируема. Но если ряд ^ ап cos пх сходится к суммируемой

п=0

оо

функции f(x), то его сопряженный ряд J2 я„ sin ni может сходится к

П = 1

несуммируемой функции. Вопросами поведения рядов

оо

^^ancosnx, (1)

п=0

оо

^Pa„sin7ia:, (2)

П = 1

в случае монотонного убывания последовательности {atj^lj посвящено много работ.

Харди и Литтльвуд в 1931 году [1] нашли необходимое и достаточное условие для того, чтобы / G Lp[—п, тг] и / G Lp[—n, л], где р > 1 и f(x) — сумма ряда (2).

[1] Hardy G.H., Littlewood J.E. Some new properties of Fourier constants // J. London Math. Soc. 1931. V. 6, P. 3-9.

Юнг [2] и А.Н.Колмогоров [3] нашли достаточное условие для L-интегрируемости функции f{x) на отрезке [—7Т,7г], Юнгом [2] было найдено необходимое и достаточное условие ¿-интегрируемости функции f(x) на отрезке [—тг,7г], в той же работе Юнг показал, что для любой монотонно стремящейся к нулю последовательности {ап} имеют место формулы

7Г

ak = (L) J f(x)sinkxdx, к = 1,2,3,...,

—ж

где f(x) — сумма ряда (1).

Сидон [4] показал, что если последовательность {ап} только монотонна, то возможен случай / ^ L(—7Т,7г), следовательно, существует такая последовательность {ап}, которая удовлетворяет следующим условиям:

1) lim ап = О,

п—>оо

00 (3)

2) £ 1д°«1 < п=0

где Аап = ап — a„+i для любого п G N, и такая, что / ^ L(—tt, я") и /$ÉL(-тг,п).

Сидон [4] и Боас [5] показали, что ряд (1) является рядом Фурье-Римана (в несобственном смысле) функции /(ж). Данжуа [6] показал,

[2] Young W.H. On the fourier series of bounded functions // Proc. Lond. Math. Soc., 1913, V. 12, P. 41-70.

[3] Колмогоров A.H. Sur l'ordre de grandeur des coefficients de la serie de Fourier-Lebesque // Bull. Int. de l'Acad. Polonaise. Classe A des sciences math, et naturelle, Cracovie, 1923, P. 83-86.

[4] SziDON S. Reichentheoretische sätze und ihre Anwendungen in der theorie der Fourierschen Reihen // Math. Zeitschr, 1921, V. 10, P. 121-127.

[5] boas R.P. Integrability of trigonometric series // Duke Math. Journ., 1951, V. 18. P. 787-793.

[6] Denjoy A. Leçons sur le calcul des coefficients d'une serie trigonometrique, Paris, 1941-1949.

_ оо

что функция /(х) будет неинтегрируема по Данжуа, если Y1 ^ = оо,

к= i

следовательно, нецелесообразно использовать интегрирование по Данжуа в вопросах изучения рядов (1) и (2) при условии (3) для последовательности коэффициентов. Но оказывается, что A-интегрирование дает положительные результаты при изучении рядов (1) и (2). Это видно из доказанной в 1953 году П. Л. Ульяновым [7] теоремы о том, что суммы (1) и (2) всегда будут Л-интегрируемы. Аналогичный результату П.Л.Ульянова результат докажем для преобразования Фурье.

Во второй части диссертации рассмотрен ряд, сопряженный к тригонометрическому ряду

оо

5 = — + ^2anCosnx + bnsirinx, (4)

71=1

который имеет вид

оо

S = ^^ — Ьп cos пх + а„ sin пх. (5)

tí — 1

Для этого ряда в 1911 году в работе Юнга [8] была установлена связь ряда 5[/], сопряженного к ряду Фурье S[f] с выражением

-I /л*+ *)-/(*-у

я- J 2tg§

о

а именно, было показано, что если 27г-периодическая функция / ограниченной па [0, 27г] вариации, то необходимым и достаточным условием сходимости ряда £[/] в точке х является существование предела

_1 jf{X + t)-f(x-t)

7Г J 2tg I

£

[7] Ульянов П.Л. О тригонометрических рядах с монотонно убывающими коэффициентами // ДАН АН СССР, 1953, Т. ХС, № 1, С. 33-3G.

[8] Young W.II. Konvergens edingungen für die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe // Münchener Sitzungsberichte, 1911, V. 41, P. 361-371.

который и является суммой ряда.

В 1913 году Н. Лузин показал, что сопряженная функция существует почти всюду для 27Г-периодической функции f € L2[0,2п] ([9] и [10]). В 1925 году А.Н. Колмогоров ([11] и [12]) доказал, что если функция f(x) суммируема на [0,2тг], то для любого р G (0,1) функция |/(ж)|р будет суммируема.

В 1927 году М. Рисс доказал, что если / € -£^[0,2тг], р > 1, то / € Lp[0, 27г]. Но если периодическая функция / € Ь[0,27т], то может быть £[0,2тг].

П.Л. Ульянов доказал, что если функция / суммируема, то функция / будет всегда Л-интегрируема [13]. Используем метод аналогичный методу П.Л. Ульянова и докажем аналогичную теорему для преобразования (оператора) Гильберта на Е.

Цель работы. Изучение интегрируемости преобразования Фурье функции ограниченной вариации и оператора Гильберта.

Научпая новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основные из них следующие:

1. Доказано, что стремящуюся к нулю при х —)• ±оо функцию ограниченной вариации можно с помощью Ал-интеграла восстановить по

преобразованию Фурье.

[9] ЛУЗИН H.H. Sur la convergence sed series trigonometrigues de Fourier // Сорт. Rend. Acad. Sei., Paris, 1913, V. 153, P. 1655-1658.

[10] Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

[11] колмогоров а.н. Sur les fonctions harmoniques conjuques et les series de Fourier // Fund. Math., 1925, V. 7, P. 23-28.

[12] Бари H.K. Тригонометрические ряды. M.: ГИФМЛ, 1961.

[13] УЛЬЯНОВ П.Л. Применение A-интегрирования к одпому классу тригонометрических рядов // Матем. сб. 1954, Т. 35 (77), № 3, С. 469-190.

2. Доказано, что преобразование Гильберта суммируемых функций

А-интегрируемо на К и получена формула, связывающая А-инте-

грирование преобразования Гильберта с интегрированием исходной

функции.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием переработанных для теории преобразования Фурье метода теории тригонометрических рядов и методов обобщенного А-интег-рирования.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах теории функции действительного переменного, гармонического анализа и их приложений, связанных с рядами и преобразованиями Фурье.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Тригонометрические и ортогональные ряды" под руководством члена-корреспондента РАН П.Л.Ульянова, профессора М.И.Дьяченко, "Теория функций действительного переменного" под руководством профессора Т.П. Лукашенко, профессора В.А. Скворцова.

Публикации. Основные результаты диссертации сданы в печать.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих в себя 4 параграфа и списка литературы, содержащего 32 наименования. Общий объем диссертации — 44 страницы.

Краткое содержание диссертации.

Во введении дан обзор ранее полученных результатов по изучаемой теме и дано краткое изложение содержания диссертации.

В главе I о монотонных рядах и преобразованиях Фурье, в первом параграфе отмечено, что тригонометрический ряд с монотонными коэффициентами сходится всюду, кроме точек 2тг&, к € Z, но его сумма может быть неинтегрируемой по Лебегу (см. [12], стр. 650-657, [7]) и приведена теорема Ульянова.

Теорема (Ульянов). Пусть последовательность удовлетворя-

ет условию |A°fc| < °°> где Aak = Ofc-afc+i, к € N, я lim¿-too afe = 0.

Тогда суммы тригонометрических рядов

оо

/и = oskx> ¿ fc=l

оо

/ (x) — ^ ak sin kx fc=1

А-ишегрируемы на [—7Г, 7r] и каждый ряд является рядом Фурье-А своей суммы.

Определение 1. Назовем рядом Фурье-Л такой тригонометрический ряд, коэффициенты которого получают, отправляясь от А-интегрируе-мой функции по формулам Фурье, где интегралы берутся в смысле А-интегрирования.

Определение 2. Будем говорить, что функция / Ал-интегрируема на IR, если

1) >п} = о(1/п)

и

2) существует конечный предел

оо

lim (LA) í[f(x)]ndx, n-*oo J —ос

где LA — несобственный интеграл Лебега с особыми точками ±оо:

оо b

(.LА) [ f(x)dx= lim (L) f f(x)dx. J a—V —oo J

~oo 6-++00 а

В параграфе 1 первой главы доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция f(x) ограниченной вариации на 1 и f(x) 0 при х -> ±оо. Тогда её преобразование Фурье

оо

/(А) = (LA) J f(t)e-™"dt

—оо

существует при А ф 0 и f(x) восстанавливается по своему преобразованию Фурье при помощи АЛ-интеграла

оо

/(ж) = (АЛ) J f(\)e2"iXxd\

— оо

во всех точках, где f(x) = (f(x -f 0) + f(x — 0))/2, т.е. за исключением не более, чем счетного множества точек.

В конце параграфа 1 дано замечание о АЛ- и А-интегрировании. Во втором параграфе дается следующая теорема:

Теорема 3. Пусть f — функция ограниченной вариации на R, f(x) —> 0 при х —> ±оо и <р € £(К) — ограниченная функция. Тогда

(Ал) J }(х)ф(х) dx = (L) J f(x)<p{x)dx.

к и

В третьем параграфе поставлена следующая задача:

Если последовательность {ап}^2, удовлетворяет условию Ульяно-

оо

ва, то есть: 1) £ |Аа„| < +оо, где Да„ — an — an+i, n G N и

n=l

2) limn-^ooa,, = 0, и то же самое выполняется для последовательности коэффициентов тригонометрического ряда

оо

^ + ^ а„ cos пх + Ъп sin пх

п=1

и выполняется условие

оо оо

J2 Iе»!+Л <

п=0 п=1

для коэффициентов тригонометрического ряда

+ с„ cos пх + dn sin пх.

Со

2 »-i

Тогда выполнено ли следующее равенство:

2ir

/(х)д(х) йх = уТГС! + 7Г ^ а„сп + Ь„с*„? о П=1

где f(x) — сумма первого ряда, а д(х) — сумма второго ряда.

Ответ на этот вопрос положителен и заключается в следующей теореме.

оо

Теорема 4. Пусть /(ж) = £ акС-хкх, где о^ € С, {ад..} — ограничение!

оо

ной вариации и д(х) = где ^ \Рз\ < Тогда

3 — — оо

2тг

(A) í f(x)g(x)dx= ¿ am(3m.

m= — oo

0 я

2т ^

/ ОО

(Л) / /(;т)д(х)<1х= ат/3_т.

О т=-оо

Вторая глава диссертации посвящена сопряженным функциям и преобразованиям Гильберта. Эта глава состоит только из одного параграфа. В этом параграфе для преобразования Фурье получен результат, аналогичный следующему результату П.Л.Ульянова.

Теорема (П.Л.Ульянов). Если 2тг-периодическая функция (р и сопряженная к лей функция Тр ограничены, 2тт-периодическая функция / 6 Ь[0,2п], то /(х)(р(х) —А-интегрируема и

2ж 2тг

(Л) J /(рйх=—{Ь)'У ррйх. о о

(Здесь (Ь) обозначает интеграл Лебега.)

Дадим следующее определение. Определение. Функция

оо

/>) = -! Вт / А'*

* У ' 7Ге-+оУ £

е

называется преобразованием (оператором) Гильберта.

Теорема 1. Если ц> — ограниченная функция, <р € р ^ 1 и

её преобразование Гильберта у также ограничено, а / £ то /<р —

А-интегрируема па К. и

(А)! /<реЬ = -(Ь) I рр<1х. к к

(Здесь (Ь) обозначает интеграл Лебега.)

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Т.П. Лукашенко за постановки задач и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. А. АНТЕР. Применение Ал-интегрирования к преобразованию Фурье. Сдано в журнал "Фундаментальная и прикладная математика".