Гладкость сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им М В ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517 55

Антонов Алексей Петрович

ГЛАДКОСТЬ СУММ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01 01 01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученной степени кандидата физико-математических наук

1ВЗОЗВ

Москва - 2007

003163036

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Дьяченко Михаил Иванович Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Буланов Александр Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент Симонов Борис Витальевич

Ведущая организация Московский Государственный

Институт Электронной Техники

Защита состоится " 9" ноября 2007 г в 16 час 15 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 85 в Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, сектор "А", аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан " 9" октября 2007 г Ученный секретарь диссертационного

совета Д 501 001 85 в МГУ,

доктор физико-математических наук,

профессор

Т П Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Одним из наиболее интересных классов тригонометрических рядов являются ряды с монотонными коэффицентами Для общих тригонометрических рядов справедлива следующая теорема, доказанная Харди и Литтльвудом

Теорема А

а) Пусть функция /(х) имеет ряд Фурье ^ ап(/)е1ПХ Тогда если 1<

пе№"

р < 2 и /(х) е ЬР(Тт), то

£ М/)1РП(К1 + ^ $ тШрР

леМ"> з=\

б) Пусть 2 < р < оо и числа {ап}п6гст таковы, что

( т \ УР

Ма) = £ |ап|р + г)""2 <

\п€Мт 1=1 /

тогда найдется /(х) е ЬрСГ"1) такая, что для любого п € Мт ап(/) = ап и ||/||р < с(р, гтг)7р(а)

Для т = 1 доказательство этой теоремы можно найти в книге1, а для ш > 1 его можно получить применением индукции

Что касается рядов с монотонными коэффициентами, то для них Харди и Литтльвуд заметили, что в одномерном случае справедлив более сильный результат, а именно

оо

Теорема Б Пусть функция /(х) имеет ряд Фурье а„етг, где сц >

П=1

а2 > > 0, ап —> 0 при п —> оо Тогда для того, чтобы f(x) 6 ЬР(Т), 1 <

Зигмунд А Тригонометрические ряды, Изд "Мир" 1965 Т 2

р < оо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

оо

оо

«=1

Для кратного случая возможны различные определения монотонности

Определение 1 Будем говорить, что последовательность а^, , Пт монотонна в смысле Харди, если для любых щ, , пт > 1 верно неравенство

i

J 1=0, , ]т=0

где |j| =j!+ +Jm

Определение 2 Будем говорить, что последовательность аПи t „т монотонно убывает (возрастает) по каждому направлению, если для любых пi) , пт > 1 и для любых ji, , jm > 0 верно неравенство

, "m — ^l+Jl. . «rn+Jm , "rn+Jm — S, > ».)

Очевидно, что если Опи , ^ -> 0 при тах(п1, . , Пт) —» оо, то из монотонности по Харди вытекает монотонность по каждому направлению Ряды с коэффициентами, монотонными по Харди являются достаточно узким классом рядов Например, сферическое ядро Дирихле не принадлежит этому классу

Позднее, теорема А обобщалась на кратный случай в работах Морица2 и Вуколовой, Дьяченко3 (для коэффициентов, монотонных в смысле Харди) Дьяченко4 (для коэффициентов, монотонных по каждому направлению) установил такой результат

2MonczF On double cosine, sine and Walsh series with monotone coeffitiens, Proc Amer Math Sei 1965 109 №2 P 417-435

3Вуко.-.оваТ M , Дьяченко M И Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно монотонными коэффициентами, Изв ВУЗ (серия Математика) 1994 133 № 7 С 20-28

4Дьяченко M И Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Ьр, Мат Сборник 1993 184 №3 С 3-20

M

Теорема (Дьяченко). Пусть m > 2, Q(x) = £

n=l

последовательность ап — монотонно убывает по каждому направлению и неотрицательна Тогда для <р <2

(м

£о£( П!(П)Г2

п=1

Им же было установлено, что при 1 < р < результат перестает быть верным Утверждение теоремы Дьяченко было обобщено Драгошанским5 на анизотропный случай

Также верны обратные теоремы Например

Теорема (Дьяченко6). Пусть m > 2, 1 < р < оо, /(х) <= 1^(1™)

оо

и Y2 апегпх — ее ряд Фурье, и коэффициенты монотонно убывают по

П=1

каждому направлению Тогда

f>£IF-2(n) < С(р, m)||/||J

П=1

Позднее Нурсултанов7 обобщил этот результат на более широкий класс рядов

В связи с этим представляет интерес задача описания классов Липшица в метрике Lp и более общая задача описания классов Hp1 Шга и Н£ в терминах коэффициентов их тригонометрических рядов Фурье

В одномерном случае для монотонных коэффициентов Фурье известны теоремы Лоренца8 и Конюшкова9

5Драгошанский О С Анизотропные нормы ядер Дирихле и некоторые другие нормы тригонометрических полиномов, Мат Заметки 2000 67 № 5 С 686-701

6D'jachenkoM I Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients, Anal Math 1990 16 №3 P 173-190

7Нурсултанов E Д О коэффициентах кратных рядов Фурье из Ьр пространств, Изв РАН Матем 2000 64 №1 С 95-122

'LorentzG G Fourier-Koeffizienten und Funktionenklassen, Math Z 1948 51 №2 P 135-149

'КонюшковА А О классах Липшица, Изв Ак Наук СССР 1957 №21 С 423-448

Теорема В (Лоренц) Пусть 0 < а < 1, функция /(х) € С(Т) и 00

ап сов пх — ее ряд Фурье, причем а„ | 0 Тогда для того, чтобы

п=1

/(х) е Ьф(а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

при п —> со

То же утверждение справедливо для ряда из синусов Теорема Г (Конюшков). Пусть 0 < а < 1, 1 < р < оо, функция

/(ж) е ЬР(Т) и ап соэпх — ее ряд Фурье, причем ап | 0 Тогда для

п=1

того, чтобы функция /(я) € 1лр(а, р), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

при п —> оо

То же утверждение справедливо для ряда из синусов Для двойных тригонометрических рядов с коэффициентами, монотонными в смысле Харди аналоги теорем Лоренца и Конюшкова были получены Т Ш Тевзадзе

Мы обобщим эти результаты на случай произвольной конечной размерности и коэффициентов, монотонных по каждому направлению

Цель работы

Целью работы является изучение взаимосвязи поведения коэффициентов тригонометрических рядов многих переменных и гладкости сумм этих рядов в пространствах ЬрСГ"*) и С(Тт)

Методы исследования

В диссертации используется аппарат теории кратных тригонометрических рядов, метрической теории функций и действительного анализа

оо

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми Получены следующие основные результаты

2 Получены оценки норм некоторых тригонометрических полиномов в пространствах Ьр(Тга), при р больших где т — размерность

пространства

2 Получены аналоги теорем Лоренца и Конюшкова в пространствах С(Тт) и ЬрСГ"), при р больших где тп — размерность пространства

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер Полученные результаты могут найти применение в теории кратных тригонометрических рядов, метрической теории функций и действительном анализе

Апробация работы

Результаты автора докладывались на научно - исследовательском семинаре "Тригонометрические ортогональные ряды" под руководством акад РАН П Л Ульянова, проф М К Потапова и проф М И Дьяченко в МГУ с 2004 по 2007 год (неоднократно), а также на международной конференции "Алгебра и Анализ" в Казани в 2004 году, 13-ой Саратовской зимней школе в 2006 году, Воронежской зимней школе в 2007 году, международной конференции "Теория функций и вычислительные методы" в Астане в 2007 году

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Общий объем текста — 62 страниц Список литературы содержит 21 наименование

Поддержка

Исследования по теме диссертации частично были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проект 06-0100268) и Программой поддержки ведущих научных школ (проект НШ 4681 2006 1)

Содержание работы

Во введении излагается краткая история вопроса, обосновывается актуальность темы настоящего исследования, проведен обзор работ, близких к теме диссертации, введены основные понятия, в том числе различные определения монотонности для кратного случая, а также полного и спешанного модулей непрерывности, и кратко изложены основные результаты диссертации

Во второй главе доказываются вспомогательные результаты представляющие определенный самостоятельный интерес

В третьей глазе рассматриваются результаты о взаимосвязи скорости убывания коэффициентов Фурье функции и ее гладкости в пространствах Ц,(Тт),где^<р<оо

Сначала введем некоторые определения

Пусть Гт — множество всех то - мерных векторов из 0 и 1 Если 7 (Е

тп

Гт, 7 = (7ъ > 7т), То ПОЛОЖИМ |-уj = Л) 7, Обозначим

t=l

Дх(/, х, h)= £(-l)M/(x + Th),

7£Гт

где 7h = (7xhu , 7mhm)

Определение 3 Пусть функция /(х) 6 Lp(Tm), 1 < р < оо, где Ьте = С Смешанным модулем непрерывности функции назовем

wp(/, ¿1, , 5т) = sup ||Ai(/, х, h)||p

|Al|<il, , |Aml<im

Кроме того, можно ввести понятие полного модуля непрерывности

Определение 4 Пусть /(х) в LpCF"), 1 < р < оо, <5 6 [0, 1) Тогда положим

шр(/, 6) = sup||/(x + h)-/(x)HP |h|<i

Определение 5 Пусть 1 < р < оо и w({) - одномерный модуль непрерывности Через Нр обозначим множество всех функций /(t), таких что

1) /(t) € LpCF"),

2) wp(/, S) = 0(oj(6)), ¿^0+

Определение 6 Пусть 1 < р < оо, 6 = (<$i, , 5т) и задан смешанный модуль непрерывности w(S) Через Нр обозначим множество всех функций /(t), таких что

1) т € Lp(Tm),

2) wp(/, Jb , Sm) = 0(ш(6и , 5m)) ,6j-> 0+

Если (¿1), , шт(ёт) — модули непрерывности и , ¿т) =

т _

п и,(53), то положим Н^1 = .7=1

Одномерные классы Нр рассматривались П Л Ульяновым10 В тех случаях, когда смешанный модуль непрерывности не допускает

т

представления , 6т) — Д ^(<5^), будем называть его смешанным

модулем непрерывности общего вида

Основными результатами являются нижеследующие

Теорема 3 1.1. Пусть т > 2, < р < оо, и>г(6) —

модули непрерывности, для которых выполнены условия Бари -Стечкина (подобные условия подробно рассматривались в работе П Л Ульянова11) 6

1) f^ldt = 0(ujt(S)),

о

2) 6f^dt=o(w,m

S

00

при 6 —> 0+, г = 1, , тп, функция /(х) £ LpCF") и апегПХ — ее ряд

П=1

Фурье, коэффициенты ап монотонно убывают по каждому направлению Тогда для того, чтобы /(х) € Н^1 Um необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

ап = а„,. . п„ = О

1-i

П, Пт

при Щ, , Пт —* ОО

Теорема 3 11 допускает обобщение и на случай смешанного модуля непрерывности общего вида

10УльяновП Л Вложение некоторых классов функций Н£, Изв Ак Наук СССР 1968 №32 С 649686

1 Ульянов П Л О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов, Успехи матем

наук 1953 6 №8 С 133-141

Теорема 3.1.2. Пусть т > 2, ^ < р < оо, и>(6и , 6т) е Б5(т),

оо

функция /(х) € Ц(Тт) и °пе,пх — ее рл<9 Фурье, коэффициенты ап

П=1

монотонно убывают по каждому направлению Тогда для того, чтобы /(х) € Нр необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

= апь , = О I --^гг

у (П1 пт) р у

при щ, , пт —* оо

Что же касается случая, когда гладкость функции определяется с помощью полного модуля непрерывности, то здесь получены такие утверждения

Теорема 3 2 1. Пусть т > 2, ^^ < р < оо, ы(<5) — модуль непрерывности, для которого выполнены условия Бари - Стечкина

1) }*&& = 0(и>{5)), о

2) 6}^<И = 0(Ш(6)1

б

при 6 —► 0+, последовательность {ап}^=1 монотонно убывает по каждому направлению и существует такая постоянная с, что для любого г = 1, , т выполняются условия для любого п,

оо оо оо оо

£ £ Е Е<

/£!=1 к,_1=1*ч+1=1 Лт=1

™ со/ (-0

х п

оо

Тогда ряд апешх является рядом Фурье функции /(х) € 11=1

Теорема 3.2 2 Пусть т > 2, ^^ < р < оо, функция /(х) 6 Нр и

оо

а„е1ПХ — ее ряд Фурье, ш(5) — модуль непрерывности, для которого

П=1

выполнены условия Бари - Стечкина

1) и = ОШ),

о

2) 5!^ = 0(ш(6)),

а

при 5 —» 0+, коэффициенты ап монотонно убывают по каждому направлению Тогда найдется такая постоянная с, что для любого г = 1, , т будут выполняться условия для любого п,

оо оо оо сю

Е Е Е £

х п

3=1,

В четвертой главе решается аналогичная задача в пространстве С(Тт) Здесь получены такие утверждения

Теорема 4 11. Пусть т > 2, и>,(<5) — модули непрерывности, для которых выполнены условия Вари - Стечкина

1) = о

2) =

оо

при 5 —» 0+, г = 1, , т, функция /(х) е С(Тт) и ^ апб,пх — ее рлс?

п=1

Фурье, коэффициенты ап монотонно убывают по каждому направлению Тогда для того, чтобы /(х) € Н"1 Ыт необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

\ П\ пт

при щ, , пт —> оо

Для полного модуля непрерывности установлены такие результаты

Теорема 4.2 1. Пусть т > 2, а>(5) — модуль непрерывности, для которого выполнены условия Бари - Стечкина

1) = о

2) ¿¡^сН = 0(ш(6)), 6

при 5 —> 0+, последовательность {ап}^1 монотонно убывает по каждому направлению и существует такая постоянная с, что для любого г — 1, , т выполняются условия для любого п,

оо оо

12 12 12 12

i km —

= l ЯЧ-1 = 1 <4+1 = 1 km=1

СШ < -

(¿)

71,

oo

Тогда One,nx является рядом Фурье функции /(х) € Hu

n=l

оо

Теорема 4 2.2. Пусть т > 2, функция /(х) £ Нш « ^ а„е,пх — ее ряд

П=1

Фурье, uj{6) — модуль непрерывности, для которого выполнены условия Бари - Стечкина

1) / fdi=0(W(i)), о

2) Sf^dt = 0(u>(S)),

г

при 5 —» 0+, коэффициенты ап монотонно убывают по каждому направлению Тогда найдется такая постоянная с, что для любого г — 1, , ш будут выполняться условия для любого п,

оо оо

12 12 12 12ь

7Ц. fci+X, , fcm —

сш

<

(О

п,

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю М И Дьяченко за постановку задач, ценные указания и постоянное внимание к данной работе

Список работ автора по теме диссертации

1 А П Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Изв вуз Матем 2007 №4 стр 21 - 29

2 А П Антонов Гладкость сумм двойных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Вестн Моек ун - та Матем Механ 2004 №5 стр 26-33

3 А П Антонов О классах Н" И НЫь ■ "т для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы международной конференции "Теория функций и вычислительные методы", Астана, 2007 стр 35-37

4 А П Антонов О классах 1лр(а, р) для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 2007 стр 12-13

5 А П Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы, Саратов, 2006 стр 15 - 16

6 А П Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Труды Математического центра имени Н И Лобачевского, Том 23, Казань, 2004 стр 79 - 80

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 05 (О ОТ Формат 60x90 1/16 Уел печ л 0,75 Тираж {РС экз Заказ 47?

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании м ехан ико- м ате м атического факул ьтета

1. Введепне

1.1. Исторня вопроса

1.2. Постановка задачн

2. Вспомогательные результаты. Нормы некоторыхтригонометрическнх нолиномов в прострапствах L

3. Обобщение теоремы Конюшкова в пространствах

3.1. Случай сметанного модуля непрерывности 2G

3.2. Случай нолного модуля непрерывностн

4. Многомерный аналог теоремы Лоренца

4.1. Случай сметанного модуля ненрерывностн

4.2. Случай полного модуля ненрерывностн

1.1. История вопроса Работа посвящена изучению взаимосвязи новедения коэффициентов тригонометрических рядов многих неремеиных и гладкости сумм этих рядов внространствах Ц и Вначале введем некоторые обозначення.Тогда uj{6) называется модулем ненрерывностн.Пусть Г.,„ — множество всех т - мерных векторов из О и 1. Если 77/7,Г/,/,, 7 = (7ь • • •, 7т), то положим |7| = Zl7(- Обозначим(=1Ai(/, X, h)= 5 ] (Определение 3, Пусть функция /(х) £ Lp(T'"), 1 < р < оо, где Ь^ о = В тех случаях, когда вид вектора а ясен из контекста, будем обозначатьих Lip(a, р) и Lip(a;) соответственно.Кроме того, можно ввестн понятие полного модуля непрерывности.Одномерные классы П^ рассмат]:)нвалнсь П. Л. Ульяновым в работе [11|,В тех случаях, когда смешанный модуль непрерывности не доиускаеттпредставления a;(^i, , . . , 5„г) = YI ^i{^j)-> будем называть его смешанныммодулем ненрсрывностн обш,его вида.Сиравед,л11ва следующая теорема, доказаниая Харди и Литтльвудо.м.Теорема А.а) Пуетъ функция f {yi) имеет, ряд Фурье ^ an{f)e^^^- Тогда если 1 <I I G N ' "р<2и /(х) Е ЬДГ"), то56) Пусть 2 < р < оо и числа {«п}пе№" таковы, чтоVтогда найдется /(х) £ Lp(T'"') такая, что для любого п 6= «п и ||/||р < с(р, m)Jp{a).Для m = 1 докагттельство этой теоремы можно найти в кииге [6], а длят > 1 его можно получнть нрихменением иидукции.Кроме того Хардп и Лнттльвуд заметили, что в одномерном случае, длясорядов ^ а„е''"'''', где ai > ^2 ^ • • • > О, а,( —> О при п —> оо справедлнв п• « = 1более сильный результат, а пменно : с учетом выше перечисленных условийдля того, чтобы f{x) G Lp(T), 1 < р < оо, необходимо и достаточно,чтобы выполнялось условиесоЫ''^ < 00.Для кратного случая возможны разлнчиые онределення монотонностн.Ряды с коэффициентами, монотонными но Хардн являются достаточноузким классом рядов. Например, сферическое ядро Дирихле ненринадлежит этому классу.Утверждение теоремы Дьяченко было обобщено Драгошанским иаанизотронный случай.Теорема (Драготапский [4]). Пусть размерность т — 2, а вектор р =[Vi: Vi) • ide Pi, p2 > 1, таков, что дляр = max{pi, р2, 2} справедливонеравенст,во— 4 :с < 0.Pi Р2 РТогда для любого полиномаQ(x) =(Щ, П2)-(1, 1)С коэф)ф)ициентами а^, монотонно убывающими по каэ/сдому направлению,справедлива оценка| |Q(x)||p<c(p)Jp(a), где9Также верны обратные теоремы. ЫаиримерТеорема (Дьяченко [13]). Пуетъ т > 2, I < р < оо, /(х) Е Lp(T™)00и ^ а„е'"^ — её ряд Фурье, и коэффициенты монотонно убывают по11=1каэюдому направлению. Тогда0 0Позднее Нурсултанов [9] обобщил этот результат на более пифокийкласс рядов.

1. Н. К. Бари, Б. С. Стечкин Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций, Тр. Моск. матем. о-ва, Д'а5 (1956), стр. 486 - 522.

2. II. К. Бари Тригонометрические ряды, Москва, "Физматгиз" (1961).

3. Т. М. Вуколова, М. И. Дьяченко Оценки норм сумм двойных тригонометрических рядов с кратно монотонными коэффициентами, Изв. ВУЗ (серия Математика), №7 (1994), стр. 20 28.

4. О. С. Драгошанский Анизотропные нормы ядер Дирихле и некоторые другие нормы тригонометрических полиномов, Мат. Заметки, том G7, выпуск 5 (2000), стр. 686 701.

5. М. И. Дьяченко Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах L/;, Мат. Сборник, том 184, №3 (1993), стр. 3 20.

6. А. Зигмунд Тригонометрические ряды, Москва, "Мир" (1965), том 2.

7. А. А. Конюшков О классах Липшица, Изв. Ак. Наук СССР, №21 (1957), стр. 423 448.

8. С. М. Никольский Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва, "Наука" (1977).

9. Е. Д. Нурсултанов О коэффициентах кратных рядов Фурье из Lv пространств, Изв. РАН (серия Математика), том 64, № 1 (2000), стр. 95 122.10J А. Ф. Тиман Теория приближений функций действительного переменного, Москва, "Физматгиз" (1960).

10. Г1. Л. Ульянов Вложение некоторых классов функций Щ, Изв. Ак. Наук СССР, №32 (1968), стр. 649 686.

11. П. Л. Ульянов О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов, Успехи матем. наук, .№8 (1953), выпуск 6, стр. 133 141.

12. М. I. D'jachenko Multiple trigonometric scries with lexicographically monotone coefficients, Anal Math., том 16, выпуск 3 (1990). стр. 173 190.

13. G. G. Lorcntz Fourier-Koeffizienten unci Funktionenklassen, Math. Z., том 51, №2 (1948), стр. 135 149.

14. F. Moricz On double cosine, sine and Walsh series with monotone coeffitiens, Proc. Amer. Math. Sci., том 109, №2 (1990), стр. 417 435.

15. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Изв. вуз. Матем. 2007. А"24. стр. 21 29.

16. А. П. Антонов Гладкость сумм двойных тригонометрическихрядов с монотонными коэффициентами, Вести. Моск. ун та. Матем. Механ. 2004. .V5. стр. 26 - 33.

17. Л. П. Антонов О классах И ИШи Wm для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы международной конференции "Теория функций и вычислительные методы", Астана, 2007. стр. 35 37.

18. А. П. Антонов О классах Lip(a, р) для тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Материалы Воронежской зимней школы, Воронеж, 2007. стр. 12 -13.

19. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Тезисы докладов 13 й Саратовской зимней школы, Саратов, 2006. стр. 15 - 16.

20. А. П. Антонов Гладкость сумм тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами, Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского, Том 23, Казань, 2004. стр. 79 80.