Об оценках модулей гладкости положительного порядка функций из Lp, 1<p<~, и их приложениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ ."З

ГЛАВА I. МОДУЛЬ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ П0Л01ИТЕЛЫЮГ0 ПОРЯДКА И О ПОРЯДКАХ ЕЕ УБЫВАНИЯ В Lр£с;Ы, К. 26

§1. Вспомогательные предложения . 26

§2. О модулях гладкости функций положительного порядка и о классах Липшица ъ .42

§3. О порядках убывания модулей гладкости функций из Lf> l'0,29ij , /</э<оо.46

§4. О конструктивной характеристике элементов пространства Lp£o,Z9i]. 51

ГЛАВА П. О ТОЧНОСТИ ОЦЕНОК МОДУЛЯ ГЛАДКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ПОРЯДКА В Lp 10,291] , i<p<oo . . . 55-

§5. Об оценках модулей гладкости с помощью наилучших приближений функций из L,p£o,Z9tij У<р< оо . 55-

§6. Об оценках модулей гладкости функций с помощью частичной суммы Фурье в hp\~c,29i),'l<p<<^- 67-

§7. О соотношениях между модулями гладкости различных порядков функций ИЗ hp LOjf&'J, i<p<w. 7 5-

ГЛАВА Ш. КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ. КОНСТРУКТИВНЫЕ И СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . 79-

§8. Определения и вспомогательные леммы . 79

§9. Смешанные модули гладкости и наилучшие приближения "углом".84

§10. Об оценках наилучших приближений "углом" функций из Lp10,27l]z, /<р<<'о, ее коэффициентами

Фурье.91-Ю

Начиная с исследований Д. Джексона [76], [77] , С.Н.Бернштейна Й, [68]у Ш. Валле-Пуссена [85j изучалась взаимосвязь структурных свойств функций с конструктивными.

Наиболее существенные результаты в этом направлении были получены в работах советских математиков: С.М.Никольского, Н.Е.Бари, С.Б.Стечкина, 0.В.Бесова, В.К.Дзядыка, А.Ф.Тимана, М.Ф.Тимана и других см.напр. [1б], [43], [59].

Далее, указанная взаимосвязь структурных и конструктивных свойств функций изучалась и в разных метриках (см.напр., работу П.Л.Ульянова [65]), а также вычислялись порядки точных верхних граней модулей гладкости, наилучших и других приближений на основных классах теории приближений [II] , [56] , [62], [64].

С другой стороны структурные и конструктивные свойства функции можно определить и по известной скорости роста нормы приближающих агрегатов. Первые исследования здесь принадлежат Г.Харди и Д.Литтльвуду ([74], см.также [26] стр.419, 469), А.Зигмунду [25], п.4.7.9 , С.Б.Стечкину [54]. Дальнейшее развитие этой задачи можно найти в работах [7], [43]. п. 5.2.2, [71], [80]. Эта тематика, в тех или иных аспектах, развивается и в настоящее время.

Настоящая работа относится к выше указанным исследованиям, связанным с оценками модулей гладкости функции. Причем показана неулучшаемость, в смысле порядка, основных неравенств установленных в работе. На наш взгляд, получение неулучшаемых оценок, в смысле порядка, представляет значительный интерес как в теоретическом, так и в практическом плане.

Обычно изучается модуль гладкости функции целых порядков, см. напр. [161, [23], [431, [59]. Основным объектом исследования нашей работы является модуль гладкости функции положительного порядка, не обязательно целого, интенсивно исследуемый начиная с 1977 г. см. напр. [9], [10] , М , [52], [53] , [69] , [73], [75] , [81-83] .

В диссертации получены критерий модуля гладкости положительного порядка от функций принадлежащих в Lz и Lz(-°°>+<*=)% изучены соотношения между дробными классами Липшица в LzL°>2x.J ; рассмотрен вопрос о порядке убывания к нулю модуля гладкости положительного порядка функции и получены ее двусторонние оценки посредством частичной суммы Фурье и коэффициентов Фурье, тригонометрического наилучшего приближения; определены влияния на эти оценки метрики пространства LpfaZx]., 1<р<°° ; показаны неулучшаемость некоторых теорем и точность, в смысле порядка, основных неравенств; установлены необходимые и достаточные условия существования производных Вейля и определены их дальнейшие структурные свойства; проведены сравнения полученных результатов, показана целесообразность введения модуля гладкости положительного порядка.

Некоторые из этих вопросов изучены также и в многомерном варианте. Кроме них, установлены двусторонние оценки наилучшего приближения посредством тригонометрического угла и смешанного модуля гладкости с помощью коэффициентов Фурье функции j(x,y)G.LpLO)Z^f./ i< р<оо.

Прежде чем изложить содержание диссертации, приведем необходимые определения и обозначения.

Пусть j-(oc) - измеримая по Лебегу -периодическая функция. Будем говорить, что j [эс)(Е:Ьр1о,2к}, J$p<oo 9 если

Ж О 1 г о в случае р =+оо положим L^ [ол%] ~ С [о, г л] , при этом [ЫпЦ = max \f(x)\<oo. Обозначение f (х)^. Lp [олк] означает, что f^/x)dx= о и

Если j(x)

E-LpIP'Zfi-]) 14р4со , и и^о , то функционал (см.

69] , [82] ) назовем модулем гладкости порядка г^о от функции /(х) , где

Kt(x) = £ Hf( £) / (0,1)

С-о f г(г~1).(г-кн) , если

ЮЧ *

I О ; еС^И К <0 .

Причем теорема II М , стр. 135 подтверждает, что ряд (О. I) при /(х)Lр 2 jij; /<р<оо , почти всюду на [о>2я.] абсолютно сходится и справедливо

ОО l^H')lp<ZJ(Z)\IMP=M(rylMP. (о.,)

Здесь Л (г) 4 2 Mzt>rj .

Если rz-f/z,. , то в (0.1) получим обычную г -ю разность [59] функций.

Пусть f/x)€i'LpLo,2ri], i^p4oo. Через Еп//^обозначим ее наилучшее приближение тригонометрическими полиномами порядка 4п ; S^/;^- частичная сумма Фурье;/ (х)- производная Вейля порядка ci»D\ 2(х) - тригонометрическая сопряженная функция.

Следуя Р.М.Тригубу (см. напр. [1б] , стр. 24Г>, определим одно усреднение Фурье функиии {М:

Тг,а ((; X) = Sn ({■ х) - 2-rh\ Sn //; х).

Но, в отличие от [1б] , стр.241, Г>0 необязательно целые.

Если f(z)G.Lp[0№, и существует дфсЬр&гя] такое,

ЧТ0 а^К л к) f-!^ -9<->1Р=°> hr-o " то^/х) называется производной Лиувилля-Грюнвальда порядка d^o и обозначается следующим образом: tf-f(x) [72].

Пусть Z>0 . JLlLp \ если f(x)<= Lp&zsl] и имеет полони

-Z тельные коэффициенты Фурье аК,6,с такие что (с <ак1 о, /с -бк. 10 при К too . rnr

Обозначим через ^г (г>о)кл&оо неотрицательных ограниченных функций 6J определенных на [о,°о) , для которых: а) 6J (а) I О , ulo; б) не убывает; С в) OJ(u.)-u, - не возрастает.

Далее, для иллюстрации неулучшаемости того, или иного результата нам понадобятся следующие классы функций: 9k to, nt«>}. <г* =fД^е L°G«*j: & = Q (Eft, ft), J; fe; о, л / <*>j. Ur:ip = { fMe-LcpB>.Z3>]: ({; u)p = Q(bl (iO)J, kr;lP = { f(x)<zL°plo,znJ: U (и) = О (U)r (7; «Ур) J. = //^sL; Саг*]: ar} ; -)IIP - Q № Ф)}.

При U)ju) = ticLt o<<^4r классы Sr;^ совпадают с классами =

Пусть f(x,y) - измеримая по Лебегу функция двух переменных с периодом 2 по каждой из переменных. Будем говорить, что х,ч)<= Lp [о, г к] , i<p< oo , если о о

251 2Я 2я f(sc,y)cLx=J f(x,y)dy= jj'f (xty)dX'dy = D. о О О О

Если Тк>ао(х>У), Тоо.е (ос,у) - тригонометрические полиномы порядка /с по х и е по у , тогда величину (ТКязс**^),

Тк,<*> ; То^е ; tz^a, е^т назовем наилучшим приближением посредством тригонометрического угла, порядка rt и т. по х и по у соответственно.

Далее, будем говорить, что функция f(oc,y)<z. иср , если ее коэффициенты Фурье положительны и существуют Z>о, <ь >о : дпде IC~Z-е&>а(1}е >О, для /С; 3,4* ft X ^ означает, что существует постоянные не зависящие от if и С/,ся >0 ; CrW< 04с* V.

Через с (р,г,.) обозначим положительные постоянные, зависящие от параметров р,г,. . В каждом параграфе диссертации своя нумерация этих постоянных.

Теперь приведем основное содержание диссертации и краткий обзор известных результатов, имеющих непосредственное отношение к данной работе.

Диссертация состоит из трех глав. Для обозначения теорем и формул применена двойная нумерация : первая цифра указывает номер

параграфа, а вторая - номер теоремы или формулы внутри параграфа.

Первая глава диссертации,так или иначе, связана с известной нерешенной проблемой о существовании в Lpiго,2я}, /<уэ<оа функции {(х) , для которой lx)r(-t;a)p = LOlu)t где Dlu) - заранее заданная функция.

§1 составляет вспомогательный характер. Сперва отметим следующее:

А.Лебег [78] и С.М.Никольский [А2] охарактеризовали модули гладкости 1-го порядка в CCP,zn] . Впоследствии 0. В.Бесов и С.Б.Стечкин [5] нашли необходимое и достаточное условия того, чтобы функция была модулем гладкости первого порядка в и Lz(~°o,+*>)» Приведем один из их результатов:

Теорема А. Пусть о UU ^ • Для того чтобы 60 (и) была модулем гладкости первого порядка некоторой функции необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление: c^cosfek; ск>0, ^ ск < оо.

Дальнейшее обобщение этого результата в Lg. (-<*>, + <») на модуль гладкости целых порядков было дано Л.В.Тайковым [57] .

В работах [69] , [82] П.Л.Бутцер и др., Р.Таберский изучили модули гладкости положительного порядка. Поэтому естественно возникла необходимость в обобщениях теоремы А и выше указанного результата Л.В.Тайкова [57] на модули гладкости положительного порядка. Им и посвящены наши теоремы 2.1 и 2.5:

Теорема 2.1. Пусть 91 Для того, чтобы 60 (и) была модулем гладкости порядка г>0 некоторой функции f(x)G Lz [о, 2 %.]

IhJtu где необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление: а) (и) = Sup1yr(o)-%7(h) ь (V = £cK-£ (-f)V-'(Qco$Vr,k; Cfc > О, £. Ск < 00 • »c=Y \/r / к = /

Теорема 2. 5, Для того, чтобы заданная функция была модулем гладкости порядка Г>о некоторой функции /(x)gLz необходимо и достаточно, чтобы существовала функция ц> (зс.) удовлетворяющая двум условиям:

1. ip(x)- есть косинус-преобразование Фурье некоторой суммируемой и неотрицательной функции ^ (ос) . /

ОО J о& "7

2. CJ/a) = max[Z (£)'Н) Г (ZH^IPMj . o^t^lL L £=с ' /с=/ rt=o

Кроме того, в §2 получены результаты о взаимосоотношениях между дробными классами Липшица в Lz[Q,2x] .

Отметим, что в работах [12] , [13], [16] стр.168, [35] охарактеризованы порядки убывания модулей гладкости целых порядков в пространствах L р , i 4 р < оо .

Мы в §3 рассматриваем следующую задачу: каково необходимое, а также достаточное условие на неотрицательную функцию чтобы она была мажорантой модуля гладкости порядка г>о от некоторой функции LVp Lo,27l] 7 У <р< оо .

Теорема ЗА, Пусть 4<р<<» ,р-тах.(2,р) ; г>0 . Если для функции dJсуществуют последовательности чисел , j р {00

1 такие что то числа <2Л , 4: при К:-1,2,. являются коэффициентами Фурье некоторой функции j(oc)G 'L°plo/ZTi] и при этом ho-)p =Q (b)tm).

Теорема 3.5. Пусть i<p<^;, гг= т^я(2,р) г>ок j-(x)е hp [о.2л] Если функция 6J/U-) такая, что

6Jr (f',u)p = £> ^dJM, то для последовательностей коэффициентов фурье функции f{x) верно соотношение: (Ё о (w(-k)).

Из теоремы 3.4-3.5 видно, что в Ья{~о,2я] необходимое и достаточное условия того, что функция k)tu) была мажорантой модуля гладкости некоторой функции, совпадают. А при рФ2 для такого совпадения нужно наложить дополнительное ограничение на функцию -f(oc) . Об этом свидетельствует следующее утверждение:

СZ)

Теорема 3.6. Пусть r,Z > о и f(x)<£^

Up , р<оо . Тогда для функции (л) U0 соотношение: lx)r(t:u)p=Q (L) (-to) имеет место тогда и только тогда, когда

-"(£ (а^к^к О (Ю (Ь). tz=1 к=П-И

В работах [49] , [50] , [79] Т.В.Радославова показала, что каждый модуль гладкости 1С -го (к=//2,.) порядка функции из ~LF Lo.Zti] О эквивалентен, в смысле порядка убывания к нулю, некоторой функции из Ф . Нами показана следующая

Теорема 3.7. Для любой функции г>о существует

- II f/x)€.h°pLo,2T^ > 1<р<оо такая, что л)г (1: a)p X D № , (о<а<г я) Эта теорема имеет важное значение и в дальнейших исследованиях диссертации.

В §4 по степени приближения функции тригонометрическими полиномами определенного вида установлены различные дифференциальные свойства функций и их дальнейшие структурные свойства. Обобщены некоторые результаты Р.М.Тригуба ( [1б] , стр.241\ П.Л.Бутце-ра и У.ВестФаля [72].

Теорема 4.1. Пусть f(x)£ LP Lo, г л] , 1<р<оо , г>о . Тогда справедливо соотношение: lf/-):Zr,*(t;-)llpXiOr.

Теорема 4.2. Пусть i<p^oo , 0<оС4г . Тогда у функции hp L°>1tl] существует производная $ff(x)e. Я^. L тогда и только тогда, когда f(x) е Mr.L t

Как видно из исследований § 1-4, многие результаты касающиеся модулей гладкости функций целых порядков, могут быть обобщены на случай положительного порядка. И в этом направлении сейчас занимаются многие авторы: П.Л.Бутцер и др. [69], Я.С.Бугров [9], Р.Таберский [81] - [83], В.Г.Пономаренко [44], Г.Гаймназаров [10], Б.В.Симонов [52]-[53], Д.П.Дрианов [73], К.I.Иванов [75] и другие. Теперь естественно спросить, оправдано ли введение понятия модуля гладкости положительного порядка? В связи с этим отметим следуюг щее: если исследовать структурные свойства элементов класса ь. , г то для этой цели модули гладкости целого порядка не всегда окажется достаточным, а именно при не целых cL>0 . Поэтому, внимание математиков разных стран оказанное изучению модуля гладкости положительного порядка, на наш взгляд, оправдано.

- 12

Переходим к изложению основных результатов главы П. Здесь рассматриваются несколько задач, тесно взаимосвязанные между собой. Они дополняют исследования работ [4], [7j , [24], [28] , [30] г [34], [60]-[64], [81]-[83].

Известно, что дифференциальные свойства функции зависят от скорости убывания к нулю, последовательности наилучшего приближения. Это видно из классических теорем Д.Джексона, С.Н.Бернштейна, С.М.Никольского. Для изложения и сравнения наших результатов необходимы следующие теоремы:

Теорема Б.1. [54], [59]. Пусть f (х) с1р1ол л] , f Если то 4 (ос) эквивалентно функции, имеющей абсолютно непрерывную про

Н-1) (сО изводную^ (х) и d. -ю производную / (X)gLp\0X7lJ для которой

0Jr п-% < с, (о.ъ)

В работе [60] (теорема 2) для функции ^х)€l^Lo^-l, получено некоторое улучшение неравенства (0.3), но усилением теоремы Б.I в пространствах ЬрСо.гяЗ , i<p<oo является следующая теорема О.В.Бесова:

Теорема Б.2. Г4]. Vcjii!if(x)GLplo,2Tt];l<p<oo,r=min(z,p);r;ct = U. g z^-El* (f)p<~, к~о то существует / /оС'{х)е Lp [o/2 я] и й)г п-% < с2 (P^CL) {nr[E^(>t)p + л. i tpzicf&tr) г , Л 17 1 f ^ г ('PJ j. С где гтЧ <п^2п\

Неравенство обратное к последнему получено М.Ф.Тиманом (см, напр. [64J ):

Теорема Б.З. Если существует /^(х)^ Lр&Z9i] и / <р<<х>. р^тах (2,р): оС,г = 1,2, » то справедливо неравенство:

6Jr (Г) п-% >с, (Р.гмуп^ф KbW-Et, (0.5) v К--/

Сравнительно недавно Р.Таберский в ]8Xl , [83] получил обобщение теоремы Б. I для Г,ж >о и теоремы 2 из [60] . Но в этих работах полностью не учитывается влияние степени суммируемости функций на ее дифференциальные свойства, как например в теореме Б.2. В §5 мы сначала распространим теорему Б. 2 для всех d, г >о : Теорема 5Л. Пусть d.,r>0■

Если то существует производная f(oi\x)<£. ifpfoZn] и при этом:

Ц- (Iм; <Q(яг,л)-[пг- (Z (4)р)К

- к,—J о* 1 -,

НЕ /с

K-n-t-f k (4 4 с6 (Р,ф«Еп (ЯУ]. (0.7) r L к=пч

- 14

Причем оценка (0.6) дает в некоторых случаях лучшую оценку, в смысле порядка, чем (0.3) в пространствах Ъ°р1р;Ы, 1<р<& (см. [4], [61] ). В связи с этим возникает вопрос насколько окончательна оценка (0.5) в пространствах LpfaZn] , 1<р<оо и при этом какие дополнительные информации о функции можно извлечь?

Используя некоторые элементы конструкций 0.В.Бесова, примененные им при доказательстве теоремы Б.2, нами получены результаты полностью учитывающие влияние степени суммируемости на структурные свойства. А именно справедлива:

Теорема 5.2. Пусть и,г>о; кр<оо, p = maxfap); Если существует ^(и)(х)е1р[о;гл], то

Ек*-'М, <0°. и справедливы неравенства:

II /> Q, (Р.СС) (£ K^-'-El, Щ) o.s)

Еп >с9 (P.^Ej^iBj^E^ (Я)Ь №

На конкретном примере показывается, что неравенство (0.8) точнее чем (0.5) (см.замечание 5.1).

Кроме того теорема 5.2 дает,в терминах поведения наилучших приближений, необходимое условие существования производной Вейля

ЛТ) порядка cL >0 • В классах JJ.P теоремы 5.1-5.2 допускают следующее усиление.

Теорема 5.3. Пусть d,r, z>o; v<p<°°, Тогда для функции

X) существует производная Вейля j (х)е.Ъ°р[о.г7д тогда и только тогда, когда

5 rc^-Ei, U)P < - ■ с=У

При этом:

1 1 Р /С-/ ч а ^ п-% х (± кр«*гн& т1р + r^E^Wp)1'. Е„ п X г? (Я) *

Достаточная часть теоремы 5.3 при z <р< является усилением теоремы 5.1, а необходимая часть - теоремы 5.2 для i<p<z. Кроме того, оценки в теореме 5.3 дают в классе jjj^ более точные порядковые соотношения чем (0.6)-(0.7), при Z<p< <*» и (0.8)-(0.9) при -/<р< Z . Приведены функции, показывающие, что условие теоремы 5.1 не является необходимым, а условие теоремы 5.2 достаточным для существования производной Вейля порядка (см.замечание 5.2).

В теории приближения известна задача об отыскании порядков следующих величин:

I) sap£n4 МР , (п-- /,г,.; у = П Ф по некоторому классу Ер , а также величин:

3) supE^fW, =

4) supUr (у. пг')Р , r>c; y^/, I iW) no > У</><оо.

В связи с этим отметим, что С.Б.Стечкин [56] при первым поставил и решил в пространстве С YP.-Ztl] вопрос о порядке величины I), а В.Э.Гейт [II] ее решил при у/-/ , p=-f . М.Ф.Тиман [62] указал порядок величины 2) при , р = оо , а задачи 2)

4) при , ^ = полностью решены в работах В.Э.Гейта [II]

13].

В настоящей диссертации задачи 1)-4) изучены в пространстве

Lp&ZX] » 1 < р<оо .

Нам кажется, что представляют интерес и задачи:

5) injEn ({U))p , (<<P<O0),* fee? . JH) которые и рассмотрены в данной работе. Кроме того, здесь вычислен порядок следующей величины:

8) sup Ъдг (У; Я'Ор , (J <р< оо,^--}, -f<U); d,r>o) ,

QJkz

Теорема 5.4. Пусть -t<p<oo t ь~=тиг (2,р) \oi,r>o . Тогда ip /,1 для любой функции f/z)<£ bp существует производная/ (■ тогда и только тогда, когда

K-S

При этом ырЫ,. (Г: ri\ Хпг{± к^'^гГНЕ яирь\ (П X ?*-<■£) К

Последние два соотношения показывают, что неравенства (0.6)-(0.7) неулучшаемы, в смысле порядка, в классе Ej . Теорема 5.4 также показывает о неусиляемости теоремы 5.1 в этом классе.

Теорема 5.5. Пусть У <р< оо= тах(2,р)/<±1г>о-/ L°p [сля];

Z «*>• с=/ .

Тогда справедливы соотношения:

Отсюда следует точность, в смысле порядка, неравенств из теоремы 5.2 в классе .

В конце §5 вычислен порядок точной верхней грани наилучшего приближения:

Теорема 5.6. Пусть i<p<oo,r>o; фг . Тогда s аРЕлЧ I е Hp. г

Эта теорема при р = /, о* доказана В.Э.Гейтом [12? , [I3l

В работе В.В.Жука и Г.И.Натансона [24] установлена связь между структурным свойством функции и ростом нормы производных тригонометрического наилучшего приближения. Далее эти исследования были продолжены в работах [б], [30], [Зб]. В частности С.К.Каримовым получена

Теорема Б.4» [30]. Пусть /<р< со, (2/Р) ■ f(x)<=L°p [о, г 7с] . Если о то существует / с (х)€. L°P С о, г я] и ч (1м:П% <С,„ (Р.£>(f;€)

Также известно следующее (см. напр. [82]). Теорема Б.5. Пусть 1<р<оо,ы.>о; г>о и существует j (о/~\х)(£. L°p [0,2%] , тогда справедливо

6Jr n%>cfl(Pjr/Gl)^l -)lp . (0.10)

§6 связан с этими результатами, А именно справедлива

Теорема 6.1. Пусть Up<^^=mtn(2lP)-oL^0; L°p [о, г я] . Если при некотором г>о К то существует производная Вейля -f ^(х)<e~Lp & 271] и справедливы неравенства:

II гчР <с,г (Р,гму(Е <4 (Г; п-% <0,31Р,г,^(Е r^-isrYrf) * Ш) к-п г

Эта теорема является усилением теоремы Б.4, что подтверждается конщ>етным примером в §6 (см.замечание 6.1).

Теорема 6.2. Пусть i<p<oo> р = /пах(2,р)) d > о . Если для

U) функции 4(ос)в L°P [о,2 tl] существует производная Beйля/ феТРр&лл], то при любом Г">0 ряд к--/ г и справедливы неравенства: ц ГН > с,, (Р, г,и> (ё -)ip) К (о. v г К-{

С0Г (Г: П% > cto-(p,rA) (Е }sr1'/; •)#)* т

Оценка (0.13) точнее чем (0.10). Это в §6 (см.замечание 6.2) подтверждается конкретным примером.

Т.)

В классе Лр теоремы 6.1 и 6.2 допускают следующее улучшение:

Теорема 6.3. Пусть -f<p<oo; r,t >o;d>o.Тогда для функций fix) е. JJiCp существует производная Вейля /е. [°р [о,2 я] тогда и только тогда, когда cry

При этом т4 xz^-'is':^^-)!?. r K = -f

0jrp (f^a-% X Z rc^l s (;~>(f m IC=r<- r z)

Оценки (0.14) для функции принадлежащих Ulp~ , дают более точные порядковые соотношения чем (0.11) и (0.13) (см.замечание 6.3).

Теорема 6.4. Пусть i<p<°°, rnin(Z,p)-, & >U;oC>

Тогда для любой функции существует производная Вейoi) &'ир ля 1°р[р,2я] тогда и только тогда, когда; оо

ZT К**4-^*^) <00. с — /

При 6~r+d ,г>о справедливо: supUr (iа% К (£} tc^-'^d)) * р й) /с=/г

S'r+eL-.Lp

Отсюда ясно, что оценка (0.11), в смысле порядка, неулучшаема в классе +oL. lp

Теперь несколько слов относительно взаимосоотношений классов р W I I 4J

И H-rjLp •

Теорема 6.5. Пусть i <p<oo}y=rnin(2,p); r>o; дэг,

Тогда j

Snu - Hrip<=> (z: ic-'o>4±)) *= Q v <U

I ,L->P у / x 1С ~n

Резюмируя исследования §6, можем заключить, что порядок убывания модулей гладкости функции в пространствах L® Гс>,2я) i <р< оо t зависит не только от дифференциальных свойств функций, но также и от ее интегральных свойств функции.

Из результатов §7 отметим следующие утверждения: Теорема 7.1. Пусть -/<p<oo)ir=m.i/i(2lp)t ft = max (2,р); Г > в > о ; OJ (и) е Ф , тогда выполняются соотношения: sup U)0 (i; п-% X п-в (Z /С^-^ед ^ Ш Ыв (f-,nr% X пв[£ K^-Oi^-^P .

Ar, т

Sa^ X ne(£ t) X Г т ^b

Эти неравенства показывают неулучшаемость, в смысле порядка, оценок между модулями гладкости различных порядков в классах Н a UJ * / Lp и hp ^ , а также известных неравенств М. Ф.Тимана [62] в классах г1/ /f г-Р / h .

Здесь также получены структурные аналоги теорем 5.1-5.3 и Теорема 7. 5. Пусть ± < р ^ оо 7 ) ■ в > Ф; оС>о;

U)(u,) е. ф Тогда для /(>Ое Hg)hP существует производная Вейля тогда и только тогда, когда: к**ос> V к--* а при e^r-td ,, л >0 имеет место соотношение sap ^ (4ы)и'% X (ё к-п

Теорема 7.6. Пусть f<p /пая (2;р); л >о ;г>о ; и и)есрг™ ь , i к

Тогда справедливо соотношение: и i*4 ^п-% x(r

Отметим, что результаты аналогичные теоремам 5.1-5.3, 6.1-6.3, независимо от нас [18] , [20] и одновременно получил и Б.В.Симонов [52], такое же пересечение с теоремой 5.4 имеется и в его работе [53], опубликованной на год позже чем [20.1.

- 22

Нам представляется, что результаты глав I-П особо интересны и в случае функций многих переменных. Но здесь Форш и содержание результатов во многих случаях существенно зависят от вида приближающих агрегатов.

В третьей главе в качестве аппарата приближения мы выбрали тригонометрический бесконечный прямоугольный угол. При этом, полученные результаты, на наш взгляд, являются наиболее,не тривиальными обобщениями " одномерных" результатов.

Исследования дифференциальных и интегральных свойств функций многих переменных посредством тригонометрического угла были проведены в работах Я.С.Бугрова [в], М.К.Потапова [45]-(47] ', Н.С.Никольской [41] , В.Н.Темлякова [58] , Л.Д.Гоголадзе [15] .

Для компактности записи, утверждения главы Ш приведены в двумерном варианте. При этом думается, что мы не потеряли общность результатов.

В §8 собраны вспомогательные леммы. А в §9 приведены соотношения между смешанными модулями гладкости положительного порядка и наилучшими приближениями посредством тригонометрического угла. В частности, в утверждениях теорем 9.1 и 9.2 содержатся следующие неравенства: п^пге(Е Ё е№*>-'.у*, (f) )J+ i-rsr (£ £ ic^r)., е»г>-,. yfi ii)p) i +

К--/ «2-/7Г+-/ ' m , 1 т~в (E S ас+ tem-t € = У > r

П О5 с--/ е*т+г

ОкЭ оо ^ (г е; Аe<*4.yl,,ef (f)py? к=пн t-mt-f ' где < <*>> р = тах(2,р))>г=/7г±п.(ъ,р);о<./Ь/се>о; .

Далее, для получения более точных соотношений между oL С^)

Ux t1'!'71 Op*

У*

Мр как в одномерном случае [34] , понадобилось определить связь между порядком убывания коэффициентом фурье и наилучшим,, приближением iJntmMp. Эти соотношения содержатся в теоремах 10.2 и 10.4.

Теорема 10.2. Пусть /<р<оо; п, т=о,. и дана последовательность положительных чисел jo. ' ><f = и

00 С** п О- ? 1 (>) ■

Z Г (^/SV )■ tcr-f е~/ ' j^I

Если существуют ^ >о такие, что то существует функция j [о:,у)еЬСр1Р,г7с] для которой я*,* являются коэффициентами Фурье и при этом имеет место неравенство:

Уг.,т (Я < '№+/)] 'Ч е-т-Н ' / Б -(/се)? рJ.

Теорема 10.4. Пусть S<p< f/xy)£ j) -ч

Тогда имеет место неравенство: j^^e. ) j

С/О О

Z z; clI е с/р.г,ь)>У .

JC=n+f e~)TL+f LITJ'L Я. -i

На наш взгляд эти теоремы сами по себе представляют определенный интерес. Вместе с тем, с их помощью в теоремах 10.5 и 10.6 получены точные порядковые соотношения аналогичные результатам теорем 3.3, 5.3. Для полноты изложения приведем теорему 10.6.

Теорема 10.6. Пусть /<р<оо> = .; тогда у функции f№>y)£Jlp' существует смешанная производная Вейoi ) яяЛ (йс,ц)еЬ1Го£!я1г тогда и только тогда, когда гс,у г"

GO ОО с

При этом jc=JX+ / € = ■>

- 25 я (U/6) ,,р> <=*> oo „ . . с /< -)( x Z Z .

Результаты диссертации докладывались на Международной конференции по теории приближения функций, г.Киев, 1983 г., май-июнь; в Математическом институте им.В.А.Стеклова АН СССР на семинаре д.ф.-м.н., профессора С.Б.Стечкина 1981 г., март; в МГУ им.М.В.Ломоносова на семинаре по теории приближения функций д.ф.-м.н., профессора М.К.Потапова 1980 г.,апрель, 1981 г., март; в МИЭТ на семинаре д.ф.-м.н., профессора Я.С.Бугрова 1980 г.,май, 1981 г., март; на УП Казахстанской межвузовской научной конференции по математике и механике, 1981 г., сентябрь; в институте математики и механики АН Каз.ССР на семинарах лаборатории "Функционального анализа и теории функций" и "Прикладных методов анализа" руководимыми д.ф.-м.н. Н.К.Блиевым и д.ф.-м.н., профессором М.О.Отелба-евым 1983 г., май, октябрь; в КазГУ им.С.М.Кирова на семинаре д.ф.-м.н., профессора А.А.Кенсыкбаева 1983 г., ноябрь. Они также докладывались на семинарах кафедры прикладной математики КазПТИ им.В.К.Ленина и кафедры математического анализа КарГУ и опубликованы в [17] - [22].

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям, кандидатам физико-математических наук Кабдешу Еумагазие-вичу Наурызбаеву и Есмуханбету Сайдахметовичу Смаилову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

- 26

1. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.,1961.

2. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшее приближение и дифференциальные свойства двух сопряженных функций, М., Труды моек.матем. об-ва, 1956, т.5, с.483-522.

3. Бернштеин С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Сообщ.Харьковского матем. об-ва, 1912/2/, 13, с.40-194.

4. Бесов О.В. О некоторых условиях принадлежности к Ls^ производных периодических функций. Научн.докл.высш.ык.физ.-мат.науки, 1959, & I., с. 13-17.

5. Бесов О.В., Стечкин С.Б. Описание модулей непрерывности в Z/g-Труды матем.инст.им.В.А.Стеклова АН СССР, 1975, т.134, ti.23-25,

6. Бокаев Н. Об интегральных и дифференциальных свойствах функций. В сб.: Математические исследования, Караганда, 1976, 3, с.14-20.

7. Бедный Ю.А., Гопенгауз И.Е. Приближение кусочно-полиномиальными функциями. Известит АН СССР, сео.матем., 1963, 27, С.726-746.

8. Бугров Я.С. Приближение тригонометрическими полиномами функции многих переменных. Тр.научн.объединения преподавателем ^из-мат. факультета пед.инст-ов Дальнего Востока, I.матем.,Хабаровск, 1962, с.28-49.

9. Бугров Я.С. Дробные разностные операторы и классы функций. Международная конференция по теории приближения. Тезисы докладов, Киев, 1983, с.33.

10. Гаймназаров Г. О модулях гладкости дробного порядка функций заданных на всей вещественной оси. ДАН Тадн.ССР, 1981, т.ХХГУ,Ю, с Л 48-150.

11. Гейт В.Э. 0 структурных и конструктивных свойствах синус и косинус рядов с монотонной последовательностью коэффициентов Фурье. Известия ВУЗов, Математика, 1969, 86, $7, с.39-47.

12. Гейт В.Э. О точности некоторых неравенств в теории приближений. Матем.заметки. 197I, т.10, $5, с.571-582.

13. Гейт В.Э. Теоремы вложения для некоторых классов периодических непрерывных функций. Изв. ВУЗов, Математика, 1972, Р4, с.67-77.Iji)

14. Гейт В.Э. Об условиях вложения классов ц и . Матем. заметки, 1973, т. 13, Р2, с. 169-178.

15. Гоголадзе Л.Д. О приближении функций многих переменных суммами Валле-Пуссена. Международная конференция по теории приближения функций. Тезисы докл., Киев, 1983, с.50.

16. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

17. Есмаганбетов М.Г. ,Смаилов Е.С. О конструктивных и структурных свойствах функций из Lz . В сб.: Современные вопросы теории функций и функционального анализа, Караганда, 1980, с. 58-65.

18. Есмаганбетов М.Г. О конструктивной характеристике элементов пространства^^!Известия АН КазССР. Серия физ-матем., 198I, №3, с.58-61.

19. Есмаганбетов М.Г. О связях модулей гладкости производной с наилучшим приближением и коэффициентами Фурье функций в1. iP.ZDi. , 1<p<oo . Деп. ВИНИТИ, 1982, Ю80-82, с Л-15.

20. Есмаганбетов М.Г. 0 наилучших приближениях "углом" и о рядах Фурье с неотрицательными коэффициентами в LP ,р<оо ^ ^ Деп. ВИНИТИ, 1982, $378-82, с. 1-22.

21. Есмаганбетов М.Г. Условия существования смешанных производных Вейля в LP (Zo/ZTil z), (J<p<oo) и ее структурные свойства. Деп. ВИНИТИ, 1982, И675-82, с. 1-28.23.1ук В.В. Аппроксимация периодических функций. Ленинград, 1982.

22. Жук В.В. и Натансон Г.И. Свойства функций и рост производных приближающих полиномов. ДАН СССР, 1973, т.212/ М, с.19-22.

23. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.-Л. 1939. 26.Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., 1965, т.1. 27.Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., 1965, т. 2.

24. Ильясов Н.А. О дифференциальных и гладкостных свойствах функций в пространствах Lp , оо . Научные труды MB и ССО Азерб.ССР, серия физ-мат.наук, 1979, №5, с.76-91.

25. Кагадий Л.П. О модулях гладкости и коэффициентах Фурье функций двух переменных. Известия ВУЗов, Математика, 1977, 178, »3, с.101-103.

26. Каримов С.К. Порядок роста нормы производных частичных сумм Фурье и теоремы вложения. Канд.дисс., М., 1980.

27. Кокилашвили В.М. Об обратной теореме конструктивной теории функций в пространстве Lp (-/ <р < «О • ТРУДЫ Тбилис. матем. инст., 1963, т. 29, с. 183-189.

28. Кокилашвили В.М. Об оценке наилучших приближений и модулей гладкости в различных лебеговских пространствах периодических функций с преобразованным рядом Фурье. Сообщения АН ГССР,1964т.35, Wt с.3-8.

29. Кокилашвили В.М. Об одном функциональном пространстве и коэффициентах Фурье. Сообщения АН ГССР, 1964, т. 35, Ю,с. 523-530.

30. Кокилашвили В.М. О приближении периодических функций. Труды Тбилис.матем. инст. 1968, 34, с. 51-81.

31. Коляда В,И. О вложении в классы 4>(~L) . Известия АН СССР, серия матем. , 1975, т. 39, 1з2, с. 418-437.

32. Коновалов B.H. О связи дифференциально-разностных свойств функции и приближающих ее функций экспоненциального типа. Вопросы теории приближений функций и ее приложений, Киев, 1976, с.116-123 .

33. Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье. Матем.сб., 1958, т.44 (88),с. 53-84.

34. Конюшков А.А. О наилучших приближениях при преобразовании коэффициентов Фурье методом средних арифметических и о рядах Фурье с неотрицательными коэффициентами. Сибирс.матем.жур., 1962, т.З, И, с.56-78.

35. Лизоркин П.И.Никольский С.М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной. Тр.'Матем.инс. им. В.А.Стеклова АН СССР, 1965, т.77,с .143-167.

36. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М. ,1974.

37. Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике hP . Сибирс.матем.жур., 1974, т.ХУ, с. 395-412.

38. Никольский С.М. Ряды Фурье функции с данным модулем гладкости ДАН СССР, 1946, т.52, №36, с. 191-193.

39. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М. ,1977.

40. Пономаренко В. Г. Неравенства М.Ф.Тимана для модулей гладкости дробного порядка. Деп.ВИНИТИ №3093-79, сЛ-17.

41. Потапов М.К. О некоторых условиях принадлежности кЬр. смешанных производных. Mathematica(Clus^ ,1968, т. 10 (33), $2,с. 355-367

42. Потапов М.К. О приближении "углом". Коллокв.по констр.теор. функ. Венгрия, Будапешт, 197I, с.371-399.

43. Потапов М.К. Теоремы Харди-Литтльвуда, Марцинкевича-Литтльвуда-Пэли, приближения "углом" и вложения некоторых классов функцийt Hathematica , 1972, 14, 32 , №2, с. 339-362.

44. Потапов М.К.,Бериша М. Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного;1979, 26, с.215-228, "Publ. Inst, math.",

45. Радославова Т.Н. О порядках модулей гладкости непрерывности в L, р . Всесоюзный симп. по теории аппроксимации функций вкомпл.области. Тез.докл., Уфа, 1976, с.71-72 .

46. Радославова Т.Н. О порядках убывания модулей непрерывности в7 ?1. (о^р^оо). Современ.проб.теор.функ. Материалы Всесоюзн.шк. по теории функ. Баку, 1977, с.230-234.

47. Рыщенко Н.Д. Об одной теореме вложения для функций многих переменных. Деп.ВИНИТИ, Н?1728-78 .

48. Симонов Б.В. О свойствах преобразованного ряда Фурье. Деп.ВИНИТИ $3031-81 •

49. Симонов Б.В. О некоторых свойствах преобразованных рядов Фурье Вестн.Моск.ун-та, сер.1, математика. Механика, 1983, $2,6.58-61.

50. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций. Изв.АН СССР, серия матем., 1951, 15, с.219-242.

51. Стечкин С.Б. 0 теореме Колмогорова-Селиверстова. Изв.АН СССР, серия матем., 1953, 17, с.499-512 .

52. Стечкин С.Б. О наилучшем приближении сопряженных функций тригонометрическими полиномами. Изв.АН СССР, серия матем., 1956, 20, с.197-206 .

53. Тайков Л. В. Структурные и конструктивные характеристики функций из Lz . Матем. заметки, 1979, т. 25, №2, с. 217-223 .

54. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных с ограниченной смешанной производной. Тр.Матем.инс. им.В.А.Стеклова АН СССР, 1980, т.156, с.233-260 .

55. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М., I960 .

56. Тиман М.Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функции в пространствах Lp, i<p «с». Матем.сб., 1958, т.46, 88 №1, с.125-132 .

57. Тиман М. Ф. Наилучшие приближения и модуль гладкости функций, заданных на всей вещественной оси. Изв.ВУЗов, Математика, 1961, Ь 6, с. 108-120. .

58. Тиман М.Ф. Особенности основных теорем конструктивной теории функций в пространстве LP . В кн.:Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, Баку, 1965, с.18-25.

59. Тиман М.Ф. О теореме Джексона в пространствах hp . У1фаинский матем.журнал, 1966, 18, PI, с.135-137.

60. Тиман М.Ф. Исследование свойств функций с заданными наилучшими приближениями. Автореферат докторской дисс. Ленинград, 1973.

61. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках. Матем. сб. 1970, т.81, 123, М, с.104-131.- ПО

62. Харди Г. Г. ,Литтльвуд Д.Е.,Полна Г. Неравенства, М., ИЛ, 194867» Aljancic S. ,Iomic М. Uber den stetigkaitsmodul on Fourier-Rei-hen mit monotonen Koeffizienten.,Math.Z.,1965,88,n.3,p.27^ -28 4 .

63. Bernstein S. ,Sur probleme inverse de la theorie de la meilleu-re approximation des fonctions contionues.,Compt.Rend.Acad.Sc. 1938,206,p.1520-1523.

64. Butzer P.L.,Dyckhoff H.,Gorlich E.,and StextfR.L. Best trigonometric approximation,fractional order derivatives and Lipschitz classes. Can. J.Math. ,/1977,v.XXIX Ж 4, p.781-793.

65. Butzer P.L.,Pawelke S.,Ableitungen von trigonometrischen Approximations prozessen. Acta Sci.Math.Szeged,1967,28,p.173- 183»

66. Butzer P.L.,Scherer K. On the fundamental approximation theorems of D.Jackson,S.N.Bernstein and therems of M.Zamansky and S.B.Steckin. Aequationess Math.1969,3,p.170-185.

67. Butzer P.L.Westphal U. An access to fractional differentiation vid fractional difference quo tents. Lecture Uot.inMath. 1975, 57, p.116-1^5

68. Jackson D. Uber die Genduigkeit der Annaherung stetiger Punk-tionen durch ganze rationale und triogonometrische Sunmien ge-gebener 0rdnung,Diss.Gottingen,1911.

69. Jackson D. The theory of approximation.Amer.Math.Soc. Colloquium publication, 1930,11.

70. Lebesque H. Sur le representation trigonomettrique approchee des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz.Bull. Soc.Math.Prance.1910,38,p.18^ -210.

71. Radoslavova T.V. Decrease orders of the jP -moduli of continui-ty^p^oo). Anal.Math. 1979,5,p.219-23^ .

72. Sunochi G. Derivatives of a polymomial of best approximation.- Ill Jahresber.d. Deutsch Math.Ver. ,1968,Bd.70,n.3,p'.165-166. 81• Taberski R. Two indirect approximation theorems. Dememstr. Math.1976,v.9,n.2,p.243-255.

73. Taberski P. Differences,moduli and derivatives of fractional orders. Rosz.Pol.Tov.math.1977,ser.n.1,19,n.2,p.389-400,

74. Taberski R. Indirect approximation theorems in I^-metrics' (.Kp4oo).Batnach Genter Publications, 1979,v.4 p.247-259.

75. Timan M.F. Orthonormal systems satisfychy an inequality of S. M. Nikol'ski.Anal.math.,1978,n.1,p.75-82.

76. Valle-Poussin Ch.de la,Leqons sur lapproximation des fonctions d'une variable reelle.Paris,1919.