Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.518

Напеденина Анастасия Юрьевна

ПРИБЛИЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МНОГОЧЛЕНАМИ ФУНКЦИЙ С ДАННЫМ ОБОБЩЕННЫМ НЕСИММЕТРИЧНЫМ МОДУЛЕМ ГЛАДКОСТИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2003

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор М.К. Потапов.

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Баскаков,

кандидат физико-математических наук, доцент Г.Н. Казимиров.

Московский государственный институт электронной техники (технический университет).

Защита диссертации состоится 5 декабря 2003 г. в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета (главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 5 ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математически£^_//^\ наук, профессор

Т.П. Лукашенко

2е>оУ~ /А

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Одна из основных задач теории приближений состоит в определении связей между структурными свойствами функции и порядком ее наилучших приближений полиномами. Можно выделить две исторически сложившиеся постановки задачи:

1) сравнение классов функций, модуль гладкости которых имеет данный порядок убывания, и классов функций с соответствующим порядком приближения полиномами;

2) оценка наилучшего приближения функции полиномами через модуль гладкости этой функции (прямая теорема теории приближений); оценка модуля гладкости функции посредством наилучших приближений полиномами этой функции (обратная теорема теории приближений).

Первые результаты в этих направлениях появились в начале прошлого века (см. работы1 2 3 4). В частности, для 27г-периодических непрерывных функций и их наилучших приближений тригонометрическими полиномами T„_i порядка не выше (n—1) (E„(F) = inf ||F—T„_i||) в работах

Tn-l

Джексона3 и Бернштейна4 была установлена эквивалентность условий sup У F (i + h) - F(s)||c. = 0(Sa) и En(F)c = 0(0,

\h\<iS где 0 < a < 1.

Здесь и далее символом * обозначается то, что рассматриваются Зет-периодические функции. Буква С в индексе означает, что соответствующие нормы берутся в пространстве непрерывных функций. В случаях, когда встречаются пространства Ьр, в индексах для краткости будем писать р, подразумевая Lp и считая, что Loo совпадает с С.

Приведенный выше результат Джексона и Бернштейна в дальнейшем был перенесен на метрику пространства Lp. и обобщен для г-го модуля гладкости wr(F, S) (wr(F, S) = sup где A{F = F(x + h)~ F(x),

ArhF = AKA'i!'1 F)), то есть если F E Lp., то для любого натурального

1Vallee Poussin Ch.-J. Sur la convergence des formules d'interpolation entre ordonnées equidistantes // Bull. Acad. Se. Belgique. 1908.

2Lebesque H. Sur les integrales singulières // Ann. de Toulouse. 1909. 1. p.25-117.

3Jackson D. Uber die Genauigkeit der Annäherung stetiger Functionen durch ganze rationale Functionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Dies. Göttingen. 1911.

4Бернштейн С.H. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени (191S) // Сочинения, Изд. АН СССР. 1952. 1. с.11-104.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1 БИБЛИОТЕКА

С. Петербург ць

' 09 т3 ««т tj С

числа г существуют положительные постоянные С\ и С^, не зависящие от п (п € N) и <$(<$> 0), такие, что

wr{FtS)f < CiT E„(F)p. ^ % (1)

п

где 0 < а < г.

Утверждение (1) решает основную задачу теории приближений в периодическом случае для степенных порядков приближения.

Также эта задача была решена и для произвольных порядков приближения, а именно, было показано, что если F G. Lp-, то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С\ и Сг, не зависящие от п (п 6 N), такие, что справедливы неравенства

CMF),, < (F, -) < Щ ur-lE„(F)p>, (2)

V n/p* n „=i

(см., например, работы3 5 е).

Возник вопрос: переносятся ли утверждения (1) и (2) на случай приближения непериодических функций алгебраическими многочленами?

Прямую теорему Джексон3 доказал и для непрерывных функций, заданных на конечном отрезке. Но выяснилось, что обратную теорему на непериодический случай перенести нельзя (см., например, работу Зигмунда7), т.е. классы функций со структурной характеристикой и>(/, S)p ^ С 6" (модуль непрерывности рассматривается уже в метрике Lp[— 1; 1]) и классы функций, для которых наилучшее приближение алгебраическими многочленами имеет порядок п~а, — это разные классы. Таким образом возникла задача охарактеризовать оба эти класса.

1. Какова конструктивная характеристика функций, удовлетворяющих условию u>(f,S)p ^ С 5а?

В 1946 году С.М.Никольский8 показал, что прямая теорема для непрерывных непериодических функций может быть усилена и выдвинул гипотезу о том, что конструктивная характеристика таких функций должна учитывать положение точки на отрезке. Его результат был уточнен и

5Тиман А.Ф., Тиман М.Ф. Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем // ДАН СССР. 1950. 75. с.499-502.

®Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1951. 15. с.219-242.

TZygmund A. Smooth fimctins Ц Duke Math. Journal. 1945. 12. p.47-76.

8Никольский C.M. О наилучшем приближении многочленами функций, удовлетворяющих условию Липшица // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1946. 10, ЛГ 4. с.295-318.

обобщен А.Ф.Тиманом9, а В.К.Дзядыком10 доказана обратимость этого результата.

Таким образом, были получены прямая и обратная теоремы теории приближений, но не для наилучшего, а для "поточечного" приближения; т.е. для /(х) € С[—1;1] условие u>(f, 8)с < Ció" равносильно следующему условию: существует последовательность алгебраических многочленов P„-i, для которых

l/W-p^K^^+i)0,

где 0 < а < 1 и положительные постоянные С\ и Ci не зависят от х, 6 и п (х € [-1; 1], 6 > 0, п € N).

Однако, было показано, что на случай интегральной метрики эти результаты перенести уже нельзя (см.11 12 13 14 15).

2. Другой вопрос, встающий в непериодическом случае, есть вопрос о том, какими структурными свойствами охарактеризовать те функции f(x) £ Lp[—1;1], для каждой из которых En(f)p < Сп~а, т.е. чем заменить модуль гладкости, чтобы аналоги прямой и обратной теорем оказались справедливыми?

Полная аналогия с 2тг-периодическим случаем имеет место тогда, когда обычный модуль гладкости в непериодическом случае заменен обобщенным модулем гладкости (см., например,18 18 17 18).

*Тиман А.Ф. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица, обыкновенными многочленами // ДАН СССР. 1951. 77. с.969-972.

10Дзядык В.К. О конструктивной характеристике функций, удовлетворяющих условию Lipa (0 < а < 1) на конечном отрезке вещественной оси // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. 20, М 2. с.623-642.

"Моторный В.П. Приближение функций алгебраическими полиномами в метрике Lr // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. 35. с.874-899.

Лебедь Г.К. Некоторые вопросы приближения функций одной переменной алгебраическими многочленами // ДАН СССР. 1958.118, AÍ 2. с.239-242.

"Потапов М.К. О теоремах Джексона в метрике Lp // ДАН СССР. 1956. Ill, М 6. с.1185-1188.

14De Vote R. Lp[—\\ 1] approximation by algebraic polynomials // Linear Spaces and Approximation, Edited by P.Z.Butzer and B.Sz-Nagy. Binkhäuser-Verlag. Basel. 1978. p.397-406.

15Потапов M.K. О приближении непериодических функций алгебраическими полиномами // Веста. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1960. М 4. с. 14-25.

1вЖидков Г.В. Конструктивная характеристика одного класса непериодических функций /I ДАН СССР. 1966. 169. N 5. с.1002-1005.

"Pawelke S. Ein Satz vom Jacksonschen Typ für algebraische Polynome // Acta sei. math. 1972. 33, /f 3-4. p.323-336.

"Потапов M.K. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения // Тр. Матем. ии-та АН СССР. 1975.134. с.260-277.

Рассмотрим один из основных способов построения обобщенных модулей гладкости, связанный со следующей аналогией с 2я--периодическим случаем.

Каждой 27Г-периодической функции F, интегрируемой на отрезке [0;27г], в каждой точке х G [0;27г] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

+оо

£ сИ*

к=—оо

по тригонометрической системе {е1** Тогда ряд

+00

Cke,kheikx

к--оо

является рядом Фурье функции F в точке сдвига (х + h). При этом модуль гладкости в периодическом случае определяется при помощи разности F(x + h) - F(x).

Каждой функции/, интегрируемой с весом (1 — х)"(1+а;)'' на отрезке [—1;1], в каждой точке х G [—1;1] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье-Якоби

+00 *=0

по системе многочленов Якоби {^^(я)}^. Рассмотрим ряд

+оо

Y,am(h)P^(x), ■ (3)

*=О

где — некоторая система функций, определенных на отрезке

[—1; 1]. Если для каждого h G [—1; 1] ряд (3) есть ряд Фурье-Якоби некоторой функции, то принято считать, что это ряд Фурье-Якоби функции / в точке "обобщенного сдвига" х + Л. Лефстрем и Петре19 предложили называть такую функцию оператором обобщенного сдвига. Будем обозначать его Тд(/,х) или Jh(f,x). Обобщенный модуль гладкости определяется при помощи разности функции и такого оператора обобщенного

l9Lôfstrëm J., Peetre J. Approximation theorems connected with generalized translations // Math. Ann. 1969. 181. p.255-268.

сдвига. Если у* (Л) = Р^'^ф), то оператор обобщенного сдвига называют симметричным; если ^¿(/г) ф Р^^к), то оператор называют несимметричным.

Отметим, что случай симметричных операторов обобщенного сдвига исследован достаточно подробно (см., например,15-19 20 21). В этих работах для различных V и \х приводился явный вид операторов обобщенного сдвига и устанавливались аналоги утверждений (1) и (2). При этом в доказательствах существенно использовались явный вид операторов и свойство симметричности Ту(/,х) — Тх(/, у). В связи с этим возник вопрос, будут ли в отсутствии симметрии (где явный вид оператора известен лишь в нескольких случаях и имеет довольно сложную структуру) получаться подобные результаты.

В диссертации рассматриваются несимметричные операторы обобщенного сдвига 7,(/,х) и Ту(/, х), введенные М.К.Потаповым в работах22 23, и устанавливаются соотношения типа (1) и (2) для кратных модулей гладкости, построенных посредством этих операторов.

Цель работы.

Исследовать свойства несимметричных операторов обобщенного сдвига; установить возможность их применения в вопросах приближения функций алгебраическими многочленами; изучить классы функций, определяемые посредством кратных обобщенных несимметричных модулей гладкости.

Методы исследования.

Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций действительной переменной (в том числе теории интегралов Римана и Лебега, свойств абсолютно непрерывных функций), теории евклидовых пространств, теории рядов Фурье.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

^Потапов М.К., Федоров В.М. О теоремах Джексона для обобщенного модуля гладкости // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1985. 172. с.291-295.

21Потапов М.К., Казимиров Г.Н. О приближении алгебраическими многочленами функций, имеющих данный порядок к-го обобщенного модуля гладкости // Матем. заметки." 1998. 63. N 3. с.425-436.

22Потапов М.К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений I/ Веста. Моск. ун-та. Матем. Мехая. 1998. Л/- 3. с.38-48.

^Потапов М.К. О приближении функций, характеризуемых одним несимметричным оператором обобщенного сдвига // Тр. матем. ин-та РАН. 1999. 227. с.243-259.

1. Установлено совпадение классов функций, характеризуемых степенным порядком убывания последовательности наилучших приближений алгебраическими многочленами, и классов функций с соответствующей оценкой кратного несимметричного обобщенного модуля гладкости.

2. Построен новый .^-функционал и доказана его эквивалентность кратному обобщенному несимметричному модулю гладкости.

3. В рассматриваемом случае аппроксимации алгебраическими полиномами функций, заданных на отрезке [—1; 1], получены прямая и обратная теоремы теории приближений о связи между наилучшими приближениями и кратным модулем гладкости, определенным посредством несимметричного оператора обобщенного сдвига.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в различных вопросах теории уравнений с частными производными, теории операторов.

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались на Саратовских зимних математических школах по теории функций и приближений в 1998 и 2000 годах; на Воронежской зимней математической школе в 2001 году; на математических чтениях Московского государственного социального университета в 1998 году; на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством член-корреспондента РАН, профессора П.Л.Ульянова, профессора М.К.Потапова и профессора М.И.Дьяченко, по теории приближений под руководством М.К.Потапова.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 5 научных работ (список публикаций приведен в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, списка основных определений и обозначений, двух глав, каждая из которых разбита на четыре параграфа, и списка литературы, содержащего 43 наименования. Общий объем диссертации составляет 114 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение.

Во введении дается обзор ранее полученных результатов по изучаемой теме, излагается основное содержание работы.

В списке основных определений и обозначений, как явствует из названия, приводятся определения и обозначения, неоднократно используемые на протяжении работы. Отметим некоторые из этих определений, которые потребуются для формулировки результатов.

Пусть р, а, /3 — фиксированы (1 ^ р ^ +оо). Будем говорить, что /(ж) € LPt0¡J} при 1 < р < +оо, если /(х)(1 - х)а(1 + х)? 6 Lp[-1; 1] и положим

II/IU* = |/(s)|p(l - хГ(1 + х)0Чх

Будем говорить, что /(я) € £<»,<»,если /(я)(1 - z)a(l + 1]

и положим

ll/llow = _maxt (|/(«)|(1 - *Г(1 + ,у>) .

Через En(f)p,a,p обозначим наилучшее приближение в метрике Lp¡a¿ функции f(x) алгебраическими многочленами Р„^(х) степени не выше, чем (п — 1), заданными на [—1; 1], то есть

ВД W = iaf II/(«) - Pn-i(x))\P>Oí0.

Обозначим через Е(р,ог,/3, А) класс функций f(x) G Lp¡a¡p, удовлетворяющих условию

где А > 0 и С— некоторая положительная постоянная, не зависящая от п (п е N).

Для каждой функции f(x) € LPi0ip определяется оператор обобщенного сдвига Jy{f, х) по правилу

1 г

dz

Jy{f,x) = \ j 2(1 - у2)(1 - *2) + у2 - xyz^^

-i

№

где R — xу + zy/1 — х2у/1 — у2.

Для каждой функции /(х) € ЬР>а£ определяется оператор обобщенного сдвига Ту(/,х) по правилу

i

Ty(f,x) = ^J f(RMx,y,z)

dz

-i

где R = xy + z\/1 — x2\/l — У2,

T(x i, --Г C°s(^ + fi~ 2yi)(1" ^^^ (l + y)>(l-x)VT=xl

COS <Pl = z,

cos ip =

-X\J\ - y2 + yzy/l — X2

sfi^w '

COS fl =

z( 1 - xy) - y/1 - X2y/l - у2

1-й

sinyji = vl -22,

Vl - 22(j/ - x)

Sin V = sin /1 =

1 - R

В главе 1 диссертации рассматривается оператор Jy(f,x). Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для V = ц = 1 и

ш=ад=рГ(у) - +^ НЛУ)-

Это следует из того, что

i i I Jy(f,x)P¡hl)(x)(l - X2) dx = Uk{y) ■ I/{х)1£л\х)(1 - x2) dx. -1 -1

Оператор Jy(f,x) при у = cos t обозначается Jt(f,x). Отметим, что не при всех рассматриваемых значениях параметров а и /3 оператор Jt(f, х) является ограниченным. Различные оценки для нормы этого оператора приводятся в утверждении 1.6 и леммах 1.8 - 1.10 параграфа 1.2 (вообще, параграфы 1.1 и 1.2 посвящены установлению вспомогательных результатов и изучению свойств операторов Jy(f,x) и Jt(f,x)).

С помощью оператора х) определяется обобщенный модуль гладкости функции / €

¿>r{f,6)p,a,(i= sup ||А[1(Д/,

где Л}(/,х) = М/,х)-/(х), А^г(/,х) = &1(&;-Х_г(/,х),х) для г > 2. Рассматривается также кратный оператор обобщенного сдвига

3}{},х) = М/,х), •ОД/,*) = #(•&_.(/>*)>*) япя г = 2,3,....

В параграфе 1.3 главы 1 доказывается теорема о приближении функций, структурная характеристика которых задана посредством оценки обобщенного модуля гладкости шГ(/,5)р>а>р.

Теорема 1.2. Пусть даны числя р, а, /}, Л иг, такие, что 1 < р ^ +оо, г 6 N. А > 0, при р - 1, 0 а < 2 - ^ при 1 < р < +оо.

Пусть /(х) е £>,<»,/3. Если

{/,й)р,а>р < С1 где постоянная С\ не зависит от 6 (6 > 0), то

Е„(/)р,а,0 <

где постоянная Сц не зависит от п (п 6 М).

При доказательстве этой теоремы центральную роль играет утверждение об алгебраических многочленах, реализующих указанный порядок наилучших приближений функций из классов Е(р, аг/?,А), которое представляет и самостоятельный интерес. А именно, справедлива

Теорема 1.1. Пусть г, д и тп —данные натуральные числа. Пусть функция /(х) суммируема с весом (1 — ж2) на отрезке [—1; 1]. Тогда

для любого 1 — 1,2, ...,г функция * * г

= ... ^..лД/, я) П т, д) вш ¿¿1... Лг, о о 8=1

гдеК{Ь,т,д) = = 7К?) = /

есть алгебраический многочлен степени не выше, чем (д + 2)(т — 1).

В параграфе 1.4 главы 1 для достаточно широких пределов изменения параметров а и /3 (см. леммы 1.8 - 1.10) установлена теорема о структурных характеристиках функций с данным порядком наилучших приближений.

Теорема 1.3. Пусть даны числа р, а, ¡3, т, А, такие, что 1 < р ^ +оо, г € М, 2тах(е* + ^ - 1;а - /?) < А < 2г, 0 < /? < а < 1 при р = 1,

при 1 < р < +оо, | < Р < а < 2 при р = +оо.

Пусть / € Ьр.а,/}. Вели

En{f)p,afi < ^Х,

где постоянная Cj не зависит от n (га £ N), то

где постоянная С^ не зависит от i (5 > 0).

Обозначая через Н(р, а, /?, г, А) класс функций /(х) € Lp>a^, таких, что шг(/,S)pi0ip (А > 0, С — положительная константа, не зави-

сящая от 8), и объединяя теоремы 1.2 и 1.3, получаем прямую и обратную теоремы теории приближений для степенных порядков приближения.

Теорема 1.4. Пусть даны числа р, а, ¡3, А и г, такие, что 1 < р < +оо, г € N, 0 < /3 < а < 1 при р = 1, i-i</9<a<2-i при 1 <р< +оо, ± < /? < a < 2 прир = +оо и 2тах(а + ^ - 1;с* - /?) < А < 2г. Тогда совпадают классы функций Е(р,а,/?,А) и Н(р, а,/?, г, А).

При г = 1, a = Р и более узких пределах изменения параметров эта теорема доказана М.К.Потаповым в работе22.

В главе 2 рассматривается оператор Ty(f,x). Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для v = 3, ¡х = 1 и <Pk{y) — lf'%)- Это следует из того, что

1 1

J Ts(f,x)P^'1\x)(l—x)3(l+x)dx = Р^'4\у) J f(x)lf-%)(i-x)3(l+x)dx.

-l -l

i IТТЛ. ГПТ-ГТП n«rnv\nmn«>n rf ' ( / m\ nn «VAnrtVUt /чЛлЙтТГОПТТТ ТТГ ItOlllMIt T* TT О TTVf>P_ JLAJJM иишиЩи WXiCpa X u^ia xyVV ) У ^ЦЦ^^^А ииииицшииш A «AU^MW

ти:

¿>r(f,s)P<aj = sup IIAi.^i/,®)!!^,

i=l,...,r

где Ai(/,®)=r„t(/,«)-/(«), ДГ1..,Д/,х) = Д41г(Д1^.1(/,а;))Я;).

В главе 2 строится кратный К"-функционал, отвечающий этому модулю гладкости.

Рассмотрим построение ЛГ-функционала более подробно, так как здесь заключен принципиальный момент, отличающий кратный случай от случая г = 1.

Из дифференциального уравнения для многочленов Якоби возникает оператор обобщенного дифференцирования

Dx = (1 - z)-3(l + - х)\1 +

Положим DlJ(x) = Dxf(x), DrJ(x) = Dx{Dr-1} {x)) для г > 2.

Будем говорить, следуя23, что f(x) £ ADr(p,a,/3), если

1) f(x) е LPiajr,

2) /(а;) имеет абсолютно непрерывную (2г —1)-ю производную на каждом отрезке [а; 6] С (—1; 1);

3) DlJ(x) € для 1 = 1,2,...,г.

Заметим, что пространство ADT{p,a,j.3) зависит от рассматриваемой метрики LpiClip (т.е. от выбора чисел р, а, ¡3) и никак не зависит от оператора Ty(f,x).

Однако применение Ty(f,x) к функции /(х) G ADr(p,a,P) может выводить из пространства ADr(p,a,f3), т.е. пространство ADr(p, a, ft) не инвариантно относительно оператора Ty(f, х).

Таким образом, при рассмотрении кратного оператора обобщенного сдвига, действующего на функции из ADr(p,a,/3), возникает ситуация, когда оператор Ty(f, х) вторично применяется, вообще говоря, уже не к функции из ADr{jp, а,/3).

В диссертации определяется пространство ADTr(p, а, /3) как наибольшее подмножество класса ADr(p, а,/3), инвариантное относительно оператора Ty(f,x) для всех у € (—1; 1), и вводится if-функционал:

geADTr{p,a,fi)

Для определенного таким образом Я"-функционала в параграфе 2.3 главы 2 установлена теорема о его "эквивалентности" обобщенному модулю гладкости wr(/,<J)p_a>/?.

Теорема 2.1. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г 6 N, 1 ^ р < +оо, ¿ — ^ < « < 1 — ^ при 1 < р < +оо и i ^ а '< 1 при р = +оо. Пусть f € LP,a+i,a- Тогда существуют положительные постоянные С\ и С^, не зависящие от / и 5, 6 € (0; 7г), такие, что справедливы неравенства 4г(г-1)

C0S 2 J ^ '^ (cos ^p,a+1,a'

Опираясь на этот результат, в параграфе 2.4 главы 2 доказана прямая и обратная теоремы теории приближений для произвольных порядков приближения.

Теорема 2.2. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г £ К, 1 ^ р ^ Н-оо, яри 1 ^ р < +оо и | < а < 1 при р = +оо.

Пусть / е ЬрА+х а. Тогда существуют положительные постоянные С\ и Сг, не зависящие от / ип (п 6 М), такие, что справедливы неравенства

С,1£/„(/)р,с+1,0 < ¿>г (/, — ) < У^ 1/2г~1^(/)р,о+1,о-

V П/р,а+1,а П „=1

Для однократного случая (г = 1) результат настоящей теоремы был установлен М.К.Потаповым в работе23.

Автор глубоко признателен научному руководителю профессору Михаилу Константиновичу Потапову за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] А.Ю. Напеденина. Прямая и обратная теоремы для несимметричного обобщенного модуля гладкости. // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. Л/" 6. С.1&-25.

[2] А.Ю. Напеденина. Эквивалентность обобщенного модуля непрерывности и приближения оператором Рогозинского. // Труды 7-ой Саратовской зимней школы "Теория функций и приближений". Изд-во Саратовского ун-та, 1995, ч.З, с.59-61.

[3] А.Ю. Напеденина. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения. // Математические методы и приложения. Труды шестых математических чтений МГСУ. Москва, МГСУ, 1999, с.54-56.

[4] А.Ю. Напеденина. О совпадении некоторых классов функций. // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов. Изд-во Саратовского ун-та, 1997, с.116.

[5] А.Ю. Напеденина. Эквивалентность ¿^-функционала и обобщенного несимметричного модуля гладкости порядка г. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, 2001, с.194-195.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать

Формат 60 x 90 1/16. Усл. печ. л.

Тираж экз. Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

-198 96

Введение.

Основные определения и обозначения.

1 Совпадение классов функций, характеризуемых несимметричным оператором обобщенного сдвига, и классов функций с данным порядком наилучшего приближения.

1.1 Вспомогательные утверждения.

1.2 Свойства оператора Jy(f, х)

1.3 Приближение функций с заданной структурной характеристикой

1.4 Структурные характеристики классов функций с данным порядком наилучшего приближения.

2 Прямая и обратная теоремы теории приближений.

2.1 Свойства оператора Ty(f, х)

2.2 Свойства оператора H(f, х).

2.3 Связь Х-функционала и обобщенного модуля гладкости

2.4 Связь между обобщенным модулем гладкости и наилучшими приближениями алгебраическими многочленами.

Одна из основных задач теории приближений состоит в определении связей между структурными свойствами функции и порядком ее наилучших приближений полиномами. Можно выделить две исторически сложившиеся постановки задачи:

1) сравнение классов функций, модуль гладкости которых имеет данный порядок убывания, и классов функций с соответствующим порядком приближения полиномами;

2) оценка наилучшего приближения функции полиномами через модуль гладкости этой функции (прямая теорема теории приближений); оценка модуля гладкости функции посредством наилучших приближений полиномами этой функции (обратная теорема теории приближений).

Рассмотрим сначала периодический случай. Будем говорить, что 27т-периодическая функция F(x) £ ¿р*[0;2тг], 1 ^ р ^ +оо, если для 1 ^ р < +оо F(x) - измерима на отрезке [0; 2тг] и Z7T

1И1р- = /

2тг +00, для р = +оо F(x) - непрерывна на отрезке [0; 2it\ и

Через En(F)p. обозначим наилучшее приближение функции F(x) £ Lp*[0;27t] тригонометрическими полиномами Tni порядка не выше, чем (п — 1), в метрике Lp., т.е.

En(F)p. = M H-F — T„i||p*.

J-n-l

Структурные свойства функции будем выражать через модуль гладкости 0Jr(F,S)p. этой функции, который определяется следующим образом: u(F,8)r = sup ||F(z + h) - F(x)||p. = sup ||AiF||p. для r = 1; vr(F,5)p* = sup ||AftF||p. для r>2, r £ N, где AlF = Al(Al~lF).

Еще в начале прошлого века возникли задачи: зная порядок наилучшего приближения функции, выяснить ее структурные свойства, и наоборот, выяснить, какие свойства функции влияют на скорость стремления к нулю последовательности ее наилучших приближений (см. [1]—[4]).

Для 27г-периодических непрерывных функций из работ Джексона [3] и Бернштейна [4] следует результат об эквивалентности условий о6)с- = 0(5а) и = 0(п~а), где 0 < а < 1.

В дальнейшем этот результат был перенесен на метрику пространства Ьр* и обобщен для г-го модуля гладкости, т.е. если Е € Ьр*, то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от п (ть Е М) и 6 (6 > 0), такие, что Сх&* Еп(Е)р* < % (1)

ТЬ где 0 < а < г.

Утверждение (1) решает основную задачу теории приближений в периодическом случае для степенных порядков приближения.

Также эта задача была решена и для произвольных порядков приближения, а именно, было показано, что если ^ Е то для любого натурального числа г существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от п (и 6 М), такие, что справедливы неравенства

С\Еп(Е)р* ^ сиг (V, 1) ^ Щ £ и^Е^р., (2) пУ р* п и=\ см., например, [3], [5] и [6]).

Прямые и обратные теоремы теории приближений позволяют полностью охарактеризовать класс функций с данными структурными свойствами с помощью последовательности наилучших приближений.

Естественно возникает вопрос: переносятся ли утверждения (1) и (2) на случай приближения непериодических функций алгебраическими многочленами?

Прямую теорему Джексон [3] доказал и для непрерывных функций, заданных на конечном отрезке. Но выяснилось, что обратную теорему на непериодический случай перенести нельзя (см., например, [7]), т.е. классы функций со структурной характеристикой и(/,5)р ^ С 6а (модуль непрерывности рассматривается уже в метрике Ьр[—1; 1]) и классы функций, для которых наилучшее приближение алгебраическими многочленами имеет порядок п~а, — это разные классы. Таким образом возникла задача охарактеризовать оба эти класса.

1. Какова конструктивная характеристика функций, удовлетворяющих условию си(/,5)р ^ С 6а?

В 1946 году С.М.Никольский [8] показал, что прямая теорема для непрерывных непериодических функций может быть усилена и выдвинул гипотезу о том, что конструктивная характеристика таких функций должна учитывать положение точки на отрезке. Его результат был уточнен и обобщен А.Ф.Тиманом [9], а В.К.Дзядыком [10] доказана обратимость этого результата.

Таким образом, были получены прямая и обратная теоремы теории приближений, но не для наилучшего, а для "поточечного" приближения; т.е. для /(#) {= С[—1;1] условие ^ С1<5а равносильно следующему условию: существует последовательность алгебраических многочленов Рп-1, для которых где 0 < а < 1 и положительные постоянные С\ и Сч не зависят от я, 6 и п (х в [—1; 1], £ > 0, п е М).

Однако, было показано, что на случай интегральной метрики эти результаты перенести уже нельзя (см. [11]—[15]).

2. Другой вопрос, встающий в непериодическом случае, есть вопрос о том, какими структурными свойствами охарактеризовать те функции /(х) 6 £>р[—1;1], для каждой из которых Еп{})р ^ Сп~а, т.е. чем заменить модуль гладкости, чтобы аналоги прямой и обратной теорем оказались справедливыми?

Полная аналогия с 27г-периодическим случаем имеет место тогда, когда обычный модуль гладкости в непериодическом случае заменен обобщенным модулем гладкости (см., например, [15] - [24]).

Рассмотрим один из основных способов построения обобщенных модулей гладкости, связанный со следующей аналогией с 27Г-периодическим случаем.

Каждой 27г-периодической функции F, интегрируемой на отрезке [0; 2гг], в каждой точке х & [0; 27г] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье

8) - Р„-,(Х)\ 4 ^ ь с2 к=—оо по тригонометрической системе {е1**}*^»- Тогда ряд оо скете{кх к=—оо является рядом Фурье функции Р в точке сдвига (х + К). При этом модуль гладкости в периодическом случае определяется при помощи разности Р(х + К) — Р(х).

Каждой функции /, интегрируемой с весом (1 — гс)1/(1 + на отрезке [—1;1], в каждой точке х €Е [—1;1] можно поставить в соответствие ее ряд Фурье-Якоби

Аг=0 по системе многочленов Якоби {Р^\х)}к=о*

Рассмотрим ряд оо

Е««^*)^*), (3) 0 где — некоторая система функций, определенных на отрезке

1; 1]. Если для каждого Н 6 [—1; 1] ряд (3) есть ряд Фурье-Якоби некоторой функции, то принято считать, что это ряд Фурье-Якоби функции / в точке "обобщенного сдвига" х + К. Лефстрем и Петре в работе [25] предложили называть такую функцию оператором обобщенного сдвига. Будем обозначать его Тд(/,а:)или Обобщенный модуль гладкости определяется при помощи разности функции и такого оператора обобщенного сдвига.

Если срк{Н) = то оператор обобщенного сдвига называют симметричным; если <рк{И) ф Р^'^/г), то оператор называют несимметричным.

Отметим, что случай симметричных операторов обобщенного сдвига исследован достаточно подробно (см., например, [15], [16], [19]-[27]). В этих работах для различных V и \1 приводился явный вид операторов обобщенного сдвига и устанавливались аналоги утверждений (1) и (2). При этом в доказательствах существенно использовались явный вид операторов и свойство симметричности Ту(/,х) = Тж(/,г/). В связи с этим возник вопрос, будут ли в отсутствии симметрии (где явный вид оператора известен лишь в нескольких случаях и имеет довольно сложную структуру) получаться подобные результаты.

В данной работе рассматриваются несимметричные операторы обобщенного сдвига <7^/, ж) и Ту(/, ж), введенные М.К.Потаповым в работах [28] и [29], и устанавливаются соотношения типа (1) и (2) для кратных модулей гладкости, построенных посредством этих операторов.

Определения операторов и Ту(/,х), а также всех других объектов, которые в дальнейшем встречаются во введении, можно найти в списке основных определений и обозначений на стр. 12-15.

Перейдем теперь к точным формулировкам полученных результатов.

В главе 1 рассматривается оператор «7У (/,#)• Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для v — ц = 1 и

Ш = Щу) = - it%) +

Это следует из того, что (см. утверждение 1.4) i i

I Jy(f,x)P¡l>l\x)(l-x2)dx = Uk(y)• I f(x)Pll>l\x)(l-x2)dx. -1 -1

Оператор Jy(f,x) при у = cosí будем обозначать Jt(f,x). Этот оператор рассматривается в пространствах LVí(X)p (т.е. действует на функцию / 6 LP(Qj/?). Отметим, что не при всех значениях параметров а и /3 оператор Jt(f,x) является ограниченным.

Более точно, для нормы оператора справедливы следующие леммы: Лемма 1.9.1 Пусть числа р, a и ¡3 таковы, что 1 ^ р ^ +оо, a ^ (3 ^ I — щ. Пусть Ь — некоторое число, такое, что 0 ^ b < \ при р = 1,

О < Ь < \ при 1 < р < +оо и 0 < Ъ ^ \ при р = +оо. Пусть f 6 Lp>a,/?. Тогда справедливо неравенство

WMMLcp < c(ll/IUí + i>("-»\\f\\M + где постоянная С не зависит от f и t.

Лемма 1.10.2 Пусть числар, a и /3 таковы, что 1 ^ р ^ +оо, 0 < (3 ^ \ прир = 1, при 1 < р < +оо и \ < f3 < 1 прир = +оо, а ^ р. Пусть f é Lp¡Qtp. Тогда справедливо неравенство

Л(/,*)|Ue < С (ll/IU^ + i^ll/IUw) , где постоянная С не зависит от f и t.

С помощью оператора «/*(/, ж) определяется обобщенный модуль гладкости ür(f->fi)p,a,i3 и в параграфе 1.3 главы 1 доказывается теорема о приближении функций с заданной структурной характеристикой.

Теорема 1.2. Пусть даны числа р, а, (3, А и г, такие, что 1 ^ р ^ +оо, г eN, А > 0, /? < а < 1 при р = I, /? < а < 2 - ¿ при 1 < р < +оо. Пусть /(я) G Если

1 Более точно, эта лемма является объединением лемм 1.9 и 1.8 диссертации.

2Частным случаем этой леммы является утверждение 1.6, доказанное в работе [28]. где постоянная С\ не зависит от 8 (6 > 0), то

En(f)P)a,¡3 < где постоянная С2 не зависит от п (п 6 N).

При доказательстве этой теоремы центральную роль играет утверждение об алгебраических многочленах, реализующих указанный порядок наилучших приближений функций из классов Е(р, а,/?,Л), которое представляет и самостоятельный интерес. А именно, справедлива

Теорема 1.1. Пусть г, q и m — данные натуральные числа. Пусть функция f(x) суммируема с весом (1 — х2) на отрезке [—1;1]. Тогда для любого I = 1,2,., г функция

7Г 7Г г

Ql(x) = J.J jlh u (/, x) ]][ K(ts, m, q) sin ts dtx. dtn о 0 5=1 где K(t„m,g) = 7(í») = (^f )2'+4, тК j) = J (Щ)^™tdt, есть алгебраический многочлен степени не выше, чем (g + 2)(m — 1).

В параграфе 1.4 главы 1 для достаточно широких пределов изменения параметров a и /? (см. леммы 1.8-1.10) установлена теорема о структурных характеристиках функций с данным порядком наилучших приближений.

Теорема 1.3. Пусть даны числа р, а, (3, г, \, такие, что 1 ^ р ^ +оо, г 6 N, 2шах(а + ^ - 1; с* - /3) < Л < 2г, 0 < ^ < or ^ 1 при р = 1, при 1 < р < +оо, \ < (3 < а < 2 при р = +оо. Пусть f е Lp¡aj3. Если с

En(f)Pia,0 < где постоянная С\ не зависит от n (ra € N), то r{f,S)p,a,0 где постоянная C<i не зависит от 5 (5 > 0).

Объединяя теоремы 1.2 и 1.3, получаем прямую и обратную теоремы теории приближений для степенных порядков приближения.

Теорема 1.4. Пусть даны числа р, а, [3, А и г, такие, что 1 ^ р ^ +оо, г € N, 0 < /? < а < 1 при р — 1, 2 - ± при 1 < р < +оо, ^ [3 ^ а < 2 дрир = +оо и 2 max(or + ^ — 1; а — ¡3) < Л < 2г. Тогда совпадают классы функций Е(р, а, (3, А) и Н(р, а, (3, г, Л).

При г = 1, а = /3 и более узких пределах изменения параметров эта теорема доказана М.К.Потаповым в работе [28].

В главе 2 рассматривается оператор Ty(f,x). Этот оператор является несимметричным оператором обобщенного сдвига для и = 3, у, — 1 и VJt(y) = Pk°'4\y)- Это следует из того, что (см. лемму 2.1)

1 1 I Ty(f,x)P^1\x)(l-x)i(l+x)dx = Pi°'4\yy J f(x)Pi3'l\x)(l-xf(l+x)dx. -1 -1

Для рассматриваемых пределов изменения параметров оператор Ту(/, х) ограничен.

Утверждение 2.1 [29]. Пусть даны числа р и а, такие, что 1 ^ р ^ +оо, |-^<а<1— ^ при 1 < р < +оо и i ^ а < 1 при р = Н-оо.

Пусть f е LPta+1(Q. Тогда Ty(f,x) G LP)a+l,a для любого у е {—1;1) и справедливо неравенство Q

Ty{f,x)\\p>a+i)a ^ + • H/llp.a+l.a, где постоянная С не зависит от f и у.

При помощи оператора Ty(f,x) задается обобщенный модуль гладкости £v(/>^)p,a,/?- В главе 2 строится кратный iif-функционал, отвечающий этому модулю гладкости.

Рассмотрим построение .if-функционала более подробно, так как здесь заключен принципиальный момент, отличающий кратный случай от случая г = 1.

Из дифференциального уравнения для многочленов Якоби (см. [30], стр. 73-74) возникает оператор обобщенного дифференцирования

Dx = (1 - х)~*(1 + - *)4(1 +

Положим DlJ(x) = Dxf{x), DrJ(x) = Д^Я^/М) Для г > 2. Будем говорить, следуя [29], что f(x) G ADr(p,a,{3), если

1) /(®) G Lp,Q)/?;

2) /(ж) имеет абсолютно непрерывную (2г — 1)-ю производную на каждом отрезке [a;b] С (—1;1);

3) DlJ{x) е LP)QiI3 для j = 1,2,., г.

Заметим, что пространство ADr(p,a,/3) зависит от рассматриваемой метрики Lp,a,/? (т.е. от выбора чисел р, си, /3) и никак не зависит от оператора Ty(f,x).

Однако применение Ty(f,x) к функции f(x) Е ADr(p,a,/3) может выводить из пространства ADr(p,a,/3), т.е. пространство ADr(p,a,/3) не инвариантно относительно оператора Ty(f,x).

Таким образом, при рассмотрении кратного оператора обобщенного сдвига, действующего на функции из ADr(p, а, /?), возникает ситуация, когда оператор Ty(f,x) вторично применяется, вообще говоря, уже не к функции из ADr(p, а,/3).

Определим пространство ADTr(p,a,j3) как наибольшее подмножество класса ADr(p,a,fi), инвариантное относительно Ty(f,x) для всех у Е (—1; 1), или, более точно, скажем, что / Е ADTr(p,a,/3), если

1) feADr(p,а,ру,

2) Tlyi f е ADr(p,а,р) для любого I Е N и любых уиУ2,--,У1 €

Введем if-функционал следующим образом:

Kr(f,S)p,^= mi ^fllZ-ellw + ^M^PWIIft-J»)

Для определенного таким образом /iT-функционала в параграфе 2.3 главы 2 установлена теорема о его "эквивалентности" обобщенному модулю гладкости ur(f,S)Piat0.

Теорема 2.1. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Е N, 1 ^ р ^ +оо, | — ^ < a < I — ^ при 1 ^ р < +оо и \ ^ a < 1 при р = +оо. Пусть / Е LPiQ+i)Q. Тогда существуют положительные постоянные С\ и С2, не зависящие от f и 8, 5 Е (0; тт), такие, что справедливы неравенства

4г(г—1) q

Опираясь на этот результат, в параграфе 2.4 главы 2 доказана прямая и обратная теоремы теории приближений для произвольных порядков приближения.

Теорема 2.2. Пусть даны числа г, р и а, такие, что г Е N, 1 ^ р ^ +00, \ — ¿<«<1. — ^ при 1 ^ р < +оо и ^ ^ a < 1 при р = +оо. Пусть f Е LP)a+i)Q. Тогда существуют положительные постоянные С\ и не зависящие от f и n, n Е N, такие, что справедливы неравенства

CiEn(f)Pta+ita < Wr (/, - ) < ^ V2r"1Ev{f)Pia+l,a / p,a+l,a 71 v=i

Для однократного случая (г = 1) результат настоящей теоремы был установлен М.К.Потаповым в работе [29].

Диссертация состоит из двух глав, введения, списка основных определений и обозначений и списка литературы из 43 наименований.

В работе формулы, леммы и теоремы имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе, собственно, — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Результаты других авторов будем называть утверждениями.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [39]-[43]. Они докладывались на научном семинаре механико-математического факультета МГУ по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством чл.-корр.РАН, проф. П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова и проф. М.И.Дьяченко, на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001) и на Саратовских зимних математических школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (1998, 2000).

Автор глубоко признателен научному руководителю профессору Михаилу Константиновичу Потапову за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе.

Основные определения и обозначения

В этом параграфе приводятся некоторые определения и обозначения, которые будут использоваться на протяжении всей работы. Отметим, что везде далее, если не оговорено противное, п, г — натуральные числа, х, у — действительные числа {х 6 [—1; 1], у € [—1; 1]), 6 — действительное число (<£ > 0), р — действительное число (р ^ 1) или символ р = +оо. 3

1. Обозначим через Ьр, где 1 ^ р ^ +оо, множество функций /(х), которые при 1 ^ р < +оо измеримы по Лебегу и суммируемы в р-й степени на отрезке [—1; 1] и при р = +оо непрерывны на [—1; 1], причем

2. Пусть р, а, (3 — фиксированы. Будем говорить, что /(я) € если /(х){1-х)а(1 +х)Р еЬр и

3. Через £?п(/)р,а,/? обозначим наилучшее приближение в метрике ЬР}01)р функции /(ж) алгебраическими многочленами Рп-\{х) степени не выше, чем (п — 1), заданными на [—1;1], то есть

4. Обозначим через Е(р,а,/3, А) класс функций удовлетворяющих условию где А > 0 и С— некоторая положительная постоянная, не зависящая от п (п £ М).

5. Для каждой функции /(х) Е Ьр,»,/? определяется оператор обобщенного сдвига «7у(/,я) по правилу

И/И» = 11/11«?= НК, !/(*)!■

11/11,,^ = ||/(*)(1-*Г(1+ *)"||

Е„(Лр,а,0 = т( ||/(ж) - Р„-1(:с)1|№/з. 1

Еп(})р,а,0 «; С ■ П'\

ММ = 2(1 — у2)(1 — г2) +

-1 Ь у2 - хуг

3Для единства записи формул будем считать при р = +оо дробь - равной 0. где R = ху + zy/l — x2y/l — у2. л

Также будем рассматривать оператор <Л(/, который получается заменой у — cos t, z — cos у? из оператора Jy(/,rc), а именно,

Я) dp,

1 Г г #

Ji(f,x) = — / 1 —sin2 icos --===== sin 2¿ cos р

L 2vl — ж2 о где Я = ж cos í + cos (р sin Wl — х2.

6. Определим также кратный оператор обобщенного сдвига по правилу j}(f,x) = Jt(f,x), = Jtr(JtZiJf^)^) Для г = 2,3,.

7. При помощи Jt(f,x) введем обобщенную разность порядка г (г £ N) по правилу

A}(f,x) = Jt(f,x)-f(x), и определим r-й обобщенный модуль гладкости функции / £ Lp¡ ür(f,S)p,a,/3= sup ||А^.<г(/,ж)||р1а>/?. г=1,.,г

8. Через а, г, Л) обозначим класс функций f(x) Е Lp,a,p, удовлетворяющих условию

Vr(f,S)p,a,f3 где Л > 0 и С— некоторая положительная постоянная, не зависящая от <5.

9. Для каждой функции f(x) £ Lp>Q¡p определяется оператор обобщенного сдвига Ty(f,x) по правилу i

-1 где R = ху + z\J\ — x2y/l — у2,

1 + 2/)2(1 — х)л/Т~^~х2 cos (fi = Z, Sin (p 1

-X\/l — y2 + yzVl — Я2 . л/1 - #2лЛ — Z2 cos <p =---. -, sin<p =-. -,

Vl-R2 л/1 — R2

2(1 — xy) — y/l — X2\/l — у2 . л/1 — z2(y — я) cos/i =-ГГд-' em" = —ПГй—•

10. Будем рассматривать также кратный оператор обобщенного сдвига

T}(f,*)=Ty(f,z), Tl.Sr(f,x)=Tir(T^rJf,x),x) для г = 2,3.

11. Обозначая Tt(f,x)=Tcost(f.,x), при помощи этого оператора введем обобщенную разность порядка г (г 6 N) по правилу

Alt(f,x) = Tt(f,x)-f(x),

K.jr(f>x) = K(AV.trJf>x)>x) да* и соответствующий этой разности r-й обобщенный модуль гладкости функции f{x) G LPtвводится следующим образом:

ШГ(f,8)Piaj= sup ||Д^г(/,аО||р>в|/*. utes,

1,.,г

12. Многочлены Якоби степени п, ортогональные друг другу с весом (1 — х)а(1 + хУ на отрезке [—1; 1], будем обозначать PnQ'^\x) (а > —1,/? > — 1, n — целое неотрицательное) и считать нормированными условием 1) = 1.

13. Будем рассматривать оператор обобщенного дифференцирования Dx, определяемый следующим образом:

Dx = (1 - х)'3(1 + - я)4(1 +

Положим D\f = Дс/, DrJ = Dl(Drx-lf) для г = 2,3,.

14. Скажем, что f(x) 6 ADr(p,a,(3), если

1) /(*) € LPJBtfi\

2) f(x) имеет абсолютно непрерывную (2г — 1)-ю производную на каждом отрезке [а; 6] С (—1; 1);

3) Dlxf(x) 6 LP}Ct,p для / = 1,2,.,г.

15. Определим класс функций А£ХГг(р, <*,/?) как наибольшее подмножество класса АПг(р, а,/2), инвариантное относительно оператора Ту(/,х) для всех у е (—1;1), или, более точно, скажем, что ¡(х) е АОТг(р,а,р), если

1) /ИеЛ%а,Д;

2) Т1У1 и/ е АПг(р,а,р) для любого I £ N и любых 2/1,2/2, • • • ,2// £ (-!;!)•

16. Введем /('-функционал следующим образом:

1. De Vore R. Lp—1;1] approximation by algebraic polynomials // Linear Spaces and Approximation, Edited by P.Z.Butzer and B.Sz-Nagy. Binkhâuser-Verlag. Basel. 1978. p.397-406.

2. Потапов M.K. О приближении непериодических функций алгебраическими полиномами // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. I960. Ai 4. с.14-25.

3. Жидков Г.В. Конструктивная характеристика одного класса непериодических функций // ДАН СССР. 1966. 169. Я 5. с.1002-1005.

4. Ditzian Z., Totik V. Moduli of smootness. N.Y., Springer, 1987.

5. Butzer P.Z., Stens P.J., Wehrans M. Higher order of continuity basis on the Jacobi translation operator and best approximation // C. r. Math. Rend. Acad. sci. Canada. 1980. 2. p.83-87.

6. Pawelke S. Ein Satz vom Jacksonschen Тур fur algebraische Polynome // Acta sci. math. 1972. 33, Я 3-4. p.323-336.

7. Потапов M.K. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1975. 134. с.260-277.

8. Потапов М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1977. Я 5. с.70-82.

9. Потапов М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1983. Я 4. с.43-52.

10. Потапов М.К., Федоров В.М. О теоремах Джексона для обобщенного модуля гладкости // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1985. 172. с.291-295.

11. Потапов М.К., Бериша М., Бериша Ф. О полиномиальной аппроксимации в интегральной метрике с весом Якоби // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. Я 6. с.33-38.

12. Lôfstrëm J., Peetre J. Approximation theorems connected with generalized translations // Math. Ann. 1969. 181. p.255-268.

13. Потапов М.К., Казимиров Г.Н. О приближении алгебраическими многочленами функций, имеющих данный порядок k-го обобщенного модуля гладкости // Матем. заметки. 1998. 63. N 3. с.425-436.

14. Потапов М.К., Казимиров Г.Н. О совпадении некоторых классов функций // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. N 1. с.3-11.

15. Потапов М.К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. Я 3. с.38-48.

16. Потапов М.К. О приближении функций, характеризуемых одним несимметричным оператором обобщенного сдвига // Тр. матем. ин-та РАН. 1999. 227. с.243-259.

17. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.

18. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. М.: Факториал, 1998.

19. Потапов М.К. Об условиях совпадения некоторых классов функций II Тр. Семинара им. И.Г.Петровского, 1981. вып.6, с.223-238.

20. Халилова Б.А. О некоторых оценках для полиномов // Изв. АН Аз-ССР. Сер. физ.-тех. наук. 1974. Я 2. с.46-55.

21. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

22. Потапов М.К., Бериша Ф.М. О теореме Джексона для модуля гладкости, определяемого несимметричным оператором обобщенного сдвига // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. Af 3. с.7-15.

23. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

24. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1973.

25. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1972.

26. Напеденина А.Ю. Прямая и обратная теоремы для несимметричного обобщенного модуля гладкости // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. Я 6. с.19-25.

27. Напеденина А.Ю. Эквивалентность обобщенного модуля непрерывности и приближения оператором Рогозинского // Теория функций и приближений. Труды 7-ой Саратовской зимней школы. Изд-во Саратовского ун-та, 1995, ч.З, с.59-61.

28. Напеденина А.Ю. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения // Математические методы и приложения. Труды шестых математических чтений МГСУ. Москва, МГСУ, 1999, с.54-56.

29. Напеденина А.Ю. О совпадении некоторых классов функций // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов. Изд-во Саратовского ун-та, 1997, с.116.

30. Напеденина А.Ю. Эквивалентность К-функционала и обобщенного несимметричного модуля гладкости порядка г // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докладов. Воронеж, 2001, с.194-195.