Приближение алгебраическими многочленами функций с данным К-М обобщенным модулем гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



ЛОМОНОСОВА ®ХДНИкО-ЫАТШаТИЧЕСКИЙ ОШЛЬТЕТ

! U Ь

На . правах rmcnn«r«.

казимиров ГРИГОРИЙ нишдши?

К-М'06ССШЗЙЫУ-ЩШЕЫ ГЛАДКООТК

/ 01 .Oí .01 - математический анализ /

¿ в Т О Р s 8 2 ? i ï

ret

-то-эдтстатзэдици паук"

ET.?1*110. на . сагоинаэ

«QG83A 1Э9&

Работа . выполнена нз квфедре теории функций и функционального анализа Ывхвзто-матеыатт&скага фа'судьтета Московского Государственного Университета ювш М.В. Ломоносова

Научный руководитель - доктор фгаико- математических наук,

профессор М.К. Поташв

Официальные опцшенш: доктсзр физико- математических наук,

профессор C.B. Успенский, хввдвдаг 2изико- жзтематичесхиг наук,

доцент С.Г. ЕальнеЯ

Ведшая организация- Московски® фиаино- технический институт.

Защита де«оерташш состоится " jc^ год

в 16 часов <35 мин. на заседании диссертационного совета Д.053^05.С{ го математике щш Московской государственном университете даэш К .В. Ломоносова дэ адресу; 11969S, ГСП, Москва, Воробьева горы, МГУ, Кеханико- математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно -шнакомиться в библиотеке механико-мвте-мйтич^с.сого факультета ИЕУ ( Главное здание, .14 атак }

Автореферат разослан « ^Т»\ЭЪЬ г.

Ученый секретарь дассертгцгонного совете д.ОБЬ.05.0'? яри МГУ . профессор-

Т.". Лукашенко

--------------- • Общая характеристике работы

Диссертация посвящена ¿зучвнгь некоторых вопросов приближения алгебраическими многочленами непериодических, веданных на отразив, функций с данным к— м обобщенным модулем гладкости в интегральной гатрике с весом Якаби.

Актуальность теян

СДНЗ VíiüütiHüX «8мии твуУКИ "Г'""",1""" CÜCi'üüX В Нй—

создснии связей мегду структурными свойствами функции i дафференци-зуемостью, условием Липшица и т.п. ) -и порядком стремления к нулю госледовательтасти ее наилучших прибллкентй тригонометрическими или шгебраиче скими полиномами.

Перше результата в атом направлении появились в начале веке [см. например, работы (Í3-Í43). В этих работах для непрерывных 2,7Г - периодических шункций были доказаны прямая и обратная георемы теории приближений для модулей непрерывности степенного

Víx¿et Pon^ífu СSi^r Сл.

КАЛЯХГ*. cr¿jo*uucÁi, i^MJuiJ^ta+ctL^ (Ь^-СС. ^cftct.< / •'9 0 & •

2] qtb-Cci-

J^e ¿a •Sí¿. di C'u»üJir+¿í¿ cíe T~>ujCc>u.^e.

'31 Бврнштейн C.H., О наилучшей приближении непрерывных функций ^средством многочленов данной степени. Соч., Изд. АН ССОР, 1952, J. И- 104.

:43 ■SaxAíc*' S. Мл. ^л^ьалш^цЛ Лп-плАи-**.^

¿ttJb^tr Т^мЛИомм- (Lm-JI , <*лл*М-

azjiz&ix&M. QrcJ**' uW. -bri^o^o^rUJlsM, y^uvw OnUu^yShiW&rí+t «"A ^ ЪёУЬСмр*.j <i...

г

типа. А именно было, в частности, показано, что эквивалентны условия

где - наилучшее приближение -£ а равномерной метрик!

тригонометрическими полиномами порядка не выше, чем И- —í .

В дальнейшем (см.гапример 15]), для периодических функций прямая и обратная, теоремы теории приближений были доказаны в равномерной метрике для общаг модулей гладкости. А именно, была показан! справедливость следующих неравенств:

где положительные постоянные С., и С^не зависят от и м^- -(и-=К здесь ^^ модуль гладкости порядка К

функции 4 в равномерной метрике ).

В нача^й века (см. например, 11]-Ш), была также обнаружеш существенная разница между периодаческим и непериодическим случаями. Так, было показано, что условие принадлежности нвпериодичзско{ функции классу Липшица порядка еС на отрезке 1-1,1] не являете? структурной характеристикой класса функций с порядком уС-^ стремления к нулю последовательности - ее наилучших приближений алгебраическими многочленами степени не выше, чем 1 .

В 1946 году (см., например,[6]) было показано, что прямая тео-

[5J. Отечкин О.Б., О порядке наилучших приближений непрерывных функций, Изв. АН СССР, сео. мат., 19, 1951, о. 219- 242. 16] Никольский С.М.,0 наилучшем приближении функций, удовлетвоящих ycjEBHD Липшица» Изв. АН ССОР, сер. мвтем., 1946, т. 10, Я 4, с. 235 - зга.

3 . - - - --------- -

емз тёоряи приблиавктй для непериодических непрерывных функций до-ускаэт усиленна. В частноеги, былг пойазвно, что для непериодичес-их функций, удовлетворящих условии Липшица порядка 1 на отрввке -1,1], можно построить такие алгебраические многочлены Р^ степени а вшэ, чем ( Н-1), для которых имеют место неравенства

иг*.)- р М ^ зг.: ^М^р!

' ' ' ' РЛ+С) и/- •

де - некоторая постоянная, не зависящая от X и И- (а*

В дальнейшем этот результат был уточнен и обобщен (173) и была зказана е:о обратимость ([а]). Ь частности, было показано, что уставе . принадлежности функции -{■ классу Липшица порядка (<■ £ < 1) э огрэзке [-1,13 равносильно слодупцему условии:сущьствуит алгеб-шческие многочлены Р^ степени не выше, чем ( П- - С ), текив, что

Ю константа Н9 зависит от ^ п И- ( 1и=,//2„, ).

Таким образом, для непрерыгчет непериодических функций такие ¡ли получены прямая и обратная теоремы теории приближений. Однако, отличие от период.ческого случая они доказаны на для наилучшего, для поточечного прибятадая. (

В дальнейшем было показана (193), что порядок К- наилучшего сближения характеризуется условием поточечной принадлвкности »

3 Тиман А.Ф. .ПриблиЕенив функций, удовлетворяющих условию Л1-дшицэ ыкновенными многочленами , ДАН ССОР, 1S51, 1. 77, с. J69- 972. 3 Дзядык В.К., 0 конструктивной характеристике функций, удовлет-ряпцих. условию <&f<C {0<*i< { ) на конечном отрезке веществен-й оси , Изв. АН СССР, сер. матам., 1956, т. 20, N2, о. 623-642. 3 Фуксман А.Л., Структурная характеристика функций, у котсрах Jbn«)^ h/tu** , Успехи тт. bbvk, 1965, т. 20, т. 2, с. 1S7- 190.

классам Липшица, а именно, эквивалентны условия К-

где постоянные и С^ не sjbhcht от Л и п. (и.= )• 0<- <1.

Наряду со случаем равномерной метрики изучался вопрос о связях мэвду структурными свойствами 2-Я"- периодической функции и скоростью убывания последовательности ее наилучших приближений тригонометрическими полиномами в интегральной метрике. В частности, были доказаны прямая и обратная теоремы теории приближений, как для модулей непрерывности стпенного типа, так и для общих модулей гладкости.

Аналогичные задачи рассматривались в интегральной метрике и для непериодического случая. В частности, было показано, что на интегральную метрику нельзя перенести результаты о поточечном приближении.

- Так (см., например, [Ю], ИИ), условие принадлежности функции классу Липшица «6- (С<°£<'1 ) на отрезке [-1,1] в метрике Lp (<^р<£*г?)не равносильно условию: существуют алгебраические многочлены Р^ степени не выше, чем и." { такие, что

II -К*)- <1(«>Ц < с

где тстоянная С не зависит от и К- (H^-i 2.... ),

L Г

11+11 . Ц«*)|г^)

[10] Моторный В.П. .Приближение функций алгебраическими полиномами в метрике оif , Изв. ¿Я ССОР» сер. мате«., 1971, т.35, с. 874-699. Ill] ХУс Vbc-c i.pO-t/2 а^ргохЯлаФс**. ¿¿¡цёгяи

CL&irj JtOubU* dpAH-ti- J

рМЧ-Чоб.

'Кроме того было" показано, что условие

-t ) В равносильно условию. ЕиЛ^р^ ^Ацр" » ГД0 Ct И -ПООТОЯННЫ8, в Езшсящие от it и f , а Еи Wp - Наилучшее приближение -4 лгеОраическими многочленами степени не выше, чем К,- i , в метрике

I ■

В то Ее время было показано, что прямые и обратные теоремы еории приближений справедливы в случае, когда обычный модуль глад-ости заменен некоторым обобщенн"м модулем гладкости (см., напри-ер, [12]-[18]). ' ;.

1й]

ZJm, XitX'E. Ucii- ¿teu^MHiAcJiuu jgp -fiu-

и^ЗЗ t/S-Ч t p. 3 2.2>-3b6 . .

13] 2. .-Tot^i V. . ДшЬЛс c{ Sprbyr

{/Vuv Hcrl - АлтЬ*

U] Потапов И.К. .Федоров В.М., О теоремах Джексона для обобщенного одуля гладкости , Тр. Мат. im-та АН СССР, 1985. Т. 172,с. 2Э1-29Ь. Ъ} Потапов Ы.К.,Об условиях совпадения нэкотсрнг классов функций, р. семинара им. И.Г. Петровского, 1981, вып. 6, о. 223 - 238.

16] Потапов U.K., О приближении алгебраическими многочленами в • нтегральнойй метрике о весом Якоби , Веатник Московского чиверситета, сер. мзтем., 1983, N 4, с. 43- 62.

17] (hwiter P. itei-ty Р. Л.f Wk&tn*. ft. HCf^r c'.'lur ef 'jpidC^d^. -¿лл-i^. ом, -Цц, Згиявс Ь-л^Ы^о^ ofusvtor л**<С Ы-fС.£. . W. СлжЛА/Щ V. AJ f. 8-5 - 2 ? .

18]Танкаева С.К., О тееоремах Джексона на отрезке в полу-си С® , Изв. АН республики Казахстан, сэр. физ. мат., 1992,.

5, О. 45-49.

.. Такие обобщенные модули гладкости могут определяться различными способами. Например, Dî,tz.uui. 2. "¡>-b¿i V. (ом. £13] ) определяли fe -й о(<общеняый модуль гладкости исходя из обычной к -й разности, но подставляли в нее вместо /? функцию Л"\fi~x.1,

Другой подход связан со следующей аналогией с ¿¡5Г -периодическим случаем. •

Если рассмотреть ряд Фурье по тригонометрической системе 2 ЗГ -периодической, интл^аируемой на Í0,2ic] функции, то в каадой точке такой функции -f можно сопоставить ее ряд Фурье Z_ с« с. .тогда в точке функции 0 -"функции сдвига" - сопоставляется ее

ряд Фурьа ^ с • С ' . Теперь, если мы будем рассматривать нбпериодическио функции, заданные на отрезке [-1,1] и интегрируемые на нем с весом (/-х.) fi-f то каадой такой функции можно сопоставить ее ряд Фурье-Якоби по системе /Р '' (х)/ полиномов Якоби,'

У А

ортогональных друг другу на отрезке £-1,1] с весом (<- và ({+ ее) • в«

Он будет иметь вид -2й-к естественно взять в качестве фун-

кции- "сдвига" - функцию, ряд Фурье-Якоби которой имеет вид

■ eMt )

*

В некоторых случаях такие функции были явнс выписаны и названы операторами обобщенного сдвига Якоби (см., йапример, [14], [16]).

В а тих работах доквзаны прямые и обратные теоремы теории приближений для обобщенных модулей гладкости только первого порядка.В связи с этим актуальной является задача получения аналогов таких теорем для к- их. обобщенных модулей гладкости В настоящей диссертационной работе в рассмртривается вта задача.

В прямых и обратных теоремах теории приближений, полученных ранее для модулей гладкости, определяемых ери помощи операторов обобщенного сдвига, вес рассматриваемых пространств был тесно связан о видом опвратора. В данной диссертации найдаш промежутки из-

менения веса пространств, в которых остаются справедливыми прямая и обратная теоремы теории приближений для к- ых итерированных обобщенных модулей гладкости, определяемых при. помощи операторов обобщенных сдвигов Якоби.

Цель работа

IlaJiwn тлаЯот». цалучани« яряМНТ "теорем

теории приближений для к- ых обобщенных модулей гладкости и нахождение промежутков изменения веса пространств, я которых они остаются справедливым!.

. Научная новизна Все основные результаты являются новыми. Они состоят в слвдущем:

Для к- ых итерированных модулей гладкости,определяемых при помощи операторов обобщенного сдвига типа Якоби и типа ЧебышеЕэ-Якоби получены прямая и обратная теоремы теорич приближений для модулей гладкости степенного типа и аналоги неравенств ( 1 ) для общих модулей гладкости;

найдены промежутки изменения веса рассматриваемых пространс-в, в которых справедливый прямая и обратная тоорега .теории приближений и аналоги неравенств ( 1 )-

Теоретическая и {фактическая ценность работы Работа носит теоретический характер. Полученные результата могут найти применение в теории функций и вычислительной математике.-Апробация диссертации Результаты диссертации докладывались на научном семинаре МГУ пс теории тригонометрических и ортогональных рядов под руководством члена-корреспондента РАН, проф. П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова, проф. М.И. Дьяченко; на научном семинаре МГУ та теории приближений год руководством проф. М.К. Потапова; на научно-теоретических кон-

ференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 1994 и 1995 годах; на Международной математической конференции, посвященной 25 -летаю Гомельского гос. университета имени Фр. Скорины в 1994 году; на Воронежской зишей математической школе в 1995 году; на Мевдународной конференции " Функциональные пространства.Теория приближений. Нелинейный анализ", посвященной 90- лётии академий ка С.М. Никольского в 1ЭЭ5 году.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит введения и двух глав, каждая из которых разбита на четыре параграфа, а также'списка литературы, включающего в себя 45 работ. В каждой главе проставлена своя нумерация математических утверждений. Объем диссертации - \0£ страниц машинописного текста. "

Содержание диссертации

Во введении дается краткий обзор ранее известных результатов по теме диссертации и формулируются основные результаты работы.

В первой и второй главах рассматриваются лебеговы пространства функций, интегрируемых' в р -й степени с весами Якоби на отрезке [-1,1].

Обозначим через I- - множество-функций ^■х.) .заданных на отрезке [-1,1] к таких, что для ** каадая функция *{•

измерима на отрезке [-1,!] и £

а для р = оо каждая функция 4" непрерывна на отрезке [-1,1] и

I /Г

Через Е„ , _ обозначим наилучшее приближение функции

> Г

Т<оо

^ ^^ ^ при помощи алгебраических многочлзнов степени нэ выше, чем ц, — А , т.е.

где Р - множество алгебраических многочленов степени не выше, чем и.- •{ ( и, \) %г... ).

Обозначим через Е^р^ДД] класс функций ^ ,

\t пгтн tiOTBnneiiiri* » 1ГП »1

p. (-2J С. К.""" \ > О

где С j - некоторая постоянная, не зависящая от п. ).

В первой главе рассмотрены операторы обобщенного сдвига типа Якоби, введенные в работе [16]: 1) если У =¿4 = - , то Tjfx^fj -VtH

+ *f (тс - Sût) J ;

- V Л

2) если то =

3) если ^ то ^('С^-ь^^^Т1!?-

4) если то Ть

где щр)=I¡(^1 ^.

К-й обобщенный модуль гладкости типа Якоби определим следующим образом: пусть ^/т.) х 1)/'Мб/,

а для Кзг.З,.., 1,4

•Л—Лм V"»

тогда

"Через НСр^^Л^у^г) обозначим класс функций 4 ^ удовле творящих услсвию

ЯЛ^мУ^^, А>о

где С ^ - некоторая постоянная, не зависящая от £ . В 52 главы 1 доказана

Теорема 1. Пусть числа ^ 0^ . удовлетворяют следую-

щим условиям: , Уъ^ ^ , - А- ; «¿^ I'

при р ^ ; ^ < 1М—^ , р ¿¿р-е^ -р при ы> , .

Тогда для Л , удовлетворяющего условию:

) ?£ ^ ^ 4 А 4 ^ г класс функций совпадает с классом функций

Е(РЛ^Л) • .

Таким образом, доказаны прямая и обратная теоремы теории при-Слижвний для к-х обобщенных модулей гладкости степенного типа. При * Теорему 1 доказал Ы.К.Пзтагов (см.ЦБ]>. При , Теорему 1 получили Р.Ь.В^гег, Й.Ь.згчаа,

М.Яейгепа (см. [IV])- °

В §4 главы 1 доказаны прямая г обратная теоремы для общих к-х обобщенных модулей гладкости, но для более узка промежутков иечз-неиия веса рассматриваемых пространств, чем в Теореме 1. А именно, доказана следующая

Теорема 2. Пусть даны числа р^Р^К такие, что р.., ~ ^ , К ь Ж . дусгь числа ^ и ^ выбраны по првв&лу:

1) если = то при *0=> ;

2) если » - ^ , то > и £ ^ при р » -1 ,

^ 00 , 1>-с|- при р =

3) «ели ^т-уч =.-1, то £ = — < ^ при при ;

4) еЬда >-1 , то ипри У ,

^ >о щзи << р л ъо

И у, + | при р - ее

Тогда для £ р,^^ справедливы неравенства:

• С.е„с4 * цДЬ1^ ^ £ вД . 4 и рл? . К ^ •

где потш'иителън'л? тгпптСдННКз С, ¿1 С, не ^лнисуг ст-^- гг г. -

При к = ! теорему 3 доказал М.К.Потагов (см. 1163) Во второй главе рассмотрены операторы сообщенного сдвига типв Чебышева- Якоби, введенные в работе {14].

Пусть дано число X ( А > - ( ), тогда определим оператор Чебышева- Якоби следувдим образом:

С с /

где И4^* , г сл!(9-оео^-Ь-»-, — .........■——

\] ( иъ-ъ + -и* ь •

Обозначим через о Гд)_ , - Г" -ый обобщенный модуль глад-"— (- ' ' г>

кости типа Чебышевз-Якоби, определяемый при помощи этого оператора:

О иск) = где , а для Г»2,3, ...

Через ¿.^ ^ ^ \} г) обозначим класс функций £ ^,

удовлетворяющих условии:

где ^Cj - некоторая постоянная, не зависящая от- Г". В (2 главы 2 доказана•■

Теорема 3. Пусть числа Y,Ct Г удовлетворяют следу-:

один условиям: «>» ,A>-f, г* е Ж ; d £ О N при

pi ; при i-fe^fa}-^

y-s \J--f -V А- [ , (Г> -¿р при р и £>о при .

Тогда для , удовлетворяющего условию

¿И-Л* 2 f t

класс функций HCf,/ift/«(A/r) совпадает с классом функций Теорему 3 для Г— < доказала Танкаева С.К. (см.[182). Для общих Г-ых обобщенных модулей гла^ости, определяемых при помощи оператора обобщенного сдвига типа Чебышева-Якоби, прямая и обратная теорема теории приближений доказана в §4 главы 2, но для более узких промежутков изменения веса пространств, чем в Теореме S."

А именно, справедлива

Теорема «- Пусть даны числа р,г и X , такие, что ^ < с*" , A т Г*6 А' Пусть число об выбрано по правилу :

- 4 ^ ¿i {о,i.1J при f = i при p - . ■"огда для -f ti-^ ¿¿^справедливы неравенства:

где положительные постоянные Cf и Сг не зависят от-^ ип_ (

При К-1 теорема 4 доказана U.E. Потаповым и В.Ы. Федоровым ( см. [14] ).

При доказательстве Теорем 1 и 3 основную роль играют утверждения об алгебраических многочленах, реализующих указанный ю-

рядок наилучших приближений функций из классов £ (р, }>4 . В § 3 главы 1 доказана следупцая

Теорема 5.Если 4 .1 и , лл. , то функция

т зг г ан

» хеш х'^ге!)^ .

О ' 1

есть алгебраический многочлен степени не выше, чем (г^+ДД^-О .

При доказательстве Теорем 2 и 4 вначале изучается аппроксимация функции дифференцируемыми функциями. В частности применяется метод К-функционалов, введенный Я.Петре и им 89 впервые- примененный к проблемам теории приближений (см. .например, [193). Обозначим через

ур класс функций , таких,что имеет абсолютно непрерывную 2 г- < производную на каждом отрезке с (-1,1) и

1) для 0 ^ при ,

.Л^иъаггъ...

в при К =2,5,... = ^ ) ;

2) для : и-^Т^^Мб^^ *

В §4 главы 1 доказана

Теорема 6. Пусть даны числа р, ^ ^ такие, что

\) 7, р > . Пусть числа <1 и р> выбраны по правилу:

, при . . "при

Тогда для еДг^)^,^ справедливо неравенство:

[19] Л^Ьге. А ЬЯшу о( Ърахх^

с&лигс ичЛе^ ЬголМА; <963.

где постоянная С ле зависит от ^ и »и ( » ,. • ). Вводам Е- функционал по пранилу:

В $3 главы 1 доказывается, что таким образом определенный К-функциснзл "эквивалентен" Т-му итерированному обобщенному модулю гладкости, определяемому при помощи оператора обобщенного сдвига типа Якоби..

А именно, справедлива следующая

Теорема V Пусть даны числа р,^,^, г такие, что Мо®, ^ , Ж. Пусть числа и ^ выбраны го праьилу: П если = , то -¿^ при 1 * Р - 00 ;

2) если 1>-/ч _ -то ¿ - Р и при ,

3) воли » ^---А 4« 4 ^ < <У» , о^ ^ <■ щж р = ;

4.) если . то 1и ^ при

р = 4 . » при

, 1/-^.,^„¿-^^ О при -

Тогда для £ справедливы неравенства:

с, « мцч</ сА«Мг, _

где полокительные постоянные С , в С2 вэ зависят от и Т .

Пользуясь Теоремами Б, С, 7 и неравенствами типа Йарксва-Бернттейна дагко пожучить справедливость теорем 1 в 2.

Теоремы 3 и 4 доказываются с помощью аналогов теорем 5, 6 и 7. Автор выражает свою глубокую благодарность Михаилу Константиновичу Псталону ва постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе.

Публикации ш тема диссертации:

1. Казимиров Г.К., 0 теоремах Джексона для к- го обобщенного модуля гладкости. Проблемы математики и информатики, Международная математическая конференция, посвящвнная 25- летав Гомельского гос. университета имени Фр. Скорины, Гомель. 1994 т. п. л ля.

2. Кагжятрзз Г.II., О теор»м»-г йге^сггл длл го оооогданиого модуля гладкости, Деп. В ВИНИТИ РАН 27.12.94, 3054 - В94, о. 1- 40.

3. Казимиров Г. Н., Приближение алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Чебышева-Якоби, Деп. в ВИНИТИ РАН 27.12.94, 3053 - В94, с. 1-30.

4. Казимиров Г. Н. .Приближение алгебраическими гягагочленами в интегральной метрике с весом Якоби, Воронежская зимняя математическая школа -1995, Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики (тезисы докладов) ( г, Воронеж, 25 января -1 февраля 1995 г.), Воронеж, 1995, с. 112.

5. Казимиров Г.Н. .Приближение алгебраическими многочленами а интегральной метрике с Еесом Чеоышева-Якоби, Международная конференция "Функциональные пространства. Теория примбдижений. Нелинейный анализ", посвящвнная 90- летаю академика D.M. Никольского, Москва, 27 апреля - 3 мая ( тезисы докладов ), Москва, 1995, о. 141-142.