Асимптотические свойства ортогональных полиномов и их производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Л Л

V ; о

здссийсш акадшин НОТ

УРАЛЬСКОЕ ОТДЕДЕНЛЗ ИНСТИТУТ ШТИИАТИКИ И МЕХАНИКИ-

ЩДЮВ Нпадюшр йяхайловгч

АСШГООШБСКЙЕ СВОЙСТВА СЕГОГОНМЬШХ ПОЛИНОМОВ И ИХ ПР0ИЗЕ0ЛШ2

01.01.01 - Ь'ЛТЕШТДОЕОГСИЯ АНАШ

Л В Т ' О Г ü Ф Е F А X Д2сссргя)|.|'1! на саисаиыкэ y-ieiioü cxuau;:;:

nnvpnr\a T.'J t) ' (t.T.—liQ T ¡ll.rn^ ТГ71 ПП'ТП

ШИШКУ-Т - Í99Í5

Р&оота выполнена в отделе теории приближения функций Института математики и механики УрО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических внук,

профессор В.А.Баскаков доктор физико-математических наук, профессор П.К.Суетин . доктор физико-математических наук, ; профессор Н.И.Черных

Идущая организация - Московский государственный университет им. Ы.В.Ломоносова

Защита состоится " 20 "_декабря 1995 г, в 14 часов

на заседании специализированного совета Д 002.07,02 па присуждению ученой степени'доктора физико-математических наук в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук по адресу: г. Екатеринбург,ул.С.Ковалевской,д,16.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Шсултута математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан " $ " ноября 199 бе-

Учений секретарь специализированного совета, ■ доктор физико-математических наук,

профессор : . В. В. Арестов,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Теория ортогональных полиномов - один из классических и интенсивно развивающихся разделов катеыаглчес-кого анализа. Ортогональное поллногы, обладая ценима аксгрн-

иальнкмн я аппроксимативными свойствами, находит аырокне rrpi--иекения как в математическом анализе, так л в его приложения (в аппроксимациях Наде,рядах 4урье по ортогональным полиномам, венте и квалратушх. математической статистике, иа-тегтатувсоц Лиолагии и т.дХЗоарос о позеленил ортогонального полинома при больиих значениях его номера является оашш ¿и вакнейших и труднейших вопросов теории ортогональных полиномов. В настоящее время теория ортогональных полиномов является обширной областью математических исследований. Она имеет дело с многшга типами ортогональных полиномов и различными видами асимптотик. При исследовании сходимости и суммируемости радов Фурье по-ортогональным полиногам, сходимости интерполяционных и квадратурных процессов и т.д. требуется знать равномерную асимптотику на носителе меры для ортогонального полинома.

Асимптотические свойства классических ортогональных -ягсго-членов Якобл.аркита и Лагерра исследовались в работах Дарбу, Сонина.Стилтьеса.Стеклова.Берншгзйна.Хильба,Pay,Cere. и других. .

Р.а.п. (ралнокерные асимптотические представления)классических многочленов Якоби на всём отрезке ортогональности 'Пслучгла Э.Хильб (в частном случае многочленов Ледандра/, а также Г.Гау и Г.Оегэ (в общем случае) в терминах функций Бесселя методом

Диувилля - Стеклова. С.Н.Бернзтеин fl7 исследовал асимптотическое поведение обобщённых многочленов Дкоби ip^'^ {*)}#-&,°РГ0~ нормированных на отрезке С~1>11 с весом

Pft) = H (t)ff-1) "(1+ t)P (-i ä t & A-, <*, ß » ■- 4 )

где H - отграниченная от нуля и бесконечности изгер¿мая по

Лебегу функция. При НЮ —4 эти многочлены являются класся^

ческимя ортонормиро ванными многочленами Якобп ^ РА

При условии, что ot,ß и производная H'ÇD-LipJL

(f ir y-LipA^ означает, что¿off)6)cM,il =O(lt«U~*)fS-**0),

где u(f} ¿ici,4J - равномерный модуль непрерывности на Гаг&1 функции / ) , С.Н.Бернштейн f11 получил дая p.a.п.

па всём отрезке f о,л1 в терминах полиномов (otО) и

В случае «*=у9С.Н.Бернатейн получил этот результат в предположении, что Hé D-Líp/' , и дан оценку оста-

точного члена р.а.и, 3 течение многих десят«У1етдй сстасался открытии вопрос о справедливости результатов С.Н.йеркьте&на

дня всех of, р > - Л к прц минимальных ограничениях на гладкость множителя J-Г .

Г.Сегё ввёл в рассмотрение систему многочленов ftynfz'))п=о • ортонормированную на окружности Г* свесом <f>fc) ,

выразил через них многочлены, ортогональные на С~1 > 4 3 , я доказал, что если -¿r,<p(tr) е .то £ сходится равномерно внутри круга Т)—{ /<■/} к функции

ныне носящей его имя. Шзде Я.Л.Героницус доказал, что если выполнено условие Сегё

-CnG'C'c) е L1 [о,2ж], . y2j

то равномерно внутри J)

С*-*оо), (з)

где ifytjn — система многочленов, ортонормированная на

2*4 по мере йб (производящая Функция которой б не убывает,

ограничена, имеет бесконечное множество точек роста на отрезке £"0> 2.ТГ J . с которого продолжается на интервал <х>, оо) 0

• помощью формулы G(T+Z7r)-&C& —&(zjr)-gfo) ). Г.Сегё установил, что если О<9® 6T>-Lif>M- , то равномерно по

<Р?Се.'в)->ж(<р,^в) (п-*со) , гдеzfrjtty^&nxfcfety. Отсюда Г. Cere в виде немедиенного. следствия вывел цитированный выше результат об асимптотике Рн,£ » полученный в [II

значительно более сложным способом. С тех пор, следуя Г.Core, результаты об асимптотике многочленов, 'ортогональных на отрезка, обычно выводят из предварительно устанавливаемых результа-тов^дтрг Фб,п (2) . Результаты С.Н.Бернштейна о р.а.п.

на [0/ус7 и Г.Сегё о р.а.п* Сря fe) на 77, относятся к сдучев весов ортогональности, не имеющих особрх точек. Известно, что если выполнено условие (2), то п.в.на СО,2л1

| = < <¿>'(6))'*, (4)

поэтому в особых, точках 9 плотности распределения €>' для 10 . формула (3) не может дать ни асимптотики, ни даже порядка для С г) .В течение нескольких десятилетий в актуальной, для теории ортогональных многочленов задаче нахождения р.а»п_ на Т7, для .в случае веса 0» с особен-' ностями не было существенных продвижений. Усилия многих авторов (подробнее об этих исследованиях см. в [2]) бшш направлены на получение р.а.п. (3) на дуге окружности Г^ , н; содер-

кащей особых тачек плотности распределения <&'(Т) , при минимальных-ограничениях на гладкость на этой дуге. Одгако полного' решения этой задачи получить не удавалось.

ЦЕПЬ РАБОТЫ. Целью настоящей работ« является редеггие следующих задач (среди которых .задачи 2)- 5) являются вспомогательными для решения задач 6)-8) ):

1) доказать асимпто тческую формулу в форме Сегё для %lfl , разномерную внутри дуги единичной окружности, не содержащей осо-йиг. точек плотности распределения б' , при минимальных ограничениях ня гпялкость й' ;

2) установить двусторонние поточечные оценки дал ¡яСФ^е10}]

• (в зависимости от р£и QS.R ) в случае веса <р с особенностями, задаваемыми произведениями действительных степеней функций, типа модулей непрерывности натуральных порядков;

3) показать, что дая широких классов весов <р с особенностями, задаваемыми произведениями действительных степеней вогнутая модулей непрерывности, наилучшие приближения функции Сегё (I) алгебраическими многочленами в ¿^ф (Гц) стремятся к нулю на медленнее, а иногда и быстрее, чем f

4) показать, что дая этих же классов весов максимум модуля логарифмической производной функции (I) в круге. fZ|£-p есть Q((1-P)~") , а иногда и. О ( (1~р) (f>-* 1-0) ?

5} уточнив и обобщив известные неравенства дтя интегральных средних аналитической функции,новым методом установить в рамнах единой теории весовые аналога неравенств А.А.Мзркова.С.Н.Еерпш-тейна и. С. М.Никольского для" алгебраических многочленов на окружности или на отрезке и т^жчэкометричеекпх полиномов на периоде;

• в частности, уточнить в ряде случаев константу в неравенстве

С. М. Никольском дая тригонометрических полшюмов одной переменно Г: ;

6) Д)1Я сирокого класса иегов о особенностями, задаваемыми произведениями действительных стапелей вогнутых, модулей непрерывности, установить двусторонние поточечные оценки в терминах величины [яС^^-^в'6)! Л"1* при фиксированном Jf 2Г+;

7) дая более узких классов весов <jp с особенностями доказать при фиксированных. С£ f 0,00) и Уе р.а.п. на

0) получить р.а.п. на носителе меры обобщённых полиномов Дкойн, алгебраических на окружности или на отрезке к тригонометрических на периоде, при минимальной гладкости весов u для всех допустимых значений показателей в терминах классических

- Б -

многочленов Йкоби. .

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. При решении поставленных, задач применяются метода теорий функции действительного переменного,комп- " лексного переменного и ортогональных полиномов.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются либо новыми по форме, либо уточнениями известных по форме результатов, но доказанными при минимальных ограничениях в рассматриваемых терминах. Например, результат о равномерной асимптотике (¡р£уЛ на дуге окружности в форм? Сегё в частных

случаях был известен и раньше. В диссертации он доказан, при минимальном ограничении на гладкость плотности распределения на

Сказанной дуге.При этом применён новый метод доказательства, еэультаты о р.а.п. обобщённых полиномов Якоби трёх типов, особенно в случае отрезка, получены в форме С.Н.Бернштейна, однако новым методом, причём, при минимальных ограничениях на гладкость весов и для всех значений параметров. Результаты о двусторонних поточечных оценках и р. а, п. для 'Р^п являются новыми и по форме и по методам доказательства, новым по форме и

методу доказательства является также и результат о двусторонних поточечных оценках функции Сегё. Новым является и метод, доказательства весовых аналогов неравенств А.А.Маркова,С.Н.Бернштейна и С.М.Никольского, основанный на применении неравенств для интегральных средних аналитической функции и её производных.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Основные'результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные автором в случае отрезка оценки обобщённых многочленов Якоби и на их основе - результаты об аналогах неравенства М.Рисса для сумм Фурье по этим многочленам нашли применения в исследованиях о сходимости соответствующих рядов Фурье, интерполяционных и квадратурных процессов (см. [3 - Т&). Основной результат главы I применён в £ГЗ] при исследовании поведения многочленов второго рода. Результаты об оценках и асимптотике ортогональных полиномов и их производных могут применяться в теориях ортогональных рядов, интерполирования и квадратур, а результат о- двусторонних поточечных оценках модуля функции Сегё - в теории функций комплексного переменного, поскольку эта функция используется в параметрических представлениях классов аналитических функций. Результаты о весовых аналогах неравенств А.А.Маркова, С.Н.Еарнш-тейна и с.М.Никольского могут найти применения в теории приближения функций.

АППРОБАЦШ. РАБОТЫ. Результаты диссертация докладывались на международных конференциях, по теории приближения функций ( Калуга, 1975; Благоевград, 1977; Будапешт, 1980; Варна, 1981; Киев, 1983; Варна, 1984; Ниш, 1987 ; на Саратовской зимней школе

по теории функций и приближений Саратов, 1982, 1984, 1986,. 1988, 1990) ; на всесоюзных школах по теории функций (Ереван, 1975;. Кемерово, 1983; Днепропетровск, 1985; Иркутск, Г987;Ере-ван, 1987> Одесса, 1991 ); на летних школах по теории приближения функций (Владимир, 1981;. Душанбе, 1936;. Миасс, 1989 к на семинаре под руководством члена-корреспондента РАН П.л.Ульянова в МГУ, в 1979 г.; на семинаре под руководством профессоров Е.М.Никишина и А.Ы.Олевского в МГУ, в 1981 г.; на семинаре

под руководством профессора Е.П.Долженко в МГУ, в 1986 г.; на семинаре под руководством профессора В.М.Тихомирова в ЖТ, в 1986 г.; на сеикнаре под.руководством академика РАН А-А.Гончара в ЖРАН, в 1986 и 1990 г.г.; а КаздгпароДвои математическом центре им. С.Банаха, в Варшаве, в 1986 г. и др.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17] - [42 3 , некоторые из которых содержат

также полученные на основе включённых в диссертацию результатов не вошедшие в неё результаты о рядах фурье по алгебраическим и тригонометрическим ортогональный полиномам.

СТРУКТУРА- И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Список литературы содержит 170 наименований. Объём диссертации - 208 с.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИЙ • В диссертации исследуются асимптотические свойства многочленов, ортогональных на окружности, и их производных натурального порядка. Для ортогонального на окружности по'мере многочлена асимптотика в фооие Сега, равномерная внутри дуги, не содержа- . щей особых точек плотности распределения, доказывается при минимальных ограничениях на гладкость последней. Дня широких классов весов с особенностями, задаваемыми произведениями деЛ-» ствительных степеней вогнутых модулей непрерывности, устанавливаются поточечные оценки моду-и функции Сега, весовые аналоги

неравенств А.А.Маркова, С.Н.Ьернштейна ж U.U.Никольского, поточечные оценки, а иногда и равномерные асимптотические представления ортогсгональных На окружности многочленов и их производных натурального порядка. В виде следствий получаются результата об асимптотическом поведении ортогональных тригонометрических полиномов и многочленов, ортогональных на отрезке, и, в частности, обобщённых многочленов Якоби.

Глава I посвящена равномерной асимптотике <pGßn (z) в |юрме Сегё На дуге, не содержащей особых точек плотности распределения ё' . Результат Г. Сегё и Я.Л.Геронимуса о тон, что из (2) следует, равномерное внутри. В предельное соотношение (3), яв* ляется окончательным в том смысле, что существование функции $

екаивалентно выполнимости условия Сегё. Г.Сегё и его последователя исследовали вопрос о справедливости формулы (3) в точке Поскольку из (2) существование следует

не дая всех, а лишь для почуй всех Ge СО, 2я:] , то для справедливости разномерного по к на некоторой дуге окружности П, соотношения (3) на б надо, наряду с (2), налагать дополнительные ограничения. Б работах Г.Сегё.Я.Л.Геронимуса и Б.Л.Голинского бнло установлено, что для справедливости равномерной по X 6 Гл формулы (3) достаточны условия

dé, ~ <fd-т , О ¿ (f> в Сал ) «О;*)«т~* е (6)

где tDCFjSJeo - равномерный модуль непрерывности функции F* из С хп (ЧРИ в10" названные авторы дали ещё оценки величины о(4) из (3) в зависимости от гладкости <f) . Этот результат в рассматриваемых терминах является окончательным. В работах Я.Д.Геронимуса, Б.Л.Голинского, Г.Фройда и других (подробнее см. - л 12])делались попытки получить дуговой, аналог этого ре— зультата. Однако в наиболее сильных из. результатов, получаемых в этом направления, либо при минимальных ограничениях на глад- ' кость б'(О) на Сл,в1 (4-а ¿2.7с) требовалось, чтобы ^ удовлетворяла, сильному глобальноцу ограничению (б^Д С,L? ) » либо при минимальном глобальном ограничении (2) на б налагалось сильное локальнее ограничение на отрезке С а, в J (¿*'£l>-Áif>/< 7 А* > Л).

. Главным результатом главы I является Теорема I.I.I. Пусть функция &ГО,/л] -> IR не убываем, .ограничена на [Ot2nl и удовлетворяет условию Сегё (2); на отрезке [_ а,о 1 с со, 2п J выполняются условия

Ш (Mi, ¿í с [a, о (4éT±e)M&)cafi{£ % L% &-a\l)

Тогда равномерно на всяком отрезке С<2л,<?1~1 с (л, в)

<p¿% Ceie) = л + о а) (п со)- (в)

Теорема I.I.I окончательна в том.смысле, что если модуль, непрерывности tocS) удовлетворяет условна со (т) г б L'HOjX] то найдётся вас (f> с суимпруеиым логарифиои, для которого 3 YtCCa.,eJ, <РП)>ОСа.£Т£в), <*>(4>,S)ca.,QI - ОС«>се\)> а при втом для мера с£й ~(pdt соотношение (8) не полет выполняться равномерно внутри (а, в).

Из теоремы I.I.I'обычным путём выводится простое следствие 1,1.2. отличающееся от неё тем, что вместо (8) пишется

Се- ^ сп& + о(Л) ( псо)■

Из следствия I.I.2 выводится соответствующий результат дня многочленов, ортогональных на отрезке, с помощью формулы Сегё, выражающей их через многочлены, ортогональные на окружности. Менее тривиальным является следствие I.I.4, дшощее при условиях теоремы I.I.I равномерную внутри С «•» é ) асимптотическую фор-,Г,-Л7 для T<í,rt (&), Где í Ttí.nfT-n п~о - система тригонометрических полиномов, полученная при ортогонализации методом шмидта по мере oté на [о, 2.711 системы 4} c<*st, йпх}а>1 ■

Тригонометрические полиномы, ортогональные с весом, впервые' рассматривал Д.Джексон. Г.Сбге показал, что эти полиномы довольно просто выражаются через многомденн, ортогональные на окружности, и привел пример одной из таки- смоте«. В J 1.5 показано, что {Td./iír)) .вообще говоря, не совпадает с системой Сегё и даны формулы, используемые, при выводе следствия: I.I.4, которые связывают полиномы систем {1{y¿,níe'eJ}. Б §. 1.2 доказана используемая при доказательстве теоремы I.I.I

Теорема 1.2Л. Пусть вес А удовлетворяет условиям

С2я 7 £ > о (тсr ), и) т'-1 е L? Со,^]. fio)

Тогда ряд, Макдорзна. функции Сего 7с(А\ z) равномерно сходится: в круге /г l-ár-t •

Из известных результатов легко следует равномерная сходимость в круге | ^ | ¿ ¡ ряда ¡Лаклорена функции -л Г % ц) при условиях (10). Однако отсюда нельзя получить в виде простого следствия теорему I.2.I, т.к» Р.Сален привёл пример функции р7 е С27г о равномерно сходящимся рядом Фурье, Для которой ряд Фурье от рг расходится на множестве мощности континуума, и тем самый показал, что композиция Q (Fit)) , где G - целая функция, не наследует свойство разномерной сходимости ряда Фурье функции JF ,

В_§ 1.3 доказана лемма, утверждающая в условиях теоремы 1.1.Г

ограниченность системы i'Pd^C-e'0)} .равномерную внутри (a,g ) .

Во вторсй главе (вспомогательной для последующих глав) устанавливаются двусторонние поточечные оценки фугасДии Сегё, еа логарифмической производной и наилучших приближений алгебраическими многочленами в ¿Д» (г^) , Кроме того, здеоь приведены некоторые усиления и обобщения известных неравенств для интегральных средних аналитической функции и её. производных.

Я.Л.Геропгмус доказал, что если выполнено условие Сегё (2) то найдутся положительные константы О и С3 такие, что для всех пеН ■ '

II (c, + c¿ S¿,nlfñ)lln(<á'-

где

- хи - ^

Ji^bl было установлено, что а тот результат допускает существен-. hos усиленЕа: ы;есто (II) можно напасать

níñ") \7tl<¿'\ (4 yji

ü что для dósfpch: , где

, оценка (13) является двусторонней и имеет вид.

(ееЛ,пеы). (15)

(аамемш, что I(TóTníe'0)! = l<f>&?nle'á)t )• В главе 2 установлен рлд ьредлолешш, лсполъзуемих в главах 3 и 4 при доказательстг-vct для более общих весов <f более общей, чем (15), оценки

I - '7fl-áñ-)eieJ| Гвед W ) (ie'i

цри (Т'икопрованноы j й Ж+ ,а в ряде случаев такке и р.а.п. (5) при фиксированных уб^ и се ("О,со) . В § 2.2 доказана Теорема 2.2.4. Пусть вес ¡шеет вид

Ш-^ACtm^F.ilHn^í) (refí-,-7r^^e^x), (17.)

где

í го ? о , Úe , Л/А е ¿Г, (IB)

, FvM - пД, (IS)

к N-, ¡ <->Í<ou.v, (О^й-я)

~ функция типа ксм,^) -го модуля непрерывности. Тогда найдутся положительные константы С3(ч>) и (4 (Ч) такие, что для всех 06 Д. и. р £ f/2, i) А

С»ТС Fy (1Л-П °-jf"\+<í-p)} кГ4 (<j>)(2o)

Шшсшшш, что со к ($) называется фушцизй типа . к -го модуля непрерывности на Q0j7cl , если непрерывна, не убывает , f о) = О и дая всех п 6 N 0>/:(->-v<5)

Д.Л.Герошщус установил, что где ¿~n (Ч) есть Jg)ft доя d<¿~<pdT ,

3 5 2.3 доказаны 10 лемм о модулях непрерывности. Лемма 2.3.1 утверздает,что если вес 9 принадлежит Г.1 вместо с </9

«Л* ü гГ2~ ыСср-з^)^ (сГ^о)- (22)

Через сО(Р-,д)г обозначается модуль непрерывности в ¿~~ функции Р . С прошью (22) доказана лемма 2.3.2: в условиях леммы 2.3.1

«ГтМь.у 6 ^(тг^-е^У.Ь)^ ^ (4+1^) с-оОр'1, §)2>9 ■ (22)

С применением лемии 2.3.2 доказаны леммы,дающие примеры весов, .яля ксторих правая часть (23) есть ()&*) или о (5 ?■) * Оста-■¡ышс 4 л емки даю-г вркгерц всгнутех модулей непрерывности,кохо» рицц ио^но пользоваться- частных случаев как лз теоремы 2.2.4,так и из теорем 2.4.4.2.4.51я.т,т-<з.т.з,242.7;с.С.С,^.о^ Ь.э.л и з.У.2. В 5 2.1 с асиодьяовяиивм от ™ лс^п.: 5 л.о од очслян* модулей непрерывности доказана следующие две теорем об оценках для 6п СЧ>) .

Теорема 2.4.4. Цусть вес ,9 имеет вид

9(1) ■ - А(г) и/к ((*£пI) (те л*,-**^ *... ¿К), (24)

где Я удовлетворяет условиям

^О^еГИ/Л^", (¡Г-* + 0), (25)

¿■у - , а (>;!'}

, . /25)

, ^ 6 м ; е ^ , с7/<,!' ('<•) - вогнутые модули не—

прерывности. Тогда

¿я С¥) ---- ОС*'*) (ъ-ал) (27)

Теорема 2.4.5. Пусть ф {'-г): = Я('т) и(т) , причем, £ , / Л е ¿,<» , 4 (т) ^ о ) Л (-Й ; 0 )г - о (8 Ъ + 0)', (23)

=■ п;:; ^(/¿'-п-^о

где ¿ч - 1- у ; Г'г ~ югиутпе нс-дула ь'спреры.знссхЕ;

г # у ( с) У (т) -г о .когда Т -> ч р » оставаясь во множестве существования производной (т) (и=т). Тогда

¿г, (<р) = о СП~£) С71 оО). (20)

Л V 2.5 доказаны следующие лешы о средних М-,(Ьр)'.= $/(Ре<Щк

ела/мтической в круге 2) Ф/шшш f (

Лге-та 2.5.4. Если 6 * у ¿у ^до , о<р<[\<<1 и / ана-

лктична в Х> , то . „

2__

/и, Г/;/»; ^ Ш

Лемма 2.5.7. Если <{ ^ т £со , ; 6 , Я * 4 ,

то найдётся константа С> = О <7,Ч, г) такая, что длд всех

аналитические в Z> функций / 4

М* Сf(/i;р) i Gr г ~ * M4(f-,R). (QZ)

iTpiv доказательстве леммы 2.5.4 используется известный С143 сё частный обучай X~oö ,' К- А , . Доказатель-

ство лэшы 2.Ь.7 основано на известном П53 её частном случае 1 -.Я . Поведение величины (Ч3) , являющейся наилучшим ирлбл^генььм функции (I) алгебраическими многочленами в L-. <f{Vi) и выеищей также некоторый вероятностный смысл, в случае веса без особенностей изучали У.Гренандер, М.Еозенблат, И.А.Ибрагимов и др., а в случае веса (14) - И.А;Ибрагимов, В.Н.Солев, Б.Л.Голянскъй. Дальнейшие результаты о порядке Зп (СР) ц более oö.4Sii величина получены в [¡21 и C34J.

- О 5 2.6-доказаны три -леммы. Леыш 2.6.1 утверждает, что в условиях тзорыш 2.2.4 II Л< (<f, ре rt)/7i (<e)PeiG)lla° = Qfop)-*} (p-*1-ö) .А леммы 2.6.2 и 2.6.3 - что в згой оценке при более ьёгтких ограничениях на (f . модно заменить О на о .

3 главе 0 устанавливаются поточечные оценки многочленов,ортогональных на окрудкости, и их производных натурального порядка . Глдвниьль рагультслама в ней являются следувдив три теоремы.

Теорема 3.1.1. Пусть j 6 Ж-t , dG-pdr .причем, <р имеет вид (24), где йгекц^й н/> (и) €1*1:0,41 £У=4,.«,>Л1.?определяются iTi^jtTjiüä (26), -к удовлетворяет условиям (25). Тогда найдётся Kchcvb.-rra Сь lcf) > ) такая,что для всех Ö е/Я и *n€ N

-ы,(hu,Q^^yi . (33J

Теорема 3.1.2 (вариант теоремы 3.1.1). Заключение теоремы '.зЛ.1 сохраняет салу и после замены i: её формулировке условия (25) j словили (10) и

j 0ü [г) Аг^ 0(0 «W) (Q^+0) f= т)- (34)

Теорема З.Х.З. Пусть к, J (г , к , d<ä и <р тлеют тот Ее еще л, что и в теоремах 3.1.1-3.1.2; дая функций Wy (г L1 I 0,42 выполнены соотношения

iöe uZK г<гу (иMvl-О (в2™^)) (Q^O, т); (35)

f\ удовлетворяет условиям (В), причём,если 1 £2 к,го гю а условию со (4-, g)2 = ¿)(Ш, а вмшУ = *- = 0 , то, наряду с (la), ецё в одному из условий СО fix, S)2 ~ О f\ls )(6-*+0} ш СО

- 13 -

Тогда найдется константа С* (ч> -, /'»М ^ О такая, что для всех 0 е Я и 77 >) ^

I £ (зб)

Е I 3.2 получены некоторые весовые аналога неравенств Д.А.Маркова, С.Н.Бернштейна л С.Н.Никольского, доказанные новым методой, основанном на-применении лемм 2.5.4 и 2.5.7.

Теорема 3.2.1. Пусть О ^ &сО , О^С<СО, ОЛ-1 -1,

вес у удовлетворяет условиям:

тс!/*; , -¿« 1."'; (27!

б) найдется константа с< = с^ ¿ф) такая, что (о,Л)

«ж« о» • Г4-Р)"1 • (за)

Тогда при всех п > С дяя любого многочлена степени п

II «ЛЕГ*« . »>

где Кп. = л- сп~* л 1

а™*« *

+ (40)

.Условия этой теоремы,в частности,выполняются дая веса Ч* , удовлетворяющего условиям морены 2.2.4. Из теорсмн 3.2.1 в еп~ лу очевидной с^язи дакду тригонометрическими и алгебраическими полиномами выводится соответствующий результат (следствие 2.3.3] для тригонометрических полиномов. При л."? 2 из следствия 2.3.3 ц пр«1 = из одного результата В.Б.Лресгова выводится

Теорема 3.2.4. Пусть О < <\ &. ъ 6со . Тогда для любого ?рз-гонометршеского полинома -с п. порядка не выше ">•> £ N

«¿„и, < * ^ ;;•< ■ уи

о» «в£.»и «ткдсизсй к с;:уча£ ? ¿-с} « . .«а ЧНк2)4н(Я%1 с;;а ую-глн.ет значение константы в соотватствупщих результата 'Д.Дкексона. С. М.Никольского и. С.Б.Стечкина. Нз (41) л цитира- -зонного результата В.В.Дрестова следует, что с=4 есть пап-"ЭПЮЗЯ П5 чй -зшискхк о г Сащ -I -пе N кснсванг

• г.теавскогсо С. Ц.Шжсяьскохс Й£1

В.. £ ■ -'12»

„с^откм, "то 5.16] под ¡К1-!'-! смается величина в (2я)' тзаз. большая, чаи в диссертации, так что константе С = 2 ь доказанном. в СК] неравенстве (42) в нааих обозначениях соответствует

Сг1 ^ • ааме™' ""«с. что (42) в Шустшговлено

а тп -меркон случае.

Теорема 3.2.5. Пусть У 6 , , 0*С<СО ,

^„•■-^-СП'4 я вес 9 удовлетворяет условиям (37)-(08). Тогда найдётся константа & ~ Сг такая, что при всех п>С .

любой многочлен (Эп степени & К удовлетворяет неравенству

110(Я(-е'в) и < н а» с**) а /Лп\

Из теоремы 3.2.5 выводится соответствующий результат (сдедг ствие 3.2.6 ) дая тригонометрических полиномов. Теорема 3.2.7 обобщает теорему 3.2.5 на случай более славного веса Свес №(¥} умжшаетоя на множитель, имеющий особенности,

задаваемые произведениями действительных степеней модулей непрерывности), йде более общая ситуация (случай разных весов в левой и право! частях неравенства ) рассматривается в теореме && 8. Делается замечание о том, что из теорем 3.2.7-3.2.8 вытекают со- . отвотствуицие результаты дая тригоноиетричесюа полиномов. Вако-нец, тем же методом, что и теорема 3.2.7, доказывается не полу»' чаквдйся из неё в виде простого следствия её. аналог (теорема 3-2.9) ддя алгебраического многочлена яа 43 » Описанные < результаты сопоставляются со многими аз ззвестных. Указывается, что из теорем 3.2.7-3.2.3 моено вывести в виде следствий полученные другими методами результаты М.К.Потапова, Б.А.Халяловой, П.Неваи, а такяа некоторые из результатов И.К.Даугавета и С.З^афальсона. •

В § 3.3 устанавливаются поточечные оценка снизу (теорема 3.3.1} и сверху (теорема 3.3.3) фгнкцив Кристо$феля системы { ; Теорема Б. 3.3 в & 3.6 используется при доказательстве теоремы 3.1.3 в случае к = О , В § 3.4 устанавливается асивдгаотичео- . кая лемма сравнения двух систем многочленов .ортогональных на Т\ , используемая затем прс доказательстве теорем 3.1.2 и 4.1.4. Доказательства теорем 3.1.1 и 3.1.2 приведем в § 3.5- в §. 3.5

дмш доказательство теоремы 3.1,2 дая к = 0 , а в § 3.8 - дая к, е N , В § 3,7 доказывается , что вес

1кг!

удовлетворяет воем условиям теоремы 3.1.3¡при )-н = о , аа до- • ключенгем условия (34), и при атом ¿.точка 0 = 0 при ] к, ^ О ддя соответствуйте ортогональных многочленов теорема 3.1.8 тег-ряет силу., В § 3.9 устанавливается (в теореме 3.9.1), что ддя

- 15 -

широкого класса весов <р даваеиое теоремой 3.2.5 неравенство ("43} на некоторых ортогональных многочленах является двусторон-неЯ оценкой. Кроме того,в § 3.9 показано,что теоремы 3.1.I и 3.1.2 верны и для системы < Те,я (т)У и что в теореме 3.1.1 upa j - к - О модно заменить на + IT¿;„(9)¡ .

Наконец, в § 3.9 установлена

Теорема 3.9.2. Пусть вес р определяется формулой f>(t): = (ÍHt I TLyT* (it'Xvl)

(~jf < t & 4 > - 1 - Хл < Xi < — < л . }.¡ ^ 5 )

и {Pn (f> У ^a ■■■ орлнорютровааная »h c—f, Ii с вессм P слс-тема многочленов. Если функции п.(т): = Ы(с°)-1) цъ?г(и)(ife/f,..,«) удовлетворяют условиям теоремы 3.1.1 или теоремы 3.1.2,то найдётся константа Сg(p;j) такая,что для всех хе 1-4,41 и nc Н .

é С, (Р; j) iЩ (ГТГх (<х~х*1->Ю) •

Глава 4 посвящена. р.а.п. на носителе меры ортогональных полиномов и их производных. Из теорем 3.1.1-3.1.3 видно, чго для широкого класса ;-гер Аб имеет исто оценка

Í <г£Х (*»>! X n> i (1-&с«>ьееИУ

Следующая теорема даёт условия дл.ч р.а.п. ('S) на Г^ .

Теорема 4.I.I. Пусть ) к У>- , С £ (о,со) , выполнено условие Свгв (2), a такае выполнены условия

Sé,» ^o(V) (n-co), (4})

! я (ó'-, г Л - о ((р~»4~о). (¿i

Тогда пр- Г/f имеет место р.а.п. (5К

Следствие 4.1.2. Пусть tlC-f^v t гда удовлетворяв? условиям теорамь. 2.4.5. Тогда справедливо заключение теорем);

4.I.I. гл

Заметим, что при замене з (44) о на О теорема 4.I.I теряет силу и что асимптотическое поведение . производных мно-

гочленов исследовалось в работах К. Хору па. Б;Д.1'олин-

ского и П.Неваи, но лишь для регулярных тачек плотности распределения <¿' . Поскольку на условия' теоремы 4.1.1, ни её заключение не выполняются для меры <рАт с весом обобщённого якобпот типа (14), кроме случая, когда все 7Гу - О ,а h обладает достаточной гладкостью, то в дополнение к теореме 4.1.I в главе 4 устанавлирамтся р.а.п. на П» через многочлены Якodк многочленов, ортогональных на Г* с вестг (14), множитель Я ко-

-16 ~

торого удовлетворяет условиям (10). Предварительно, в § &Л излагаются свойства многочленов »ортонормировании* на Г-| с весом Якоби

<еа>Р(т):= г-*).

В частности,дан явный над. формул Сего,выражающих их через классические многочлены Якоб л. В § 4.5 доказана теорема 4.1.3, утверждающая, что ест л удовлетворяет условиям (10), то равномерно по ее Л

4>п (-е1в) « (п-*со).(Ш)

В 5 4.6 доказана теорема 4.1.4, утверждающая,что если 9 удовлетворяет условиям (14) и (10), то дая любого фиксированного £ € (о, 1) при -тг —• со

<е» (*)=2Уе1пв* (р*^''* (е^я)*

равномерно по 2 е Ое,е , где

я С Я*, г) ~ аналитическая в -О ¿Еункция с коэффициентами Уторена, комплексно сопряжёнными соответствующим коэффициентам^^

Приведены оценки величин о Л) в (46) и (47). Правые части (46) и. (47) выражаются через классические многочлены Якоби, которые, в свою очередь,заменяются известными для них асимптотическими выражениями. В § 4.7 доказывается неулучшаемость в некотором сынсле теорем 4.1.3-4.1.4 и выведенных из-них следствий дая тригонометрических ортогональных полиномов и многочленов, ортогональных на отрезке. Приведём одно из, этих следствий. Следствие 4.7.13. Пусть вес Р. имеет вид.

причём, Н> О, С иСр,!] . Тогда равномерно

ПО 06 С я! 9 ,-1

где ъ(0):-а/сд ж, Л(е) « 2 «•+/»-"» ^ (а>1 ' Из следствия 4.7.13 вытекают все результаты С.Н.Бериштейна [II об асимптотике обобщённых многочленов Якоби. \ Рп?п (аяв)} при п-+со »не относящиеся к случаю

Д ИТЕРА-ТУЕ А

1. Бернштейн С.Н. О многочленах,ортогональных на конечном от-резке//Собр.соч. Т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1954. С.7-106.

2. Суетин П. К. Проблема В.А.Стеклова в теории ортогональных мпогочленов//йтоги науки и техники. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1977. Т.15. С.5-82.

з. CtifcuaPo G.,Hastwiatm¡ G. On ibe approximation affí,tdtTi-vaiivtiof p-v. in tea ta.fr f Co nftv. ТМогу Fu.nct-'- Ptcc int. coif- ' V/VXna,Ma$ 24-3-Г, 1937. Sofia. , 4Эав- P. 92 -964- CtiscHoPa G , ftaiitcianni Q Aa^ya-ияе tnWtpo€atwn onftenß-ха&ыЛ Jacob г-елм with additional! nodfS <? Acta Мл{(< Hu 1994 ■ V 6S,#4. P. 27-49. .

s• XJ^pézez М -Яш'г F X, Vaiona J.t. Ц-#ои*еЫ-

ness of the tetneá ге'& hve ь> /enexafeed Jaco fa Weights ¿•Cations MaHiamitlcjuHs. <J*iv. Ац+оnoma, de GaXctPona-19!1. V2S, M2. P. 413-4ft- , . _

6- Kutte Q. A О* converpitox

tatton/rj-.Appxox ThW». 49Ü2. P 7T-82. f

Г.А'ыш Р. ÜAgxa^e. intexpo&tian AkW* -'frrfArj"^-pefyiumia&SApptoKt" Aifan Тк<огу,Л -fi^u/Yoxk ; M«.d*nuc

Press у 1976- P. 163-204. „

6. fa Sai p. Qrlhefonat PofynotvU Ж //Mem- /Lnex. /Чя.**

9- Neva* fi a,ntf&t¿**u. of Hex at zeTGí of gxin-eJta&ied У ato ti polynomials SActarSti. Math.

4989- V.А/4 ¿

10. H*.QiMwíte ft т(* of Ho«tntecpM*Y

prcdutt сЫушЪОп. tulPi MtmtTieaZ fot«fr*tion ■ Vedncht, Hoffend' P*M£s/iiHg Company, 1937. P-4-46.

44. V-ext-esi P., У и Y. Orete* of ж&ьн convzx^em-г of Hexmite-F*j<!z mtexpaел-U'm ¡У SfudiA Sei, Ata{h.Hunpz-tUa . 49S9-

v- Tz:°f

interpolé //Ни¿CL ki. AiaU.H^^ca. . -19 90.

V- Y^^JtSWÍÍni pofyno^t

on the- u«¿t cixc&JJ Approt.Th-co-y, 199S. V.$0,#i.P.K2~366. 4b. Duren P- TAeaxy of H?spaset-Mew Yoik;M«áen<icPreis, mo.

15. Сторожеккс Э.А. Об одяой задаче Харда - 1л1Ш)7да//;.;?п, сб. 1982. f. 119(161). C.564-ZB3.

16. Никольской O.uи Неравенства, дог даопс функций конечной степени и.ах применения в теории дифференцируемых функций шо-гих перемеиннх//Тр.ШШ£. 1951. Т. 38. С. 244-273.

РАБОТЫ A3TÖPA Ш ТЕМЗ ДИССЕРТАЦЖ

17. Бадков В.М. Лри'лижеиие функций частник суммам гада Фурье по «ногочле.чам.ортогояальнььг на огргзке/Лйт.5агет;м. 1970. Т.8, С.431-44I.

18. Бадтав В.М. Об ограниченности в средней ортонор^мрован-нн* шогочленов//Мат. заметки. 1973. Т. 13, Ä 5. С. 759-770.

- IS -

19. Бадков В.М. Сходимость в среднем рядов Фурье по ортогональным многочленам//Мат.заметки. 1Э73. Т.14, & 2. С.161-Г72.

20. Бадков В.М. Сходимость в среднем и почти всщу рядов ^урье по многочленам,ортогональным на отрезке//Ыат.cö. 1974. Т.95 (137). С.229-262.'

21. Бадков В.М. Сходимость в среднем и почти всюду, радов Щурье то ортогональным тригонометрическим полиномац// Теория приближения функций. М.: Наука, 1977. С.23-27.

22. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства рядов Фурье по ортогональным палиномам//УМН. 1978. Т.ЗЗ, Л 4. C.5I-I06. ■

23. Бадков В.LS. Асимптотическое поведение ортогональных мно-гачленов/УМат.сб.. 1979. T.I09(I5I). С.46-59.

24. Бадков В.М. Приближение функций в равномерной метшее суммами Фурье по ортогональным полиномам//Тр.ШАН. 1980. T.I45. С.20-62.

25. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства сумм фурье по ортогональным шлшодалуУТруда меадунар.конф, Конструктивная теория функций«77. София, 1980. C.I7-24.

26. Бадаев В.М. Асимптотические свойства ортогональных полиномов//Труды между нар. конф. Конструктивная теория функций'31. София, 1983. C.2I-27.

27. Бадков В. И. Равномерные асимптотические представления ортогональных полиномов// Тр.ЫИАН. 1983. Т.164. С.3-36.

28. Бадков В.М. Равномерные асимптотические представления ортогональных. полиноиов/Деория функций и приближений. Тр. Capar. зим.шк. 24 янв. - 5 февр. 1982 г» 4.1. Саратов: Изд-во СГУ, 1983. С.95-103.

29. Бадков В.М. Порядок наилучшего приближения функции Сего// Приближение функций- полиномами и сплайнами. Свердловск: УЩ АН СССЕ, 1985. С. 25-40.

30. Бадков В.М. Равномерные асимптотические представления, ортогональных полиномов/ДТркближение функций полиномами и

сплайнамк// Свердловск: УЩ АН СССР, 1985. С.41-53.

31. Бадков В.М. Аппроксимативные свойства суш Фурье по ортогональным полиномам//Теория функций и приближений. Тр. 2-й

Сарат.эим.шк.. 24 янв. - 5 февр.1984 г. 4.1. Саратов: Изд-зо

С1У, 1986. С.98-103.

32. Бадков В.М. Наилучшие приближения функции Сегё и равномерные асимптотические представления ортогональных полиномов// Теория приближ. функций: Тр.междунар.конф., Киев, I9ÍJ3. ГЛ.: Наука, 19У7. С.32-35.

33. .Бадаев В.М. Равномерные асимптотические представления ортогональных полиномов них производных//Тр.ШйН. 1987. Т. 180. С.36-38.

34. Бадков В.И. Обобщение одной, теоремы И,А.Ибрагимова -В.Н.Солева/Дхшроксимадия в конкретных и абстрактных банаховых пространствах, Свердловск: УВД АН СССР, 1987.. С.15-30.

35. Бадков В. И. Двусторонние оценки функтага. Лебега и остатка ряда фурье по ортогональным многочленам/Аппроксимация в конкретных и абстрактных баааховых пространствах. Свердловск: УШГ Ж СССР, 198?. С.31-45.

36. Бадков В.М. 0. системах ортогональных многочленов, выра» жащахся в явной виде через, многочлены Якоби/УИат.заметки. 1987. Т.42, * 5. С.650-659.

37. Садков В.Ы. Равномерные асимптотические представления ортогональных многочленов и ах производных в случае весов о

особекностями//Теория функций, и щиблиюшш. Тр. 3-й Сарат. аим.шк. 27 янв. - 7 февр, 1986 г. T.I. Саратов: Изд-во Оарат. ун-та, 1907. С.100-104.

38. Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей: у веса//Тр»

ШЕАН. 1992. Т. 198. С.41-88.

39. Бадков В.М. Асимптотика многочленов второго рода и двусторонние поточечные оценки пх производаых//Труды института математики и механики УрО РАН. T.I. 1992. C.7I-83.

40. Бадков В.М. Поточечные оценки снизу модулей производных многочлена, ортогонального на окрунности о весом, имеющем осо~ <5енности//Ыат.сб. 1995. T.I96, J6 6. С.3-14.

М. Bttdfcav V.M. Approximation of functions By means 0/ FoUT-i^T iuJtvs with XCSpvcf to <fe Otihojonil pofyrtO-mi&fe // Appu>x*rna.Uott <utd Function Spaces, Aitst-erdam •fctx.: Ыот-ih- Ho fraud, A $84. Р.51-6Т-

42. Badkov V-M- Estimations fat the ¿е^-дые function and (rhe 1of the. Fonritrs set in v,Uh ifjp-ect io

oxihogontit pofynoMiaft ^ Factions, S-exi-esy of^exettoxs .

Amstexdam : HoXth- Hotfa.Hd ,4983. P.

Отпечатано на ротапринте ДОМ уР0 РАН тира* 80 ЗАК.^ЗЗ формат 60x8^ 1Д6 объем 0,98 печ!я.