Экстремальные задачи в пространствах с несимметричной нормой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В.Ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.518.86

КОЗКО Артем Иванович

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВАХ С НЕСИММЕТРИЧНОЙ НОРМОЙ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998 г.

Оглавление

Оглавление 2

Условные обозначения 3

Введение 5 Глава 1. Неравенства типа Джексона - Никольского

в несимметричных нормах 22

1.1. Свойства несимметричных норм 22

1.2. Неравенства для тригонометрических полиномов на торе ТГ1 23

1.3. Неравенства для тригонометрические полиномов на торе Т^ 38

1.4. Неравенства для целых функций экспоненциального типа на К.^ 60

Глава 2. Неравенства типа Бернштейна для дробных

производных в несимметричных нормах 63

2.1. Некоторые свойства ядер Фейера 63

2.2. Неравенства для тригонометрических полиномов для дробных производных 80

Глава -3. Об одной многомерной экстремальной задаче 82

3.1. Случай тригонометрических полиномов

с прямоугольным спектром 82

3.2. Случай тригонометрических полиномов

с ограничениями на спектр 83

Литература 85

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

М. — множество действительных чисел;

Мс/ — с/—мерное вещественное линейное пространство;

С — множество комплексных чисел;

С^ — (¿—мерное комплексное линейное пространство;

N — множество натуральных чисел;

М'* --- (¿—мерное множество натуральных чисел;

Ъ — множество целых чисел;

Ъ(1 — ¿—мерное множество целых чисел;

Т = Ж/2тхЪ — одномерный тор, реализуемый как отрезок [—7г, тг], в котором точки — тг и 7г отождествляются;

Тс1 = Шс1/(27тХ)с1 — (¿—мерный тор, являющийся прямым произведением (1 окружностей длины 27г. Мы будем представлять с?—мерный тор как (¿—мерный куб [—тг, 7г]с/ со склееными противоположными сторонами, Т.е. ТОЧКИ . . . , £'¿-1, 7Г, Жг+Ъ ■ • • 5 хв) И (.хд,.. ., —7г, . .., Xd)■> г = 1, • ■ •, с1 отождествляются;

С[а,Ъ] — пространство непрерывных функций с нормой ||/||с[а,ь] = тах-се^ь] |/(ж)|;

Ьр(Тс/) — пространство суммируемых в р—ой степени функций на торе Тг1:

Ьр1^р.2(Тс1) — несимметричное пространство функций с суммируемой в р\— ой степени положительной частью и суммируемой в р2 —ой степени отрицательной частью на торе Т^;

.......- производная к—го порядка функции /';

Ва/(а) — дробная производная порядка а функции /, понимаемая в смысле Вейля;

1п — тригонометрический полином степени щ

рп — алгебраический полином степени щ

Тп —- класс тригонометрических полиномов степени не выше щ

Рп — класс алгебраических полиномов степени не выше щ

— класс тригонометрических полиномов степени не выше п с нулевым средним;

mes E — лебегова мера множества Е\ sup vrai — существенная верхняя грань; V — квантор общности "для всех"; 3 — квантор существования; х 6 А — элемент х принадлежит множеству А; х (¡É А — элемент х не принадлежит множеству Л; A U В — объединение множеств А и В; АП В — пересечение множеств А и В: А \ В — разность множеств А и В;

supxeAf(x) — точная верхняя грань значений функционала / на множестве А;

inf г ç 4 f(x) — точная нижняя грань значений функционала / на множестве А;

[а] — целая часть числа а; {а} — дробная часть числа а;

signa — величина, равная 1, если а > 0 и равная —1, если a < 0 и О, если a = 0.

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена исследованию экстремальных задач в пространствах с несимметричной нормой, являющимися естественными обобщениями линейных нормированных пространств. В основном изучаются неравенства на классах тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа.

В 1887 г. Д.И. Менделеевым в сочинении "Исследование водных растворов по удельному весу" [1, § 86, гл.IV "Растворы спирта С'2Н60", с.289], см. также [25, с.256] для практических целей был поставлен вопрос об оценке производной алгебраического многочлена степени 2 через его нормл* в С[а, 6]. Точнее, Д.И. Менделеева интересовали оценки коэффициентов многочлена второй степени и его производной через заданное максимальное значение модуля этого многочлена. Ответ в более общей ситуации был получен A.A. Марковым [2, с.75], который, в частности, доказал равенство

\Ш\с[а,Ь] 2 п2 Slip TT—- = --. (0.1

Рп£Пп \\Рп\\с[аМ Ь-а

Pní О

Экстремальными многочленами, т.е. многочленами, на которых достигается знак равенства, являются многочлены Чебышева Тп ^ ,

где Тп(у) = cos (n arceos у) для у G [—1,1]- Аналог (0.1) для тригонометрических полиномов tn{x) = + cos kx + bk sin kl'} — EL-п r¡'('hv c комплексными коэффициентами с помощью результата A.A. Маркова был получен С.Н. Бернштейном сначала в 1912 г. с не-

точной константой, т.е.

|К||с(Т) ^2тфп||СПГ), ■à затем, с уточнением Ландау, с точной константой в [3, с.26]:

■ КпИс(Т) sup ÏÏ71-= п-

tnë 0

Оценка (0.2) означает, что для любых п 6 М, £Тп справедливо

КНс(Т) ^ П11£п||с(ть (0.3)

и существует полином (например, совпх) для которого неравенство (0.3) превращается в равенство.

Обозначим через Ьр(Т) — пространство суммируемых в р-ой степени функций с нормой, в случае 1 р < оо

11/11Р = И/Имто = ■ (а4)

Функционал || • \\р в дальнейшем будем рассматривать при 0 ^ р ^ оо. В случае 0 < р < оо считаем, что он определен формулой (0.4). Для крайних значений р полагаем

Мое :=||/||с=т^ 1/(01, (0.5)

||/||0:=ехр^1п|/М|^. (0.6)

Неравенство (0.3) при помощи интерполяционной формулы было перенесено на пространства Ьр{Т), 1 ^ р оо А. Зигмундом [67, т.2. гл.10], т.е. была вычислена

Кг\\ьр(Т) .

вир у;—---- = П. (0.|)

*„€т„ 1ммт)

Важность оценок (0.7), (0.2) состоит в том, что они играют ключевую роль в теории приближений при получении обратных теорем [4, с.2-34], [5, с.208] т.е. при получении неравенств вида

\ / ЬР{Т) п к=1

где / е £р(Т), 1 < р < ОО, г,п е м, ЕкЦ)Ьр{Т) = тикеТк ||/-tk\\L]ЛT) -наилучшее приближение функции/, 5)Ьр{Т) = зир^^ ||

модуль гладкости г -го порядка.

Результат (0.3), (0.7) обобщался в различных направлениях. Г.Сеге [6], [7, с.186-190], С.Б.Стечкин [8] и др. распространяли неравенство (0.3) на операторы Atn(x) = Y^k=-n ^кСк.егкх более общего вида, чем оператор дифференцирования. Отметим результаты Г.Сеге [6], [5, с.97], которые обобщают неравенства (0.3), (0.7).

\\t'n{x) cos f3 + ntn(x) sin (3\\Ьр{т) < n||ín||Lp(T), (0.8)

\\t'n{x)cosp + i'n(x)sm(3\\Lpir) < n\\tn\\Lp{Th (0.9)

где 1 ^ p ^ oo, tn — сопряженный тригонометрический полином для tn. В норме С'(Т) при р = оо неравенства являются поточечно неулуч-шаемыми, т.к., например, неравенство (0.8) в случае действительных

коэффициентов примет вид t'n(x)2 + (ntn(x))2 ^ (п||^п||с(Т))^ и обратится в равенство для любого значения х на полиноме tn(x) = cosпх. В 1979 г. В.В. Арестов [9], [10] с помощью методов комплексного переменного распространил оценку (0.7) на случай 0 ^ р < 1. С помощью неравенства (0.3) Д. Джексон [11] получил следующее неравенство

||¿n||c(i) < 2пр ||¿n||¿p(T) i 1 ^Р < оо. (0.10)

Для с/ Е N тором размерности d называется прямое произведение d окружностей. Также тор можно рассматривать как множество классов смежности Rd по подгруппе (2TrZ)d целочисленных векторов, умноженных на 2тг. Тор Тd = S1 х ■ ■ ■ х S1 можно представлять себе как d—мерный куб [—7Г, тг]d со склееными противоположными сторонами, т.е. точки жг_ь тг, xi+í, ...,xd) и ,..., жг_ь -тг, xi+u ..., xd),

i = 1,____d отождествляются. Именно в таком смысле мы и будем

реализовывать тор Td. Под неравенством k ^ п (к ^ п) мы будем понимать k¡ ^ rij (кi ^ n¿ ) для всех i = 1,. .., d. Функция вида

Гп(х) =Tni_nd(xu...,xd) = £ + =

-ni^ki^m (0-11)

1=1,...,d

= Е

—n<k<n

где -tii,. . ., n¿ — натуральные числа, . . ., x¿ — действительные переменные и Ск — постоянные коэффициенты, вообще говоря, комплексные. зависящие от целых к),. . . , к,}., называется тригонометрическим полиномом порядков п\,. . ., n¿ соответственно по переменным ¿'i,. .., x¿- Будем писать Тп Е Тп если Тп — тригонометрический полином вида E-n<k<n c'keZkx- По аналогии с одномерным случаем рассмотри:.! пространства Lp(Td), 0 < р < оо, с \\f\\Lp{jd} = {¡Jd |/(х)\pdx} р, в случае 1 р < оо это норма, в случае 0 < р < 1 это квазинорма, см. [5. с.18] и пространство L00(Td) с нормой \\f\\l¡do(td) — supvraixeTd |/(х)|-Для тригонометрических полиномов степени rij по переменной Xj С.М. Никольский [12] получил неравенство

id

\\ТП1.....nd\\lq(Td) < П ni \\Tn,,...,nd\\Lp{Td), 1 < Р < Я < ОО.

(0.12)

Для 1 р ^ q ^ оо, в случае d = 1, как заметил С.Б. Стечкин, см.

2_р

[13, с. 172], неравенство (0.12) с константой 2 " вместо константы 3 легко вытекает из результатов Джексона (0.10). В.В. Арестов [14,

с.539] заметил, что по той же схеме С.Б. Стечкина неравенство (0.12)

о ^_£

справедливо с константой 2 в случае d = 1 для 0 < р ^ q оо. Неравенство (0.12) послужило основой доказательств вложения классов Никольского, см. [12] и [15]. Оно является точным в смысле порядка, что проверяется на последовательности полиномов -Fn(x) = {xj) ,

где

^ , , 1 vV k \ , sin2

Fn х = - + > 1--eos кх = -0.13

W 2 ¿-Л n + i) 2(п + 1) sin f V j

к— 1 ■ Z

ядро Фейера степени п по переменной х.

Неравенства (0.3), (0.7) - (0.9), (0.12) обобщались и на другие метрики. А. Зигмунд [67, т.2, гл.10] доказал следующее утверждение: если функция <¿> на полуоси [0, оо) выпуклая вниз и неубывающая (класс таких функций обозначим через Z), то

[ v{\t'n{x)\)dx < [ v{n\tn(x)\)dx4 tn е Тп. (0.14)

Jl J т

В частности, при (р(и) = 1 ^ р < оо получаем оценку (0.7), случай р — оо получаем как предельный. В.В. Арестов [10] распространил (0.14) для (р £ А, где А - класс функций, абсолютно непрерывных на любом отрезке [а, 6] С (0, оо) и таких, что (и), шр'(и) не убывают на (0,оо). В частности, из результата Арестова следует неравенство (0.14), т.к. класс Z содержится в А и оценка (0.7) для 0 ^ р ^ оо, т.к. In и, ир, р > 0 принадлежит классу А.

Далее, распространяя оценку (0.8) нар £ [0,1), в 1989 г. М. Golitschek и G.G. Lorentz, см. [16] или [5, с. 104] доказали:

Теорема G.L. Пусть <р £ А, <р(0) = 0 и <р £ С^О^оо), п £ N, tn £ Тп. ß £ М. Тогда справедливо неравенство

tn(х) cosß + hli^l s[nß\ dx [ <p(\tn(x)\)dx. (0.15)

n J Jt

Заметим, что на самом деле данную теорему несложно было бы получить, следуя схеме Арестова (1979 г.) и без ограничений на функцию ■р. Требование ^>(0) — 0 и <р £ С,:1[0, оо) можно отбросить, а достаточно требования <р £ А. Продемонстрируем это, т.е. докажем теорему С.Ь. в предположении ср £ А.

Доказательство. Пусть 1п - тригонометрический полином одной переменной, т.е. 1п{х) — ^Ук=-п скегкх, /3 £ М. Обозначим 2 = егж, тогда для оператора

Afn : tn 1—)■ tn(x) cos/3 + hA^l s[nß

п

имеем

п

lA?,Al = | XI {Ckeikx cos в + — гкегкхзт/3}

k——n

e~inx У ck{cos ¡3+-sin/3)zn+k = I V ck(cosf3+ — sm(3)zn+k z—' n I ' n

k——n k——n

Заметим, что е~гпхh$ntn есть полином степени 2п по z = егх, оператору

л >3

Л.,., сопоставим полином

к= — п

Лет = {Cl£kelkx cosß + sin Д}. (0.16)

Схема Арестова как раз и состоит в том, что оператору ставится в соответствие полиноном, в зависимости от расположения нулей которого справедливо соответствующее неравенство, т.е. верна следующая теорема.

п

Теорема (Арестов,1979). Пусть п £ М, Рп{г) = ^ с^г1* - поли,ном

к=о

п

и А7Р)г(г) = ^ 7кСк£к - оператор действующий из Рп в Рп. Тогда

к—О

гг

если, все нули полинома Г (г) = лежат либо одновременно в

к=о

|.:| ^ 1 .либо в |.г| 1 и ср Е А имеет место т,очное неравенство

9

'т

К,Рп{егх) ) dx ^ [ (р {с(у,п)\Рп(егх)\) dx} J J т

где с (7, п) = тах(|70|, |7?г|).

В частности, если полином T(z) из теоремы Арестова имеет все корни на единичной окружности \z\ = 1, то с(7,гг) = |7о| = |7'те|. Покажем, что в нашем случае полином имеет как раз все свои корни (2п-штук) на единичной окружности \z\ = 1. Продолжим равенство (0.16) воспользовавшись формулой Эйлера егкх = cos кх + г sin кх.

Aß,2n = ^C?n + 2^C£ + *COsfo:j cos (^2 J2ka¡+k sinkx^j =

= (сс) cos /3 + sin в,

n

где hn(x) = Con + 2 ^2nk cos кх- Заметим, что для hn{x) спра-

ведливо равенство hn(x) = 2те(1 + cosrü)n = 4n (cos f)"n , которое легко

г г / 2 j_ — ix f 2

получить, если записать cos f = ----- и возвести cos | в степень

2п, используя бином Ньютона. Полином Aимеет 2п корней на Т, действительно, в случае в = kiг, к Е Z это тривиально, т.к. х = тт корень кратности 2??,, в случае .3 ^ кп, к, Е Z, мы имеем 2n — 1 кратный корень в тт и потому в окрестности точки тт полином Л меняет знак, а т.к. полином рассматривается на торе, то существует ( G 1\ i71"},

что Aß о= 0. Следовательно, полином Ад^п в обоих случаях имеет 2п корней. Таким образом, оператору мы сопоставили полином А/2п•> который имеет 2п корней на торе. А следовательно, по теореме Арестова [9, с. 1290] мы имеем для (р G .4, п G N, tn G Тп, ß G К.

/ ^ / <p{c{ß,n)\tn(x)\)dx,

J т JT

где с(/3,п) = | cosß + г sin/3| = |ег/3| = 1, последнее неравенство и есть результат (0.15). Доказательство окончено.

Заметим, что пространства L^, (p~1(Lip)} т.е. пространства функций /', для которых соответственно jj(p(\f(x)\)dx < ос, y?-1 (jT ^p(\f(x)\)dx) < оо уже не обязательно являются нормированными (например, для р(и) = «р, 0 < р < 1) и даже квазинормирован-ными (например, для ср(и) = In«, т.е. пространство Lq(T)).

Диссертация посвящена изучению экстремальных задач (0.1), (0.3), (0.7), (0.8), (0.9), (0.12), (0.14) в пространствах с несимметричными нормами, а также в обычных нормированных пространствах. По-видимому, первым, кто начал рассматривать пространства с несимметричными нормами, был М.Г. Крейн [17, с.197] (1938 г.). Он указал на целесообразность рассмотрения пространств с несимметричными нормами - такие пространства, например, естественно возникли в задаче о чебышевских ужах. Пусть В - пространство-конус (т.е. если х, у G В, то и х + у G В и ах G В для любого а G №+), функционал || • | : В —>■ М+ назовем несимметричной нормой, если справедливо

1) ||.г| = 0 <=ф- х = 0 для х G В]

2) ||:г| 0, для любого х G В;

3) ||аа:| = о;||х|, х G В, Q G

+ iw + ы, '••// g в.

Некоторые вопросы геометрической теории приближений в пространствах с несимметричными нормами рассматривались в работах А. Брондстеда [18], [19], Е. Асплунда, А.Р. Алимова [20] - [24].

Последующий интерес к задачам теории приближения в пространствах с несимметричными нормами был обусловлен следующим развитием теории приближения. В работах Г. Фройда [29] (1955 г.) и Т.

Ганелиуса [30] (1956 г.) были заложены основы наилучшего одностороннего приближения. Затем в работах Р. Бояника, Р. Де Вора [31], В.Ф. Бабенко, А.А. Лшуна [32], А.С. Андреева, В.А. Попова, Б. Сен-лова [33], [34], А.Ю. Шадрина [35] и других, см. также [36] - [38], [39, с.76], были получены прямые и обратные теоремы для односторонних приближений с помощью усредненного модуля гладкости, введенного Е.П. Долженко и Е.А. Севастьяновым [40] в 1976 году.

Выяснилось, что "мостиком" между наилучшими приближениями и наилучшими односторонними приближениями оказались приближения в пространствах с несимметричными нормами. Этот факт заметил в 1982 г. В.Ф. Бабенко [42].

Пусть / - действительнозначная функция, положим (х) = тах{/(х), 0}, Г{х)= тах{-/(х), 0}. Тогла /•:,•) ¡+{х)-Г{х). В.Ф. Бабенко в своей работе исследовал следующие несимметричные нормы

\\Др^ = \Ы+ +,вг\\р, (0.17)

где а,/3 >0, 1 ^ р ^ оо. Заметим, что если а = ¡3, то в терминах приближения возникает обычное Ьр—приближение, а в случае а —>• оо либо /3 —оо возникает Ьр— одностороннее приближение, см. [42].

Данное замечание породило новый всплеск интереса в 80-х - 90-х годах к экстремальным задачам в несимметричных нормах в работах В.Ф. Бабенко [43] - [45], В.Ф. Бабенко и В.А. Кофанова [46], О.В. Полякова [47] - [49], А.А. Шумейко [50] и других.

В 1983 г. В.Ф. Бабенко в [43] ввел, по-видимому впервые, следующие классы несимметричных норм:

/(/)= 1р,Я;М)=4>Ш+\\РЛГ\\Я), (0.18)

где 1 ^ р, с[ ^ оо, ф(и, у) - произвольная несимметричная и монотонная (т.е. \и'\ < |и"|, |</| < |г/'| ф(и',у') < -ф(и'\ и")) норма на плоскости и доказал теорему двойственности для элементов пространства Цп"(1) (т.е. 2тт—периодических функций / таких, что /(г-1) £ АС(Т), /(/'('')) = ) < 1) в несимметричной норме || • ||1;а,/з, а также под-

считал поперечник по Колмогорову с12п-1(№гг(1), ¿1) и привел некоторые результаты для норм (0.18), которые обобщают неравенства А.Н. Колмогорова [51], Л. Хермандера [52], см. также [53], [54]. Отметим книгу Н.П. Корнейчука [55] (§1.4.5, §3.3.3, §5.4.4, §7.2.6, §8.1.6) в которой

собраны результаты по различным задачам с (а,/3)— несимметричной нормой (0.17) и также отметим результаты по знакочувствительной ¿аппроксимации (т.е. в пространствах с несимметричной нормой и с весом) в работах Е.П. Долженко, Е.А. Севастьянова [56], [57] и А.-Р. К. Рамазанова [58], [59], [68].

В диссертации будет рассматриваться следующая несимметричная норма (частный сл}'чай (0.18), где ф(и,у) = и + у)

Р,я = и+\\Р + \\Г1п

0.19)

где 0 < р, с[ ^ оо. В частности, при р = д получается норма, эквивалентная || • \\р (см. главу 1).

Глава 1 диссертации посвящена нахождению аналогов неравенств (0.10), (0.12) для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа. Данные задачи были поставлены автору И.Г. Царьковым. Доказываются следующие результаты:

Теорема 1.1. Пусть п Е и РьР2, <Уъ <?2 £ (0,ос]. Тогда

теТп 11т1ир1,р2(т") т^о

( в. П

ф{р1,р2,ч1 ,42,(1)

п3

(0.20)

где

и ос+ = тах{а', 0}.

Теорема 1.1 обобщает на несимметричный случай результат Джексона-Никольского, см. формулу (0.12). Порядок в (0.20) и везде далее понимается в том смысле, что при фиксированных Р1,Р2,<?ь<?2 Е (О. ос], с1 е м, найдутся константы такие, что существуют соответствующие оценки сверху и снизу. Здесь обнаруживается новый эффект по сравнению с симметричным случаем - в отличие от симметричного

случая в (0.20) появляется зависимость от й в показателе. Оценки снизу в (0.20) достигаются на полиномах следующего вида

81П" 2 ) 7=1 (СОВЪ ~

(0.21)

/ . [£3 + х \ 2к

где «/„,*.(£) - ( 81Па1п| ) , и 5 = 61 Е М+, / = 1

Легко видеть, что Тп,к{{) — тригонометрический полином степени не выше чем п и Тп,к{5Л) Е Тп. Из Н/Н^дт^ X ||/||1р(т). 0 < р ^ ос (доказательство см. § 1.1 диссертации) и (0.20) мы немедленно получаем известный результат

Следствие 1.1. Пусть п Е р, д Е (0,+оо]. Тогда

i _ i

Р Ч ) -f

т^о

Здесь экстремальными полиномами являются — поли-

номы, упомянутые выше.

Прежде чем доказывать теорему 1.1, сначала будет доказан ее одномерный аналог (д = 1) с абсолютной константой. Т.к. основная идея доказательства теоремы 1.1 прос�