Модули гладкости произвольных порядков и преобразованные ряды Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Основные определения и обозначения.

1 Свойства модулей гладкости дробного порядка.

1.1 Свойства дробных разностей и модулей гладкости

1.2 Порядок убывания модулей гладкости в Lp, 1 < р < сю

2 Оценки модулей гладкости преобразованных рядов Фурье

2.1 Преобразование ряда Фурье с помощью последовательностей

An = и Хп = пг/£(п).

2.2 Преобразование ряда Фурье с помощью последовательности

3 Характеристики функций из класса Бесова-Никольского

3.1 Вспомогательные утверждения.

3.2 Конструктивные характеристики функций из класса Бесова-Никольского

3.3 Коэффициенты Фурье функций из класса Бесова-Никольского

3.4 Теоремы вложения и совпадения классов.

4 Коэффициенты Фурье непрерывных функций из некоторых классов.

4.1 Эквивалентность некоторых условий.

4.2 Необходимые и достаточные условия принадлежности непрерывных функций классу Вейля-Никольского.

4.3 Необходимые и достаточные условия принадлежности функции обобщенному классу Липшица.

В начале прошлого века, после доказательства теоремы Вейерштрасса о существовании последовательности многочленов, приближающих непрерывную функцию на данном отрезке со сколь угодно большой точностью, теория наилучших приближений непрерывных функций получила большое развитие. Основополагающие результаты в этой теории были получены Ш. Валле-Пуссеном ([64],[65]), А. Лебегом ([47]), Д. Джексоном ([45], [46]), С.Н. Бернштейном ([5]). В этих работах сформировалось понятие модуля непрерывности данной функции.

При исследовании связи между величиной наилучшего приближения непрерывной функции тригонометрическими полиномами и дифференциальными свойствами функции С.Н. Бернштейн ([5]) ввел понятие модуля непрерывности натурального порядка (модуля гладкости). В дальнейшем, это понятие приобрело большую популярность и в настоящее время является одним из наиболее распространенных понятий теории функций.

При решении некоторых задач теории приближений классический модуль гладкости (модуль гладкости натурального порядка) или не может быть использован, или его применение достаточно трудоемко, (см., например, [31], [43]). Возникла необходимость рассмотрения модуля гладкости любого положительного порядка.

В 1977 году Р. Таберский ([63]) и группа авторов П. Бутцер, X. Дик-хоф, Е. Герлих, Р. Стейнс ([43]) независимо ввели понятие модуля гладкости произвольного положительного порядка.1 В этих работах исследовались основные свойства таких модулей гладкости и доказывались прямые и обратные теоремы теории приближения.

Задача описания порядка убывания модулей непрерывности и модулей гладкости натурального порядка исследовалась разными авторами, в частности, С.М. Никольским ([20]), О.В. Бесовым и С.Б.Стечкиным ([8]), В.Э. Гейтом ([9], [10]), В.И. Колядой ([16]), И.А. Шевчуком ([39]), Т.В. Радосла-вовой ([62]).

В §1 работы исследуется порядок убывания к нулю модулей гладкости произвольного положительного порядка периодических функций, принадлежащих пространству Lp, 1 < р < оо. В частности, доказано, что возможный порядок убывания модулей гладкости не зависит от р. Основными результатами первого параграфа диссертации являются следующие теоремы. xBce необходимые обозначения и определения приведены ниже в пункте "Основные определения и обозначения".

Теорема 1.1. Пусть f G Lp, р G [1, оо], (3 > 0. Тогда существует функция tp(t) G Ф/з, такая что ip(t) < up{f,t)p < C(p)v(t) (0 <t< оо), где С{(3) — положительная постоянная, зависящая только от (3.

Таким образом, каждый модуль гладкости положительного порядка /3 эквивалентен, в смысле порядка убывания, некоторой функии (p(t) G Ф^. Справедливо и обратное утверждение:

Теорема 1.2. Пусть ip(t) G Фр, j3 > 0, р G [1, оо]. Тогда существуют функция f G Lp и число t\ > 0, такие, что

Ci(J3)u>0(f,t)p < <p{t) < C2((3)up{f,t)p (0 < * < *i), где Ci(/3), Сг(/3) — положительные постоянные, зависящие только от (3.

Отметим, что для (3 G N теоремы 1.1 и 1.2 доказаны в работе [62].

Уже в работах математиков, стоявших у истоков теории приближения функций (см. упоминавшиеся выше работы [5], [45], [46], [47], [64], [65]) было выяснено, что изучение дифференциальных свойств функций играет важнейшую роль в вопросах приближения. С.Н.Бернштейн ([5]) писал: "Чем проще дифференциальная природа функции, тем быстрее убывает Еп, и обратно". В связи с этим, многими авторами решалась следующая задача: получить оценки структурных (конструктивных) характеристик производных через структурные (конструктивные) характеристики самих функций. Изучением оценок такого рода занимались, в частности, С.Н. Бернштейн ([5]), Н.К. Бари и С.Б. Стечкин ([3]), О.В. Бесов([7]).

Естественным обобщением понятия производной натурального порядка для 27г-периодических функций является понятие производной в смысле Вейля (производной дробного порядка). Заметим, что ряд Фурье производной 27г-периодической функции можно рассматривать как преобразованный ряд, т.е. ряд, полученный следующим образом: каждый член ряда Фурье самой функции умножается на некоторое число. Умножая члены ряда Фурье данной функции на элементы различных последовательностей, будем получать различные, так называемые, обобщенные производные в смысле Вейля. Таким образом, возникает задача изучения свойств этих производных.

В частности, возникает следующая задача: найти оценки модуля гладкости функций с преобразованным рядом Фурье (шр(<р,5)р) через модуль гладкости исходной функции (о;7(/, с))р). В §2 диссертации данная задача рассматривается для модулей гладкости произвольных положительных порядков и функций, принадлежащих пространству Lp, 1 < р < оо.

В работе [34] Б.В. Симонов получил следующие оценки: для любых 5 Е (0, |] справедливы неравенства2

8 Л т* ( 5

J r^Mlpif, № I « ^(/(rU)p < | J t-rd*M*+0(f, t)Pdt

0.1)

Если рассмотреть оценки u)p(f^r+e\ 5)p и uj0(f^r~£\ 5)p при фиксированных г и 0, то неравенства (0.1) видоизменяются (М.К. Потапов, Б. Лакович, Б.В. Симонов [28],[29]): для любых 5 Е (0,|] справедливы следующие соотношения

1 1 Т* / 1 ^

0.2)

1 ^ ( <5 p., f J t)pdt I ^U t)pdi

0.3) 6

J Г(Г£)Г*1Л)Г 0 t)pdt + s^ Jr^^'- V;,!/,t)pdt | « ,

0.4) 0

0.5)

Можно считать, что каждая из производных f(r\ /(г+£) и f(r~£\ участвующих в оценках (0.1), (0.2)-(0.3) и (0.4)-(0.5), имеет ряд Фурье сг(/, А;), где последовательности Aj = {Л^} , (г = 1, 2,3), А^ = пГ, Л^ = пг+£ и Л^ соответственно. п п

23десь и ниже г* = max(2,р),9* = min(2, р).

В §2 решаются следующие задачи:

1. Установить, как изменятся оценки (0.2)-(0.5) модуля гладкости преобразованного ряда Фурье, если вместо последовательностей Ап = пг±£ рассматривать последовательности Хп = пг^(п) и Хп ~ nr/^(n), где функция £(£) является слабо колеблющейся и возрастающей.

2. Установить, как изменятся оценки (0.2)—(0.5) модуля гладкости преобразованного ряда Фурье, если вместо последовательностей Аи = пг±е рассматривать последовательности Ап = (функции ip(t) обладают некоторыми свойствами), более общие, чем последовательности А „ = пг±е.

Ответ на первый вопрос дают теоремы пункта 2.1.

Если положительная слабо колеблющаяся функция /j,(t) удовлетворяет условию о Т А S dt +оо, то для сокращения записи будем обозначать 5 7

0.6)

Теорема 2.1. Пусть (0, оо), р 6 (1, оо), 0 < в < min(2,p), max(2, р) < т < оо и пусть для положительной слабо колеблющейся функции p(t) выполнено условие (0.6) для s = т. Если f £ W(p, г, ^у), то есть, если ряд сг(/, А^), где А^ = = пГгу(п)|, есть ряд Фурье некоторой функции (р е Ьр, то / 6 В(р, г, г + Р,т) и для любого 5 е (0, \] справедливо неравенство t-rr-l уг jujrr+p(f:t)pdt[ < { ^V g) I № + 4(<Р> 5)р f •

0.7)

Теорема 2.2. Пусть г, (3 е (0, оо), р <Е (1, оо), 0 < в < min(2,p), max(2,p) < т < оо и пусть для положительной слабо колеблющейся функции p(t) выполнено условие (0.6) для s = 9. Если / е В(р, г, + 0), то ряд a(/, ACD), где AW = {Л<" = nr7(n)|, есть ряд Фурье некоторой функции (р G Lp, т.е. f G W(p, г, щ), и для любого 6 <Е (0, справедливо неравенство ujTJ(p,t)pdt + ujT0((p,5)p> <

7 К+/з(/>*)рЛ> • (°-8)

Таким образом, оценки (0.7) и (0.8) являются аналогами оценок (0.2) и (0.3). Отметим, что в правой части (0.7) и в левой (0.8), в отличие от (0.2) и (0.3), соответственно, присутствуют два слагаемых вместо одного. В работе построены примеры, показывающие, что наличие обоих слагаемых в рассматриваемой ситуации существенно.

В пункте 2.1 приведены также теоремы об оценках модулей гладкости для функций, имеющих ряд Фурье сггде А^ = = nr/7(n)}> которые являются аналогами оценок (0.4) и (0.5).

Ответ на второй поставленный вопрос дают теоремы пункта 2.2: Теорема 2.7. Пусть 1<р<оо,0<9< min(2,p), max(2,p) < г < оо и пусть числа гг, /3 > 0, а положительная функция tp{t) удовлетворяет следующим условиям:

1) существует £\ > 0, такое что Lp(t)tr2+£l почти убывает на (0,1),

2) существует е^ > 0, такое что (p(t)tr2+P~S2 почти возрастает на (0,1). Если f 6Е Lp и выполнено условие 1 ^-^(Lt)pdt < оо, о то существует функция ф G Lp, имеющая ряд Фурье сг(/, А), где Л = (Лп = и Для любого 5 £ (0, |] справедливо неравенство vw / t), dt ! t), dt 5

Теорема 2.8. Пусть 1 < р < оо, 0 < 6 < min(2,p), max(2,p) <т< оо и пусть числа Г2,{3 > 0, а положительная функция (p(t) удовлетворяет следующим условиям:

1) существует Е\ > 0, такое что cp(t)tr2+£l почти убывает на (0,1),

2) существует £2 > 0, такое что <p(t)tr2+/3~£2 почти возрастает на (0,1). Если для / 6 Lp существует принадлежащая Lv функция ф с рядом

Фурье a(f, Л), где Л = {Aw = , то для любого 5 G (0, справедливо неравенство f ^u;2+p(f,t)pdt\ « j^VW f ш°мл)п&

J ч>у 5

Отметим, что эти теоремы обобщают оценки (0.2) и (0.3); обобщение оценок (0.4) и (0.5) приведено в работе [30]. В §2 также доказаны теоремы, устанавливающие точность полученных оценок на классах функций с квазимонотонными и лакунарными коэффициентами Фурье.

Исследование модулей гладкости функций с преобразованным рядом Фурье тесным образом связано с изучением классов функций Бесова, Никольского, Бесова-Никольского и Вейля-Никольского.

В 1959 году О.В. Бесов ([7]) ввел в рассмотрение класс функций, названный затем его именем, и нашел конструктивные характеристики этого класса. В 1969 году М.К. Потапов ([25]) нашел конструктивные характеристики более общего класса функций. В 1987 году Б. Лакович ([18]) получила конструктивные характеристики класса Бесова-Никольского для некоторого частного случая. В пункте 3.2 параграфа 3 найдены конструктивные характеристики класса Бесова-Никольского для общего случая.

Теорема 3.1. Пусть 0 G (0, оо), ф G Ф, функция а(-) удовлетворяет сг-условию с а — кб и условию

1/2™ 1/2"

2nke J a(t) tk9dt < J a(t)dt для n G N U {0}. 0 l/2"+1

Если f G Lp (1 < p < 00), то f G BH(p, а, к, в,/3, ф) тогда и только тогда, когда для любого n G N U {0}

П ОО \ е / 1 \ r^A^if), + J2 АХ^ЛЛр u=0 i/=n+l J ^ '

1/2" где J a(t) dt, v G N U {0}.

1/2^

В пункте 3.3 параграфа 3 в терминах коэффициентов Фурье доказаны критерии принадлежности функций, имеющих квазимонотонные или ла-кунарные коэффициенты Фурье, классу Бесова-Никольского.

Теорема 3.2. Пусть /3,к,6 Е (0, оо), ф Е Ф, функция а(-) удовлетворяет а-условию с а — к в и условиям

1 1/2" 1/2™

J a(t)dt + 2пк9 J a(t) tkedt < J a(t)dt для n E N U {0}. 1/2™ 0 1/2"'+1

Если функция f(x) E LP{1 < p < сю) имеет лакунарные коэффициенты Фурье, то /(ж) Е ВН(р, a, к, /3, тогда и только тогда, когда для любого п Е N U {0}

71 ОО \ 0 / 1 \

5> + + + «у'Л, « ^ (1) , v=0 г/=гг+1 / ^ '

1/2" где = f a(t) dt, u E N U {0}. 1/2"+!

Теорема 3.3. Пусть fi,k,& E (0, оо), ф E Ф, функция a(-) удовлетворяет (т-условию с о — к9 и условиям

1 1/п 1/п

У a(t)dtxnke J a(t)tke dtxn J a(t)dt для n = 2,3, •■• l/n 0 l/(n+l)

Если функция f(x) E Lp (1 < p < оо) имеет квазимонотонные коэффициенты Фурье, то /(ж) Е ВН(р,а,к,6,/3,ф) тогда и только тогда, когда для любого п Е N

71 ОО \ ® / 1 \ n + £ (a, + WAy-f г/=1 г/=п+1 / ^ '

1/v где \v = J г/ E N.

Отметим, что из приведенных теорем 3.1, 3.2, 3.3 следуют результаты работ А. Конюшкова ([17]), Б. Лакович ([18]), М. и Ф. Бериша ([4], [40]).

Пункт 3.4 параграфа 3 посвящен теоремам вложения и совпадения классов функций Бесова, Никольского, Бесова-Никольского и Вейля-Никольс-кого. В частности, там приведены результаты, уточняющие полученные

М.К. Потаповым и Б.В. Симоновым ([61]) теоремы вложения классов Бесова-Никольского и Вейля-Никольского, для функций с квазимонотонными и лакунарными коэффициентами Фурье.

Задачи о нахождении условий на коэффициенты Фурье данной функции, необходимые и достаточные для того, чтобы эта функция принадлежала тому или иному функциональному классу, имеют важное значение как в конструктивной теории функций, так и в теории рядов Фурье ([2], [13]). Решение таких задач позволяет, с одной стороны, получить описание функций, принадлежащих данному классу, с другой стороны, дает возможность ответить на следующий вопрос: функции из каких классов имеют коэффициенты Фурье, удовлетворяющие определенным условиям. Отметим, что теоремы 3.2 и 3.3 посвящены решению этих задач для класса Бесова-Никольского.

Изучение вопросов такого рода применительно к классу Липшица началось в начале XX века. Отметим работу [6] С.Н. Бернштейна, в которой показано, что для абсолютной сходимости ряда Фурье достаточно, чтобы функция принадлежала классу Lip а при а >

В 1948 году Г. Лоренц ([55]) доказал следующие теоремы.

Теорема А. Если функция f(x) имеет ряд Фурье оо + cosnx + bnsmnx) (0.9)

77=1 и 0 < а < 1, то условие

Е(К1 + Ы) = о(1) (о.ю) k=n ^ ' влечет условие f(x) е Lip а.

Теорема В. Если функция f(x) имеет ряд Фурье (0.9) с монотонно убывающими коэффициентами an, Ьп и 0 < а < 1, то условие эквивалентно условию f(x) € Lip a.

В 1967 году Р. Боас ([42]) получил несколько результатов, связанных с коэффициентами Фурье 27г-периодической функции f(x) и ее структурными характеристиками, описанными в терминах модулей непрерывности. В частности, он получил критерий принадлежности функции с неотрицательными коэффициентами Фурье классу Lip a (0 < a < 1) и в этом случае показал, что условие (0.10) эквивалентно условию f{x) € Lip а. В

1969 году М. и С. Изуми ([44]) рассматривали классы, которые можно получить, если в определении классов Липшица и Зигмунда вместо функции ta взять более общую функцию ip(t) (в наших обозначениях это классы Hf и Они доказали теоремы, обобщающие теоремы Боаса. В 1990 году результаты Боаса обобщил Дж. Немет ([57]), который рассматривал обобщенный класс Липшица используя введенный Л. Лейндлером ([50]) класс мажорант !Г2а.

В 2000 и 2001 году появились работы Л. Лейндлера ([52]) и Дж. Немета ([59]), которые обобщали и дополняли все предыдущие результаты. Приведем основные результаты этих работ.

Теорема С. Пусть 7 = {7П} — последовательность положительных чисел, причем j Е SQ и j £ Sf. Тогда для любой четной или нечетной функции / Е С, имеющей коэффициенты Фурье Хп > 0, условия оо п ^ Afc = о (7„), = 0 (njn), Ui(f, —)оо = 0(7„) k=n k=l равносильны.

Теорема D. Пусть 7 = {7П} — последовательность положительных чисел, причем 7 е S9 и 7 € 5|. Тогда для любой четной или нечетной функции f Е С, имеющей коэффициенты Фурье Хп > 0, условия

ОО Т1 ^ к = 0 (тп), = О (п27„) , u2(f, -)оо = 0(7„). равносильны.

Отметим также работу В.Э. Гейта ([11]), в которой были рассмотрены непрерывные функции с монотонно убывающими коэффициентами Фурье и получены необходимые и достаточные условия на мажоранту, при которых условие принадлежности производной обобщенному классу Липшица равносильно определенным условиям на коэффициенты Фурье.

В §4 решаются следующие задачи:

1. Изучить взаимосвязь различных способов определения обобщенных класов Липшица (см. работы [44], [52], [57], [59]).

2. Доказать теорему о достаточных условиях принадлежности функции классу Вейля-Никольского (аналог теоремы А). Получить теорему о необходимых и достаточных условиях принадлежности функции классу Вейля-Никольского (аналог теорем В, С, D) и решить обратную задачу.

3. Получить теоремы о достаточных и о необходимых и достаточных условиях принадлежности функции обобщенному классу Липшица.

Решению первой задачи посвящен пункт 4.1. Там доказаны теоремы об эквивалентности некоторых условий на мажоранту.

Решению второй задачи посвящен пункт 4.2. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 4.1. Пусть j3 > О, A G Л и 7 = {7^} — последовательность положительных чисел.

А). Если 7 Е Sq и 7 Е Sg, то для любой непрерывной функции f{x), имеос ющей ряд Фурье ^ cnemx, условия п——оо

00 (0.11) к=тг 4

00 (0.12) fc=n n

ХУ|Л*|Ы = 0(п'7л) (0.13) fc=1 равносильны и любое из них влечет условие

0.14)

Б). Пусть последовательность 7 не возрастает. Если для любой непрерывен ной функции f(x), имеющей ряд Фурье cnemx, условия (0.11) - (0.13)

71= — ОО равносильны, то 7 Е и 7 Е 5J,. Эта теорема обобщает теорему А.

Теорема 4.2. Пусть Р>0, ХеАиу = {7„} — последовательность положительных чисел.

А). Если 7 Е Sq и 7 Е го для любой функции f(x) Е СЛ, имеющей ряд оо

Фурье Y1 спегпх условия (0.11) - (0.14) равносильны. п=—оо

Б). Пусть последовательность 7 не возрастает. Если для любой функции оо яг) Е СА, имеющей ряд Фурье Y1 спешж условия (0.11) - (0.14) равноп=—оо сильны, то 7 Е я 7 Е 5J.

Эта теорема обобщает теоремы С и D.

Теорема 4.3. Пусть /3 > О, X G А и у — {7П} — последовательность оо положительных чисел, причем выполнено условие У) -гтЧ < оо. Тогда

П = 1

А). Если у G Sq и у G Sp, то для любой функции /(ж) £ С^П Сх, имеющей оо ряд Фурье cn£mx, условия п=—оо

Ы = О (0.15) и feWH(A,/3,y) (0.16) равносильны.

Б). Пусть последовательность у не возрастает. Если для любой функции оо f(x) G С^ П Сх, имеющей ряд Фурье Y1 спе"1Х, условия (0.15) и (0.16) п— — 00 равносильны, то у G Sq и у G Sp. Эта теорема обобщает теорему В.

Из теорем 4.1, 4.2, 4.3 можно вывести утвеждения о достаточных и о необходимых и достаточных условиях принадлежности функции обобщенному классу Липшица. Эти утверждения являются решением третьей задачи и содержатся в пункте 4.3. Кроме того, в пункте 4.3 приведены некоторые теоремы о четных и нечетных функциях из обобщенного класса Липшица. Вышеупомянутые результаты других авторов являются частным случаем теорем §4.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [66] - [75]. Они докладывались на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл.-корр.РАН, проф. П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на международной конференции " Функциональные пространства, теория интерполяции и смежные вопросы" (Лунд, Швеция, 2000), на XXI и XXIV Конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, на Саратовских зимних математических школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (2000, 2002), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2001), на международной конференции "Ортогональные полиномы и теория приближений" (Мадрид, Испания, 2002).

Автор искренне благодарит своего научного руководителя профессора М.К.Потапова за постановку задач, поддержку и постоянное внимание к работе.

Основные определения и обозначения

В данной работе формулы, леммы, теоремы, следствия, замечания и примеры имеют номера из двух чисел, первое из которых — номер параграфа, а второе — номер формулы (леммы, теоремы, следствия, замечания, примера) в этом параграфе3. Результаты других авторов, которые используются в качестве вспомогательных утверждений, приводятся в приложении и имеют отличительный индекс "П", после которого стоит порядковый номер леммы в приложении. Результаты других авторов, которые приводятся во введении и в §1 - §4, нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

В работе изучаются свойства 27г-периодических действительных функций одного переменного.

Пусть Lp (1 < р < оо) — пространство 27г-периодических измеримых функций / с конечной нормой

2тг \ УР

11f(x)\pdx

L0о = С — пространство 27г-периодических непрерывных функций / с нормой ""оо = max |/(я)|.

0,271-]

Разностью порядка (3 (/3 Е R+) функции f(x) с шагом h называют величину D-i )"(f)/(*+о* - "W. iy=0 ^ ' где О = при „ > 1, = /3 при I/ = 1, (>) = 1 при = 0.

Модулем гладкости функции f(x) порядка (3 {(3 Е R+) в метрике Lp называют величину

Mf,t)p = sup Af/(.)

Л|<£

Ряд Фурье функции /(ж) будем записывать в действительной форме оо оо cos па: + bnsmnx) = (0.18) п=1 к=о

3Во введении и в пункте "Основные определения и обозначения" первое число в нумерации формул — 0. или в комплексной форме оо п=—оо

Будем обозначать

2™~1

А0 = А0(х), А1 = Аг(х), Ат = ^ Ак{х), гп = 2,3,. д.=2т-2 + 1

Также будем обозначать

• через £„(/) — частную сумму ряда Фурье функции f(x), т.е. п к=О

• через Vn(f) — сумму Валле-Пуссена функции f(x), т.е.

Vo(f) = S0(f), Vn(f) = + + (n € N),

71/

• через En(f)p — наилучшее приближение фун'киции f(x) тригонометрическими полиномами порядка п в метрике Lp, т.е. п

En{f)P= inf ll/M - Y]{akcoskx j3ksmkx)\\p. ak,pkeR f—' k=0

Преобразованным рядом Фурье для ряда (0.18) назовем ряд оо

А) := АпАп(х),

71=0 где А = {^n}neN — данная последовательность вещественных чисел, а преобразованным рядом Фурье для ряда (0.19) назовем ряд сю п=оо где А = {An}nez — данная последовательность комплексных чисел.

Пусть a(t) -— измеримая на [0,1] и неотрицательная функция. Будем говорить, что a(t) удовлетворяет ст-условию, если для данного вещественного числа а выполнено условие 1

J a(t)tadt < оо. о

Положительную функцию £(£) мы будем называть слабо колеблющейся, если она измерима на [D\ +00), D > 0, и для любого к > 0 удовлетворяет соотношению ,, ,ч lim ~~ = 1

ОО £(£)

Обозначим через производную функции / порядка г (г G R+) в смысле Вейля ([13], Т.2, с. 201) и через f — функцию, сопряженную к функции / ([2], с. 518).

Через С(£,/v ■•), Ci(£, Ai, ■••), C2(£,Ai, •••),•• • будем обозначать положительные постояные, зависящие от • • •, и быть может разные в разных случаях.

Запись 1\ <С /2 означает, что существует положительная постоянная С, не зависящая от функции, пределов суммирования и интегрирования, но, быть может, зависящая от некоторых других параметров, входящих в и /2, и такая, что 1\ < С/2. Если одновременно l\ <С h и /2 <С /1, то будем писать /1 х /2.

Будем называть функцию ср(5) почти возрастающей (соответственно почти убывающей) на (a, b), если существует такое постоянное число А > 1, что ifi{6i) < > А(р(62)) для а < 5i < (52 < 6.

Будем говорить, что функция </>(£) (0 < 5 < тт) является мажорантой G Ф), если a) ф(8) ф 0 для любого 5 (0 < S < 7г), b) <р(6) не убывает на [0,7г], c) ср(5) 0 при 5 ->• 0.

Через Ф7 (7 G R) обозначим класс неотрицательных ограниченных функций <р(5), определенных на (0, оо), таких что a) <р(5) 0 при 5 —> 0, b) ср(5) не убывает, \ ч>(8) c) не возрастает.

Через Ф обозначим класс непрерывных неотрицательных на [0,1] функций, почти возрастающих на (0,1).

Определим следующие классы функций.

Класс Вейля W(p, А) (соответственно, W(p, А)) — класс функций f(x) Е < р < оо), имеющих ряд Фурье (0.18)(соответственно, (0.19)), для которых ряд сг(/, А) (сг*(/, А)) есть ряд Фурье некоторой функции ср(х) Е Lp.

Если в качестве последовательности А = {An}n6N взять An = где г Е (0,+оо), а положительная функция £(£) слабо колеблющаяся, то класс W(p, А) будем обозначать W(p,r,£).

Если в качестве последовательности А = {A„}neN взять п — 1/п 1 \ * пкв j a(t)tk9 dt + J a{t)dt 0 ' l/n / где к, в E (0, +oo) и положительная функция ск(£) удовлетворяет сг-условию с а = кв, то класс W(p, А) будем обозначать W{p, а, к, 9).

Класс Никольского Н(р,/3, ф) — класс функций f(x) Е Lp (1 < р < оо), таких, что u!p(f,6)p < гДе функция ф Е Ф и (3 Е (0,+оо).

Через WH{p, а, 0, /5, -0) (соответственно, WH(p, А, ?/>)) обозначим обобщенный класс Вейля-Никольского — класс функций /(ж) Е W(p, а, к, в) (соответственно, f{x) Е А)), таких, чтоо;^^, 5)р <С где функция ф е Фи (3 Е (0, +оо).

Класс Бесова В(р, а, /г, 0) — класс функций /(ж) Е Lp, 1 < р < оо, таких, что , uek(f,t)pdt < оо, о где к, 9 Е (0, +оо), а а(£) — положительная функция.

Если в качестве функции a(t) взять a(t) = Цтту, гДе т £ (0> +оо) и пом l t) ложительная функция /i(£) слабо колеблющаяся, то класс В(р, а, к, 0) будем обозначать В(р, г, /i, fc, б).

Класс Бесова-Никольского ВН(р, а, /г, 0, — класс функций / Е Lp(l < р < оо) таких, что

1 \ г a(f) *)Р<й + ^ / «(<) <4+/з(/> № « VW,

0 5 J где числа (3,к,6 Е (0,оо) и функция ф Е

Обобщенный класс Бесова-Никольского ВН°(р, а, /?, — класс функций / Е Lp(l <р< оо) таких, что

5 t

Гкв~1 J a(u)ukeduuek+p[f, t)pdt +

0 о 1

1 1 J t-W-x J a(u)duuek+0(f,t)pdt\ ф{5), где числа fi,k,9 £ (0, оо) и функция ^бФ.

Класс Н(р,(3,ф) (соответственно, класс ВН(р,а,к,9, (3,ф) ) состоит из всех функций / G Lp{ 1 < р < оо), таких, что / б Я(р,/3, ф) (соответственно, /6 ВН(р,а, к,6,{3,ф)).

При р — оо класс Н(р,/3, ф) будем называть обобщенным классом Липшица и обозначать Hp. В свою очередь, при (3 = 1 и = d)a класс будем называть классом Липшица и обозначать Lip а.

Через WH(\,f3,у) обозначим класс Вейля-Никольского — класс функций /(ж) (Е W(oo,A), таких, что ujpfa,^)^ <С уп, гДе последовательность Т — Ы — данная последовательность положительных чисел.

Последовательность положительных чисел 7 := {7^} будем называть почти возрастающей (почти убывающей), если существует число К := К (у) > 1, такое, что неравенство

Куп > 1т Ы < Кут) (0.20) выполнено для любых натуральных п > т, квази-монотонно возрастающей (квази-монотонно убывающей), если существуют число К := К{у) > 1 и натуральное число N = N(7), такие, что неравенство (0.20) выполнено для любых натуральных п > т > N, квази-геометрически возрастающей (квази-геометрически убывающей), если существует натуральные числа р := р{у), N := N(7) и константа К := К (у) > 1, такие, что неравенство

7п+м > 2т„ и уп < Kyn+i (yn+fl < ]рп и Уп+i < Куп) выполнено для любых натуральных n > N, ограниченной по блокам, если неравенства air£} < Уп < агГ^, О < <ц < а2 < оо выполены для любых 2k < п < 2k+1, k = 1, 2, • • •, где

Г£} = min(72A, 72*+i) и = тах(72*, 72*+0» лакунарной, начиная с некоторого места, если существуют число А > 1 и натуральное число N, такие, что неравенство

Ти+1 > А > 1 выполнено для любых натуральных п > N,

7п квазимонотонной, если существует число р > 0 такое, что 7пп~р ^ 0. Также будем говорить, что последовательность положительных чисел

7 {Тп} удовлетворяет условию (Sq) (и обозначать 7 Е Sq), если существует е Е (0,1), такое, что {пеуп} почти убывает, условию (Sp) (и обозначать 7 £ если существует £ £ (0, /3), такое, что почти возрастает.

Будем называть последовательность действительных чисел {an}n€N п0~ следовательностью одного знака, если неравенство апат > 0 выполняется для любых натуральных пит.

Будем говорить, что последовательность комплексных чисел А = {Ап}пе5 принадлежит множеству А и обозначать A £ А, если выполнены следующие условия: !)• А„ = Ап;

2). последовательность {|An|}n€N не убывает, т.е. О < |Ai| < |А2| < ■ ■ • < |АП| < • • •;

3). последовательность {|A„|}n€N квазимонотонна.

Пусть даны последовательности комплексных чисел ц — {цп}пеz и £ = (£n}neZ> которые удовлетворяют условиям: цп = JH^ и = £п. Будем говорить, что пара (/Lt, £) удовлетворяет условию S и обозначать (/U,£) £ 5, если последовательности {Re(/i^)}fteN, являются последовательностями одного знака.

Пусть А Е А. Будем говорить, что непрерывная функция /(#), имеющая ряд Фурье (0.19), принадлежит классу если (А, с) £ S, где с = {cn}neZ-Будем говорить, что непрерывная функция /(ж), имеющая ряд Фурье (0.19), принадлежит классу С^, если последовательность {(cn|}„eN квазимонотонна.

Будем говорить, что непрерывная функция f(x), имеющая ряд Фурье (0.18), принадлежит классу С+, если последовательности коэффициентов Фурье {an}, {Ьп} являются последовательностями одного знака.

Будем говорить, что функция f(x), ряд Фурье которой представляется в виде (0.18), имеет:

• квазимонотонные коэффициенты Фурье, если последовательности коэффициентов Фурье {ап}, {Ьп} являются квазимонотонными последовательностями, а

• лакунарные коэффициенты Фурье, если ап, Ьп = 0 при п ф 2к и а2к = b2k = 4; dk > 0 (fc E N U {0} ).

Через QAi обозначим класс функций, имеющих квазимонотонные коэффициенты Фурье, а через С — класс функций, имеющих лакунарные коэффициенты Фурье.

В дальнейшем будем налагать на функцию ip Е Ф некоторые из нижеперечисленных условий4. оо

В) Е М1) = 0ЮЬ к=п+1

Z) л = ош\,

S) Существует константа а (0 < а < 1) такая, что функция <p{t)jt почти возрастает на (0,7г),

Р) Для любого 9 (0 < 9 < 1) существует такое целое р, что — ) Для всех натуральных п, pnj \nj п

Bp) Е = О [n^(i)], к=1 т ;; =о

Sp) Существует константа а (0 < а < ft) такая, что функция (p(t)/t^~a почти убывает на (0,7г),

Рр) Для любого 9 (0 < 9 < 1) можно найти такое целое р, что — )< 9рР(р (—- ] для всех натуральных п. \nj \npj

Г^) Для любого ol > а существует натуральное число // = д(а'), такое, что

2/iaV > 2<Р ДЛЯ ВС6Х натУРальных п>

2)

Qa ) Для любого натурального числа v существует натуральное число N := N(l>), такое, что

5f>

У0(Р f 2n+ii ) — ^ для Л1°бЬ1Х натуральных п > N.

40тметим, что условия (О^), (^Р) были введены JI. Лейндлером в работе [50], причем в этой работе дополнительно считалось, что мажоранта iр является модулем непрерывности.

1. Бари Н.К., О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций, // Изв. АН СССР, Сер. матем., Т. 19, 1955, с. 285-302.

2. Бари Н.К., Тригонометрические ряды. // М., Физматлит, 1961.

3. Бари Н.К., Стечкин С.Б., Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций. // Труды ММО, Т.5, 1956, с. 483-522.

4. Бериша М., О коэффициентах Фуръе некоторых классов функций. // Glas. Mat., Ser. Ill, V. 16(36), ЛГ 1, 1981, p. 75-90.

5. Бернштейн C.H., О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. // Сообщение Харьк. мат. общества, Сер. 2, Т.13, 1912, с. 49-194.

6. Бернштейн С.Н., Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов. // Сообщение Харьк. мат. общества, Сер. 2, Т.14, 1914, с. 139-144.

7. Бесов О.В., О некоторых условиях принадлежности к Ьр производных периодических функций. // Научные доклады высшей школы. Физико-математические науки, Л/" 1, 1959, с. 13-17.

8. Бесов О.В., Стечкин С.Б., Описание модулей непрерывности в L2. // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, Т.134, 1975, с. 23-25.

9. Гейт В.Э., О точности некоторых неравенств в теории приближений. // Матем. Заметки, Т. 10, 1971, с. 571-582.

10. Гейт В.Э., Теоремы вложения для некоторых классов периодических функций. // Изв. ВУЗов, сер. мат., N 4(119), 1972, с. 67-77.

11. Гейт В.Э., Обощенная теорема Лоренца о рядах Фурье с монотонными коэффициентами и ее обращение. // Изв. ВУЗов, сер. мат., ЛГ 4(431), 1998, с. 15-17.

12. Дзядык В.К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. // М., Наука, 1977.

13. Зигмунд А., Тригонометрические ряды. // Том I, II, М., Мир, 1965.

14. Иванов В.И., Пичугов, С.А., Аппроксимация периодических функций в Lp линейными положительными методами и кратные модули непрерывности. // Матем. Заметки Т.42, Я 6, 1987, с. 776-785.

15. Кокилашвили В.М., 0 приближении периодических функций. //В сб.: Труды Тбилисского матем. института, Тбилиси, Т.34, 1968, с. 51-81.

16. Коляда В.И., О вложении в классы tp(L). // Изв. АН СССР, сер. Матем., Т.39, 1975, с. 418-437.

17. Конюшков А. А., О классах Липшица. // Изв. АН СССР, сер. мат., Т.21, 1957, с. 423-448.

18. Лакович В., Об одном классе функций. // Математич. вестник (Белград), Т. 39, Я 4, 1987, С. 405-415.

19. Лакович Б., Потапов М.К., К вопросу о взаимосвязи некоторых классов функций. If Математич. вестник (Белград), Т. 3(16)(31), 1979, с. 295312.

20. Никольский С.М., Ряд Фурье с данным модулем непрерывности. If Докл. АН СССР, Т.52, 1946, с. 191-194.

21. Никольский С.М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. // М., Наука, 1977.

22. Пономаренко В.Г., Модули гладкости дробного порядка и наилучшие приближения в Lp( 1 < р < оо). // Constructive function theory, Proc. int. Conf., Varna, 1983, p. 129-133.

23. Потапов M.K., К вопросу об эквивалентности условий сходимости рядов Фурье. // Матем. сб., Т.68, Я 1, 1965, с. 111-127.

24. Потапов М.К., О принадлежности к Lp преобразованного ряда Фурье. // Вестник МГУ, матем., Я 5, 1968, с. 3-14.

25. Потапов М.К., О вложении и совпадении некоторых классов функций. // Изв. АН СССР, сер. мат., Т.ЗЗ, 1969, с. 840-860.

26. Потапов М.К., Об одной теореме вложения. // Mathematica, Cluj, V. 14(37), 1972, p. 123-146.

27. Потапов М.К., Бериша М., Модули гладкости и коэффициенты Фурье периодических функций одного переменного. // Publ. Inst. Math., Nonv. Ser., V.26(40), 1979, p. 215-228.

28. Потапов М.К., Лакович Б. О вложении и совпадении классов функций Бесова-Никольского и Вейля-Никольского. // Вестник Моск. Ун-т, Сер. Мат., Я 4, 1992, с. 44-52.

29. Потапов М.К., Лакович Б., Симонов Б.В., Об оценках модулей гладкости функций, имеющих дробную производную. // Math. Montisnigri, V. VII, 1996, p. 41-52.

30. Потапов М.К., Симонов Б.В., Об оценках модулей гладкости функций с преобразованным рядом Фурье. // Фундаментальная и прикладная математика, Т.1, Я 2, 1995, с. 455-469.

31. Прибегни С.Г., Об одном методе приближения в Нр, 0 < р < 1. // Матем. сб., 2001, Т.192, Я 11, с. 123-136.

32. Самко С.Г, Килбас А.А., Маричев О.И., Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. // Минск, Наука и техника, 1987.

33. Сенета Е., Правильно меняющиеся функции. [ М., Наука, 1985.

34. Симонов Б.В., О свойствах преобразованного ряда Фурье. // Деп. в ВИНИТИ, 22.06.1981, Я 3031-81.

35. Стечкин С.Б., Об абсолютной сходимости рядов Фурье(второе сообщение). // Изв. АН СССР, сер. Матем., Т.19, 1955, с. 221-246.

36. Стечкин С.Б., Об абсолютной сходимости рядов Фурье (третье сообщение). // Изв. АН СССР, сер. матем., Т.20, 1956, с. 385-412.

37. Стечкин С.Б., О наилучшем приближении сопряженных функций тригонометрическими полиномами. // Изв. АН СССР, сер. мат., Т.20, 1956, с. 197-206.

38. Харди Г., Литтлвуд Д., Полна Г., Неравенства. // М., ИЛ, 1948.

39. Шевчук И.А., Некоторые замечания о в функциях типа модуля непрерывности порядка к > 2. // Сб. Теория приближения функций и ее приложения, Киев, 1976, с. 194-199.

40. Berisha M.Q., Berisha F.M., On monotone Fourier coefficients of a function belonging to Nikol'skii-Besov classes. // Math. Montisnigri, V.10, 1999, p. 5-20.

41. Berisha М., Turku Н., Rajovic М., Fourier coefficients of lacunary series of functions of class H(p,k,<p). // Mat. Vesn. V.36, 1984, p. 187-191.

42. R. P. Boas Jr., Fourier series with positive coefficients. //J. Math. Anal. Appl., Y. 17, 1967, p. 463-483.

43. Butzer P.L.; Dyckhoff H.; Goerlich E.; Stens R.L., Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and Lipschitz classes. // Can. J. Math., 29, 1977, p. 781-793.

44. Izumi M., Izumi S., Lipschitz classes and Fourier coefficients, j/ J. Math. Mech., V. 18, 1969, p. 857-870.

45. Jackson D., Uber die Genauigkeit der Annaheurung Stetiger Funktionen durch ganze rationale Funtionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gegebenen Ordnung. J] Diss., Gottingen, 1911.

46. Jackson D., On approximation by trigonometric sums and polynomials. // Trans. Amer. Mat. Soc., V.14, 1912, p. 491-515.

47. Lebesque H., Sur la representation trigonometrique approchee des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz. // Bull. Cos. Math. France, V.38, 1910, p. 184-210.

48. Leindler L., Generalization of inequalities of Hardy and Littlewood. // Acta Sci. Math., V.31, 1970, p. 279-285.

49. Leindler L., Inequalities of Hardy and Littlewood type. // Analysis Mathematica, V. 2, 1976, p. 117-123.

50. Leindler L., Strong approximation and generalized Lipschitz classes. J J Functional analysis and approximation, Proc. Conf., Oberwolfach 1980, p. 343-350 (1981).

51. Leindler L., On the converses of inequalities of Hardy and Littlewood. // Acta Sci. Math., V. 58, Af 1-4, 1993, p. 191-196.

52. Leindler L., Power-monotone sequences and Fourier series with positive coefficients, j I J. Inequal. Pure Appl. Math., V. 1(1), 2000, Article Я 1. http: //jipam.vu.edu.au/vlnl/00199.litml.

53. Leindler L., Nemeth J., On the connection between quasi power-monotone and quasi geometrical sequences with application to integrability theorems for power series. // Acta Math. Hung., V. 68, Af 1-2, 1995, p. 7-19.

54. Littlewood J.E., Paley R.E., Theorems on Fourier series and power series. // J. London Math. Soc., V.6, 1931, p. 230-233.

55. Lorentz G.G., Fourier-Кoeffizienten und Funktionenklassen. // Math. Z., V.51, 1948, p. 135-149.

56. Marcinkiewcz J., Sur une nouvelle condition pour la convergence presque partout des series de Fourier. // Ann Scuola norme. Piza, V.8, 1939, p. 239-240.

57. Nemeth J., Fourier series with positive coefficients and generalized Lipschitz classes. // Acta Sci. Math.(Szeged), V. 54, Я 3-4, 1990, p. 291-304.

58. Nemeth J., On Fourier series with nonnegative coefficients. // Acta Sci. Math., V. 55, N 1-2, 1991, p. 95-101.

59. Nemeth J., Power-monotone sequences and Fourier series with positive coefficients. // J. Inequal. Pure Appl. Math., V. 2(2), 2001, Article Af 14. http: //jipam.vu.edu.au / v2n2/02700.html.

60. Parameswaran S., Partition functions whose logarithms are slowly oscillating. // Trans. Amer. Mat. Soc., V.100, 1961, p. 217-241.

61. Potapov M.K., Simonov B.V. On the interrelation of the generalized Besov-Nikol'skii and Weyl-Nikol'skii classes of functions. // Analysis Mathematica, V. 22, 1996, p. 299-316.

62. Radoslavova T.V., Decrease orders of the Lp-moduli of continuity fO < P < oo). // Analysis Mathematica, V.5, 1979, p. 219-234.

63. Taberski R., Differences, moduli and derivatives of fractional orders. Commentat. Math. // V.19, 1976-1977, p. 389-400.

64. Valle-Poussin Ch.J., Sur les polynomes Vapproximation et la representation approchee d'un angle. Jj Bull. Acad. Belgique, M 12, 1909, p. 491-515.

65. Valle-Poussin Ch.J., Lecons sur Г approximation des fonctions d'une variable reelle. // Paris, 1919.

66. Тихонов С.Ю., Оценки модулей гладкости функций с преобразованным рядов Фурье, jj Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл., Саратов, 2000, с. 139-140.

67. Тихонов С.Ю., Оценки модулей гладкости функций с преобразованным рядов Фурье, II. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского, т. 5: Актуальные проблемы математики и механики. Материалы межд. науч. конф. Казань, 2000, с. 205-207.

68. Тихонов С.Ю., Квазимонотонные коэффициенты Фурье функций из обобщенного класса Бесова-Николъского. // Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского, т. 12: Лобачевские чтения 2001. Материалы межд. науч. шк.-конф. Казань, 2001, С. 62-63.

69. Тихонов С.Ю., Уточнение некоторых оценок модулей гладкости. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докл., Воронеж, 2001, С. 259.

70. Тихонов С.Ю., О свойствах лакунарных коэффициентов Фурье. // Труды XXIV Конференции молодых ученых мех-мат. фак-та МГУ им. М.В.Ломоносова (8-13 апреля 2002 г.) Москва, 2002, с. 175-176.

71. Тихонов С.Ю., Об оценках модулей гладкости функций с преобразованным рядом Фурье, /j Тезисы докл. II Международного Симпозиума "Ряды Фурье и их приложения." 27.05.02 02.06.02. Ростов-на-Дону, 2002, с. 52-53.

72. Тихонов С.Ю., Квазимонотонные коэффициенты Фурье функций из класса Бесова-Никольского. // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл., Саратов, 2002, с. 208-209.

73. Тихонов С.Ю., Оценки модулей гладкости преобразованного ряда Фурье. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, ЛГ 5, 2002, с. 5861.

74. Тихонов С.Ю., Коэффициенты Фурье функций из класса Бесова-Никольского. If Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех., Н 6, 2002, с. 26-35.