О гладкости решений и условиях локализации спектральных разложений для операторов с постоянными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи УДК 517.95

Тсегайе Гедыф АЙЕЛЕ О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЙ И УСЛОВИЯХ ЛОКАЛИЗАЦИИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

ДИССЕРТАЦИЯ

На соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Научный руководитель: Доктор физико - математических наук , профессор М.Л. Гольдман

Москва- 1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Список основных обозначений 18

' Общие обозначения в диссертации 18

Глава I. Описание условий частичной гиппоэллиптичности линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в терминах фундаментальных решений 21

1.1. Постановка задачи и формулировка результата...... . 21

1.2. Основные определения и леммы................................23

1.3. Описание условий гипоэллиптичности в терминах фундаментальных решений............................................30

1.4. Описание условий частичной гипоэллиптичности линейных дифференциальных операторов в терминах фундаментальных решений......................................................33

Глава II. Пространства обобщенной гладкости

в задаче о суммировании спектральных разложений 38

2.1. Постановка задачи и формулировка результата..............38

2.2. Обоснование свойств локализации..............................42

2.2.1. Предварительные сведения..............................42

2.2.2. Представление Ф - средних спектрального разложения финитной функции..................................43

2.2.3. Оценка величины ..............................47

2.2.4. Оценки Ф - средних спектрального разложения ... 57

Глава III. Повторные нормы в пространствах типа Николь-

ского-Бесова с обобщенной гладкостью 61

3.1. Определения пространств и их общие свойства..............61

3.2. Определение повторных норм в пространствах типа Никольского-Бесова с обобщенной гладкостью..................65

3.3. Постановка задачи и формулировка результата..............67

- 3.4. Свойства повторных норм ......................................68

Литература 78

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации исследуется гладкость решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в терминах свойств фундаментального решения; влияние свойств гладкости разлагаемых функций в задаче о локализации спектральных разложений по собственным функциям оператора Лапласа. Для возникающих в этих задачах пространств обобщенной гладкости рассмотрена также задача о повышении гладкости в связи с использованием повторных норм.

В теории линейных дифференциальных операторов важную роль играет подход к исследованию гладкости решений с помощью свойств фундаментального решения. Он был развит в фундаментальных исследованиях Л. Гординга, С. Лоясевича, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хер-мандера и других авторов и связан с регулярным использованием в этих задачах теории обобщенных функций. Одним из основополагающих результатов этой теории была теорема о существовании фундаментального решения из пространства V обобщенных функций, полученная Б. Маль-гранжем и Л. Эренпрайсом, установленная затем Л. Хермандером и С. Ло-ясевичем в рамках теории пространства 5' распределений Л. Шварца. В связи с этими результатами актуальной представляется задача об описании свойств гладкости решений дифференциальных уравнений в терминах поведения фундаментальной функции соответствующего оператора. Л. Хермандером [27] были установлены критерии эллиптичности и ги-поэллиптичности операторов в терминах свойств фундаментального решения. Однако для рассмотренных в работах Л. Гординга и Б. Мальгранжа частично гипоэллиптических операторов подобное описание не было известно. Его получение представляет собой актуальную задачу теории дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, рассмотренную в диссертации.

В спектральной теории дифференциальных операторов важную роль играют вопросы равномерной сходимости и локализации спектральных разложений по собственным функциям этих операторов в областях общего вида. Изучению влияния гладкости разлагаемых функций на свойства спектральных разложений были посвящены исследования ряда известных специалистов в России и за рубежом. Отметим здесь результаты Ш'.А. Алимова, К.И. Бабенко, С. Бохнера, Б.И. Голубова, В.А. Ильина, Б.М. Левитана, Минакшисундарама, Э. Титчмарша, JI. Хермандера,

A.И. Янушаускаса и других. В этих исследованиях были установлены окончательные условия сходимости и локализации средних Рисса спектральных разложений в терминах принадлежности разлагаемой функции тому или иному пространству гладких функций (Соболева-Лиувилля, Гельдера, Никольского-Бесова). В спектральной теории представляют также интерес методы суммирования более общие, чем метод Рисса. Они связаны с использованием сумматорной функции более общего вида, чем степенная. Для исследования вопросов локализации и сходимости таких обобщенных средних использование указанных выше пространств степенной гладкости оказывается недостаточным. Задача об условиях локализации и сходимости обобщенных средних естественным образом приводит к привлечению пространств обобщенной (нестепенной) гладкости. Эти пространства систематически исследовались в работах ряда известных специалистов по теории функциональных пространств, таких как М.З. Берколайко, Ю.А. Брудный, A.B. Бухвалов, М.Л. Гольд-ман, A.C. Джафаров, Г.А. Калябин [19], В.И. Коляда, Ю.В. Нетрусов, Н. Темиргалиев, П.Л. Ульянов и других. В связи с исследованием спектральных разложений они привлекались в работах М.Л. Гольдмана [17],

B.C. Серова. В случае анизотропных пространств степенной гладкости В.И. Буренковым [9] была рассмотрена задача о повышении гладкости при использовании повторных норм. Ему удалось доказать, что итери-

рование норм в пространствах Бесова приводит к повышению гладкости функций в соответствующей степенной шкале и позволяет достигать любой гладкости за конечное число шагов. Этот подход был развит В.И. Бу-ренковым [11] для доказательства бесконечной дифференцируемости решений одного класса дифференциальных уравнений. В диссертации задача о повышении гладкости при использовании повторных норм была рассмотрена в рамках более общих анизотропных пространств обобщенной гладкости, использование которых представляется актуальным, в частности, в связи с результатами об условиях локализации обобщенных средних спектрального разложения по собственным функциям дифференциальных операторов.

Целью работы является:

1) Установление критерия частичной гипоэллиптичности для операторов с постоянными коэффициентами в терминах свойств фундаментального решения.

2) Нахождение условий локализации Ф-средних спектрального разложения по системе фундаментальных функций оператора Лапласа в произвольной п-мерной области в терминах принадлежности разлагаемой функции пространству обобщенной гладкости.

3) Установление свойства повышения гладкости в связи с использованием повторных норм в пространствах обобщенной гладкости.

В главе 1 впервые получено необходимое и достаточное условие частичной гипоэллиптичности для дифференциального оператора в частных производных в терминах свойств его фундаментального решения.

В главе 2 получены новые результаты об условиях локализации обобщенных средних спектрального разложения в терминах пространств обобщенной гладкости, основанные на новых оценках спектральной функции метода Ф-средних.

В главе 3 установлен новый результат о повышении гладкости при

итерировании норм в пространстве Бесова с обобщенной гладкостью.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут найти применение в исследованиях по теории дифференциальных операторов в частных производных, в спектральной теории и теории функциональных пространств.

В диссертации применяются методы теории обобщенных функций, в частности, свойства сверток для обобщенных функций; методы спектральной теории дифференциальных операторов - интегральные представления и оценки спектральной функции, формулы среднего значения, свойства специальных функций; методы теории пространств дифференцируемых функций - оценки разностных характеристик функции, разложения в ряды по целым функциям экспоненциального типа и т.д.

Материалы диссертации докладывались на научных конференциях РУДН (1995, 1996, 1998 гг.), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию чл.-корр. РАН проф. Л.Д. Кудрявцева (Москва. 1998), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН по теории дифференциальных уравнений под руководством проф. В.Н. Масленниковой, на научном семинаре каф. высшей математики МИРЭА под руководством проф. М.Л. Гольдмана.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[3], [18].

Диссертация состоит из введения, включающего список обозначений, трех глав и списка литературы, содержащего 34 наименования. Объем работы 81 страница текста.

Перейдем к более подробному изложению работы.

В главе 1 рассмотрена задача об описании условий частичной ги-поэллиптичности линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами в терминах свойств фундаментального решения

для этих операторов.

Рассматривается линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами

P(D) = X>qI7\ (1)

аек

где К - конечное множество в пространстве Nq - мультииндексов а = (ai,... , ап) max \а\ — т (|а| = ai +----f- ап)

Da = D? х • ■ ■ х D°n-, =

и aa (a G К) некоторые комплексные числа, не равные нулю.

Обобщенная функция Е является фундаментальным решением оператора (1), если выполняется условие

P(D)S{x) = 6{x), (2)

где ¿(я) функция Дирака. (Здесь и далее полагаем P{D) ф 0).

Теорема о существовании фундаментального решения Е из V у линейного дифференциального оператора (1) была впервые получена независимо Б. Мальгранжем [34] (1953 г.), JL Эренпрайсом [30] (1954 г.).

Имея фундаментальное решение оператора (1), мы можем построить решение и из V уравнения

P(D)u = f, / 6 V, (3)

в виде свертки

u = £*f (4)

для тех / из V, для которых эта свертка существует в V.

Уравнение (2) в классе S' эквивалентно алгебраическому уравнению

рыот = i (5)

относительно преобразования Фурье Р(8) = В. Таким образом, задача об отыскании фундаментального решения медленного роста оказывается частным случаем более общей задачи о "делении" обобщенной функции медленного роста на полином, т.е. задачи о нахождении решения и из 5' уравнения

Р(0и = 1, (6)

где Р ф О полином и / - заданная обобщенная функция из 5". Разрешимость задачи о "делении" была доказана в 1958 г. независимо Л. Хер-мандером [32] и С. Лоясевичем [33].

Л. Хермандером введено понятие гипоэллиптического оператора.

Определение 1. Оператор (1) называется гипоэллиптическим, если из того, что И С М" открытое, и Е Т>'(0.) и Р(Б)и Е следует,

что и Е С°°(П).

В работах Л. Гординга, Б. Мальгранжа изучены частично гипоэл-липтические уравнения, т.е. уравнения решения которых оказываются бесконечно дифференцируемыми, если потребовать бесконечную диффе-ренцируемость по некоторой группе переменных.

Пусть X Е О С М"; т,п Е О ^ т < щ х = (х',х"), где х' Е Ет, х» е Еп_т. Пусть ф(х') Е Х>(Ет) и фт = ф(х') х 6(х"), яирр фт = Бирр (ф(х') х 8(х')) = (эирр ф(х'), 0). Обозначим через

ифт := {х : {х} - вирр фт С = р| (0 + 2/)

у£ эирр 1рт

Определение 2. Оператор (1) называется частично гипоэллиптическим относительно плоскости х" = 0; если из того, что О, С открытое, и Е Ф(П) и Р{Б)и Е С°°(П) следует, что Уфе £>(Мт) свертка и * фт Е

При т = 0 получаем определение 1 гипоэллиптического оператора.

Условия эллиптичности и гипоэллиптичности оператора (1) в терминах фундаментальных решений были установлены Хермандером. Однако условие частичной гипоэллиптичности оператора (1) в терминах фундаментальных решений не было известно. Таким образом возникает задача об описании условий частичной гипоэллиптичности оператора (1) в терминах фундаментальных решений. В главе 1 установлен следующий результат:

Теорема 1. Для того чтобы оператор (1) был частично гипоэллипти-ческим относительно плоскости х" = 0, необходимо и достаточно, чтобы существовало фундаментальное решение £ оператора (1) такое, что для любой функции ф Е Т>(Шт) свертка £ *фт £ С°°(ЕП \ эирр фт).

Здесь V() = С'о°(Ет) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых функций.

При т — 0 этот результат переходит в известную теорему Херман-дера:

Для того чтобы оператор (1) был гипоэллиптическим необходимо и достаточно, чтобы существовало фундаментальное решение £ оператора (1) такое, что £ Е С°°(1К.П \ {0}).

Для доказательства теоремы 1 была установлена следующая лемма, представляющая самостоятельный интерес.

Лемма 1. Пусть / Е Р'(Жп) П С^М" \ С), где СсГ замкнутое; д Е эирр д компактен, тогда на множестве Жгг\({,8ирр д)"< + (?)

(7 > 0) существует свертка / * д и (/ * д){х) Е С'00(Е,г \ {вирр д + С)).

Если С = {0}, то отсюда получим известную лемму Хермандера. Здесь Р'(МП) - пространство обобщенных функций (линейных непрерывных функционалов на Т>(Ш.п)); А7 = {х Е Мп : р(х, А) < 7}, А - замыкание множества А.

В спектральной теории дифференциальных операторов возникают задачи, решение которых требует обращения к пространствам обобщенной гладкости. К ним относится задача об условии локализации спектрального разложения для разных дифференциальных операторов (в частности, кратных рядов и интегралов Фурье). Этим вопросам были посвящены исследования многих математиков в России и за рубежом:. ШлА. Алимова, К.И. Бабенко, С. Бохнера, Б.И. Голубова.. В.А. Ильина, Б.М. Левитана, Минакшисундарама, Э.И. Титчмарша, Л. Хермандера, А.И. Янушаускаса и других. Мы ограничимся ссылками на обзорные статьи Ш.А. Алимова, В.А. Ильина, Е.М. Никишина [5], Б.И. Голубова [14], книги И. Стейна, Г. Вейса [23], А.И. Янушаускаса [29].

Известно, что для средних Рисса <т® при порядке 5 меньше критического т-~ для наличия свойств локализации и сходимости нужно, чтобы разлагаемая функция удовлетворяла определенным требованиям гладкости. Окончательное условие гладкости: г ^ ^ — 5 в шкалах пространств Соболева-Лиувилля и Никольского-Бесова Ь'р. Н'р. Врд были установлены в исследованиях В.А. Ильина и Ш.А. Алимова. Представляет интерес рассмотрение аналогичной задачи для методов суммирования более общих и более гибких, чем метод Рисса, связанных с применением сумматорных функций нестепенного вида. Подобные методы использовали Ш.А. Алимов, А.И. Янушаускас и другие. Этому посвящена вторая глава диссертации, причем при решении этой задачи оказалось необходимым привлечение пространств обобщенной гладкости.

Во второй главе рассмотрены Ф - средние разложения по фундаментальным функциям произвольного самосопряженного неотрицательного расширения оператора Лапласа в п-мерной области С

и-

( Р \

(?)

V И" У

О

где т ^ оо - кратность представления, иг(х. - фундаментальные функ-

т г / г2 \

= Е/ £(*К0М)Ф - -2) ¿р(г),

г=1 А

ции оператора Лапласа (Диг- + ¿2иг- = 0 в С), /¿(¿) - образ Фурье функции / 6 £2(6"') по системе фундаментальных функций. При Ф(2) = ^ получим известные средние Рисса стД/;ж). Пусть в > 0, йо = в при 0 < 5 < 1, 5о = 1 при в ^ 1; ср^) - 5-ая дробная производная функции Ф(£);

/¿V

о 0

Пусть ы(0) = 0; Ц*) ф)Гк п. где А; € N.

Определение 3. Пространство обобщенной гладкости (типа С.М. Никольского) определяется следующим образом:

= {/ е 1Р(П) : ||/|Ь(, < оо},

р

где

и

к

Р&

р.

модуль непрерывности функции /' порядка к в Ьр(£1); и

т=0

0, [х,х + Щ <£

Обозначим через замыкание по норме ||/||я*(-)- То-

гда при условии ш^) ^ ссоо(£) для функции / в Н^^С) справедлив следующий принцип локализации (когда поведение Ф-средних в подобласти определяется только свойством разлагаемой функции в этой подобласти).

Теорема 2. Пусть .з > 0, 0 ^ а,/^ - таковы, что

п - 2 ^ э Г 3 п 1 I

—--«<а^<т1п а + - + 1 >

и функция а-'(^) удовлетворяет требованиям

и^) Га п. I; Г'в п. I на (0,1]

п —2 ,

-¡■ ——Но-в

ш{г) ^ (0,1];^ =-т—.

Пусть I) С П СС <2, / 6 - функция, удовлетворяющая условию

/(х) = 0, х Е В. Тогда для любого компакта К С В равномерно по х Е К выполнено соотношение

Пш = 0.

п-1 3

Отметим, что в типичных ситуациях <р3о(^) ^ ^о(^) X

¿6(0,1].

Теорема дает условия локализации Ф - средних спектрального разложения. Для средних Рисса (при = Г(з + 1), X t!1^1~s) это приводит к неулучшаемому в степенной шкале гладкости условию локализации: / Е Щ(0), а = ^ — 5, установленному в работах Ш.А. Алимова и В.А. Ильина. М.Л. Гольдманом [16] показано, что это условие неулучшаемо в терминах пространств обобщенной гладкости. Из приведенной теоремы видим, что для сумматорной функции у нестепенного вида мажоранта щ также имеет нестепенной вид и условие локализации естественным образом выражается в терминах пространств обобщенной гладкости.

В главе 3 рассмотрена задача о повышении гладкости в связи с использованием повторных норм для пространств обобщенной гладкости, возникающих в задаче о локализации спектральных разложений (см. главу 2) и более общих.

В работах В.И. Буренкова были в�