Операторы Ванье-Штарка с сингулярными потенциалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Пожарский Алексей Андреевич

Операторы Ванье-Штарка с сингулярными потенциалами

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи

Санкт-Петербург

2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

д. ф.-м. н., профессор Буслаев Владимир Савельевич

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

д. ф.-м. н., профессор Каргаев Павел Петрович к. ф.-м. н. Фирсова Наталья Евгеньевна

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Санкт-Петербургское отделение Математического Института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук (ПОМИ РАН)

Защита диссертации состоится _ 2004 г. в

езс? часов в ауд. на заседании диссертационного совета

Д 212.232.24 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан 2004 г.

Отзывы на автореферат присылать по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Ульяновская ул. 1, НИИФ СПбГУ, диссертационный совет Д 212.232.24, Е. С. Семеновой.

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор /А. К. Щекин/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению одномерного оператора Ванье-Штарка

в ¿2 (Е+) на подходящей области определения. Здесь постоянная F > 0 и р(х) - вещественная периодическая функция.

Для математиков этот оператор интересен тем, что это оригинальная модель с нетривиальными спектральными свойствами. Эта модель вызывает определенный интерес и с точки зрения физиков: и потому, что для нее можно найти прямые интерпретации, и поскольку на ней физики ожидают увидеть интересные трансформации спектра в зависимости от свойств гладкости потенциала и других параметров задачи. Разгоняющие свойства линейного потенциала конкурируют с запирающими свойствами сингулярной решетки: запрещенные зоны в спектре периодической задачи остаются достаточно длинными и начинают заметно отражать частицу. Ожидается, что баланс наступает для потенциалов с особенностями типа дельта-функция, однако на настоящий момент эта гипотеза остается недоказанной [1], [2], [3]. Это, конечно, выглядит весьма интригующим и для математиков.

Известно, что спектральные свойства оператора связаны с поведением решений спектрального уравнения в бесконечности [4]. Изучение асимптотического поведения решений представляется интересной задачей и само по себе. Для получения асимптотик решений обычно используют квазиклассический метод [5]. Для применения этого метода необходимо предполагать, что периодический потенциал - дважды непрерывно дифференцируемая функция, однако это является довольно сильным ограничением. Квазиклассическая техника позволяет доказать, что оператор Ванье-Штарка с дважды непрерывно дифференцируемым потенциалом имеет однократный абсолютно непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось [6]. Наличие особенностей у периодического потенциала выглядит вполне реалистично с точки зрения приложений. Поэтому важно уметь анализировать спектральные свойства оператора Н при достаточно широких предположениях относительно гладкости периодического потенциала. Систематическая теория для построения ^^^тд^ц^^^^Щруравнения

I БИБЛИОТЕКА

Ванье-Штарка в случае негладких или даже сингулярных периодических потенциалов до сих пор отсутствовала. Тем не менее в ряде случаев удалось описать спектральные свойства оператора Ванье-Штарка без анализа асимптотических свойств решений спектрального уравнения. Во всех этих случаях авторы рассматривают либо все еще гладкие, либо сильно сингулярные потенциалы (с особенностями типа дельта-функция и выше) [3], [7], [8], и вопрос о природе спектра оператора Ванье-Штарка для достаточно широкого класса потенциалов до сих пор оставался открытым. Известны примеры операторов Ванье-Штарка, связанные с сильными особенностями у периодического потенциала, для которых спектр не содержит абсолютно непрерывной компоненты [8]. При этом нет четких условий на гладкость потенциала, при которых спектр все еще чисто абсолютно непрерывный, равно как нет условий, при которых сохраняется абсолютно непрерывная компонента спектра.

Из сказанного выше ясно, что изучение как спектральных свойств оператора Ванье-Штарка, так и асимптотических свойств решений спектрального уравнения в случае негладких локально суммируемых потенциалов не погружается в рамки известных построений и требует привлечения новых методов. Настоящая работа посвящена изучению этих двух взаимосвязанных вопросов и восполнению существующего в теории оператора Ванье-Штарка пробела.

Цель работы. Целью диссертации является:

1) разработка нового метода для описания асимптотического поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений с негладкими коэффициентами на примере оператора Ванье-Штарка.

2) доказательство сохранения абсолютно непрерывной компоненты спектра оператора Ванье-Штарка при максимально свободных условиях на периодический потенциал;

3) описание условий, при которых спектр оператора Ванье-Штарка чисто абсолютно непрерывен;

4) описание условий, при которых точечный спектр оператора Ванье-Штарка пуст.

Научная. новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту.

1) Описано асимптотическое поведение в бесконечности решений уравнения Ванье-Штарка с локально суммируемым периодическим потенциалом.

2) Доказано сохранение абсолютно непрерывной компоненты спектра оператора Ванье-Штарка для достаточно широкого класса периодических потенциалов.

3) Найдены условия на периодический потенциал, при которых спектр оператора Ванье-Штарка чисто абсолютно непрерывен.

4) Найдены условия на периодический потенциал, при которых точечная компонента спектра оператора Ванье-Штарка отсутствует. Теоретическая и практическая ценность. В диссертации предложен новый метод построения асимптотик решений уравнения Ванье-Штарка, который применим в случае локально суммируемых потенциалов. На основе анализа полученных асимптотик были описаны спектральные свойства оператора Ванье-Штарка для широкого класса периодических потенциалов. Полученные результаты могут быть использованы для исследования одномерного оператора Шредингера более общего вида. Например, с потенциалом, заданным в виде суммы из локально суммируемой периодической, гладкой монотонно стремящейся к минус бесконечности и, в подходящем смысле, убывающей функций. Результаты диссертации применимы и при исследовании некоторых физических вопросов. Например, сингулярные потенциалы возникают при описании динамики квантового электрона в кристалле, помещенном в однородное электрическое поле. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ (2000-2003 г.); Семинаре по математической физике Санкт-Петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН (2003 г.); Семинаре по математической физике в математическом департаменте университета Мюнхена, Германия (2003 г.). Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора ^1] - [РЗ].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введсния, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации - 84 страниц. Список литературы содержит 41 наименование. Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность своему науч-

ному руководителю В. С. Буслаеву за постановку задачи, подбор литературы и многочисленные консультации по данной тематике.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение. Во введении к диссертации приводятся постановка задачи, обзор имеющихся результатов по теме работы, описание основных приемов исследования и точные формулировки основных результатов работы. Глава 1. Асимптотическое поведение решений уравнения Ванье-Штарка. Первая глава диссертации посвящена описанию асимптотического поведения при ,х +оо решений одномерного уравнения Ванье-Штарка

где 0 < х < +оо. Предполагается, что постоянная Г > 0 и потенциал р(х) -вещественная периодическая функция: р(х + 1) = р(х), удовлетворяющая условию' р(х) € Ьх[0,1]. Сделанные выше предположения гарантируют существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (1).

При построении асимптотических разложений мы используем идеи В. С. Буслаева, разработанные им в статье [2]. Опишем основную идею наших построений.

При нахождении асимптотик решений уравнения (1) существует серьезная трудность, связанная с негладкостью периодического потенциала. Квазиклассическая техника не позволяет ее решить. Для того, чтобы эту трудность преодолеть, мы должны перейти от исходного дифференциального уравнения к дискретной системе. Более точно, мы должны разбить положительную полуось на последовательно идущие друг за другом интервалы единичной длины [п,п + 1]. На каждом таком интервале необходимо ввести базис решений уравнения (1). Теперь на каждом интервале [п,п + 1] мы можем разложить произвольное решение уравнения (1) по базису. В результате на каждом интервале [п,п 4- 1] решению уравнения (1) будет поставлен в соответствие набор координат. Связь между этими координатами на соседних интервалах можно найти из условия непрерывной диф-ференцируемости решения. Таким образом мы сведем изучение исходного дифференциального уравнения к дискретной системе

<(П) =

1 I у

ап =

О 0 0

1 У

1 У

о о

СП = I! р{х)р{у)е'2^ ¿х ¿у,

о о

Система (2) описывает связь между координатами а(п) и а(п +1) решения уравнения (1) на соседних интервалах [п — 1,п] и [п,п + 1], где п 6 N. Отметим, что для сведения исходного дифференциального уравнения к дискретной системе периодичность потенциала р(х) не требуется. Однако именно периодичность потенциала делает возможным описать эту систему в простых терминах и затем провести ее детальное исследование.

Сделаем теперь следующее формальное наблюдение. Для этого заменим в уравнении (1) сумму Е + Гх на Си забудем на некоторое время, что £ зависит от х. В результате мы получим периодическое уравнение

Далекие лакуны в спектре чисто периодического уравнения располагаются около точек £ = Как известно, решения уравнения (3) ведут себя существенно по разному, когда € лежит в лакуне или на абсолютно непрерывном спектре соответствующего оператора. Поэтому можно ожидать, что точки поворота щ, удовлетворяющие уравнению Е+Ртц = (тг1)2,1 6 N. играют особую роль при изучении асимптотического поведения решений уравнения (1).

Дальнейшая идея заключается в том, чтобы строить асимптотики решений отдельно в окрестностях точек поворота и вне их. При этом мы будем анализировать не дифференциальное уравнение (1), а дискретную систему (2). Асимптотики решений дискретной системы вне окрестностей точек поворота строятся с помощью адиабатической техники. Оказывается, что полученные адиабатические разложения разрушаются в окрестностях точек поворота порядка где номер точки поворота. Отметим, что расстояние между точками поворота растет линейно по

Для построения асимптотических разложений в окрестностях точек по-

-ф" + р(х)ф = £ф, 0 < х < +оо.

(3)

1

ворота, мы используем относительную малость этих окрестностей и заменяем матрицу перехода дискретной системы (2) на ее первые члены ряда Тейлора. В результате оказывается возможным построить асимптотики решений в таких окрестностях точек поворота, которые будут пересекаться с областью применимости адиабатических асимптотик. Это позволяет сшить полученные асимптотические разложения и тем самым получить полное асимптотическое разложение на полуоси.

Сформулируем основной результат первой главы. Теорема 1. Пусть постоянная Р > 0 ир(х) - вещественный периодический потенциал из класса Х^О, 1], удовлетворяющий условию

1

р(х) йх = 0.

о

Тогда произвольное решение уравнения

-ф" - Рхяр + р{х)1р - Еф допускает при х —> +оо асимптотическое разложение ф(х) = еЫмГ*' + << + 0(111,11*-»), х 6

Интервалы 7/ задаются условием

= (п,_1, щ) \ (?!_! и Ь), ~4 = {х: ¡х- П|| < I2'3}. Тонки поворота щ задаются равенством

Д(щ) = тгI, Д(п) = А;„ + кп = у/Е + Еп.

4

При этом коэффициенты 5,, и ¿1+1 связаны на смежных интервалах II и 1 преобразованием

= 13,4,. Ч, = (4)

где Щ допускает представление вида.

с ( 1 + 0(4) + с- с о о/ел

4 = г7/6 + мог1 + едг:1 + ср,г1 + ср,2гхьг,

г(0 = е^

1 1

Iр{х)е™хс1х, ва(0 = Iх2р(х)е2",х ¿х.

щ = вир *е[1-и]

/р(х)е2<

2<1г*х

¿X , вр/ = Бир «=€[1-1,«]

1 х

йувх

о о

Вместе с этим выполнено равенство

ЙГ

/

о—

№(*)!*«& = ~1М|а(1 + о(1)).

(5)

Вот^л)

-К

V

'лава 2. Спектральные свойства оператора Ванье-Штарка. Рас-мотрим одномерный оператор Ванье-Штарка

<Р

Я< = -—-Рх + р(х) в 12(К+) а области определения

— абсолютно непрерывна, <¿>(0) = Бирр (р — ограничен, —<р" + р V С Ь^Щ.)

Как и ранее будем предполагать, что постоянная F > О и потенциал р(х) - вещественная локально суммируемая периодическая функция.

Замечание. Функция — + р(х)(р принадлежит Ь2(К+) при- <р е Бот(Я,<), но р" пру по отдельности не обязательно принадлежат Однако они принадлежат

Оператор Н& в существенном самосопряжен. Доказательство этого факта приведено в параграфе 2.7. Обозначим замыкание оператора .На через Я.

Сформулируем основные результаты второй главы в отношении спектральных свойств оператора Ванье-Штарка (теоремы 2-4).

Предположение (А). ^ <

Замечание. Если на интервале [0,1] периодический потенциал задается в виде р(х) = С\\х — хо|_1+г, где £ > 0, хо £ [0,1] и С\ € К, то предположение (А) выполнено.

Теорема 2. Пусть потенциал р(х) удовлетворяет предположению (А). Тогда абсолютно непрерывный спектр оператора Н заполняет всю вещественную ось.

Предположение (В). ^^ И/)!/"1/2 < оо.

Теорема 3. Пусть потенциалр{х) удовлетворяет предположениям (А) и (В). Тогда спектр оператора Набсолютно непрерывен и заполняет всю вещественную ось.

Предположение (С). ехр(-2£?=х К01*"1/а) = «>•

Теорема 4. Пусть потенциал р(х) удовлетворяет предположениям (А) и (С). Тогда точенный спектр оператораНпуст.

Доказательство теорем 2-4 опирается на результат из статьи [4]. Сформулируем его в удобном для нас виде.

Определение 1. Решение фи уравнения (1) называют подчиненным на +оо, если для любого линейно независимого с ним решения $

Иш 1-++00

о.

Теорема 5. 0 Если при почти всех Е 6 М по мере Лебега уравнение (1) имеет подчиненного решения, то абсолютно непрерывный спектр оператора Н заполняет всю вещественную ось.

И) Если при всех Е 6 К уравнение (1) не имеет подчиненного решения, то спектр оператора Н абсолютно непрерывен и заполняет всю вещественную ось.

Из теоремы 5 следует, что для доказательства теорем 2-4 достаточно проанализировать асимптотические свойства в бесконечности решений уравнения (1). Теорема 1 позволяет это сделать в терминах дискретной системы (4). В свою очередь система (4), с помощью замены переменных

= ехр(Ш~аг3)Ь1,

может быть сведена к следующей

вы^е^^Яа,. (б)

В дальнейшем нам будет удобнее исследовать систему (6), нежели (4). Введем понятие подчиненного решения для дискретной системы.

Определение 2. Решение дискретной системы называют подчиненным, если для любого линейно независимого с ним решения

Справедливо следующее утверждение.

Предложение 1. х) Пусть выполненыусловия теоремы \ и при почти всех, по мере Лебега, Е 6 И система (6) не имеет подчиненного решения. Тогда абсолютно непрерывный спектр оператора Нзаполняет всю вещественную ось.

И) Пусть выполнены условия теоремы 1 и при всех Е 6 ¡Й система (б) не имеет подчиненного решения. Тогда спектр оператора Н абсолютно непрерывен и заполняет всю вещественную ось.

Доказательство этого факта приведено во введении ко второй главе, оно достаточно элементарно и опирается на теоремы 1 (см. (5)) и 5.

Обсудим теперь структуру доказательства теорем 2-4. Принимая во внимание предложение 1, можно показать, что теоремы 3 и 4 являются практически прямым следствием теоремы 1. Для их доказательства мы используем сравнительно простой анализ дискретной системы (6), и здесь мы не будем на нем останавливаться. Доказательство этих утверждений приводится в параграфе 2.6.

Доказательство теоремы 2 значительно более трудоемкое и тоже опирается на анализ асимптотических свойств системы (б). Заметим, что эта система похожа на уравнение Шредингера с медленно убывающим потенциалом (матрица 5; стремится к единичной при I оо). Для оператора Шредингера с медленно убывающим потенциалом недавно был предложен простой способ локализации абсолютно непрерывного спектра [9{. Этот метод основан на использовании спектральных тождеств, которые получили в последнее время название тождеств БФ (Буслаев-Фаддеев) [10]. При анализе дискретной системы (6) мы следуем этой же идее.

Некоторые затруднения при исследовании этой системы представляет тот факт, что матрица 5/ может зависеть от спектрального параметра Е. Удобно предварительно изучить более простую систему. Именно, рассмотрим следующую рекуррентную систему

Здесь - двумерные комплексные матрицы, .удовле-

творяющие условиям

011Уцтг=т, = 1

(8)

и независящие от параметра г. Из условий (8) следует, что матрицы W могут быть представлены в виде

(9)

Основным результатом в отношении дискретной системы (7) является следующая : теорема (подчеркнем, что матрицы Si могут зависеть от спектрального параметра Е, в то время как матрицы Ш не зависят от параметра г).

Теорема 6. Предположим, что матрицы № представляются в виде (9). Пусть, вместе с этим, сходится ряд

¿>12- (10)

Тогда при почти всех, помереЛебега,, ф £ [0,27т) система (7) при г = е*^ не имеет подчиненного решения.

Доказательство теоремы 6 основано на анализе функции Вейля т{г) (ее определение дано в теореме 7). Введем специальный базис решений системы (7). Пусть в(г) и 1р(г) такие решения (7), что во(г) — (¿) и Уо(^) = (?)• Здесь и далее под решением системы (7) понимается последовательность удовлетворяющая системе (7).

Теорема 7. Предположим, что матрицы № представляются в виде (9). Тогда существует аналитическая при \г\ < 1 функция Вейля т(г) такая, что

/(г) = в(г) 4- т(г)<р{г) € ¿2(2+,С?) V 0 < |г| < 1.

Вместе с этим, |т(.г)| < 1 при |г| < 1.

Доказательство теоремы 7 приведено в параграфе 2.1. Отметим, что похожее утверждение справедливо для уравнения Шредингера, находящегося в случае предельной точки.

Следствие 1. Функция Вейля т{х) имеет почти всюду, по мере Лебега, радиальные граничныезначенит{е>^), где ф 6 [0,2я").

Доказательство. Из оценки |т(г)| < 1 при \г\ < 1 следует, что т(2) принадлежит классу Харди #оо(И < 1)> Отсюда следует требуемое утверждение [11].

Центральным в доказательстве теоремы 6 является предложение 2, ко-

торое доказано в параграфе 2.2.

Предложение 2. Пусть сходитсяряд (10). Тогда имеет место оценка

- £лп(1 - |т(е^)|2) ¿ф < 4тг ^ 1п |ш||.

Замечание. Ряды |иц| и |и(|2 сходятся одновременно.

Хорошо известно, что существует определенная связь между граничными значениями функции Вейля и поведением решений соответствующего уравнения на бесконечности (см., например, [4]). В нашем случае справедлива следующая теорема. Ее доказательство приведено в параграфе 2.5.

Теорема 8. Предположим, что матрицы Wi представляются в виде (9). Пусть в точкеф € [0,27т) существует предел

гНтош(ге^) = т(е^)

и, кроме того, |т(е'^)| < 1. Тогда система (7) при г = е'^ не имеет подчиненногорешения.

Используя предложение 2 и теорему 8, несложно доказать теорему 6.

Доказательство теоремы 6.' Из предложения 2 следует, что при почти всех ф функция Вейля допускает оценку

|т(е*)| < 1.

(12)

В силу оценки (12) применима теорема 8, откуда следует необходимое утверждение. D

Обратимся теперь к системе (б). Мы не можем непосредственно применить логику доказательства теоремы 6 к системе (6), потому что, вообще говоря, матрицы ,5/ могут зависеть от спектрального параметра Е. Поэтому мы приходим к необходимости проводить построение в два этапа. Для этого мы должны представить матрицы Si в виде 5; = И^ + V/, где матрицы W\ удовлетворяют условиям теоремы 6 и, в частности, не зависят от спектрального параметра /:' а матрицы убывают достаточно быстро (более точно, нам необходимо потребовать сходимости ряда но

уже могут зависеть от спектрального параметра Е. Из теоремы б следует, что невозмущенная система

8< = ¿к^ЦТы

(13)

не имеет подчиненного решения при почти всех Е € К. Далее, используя малость возмущения возможно провести сравнение решений систем (6) и (13) и, учитывая предложение 1, прийти к утверждению теоремы 2. Более точно, мы покажем, что при почти всех ф решения систем (6) и (13) связаны равномерно ограниченным по матричным преобразованием откуда следует необходимое утверждение.

Для реализации этого плана нам понадобятся два вспомогательных утверждения (предложения 3 и 4), которые мы сформулировали ниже. Основные идеи их доказательства мы заимствовали из [12]. Отметим, что доказательство предложения 3 опирается на результаты предложения 2. Доказательство предложений 3 и 4 приведено в параграфе 2.3. Перепишем систему (7) в матричном виде

Предложение 3. Пусть сходится ряд (10) и выполнена оценка

Пусть вместе с этим задана неотрицательная последовательность щ такая, что сходитсяряд Хл>о а|. Тогда при почти всех, по мере Лебега, ф £ [0,27г) найдется такая постоянная С(ф) < оо, что

<т, |>1И|||!ад|<с{ф).

Предложение 4. Пусть В\матричное решение системы

в1+г = ад, в0 = 1 (14)

с матрицей К{, удовлетворяющей условию&еЬКх = 1. Если выполнена оценка

Итт4]Г||2?,||2<оо,

Ь—Ь 00 и

1=0

то система (14) не имеет подчиненного решения.

Замечание. Матрицы К"» могут зависеть от спектрального параметра. Строгое доказательство теоремы 2 приведено в параграфе 2.4. Приведем краткую план-схему ее доказательства. При этом будем использовать следующие обозначения: ^ - матричное решение невозмущенной системы (13), В\ - матричное решение возмущенной системы (6) с матрицами

(здесь предполагается, что удовлетворя-

ют условиям теоремы 6), матричные решения Ы и Fj связаны матричным преобразованием Щ: В1 =

Ян = е^ИЪЯ

|Теорема7 Функция Вейля т(г) Е|>о Ма<°° |Предл. 2 |ш(е^)| < 1 п.п.в ф 6 [0,2л-) | | Теорема 8

Предл. 3 Теорема 6

В,+1 = К1В1 1

Предл. 4

£,2оМа«»|предл. 3 ИтЫь—^Е^о И*|||а<

<С(ф)< оо

при п. в. ф е [0, 27Г)

11т шГь-.* ¿'Е^о ||В|||г<

1 = е^УГМ ----У

Е|>01»11а«». £|>о 11^11<о°|Предл. 3 ЕЕо

<С{ф)< оо при п. в. ф € [0, 27г)

<------В1 = ГМ, ||^||<е2С<*> <оо

при п. в. ф е [0,2тг)

<С(ф)< оо

при п. в. 0 € [0,2тг) | Предл. 4 Система (6) не имеет подч. реш. при п. в. ф е [0,2тг) | Предл. 1 Теорема 2

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Р1] А. А. Пожарский, Сингулярный периодический кристалл в однородном электрическом поле // ТМФ; (2000), том 123, стр. 132-149. [Р2] А. А. Пожарский, Об операторах типа Ванье-Штарка с сингулярными потенциалами // Алгебра и Анализ, (2002), том 14, выпуск 1, стр. 158-193.

[РЗ] А. А. Пожарский, О природе спектра оператора Штарка-Ванъе// препринт ПОМИ, (2003), п. 17, стр. 1-25.

Список литературы

[1] P. Ao, Absence of localization in energy space of a Block electron driven by о constantelectricforce// Phys. Rev. B, (1990), vol. 41, p. 3998—4001.

[2] V. S. Buslaev, Kronig-Penney Electron in the Homogeneous Electric Field //Amer. Math. Soc. TransL, (1999), (2) vol. 189.

[3] F. Delyon, B. Simon, B. Souillard, From power pure point to continuous spectrum in disordered systems. /f Ann. Inst. Henry Poincare, (1985), vol. 42, N3, p. 283-309.

[4] D. J. Gilbert, D. B. Pearson, On subordinacy and Analysis of the Spectrum of One-Dimensional Schroedinger Operators // J. Math. Analysis and Applications, (1987), vol. 128, p. 30-56.

[5J Э. Ч. Титчмарш, Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка // Москва: ИИЛ, (I960), том 1.

[6] J. Avron, L. Gunter, J. Zak, Energy uncertainty in "Stark ladder"//Solid State Commun., (1975), vol. 16, N2, p. 189-191.

[7] F. Bentosela, R. Carmona, P. Duclos, B. Simon, B. Souillard, R. Weder, Schroedinger operators with an electric field and random or deterministic potentials. // Commun. Math. Phys., (1983), vol. 88, p. 387-397.

[8] P. Exner, The absence of absolutely continuous spectrum for delta1 Wannier-Stark ladders // J. Math.Phys., (1995), vol. 36, p. 4561-4570.

[9] P. Deift, R. Killip, On the Absolutely Continuous Spectrum of One-Dimensional Schrodinger Operators with Square Summable Potentials // Commun. Math. Phys., (1999), vol. 203, p. 341-347.

[10] В. С. Буслаев, Л. Д. Фаддеев, О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма - Лиувилля // ДАН СССР, (1960), том 132, вып. 1, стр. 13-16.

[11] А. Зигмунд, Тригонометрические ряды // Мир, (1965).

[12] Y. Last, В. Simon, Eigenfunction, Transfer Matrix, and Absolutely Continuous Spectrum of One-Dimensional Schroedinger Operators // Invent. Math., (1999), vol. 135, p. 329-367.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ №571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 29.04.04 с оригинал-макета заказчика. Формат 30x45/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №124/с. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3,

тел. 428-43-00.

i-Я*Л 9

Введение.

Г л а в а 1. Асимптотическое поведение решений уравнения

Ванье-Штарка.

Введение.

§1.1. Дискретная система.

§1.2. Адиабатические решения.

§1.3. Точки поворота.

§1.4. Переход через точки поворота.

§1.5. Асимптотики решений уравнения Ванье-Штарка.

Глава 2. Спектральные свойства оператора Ванье-Штар

Введение.

§2.1. Функция Вейля.

§2.2. Спектральное тождество.

§2.3. Некоторые оценки.

§2.4. Доказательство леммы 7 и теоремы 2.

§2.5. Подчиненные решения.

§2.6. Доказательство теорем 3 и 4.

§2.7. Самосопряженность оператора Ванье-Штарка.

Публикации по теме диссертации.

1. Рассмотрим одномерный оператор Ванье-Штарка Р

Я = -— -Рх+р(х) ахг в Ь2(Ш+) на подходящей области определения. Здесь ^ > 0 и р(х) -вещественная периодическая функция: р(х + 1) = р(х). Рассмотрим также спектральное уравнение

-ф" - Рхф + р(х)ф = Еф. (1)

Исследование операторов Ванье-Штарка имеет как теоретическое, так и прикладное значение. Для математиков этот оператор интересен тем, что это оригинальная модель с нетривиальными спектральными свойствами. Эта модель вызывает определенный интерес и с точки зрения физиков: и потому, что для нее можно найти прямые интерпретации, и поскольку на ней физики ожидают увидеть интересные трансформации спектра в зависимости от свойств гладкости и параметров. Операторы Ванье-Штарка возникают, например, при описании динамики квантового электрона в кристалле, помещенном в однородное электрическое поле. Разгоняющие свойства линейного потенциала конкурируют с запирающими свойствами сингулярной решетки: запрещенные зоны в спектре периодической задачи остаются достаточно длинными и начинают заметно отражать частицу. Ожидается, что баланс наступает для потенциалов с особенностями типа дельта-функция, однако на настоящий момент эта гипотеза остается не доказанной. Это, конечно, выглядит весьма интригуюг щим и для математиков.

Известно, что спектральные свойства оператора связаны с поведением решений спектрального уравнения в бесконечности. Изучение асимптотического поведения решений в бесконечности представляется интересной задачей и само по себе. Для получения асимптотик решений обычно применяют квазиклассический метод. Для применения этого метода необходимо предполагать, что периодический потенциал - дважды непрерывно дифференцируемая функция, что является довольно сильным ограничением. Квазиклассическая техника позволяет доказать, что оператор Ванье-Штарка с дважды непрерыв

У но дифференцируемым потенциалом имеет однократный абсолютно непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось. Наличие особенностей у периодического потенциала выглядит вполне реалистично с точки зрения приложений. Поэтому важно уметь анализировать спектральные свойства оператора Н при достаточно широких предположениях относительно гладкости периодического потенциала. Систематическая теория для построения асимптотик решений уравнения (1) в случае негладких или даже сингулярных периодических потенциалов пока отсутствует. Тем не менее, в ряде случаев удается описать спектральные свойства оператора Ванье-Штарка. Во всех этих случаях авторы рассматривают либо все еще гладкие, либо сильно сингулярные потенциалы (с особенностями типа дельта-функция и выше), и вопрос о природе спектра оператора Ванье-Штарка, для достаточно широкого класса потенциалов, до сих пор оставался открытым. Известны примеры операторов Ванье-Штарка, связанные с сильными особенностями у периодического потенциала, для которых спектр не содержит абсолютно непрерывной компоненты. При этом нет четких условий на гладкость потенциала, при которых спектр все еще чисто абсолютно непрерывный, равно как нет условий, при которых сохраняется абсолютно непрерывная компонента спектра.

Из сказанного выше ясно, что изучение как спектральных свойств оператора Ванье-Штарка, так и асимптотических свойств решений спектрального уравнения (1) в случае негладких локально суммируемых потенциалов не погружается в рамки известных построений и требует привлечения новых методов. Настоящая работа посвящена изучению этих двух взаимосвязанных вопросов. Методы, разработанные в диссертации, являются достаточно общими и могут быть успешно применены для изучения операторов более общего вида.

2. Перейдем к обзору предшествующих результатов. Один из первых результатов был получен для уравнения вида

-ф" - у(х)ф = О, х > 0.

2)

Классическое изложение материала можно найти, например, в книгах [13], [14] или [15]. В предположении, что потенциал у(х) - вещественная дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям: V[х] > О, для некоторого К > 0, было получено асимптотическое разложение при х +оо для решений уравнения (2)

Идея этого построения основана на использовании преобразования Лиувилля, которое сводит уравнение (2) к одномерному уравнению Шредингера с потенциалом близким к постоянному. Последнее уравнение возможно переписать в виде интегрального уравнения Воль-терра, которое может быть решено, например, методом последовательных приближений. Асимптотическая формула (4) носит название квазиклассического приближения.

В книге [13] (1960) было доказано, что при выполнении условий (3), природа спектра контролируется интегралом

Более точно, если интеграл (5) расходится, то спектр уравнения (2) непрерывен и заполняет всю вещественную ось, напротив, если интеграл (5) сходится, то спектр чисто точечный.

Позднее природа спектра оператора Ванье-Штарка с гладкими потенциалами была проанализирована более детально. В работах [22] (1975) и [23] (1977) было доказано, что если р(х) б С2(К+), то спектр оператора Н абсолютно непрерывен и заполняет всю вещественную

3)

Ф±(х) = тщ{щ^ЩсИ) +о(1)|. (4)

5) ось. Доказательство этого факта основано на связи между функцией Вейля и спектральной функцией [11]. Похожие результаты были доказаны в работе [41] (1972).

В работе [6] (1984) было рассмотрено одномерное уравнение Шре-дингера вида (2) с дважды непрерывно дифференцируемым потенциалом, стремящимся к плюс бесконечности. При этом на первую и вторую производные потенциала V (х) были наложены дополнительные условия, несколько более сильные чем (3). Благодаря этому были получены более детальные, по сравнению с разложением (4), асимптотики для решений уравнения (2). Методами теории рассеяния (см., например, [9], [16]) была доказана унитарная эквивалентность исходного оператора и дифференциального оператора первого порядка — г(1/¿х. В частности, была доказана абсолютная непрерывность спектра исходного оператора.

Во всех указанных выше работах авторы имели дело с дважды непрерывно дифференцируемыми потенциалами, что позволило строить асимптотические разложения для решений спектрального уравнения. Асимптотические разложения практически во всех случаях позволяли эффективно описывать спектральные свойства оператора. Вслед за этим возник вопрос о том, какова будет картина для менее гладких потенциалов. Развить новую технику построения асимптотических разложений в случае негладких потенциалов не удалось. Однако был разработан метод, который позволил проводить спектральный анализ оператора без исследования асимптотических свойств решений спектрального уравнения. В работе Мур-ра [37] (1981) был предложен метод анализа абсолютно непрерывного спектра с помощью локальных оценок на исследуемый оператор (см. также [8], [17]). С помощью оценок Мурра, в статье [24] (1983) была доказана абсолютная непрерывность спектра оператора Ванье-Штарка в предположении, что потенциал р(х) имеет ограниченную равномерно непрерывную первую производную.

Большое внимание было уделено операторам с постоянным электрическим полем и стохастическим потенциалом. В работе [24] (1983) были изучены спектральные свойства оператора Шредингера для модели Андерсона где ап независимо одинаково распределенные случайные величины и У{х) 6 Сд(0,1). Было доказано, что при Р = 0 оператор Нш имеет п. н. (почти наверное) чисто точечный спектр, а при .Р > 0 спектр становится чисто абсолютно непрерывным. Недавно, в работах [38], [39] (1997) было ослаблено условие на гладкость коэффициентов.

С другой стороны, по отношению к гладкости потенциала, в работе [30] (1985) был рассмотрен оператор Нш с потенциалом в виде V(ж) = ¿(х). Здесь было доказано, что оператор Нш при достаточно малом Р > 0 имеет п. н. чисто точечный спектр, а при больших Р > 0 непрерывный спектр. Этот пример фактически определил границу для гладкости периодического потенциала, за которой может (в случае общего положения, по-видимому, должен) исчезать абсолютно непрерывный спектр.

В дальнейшем, была сделана попытка выяснить природу спектра оператора Ванье-Штарка с сингулярными потенциалами без предположения о случайности последнего. Однако эта задача оказалась значительно более трудной. В работе [18] (1990) была высказана гипотеза о том, что спектральные свойства оператора Ванье-Штарка зависят от размера лакун в спектре чисто периодического оператора. В работе было сформулировано предположение, что для поведения лакун АЕп = 0(1/па) оператор Ванье-Штарка имеет чисто точечный спектр при а < 0, по крайней мере для нерезонансных Р, и непрерывный спектр при а > 0. При а = 0 ожидается, что спектр меняется от чисто точечного до непрерывного при росте Р. Смотри п также [25], [26].

В работе [31] (1995) был рассмотрен оператор Ванье-Штарка с периодическим потенциалом в виде суммы из 8' функций. Для него было доказано отсутствие абсолютно непрерывной компоненты спектра.

Обобщения результатов для сингулярных потенциалов содержаться в работах [19] (1997), [20] (1998), [21] (1994), [35] (1992), [36] (1995).

Наиболее интригующий случай, который находится на границе между двумя типами спектров, соответствует, по-видимому, оператору Ванье-Штарка с периодическим потенциалом в виде суммы из S функций. Существенный вклад в изучение этого оператора сделан В. С. Буслаевым в работе [27] (1999). В этой работе был предложен оригинальный метод построения асимптотик решений спектрального уравнения. На основе анализа полученных асимптотических разложений были высказаны предположения относительно природы спектра соответствующего оператора. Фактически была выяснена причина, по которой данный оператор до сих пор практически не изучен.

Отметим несколько заслуживающих внимания работ, которые находятся несколько в стороне от обсуждаемых здесь вопросов. В работах [2] (1984), [3] (1987) было рассмотрено уравнение вида

-•ф" - £хф + р{х)ф = Еф, (6) где е > 0 и р(х) - вещественная гладкая периодическая функция. Для уравнения (6) было введено понятие точек поворота, которые соответствовали границам абсолютно непрерывного спектра чисто периодического уравнения. С помощью адиабатической техники были построены асимптотики при е —V 0 решений уравнения (6). При этом полученные асимптотики оказались существенно различными в окрестности точек поворота и вне их. Идея построения асимптотических разложений в разной форме в окрестности точек поворота и вне их была с успехом использована в статье [27] для построения асимптотик решений спектрального уравнения при больших значениях аргумента.

Интересный результат был получен в работах [4] (1989), [28] (1998). Потенциал р(х) предполагался конечно зонным. Авторам удалось проследить трансформацию при предельном переходе е —у О системы проекторов, отвечающих резонансам оператора Ванье-Штарка, к спектру периодической задачи.

Многочисленные исследования были посвящены изучению возмущений оператора Штарка убывающими потенциалами. Отметим в этой связи работы [12], [33], [40].

3. Обсудим теперь логику работы и сформулируем основные положения, которые выносятся на защиту. Во всех предыдущих работах периодических потенциал предполагался либо гладким, либо сильно сингулярным (т. е. с особенностями типа дельта-функция и выше). В настоящей работе мы рассматриваем случай локально суммируемого периодического потенциала и тем самым заполняем существующий пробел в теории оператора Ванье-Штарка.

Первая глава диссертации посвящена анализу асимптотических свойств решений уравнения (1). При построении асимптотик мы используем идеи В. С. Буслаева, разработанные им в статье [27]. Опишем основную идею этого метода.

При нахождении асимптотик уравнения (1) существует серьезная трудность, связанная с негладкостью периодического потенциала. Квазиклассическая техника не позволяет ее решить. Для того, чтобы эту трудность преодолеть, мы должны перейти от исходного дифференциального уравнения к дискретной системе. Более точно, мы должны разбить положительную полуось на последовательно идущие друг за другом интервалы единичной длины [п, п + 1]. На каждом таком интервале необходимо ввести базис решений уравнения (1). Теперь на каждом интервале [п,п + 1] мы можем разложить произвольное решение уравнения (1) по базису. В результате на каждом интервале [п, п + 1] решению уравнения (1) будет поставлен в соответствие набор координат. Связь между этими координатами на соседних интервалах можно найти из условия непрерывной дифференцируемости решения. Таким образом, мы сведем изучение исходного дифференциального уравнения к дискретной системе (см. (1.1.3), (1.1.4)), описывающей связь между координатами решения уравнения (1) на соседних интервалах [п — 1, п] и [п, п + 1], где п Е N. Отметим, что для сведения исходного дифференциального уравнения к дискретной системе периодичность потенциала р(х) не требуется. Однако именно периодичность потенциала делает возможным описать эту систему в простых терминах и затем провести ее детальное исследование.

Сделаем теперь следующее формальное наблюдение. Для этого заменим в уравнении (1) сумму Е + Рх на Е и забудем на некоторое время, что Е зависит от х. В результате мы получим периодическое уравнение:

-■0" + р(х)ф = Еф, х€ Е. (7)

Мы рассматриваем последнее уравнение на всей оси, чтобы не обсуждать дискретный спектр, который может появиться в случае уравнения на полуоси. Далекие лакуны в спектре чисто периодического уравнения располагаются около точек Е = (к1)2. Как известно, решения уравнения (7) ведут себя существенно по разному, когда Е лежит в лакуне или на спектре соответствующего оператора. Поэтому можно ожидать, что точки поворота щ, удовлетворяющие уравнению Е + Рщ = (7г/)2, I Е М, играют особую роль при изучении асимптотического поведения решений уравнения (1).

Дальнейшая идея заключается в том, чтобы строить асимптотики решений отдельно в окрестностях точек поворота и вне их. При этом мы будем анализировать не дифференциальное уравнение, а дискретную систему. Асимптотики решений дискретной системы вне окрестностей точек поворота строятся с помощью адиабатической техники. При этом оказывается, что полученные разложения разрушаются при приближении к точкам поворота. Более точно, они не применимы в относительно малых, по сравнению с расстоянием между соседними точками поворота, окрестностях точек поворота. Для построения асимптотических разложений в окрестностях точек поворота, мы используем относительную малость этих окрестностей и заменяем матрицу перехода дискретной системы на ее первые члены ряда Тейлора. В результате оказывается возможным построить асимптотики решений в таких окрестностях точек поворота, которые будут пересекаться с областью применимости адиабатических асимптотик. Это позволяет сшить полученные асимптотические разложения и тем самым получить полное асимптотическое разложение на полуоси.

Сформулируем основной результат первой главы.

Теорема 1. Пусть постоянная ^ > 0 « р(х) - вещественный периодический потенциал из класса 1а [0,1], удовлетворяющий условию 1 р(х) ¿х = 0. го

Тогда произвольное решение уравнения

Jo

-ф" - Рхф+р(х)ф = Еф допускает при х —> +оо асимптотическое разложение

Ф(Х) = + + оамг1), х 6 /,.

Интервалы // задаются условием

1г = (пгьщ) \ (г/1 иг/), ц = {х : \х - щ\ < /2/3}.

Точки поворота щ задаются равенством р д(п/) = 7ГД(п) = К + —, кп = у/¥ТТп.

4 кп

При этом коэффициенты ^ и £¿+1 связаны на смежных интервалах и преобразованием

1 — -О^/, и —

5/

8) где И7/ допускает представление вида

А = е-^е^3, Г/ = + тг/|, о у' аз = (о О - ^гСОГ1^ + О(<¿1) 1 + ОЙ) ; ' а15г(71 - 5г' 5г = г7/6 + МОГ1 + «л'"1 + + Ф^-Чп/, 1

72?

•Зтг р(х)е2Шхах, з2(1) = Г х2р{х)е2Мх (1х.

2^ 7о 7о срг = вир Р{х)< Jo

2гпкх X вр1 = вир

Г Г р(у)р{х)е2™к{у~х) йу Лх Уо ./о

Вместе с этим выполнено равенство

Гщ 2-лгаг-г Г

9)

Вторая глава работы посвящена анализу спектральных свойств оператора Я. Потенциал предполагается локально суммируемым. Оператор Н на подходящей области определения будет самосопряжен (см. §2.7). При подходящем понимании спектра дискретной системы можно показать, что спектры оператора Н и системы (8) совпадают. Поэтому для наших целей будет достаточно изучать дискретную систему (8). Оказывается, что дискретная система обладает схожими свойствами с оператором Шредингера с убывающим потенциалом (матрица стремится к единичной), который в свою очередь достаточно хорошо изучен. По этой причине система (8) оказывается значительно более удобным объектом для изучения, чем исходное уравнение. Для оператора Шредингера с медленно убывающим потенциалом недавно был предложен простой способ локализации абсолютно непрерывного спектра [29]. Этот метод основан на использовании спектральных тождеств, которые получили в последнее время название тождеств БФ (Буслаев-Фаддеев) [5]. При анализе дискретной системы (8) мы следуем этой же идее. В результате для дискретной системы и, как следствие, для оператора Н получены достаточно общие условия сохранения абсолютно непрерывного спектра.

Сформулируем основные результаты второй главы в отношении спектральных свойств оператора Ванье-Штарка.

Предположение (А). ЕЕ1 ^ < оо.

Замечание. Если на интервале [0,1] периодический потенциал задается в виде р(х) = С\\х — ЯоГ1+е> гДе е > 0> ^о € [0,1] и С\ 6 Е, то предположение (А) выполнено.

Теорема 2. Пусть потенциал р{х) удовлетворяет предположению (А). Тогда абсолютно непрерывный спектр оператора Н заполняет всю вещественную ось.

Предположение (В). Ейа< 00 ■

Теорема 3. Пусть потенциал р(х) удовлетворяет предположениям (А) и (В). Тогда спектр оператора Н абсолютно непрерывен и заполняет всю вещественную ось.

Предположение (С). Е£хехр(-2Е?=11г(01г~1/2) =

Теорема 4. Пусть потенциал р(х) удовлетворяет предположениям (А) и (С). Тогда точечный спектр оператора Н пуст.

На защиту выносятся результаты теорем 1-4.

Все полученные результаты являются новыми.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях автора [Р1] - [РЗ].

4. Структура настоящей диссертации вкратце такова. Она состоит из двух довольно различных по характеру глав. Первая содержит полное доказательство теоремы 1 об асимптотическом поведении при х —У оо решений уравнения (1). Вторая содержит доказательство теоремы 2 о сохранении абсолютно непрерывного спектра оператора Н и утверждений относительно отсутствия сингулярно-непрерывного и точечного спектров (теоремы 3, 4). Каждой главе предшествует введение, более подробно характеризующее ее структуру.

1. М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве // Изд-во Ленинград. ун-та, (1980).

2. В. С. Буслаев, Адиабатическое возмущение периодического потенциала // ТМФ, (1984), том 58, стр. 233-243.

3. В. С. Буслаев, Л. А. Дмитриева, Адиабатическое возмущение периодического потенциала 2 // ТМФ, (1987), том 73, стр. 430-442.

4. В. С. Буслаев, Л. А. Дмитриева, Елоховский электрон во внешнем поле // Алгебра и анализ, (1989), том 1, вып. 2, стр. 1-29.

5. В. С. Буслаев, Л. Д. Фаддеев, О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма Лиувилля // ДАН СССР, (1960), том 132, вып. 1, стр. 13-16.

6. М. В. Буслаева, Одномерный оператор Шредингера с ускоряющим потенциалом // Функ. Анализ и Прилож., (1984), том 18, N1, стр. 65-66.

7. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды // Мир, (1965).

8. В. Кирш, Б. Саймон, Р. Фрезе, X. Цикон, Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии // Москва: Мир, (1990).

9. М. В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Москва: Наука, (1983).

10. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения // Москва: Мир, (1970).

11. Д. Р. Яфаев, Математическая теория рассеяния // Изд. С.-Петербургского унив., (1994).

12. W. О. Amrein, A. Boutet de Monvel, and V. Georgescu, CO -groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians, // Progress in Math. Ser., (1996), vol. 135.

13. P. Ao, Absence of localization in energy space of a Bloch electron driven by a constant electric force // Phys. Rev. B, (1990), vol. 41, p. 3998-4001.

14. J. Asch, P. Duclos, P. Exner, Stark-Wannier Hamiltonians with pure point spectrum, in Differential Equations, // Asymptotic Analysis, and Mathematical Physics (Potsdam, 1996), Akademie Verlag, Berlin, 1997.

15. J. Asch, P. Duclos, P. Exner, Stability of driven systems with growing gaps, Quantum rings and Wannier ladders // arXiv: math-ph/ 9807025 vl 23 Jul 1998.

16. J. E. Avron, P. Exner Y. Last, Periodic Schroedinger operators withlarge gaps and Wannier-Stark ladders, // Phys. Rev. Lett., (1994), vol. 72, p. 896-899.

17. J. Avron, L. Gunter, J. Zak, Energy uncertainty in "Stark ladder"//Solid state Commun., (1975), vol. 16, N2, p. 189-191.

18. J. Avron, J. Zak, Instability of the continuous spectrum: the N-band Stark ladder // J.Math.Phys., (1977), vol. 18, N5, p. 918-921.

19. F. Bentosela, R. Carmona, P. Duclos, B. Simon, B. Souillard, R. Weder, Schroedinger operators with an electric field and random or deterministic potentials. // Commun. Math. Phys., (1983), vol. 88, p. 387-397.

20. F. Bentosela, V. Grecchi, F. Zironi, Approximate ladder of resonances in a semiinfinite crystal. // J.Phys. C, (1982), vol. 15, p. 7119-7131.

21. A. M. Berezhkovski, A. A. Ovchinnikov, True width of electron levels in a crystal in a static electric field. // Sov. Phys.: Solid State, (1976) vol. 18, p. 1908-1911.

22. V. S. Buslaev, Kronig-Penney Electron in the Homogeneous Electric Field // Amer. Math. Soc. Transl., (1999), (2) vol. 189.

23. V. S. Buslaev, A. Grigis, Imarginary parts of Stark- Wannier resonancesJ.Math.Phys., (1998), vol. 39, N5, p. 2520-2550.

24. P. Deift, R. Killip, On the Absolutely Continuous Spectrum of One-Dimensional Schrodinger Operators with Square Summable Potentials // Commun. Math. Phys., (1999), vol. 203, p. 341-347.

25. F. Delyon, B. Simon, B. Souillard, From power pure point to continuous spectrum in disordered systems. // Ann. Inst. Henry Poincare, (1985), vol. 42, N3, p. 283-309.

26. P. Exner, The absence of absolutely continuous spectrum for delta' Wannier-Stark ladders // J. Math.Phys., (1995), vol. 36, p. 4561-4570.

27. D.J. Gilbert, D. B. Pearson, On subordinacy and Analysis of the Spectrum of One-Dimensional Schroedinger Operators //J. Math. Analysis and Applications, (1987), vol. 128, p. 30-56.

28. A. Kiselev, Absolutely continuous spectrum for Stark operators, //Trans. Amer. Math. Soc. (2000), vol. 352, p. 243-256.

29. Y. Last, B. Simon, Eigenfunction, Transfer Matrix, and Absolutely Continuous Spectrum of One-Dimensional Schroedinger Operators // Invent. Math., (1999), vol. 135, p. 329-367.

30. N. Minami, Random Schroedinger operators with a constant electric field, // Ann. Inst. Henri Poincare, (1992), vol. 56, p. 307-344.

31. M. Maioli, A. Sacchetti, Absence of the absolutely continuous spectrum for Stark-Bloch operators with strongly periodic potentials, //J. Phys. A, (1995), vol.28, p. 1101-1106.

32. E. Mourre, Absence of singular continuous spectrum for certain self-adjoint operators, // Commun. Math. Phys., (1981), vol. 78, p. 391408.

33. J. Sahbani, On the absolutely continuous spectrum of Stark Hamiltoni-ans, // mp arc preprint 00-259.

34. J. Sahbani, Propagation theorems for some classes of pseudo-t differential operators, // J. Math. Anal. Appl., (1997), vol. 211, p.481.497.

35. A. F. Vakulenko, Nonexistence of bound states for a two-particle systemin a constant electric field, // Zap. Nauchn. Sem. LOMI, (1986), vol. 152, p. 18-20.

36. J. Walter, Absolute continuity of the essential spectrum of cP/dx2+q(x) without monotony of q, // Math. Z., (1972), vol. 129 (1), p. 83-94.i