Исследование многомерного сингулярного оператора по ограниченной области с непрерывной плотностью и его приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МНОГОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНОГО

ОПЕРАТОРА В ОБОБЩЕННЫХ ГЕЛЬДЕРОВЫХ ПРОСТРАН

CTBAX.j,.

§1.1 Постановка задачи и некоторые.предварительные сведения.

§ 1.2 Основная оценка.

§ 1.3 Изучение сингулярного интегрального оператора в пространствах Ну

ГЛАВА П. ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МНОГОМЕРНОГО СИНГУЛЯРНОГО

ОПЕРАТОРА В ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА С ВЕСОМ.

§ 2.1 Вводная часть и постановка задачи

§ 2.2 Основная оценка.

§ 2.3 Изучение сингулярного оператора в весовом гельдеровом пространстве

§ 2.4 Классификация гельдеровых пространств с весом.

§ 2.5 Некоторые частные случаи

ГЛАВА Ш. О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕЕШЙ.П6,

Исследование одномерных сингулярных интегралов восходит к Гильберту и Пуанкаре. В 20-х и 30-х годах Трикоми, Жиро и Михлин перенесли эти результаты на многомерный случай.

Соответствующие ссылки на эти результаты, а также их краткое описание можно найти в монографии С.Г.Михлина [14]. В этой книге содержится также исчерпывающее изложение исследований по теории многомерных сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений.

Новый период в теории многомерных сингулярных интегралов в пространствах Lp начался в 1952г. работой Кальдерона и Зигмунда [24,25] . Основная проблема, которой посвящены исследования Кальдерона и Зигмунда - это проблема об ограниченности многомерного сингулярного интегрального оператора в пространствах

Несмотря на обширные исследования по многомерным сингулярным интегральным операторам, мало изучен вопрос ограниченности в пространствах непрерывных функций многомерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной т - мерной области с ядром Кальдерона-Зигмунда-Михлина. В этом направлении можно отметить работы Погожельского, Аниконова, Абдуллаева С.К. и др.

Подробно остановимся на тех работах, которые имеют непосредственное отношение к результатам настоящей работы.

В диссертации рассматривается многомерный сингулярный оператор р>1 A где 6- - ограниченная область в R , Рп>/2. ж характеристика /баг, 9) непрерывна на G *52 ( Q - единичная сфера в Rm ) oc,e)Je - о, ухе £, (I) i? и нелинейные интегральные уравнения, содержащие эти сингулярные интегралы.

В работе [6] Д.СьАниконов рассмотрел вопрос об ограниченнососг ти сингулярного оператора А в пространствах С {Q) непрерывных функций на Q , удовлетворяющих условию Гельдера с показателем 0<<х<1 , когда граница области £ принадлежит классу С

В [6] доказана

ТЕОРЕМА I. Пусть Q - ограниченная область с границей класса С1'* , /(>> в) - непрерывная функция на £ , удовлетворяет условию (I) и {{(Xitbj-ffatdiyi^LQxi-Xi^jfy-e,,!*) где т1ухге С- , 6U02^Q » L у Л - положительные числа.

Тогда для того, чтобы оператор Д был определен и ограничен oi — из пространства С (Q) в себя, достаточно, а также необходимо, если oc,Q)= д (в) , чтобы для всякой точки х. е £ и любой полусферы выполнялось равенство

J-f(r>6)de =0 (2) Я

Отметим, что эта теорема в одномерном случае не имеет аналога. Также отметим, что в силу этой теоремы видно, что для ограниченности оператора /\ в С (G) сингулярное ядро должно обладать дополнительным условием (2), не выражаемым в терминах гладкости характеристики в) .

Эти результаты являются еще одним оправданием того, что если характеристика f(x, 9) обладает обычными условиями гладкости (но не обладает свойством (2)), оператор /\ надо рассматривать в пространствах непрерывных в £ функций, имеющих рост в окрестности границы

В связи с этим, в работе сингулярный оператор /I рассматриваются в двух случаях:

1. область G и

6) обладают условиями типа условий теоремы I. Ставится задача: рассмотреть ограниченность оператора А в пространствах функций, удовлетворяющих обобщенному условию Гельдера на £ с мажорантой CdeM.fi (совокупность модулей непрерывности первого порядка). Этой задаче посвящена глава I,

2. Q - область с липшицевой границей, a ftaг, д) - непрерывная на функция, обладающая свойством (I), а плотность и(р непрерывная в £ . функция.

По второй задаче первые результаты принадлежат польскому математику Погожельскому [27,28,29] .

ВЦ а и доказал их инвариантность относительно оператора h в случае, когда Qck (to>/i) ограниченная область с ляпуновской границей, а параметры ос ж к удовлетворяют условиям:

О < <1 , о <h < 1, оц-h <1

По определению, непрерывная в классу Ь. , если: функция и(ос) принадлежит

1. Ы(х)1 * Г J— , Vxe я ЫюТ i 1st ь I ^

2. IU(x)-U(pl « cu -lil

Itx.y e Q г Ix-yJ *-L mini UX) t ырт; где постоянные Ск , Cu зависят разве лишь от и(х) , - 8 - пространство в норме

Нин L ~mfck + ,

О. при ы, о < ос <1, 0< h < 1

Пространства и^ аналогичны пространствам А.И.Гусейнова

Отметим, что, вообще говоря, дальнейшее исследование сингулярного интеграла (I) в случае 2, проводится по аналогии с одномерным случаем. ^

В работе [з] дано весовое описание пространств В^ , а также доказано, что Sj" остается инвариантным относительно оператора h , если 0<h<1 , о<<*<1

В работе Г4 J эти результаты обобщены как относительно класса областей G , так и относительно шкалы Банаховых пространств, о к содержащих в частности шкалу пространств О^ .

В работе [21 сингулярный оператор рассматривается по ограниченной области G с липшицевой границей 3 G (подробно см. § 2.1? и вводятся характеристики типа Я и Со (см.[2,23] ). Вводятся пространства типа Н [2 J , выражаемые в терминах характеристик S? и со с заданными мажорантами у , ^ . Найдены достаточные условия на , ^ , обеспечивающие ограниченность оператора А в пространствах Ну</> • 0

Также дано описание Нуу в виде весовых пространств На • Это описание позволяет доказать ограниченность оператора Ц

О о в пространствах // при некоторых естественных условиях на

Отметим, что в одномерном случае доказано, что каждое про-п? странство , инвариантное относительно сингулярного оператора У} и. Js » изоморфно некоторому инвариантному про s~x странству Htpip . Перенесение этого результата на многомерный случай затруднительно.

Также затруднительно изучение сингулярного оператора в терминах пространств Нмф с последующим переходом к весовым про

О р ' ' странствам .

В связи с этим ставится задача изучения оператора /\ в шка

О J3 ле пространств Нw (с разными оа.р ).

Этой задаче посвящена глава П диссертации. В частности, найдены достаточные условия на (f,co) и (р, обеспечивающие

0 р в ограниченность оператора А • Н ^ Hj[ , а также доказана неулучшаемость этих условий в определенном смысле (см. теорему 2.3.5).

В главе Ш с использованием результатов главы П доказывается разрешимость одного класса системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений.

Перейдем к изложению основного содержания диссертации. §1.1 носит вводный характер. Приводятся известные результаты об ограниченности сингулярного интегрального оператора /| в классе гельдеровых функций.

В § 1.2 приводится определение ограниченной области £е R171 с границей Ъб^С' и излагаются некоторые вопросы, связанные с

1,1 т локальными координатами. Также вводятся::

I) модуль непрерывности непрерывной в Q функции 1г :

-------| 4 '

Xi>ocze &

4(B) « suf>m I sup /Дат,,в,;-А»,ад/J.

9uezsQ В § 1.2 доказывается

ТЕОРЕМА. I.2.I. (основная). Пусть Q - ограниченная область с границей ; функция , re Q , непрерывна на , Stср }Vixj-lf(p} 7 8>о , ос-£/< S сс,уд £ ore- & , B^Q характеристики справедлива оценка »

-i'

C0r(Z) Ыса){со^(Ю i cof(l) f <f/ J^ di} +

J 6 * I ^ i2 imt^Ls +J dt}9 f у * * * efOydj где d - диаметр В § 1.3 вводится пространство Ну ■

Ну* he C(Q) : ajty = OfyW), где МН - совокупность модулей непрерывности первого порядка Г12] и доказывается

ТЕОРЕМА. I.3.I. Пусть область £ - и функция ^(ос,Ю удовлетворяют условиям основной теоремы. Если f J& м<оо, г с?,*) - яг^ад, - OflVftJ, 0 *

О л J. 8 то сингулярный интегральный оператор = действует в пространстве Ну и ограничен.

Глава П посвящена изучению сингулярного интегрального оператора в обобщенных пространствах Гельдера с весом.

В § 2.1 приводится определение ограниченной области QcR с лшшиевой границей и рассматриваются некоторые вопросы, связанные с локальными координатами.

Вводится характеристика непрерывной в области £ функции U(x) :

SuP „ lu(x)~uiy)j где x-yj<b fr =/xeQ: г(х) >f] , te(o,dl, f>о.

Пусть J>e P и Co €MH . Обозначим

УЦ 9 е С(Ю : в Vс* 1> о где //^ - множество функций Ы(ЮеС(Ю , для которых существует

I **

Ск>0 такая, что при любых х, у е G lucx)-ту)l -sc^to(/*-%!) и Шх) =*ot Ух еЭ

О j>

- В - пространство в норме

It 4 \р{хщх)- рцтуя llrl/of * IIf lr//О в IIDtl iSUp w называется пространством Гельдера с весом.

В § 2.2 получены оценки типа оценок Зигмунда, связывающие характеристики образа 1г * с теш же характеристиками прообраза j" г (теорема 2.2.1).

В § 2.3 на базе полученных оценок сингулярный оператор А изучается в весовых гельдеровых пространствах. Основные результаты главы П отражены в следующих теоремах.

ТЕОРЕМА. 2.3.1. Пусть область Q- удовлетворяет приведенным выше условиям и со , 0д1 ^МН » J>, p*G Р^О Р^ • Пусть функция в) непрерывна на множестве £ у Я. > f-f(x,d)dd=o,

VX& (г и выполняются соотношения //

Cdftt) + = ОСЩЪ) (2.3.1)

ДЪ f aj(*)atQ d{ = фт ^^ (2>3>2) Р„(Ю у i при /К< J/2 a J (I.)at(i) = 0(ц{£)) (2.3.3) Если: o(V о f f i

Р*(ю p" со ft; . * * 0)({) . M i

2)

F и pJi) /.w^ Po(i)i

V Те (оJ) , о J> О f>*

B Ha>< f 0 f' то оператор /1 действует из H^ в и ограничен.

Показана неулучшаемость условий I) и 2). В § 2.4 дана классификация гельдеровых пространств с весом.

JA u°ft

ТЕОРЕМ 2.4.1. Пространства Н^ и п^ совпадают тогда и только тогда, когда со( *.Сд2 •

О р(

ТЕОРЕМ 2.4.2. Пространство //w непрерывно вложено в

0 Н 1 тогда и только тогда, когда при jDf)j)2£p^^

Sup - <ctf<-0O

О /V*/)

2.4.3. При j>f ,j)2 е пространство Н^ компактно

ТЕОРЕМ

U Г2 вложено в п^ тогда и только тогда, когда

4 J*!L> = c

Б-§ 2.5 рассматриваются некоторые частные случаи. В главе Ш рассматривается вопрос о разрешимости системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений вида Iх- у Г v с Н неизвестными функциями, определенными на £ и выполняются условия: ограниченная область с липшицевой границей, 2) СО, р обладают свойствами а) СЛеМН.реРм

S , J б) f^Ljt^I^M-omd

О ir 8 *

Г 0 f/g РоМ рю в) . либо почти возрастает, либо почти убывает на

О, Ш) * •

3) функции

•iv(x>&) » непрерывны на G-xQ., far, с/в = Кг<?£ , и

J? а) CJj ($) + «ДО ^ 0 hp/г со/ ff/yow # ft , б) J di «

S i N в) CJf(Sfe)Cd(t) <S , JrW^

4) функции /Уу Гу;ц.Un) <У„е<Г, где С - вся комплексная плоскость удовлетворяют неравенствам:

Со1щ>)

Ро Ыр) ' " »*/

I Щ)) I "

С——^-у Мн Ж и, -и„1

И Pj^tyhvpl) »-<

5), An f yi .непрерывные на G функции, обладают P свойством: а) IkMsM. , б) Ih^hWbal,X-y0

Po (min{lix)>Up})

X7 у e - G ,

K, * h ' MH ' Мн * Mh ' кн ' кЬ " фиксиро" ванные постоянные.

Использованием результатов главы П доказывается применимость принципа Шаудера "о существовании неподвижной точки" к системе (3.1).

Доказывается

ТЕОРЕМА. Если заданные функции ^ [or, в), ^(х), hp(*)> fp — 'ftJ* удовлетворяют условиям 1)-5) и если постоянная JK' удовлетворяет условию Л/J ч<-t- , то н 2 У) мах { q, с2 ] система сингулярных уравнений (3.1) имеет по крайней мере одно ^ ^ в j) решение fh ], где На ,\)-1,.уп

Полученные результаты обобщают соответствующие Погожелского [30] и Рузметова [18] как относительно области G , так и отно

О о сительно шкалы пространств // .

Отметим, что принцип Шаудера к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям [ll,12] впервые применен А.И.Гусейновым.

Основные результаты диссертации были доложены на семинарах член-корр.АН Азерб.ССР А.А.Бабаева в Азгосуниверситете им.С.М.Кирова, на УП Республиканской научной конференции аспирантов ВУЗов Азербайджана, а также на ХХХУП Британском математическом коллоквиуме в Кембридже (апрель 1985г.).

Диссертация выполнена под научным руководством член-корр. АН Азерб.ССР, доктора физико-математических наук, профессора А.А.Бабаева и кандидата физико-математических наук, доцента С.К.Абдуллаева, которым я выражаю глубокую и искреннюю признательность.

1. Абдуллаев С.К. Многомерный сингулярный оператор в пространствах Гельдера с весом. Современные проблемы теории функции. Баку, 1980, с.43-48.

2. Абдуллаев С.К. Многомерный сингулярный интеграл по ограниченной Ш мерной области. В сб. "Исследование по линейным операторам и их приложения". Баку, 1982, с.3-19.

3. Абдуллаев С.К. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространствах гельдера с весом. ДАН Азерб.ССР, т.ХХХУ, Я 2, 1979.

4. Абдуллаев С.К. Ограниченность многомерного сингулярного оператора в некоторых пространствах и непрерывных функций. ДАН Азерб. ССР, т.ХХХУ, & 6, 1979.

5. Абдуллаев С.К., Бабаев А.А. Сингулярный оператор Коши по разомкнутому контуру в пространствах гельдера с весом. ДАН Азерб.ССР т.ХХХУ, № 5, 1979.

6. Аниконов Д.С. Об ограниченности сингулярного интегрального опеаратора в пространстве С {GO . Матем.сборник, 1977, Новосибирск 104, № 4, 515-539.

7. Бабаев А.А. К теории нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши. Учен.зап. АТУ им.С.М.Кирова, I960, № 2,с.23-34.

8. Бабаев А.А. Некоторые оценки для особого интеграла. ДАН СССР, 1966, 170, 5, I003-1005.

9. Бабаев А.А. Об одном обобщении теоремы Племели-Привалова и ее приложения. Учен.зап. АТУ, 1963, № 4.

10. Дудучава Р.В. 0 сингулярных интегральных операторах в пространствах гельдера с весом. ДАН СССР, 1970, 191, I, 16-19,.

11. Гусейнов А.И. Об одном классе нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Изв.АН СССР, сер.матем., 12, 1948, 193212.

12. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Москва, Наука, 1980.

13. Ггонтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. Москва, Гостехиздат, 1953.

14. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. Физмат., Москва, 1962.

15. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. Москва, 1977.

16. Мухтаров Х.Ш., А.М.Магомедов. О некоторых свойствах весовых пространств гельдера. ВИНИТИ, № 1735-81 Деп.

17. Пресдоф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. Мир, 1979.

18. Рузметов Э. Учен.зап.АГУ им.С.М.Кирова, сер.физ-мат.наук, 1965, № I, 13-17.

19. Сабир X. Рабии. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространствах гельдера с весом. АзНИИНТИ,241.84 Деп.

20. Сабир X. Рабии. Об ограниченности многомерного сингулярного оператора в обобщенных гельдеровых пространствах. Темат.сб. научн.трудов. Баку, 1984.

21. Сабир X. Рабии. Некоторые оценки для многомерного сингулярного интеграла в пространствах гельдера с весом. Тез.докл. УП Республ.научн.конф. аспир. ВУЗов Азербайджана, Баку, 1984.

22. Сабир X. Рабии. О разрешимости одного класса системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Темат.сб., Баку, 1985, (в печати).

23. Салаев В.В. Об одном обобщении теоремы С.Г.Михлина о поведении многомерного сингулярного оператора в классах ^ . Учен.зап. МВиССО Азерб.ССР, сер.физ-мат.наук, 1975, I, 40-46.

24. СаМе?ои А.P., iygwund Л., ои ike evidence о/сегИаи

25. Со(с1е2ои А.Р., ЪудмчиЛ fi. о и-the siugufcvL Cnie^^s, Am г. y.Malk, t9$£,i.n,p-2M-503.26. ff. kicthd., hn ~sci-Eco(e pau$49(№2).

26. Ро^о^е^кс W-> u** dasse de ^ubciion dczcon. Sci7sei, sei.mU.,Qst20H plys. №60.1 N*28. poflmetm jy., Рго$&мея. сшх. dUcch&uous. clans da Ui/оъе des f&ncttons, Qho^ii^es.Utt.A ead. PoU. sci. s^.sd.moA Q^tohJ ptys. 1Э5Э,}. мб}ъп~ъп.

27. V. S. ylodimizov , Z^ualioits 0/ MQikamHeai physicsy Mi'z puilcshew , Moscow