Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1.

часть 1.1.

часть 1.2.\.

часть 1.3.

часть 1.4.

Глава II.

часть II.1.

часть И.2.

Глава III.

часть III.1.

часть III.2.

Глава IV.

часть IV.1.

часть IV.2.

часть IV.3.".:.

Многие задачи математической физики в ходе своего решения приводят к изучению обыкновенных дифференциальных операторов. Наиболее известным и хорошо изученным объектом в теории обыкновенных дифференциальных операторов является оператор Штурма-Лиувилля - оператор второго порядка, порождаемый дифференциальным выражением

Заметим, что к виду (1) приводятся более общие дифференциальные выражения второго порядка где р(х) > 0.

При изучении операторов Штурма-Лиувилля, порождаемых на интервале (а, Ь) дифференциальным выражением (1) стандартным условием на функцию q{x) в случае конечного интервала является условие q(x) Е L\(а, Ь) (часто, чтобы не вдаваться в технические детали предполагается непрерывность q{x) (см. [1], [2])). В сингулярном случае, когда интервал (а,Ь) бесконечен, или когда функция q(x) имеет неинтегрируемые особенности на концах интервала, предполагается, что q(x) Е Li>;oc(a, Ъ).

В последние годы активному изучению подвергаются операторы Штур-ма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений. К изучению таких операторов и их многомерных аналогов —Д + q{x) приводят задачи о рассеянии нейтральных частиц на ядре [3], задачи о колебаниях электромагнитной волны в кристалле, некоторые задачи квантовой физики. Математическое исследование подобных операторов проводилось в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фадцеева [4], [5], Р. А. Минлоса [6], А. К. Фра-гела [7], С. Альбаверио, Ф. Гештези, Б. Саймона [8], [9], [10], В. Д. Кош-маненко [11], [12], Ю. Г. Шондина [13] и других авторов. В этих работах изучались операторы Шредингера и Штурма-Лиувилля с точечными потенциалами и потенциалами, сосредоточенными на слое, некотором многообразии или дискретном наборе точек. Операторы с потенциалами, не являющимися ^-функциями, изучались менее активно. Так, в работах Ж. Гунсона [14] и П. Курасова [15] в одномерном случае изучался потенциал д(х) = к

-у" + q(x)y.

1)

Основная задача первой главы диссертации - дать корректное определение оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом q(x), являющимся сингулярным распределением первого порядка, более точно, при q(x) = и'(х), где и(х) Е а производная понимается в смысле распределений.

Здесь оператор определяется явно, а случаи конечного и бесконечного отрезков рассмотрены отдельно. При этом возникает проблема однозначности определения такого оператора или проблема выбора "разумного" определения. Проблемы этого рода присутствуют во всех исследованиях посвященных операторам Штурма-Лиувилля с потенциалами - распределениями (равно как и при исследовании многомерных операторов Шре-дингера) и имеют тесное отношение к "физической перенормировке" потенциала. В данном случае оказывается, что для любой последовательности гладких функций и£(х), сходящихся в Ь^а^Ъ) к и(х), последовательность операторов —cP/dx2 + и'£{х) имеет равномерный резольвентный предел —d2/dx2 + и'(х). При этом оказывается, что условие и{х) Е £2 является существенным для наличия подобной сходимости. Некоторые способы определения операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами более высокой сингулярности изучаются в четвертой главе диссертации.

В первой части первой главы диссертации (часть 1.1) описан метод, позволяющий определить оператор L, действующий в пространстве 0,1], с помощью дифференциального выражения (1) при условии, что потенциал q{x) является сингулярным распределением первого порядка, то есть q{x) = и'(х), где и{х) Е £2[0,1], а производная понимается в смысле обобщенных функций ((q,(p) = —(и,<р') для любой бесконечно дифференцируемой функции <р(х) с компактным носителем на (0,1)). Метод состоит в следующем. Введем квазипроизводную = у'{х) — и{х)у(х) и перепишем выражение (1) в виде

1(у) = -(У[1]У -<х)уЫ-и\х)у.

С квазидифференциальным выражением 1{у) свяжем максимальный оператор Lm и минимальный оператор Lm, определенные равенствами

Г LMy - %), V(LM) = -Ы у, Z/U е w}[0,1], 1(у) Е L2(0,1)}, ЬтУ = %), V(Lm) = {у\у Е V(LM),y( 0) = ^1(0) = у( 1) = уМ(1) = 0}.

Функция и{х) не предполагается вещественной. Обозначим через 1(у) дифференциальное выражение —у" + й'(х)у. Через Lm и Lm обозначим максимальный и минимальный операторы, порожденные Т(у). Оператор F с плотной областью определения в гильбертовом пространстве называется фредгольмовым, если его образ замкнут, а числа {«,/?} соответствующие размерностям ядра и коядра конечны. Пару {се,/?} называют дефектными числами оператора F, а число а — (3 — индексом F.

Далее доказываются следующие теоремы

Теорема 1.1 При любом А Е С операторы Ьт — А и Ьм — А фредголь-мовы, а их дефектные числа равны {0,2} и {2,0} соответственно. Рассмотрим расширение L оператора Ьт, являющееся сужением оператора Ьм на область вида

V(L) = {у\уе V(LM),Uг(у) = U2(y) = 0}, где линейные формы U\, U2 имеют представление

Щу) = fljiy(O) + W1](0) +bjiy(l) + &j2y[1]( 1) = 0. j = 1,2, (2)

Тогда оператор L имеет непустую резольвенту тогда и только тогда, когда коэффициенты ajk и bjk, j, к = 1,2 удовлетворяют одному из следующих условий 1)—3) (невырожденные краевые условия (см. [2], [16])).

1) J42 ф 0;

2) J42 = 0, J14 + hi ф 0; (3)

3) J42 = 0,Ji4 + J32 = 0,Ji3^0; где Jap - определитель составленный из а- и (3-го столбцов матрицы f an a>i2 hi bu А ^ a2i а22 b2i Ъ22 )'

Теорема 1.2 Пусть и(х) — вещественная функция. Тогда Ьт — замкнутый симметрический оператор с индексами дефекта {2,2}; а всякое его самосопряженное расширение L является сужением оператора Ьм но-область вида

V(L) = {у\уе V(LM), UM = U2{y) = 0}, где линейные формы U\, U2 имеют представление (2), для коэффициентов которых выполнены равенства ajiak2 - aj2<iki = bjibk2 - bj2bki, j, к - 1,2.

Во второй части первой главы диссертации (часть 1.2) решена следующая проблема. Пусть щ(х) Е ^(0,1) и ие{х)~ семейство гладких функций на [0,1], таких, что

IMs) - «oMIk 0 при £ У 0. (4)

Считаем, что 0 < £ < 1, и обозначим через Ь£ семейство операторов, порожденных дифференциальным выражением —d2/dx2 + и'е{х) и краевыми условиями Ui(y) = U2(y) = 0, где линейные формы V\ и Щ имеют вид (2) и выполнено одно из условий (3).

Теорема 1.3 Условие (4) влечет равномерную резольвентную сходимость операторов Le при £ 0. Оператор Lq имеет дискретный спектр, а скорость приближения собственных значений АДе) операторов Ь£ к соответствующим собственным значениям А^(0) оператора Lq допускает оценку h{e)-\k{0)\<Ck\\ue{x)-m{x)\\ll^ где С к зависит от к, но не зависит от £, а р - число элементов наиболее длинной жордановой цепочки, отвечающей собственному значению

Ajfe(0).

Эта теорема позволяет, во-первых, в вычислениях заменить оператор Lq с сингулярным потенциалом на оператор Le с подходящим гладким потенциалом; во-вторых, дать новое определение оператора Lq с помощью предельного перехода (результат не зависит от выбора сходящейся к щ(х) последовательности гладких функций и£(х)).

В третьей части первой главы диссертации изучается случай всей оси. При этом предполагается, что q(x) вещественна и сингулярные особенности потенциала не уходят на ±оо. А именно, q(x) = v(x) + и'(х), (5) v € LUoc, и(х) € L2,ioa эирргф) С (~N,N). Минимальный оператор определяется на области

V(Lm) = [у € L2(R)| suppy с R, yjl] € W}Joc, l(y) e L2(R)} .

Через Tm обозначен оператор, в котором вместо q(x) участвует регулярная функция v(x) из (5). Очевидно, операторы Lm и Тт симметрические и имеют равные дефектные числа, так как коммутируют с оператором сопряжения.

Кроме того, предполагается, что на обоих концах прямой имеет место случай предельной точки Вейля. Достаточным условием для этого является, например, условие Тичмарша

Ф) > -C-Cix2. (б)

Известно, [1, гл. 2], что при выполнении этого условия оператор X, являющийся замыканием оператора Тт, самосопряжен. Так как носитель и(х) финитный, то описание области определения замыкания проводится также как в классическом случае.

Основной результат этой части

Теорема 1.4 Пусть L — замыкание минимального оператора Lm. При выполнении условий (5) и (6) оператор L самосопряжен. Непрерывные спектры операторов Т и L совпадают. Если точка р £ М U ±оо является точкой накопления слева или справа дискретного спектра оператора Т, то она является такой же для оператора L и наоборот, причем соответствующие асимптотики собственных значений совпадают.

В последней части первой главы диссертации (часть 1.4) показано, что условие принадлежности функции и(х) пространству L2 является существенным в предложенном методе. А именно, если последовательность гладких функций ие(х) такова, что \\и£ — иЦ^ —¥ 0 при £ —0, р < 2 то последовательность операторов Ь£ может вовсе не иметь предела или этот предел будет различаться для разных последовательностей и£(х). Здесь также разобраны различные примеры:

Пример 1. Оператор с потенциалом q(x) = С5(х), х £ [—1,1];

Пример 2. 1(у) = -у" + sjSpt/, где х G [-1,1], а параметр а > аг^-1;

Пример 3. Предложенный метод позволяет определить оператор Штур-ма-Лиувилля для потенциалов q(x), имеющих сколь угодно высокую сингулярность во внутренней точке, при условии, что сильный рост потенциала компенсируется сильной осцилляцией. Примером может служить функция q(x) — £-3(ехрх~4) sin(exp:r-4), х £ [—1,1].

Одной из основных задач, возникающих при изучении операторов Штурма-Лиувилля является задача о получении асимптотических формул для собственных значений и собственных функций таких операторов. Для гладких потенциалов эти асимптотические формулы являются классическими и принадлежат Лиувиллю. Для классических операторов наиболее полные результаты имеются в монографии В. А. Марченко [16].

Во второй главе диссертации подобные асимптотические формулы получены для операторов с потенциалами — распределениями. Для получения асимптотических формул применяется следующий метод.

В соответствии с определением оператора L, уравнение 1(у) = Ху можно записать в виде системы

Сделаем замену

Уг(х, Л) = г(х, A) sin#(x, Л), У2(х, А) = Л*г(х, Л) cos 9(х, Л) ее можно трактовать как переход к обобщенным полярным координатам), которая является модификацией замены Прюфера (см. [17]). Тогда систему (7) можно записать в виде г' sin в Н- г в' cos в = иг sin в + X^r cos0, X^r' cos 9 — Х^гв' sin в = — Xr sin в — u2r sin 9 — X^-ur cos 0, где г = г(х, Л), 9 = 0(я,А), и = и(я), а все производные есть дифференцирование по переменной х. В результате получаем уравнение на функции 9(х, А) и г(х, Л):

9'(х, X) = Д5 + Л-5м2(a:) sin2 Л) + и(х) sin 2в(х, А), (8) г'(х, Л) = — r(x, X) и х) cos 29{х, X) + \x~l/2u2{x) sin 20(ж, Л)

Li

9)

Таким образом, происходит переход от системы (7) к системе двух уравнений (8), (9). Эти уравнения не являются линейными. Основное достоинство новой системы состоит в том, что уравнение (8) не содержит неизвестной функции r(x, X) и является независимым дифференциальным уравнением на функцию 9(х, А). Далее в двух леммах устанавливаются асимптотические формулы для функций (8) и (9), применяя которые, получаем асимптотику собственных значений и собственных функций оператора L.

Теорема 2.1 Пусть оператор L определен на отрезке [0,7г] так, как это было сделано в главе 1 (см. теорему 1.2) и выполнено одно из условий (3). Тогда собственные значения оператора L имеют асимптотику

К = п2 + nsn, где {sn}™=l 6 h•

В случае разделенных краевых условий (условия типа Штурма), используемый метод позволяет доказать более точные асимптотические формулы. Во второй части второй главы диссертации (часть 2.2) это сделано на примере краевых условий Дирихле у(0) = у(7г) = 0. При этом, формулы зависят от степени гладкости функции гг(ж) (потенциал не предполагается вещественным).

Через Ла, 0 < а ^ 1 обозначены функции класса Липшица порядка а на отрезке [0,7г], т.е. те функции, чей модуль непрерывности := sup |/(zi) - f(x2)|, при \хх-х2\ <S гьх2€[0,7г] допускает оценку где С не зависит от 5. Через V обозначен класс функций ограниченной вариации на [0,7г].

Общие формулировки теорем 2.2 и 2.3 достаточно громоздки и требуют введения многих обозначений. Мы приведем их здесь в ослабленном варианте.

Теорема 2.2 Пусть Хп - собственные значения оператора S. Тогда

7Г

XlJ2 = J u(t) sin(2 nt)dt + sn, где числа sn есть

0(n~2) в случае, когда и(х) Е V;

0(п~2а) в случае, когда и(х) Е Ла/ последовательность из пространства 1Р для любого р > I в случае вещественной и(х) Е L/2> последовательность из Iесли дополнительно выполнены условия

A) '[}{u{x + t)-u{x-t))2dt<+oo, о о

У У и2(х + t) - и2(х - t) , В) / / t---~dt < о о

Обозначим

X X ап(х) J u(t) sm(2nt)dt, Ъп(х) := J u(t) cos(2nt)dt, о о

7Г

1 r an = — / u(t) sin(2nt)dt. 7Г J 0

Теорема 2.3 Собственные функции оператора L удовлетворяют асимптотике уп(х) = sin(пх) [1 - Ъп(х)] + cos(пх) [апх + ап(х)J + фп(х), причем

Фп(х) = О (п~2) равномерно по х £ [0,7г]; если £ V; Фп{х) = О (п~2а) равномерно по х £ [0,7г]; если £ Ла/ оо оо; для любого р > 1, если и(х) £ L2 и вещественнозначна; п-1 со

1^(^)1 ^ если дополнительно выполнены условия А) и В). п=1

Отметим, что для случая и(х) £ V сформулированные результаты были впервые получены В. В. Жиковым [18] с помощью другого метода.

В третьей главе диссертации изучается другая важная проблема в теории операторов Штурма-Лиувилля — задача о вычислении регуляри-зованных следов - рядов вида оо п=1 где vn{k) предъявляются явно. В 1953 году И. М. Гельфанд и Б. М. Левитан [19] в предположении непрерывной дифференцируемости функции с нулевым средним q{x) получили замечательную формулу регуляризован-ного следа q{ 0) + д(тг) оо а* - 9) = k=1

Эта работа получила многочисленные продолжения в работах Л. А. Дикого [20], [21], М. Г. Крейна [22], Б. М. Левитана, Р. Ф. Шевченко [23]. [24],

В. А. Садовничего, В. Б. Лидского [25], [26], [27], [28], В. А. Марченко [16], В. А. Любишкина [29], В. Е. Подольского [30], В. В. Дубровского [31], [32], П. Д. Лакса [33], Ф. Гештези, Б. Саймона [34] и других авторов. Для обобщения этой формулы на случай операторов как второго, так и высших порядков, а также для операторов в частных производных, были развиты несколько тонких методов. Первый из них основан на исследовании гиперболического уравнения для ядра данного оператора. Другой мощный метод связан с изучением дзета-функции оператора. Он был развит не только для подсчета следов операторов, но и для вычисления регуляризо-ванных сумм корней некоторых целых функций. Третий метод использует параболическое уравнение для аналитической полугруппы, генерируемой оператором —5. Четвертый метод использует резольвентные тождества. Наконец пятый метод основан на теории возмущений операторов.

В третьей главе диссертации получена формула регуляризованного следа первого порядка для оператора 5, порожденного дифференциальным выражением (1) и краевыми условиями Дирихле у(0) = у(7г) = 0. Здесь А/. - собственные значения оператора 5, и предполагается, что среднее потенциала q(x) равно нулю.

Пусть q(x) 6 Q[0,tt], т.е. ее обобщенная первообразная и(х) Е BV и непрерывна в точках 0 и тт. В силу того, что среднее потенциала равно нулю, и{я-) — и(0) = 0. Так как первообразная определена с точностью до постоянной, то можно считать, что и(0) = w(0+) = и(7г) = и(тс—) = 0. Воспользуемся представлением и(х) = v(x) + h(x), где h(x) - функция скачков, a v(x) £ С[0,7г] (отделение сингулярной непрерывной компоненты далее не потребуется). Функция h(x) имеет не более счетного числа скачков в точках {#/}. Для определенности нормируем функцию h(x) в точках разрыва условием h(xj + 0) = h(xj). Если hj = h(xj) — h(xj — 0) скачки функции, то ряд ^ \hj\ сходится, а потому сходится ряд Щ. j j

Теорема 3.1 Пусть {Ап}^ — собственные значения оператора S, порожденного (1) и условиями Дирихле, с потенциалом q(x) класса Cq , а ж bk == ^ f u(x) cos kxdx. Тогда о

00 ^ 71=1 j где hj - величины скачков функции u(x) = f q(x) dx.

Теорема 3.2 Если в условиях теоремы 3.1 функция и(х) = f q(x)dx дифференцируема в точках 0 и тт, то следующий ряд суммируем методом средних, причем (10)

71=1 j

В частности, если q(x) регулярная (т.е. суммируемая) функция в окрестностях концов О и тт и непрерывна в этих точках, то сумму и'{0) + и'(тг) в (10) можно заменить на q{0) + q(7г).

В четвертой главе диссертации предложен метод, позволяющий определить операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами q(x), у которых обобщенная первообразная уже не есть элемент L2. В первой части четвертой главы операторы L(a) с потенциалами |х|а на отрезке [—1,1] определяются методом аналитического продолжения для Re а > —2.

Положим на отрезке х 6 [0,1]

Uiix) = m-l'mT{l - 1) ^J-l/m{

-xm'2 m

U2(x) = ml'mY (l + V^Ji/m (^m/2)> где m = 2 + cx, Rem > 0, m ф n — 1,2,3,., Г(-) - гамма функция, a Jv{-) - функции Бесселя. Теперь продолжим функцию Ui(x) четным, а функцию U2(x) нечетным образом на отрезок х Е [—1,0]. Эти функции являются фундаментальной системой решений однородного уравнения

-у"-\х\ау = 0.

Определим оператор L(a) равенствами

L(a)y = l(z),

V{L{a))=\y(x) = AUi(x) + BU2(x) 4- z(x)

A, Be С; z(x)eWi[-1,1];' *(0) = *'(0) = 0; y(±l)=0.

Теорема 4.1 T>(L(a)) плотно в Li- Резольвентное множество p(L(a)) не пусто и для любого A Е p(L(aо)) резольвента R\ = (L(a) — А)-1 компактна. Семейство операторов R\(a) ограниченно голоморфно в некоторой окрестности точки aQ по параметру а (при фиксированном X). Сами операторы L(a) образуют неограниченное самосопряженное голоморфное семейство при а £ Па, где область

Па := {а I Re а > -2, а ф -2 + п- 1,2,3,.}. п

Спектр L(a) дискретен, а собственные значения аналитичны по а и более того, не имеют особенностей. Все операторы L(a) полуограничены снизу.

Во второй части четвертой главы диссертации (часть 4.2) доказано, что при а = — 2 + п = 1,2,3,. операторы L{a) распадаются в прямую сумму операторов на отрезках [—1,0] и [0,1].

В третьей части (часть 4.3) те же операторы L(a) определяются методом последовательной регуляризации дифференциального выражения (1).

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 100-летию со дня рождения И. Г. Петровского, Москва, 2001 г.

- Международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль, 2000 г.

- Международной научной конференции "Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики" им. Г. Ф. Лаптева, Москва, 1999 г.

- Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам, 2000 г., 2001 г.,

- Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач", 2001 г.,

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах:

- "Несамосопряженные операторы", руководители—профессор А. Г. Ко-стюченко и профессор А. А. Шкаликов,

- "Спектральная теория операторов", руководитель — академик РАН, профессор В. А. Садовничий,

- "Операторные модели в математической физике", руководители — профессор А. Г. Костюченко, профессор А. А. Шкаликов, доцент И. А. Шей-пак,

- "Негармонический спектральный анализ", руководители — профессор А. М. Седлецкий и профессор В. В. Власов.

14

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора

35]-[39].

Автор благодарит своего научного руководителя профессора А. А. Шпаликова за постановку задач, их полезные обсуждения и постоянный интерес к работе. Автор также благодарит профессора А. Г. Костюченко и всех участников семинара "Несамосопряженные операторы" за плодотворные дискуссии.

1. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, Т.З Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука,1989.

4. Березин Ф. А., Фаддев Л. Д. Замечания об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР. 1961. Т.137. №7. С. 10111014.

5. Березин Ф. А. О модели Ли // Матем. сб. 1963. Т.60. вып. 4. С. 425-446.

6. Минлос Р. А., Фаддев Л. Д. О точечном взаимодействии для систем из трех частиц в квантовой механике // ДАН СССР. 1961. Т.141. №6. С. 1335-1338.

7. Фрагела А. К. О возмущении полигармонического оператора потенциалами с малыми носителями // ДАН СССР. 1979. Т.245. №1. С. 34-36.

8. Albaverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Some exactly solvable models in quantum mechanics // Springer-Verlag. 1988.

9. Gesztezy F., Simon B. Rank-One Perturbations at Infinite Coupling // J.Funct.Anal. 1995. V.128. P. 245-252.

10. Kiselev A., Simon B. Rank One Perturbations with Infinitesimal Coupling // J.Funct.Anal. 1995. V.130. P. 345-356.

11. Koshmanenko V., Karwowski W., Ota S. r Schrodinger operator perturbed by operators related to null-sets // Positivity. 1998. V.2. №1. P. 77-99.

12. Кошманенко В. Д. Возмущения самосопряженных операторов сингулярными билинейными формами // Укр. Мат. Журн. 1989. Т.41. №1.

13. Gunson J. Perturbation theory for a Sturm-Liouville problem with an interior singularity // Proc.R.Soc.London. A 414. 1987.

14. Kurasov P. On the Coulomb potentials in one dimension //J. Phys. A 29. 1996. №. P. 1767-1771.

15. Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

16. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970.

17. Жиков В. В. Об обратных задачах Штурм а-Л иу в и л л я на конечном отрезке // Изв. АН СССР. Серия математика, Т. 31, №5, 1967, С. 965-976.

18. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР, 1953, Т. 88, №4, С. 593-596.

19. Дикий Л. А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана // УМН, 1953, Т. 8, вып. 2, С. 119-123.

20. Дикий Л. А. Дзета-функция обыкновенного дифференциального уравнения на отрезке // Изв. Акад. Наук, 1955, математика, Т. 19, №4

21. Крейн М. Г. Об определителях возмущения и формуле следов для унитарных и самосопряженных операторов. // Докл. АН СССР, 1962, Т. 144, №2, С. 268-271.

22. Левитан Б. М. Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиувилля // УМН, Т. 19, вып. 1. 1964, С. 161-165.

23. Шевченко Р. Ф. Регуляризация следа обыкновенного дифференциального оператора // Вестник МГУ, 1965, №6

24. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Докл. АН СССР, 1967, Т. 176, №2, С. 259-262.

25. Садовничий В. А. О следе разности двух обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Дифф. ур., 1966, Т. 2, №12, С. 1611-1624

26. Садовничий В. А. О тождествах для собственных значений системы Дирака и некоторых других систем высшего порядка // Вестник МГУ, 1967, №3, 37-47

27. Садовничий В. А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Мат. сборник, 1967, Т. 72, вып. 2, С. 293-317.

28. Садовничий В. А., Любишкин В. А. Формулы следов и теория возмущений // Докл. АН СССР, 1988, Т. 300, №5.

29. Любишкин В. А., Подольский В. Е. О суммируемости регуляризован-ных следов дифференциальных операторов // Матем. заметки, 1993. Т. 54, вып. 2. S. 33-38.

30. Садовничий В. А., Дубровский В. В. О некоторых соотношениях для собственных чисел дискретных операторов. Формулы следов для дифференциальных операторов в частных производных // Дифф. vp., 1977, Т. 13, №11, С. 2034-2042.

31. Дубровский В. В. Регуляризованный след оператора Штурма-Лиувилля // Дифф. ур., Т. 16, №6, 1980.

32. Lax P. D. Trace formulas for the Shroedinger operator // Comm. Pure Appl. Math., 1994, V. 47, №4, P. 503-512

33. Gesztesy F., Holden H., Simon В., Zhao Z. Trace formulae and inverse spectral theory for Schroedinger operators // Bull. Amer. Math. Soc., 1993, V. 29, №2, P. 250-255

34. Савчук A. M., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, Т. 66. №6. 1999.

35. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с ^-потенциалом // Успехи мат. наук, 2001

36. Савчук А. М. О собственных функциях и собственных значениях операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, Т. 69. №3. 2001.

37. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Формула следа для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, Т. 69.т. 2001.

38. Нейман-заде М. И., Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами // Труды одиннадцатой Крымской Осенней Математической Школы-Симпозиума по спектральным и эволюционным задачам. Симферополь. 2001.

39. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир. 1978.

40. Нейман-заде М. И., Шкаликов А. А. Операторы Шредингера с сингулярными потенциалами из пространств мультипликаторов // Матем. заметки, Т. 66. №5. 1999.

41. Everitt W. N. A note on linear ordinary quasi-differential equations // Proc. Math. Soc. Edinburg, Sect.A., 1985, V.101, №1-2, P.l-14.

42. Everitt W. N. Markus L. Controllability of r]-matrix quasi-differential equations // J.Differential Equations. 1991. V.89. №1. P.95-109.

43. Everitt W. N., Zettl A. Differential operators generated by a countable number of quasi-differential expressions on the real line // Proc. London Math. Soc. Ser.3. 1992. V. 64. №3. P.524-544.

44. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1972.

45. Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных операторов и ее приложения 1,11// Матем. сб. Т. 20. 1947. №3. С. 431— 490; Т. 21. 1947. №3. С. 365-404.

46. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах М.: Мир. 1970.

47. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука. 1965.4950 515357