Приближение семействами линейных полиномиальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.51

Руновский Константин Всеволодович

ПРИБЛИЖЕНИЕ СЕМЕЙСТВАМИ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 0 22Ю

Москва 2010

004602401

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Потапов Михаил Константинович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Иванов Валерий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Калябин Геннадий Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Кротов Вениамин Григорьевич

Ведущая организация:

Московский физико-технический институт

Защита состоится 21 мая 2010 года в 16 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан 49 Апреля. 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

И. Н. Сергеев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Классическая теория тригонометрической аппроксимации посвящена вопросам приближения непрерывных или, по крайней мере, интернируемых функций. Основной шкалой пространств, таким образом, традиционно являлась шкала Lpi где 1 < р < +оо. Созданием и изучением приближающих конструкций в этой ситуации занимались выдающиеся математики 19 и 20-ого веков, такие как JI. П. Чебышев, А. Лебег, Д. Джексон, Ш. Валле-Пуссен, JI. Фейер, Ж. Фавар, А. Зигмунд, М. Рисс, С. Н. Бернштейн, С. М. Никольский и другие. Основные результаты классической теории описаны во многих монографиях и книгах (см., например,1 2 3 4). Отметим при этом, что наиболее распространенными методами приближения периодических функций являлись средние ряда Фурье и интерполяционные средние, построенные с помощью тех или иных тригонометрических ядер, т. е., линейные полиномиальные операторы.

В последние десятилетия появился, однако, целый ряд теоретических и практических проблем, прежде всего в теории дифференциальных уравнений и теории обработки данных и сигналов, в которых потребовалось приближение неинтегрируемых функций, а также численное приближение и интегрирование сильно осциллирующих функций. Таким образом, возникла необходимость распространения результатов теории приближений на случай пространств Lp, где 0 <р < 1, а также создания новых методов приближения и численного интегрирования, обеспечивающих нужную точность результата без существенного увеличиния порядка количества узлов интерполяции или кубатуры.

Функции из Lp при 0 < р < 1 могут быть неинтегрируемыми, поэтому понятие ряда Фурье теряет смысл, а классические методы приближения становятся заведомого непригодными. Проблема оказалась, однако, более глубокой. Дело в том, что для 0 < р < 1 вообще не существует нетривиальных линейных ограниченных функционалов и полиномиальных операторов (см., например, 5). В силу этого обстоятельства, принципиальный вопрос - "чем приближать" в Lp при 0 < р < 1 - долгое время оставался открытым. Различными математиками в разное время был разработан целый ряд специальных методов, позволяющих решать те или иные частные задачи. Так, например, для доказательства в случае 0 < р < 1 классической прямой теоремы теории приближений, т. е. оценки величины наилучшего приближения тригоно-

1 Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физ-матгиз, 1960.

2 Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

3 DeVore R., Lorenz G. Constructive Approximation. Berlin-Heidelberg: Springer, 1993.

4 Butter P., Nessel R. Fourier Analysis and Approximation. Vol. 1. New-York k London: Acad. Press, 1971.

5 Rudin W. Functional Analysis. McGraw-Hill Inc., Second edition, 1991.

метрическими полиномами посредством модулей гладкости данной функции одной переменной, в работах Э. А. Стороженко, В. Г. Кротова, П. Освальда 6 и В. И. Иванова 7 был разработан метод промежуточной аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями, с помощью которого удалось также решить и некоторые многомерные задачи 8 9. Однако, этот метод оказался малоэффективным для решения целого ряда проблем, в частности, он не позволил перенести на случай 0 < р < 1 прямую и обратную теоремы М. К. Потапова о связях наилучшего приближения "углом" и смешанных модулей гладкости 10. То же самое замечание касается и прямой и обратной теорем для сферического дискретного модуля непрерывности, установленных для 1 < р < +оо 3. Дитцианом11. Другой пример. В работах П. Освальда 12 и Р. Таберского 13 было изучено качество аппроксимации некоторыми средними ряда Фурье в метрике Lp при 0 < р < 1 для функций, принадлежащих тем или иным классам, компактно вложенным в Li. Позитивные результаты получались при этом, лишь при некоторых ограничениях нар, например, в случае средних Валле-Пуссена только для р > 1/2, однако природа константы 1/2 осталась невыясненной. Следует отметить также, что как упомянутые, так и иные похожие методы, разработанные для случая 0 < р < 1, являются неконструктивными, и в частности, не позволяют разработать на их базе эффективные вычислительные процедуры приближения произвольной функции из пространства Lp при 0 < р < 1.

В классическом же случае 1 < р < +оо, где теоретические вопросы достаточно глубоко проработаны, тем не менее возникает целый ряд проблем вычислительного характера. Дело в том, что в целях обеспечения нужной точности результата в задачах численного интегрирования количество узлов той или иной кубатурной формулы должно существенно превышать количество осцилляций данной функции на периоде, что в свою очередь, мо-

6 Стороженко Э. А., Кротов В. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Матем. сборник. 1975. Т. 98. №3. С. 395-415.

7 Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближений в метрике Ьр для О < р < 1 // Мат. заметки. 1975. Т. 18. № 5. С. 641-658.

8 StoTozhenko Е. A., Oswald P. Moduli of smoothness and best approximation in the spaces Lp, 0 < p < 1 // Analysis Math. 1977. Vol. 3. № 2. P. 141-150.

9 Стороженко Э. А., Освальд П. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn), 0 < р < 1 // Сиб. матем. журнал. 1978. Т. 19. № 4. С. 888-901.

10 Потапов М. К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math. Balkanica. 1972. № 2. С. 183-188.

11 Ditzian Z. Measure of smoothness related to the Laplacian //Urans. AMS. 1991. Vol. 326. P. 407-422.

12 Освальд П. О скорости приближения средними Валле-Пуссена тригонометрических рядов в метрике Lp, 0 < р < 1 // Изв. Акад. наук Армянской ССР. 1983. Т. 18. С. 230-245.

13 Taberski R. Approximation properties of some means of Fourier series // Funct. et Approx. 1998. Vol. 26. P. 275-286.

жет привести к недопустимому увеличению погрешности вычисления. Неэффективность классических кубатур, таких как, формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, для подсчета интегралов от сильно осциллирующих функций показана У. Эренмарком 14. Замечая, что подсчет коеффициентов Фурье относится к числу задач именно такого типа, можно сделать вывод о том, что даже в случае пространства Li, где полином наилучшего приближения совпадает с соответствующей частичной суммой ряда Фурье, т. е. где задача приближения теоретически полностью решена, также могут возникнуть серьезные вычислительные проблемы.

Таким образом, в теории приближений появился целый ряд теоретических и прикладных задач, которые не удалось решить уже разработанными методами. Оказалось, что как выше перечисленные, так и многие другие проблемы могут быть успешно решены в полной шкале Lp, где 0 < р < +оо, путем введения новых универсальных методов приближения, названных семействами линейных полиномиальных операторов (СЛПО) 15 16.

Задача изучения качества методов приближения, т. е. определения скорости стремления к 0 последовательности их аппроксимационных ошибок, в терминах тех или иных структурных характеристик индивидуальной функции как, например, модули гладкости или Jf-функционалы, является одной из классических проблем теории приближений, которой в случае 1 < р < +оо занимались многие авторы. Отметим, например, результат Р. Тригуба 17 об эквивалентности ошибки приближения средними Бохнера-Рисса В„ индивидуальной функции d переменных из Lp, 1 < р < +оо, ее сферическому модулю непрерывности в случае а> (d — 1)/2. Пример средних Фейера показывает, однако, что классических модулей гладкости оказывается недостаточно для описания качества аппроксимации даже в простейших случаях. Определенное расширение понятия гладкости было достигнуто путем перехода к Х-функционалам, изначально возникшим в работах Ж. Петре по теории интерполяции пространств (о свойствах Л'-функционалов с точки зрения теории приближений см., например, книгу 3). Так в частности, в работе 3. Дитциана, В. Христова и К. Иванова 18 было отмечено, что ошибка приближения средними Фейера в метрике С эквивалентна А'-функционалу, соответствующему производной Рисса. Задача же об эквивалентности ошибки

14 Bkrenmark U. Т. A three-point formula for a quadrature of oscillatory integrals with variable frequency // J. Comput. Appl. Math. 1988. Vol. 21. P. 87-99.

15 Руновский К. В. О семействах линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Мат. сборник. 1993. Т. 184. № 2. С. 33-42.

16 Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальны« операторов

в пространствах Ьр, 0 < р < 1 // Мат. сборник. 1994. Т. 185. № 8. С. 81-102.

17 Тригуб Р. М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость радов Фурье и аппроксимация полиномами на торе // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т.44. С. 1378-1409.

18 Ditzian Z., Hristov V., Ivanov К. Moduli of smoothness and ЛТ-functionals in Lp, 0 < p < 1 // Constr. Approx. 1995. Vol. 11. P. 67-83.

приближения средними Бохнера-Рисса в случае а > (d — 1)/2 в метрике Lp при 1 < р < +оо ЯГ-функционалу, соответствующему оператору Лапласа, была решена в работе 19. Возможности применения /("-функционалов оказались, однако, весьма ограниченными. Определенная "паталогичность" их свойств в Lp при 0 < р < 1 была отмечена Ж. Петре 20. Истинный же характер этой "паталогичности" был прояснен В. Христовым и К. Ивановым, показавшим, что /¡'-функционалы, соответствующие обычным производным и оператору Лапласа, тождественно равны 0, если 0 < р < 1 21. В этой же работе были введены их реализации - новые объекты, оказавшиеся пригодными для описания гладкости уже для всех О < р < +оо.

Таким образом, в целях решения проблемы качества аппроксимации индивидуальных функций из Lv в ее наиболее общей постановке, охватывающей в частности СЛПО и методы, произведенные классическими ядрами, естественным образом возникла необходимость введения и изучения обобщенных /¡"-функционалов и их реализаций, произведенных операторами мультипли-каторного типа.

Цель работы. Основная цель работы - систематическое изучение семейств линейных полиномиальных операторов (СЛПО) в шкале пространств Ьр, О < р < +оо, периодических функций одной и нескольких переменных, в частности, исследование их сходимости и качества аппроксимации с помощью реализаций обобщенных ¿¡"-функционалов, порожденных однородными функциями, а также создание теоретической основы для разработки эффективных вычислительных процедур приближения.

Методика исследования. В диссертации используются методы теории функций одной и многих действительных переменных, теории вероятности, функционального анализа в (квази)банаховых пространствах и анализа Фурье.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. Основные достижения могут быть представлены следующим образом:

• установлены критерии сходимости СЛПО в терминах преобразования Фурье генератора; в случае 1 < р < +оо показана эквивалентность СЛПО классическим методам приближения; для СЛПО, произведенных классическими ядрами найдены их точные ранги сходимости;

• доказана теорема о стохастической аппроксимации, служащая основой для эффективного, быстродействующего, экономичного и универсального алгоритма приближения функций из Lp для всех 0 < р < +оо;

19 Ditzian Z. On Fejer and Bochner-Riesz means //J. Fourier Anal. Appl. 2005. Vol. 11. № 4. P. 489-496.

20 Peetre J. A remark on Sobolev spaces // J. Approx. Theory. 1975. Vol. 13. P. 218-228.

21 Hrisiov V., Ivanov K. Realizations of K-functionals on subsets and constrained approximation // Math. Balkanica. 1990. Vol. 4 (New Series). P. 236-257.

• установлены критерии выполнимости неравенств мультипликаторного типа для тригонометрических полиномов; во многих важных случаях получены окончательные результаты в смысле описания метрик, в которых они справедливы;

• изучены свойства обобщенных гладкостей, в частности /С-функционалов и их реализаций, произведенных однородными генераторами, а также доказаны прямая и обратная теоремы теории приближений в их общем виде;

• найдены достаточно общие условия на генераторы метода и гладкости, обеспечивающие эквивалентность ошибки приближения посредством СЛПО реализации соответствующего АГ-функционала; на этой основе получены как известные, так и новые результаты о качестве приближения посредством методов, произведенных классическими ядрами.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация относится к области конструктивной теории функций и носит теоретико-прикладной характер. Ее результаты могут быть полезны при решении различных теоретических проблем приближения периодических функций одной и многих переменных, а созданный на их базе эффективный быстродействующий экономичный и универсальный алгоритм стохастической аппроксимации применим к решению широкого круга задач численного приближения неинте-грируемых и сильно осциллирующих функций, быстрому подсчету объектов анализа Фурье, в том числе и коеффициентов Фурье, а также к обработке данных и сигналов. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, специализирующихся в областях анализа и численных методов.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались в 1990-1993 г.г. на семинаре по теории функций и приближений под руководством П. Л. Ульянова и М. К. Потапова, семинаре по теории приближений под руководством С. В. Конягина в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова, семинаре по теории функций под руководством С. М. Никольского и Л. Д. Кудрявцева в Математическом Институте им. В. А. Стеклова АН СССР и семинаре по теории приближений под руководством Э. А. Стороженко в Одесском Государственном Университете им. Мечникова, а также в периоды 1994-1995 г.г. и 1999-2009 г.г. на семинаре по теории пространств функций под руководством X. Трибеля и Х.-Ю. Шмайс-сера в Университете Фридриха Шиллера в Йене (Германия), в 1996-1998 г.г. на семинаре по теории приближений иод руководством Ш. Рименшнайдера и 3. Дитциана в Университете Альберты (Канада), в 1998 г. на профильных семинарах под руководством К. Пуччи и Г. Таленти в Университете Флоренции и Институте глобального анализа и его приложений во Флорен-

ции (Италия), в 1995-2008 г.г. на многочисленных научных конференциях по анализу в Германии и Австрии, а также в 2009 году на семинаре по теории функций под руководством Б. С. Кашина, М. С. Дьяченко, С. В. Конягина и Б. И. Голубова, семинаре по тригонометрическим рядам под руководством М. К. Потапова, В. А. Скворцова, Т. П. Лукашенко и М. И. Дьяченко в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, семинаре по теории функций под руководством С. М. Никольского и Л. Д. Кудрявцева в Математическом Институте им. В. А. Стеклова РАН и международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работе (20 - в изданиях, рекомендованных ВАК, 16 - без соавторов). Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на подразделы, приложения и списка литературы из 90 наименований. Общий объем работы - 236 страниц. Нумерация утверждений (теоремы и леммы) - двойная: номер главы и собственный номер. Нумерация формул - тройная: номер главы, номер подраздела и собственный номер. Во введении и приложении - независимая нумерация формул. Номера теорем во введении и автореферате совпадают с их номерами в основном тексте.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан исторический обзор известных результатов по теме диссертации и сформулированы ее главные результаты. Здесь также приводятся основные определения и обозначения, используемые в основном тексте. Посредством Zd, N, N0 в работе обозначены d-мерные пространства векторов с вещественными и целыми компонентами, множество натуральных чисел и множество целых неотрицательных чисел, соответственно, а xh = xihi + ... Ч- xahi, |х| = у/х\ + .. .x¿ обозначают скалярное произведение и длину вектора.

Символом ¡C обозначается класс комплекснозначных функций ¡р, которые непрерывны на имеют компактный носитель, так что r(ip) — sup{ | {| : Ф 0} < +00) и удовлетворяют следующим условиям: t¿>(— £) = ¡p(£) для £ € Rd и !£>(0) = 1. Каждая функция из класса К производит тригонометрические ядра

ВД(Л) = 1, Wa(<p)(h) =][>(-) eikh, cr > 0, (1)

принадлежащие пространству

% = {г(*)=£><

I Ae z*

вещественнозначных тригонометрических полиномов порядка не выше сг, и методы тригонометрической аппроксимации - классические средние Фурье и интерполяционные средние, а также основной объект изучения данной работы - семейства линейных полиномиальных операторов (СЛПО), определяемые соответственно следующими формулами:

х) = (2тг)-" J f(h) W^){x - h) dh ; (2)

Td

2n

x) = (2N+l)-d.J2f (tt) • W*(<P) (* ~ ft) î (3)

j/=0

2n

4fA(/; ®) = (27V + l)"d • f (t"N + A) • W„(v>) (s - ft - A) , (4) i/=0

где A S Rd - параметр, x, h, и - d-мерные векторы, N = [га] для некоторого г > г {¡fi), а также

„ 2ЛГ 2n 2n

1» = щ-1> Е-Е-Е-

j/=0 VI =0 vd=0

Методы (2)-(4) изучаются в шкале пространств Lp вещественнозначных измеримых периодических по каждой переменной функций d переменных, для которых

\ Ур

= ^J\f{x)\*<bj

< +00,

если 0 < р < +оо. В случае р = +оо пространство Lp заменяется на пространство С непрерывных функций, снабженное нормой Чебышева

ll/IU = тах|/(х)|.

В отличие от средних Фурье и интерполяционных средних, корректно определенных только при 1 < р < +оо и р ~ +оо, соответственно, семейства (4), впервые введенные автором -516 и изученные в его других работах, оказываются пригодными для приближения функций из Lp для всех 0 < р < +оо, если их нормы и сходимость понимаются в среднем по параметру А, т. е.

11{£Й}НСР)= suP (5)

и/||р<1

Ьш 11/-4?д(/)1к = 0. /еЬр, (6)

а—»+оо '

где Ьр - это Ьр - пространство функций /(ж, А) удвоенного числа переменных с (квази)нормой

II • II? = II Ми.НкА- (7)

Ядра и методы аппроксимации, произведенные функцией <р & К, относятся к ядрам (методам) типа (в). Наряду с ними в работе рассматриваются также ядра и методы типа (СЕ), в которых величины <р{к/а) заменяются на элементы некоторой матрицы множителей сходимости Л(т?) = {ап,А ап,-к = а^к, | к | < гп, п € N0}, имеющей вид

Л = Л(р) + Л, Я = {гп^}; Ит гп,к = 0, к € 1Л, (8)

п—Н-оо

где Л(гр) = {<р(к/п)}, а матрица остатков Е удовлетворяет некоторым условиям "малости", по крайней мере обеспечивающим единственность представления (8).

Оказывается, что как в случае ядер типа (в), так и случае ядер типа (СТ).) необходимые и достаточные условия сходимости СЛПО могут быть получены в терминах преобразования Фурье генератора (р. В силу этого важную роль в работе играет множество

= .{Р 6 (0, +оо]: ^е >, (9)

где ф - преобразование Фурье функции <р.

Качество приближения методов (2)-(4) описывается в работе в терминах обобщенных гладкостей, задаваемых однородными функциями. Скажем, что комплекснозначная функция принадлежит классу На для некоторого а > О, если она непрерывна на Ш^, бесконечно дифференцируема на К* \ {0}, ФЫ) = Для £ € Жа и

= тхиек".

Класс На состоит по определению из функций •ф е На, для которых ^ О при £ е \ {0}. Каждая функция ■ф € На производит:

• оператор мультипликаторного типа

щ-ф) . _ ^ еь* 1 „ £ 2<г. (10)

• пространство -(¿-гладких функций

ХР{ф) = {деЬр-.ШдеЬр} ;

• обобщенный /^-функционал

ыЛ\\Г-9\\р+батф)9\\р}^еьр,б>о- (и)

д£Хр{ф)

• его реализацию

М/. = inf { II / - Г ||„ + J» IIVMT ||р}, / е Lp, s > о. (12)

TSTi/t

Как уже было отмечено, для обычных производных /^-функционалы (11) были введены Ж. Петре (см., например, книгу 3), а их реализации (12) - В. Христовым и К. Ивановым 21.

В главе 1 устанавливаются критерии сходимости семейств линейных полиномиальных операторов, произведенных ядрами типов (G) и (GR), в шкале пространств Lp, доказывается эквивалентность их аппроксимацион-ной ошибки, т. е. допредельного выражения в левой части (6), аппроксима-ционной ошибке соответствующих средних Фурье и интерполяционных средних при 1 < р < +00 и р = +00, соответственно, приводится аналог теоремы Валле-Пуссена о том, что в среднем по параметру Л семейства (4) дают почти наилучший порядок приближения, если = 1 в окрестности точки £ = 0, и на этой основе устанавливается теорема о стохастической аппроксимации, служащая теоретической базой для эффективного быстродействующего универсального алгоритма приближения, нашедшего применения в вопросах численного интегрирования и аппроксимации неинтегрируемых и сильно осциллирующих функций, а также удаления шумов, сконцентрированных на множестве малой меры, при обработке данных и сигналов 22.

Сначала объекты (2)-(4) изучаются с единой точки зрения как операторы вида

Са : Lp —► С Lp, а > 0, (13)

где 7 - некоторое положительное число, а состоит из функций д(х, Л) из Lp, являющихся тригонометрическими полиномами порядка не выше 7<т по переменной х для почти всех Л.

Далее, известная схема подсчета норм ядер (1) в метрике Li 4 23 24 25 распространяется на случай 0 <р < 1.

Теорема 1.6 Для <р 6 К. и 0 < р < 1 множество {^(Vp-i) || WCT(p)||p, сг > 0} ограничено тогда и только тогда, когда ф Е Lp(Rd). В этом случае

lim И^'НВДИр = вирИ^'ИВДНр = И £11^*).

е->+ о° <7>0

22 Runovski К., Rystsov I., Schmeisser H.-J. Computational aspects of a method of stochastic approximation // Zeitschrift fuer Anal, und Anwend. (ZAA). 2006. Vol. 25. P. 367-383.

23 Иванов В. И., Юдин В. А. О тригонометрической системе ъ Lp, 0 < р < 1 // Мат. заметки. 1980. Т. 28. С. 859-868.

24 Stein Е. М. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton: Univ. Press, 1970. (pp. 28, 95)

25 Stein E. M., Weiss G. Introduction to Fourier Analysis on Eucliadean Spaces. Princeton: Univ. Press, 1971. (Theorem 3.8, p. 260; Theorem 3.18, p.264; Corollary 3.28, p. 267)

Потом изучаются свойства ядер и семейств линейных полиномиальных операторов, произведенных произвольными матрицами множителей сходимости, в которых ip{kjo) из (1) заменяется на ап<к. Основной результат -теорема о нормах семейств, понимаемых в смысле определения (5).

Теорема 1.10 Пусть Л = {ап>к : ащ-к = â^k, | < rn,n € N0}, г > О, О < р < +оо, р = mm(l,p), р = р для 0 < р < +оо u р = 1 для р = +оо. Тогда

С1(п+1)^1/?_1)|| W„(A)||? < || }||(р) < c2(n+l)d(ly'?~1)|| W„(A)||p , n € N0,

где положительные константы С1 сг не зависят от f и п.

На базе теорем 1.6 и 1.10, применяемых в комбинации с общими результат тами об операторах вида (13), устанавливаются общие критерии сходимости СЛПО, порожденных ядрами типов (в) и (СИ).

Теорема 1.12 Пусть <р 6 К и 1 6 Т^. Тогда семейство { } сходится в Ьр тогда и только тогда, когда р € Ту,. Для 1 < р < +оо 26

где положительная константа с не зависит от / и сг, а Ергт - величина наилучшего приближения / полиномами из Тра в Ьр.

Теорема 1.13 Пусть А = А(</?) + Я' + Я", где ц> € /С, В! = {гп>к, | А;| < гп} удовлетворяет условию

для некоторого 0 < а < 1, а К" — { г'^к] такова, что к = \птр(к/п), где фе/С, ф(х) = 0(| х |-г), {х -* +оо), А„ = 0{п*"*/а), гдей<5< д/а. Пусть также 1 € Ту, и а £ Ту. Тогда семейство { } сходится в Ьр тогда и только тогда, когда р € При описанных выше условиях утверждение

20 "А X В" означает, что "с\А < В < с2 Д" с некоторыми положительными константа-

ми, не зависящими от / и а.

II / - 4Тл(/)11р < сЕМр . / 6 h , ст > 0 , (15)

теоремы 1.12 об эквивалентности методов аппроксимации при 1 < р < +оо сохраняет свою силу.

В завершение главы 1 устанавливается теорема о стохастической аппроксимации и описывается соответствующий алгоритм приближения.

Теорема 1.14 Пусть 7 > 1, 0 < р < +оо, вещественнозначная центрально симметричная функция € 1С такова, что ¡р 6 Ьр(Е<г), где р = гтп(1,р), г((р) = 1 и (/?(£) = 1 для | £ | < р < 1. Пусть также те N и ] = 1,..., тп, - независимые в совокупности равномерно распределенные на единичном кубе [0,1]'' случайные величины. Тогда для / (Е Ьр и п 6 N0

р{ушшт||/-4^(/)||, < 1СЕМ| > 1 -7"^, • где вj = тг]], ] = 1,..., т ит = 27г/(2N +1), о с - константа из (15).

В главе 2 на основании теорем 1.12 и 1.13 изучается сходимость семейств, порожденных классическими ядрами. Практически во всех известных случаях получены точные ранги сходимости, т. е. найдены совокупности тех р, для которых семейство сходится в Ьр. Некоторые результаты исследований в этом направлении представлены в виде следующей ниже таблицы (знак * во второй строке означает свертку). Более полный список СЛПО, для которых получено точное решение проблемы сходимости, и включающий в себя, в частности, случаи ядер Рисса, обобщенных ядер Джексона, Зигмунда, Блэкмана-Хэмминга, приведен в основном тексте работы. Следует отметить, что далеко не всегда преобразование Фурье генератора <р может быть вычислено в явном виде, а задача изучения его асимптотического поведения в целях определения множества Ту в целом ряде ситуаций оказывается весьма непростой и требует изобретения специальных методов исследования. Таковы, например, ядра Рисса, для которых <р(() = (1 — | £ |/3)+. Задачей изучения свойств средних Рисса в метрике Ьр при 1 < р < +оо занимались многие ученые. В этой связи отметим, например, работы Б. И. Голубова 27 28. В второй главе приводятся также некоторые подходы к конструированию новых методов аппроксимации, обладающих наперед заданными свойствами. Отметим также, что в силу утверждений об эквивалентности аппроксимаци-онных ошибок, (см. (14)) результаты, полученные для СЛПО, автоматически содержат в себе также и классические теоремы о сходимости средних Фурье и интерполяционных средних, порожденных соответствующими ядрами.

27 Golubov B. I. On Abel-Poisson type and Riesz means // Analysis Math. 1981. Vol. 7. P. 161-184.

28 Golubov B. I. On Gibbs' phenomenon for Riesz spherical means of miltiple Fourier integrals and Fourier series // Analysis Math. 1978. Vol. 4. P. 269-287.

Ядро й Тип Генератор <р Ранг сходимости

Фейер 1 (С) (1-Ш)+ (1/2, +оо]

Джексон 1 (СИ) 3/2(1-|£|)+*(1-|£|)+ (1/4,+оо]

Коровкин 1 (СИ) (1'-1 £ 1) соэ тг£+ (1/ТГ) 8Ш 7ГI £ I (Ш<1) (1/4,+оо]

Валле-Пуссен 1 (С) < ' 1 , К1<1 2—|еI , к|£|<2 к 0 , |£|>2 (1/2, +оо]

Рогозинский 1 (С) соэу, |£| < 1 (1/2,+оо]

Бохнер-Рисс > 1 (С) (1-|£|2)»,а>(сг-1)/2 ( 2с1 и+2а + 1'+~

Чезаро 1 (СИ) ачт,1^*-1 2) а> 1 1)(1/(а+1),+оо] 2) (1/2,+оо]

Глава 3 посвящена изучению неравенств для тригонометрических полиномов. Как известно, такие неравенства играют важную роль в теории при-ближнений. Так, например, классическое неравенство Бернштейна о норме производной тригонометрического полинома служит основой доказательства обратной теоремы теории приближений. В работе рассматривается проблема в ее общем виде. Ее решение представлено в виде необходимых и достаточных условий на генераторы соответствующих дифференциальных операторов. Результаты этого раздела применяются в основном в главе 5 для исследования проблемы о качестве аппроксимации посредством СЛПО. В ряде важных случаев, например, для неравенств, произведенных однородными функциями, удается найти точные ранги значений р, при которых они оказываются справедливыми в соответствующем пространстве Ьр. Один из основных результатов представлен следующим утверждением.

Теорема 3.18 Пусть ц € На, и € Нь, где а> Ь> 0, и функция ^(ОАЧО не является полиномом на \ {0}. Тогда неравенство

||ед«||р < са-6||х>(«/)«||р, а>0, (16)

выполняется с некоторой положительной константой с, не зависящей от tua, тогда и только тогда, когда р > d/(d +(а — b)).

Некоторые частные случаи (1G) изучались ранее. Так, например, при d = 1, МО = (Фа = |С|а exp ((ina sgn <^)/2), a > 0, a £ N и i/(£) = 1, (16) превращается в неравенство типа Бернштейна для дробной производной Вейля, которое исследовалось многими авторами. В случае 1 < р < +оо оно немедленно вытекает из теоремы Марцинкевича о мультипликаторах 29. Его справедливость в случае р = 1, +оо показана в книге П. Бутдера и Р. Несселя4 (с. 427). Случаи a > 1, 1/2 <р < 1 и 0 < а < 1, l/(a+1) <р<1 исследованы Р. Таберским 30. Общий случай был рассмотрен Э. С. Белинским и И. Лифляндом 31. В многомерном случае утверждение теоремы 3.18 для М£) — £t> j = 1, ■■ - ,d, и = — | £ |2 (V(/i) - четвертая частная производная, V(u) - оператор Лапласа), было установлено К. В. Руновским и 3. Дитцианом 32. Оказалось, что это неравенство играет ключевую роль при исследовании свойств сферического дискретного модуля гладкости, введенного 3. Дитцианом 11.

В главе 4 изучаются вопросы, связанные с обобщенной гладкостью с точки зрения ее применения в теории приближений. Основные свойства обобщенных А'-функционалов и их реализаций устанавливаются в следующих ниже утверждениях.

Теорема 4.11 Для 1 < р < +оо и ф 6 На, а > 0,

ДЛЯ, < сед, l/(a + 1))р, / е Lp, a > 0, где положительная константа с не зависит от f и а.

Теорема 4.16 Для 1 <р< +оо и ф € На, а > 0,

ед,<а> < 0*1) £ (^+1)а-1ад)Р, feLp,6>о,

где с не зависит от f и S.

Теорема 4.19 Для гр € На, где а > 1 при d = 1, или а ^ 2 при d> 2 ВД,5)Р = 0, feLP,ô> 0,

29 Тихомиров В. Н. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1976. сс. 178-179

30 Taberski R. Approximation in the Frechet spaces Lp (0 < p < 1) // Funct. et Approx. 1979. Vol. 7. P. 105-121.

31 Belinski E., Lyfly and I. Approximation properties in Lp, 0 < p < 1 // Funct. et Approx. 1993. Vol. 22. P. 189-200.

32 Ditzian Z., Runovski K. Realization and smoothness related to the Laplacian // Acta Math. Hungar. 2001. Vol. 93. № 3. P. 189-223.

если 0 < р < 1.

Теорема 4.21 Для 1 < р < +оо и ф е На, а>0,

ЗД, 6)р х ВД, 5)р , / е Ьр, 5 > О.

Теорема 4.22 Длл 0 < р < +оо и ф е а > О,

< стахО.Г+^-^ВД,^, /€ ¿р, (5 > 0, ¿>0, г<?е р— (1,р), а положительная константа с не зависит от /, 5 и

Теорема 4.25 Для 0 < р < +оо и ф € а > 0, ЗД, 6)р < с тт(6а, 1)( (и + г)0?-1 ] ,/€¿„¿>0,

где р = тт(1,р), а положительная константа с не зависит от / и 6. Теорема 4.26 Для 0 < р < +оо На, "Фг^Щ при 0 < а < ¡3

+оо _ ч1/?

1Сф1(/,5)р < с5а1 I

(ар+1

6

<й , /еьр, б> о,

где положительная константа с не зависит от f и 6.

Приведенные результаты содержат в качестве их частных случаев многие известные утверждения. Так, например, для й = 1, а 6 N и ф{£) = (г^)* теоремы 4.11 и 4.16 с учетом теорем об эквивалентности /^-функционалов и их реализаций, порожденных обычными производными, модулям гладкости (Ж. Петре для 1 < р < +оо, 3. Дитциан, В. Христов, К. Иванов для О < р < 1 (см. сноску 18) представляют собой классические прямую (Джексон) и обратную (Бернштейн) теоремы теории приближений (см., например, книгу Р. Девора и Г. Лоренца 3). В случае (I = 1, а = 1 и ф{£) = [ £ |, соответствующем производной Рисса, теорема 4.11 немедленно вытекает из классической теоремы Алексича-Заманского. В многомерном случае для а = 2 и = —| £ |2: отвечающем оператору Лапласа, теоремы 4.11 и 4.16 могут быть найдены в работах В. Чена и 3. Дитциана 33.

33 Скеп (V., ЯИггап 2. ВезЬ арргохцпаНоп апс1 /Г-йшсНопак // АсЬа Май. Нипйаг. 1997. Уо1. 75. Р. 165-208.

В отличие от /¡'-функционалов, зависимость от параметра ó в определении реализаций является значительно более сложной, поэтому теорема 4.22 о вынесении константы имеет технически непростое доказательство и является новой даже для случая классических производных. Efe значение состоит, в частности, в том, что она позволяет оперировать с реализациями по привычным для модулей гладкости и /('-функционалов схемам. Отметим, что теорема 4.19 доказана не для всех возможных случаев. Дело в том, что доказательство К. Иванова и В. Христова для классических производных существенно опирается на свойство локализованное™, которое, однако, теряется, например, при переходе к рассмотрению их дробных порядков. Наше доказательство основано на идее "привязки" оператора Т>(ф) к локализованным операторам - производной первого порядка в одномерном случае и оператору Лапласа в многомерном. В общем случае доказательство утверждения теоремы 4.19 представляется сложной задачей. Отметим также, что теорема 4.26 является довольно широким обобщением классического неравенства Маршо, которое получается при V*i(0 = (*£)"> Фг(0 = а, /? € N.

В главе 5 исследуются вопросы качества приближения посредством семейств линейных полиномиальных операторов, при этом доказывается, что отмеченная выше аналогия между их свойствами и свойствами реализаций (эквивалентность классическим величинам в случае 1 < р < +оо, применимость для всех 0 < р < +оо) носит неслучайный характер. Дело в том, что аппрокимационная ошибка СЛПО эквивалентна подходящей реализации при некоторых естественных условиях на "близость" функций 1 — </?(£) и ф(£).

Приведем точные формулировки. Пусть v and w - непрерывные на Rd функции, 0 < q < +оо, функция r¡ бесконечно дифференцируема на Rd и

имеет компактный носитель. Скажем, что и(-) -< «;(•), если преобразование Фурье функции (î]v)/w принадлежит Lq(Ж"). Символ v(-) ж w(-) используется для обозначения эквивалентности. Это означает, что v{-) -< w(-)

и iu(-) -< v(-) одновременно. Скажем также, что пара бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем (77, в) представляет собой плоское разбиение единицы (на единичном шаре Di = {£ : |£| < 1}), если существует 0 < р < 1/2, такое что т?(£) = 1 для |£| < р, 0(£) = 1 для 2р < I < 1 и т;(£) + 0(<f) = 1 для всех £ € Di. В следующей ниже теореме р = min(l,p), r(v>) = sup{|£l : tp(Ç) ф 0} < 1, r = 1, так что N = [a] (см. формулу (4)).

Теорема 5.3 Пусть 0 < р < +оо, ip 6 1С, ip(Ç) ф 1 для Ç Ф 0, (р е Lp(Rd) и ф € 7{а для некоторого а > 0. Если существует плоское разбиение единицы

(т],в) единичного шара и натуральное число т, такие что 1 - ip(-) ф(-)

и {<р{-))т 1 - ¥>(■), то

11/-4Тл(/)11р * /eLP, а> 0.

Применение этого результата к классическим ядрам приводит, например, к следующему утверждению: аппроксимационпые ошибки СЛПО, порожденных ядрами Фейера, Рогозинского и Вохнера-Рисса (а > (d — 1)/2) эквивалентны в метрике Ьр для р из соответствующих рангов сходимости (см. таблицу) реализациям К-функционалов, произведенных второй производной и оператором Лапласа, соответственно.

Принимая во внимание соотношение (14) из теоремы 1.12, теорему 4.21 и утверждения об эквивалентностях /¿"-функционалов, соответствующих классическим производным, тем или иным модулям гладкости, можно получить в качестве простых следствий теоремы 5.3 ряд известных результатов о качестве приближения средними Фурье, порожденными некоторыми классическими ядрами, в метрике пространств Lv при 1 < р < +оо (см., например, работы Р. Тригуба 17).

Теорема 5.3 объясняет также феномен, состоящий в том, что аппрокси-мационные ошибки всех известных средних Фурье оказывается никогда не эквивалентными модулям гладкости нечетных порядков. Дело в том, что в классической теории аппроксимации ядра задаются вещественнозначными четными генераторами, в то время как генератор гладкости -0(0 = (¿£)2г+1> г 6 No, имеет нечетную мнимую часть, так что одна из функций (1 или ^(0/(1— 'Р(О) будет претерпевать разрыв в точке f = 0, а ее преобразование Фурье (после умножения на некоторую финитную функцию) не может принадлежать Li(Rd). Пользуясь теоремой 5.3 несложно построить СЛПО, аппроксимационная ошибка которого эквивалентна модулю гладкости заданного нечетного порядка. Для А; € N рассмотрим

i)p = sup II AkJ[x) ||р, ( Д* = МК'1) , Дл/(*) = Я* + Л) - Я*)) ,

О <h<S

- модуль гладкости fc-oro порядка функции / в Lp. Для г g N0 введем функцию

МО = (1 + Л = 2г + 1,

где - вещественнозначная бесконечно дифференцируемая четная функция с компактным носителем в [—1,1], которая удовлетворяет условию £(£) .= 1 для | < р при некотором 0 < р < 1. СЛПО, произведенное этим генератором, обозначается символом

Теорема 5.10 Для 0 < р < +оо и г € N0

II / - 4Та+1)(Я h ~ 1/(0- + 1))„, / € Lp, (Г > 0.

В приложении приводится результат о несправедливости прямой теоремы теории приближений в классах <p(L), если функция >р существенно отличается от степенной в окрестности 0 или +оо. Отметим при этом, что обратная теорема остается верной при достаточно общих условиях на ip 6. Таким образом, шкалой Lp, 0 < р < +оо, практически исчерпываются все те пространства, в которых задачи теории приближений могут вызвать тот или иной теоретический или практический интерес.

Пусть <р(£) - четная непрерывная строго монотонно возрастающая на [О, +оо) функция, такая что ср(0) = 0 и ¡/>(2£) < £ > 0, для неко-

торой положительной константы Cv. Класс Орлича tp(L) состоит, по определению, из измеримых 27г-периодичесикх функций /(я) одной переменной, для которых функционал

2-п

И/II* = / Mx))dx

о

конечен. Ясно, что пространство Lp отвечает функции tp(£) — |£|р. Модуль непрерывности / € <p(L) и наилучшее приближение тригонометрическими полиномами порядка не выше н определяются соответственно соотношениями

u(f,6)v = sup ||Дл/(х)||^, 5>0, о <k<6

En{f)v = inf II / - t \\v, n e No.

Теорема Если xp = 0(ip(x)), x —+ +0, или <p(x) = 0{xp), x —+ +00 34, для всех p > 0, mo для каждой сходящейся к 0 последовательности положительных чисел {crn}i2i и для каждого С > 0 существуют f £ ip(L) и п € N, такие что

En{f)v > Cu(f,on)v .

Автор выражает благодарность и глубокую признательность своему наг учному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Михаилу Константиновичу Потапову за постоянную поддержку и внимание к работе, а также за плодотворные обсуждения представленных в диссертации результатов и полезные рекомендации.

34 Как обычно, /(х) = 0(д(х)), х —» Хо, означает, что |/(х)| < С\д(х) | в некоторой окрестности точки Хо.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(из официального перечня ВАК)

[1] Руновский К. В. О семействах линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Мат. сборник. 1993. Т. 184. № 2. С. 33-42.

[2] Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Мат. сборник. 1994. Т. 185. № 8. С. 81-102.

[3] Руновский К. В. Прямая и обратная теоремы теории приближений в пространствах Lp с 0 < р < 1 // Доклады РАН. 1993. Т. 331. № 6. С. 684-686.

[4] Runovski К., Rystsov I., Schmeisser H.-J. Computational aspects of a method of stochastic approximation // Zeitschrift fuer Anal, und Anwend. (ZAA). 2006. Vol. 25. № 3. P. 367-383. (К. В. Руновскому принадлежат теоремы 1 и 2, а также материал секций 3 и 4, введение и секция 5 написаны Х.-Ю. Шмайссером, секция 6 написана И. К. Рысцовым, а секция 7 написана совместно И. К. Рысцовым и К. В. Руновским).

[5] Runovski К., Schmeisser H.-J. On approximation methods generated by Bochner-Riesz kernels // J. Fourier Anal, and Appl. 2008. Vol. 14. P. 1638. (К. В. Руновскому принадлежат теоремы 1-3, 5, 7 и 8, теоремы 4 и 6 доказаны Х.-Ю. Шмайссером).

[6] Burinska Z., Runovski К., Schmeisser H.-J. On the method of approximation by families of linear polynomial operators // Zeitschrift fuer Anal, und Anwend. (ZAA). 2000. Vol. 19. № 3. P. 677-693 . (К. В. Руновскому принадлежат леммы 2.1, 2.2 и теоремы 4.1-4.3, замечания 2.2, 3.1 и 4.1 сделаны 3. В. Буринской, а теоремы 3.1, 3.2 и лемма 3.1 доказаны X-Ю. Шмайссером).

[7] Runovski К., Schmeisser H.-J. Inequalities of Calderon-Zygmund type for trigonometric polynomials // Georgian J. of Math. 2001. Vol. 8. № 1. P. 165-179. (К. В. Руновскому принадлежат теоремы 2.1 и 3.1, а также идея контрпримера в теореме 5.1, Х.-Ю. Шмайссером написано введение и секция 5, включая доказательство теоремы 5.1).

[8] Runovski К. On Jackson's type inequalities in Orlicz classes // Revista Mat. Сотр. 2001. Vol. 14. № 2. P. 394-404.

[9] Ditzian Z., Runovski K. Realization and smoothness related to the Laplacian

// Acta Math. Hungax. 2001. Vol. 93. № 3. P. 189-223. (К. В. Руновскому принадлежат результаты секций 2, 4-7 и теорема 3.2 из секции 3, а 3. Дитцианом написаны введение и секции 3, 8, 9).

[10] Ditzian Z., Runovski К. Averages and if-functionals related to the Laplacian // J. Approx. Theory. 1999. Vol. 97. P. 113-139. (К. В. Руновскому принадлежат теоремы 2.1 и 2.2, остальные результаты принадлежат 3. Дит-циану).

[11] Руновский К. В. О модулях гладкости тригонометрического полинома в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Мат. заметки. 1993. Т. 54. № 5. С. 78-83.

[12] Руновский К. В. О приближении "углом" в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Доклады АН СССР. 1992. Т. 322. № 1. С. 45-47.

[13] Руновский К. В. Прямая теорема о приближении "углом" в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Мат. заметки. 1992. Т. 52. № 5. С. 93-96.

[14] Руновский К. В. Об одной оценке интегрального модуля гладкости // Изв.вузов. Сер. матем. 1992. № 1. С. 78-80.

[15] Руновский К. В. Соотношения между периодическими и непереодиче-скими модулями гладкости // Мат. заметки. 1992. Т. 52. № 2. С. 111-113.

[16] Руновский К. В. О приближении алгебраическими многочленами в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Доклады РАН. 1992. Т. 323. № 2. С. 238-240.

[17] Руновский К. В. Об одном методе суммирования рядов Фурье-Якоби // УМЖ. 1993. Т. 45. № 5. С. 676-680.

[18] Руновский К. В. Обобщение теоремы Марцинкевича-Зигмунда // Мат. заметки. 1995. Т. 57. № 2. С. 259-264.

[19] Runovski К., Sickel W. Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities, trigonometric interpolation on non-uniform grids and unconditional Schauder basis in Besov spaces on the torus // Zeitschrift fuer Anal, und Anwend. (ZAA). 1997. Vol. 16. № 3. P. 669-687. (К. В. Руновскому принадлежат теоремы 1 и 2, а теоремы 3-6 доказаны В. Зикелем).

[20] Runovski К. Schmeisser H.-J. On Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities for irregular knots in Lp-spaces, 0 < p < +oo // Math. Nachrichten. 1998. Vol. 189. P. 209-220. (К. В. Руновскому принадлежат леммы 3.1 - 3.3 и теоремы 4.1, 4.5, а замечения 4.1 - 4.3 и 5.4 сделаны Х.-Ю. Шмайссе-ром).

(прочие)

[21] Runovski К. Approximation by families of linear polynomial operators // В: Труды межд. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложения", поев. 70-летию ректора МГУ акад. В. А. Садовни-чего (30 марта - 2 апреля 2009г.). С. 107-108.

[22] Runovski К. On various methods of trigomnometric approximation // In:

3. Workshop "Orthogonal polynomials", Inzell, 14.-18.04.2000. Schriftreihe des IBB. 2000. Abstract. P. 23-24.

[23] Lasser R., Runovski K. General convergence theory for methods of trigonometric approximation // Schriftreihe des IBB. 2003. Preprint 03-12. 51 pages, (секция 1 написана совместно, результаты секций 2-5, 7, 8 принадлежат К. В. Руновскому, в секции 6 К. В. Руновским доказаны леммы 6.1-6.5 и теорема 6.10, а леммы 6.7-6.9 принадлежат P. JIaccepy).

[24] Runovski К., Schmeisser H.-J. On the convergence of Fourier means and interpolation means // J. Comp. Anal, and Appl. 2004. Vol. 6. № 3. P. 211-220. (К. В. Руновскому принадлежат леммы 1-5 и теоремы 1-3, 5, 6, а лемма 6 и теорема 4 доказаны Х.-Ю. Шмайссером).

[25] Runovski К., Schmeisser H.-J. On some extensions of Bernstein's inequalities for trigonometric polynomials // Funct. et Approx. 2004. Vol. 29. P. 125-142. (К. В. Руновскому принадлежат теоремы 3.1, 3.3, 3.4, 4.1, 4.2, 5.1, 5.2, 5.4. 5.5, а теоремы 5.2 и 5.3 доказаны Х.-Ю. Шмайссером).

[26] Burinska Z., Runovski К., Schmeisser H.-J. On the approximation by generalized sampling series in Lp-metrics // Sampling Theory in Signal and Image Processing (STSIP). 2006. Vol. 5. № 1. P. 59-87. (К. В. Руновскому принадлежат леммы 2.1, 3.3, 4.1 и теоремы 2.4, 3.5, 4.2, 4.3, 4.5, 5.2, лемма 3.4 и теорема 5.1 доказаны Х.-Ю. Шмайссером, а теорема 2.2 и утверждения 2.3, 4.4 принадлежат 3. В. Буринской).

[27] Runovski К. On a direct theorem of approximation theory in Orlicz classes // Forschungsergebnisse FSU Jena. 1994. Preprint. 7 pages.

[28] Runovski K. On Jackson's type inequalities in Orlicz classes // Publ. dell'Ins-tituto Analisi Globale e Appl. Firenze. 1998. № 59. Preprint. 8 pages.

[29] Runovski K., Schmeisser H.-J. Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities for irregular knots and mixed metrics // Вестник Росс. Ун-та дружбы народов. Сер. матем. 1997/98. Т. 4-5. № 1. С. 90-117. (К. В. Руновскому принадлежат леммы 1, 2, 3, 5 и теоремы 1-4, а замечания 1-6 и леммы

4, 6 принадлежат Х.-Ю. Шмайссеру).

[30] Burinska Z., Runovski K. Homogeneous inequalities for trigonometric polynomials and bandlimited functions // In: 3. Workshop "Orthogonal polynomials", Inzell, 14.-18.04.2000. Schriftreihe des IBB. 2000. Abstract. P. 17. (К. В. Руновскому принадлежит часть I (тригонометрический случай), а результаты части II (непериодический случай) получены 3. В. Бурин-ской).

[31] Burinska Z., Runovski К., Rystsov I., Schmeisser H.-J. On stochastic-analytical approaches to sociological surveys data processing // Jenaer Schriften zur Math, und Inf. 2006. Math/Inf/17/06. Preprint. 24 pages. (К. В. Руновскому принадлежат результаты секций 1, 4, 5, секция 2 написана 3. В. Вуринской и И. К. Рысцовым, секция 3 написана 3. В. Буринской и Х.-Ю. Шмайссером, а секция 6 - И. К. Рысцовым и Х.-Ю. Шмайссером).

Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Подписано в печать ■!£.

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. / ¿>5

Тираж /РОэкз. Заказ /

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ.В.Ломоносова

Введение.

Глава 1. Сходимость методов тригонометрического приближения

1.1 Общие операторы в пространство функций удвоенного числа переменных.

1.2 Тригонометрические ядра и их свойства.

1.3 Семейства линейных полиномиальных операторов и их свойства.

1.4 Критерии сходимости.

1.5 Стохастическая аппроксимация.

Глава 2. Методы, произведенные классическими ядрами

2.1 Ядра Фейера, Валле-Пуссена и Рогозинского.

2.2 Ядра Бохнера-Рисса, Рисса и Зигмунда.

2.3 Ядра Блэкмана-Хэмминга.

2.4 ЯдраЧезаро.

2.5 Ядра Коровкина.

2.6 Степени ядер типа (С) и обобщенные ядра Джексона.

2.7 Положительные ядра и сверточные степени.

2.8 Таблица сходимости.

Глава 3. Неравенства мультипликаторного типа для тригонометрических полиномов

3.1 Общая постановка проблемы и ее частные случаи.

3.2 Необходимые и достаточные условия выполнимости.

3.3 Преобразование Фурье некоторых функций.

3.4 Неравенства, произведенные однородными функциями.

3.5 Неравенства, произведенные гладкими функциями.

3.6 Оценки преобразования Фурье нормами в пространствах Бесова.

Глава 4. Обобщенные К-функционалы и их реализации

4.1 Операторы и пространства, порожденные однородными мультипликаторами.

4.2 Обобщенные К-функционалы и их свойства.

4.3 Реализации обобщенных К-функционалов и их свойства.

Глава 5. Качество приближения посредством семейств в терминах реализаций

5.1 Оценки сверху.

5.2 Оценки снизу.

5.3 Эквивалентности.

5.4 Семейства Фейера, Рогозинского, Рисса, Бохнера-Рисса и Зигмунда.

5.5 Семейства, соответствующие гладкостям нечетных порядков.

Классическая теория тригонометрической аппроксимации посвящена вопросам приближения непрерывных или, по крайней мере, интернируемых функций. Основной шкалой пространств, таким образом, традиционно являлась шкала Ьр, где 1 < р < +оо. Созданием и изучением приближающих конструкций в этих пространствах занимались выдающиеся математики 19 и 20-ого веков, такие как Л. П. Чебышев, А. Лебег, Д. Джексон, Ш. Валле-Пуссен, Л. Фейер, Ж. Фавар, А. Зигмунд, М. Рисс, С. Н. Бернштейн, С. М. Никольский и другие. Основные результаты классической теории описаны во многих монографиях, книгах и статьях (см., например, [2], [б], [11], [16], [17], [29]-[33], [37), [76], [82], [83]). Отметим при этом, что наиболее распространенными методами приближения периодических функций являлись средние ряда Фурье и интерполяционные средние, построенные с помощью тех или иных тригонометрических ядер, т. е., линейные полиномиальные операторы.

В последние десятилетия появился, однако, целый ряд теоретических и практических проблем, прежде всего в теории дифференциальных уравнений и теории обработки данных и сигналов, в которых потребовалось приближение неинтегрируемых функций, а также численное приближение и интегрирование сильно осциллирующих функций. Таким образом, возникла необходимость распространения результатов теории приближений на случай пространств Ьр, где 0 < р < 1, а также создания новых методов приближения и численного интегрирования, обеспечивающих нужную точность результата без существенного уве-личиния порядка количества узлов интерполяции или кубатуры.

Функции из Ьр при 0 < р < 1 могут быть неинтегрируемыми, поэтому понятие ряда Фурье теряет смысл, а классические методы приближения становятся заведомого непригодными. Проблема оказалась, однако, более глубокой. Дело в том, что для 0 < р < 1 вообще не существует нетривиальных линейных ограниченных функционалов и полиномиальных операторов (см., например, [45]). В силу этого обстоятельства, принципиальный вопрос - "чем приближать" в Ьр при

О < р < 1 - долгое время оставался открытым. Различными математиками в разное время был разработан целый ряд специальных методов, позволяющие решать те или иные частные задачи. Так, например, для доказательства в случае 0 < р < 1 классической прямой теоремы теории приближений, т. е. оценки величины наилучшего приближения тригонометрическими полиномами посредством модулей гладкости данной функции одной переменной, в работах Э. А. Стороженко, В. Г. Кротова, П. Освальда [77] и В. И. Иванова [27] был разработан метод промежуточной аппроксимации кусочно-полиномиальными функциями, с помощью которого удалось решить также и некоторые многомерные задачи ([78], [79]). Однако, этот метод оказался малоэффективным для решения целого ряда проблем, в частности, он не позволил перенести на случай 0 < р < 1 прямую и обратную теоремы М. К. Потапова о связях наилучшего приближения "углом" и смешанных модулей гладкости ([42], [43]). То же самое замечание касается прямой и обратной теорем для сферического дискретного модуля непрерывности, установленных для 1 < р < +оо 3. Дитцианом [18]. Другой пример. В работах П. Освальда [38] и Р. Таберского [81] было изучено качество аппроксимации некоторыми средними ряда Фурье в метрике Ьр при 0 < р < 1 для функций, принадлежащих тем или иным классам, компактно вложенным в Ь\. Позитивные результаты получались при этом лишь при некоторых ограничиниях на р, например, в случае средних Валле-Пуссена только для р > 1/2, однако природа константы 1/2 осталась невыясненной. Следует отметить также, что как упомянутые, так и иные похожие методы, разработанные для случая 0 < р < 1, не позволяют создать на их базе эффективные вычислительные процедуры приближения произвольной функции из пространства Ьр при О <р < 1.

В классическом же случае 1 < р < +оо, где теоретические вопросы достаточно глубоко проработаны, тем не менее возникает целый ряд проблем вычислительного характера. Дело в том, что в целях обеспечения нужной точности результата в задачах численного интегрирования количество узлов той или иной кубатурной формулы должно существенно превышать количество осцилляций данной функции на периоде, что в свою очередь, может привести к недопустимому увеличению погрешности вычисления. Неэффективность классических кубатур, таких как, формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона, для подсчета интегралов от сильно осциллирующих функций показана У. Эренмарком [24]. Замечая, что подсчет коеффициентов Фурье относится к числу задач именно такого типа, можно сделать вывод о том, что даже в случае пространства Z/2) где полином наилучшего приближения совпадает с соответствующей частичной суммой ряда Фурье, т. е. где задача приближения теоретически полностью решена, также могут возникнуть серьезные вычислительные проблемы.

Таким образом, в теории приближений появился ряд теоретических и практических задач, которые не удалось решить уже разработанными методами. Оказывается, что как выше перечисленные, так и многие другие проблемы могут быть успешно решены в полной шкале Lp, где О < р < +оо, путем введения новых методов - семейств линейных полиномиальных операторов (СЛПО) ([48], [50], [52], [55]).

Чтобы продемонстрировать суть этого подхода и его эффективность для решения задач теории приближений, приведем прямое и простое доказательство оценки типа Джексона ([17] для нормированного случая, [77] и [27] для 0 < р < 1)

En(f)p < cco(f, l/(n + 1))р, / е , n = 0,1,2,., (1) в случае 0 < р < 1 для функций одной переменной (см. [50]). В (1)

EnU)v — II f — Тп ||р

- наилучшее приближение функции / из Lp тригонометрическими полиномами Тп порядка не выше п, uj{f, 5)р = sup || f(x + К) - f{x) ||р , J > 0 ,

0 <h<5

- ее модуль непрерывности в Lp, а положительная константа с не зависит от / и п. Для доказательства (1) введем в рассмотрение семейство функций

2,7(71-1)

4*}а(/;*) - 2,(д1) + 1 Е + (2) где Л - вещественный параметр, = 2тгк/(2д(п — 1) + 1), а

9 п

7п;9 (бш{пК)/2\ д 1 г ^ {¿¿(Щ-) ,-уЛц,(Л)«й = 1,п = 1,2,., (3)

7Г

- обобщенные ядра Джексона [75]. Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том, что

2 2д(п-1) гтутг Е = (4) к=О

2«('

Принимая во внимание, что объекты ж) корректно определены для почти всех Л и, как функции х: являются тригонометрическими полиномами порядка не выше д(п — 1), имеем

Еп(ЛР < II / - 4!л(Я Ир (5) для почти всех Л. Так как левая часть неравенства (5) не зависит от Л, то его правую часть можно усреднить по этому параметру, что приводит к оценке

7Г

ЦЛ? < ¿/||/-4?л(/)11Иа- (6)

7Г

На основании (4), (б) имеем сучетом (2-7г)/(2д(п— 1)+1)-периодичности функции как функции Л 2д(п-1) * ад)? < сп-"у ¿2 у +

-7Г *=° —7Г

7Г 7Г сщ1"" JI |/(Л)-/(а?)|* {1щч[х - \))р 6.x < 7Г —7Г

7Г сап1-*I

Доказательство завершается по стандартной для случая 1 < р < Н-оо схеме при помощи известных свойств модуля непрерывности и ядер (3) при q — [1/р]-\-1, которая мзложена, например, в [16].

Метод приближения посредством семейств линейных полиномиальных операторов оказался полезным не только для представления простых и универсальных для всех 0 < р < +оо доказательств известных утверждений, но и для получения новых результатов, в частности касающихся прямых и обратных теорем теории приближений в многомерном случае и свойств тригонометрических полиномов. В этой связи отметим, например, прямую и обратную теоремы о приближении "углом" для модулей гладкости произвольных порядков ([54], [55]), прямую теорему о наилучшем приближении функций многих переменных для дискретного сферического модуля гладкости [23], точный результат об условиях эквивалентности этого модуля реализации К-функционала, соответствующего оператору Лапласа [23], а также результаты о справедливости неравенств типа Марцинкевича-Зигмунда для случая неравномерных узлов решетки ([56], [58], [59]) и их приложения в теории пространств функций [57]. Различные аспекты метода приближения семействами, другие приложения, а также прилегающие к этой теме вопросы описаны в работах [7]-[10], [23], [35], [46]-[67]. Эффективность метода приближения посредством СЛПО при решении различных проблем анализа делает мотивированным и актуальным изучение этих объектов как таковых. В данной работе семейства линейных полиномиальных операторов исследуются в трех главных аспектах:

• сходимость в шкале пространств Ьр, 0 < р < +оо ,

• практическая реализация метода в форме создания эффективного, экономичного и универсального алгоритма приближения,

• изучение качества приближения посредством СЛПО в терминах тех или иных структурных характеристик функции.

Задача изучения качества методов приближения, т. е. определения скорости стремления к 0 последовательности их аппроксимационных ошибок, в терминах тех или иных структурных характеристик индивидуальной функции как, например, модули гладкости или ТГ-функционалы, является одной из классических проблем теории приближений, которой в случае 1 < р < +оо занимались многие авторы (см., например, [11], [16], [19], [20], [66], [86]). Отметим, в частности, результат Р. М. Тригуба [86] об эквивалентности ошибки приближения средними Бохнера-Рисса В^ индивидуальной функции d переменных из Lp, 1 < р < +оо, ее сферическому модулю непрерывности в случае а > {d — 1)/2. Пример средних Фейера показывает, однако, что классических модулей гладкости оказывается недостаточно для описания качества аппроксимации даже в простейших случаях. Определенное расширение понятия гладкости было достигнуто путем перехода к .fi-функционалам, изначально возникшим в работах Ж. Петре по теории интерполяции пространств [39] (о свойствах iîf-функционалов с точки зрения теории приближений см., например, книгу [16]). Так в частности, в работе 3. Дитциана, В. Христова и К. Иванова [21] было отмечено, что ошибка приближения средними Фейера в метрике С эквивалентна К-функционалу, соответствующему производной Рисса. Задача же об эквивалентности ошибки приближения средними Бохнера-Рисса в случае а > (d — 1)/2 в метрике Lp при 1 < р < +оо if-функционалу, соответствующему оператору Лапласа, была решена в работе [19]. Возможности применения if-функционалов оказались, однако, весьма ограниченными. Определенная "паталогичность" их свойств в Lp при 0 < р < 1 была отмечена Ж. Петре [40]. Истинный же характер этой "паталогичности" был прояснен В. Христовым и К. Ивановым, показавшим, что if-функционалы, соответствующие обычным производным и оператору Лапласа, тождественно равны 0, если 0 < р < 1 [89]. В этой же работе были введены их реализации - новые объекты, которые пригодны для описания гладкости уже для всех 0 <р < +оо.

Оказывается, семейства линейных полиномиальных операторов, равно как и реализации, являются универсальными методами соответственно приближения и описания гладкости в смысле их применимости в полной шкале пространств Lp, а также их эквивалентности известным объектам в тех случаях, когда последние корректно определены. В данной работе показано, что эта аналогия носит не случайный характер а, более точно, качество приближения посредством СЛПО может быть адекватно описано именно в терминах реализаций. I

Учитывая вышесказанное, а также анализируя работу в целом, можно утверждать, что ее основным результатом является выработка единого подхода к решению многих теоретических и практических вопросов теории приближений периодических функций <1 переменных в полной шкале пространств Ьр, 0 < р < +оо. Его основные характеристики могут быть описаны следующим образом:

• главные объекты исследования - семейства линейных полиномиальных операторов и реализации обобщенных К-функционалов;

• основные утверждения формулируются в терминах четырех параметров: й - размерность, р - метрика, <р - генератор метода приближения, ф - генератор гладкости;

• проверка условий теорем сводится к изучению асимптотического поведения преобразования Фурье конкретных функций, являющихся теми или иными конструкциями от (р и ф\

• большинство результатов носит точный и окончательный характер: утверждения о сходимости формулируются в виде критериев, т. е. необходимых и достаточных условий, ранги сходимости методов, порожденных конкретными ядрами, находятся в явном виде, результаты о качестве приближения представляются в виде экви-валентностей тем или иным структурным характеристикам, т. е. полученные оценки сверху и снизу совпадают по порядку;

• многие известные классические утверждения, полученные для случая 1 < р < +оо, содержатся в результатах работы в качестве их частных случаев;

• разработанный подход позволяет давать короткие простые доказательства известных теорем и получать принципиально новые результаты теории приближений для случая 0 < р < 1;

• разработанный подход может быть применен к решению широкого спектра практических задач, связанных с численным приближением и обработкой данных и сигналов.

Приведем основные определения, опишем соотвествующий понятийный аппарат и введем систему обозначений, которые будет использоваться на протяжении всей работы.

Числа, векторы и множества. Посредством Rd, Zd, N, N0, € в работе обозначены ¿-мерные пространства векторов с вещественными и целыми компонентами, множество натуральных чисел, множество целых неотрицательных чисел и множество комплексных чисел, соответственно. В случае d = 1 часто используются обозначения Ж и Z вместо М1 и Z1. Тором Td называется множество классов d-мерпых векторов с различающимися на кратные 2тг числа компонентами. Интегрирование по тору означает интегрирование по d-мерному интервалу [0, 27r)d, который обозначается в работе тем же символом, при этом dx = dxi. dx¿. Для g-нормы вектора х = ., Xd), где О < q < +00, используются обозначения

I х L = (I I9 + . + I Xd \q)l'q , О < а < -t-oo , I х loo = max I Xj I. j=i,.,d J

Вместо | x ¡2 в работе используется символ | х | для длины вектора ж, a xh = xih\-\-. Л- x¿hd обозначает скалярное произведение векторов х и h. Знаки применяются для обозначения замкнутого и, соответственно, открытого шаров радиуса г с центром в точке Если жо = 0, то для обозначения этих объектов будут использоваться символы £)г и Иг

Пространства Ьр. Как обычно, пространство Ьр = Ьр(ТГ4*), где О < р < +оо, состоит из вещественнозначных измеримых 2 7г-периодиче-ских по каждой переменной функций f(x), х = (жх,., а^), для которых функционал конечен, а пространство Ь^ - это пространство С = C(Td) вещественнозначных 27г-периодических по каждой переменной функций,

Dr(x0) = { х в Md : | x-xq I < г } , Dr (®о) = {х erd : | х-х0 | < г } о снабженное нормой Чебышева

Н/Ноо = шах \/(х)\ . хета

Для пространств Ьр непериодических функций, заданных на некотором измеримом множестве С будет использоваться обозначение ЬР{П).

В данной работе нередко будут рассматриваться функции из пространств Ьр(Т2сг), которые зависят не только от основной переменной х Е М^, но и от параметра Л £ В этом случае символом || • ||р или |[ • \\Р]Х будет обозначаться 1/р-норма по отношению к переменной х. Для 1/р-нормы по параметру Л мы используем символ || • \\р.\. Для обозначения пространства ЬР(Т2(1), снабженного усредненной по отношению к Л нормой ■ II* = (2*Г<" II |ЫЫ|КА, (7) используется символ Ьр. Ясно, что Ьр может быть интерпретировано как подпространство Ьр с равенством соответствующих норм

II/II? = 11/11 р,

Как хорошо известно, функционал || • обладает свойствами нормы в том и только в том случае, когда 1 < р < + оо. Для 0 < р < 1 - это так называемая квази-норма, при этом неравенство "треугольника" выполняется для ее р-ой степени. Если мы положим р = тт(1,р), то неравенство + $||| < Н/11| +Ь\\Ь /,9<Е1р, (8) будет уже справедливо для всех 0 < р < +оо. Такая форма неравенства "треугольника" оказывается очень удобной, так как позволяет рассматривать нормированный и квазинормированный случаи единообразно. Более того, в целях упрощения понятийного аппарата мы будем использовать термин "норма" также и в случае 0 < р < 1.

Пространства тригонометрических полиномов. Пусть а - вещественное неотрицательное число. Символом Та обозначается пространство вещественнозначных тригонометрических полиномов (сферического) порядка не выше сг, т. е. (с - комплексное сопряжение к числу с £ С) = | Г(я) = £ ск е4** = \к1 = (к21 + . + к%)1/2<а 1 .

I кеъл )

Для обозначения пространства вещественнозначных тригонометрических полиномов независимо от их порядка будет применятся знак Т. Для О < р < +оо величина

ЕАЛр = И. || / - т II, (9)

1 Ь 1аносит название наилучшего приближения функции f в Ьр тригонометрическими полиномами порядка не выше а. В силу того, что для с1 = 1 при изменении параметра а в пределах п < сг < п 1 множество Та не меняется, в одномерном случае, как правило, рассматривают пространства ТП1 где п € N0. В многомерном же случае параметр а имеет смысл радиуса шара в и требование его натуральности уже не является естественным.

Символом Та,Р, где 0 < р < +оо, будем обозначать пространство если оно снабжено 1/р-нормой. Знак Та,р будет применяться для обозначения подпространства Ьр, состоящего из функций д(х, Л), таких, что д(х, Л) как функция х принадлежит % для почти всех Л. Ясно, что Та,р может быть рассмотрено как часть Та,р с тождественностью норм. Итак, в наших обозначениях линия над р всегда указывает на то, что мы имеем дело с функциями переменных.

Операторы в пространство удвоенного числа переменных.

Все операторы, с которыми мы будем иметь дело в данной работе, являются линейными операторами вида

Са • Ьр Туа,р С Ьр , О- > 0 , (10) где 0 < р < +оо и 7 > 0. Отметим, что классические методы приближения, например средние ряда Фурье, вкладываются в схему

С Ьр , а > 0 , где 1 < р < +оо, которая, очевидно, является частным случаем (10). Как обычно, оператор Са : Lp —> Lp называется ограниченным, если его норма

IIAJw = sup ПАДЛ Up (И)

НЛ1р<1 конечна. Совокупность операторов (Са) называется ограниченной в Lp, если множество их норм ограничено некоторой положительной константой, не зависящей от <т, т. е. sup || А, || (р) < +оо . (12) и > О

Совокупность (Са) называется сходящейся (сходится) в Lp, если для, каждой f Е Lp lim || / - Cc{f) ||р = 0 • (13)

7—> + 00

Скажем также, что совокупность (Са) линейных ограниченных операторов (10) является совокупностью типа Балле-Пуссена в Lp, 0 < р < +оо, если i) (Са) ограничена в Lp; ii) существует 0 < р < j, такое что Са(Т) = Т для каждых Т еТра и а > 0.

Преобразование Фурье и свертка. Преобразование Фурье и ему обратное для функции g 6 Li(Kd) определяются формулами

9(0 = J 9(x)e-^dx , gv(x) = (2ir)~d J d£ . (14)

Если функция представляется сложной формулой, то в работе, наряду со знаками g и gv, будут также использоваться символы Тд и J-~lg для обозначения прямого и обратного преобразования Фурье функции д. Пусть д\ и <72 принадлежат Li(Rd). Функция

9Г*~92(€) = J ~v)92{v)dr) (15) называется сверткой д\ и ¿72- Ее основным свойством является соотношение

9Г^92(х) = gi • д2(х), х Е (16)

Символами <S и <S' в работе обозначаются соответственно пространство Шварца быстро убывающих на бесконечности бесконечно дифференцируемых функций и ему сопряженное. Напомним, что для д Е S' и v Е Nq ее производная Х^д определяется соотношением

ТУд,Ч>) = (-1)И1(£,^> , (17) где

9М1

Знак (д, у?) обозначает, как обычно, действие элемента д Е <S' на тестовую функцию <р> £ S. Если д - регулярный элемент Sто = 19(0 НО dC- (19)

М<*

Преобразование Фурье распределения д Е S' определяется формулой д,<р) = (д$) , <peS . (20)

Отметим, что если д Е S' регулярна и бесконечно дифференцируема на множестве R(1 \ {0}, то ограничение T>vg на подпространство

SQ = {(р Е S : supptp С Rd \ {0}} совпадает как элемент сопряженного пространства Sq с поточечной производной функции д.

Однородные функции. Пусть а Е Ж. Класс На однородных функций порядка а состоит по определению из функций ф, удовлетворяющих следующим условиям: i) ф - комплекснозначная определенная на M.d \ {0} функция, ii) ф бесконечно дифференцируема на Rd \ {0}, iii) ф{~0 = Ф(0 Для всех £ ^ пг) ф(т£) = таф{£) для всех г > 0 и ^ 6 М'2 \ {О}.

При а > О предполагается, что ф доопределена в 0 по непрерывности, т. е., ф(0) = 0. В случае же а < 0 функция ф доопределяется в 0 произвольным способом. Класс Иа состоит по определению из функций ф Е На, для которых ф(£) 0 при £ € (однородные функции эллиптического типа).

Важными подклассами классов однородных функций являются множества

Пт = ^ а-к = Щ > С Нт к\i-rn ) однородных полиномов (1 переменных порядка т£М, где = ^ • . • Отметим также хорошо известный факт о том (см., например, [88] или [71]), что преобразование Фурье однородной функции порядка а) интерпретируемой как распределение, также является однородным распределением, но уже порядка — с£ — а, т. е.

Т : На —Н-а-а • (21)

Отношения. Для величин А я В, зависящих от/ип или а, а также ряда параметров, символ А х В обозначает эквивалентность, т. е. выполнение неравенств с\А < В < С2А с некоторыми положительными постоянными с\ и С2, которые не зависят от / и п или а. Знаки О (О большое) и о (о малое) используются в работе в их привычном смысле.

В разных формулах (но никогда в одной и той же), которые содержат положительные константы, обозначаемые знаками с, с', С2, и. т. д., эти константы могут иметь разное значение.

Генераторы методов приближения. Многие тригонометрические ядра и соответствующие методы приближения (см. ниже) производятся при помощи некоторой функции, называемой генератором. Класс допустимых генераторов будет обозначаться символом 1С. По определению он состоит из функций у?, удовлетворяющих следующим условиям:

I) ср - комплекснозначная непрерывная на функция,

II) (р имеет компактный носитель, (ш) </?(-£) = Щ) Для всех £ € Ж^ ,

Н р(0) = 1 ■

Важные характеристики функции <р Е /С, которые будут часто использоваться в дальнейшем, это радиус ее носителя г{ф) = аир{ | С I = ¥>(0^0} (22) и ранг тех р, для которых ее преобразование Фурье принадлежит пространству Ьр(Жа), т. е. множество

Ту = {р£{0, +оо] : (р Е ЬР(Ж*) } . (23)

Так как Ит^^+оо | (р{х) \ = 0, то (р Е Ьр>(Ж^), если <р Е Ьр(М.а), для р' > р. Следовательно, - это множество вида (ро5 +оо] или [р0, +оо], где ро = т£

Отметим, что в классической теории приближений обычно имеют дело с вещественнозначными четными генераторами. Предложенное же в работе расширение класса допустимых генераторов мотивируется необходимостью конструктивного описания структурных характеристик функций, соответствующих гладкостям нечетного порядка, например, обычной производной первого порядка (см. подраздел 5.5).

Тригонометрические ядра и их типы. Матрица вида

А - {аП|* € С : ап^к = а^, к Е | к | < г(А)п, п Е М0} , (24) где г (Л) - некоторое положительное вещественное число, называется матрицей множителей сходимости. Она определяет тригонометрические ядра И^Л), п Е N0, по закону

УГп{К){Ь) = ащк е1кн , п Е М0 , Н Е . (25)

Ясно, что функции И^Л) принадлежат 7^(л)п- Большую роль в работе играют величины

МрЛ(п) = (п-Ы^/^ЦТ^^Цр, МдА = вир Мр>А(п), (26) а также множество

Р(Л) = {ре (0,+оо] : МрЛ < +оо} . (27)

Важный частный случай (24) - матрицы вида

Л(<р) = { ап,к} : а0,0 = 1; ащк = <р (^у) » кеЪА, п <Е N , (28) где <т(п) - некоторая строго возрастающая последовательность положительных чисел порядка п, т. е. сг{п) х п, а функция (р принадлежит классу /С. В этом случае ядра (24) называются ядрами типа (С), а функция (р - их генератором,. При этом г (Л) = г (<£>), в (28) дискретный параметр п е Мо может быть заменен на непрерывный а > 0, а вместо символов ТУП(Л), МР)\(п), МР)д и 'Р(Л) используются соответственно обозначения \¥а((р), Мр)(Дсг), МР)(Р (с эир^о вместо 8ирпеМо), а также 7-*(</?)■ Таким образом, ядра типа (С) определяются формулами

1У0(<р)(Н) = 1, Ша(ср)(к) = Х> (£) , с > 0 . (29)

Далеко не всегда матрица множителей сходимости может быть представлена в виде (28). Однако и в таких случаях нередко можно ввести понятие генератора. Скажем, что матрица Л вида (24) относится к типу (СИ,), если

Л - А(<р) + Я, Д = { гп>к} ; 1нп г„ Л = 0, к е (30)

П-+ + оо где А((^?) = {</?(/с/гг)}, <р е К,, и это представление единственно. Пусть 0 < а < 1. Скажем, что Л вида (30) имеет тип (СИ"), если Ма)д < +оо для ее матрицы остатков. Если же

Ма,Я = вир Ма,я(п) < +00 , (31) где ма,к(п) = (п + ц«1/"-1)||^„(Д)||2, пбМо, (32) то матрица (30) имеет, по определению, тип (011а). В главе 1 показано, что вЯа с ае . (зз)

Методы приближения. Каждая матрица вида (24) производит классические методы приближения, т. е., средние Фурье и интерполяционные средние, а также семейства линейных полиномиальных операторов по следующим законам:

0 = J f(h) Wn(k)(x - h) dh ; (34)

Td

2 n

4Л)(/; x) = (2N + l)~d ■ £ / • W„(A) [x - VN) ; (35) v=0

2n = (2АГ + ■ Ef № + л)• (rr-t^-A) , (36) v=0 где A £ tf - параметр, x, h, v - (¿-мерные векторы, N = [rn] для некоторого г > г (Л), а также

0 2JV 2АГ 2n Е = Е-Е ■ и=0 щ=0 i>d=0

Понятия норм || J7^ ||(р), ||(р) в Ьр средних Фурье и интерполяционных средних, а также их сходимости, рассмотриваются в работе в их привычном смысле. В главе 1 будет показано, что семейство (36) является примером оператора вида (10). В силу (11)-(13) его нормой естественно назвать величину

1К^1}||(Р)= sup \\C<£)x(f]x)\\p,neN0, (37)

1!/11р<1 а ограниченность в Ьр, 0 < р < +оо, и, соответственно, сходимость понимать в смысле sup ||4Л)11(Р) < , (38) пе n0

JimJf-C<£{(f)\\p = Q, feLp. (39)

В случае, когда матрица имеет вид (28), где <р £ /С, дискретный параметр п е N заменяется на непрерывный а > 0, методы (34)-(36) называются методами, произведенными генератором ср, и обозначаются соответственно символами и т. е., (2<к)-а I/(Н)УГа(ч>)(х - Ь)йк ; (40) та

2Ы (41) и=0

2ЛГ

4?а(/; = (2АГ + 1)-* + Щг(р) (х - - А) , (42) 0 где А7" = [гсг] для некоторого г > г{ф). Ясно, что при этом в формулах (37)-(39) также следует произвести очевидные изменения.

Гладкость и структурные характеристики. Каждая функция ф £ 'На: а > 0, производит:

• линейный оператор мулътипликаторного типа

Т>(ф) : е1рх —> , у еЪ*\ (43)

• пространство ф-гладких функций

Хр{ф) = {деьр: Т>(ф)д еьр}-, (44)

• обобщенный К-функционал (/ € Ьр, 5 > 0) ад, 5)р = Ы: { || / - д ||р + || V{ф)g ||р } ; (45) дехр(ф)

• его реализацию (/ 6 Ьр, 6 > 0)

М/. = { II / - Т ||р + 5е II V(Ф)T ||р } . (46)

Для наиболее часто встречающихся в теории приближений ^-функционалов и их реализаций вида (45)-(46) будем использовать специальные обозначения. В одномерном случае функции ф(£) = и ф(£) = | £ |а производят К-функционалы

ЗД 5)р = ш£ {\\f-g ||р + 5а || дЫ ||р } , (47) к{а) (/, ¿>)Р= т£ { II / - д ||р + 8* II д<*> ||р } , (48) соответствующие производной Вейля (обычной производной, если а £ М) и производной Рисса. В многомерном случае часто имеют дело с К-функционалом, порожденным оператором Лапласа ("0(0 = I С |2)

ГД(/, 3)р = ш£ {|| /-д ||Р + ¿2 || Ар ||р } . (49) д: Ад € Ьр

Естественное обобщение (48) на случай нескольких переменных приводит к К-функционалу, соответствующему степени оператора Лапласа

КьЛМ, = , Ш , { II / - 3 II? + йа II (-А)а/2<? \\Р } ■ (50) д: (—А)а/2д е Ьр I >

Соответствующие выражения для реализаций получаются, если в формулах (47)-(50) заменить символ К на /С.

В классической теории наиболее хорошо изученными объектами являются структурные характеристики, порожденные обычными производными {й = 1, ф(£) = & ^ М), а также оператором Лапласа {Ф(0 = |£|2)- Напомним также, что необходимость расширения множества допустимых генераторов гладкости вызвана тем обстоятельством, что даже в некоторых простейших случаях, например, для средних Фейера, качество приближения не может быть описано в терминах классических объектов. Использование же однородных функции в качестве генераторов гладкости мотивируется следующими причинами:

• все известные гладкости, в том числе и упомянутые выше дробные производные, произведены именно однородными функциями,

• имеет место правило (21), позволяющее исследовать такие гладкости с помощью аппарата анализа Фурье.

Приведем теперь основные результаты данной работы и снабдим их соответствующиеми комментарииями исторического и методического характера. Глава 1 посвящена исследованию проблемы сходимости семейств линейных полиномиальных операторов в шкале пространств Lp, О < р < +оо, а также прикладным аспектам метода. В подразделе 1.1 изучаются общие операторы типа (10).

Теорема 1.1 Пусть 0 < р < +оо и 7 > 0. Совокупность линейных ограниченных операторов {Со) типа (10) сходится в Lp тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: i) lim \\eik- - Ca{eik')\\p = 0 для каждого k G Zd ; a—J-+OQ ii) (Ca) ограничена в Lp .

Теорема 1.2 Пусть 0 < p < +00 и у > 0. Пусть такоюе (Са) является совокупностью типа Валле-Пуссена в Lp для некоторого 0 < Р < 7- Тогда

-Аг(/)|1р < cEpa{f)p, feLp,a>0, (51) где с = (l + sup||£a||fp)) .

Теорема 1.3 Пусть 0 < р < 4-оо; 0 < р < 7 и t) - неотрицательная на [0,+оо) локально ограниченная функция, а ф(0) = 0. Если совокупность линейных ограниченных операторов (Са) вида (10) удовлетворяет условию

II/-АЛЛ Ир < ^{EPa{f)P) для всех / G Lp и а > 0, то {£&) является совокупностью типа Валле-Пуссена в Lp.

Теорема 1.4 Пусть 0 < р < +оо, 7 > 0 и (£$), j = 1,2, - совокупности линейных ограниченных операторов вида (10). Если они ограничены в Lp и С^ (Г) = С{(Т) для каэтдого Т G TJC7 и а > 0, то

II / - ^'(ЛИр х II / - 42)(Л11? ■ / е Ьр, V > о ■ (52)

Теорема 1.5 Пусть {Са) совокупность линейных ограниченных операторов вида (10), ограниченная в пространствах ЬРо и ЬР1, где О < ро < р\ < +оо. Тогда она ограничена и в Ьр для всех ро < р < р\ и, более того,

II£»И(р) < 11^11ы'11£Х,). "2:0, = + .

1. Арестов В. Об интегральных неравенствах для тригонометрических полиномов и их производных // Изв. Акад наук СССР. 1981. Т. 45. С. 3-22.

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

3. Belinski Е., byfly and I. Approximation properties in Lp, 0 < p < 1 // Funct. et Approx. 1993. Vol. 22. P. 189-200.

4. Березанский Ю. M., Шефтелъ 3. Г., Усс Г. П. Функциональный анализ. Киев: Вища школа, 1990.

5. Bergh J., Loefstroem J. Interpolation Spaces. Berlin: Springer, 1976.

6. Бернштейн С. H. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени // Соч. М.: Изд-во АН СССР. 1952. С. 11-104.

7. Burinska Z., Runovski К., Schmeisser H.-J. On the method of approximation by families of linear polynomial operators // Zeitschrift fuer Anal, und Anwend. (ZAA). 2000. Vol. 19. № 3. P. 677-693.

8. Burinska Z., Runovski K. Homogeneous inequalities for trigonometric polynomials and bandlimited functions // In: 3. Workshop "Orthogonal polynomials", Inzell, 14.-18.04.2000. Schriftreihe des IBB. 2000. Abstract. P. 17.

9. Burinska Z., Runovski K., Schmeisser H.-J. On the approximation by generalized sampling series in Zymetrics // Sampling Theory in Signal and Image Processing (STSIP). 2006. Vol. 5. № 1. P. 59-87.

10. Burinska Z., Runovski K., Rystsov I., Schmeisser H.-J. On stochastic-analytical approaches to sociological surveys data processing // Jenaer Schriften zur Math, und Inf. 2006. Math/Inf/17/06. Preprint. 24 pages.

11. Butzer P., Nessel R. Fourier Analysis and Approximation. Vol. 1. New-York k, London: Acad. Press, 1971.

12. Butzer P., Splettstoesser W., Stens R. The sampling theorem and linear prediction in signal analysis // Jahresbericht der Dt. MathVerein. 1988. Vol. 90. P. 1-70.

13. Голубое Б. И. О приближении функций нескольких переменных средними Рисса // Мат. заметки. 1975. Т. 17. № 2. С. 181-191.

14. Golubov В. I. On Gibbs' phenomenon for Riesz spherical means of multiple Fourier integrals and Fourier series // Analysis Math. 1978. Vol. 4. P. 269-287.

15. Golubov В. I. On Abel-Poisson type and Riesz means // Analysis Math. 1981. Vol. 7. P. 161-184.

16. DeVore R., Lorenz G. Constructive Approximation. Berlin-Heidelberg: Springer, 1993.

17. Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials 11 Trans. Amer. Math. Soc. 1912. Vol. 14. P. 491-515.

18. Ditzian Z. Measure of smoothness related to the Laplacian // Trans. AMS. 1991. Vol. 326. P. 407-422.

19. Ditzian Z. On Fejer and Bochner-Riesz means //J. Fourier Anal. Appl. 2005. Vol. 11. № 4. P. 489-496.

20. Ditzian Z., Ivanov K. Strong converse inequalities //J. d'Analyse Mathématique. 1993. Vol. 61. P. 61-111.

21. Ditzian Z., Hristov V., Ivanov K. Moduli of smoothness and K-functionals in Lp, 0 < p < 1 // Constr. Approx. 1995. Vol. 11. P. 67-83.

22. Ditzian Z., Runovski K. Averages and if-functionals related to the1.placian // J. Approx. Theory. 1999. Vol. 97. P. 113-139.

23. Ditzian Z., Runovski K. Realization and smoothness related to the Laplacian // Acta Math. Hungar. 2001. Vol. 93. № 3. P. 189-223.

24. Ehrenmark U. T. A three-point formula for a quadrature of oscillatory integrals with variable frequency //J. Comput. Appl. Math. 1988. Vol. 21. P. 87-99.

25. Ефимов А. В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена I // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1960. Т. 24. № 3. С. 431-468.

26. Ефимов А. В. О приближении периодических функций суммами Валле-Пуссена II // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23. № 5. С. 737-770.

27. Иванов В. И. Прямые и обратные теоремы теории приближений в метрике Ьр для 0 < р < 1 // Мат. заметки. 1975. Т. 18. № 5. С. 641-658.

28. Иванов В. И., Юдин В. О тригонометрической системе в 0 < р < 1 // Мат. заметки. 1980. Т. 28. С. 859-868.

29. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1965.

30. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2 т. Т. 2. М.: Мир, 1965.

31. Кашин Б. ССаакян А. А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984.

32. Коровкин П. Линейные операторы и теория приближений. М.: Физматгиз, 1959.

33. Lasser R. Introduction to Fourier series. New-York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker, 1996.

34. Lasser R., Obermeier J. Characterization of Blackman kernels as approximate identities. 2001. Schriftreihe des IBB. Preprint. 2001.

35. Lasser R., Runovski K. General convergence theory for methods of trigonometric approximation // Schriftreihe des IBB. 2003. Preprint 03-12. 51 pages.

36. Лизоркин П. К., Орловский Д. Г. Некоторые интерполяционные формулы для тригонометрических и экспоненциальных полиномов и соответствующие оценки // Труды семинара С. JI. Соболева. 1976. Т. 1. С. 60-71.

37. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

38. Освальд П. О скорости приближения средними Валле-Пуссена тригонометрических рядов в метрике Lp, 0 < р < 1 // Изв. Акад. наук Армянской ССР. 1983. Т. 18. С. 230-245.

39. Peetre J. Applications de la theorie des espaces d'interpolation dans l'analyse harmonique // Ricerche Mat. 1966. Vol. 15. P. 1-34.

40. Peetre J. A remark on Sobolev spaces //J. Approx. Theory. 1975. Vol. 13. P. 218-228.

41. Peetre J. New Thoughts on Besov Spaces. Durham: Duke Univ. Math. Series, Duke Univ. Press, 1976.

42. Потапов M. К. Приближение "углом" и теоремы вложения // Math. Balkanica. 1972. № 2. С. 183-188.

43. Потапов М. К. О приближении "углом" // Труды конф. по констр. теории ф-ий. Будапешт. 1972. С. 371-399.

44. Wright Е. М. The asymptotic expansion of the generalized hypergeomet-ric function //J. London Math. Soc. 1935. Vol. 10. P. 286-293.

45. Rudin W. Functional Analysis. McGraw-Hill Inc., Second edition, 1991.

46. Руновский К. В. Об одной оценке интегрального модуля гладкости // Изв. вузов. Сер. матем. 1992. № 1. С. 78-80.

47. Руновский К. В. Соотношения между периодическими и неперео-дическими модулями гладкости // Мат. заметки. 1992. Т. 52. № 2. С. 111-113.

48. Руновский К. В. О приближении "углом" в пространствах Ьр, 0 < р < 1 // Докл. АН СССР. 1992. Т. 322. № 1. С. 45-47.

49. Руновский К. В. О приближении алгебраическими многочленами в пространствах Ьр, 0 < р < 1 // Докл. РАН. 1992. Т. 323. № 2. С. 238-240.

50. Руновский К. В. Прямая теорема о приближении "углом" в пространствах Ьр, 0 < р < 1 // Мат. заметки. 1992. Т. 52. № 5. С. 93-96.

51. Руновский К. В. Об одном методе суммирования рядов Фурье-Якоби // УМЖ. 1993. Т. 45. № 5. С. 676-680.

52. Руновский К. В. О семействах линейных полиномиальных операторов в пространствах Ьр, 0 < р < 1 // Мат. сборник. 1993. Т. 184. № 2. С. 33-42.

53. Руновский К. В. О модулях гладкости тригонометрического полинома в пространствах Ьр, 0 < р < 1 // Мат. заметки. 1993. Т. 54. № 5. С. 78-83.

54. Руновский К. В. Прямая и обратная теоремы теории приближений в пространствах Ьр с 0 < р < 1 // Докл. РАН. 1993. Т. 331. № 6. С. 684-686.

55. Руновский К. В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах Ьр, 0 < р < 1 // Мат. сборник. 1994. Т. 185. № 8. С. 81-102.

56. Руновский К. В. Обобщение теоремы Марцинкевича-Зигмунда // Мат. заметки. 1995. Т. 57. № 2. С. 259-264.

57. Runovski К., Sickel W. Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities, trigonometric interpolation on non-uniform grids and unconditional Schauder basis in Besov spaces on the torus // Zeitschrift fuer Anal, und Anwend. (ZAA). 1997. Vol. 16. № 3. P. 669-687.

58. Runovski K., Schmeisser H.-J. Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities for irregular knots and mixed metrics // Вестник Росс. Ун-та дружбы народов. Сер. матем. 1997/98. Т. 4-5. № 1. С. 90-115.

59. Runovski К. Schmeisser H.-J. On Marcinkiewicz-Zygmund type inequalities for irregular knots in Lp-spaces, 0 < p < +oo // Math. Nachrichten. 1998. Vol. 189. P. 209-220.

60. Runovski K. On various methods of trigomnometric approximation // In: 3. Workshop "Orthogonal polynomials", Inzell, 14.-18.04.2000. Schriftreihe des IBB. 2000. Abstract. P. 23-24.

61. Runovski K. On Jackson's type inequalities in Orlicz classes // Revista Mat. Сотр. 2001. Vol. 14. № 2. P. 394-404.

62. Runovski K., Schmeisser H.-J. Inequalities of Calderon-Zygmund type for trigonometric polynomials // Georgian J. of Math. 2001. Vol. 8. № 1. P. 165-179.

63. Runovski K., Schmeisser H.-J. On some extensions of Bernstein's inequalities for trigonometric polynomials // Funct. et Approx. 2004. Vol. 29. P. 125-142.

64. Runovski K., Schmeisser H.-J. On the convergence of Fourier means and interpolation means //J. Сотр. Anal, and Appl. 2004. Vol. 6. № 3. P. 211-220.

65. Runovski K., Rystsov L, Schmeisser H.-J. Computational aspects of a method of stochastic approximation // Zeitschrift fuer Anal, und Anwend. (ZAA). 2006. Vol. 25. № 3. P. 367-383.

66. Runovski K., Schmeisser H.-J. On approximation methods generatedby Bochner-Riesz kernels //J. Fourier Anal, and Appl. 2008. Vol. 14. P. 16-38.

67. Runovski K. Approximation by families of linear polynomial operators // В: Труды межд. конф. "Современные проблемы математики, механики и их приложения", поев. 70-летию ректора МГУ акад. В. А. Садовничего (30 марта 2 апреля 2009г.). С. 107-108.

68. Schmeisser H.-J., Sickel W. Characterization of periodic function spaces via means of Abel-Poisson and Bessel-potential type // JAT. 1990. Vol. 61. No 2. P. 239-262.

69. Schmeisser H.-J., Triebel H. Topics in Fourier Analysis and Function Spaces. Chichester: John Wiley & Sons, 1987.

70. Sloan I. H., Kuo F. Y., Joe S. Constructing randomly schifted lattice rules in weighted Sobolev spaces // SIAM J. Numer. Anal. 2002. Vol. 40. No. 5. P. 1650-1665.

71. Stein E. M. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton: Univ. Press, 1970.

72. Stein, E. M. Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton: Univ. Press, 1993.

73. Stein E. M., Weiss G. Introduction to Fourier Analysis on Eucliadean Spaces. Princeton: Univ. Press, 1971.

74. Стечкин С. Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштей-на. ДАН СССР. 1948. Т. 60. С. 1511-1514.

75. Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1951. Т. 15. № 3. С. 219242.

76. Степанец А. И. Методы теории приближений. В 2 т. Т. 1. Киев: Труды ин-та мат-ки НАНУ, 2002.

77. Сторооюенко Э. А., Кротов Б. Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Lp, 0 < р < 1 // Матем. сборник. 1975. Т. 98. №3. С. 395-415.

78. Storozhenko Е. A., Oswald P. Moduli of smoothness and best approximation in the spaces Lp, 0 < p < 1 // Analysis Math. 1977. Vol. 3. № 2. P. 141-150.

79. Сторооюенко Э. А., Освальд П. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Mn), 0 < р < 1 // Сиб. матем. журнал. 1978. Т. 19. № 4. С. 888-901.

80. Taberski R. Approximation in the Frechet spaces Lp (0 < p < 1) // Funct. et Approx. 1979. Vol. 7. P. 105-121.

81. Taberski R. Approximation properties of some means of Fourier series // Funct. et Approx. 1998. Vol. 26. P. 275-286.

82. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

83. Тихомиров В. Н. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.

84. Triebel Н. Theory of Function Spaces. Leipzig: Geest & Portig, 1983.

85. Triebel H. Higher Analysis. Leipzig-Berlin-Heidelberg: Johann Ambrosius Barth, 1992.

86. Тригуб Р. М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и аппроксимация полиномами на торе // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т.44. С. 1378-1409.

87. Турецкий А. X. О классах насыщения для некоторых методов суммирования рядов Фурье непрерывных периодических функций / / Успехи мат. наук. 1960. Т. 15. № 6. С. 149-156.

88. Hoermander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators

89. Distribution Theory and Fourier Analysis. Berlin, Heidelberg, New-York, Tokio: Springer-Verlag, 1983.

90. Hristov V., Ivanov K. Realizations of if-functionals on subsets and constrained approximation // Math. Balkanica. 1990. Vol. 4 (New Series). P. 236-257.

91. Chen W., Ditzian Z. Best approximation and ii-functionals // Acta Math. Hungar. 1997. Vol. 75. No. 3. P. 165-208.