О суммировании кратных тригонометрических рядов и сопряженных функциях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. О СИЛЬНОМ СУММИРОВАНИИ ПО ПРЯМОУГОЛЬНИКАМ

§ 1.1. Обозначения, определения.

§ 1.2. Равномерное сильное суммирование.

§ 1.3. О некоторых неравенствах, связанных с (Н7К) суммируемостью простых тригонометрических рядов

Фурье.

§ 1.4. О сильной суммируемости почти всюду кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженных рядов.'.

ГЛАВА II. О СИЛЬНЫХ СРЕДНИХ ТИПА И.МАРЦИНКЕВИЧА

§ 2.1. Аппроксимативные свойства сильных средних типа

И.Марцинкевича.

§ 2.2. Об экспоненциальных сильных средних типа

И.Марцинкевича.

ГЛАВА III. 0 СУММИРОВАНИИ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ ЛИНЕЙНЫМ МЕТОДАМИ

§ 3.1. Об оценках приближения функций мультипликативными линейными средними, выраженных через наилучшие приближения квазиполиномами.

§ 3.2. 0 прямоугольных суммах Валле Пуссена.

ГЛАВА 1У. 0 ПОВЕДЕНИИ СОПРЯЖЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ И СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

§ 4.1. Некоторые утверждения о кратных числовых рядах.

§ 4.2. Об ограниченности сходящихся средних кратных функциональных рядов.

§ 4.3. О теоремах А.И.Плеснера, И.Марцинкевича

А.Зищунда.

ГЛАВА У. О СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЯХ

§ 5.1. К задаче П.Л.Ульянова о существовании сопряженных функций многих переменных.

§ 5.2. К задаче М.Гусмана о максимальной функции Харди

Литтлвуда.

§ 5.3. К задаче Л.Лейндлера о сильной аппроксимации рядами

Фурье и классах Липшица.

Диссертационная работа посвящается вопросам суммируемости кратных тригонометрических рядов Фурье и сопряженным функциям. Она состоит из введения и пяти глав.

1. Ахиезер Н.И., Левин Б.Я. Обобщение неравенства С.Н.Бернштей-на для производных от целых функций. Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного. М.:Физ-матгиз, 1960.

2. Байбородов С.П. Приближение функций суммами Валле Пуссена.-Матем. заметки, 1980, т.27, с.33-47.

3. Байбородов С.II. 0 приближении функций многих переменных прямоугольными суммами Валле Пуссена.- Матем. заметки, 1981, т.29, с.711-730.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.:Физматгиз, 1961.

5. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшее приближение и дифференциальные свойства двух сопряженных функций.- Тр.ММО, 1956,с.485-522.

6. Бернштейн С.Н. 0 наилучшем приближении функций нескольких переменных посредством многочленов или тригонометрических сумм.-Тр. матем. ин-та АН СССР, 1951, т.38, с.24-30.

7. Бернштейн С.Н. 0 наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени .-Собр. соч.,т.I,с.11-104.

8. Брудный Ю.А. Приближение функций и переменных квазиполиномами.-Изв. АН СССР, 1970, т.34, с.555-583.

9. Гоголадзе Л.Д. 0 суммировании двойных сопряженных тригонометрических рядов.- Сообщ. АН ГССР, 1969, т.54, с.21-24.

10. Гоголадзе Л.Д. 0 (Н^к) -суммируемости кратных тригонометрических рядов Фурье.-ДАН СССР, 1971, т.200, с.1266-1268.

11. Гоголадзе Л.Д. К вопросу А -суммируемости двойных тригонометрических рядов Фурье.- Матем. заметки, 1972, т.II, с.145-150.

12. Гоголадзе Л.Д. Об ограниченности некоторых сходящихся среднихкратных функциональных рядов одного класса.-Сообщ. АН ГССР, 1972, т.68, с.33-35.

13. Гоголадзе Л.Д. О поведении кратных степенных рядов на остове границы.-Аннот.докл.семинара ИПМ ТГУ, 1973, т.7,с.19-21.

14. Гоголадзе Л.Д. О (Н} к) -суммируемости кратных тригонометрических рядов Фурье.-Изв. АН СССР, 1977, т.41, с.937-956.

15. Гоголадзе Л.Д. К задачам Л.Лейндлера об аппроксимации рядами фурье и классах Липшица.-Сообщ. АН ГССР,1980,т.98, с.289-292.

16. Гоголадзе Л.Д. 0 сильном суммировании простых и кратных тригонометрических рядов Фурье.-Некот.вопр.теор.функц.,Тб.:1981, т.2, с.5-30.

17. Гоголадзе Л.Д. 0 сильных средних типа Марцинкевича.-Сообщ. АН ГССР, 1981, т.102, с.293-295.

18. Гоголадзе Л.Д. Об ограниченности сходящихся средних кратных функциональных рядов.-Матем.заметки,1983, т.4, с.845-855.

19. Гоголадзе Л.Д. 0 максимальной функции Харди-Литтлвуда.-Сообщ. АН ГССР, 1983, т.III, с.257-259.

20. Гоголадзе Л.Д. К вопросу существования сопряженных функций многих переменных.- Сообщ. АН ГССР, 1984, т.ИЗ,с.477-479.

21. Гоголадзе Л.Д. 0 суммировании кратных тригонометрических рядов линейными методами.-Сообщ.АН ГССР,1984,т.114 с.485-488.

22. Гоголадзе Л.Д. 0 существовании сопряженных функций многих переменных. -Матем. сб. ,1984, т. 225 с. 481-488.

23. Гуния Н.К. К обобщению теоремы А.И.Плеснера о сопряженныхтригонометрических рядах.-Сообщ.АН ГССР, 1983,т.109, с.25-27.уэ п

24. Гусман М. Дифференцирование интегралов в К М.:Мир, 1978.

25. Дамен В. 0 наилучшем приближении и суммах Балле Пуссена.-Матем.заметки, 1978, т.23, с.671-683.

26. Дьяченко М.И. 0 рядах Фурье с монотонно убывающими коэффициентами и некоторых вопросах гладкости сопряженных функций.-Сообщ. АН ГССР, 1981, т.104, с.533-536.

27. Жижиашвили Л.В. 0 некоторых свойствах Чезаровских средних рядов Фурье.- Тр. Моск. общ-ва, 1966, т.15, с.145-180.

28. Жижиашвили Л.В. 0 суммировании двойных рядов Щурье.- Сиб. матем. журн., 1967, т.8, с.548-564.

29. Жижиашвили Л.В. Обобщение одной теоремы Марцинкевича.- Изв. АН СССР, 1968, т.32, с.1112-1122.

30. Жижиашвили Л.В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси, Изд-во ТГУ, 1969.

31. Жижиашвили Л.В. 0 некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических и ортогональных рядов.- УМН, 1973,т.28, 65-119.

32. Жижиашвили Л.В. Обобщение одной теоремы М.Рисса на случай функций многих переменных.- Матем. заметки, 1968, т.4, с .269279.

33. Зерекидзе Т.Ш. Об интегрируемости максимальных функций Харди-Литтлвуда.- Сообщ. АН ГССР, 1980, т.98, с.297-300.

34. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т.1. М.:Мир, 1965.

35. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. т.2. М.:Мир, 1965.

36. Кокилашвили В.М. Максимальные функции в весовых пространствах. Тр. Тбил. матем. ин-та, 1980, т.65, с Л10-121.

37. Кокилашвили В.М. 0 весовых пространствах Лизоркина-Трибеля. Сингулярные интегралы, мультипликаторы, теоремы вложения.-Тр. Матем. ин-та им.В.А.Стеклова, 1983, бъх1 ,с.125-149.

38. Осколков К.И. Подпоследовательности сумм Фурье функции с заданным модулем непрерывности.- Матем. сб., 1972, т.88, с.447-469.

39. Осколков К.И. К неравенству Лебега в равномерной метрике и на множестве полной меры.- Матем. заметки, 1975, т.18, с. 516555.-25140. Осколков К.И. К неравенству Лебега в среднем. Матем. заметки, 1979, т.25, 551-555.

40. Плеснер А.И. О сопряженном тригонометрическом ряде.- ДАН СССР, 1935, т.4, с.747-755.

41. Потапов М.К. Исследование некоторых классов функций при помощи приближения "углом".- Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1972, т.117, с.256-291.

42. Привалов И.И. Интеграл Коши. Саратов, 1919.

43. Привалов И,И, Sur la convergence des séries trigonométri-ques conjugées.-Compt.Rend.Ac.Sci.,1916, v.l62,p.123-126.

44. Степанец A.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев:Наукова думка, 1981.

45. Стечкин С.Б. 0 приближении периодических функций суммами Фей-ера.-Тр. Матем. ин-та им.В.А.Стеклова, 1961, т.12, с.48-60.

46. Стечкин С.Б., Ульянов П.Л. Подпоследовательности сходимости рядов.- Тр. Матем. ин-та АН ССР, 1965, т.36, с.3-81.

47. Стоколос A.M. 0 дифференцировании кратных интегралов базисами из прямоугольников.- Сообщ. АН ГССР, 1984, т.114,с.477-480.

48. Тиман М.Ф. К вопросу о связи между полным и частными наилучшими приближениями функций многих переменных.- ДАН СССР, 1959, т.124, с.527-528.

49. Тиман М.Ф., Гаймназ аров Г. Уклонение периодических функций двух переменных от некоторых полиномов.- ДАН Тадж.ССР, 1972, т.15, с.6-8.

50. Тиман М.Ф., Пономаренко В.Г. 0 приближении периодических функций двух переменных суммами типа Марцинкевича.- Изв. высш. учеб.завед., 1975, т.9, с.59-67.

51. Толстов Г.П. Замечание к теореме Д.Ф.Егорова.- ДАН СССР,1939, т.22, с.309-311.

52. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами.- Изв. АН СССР, 1964, т.28, 925-950.

53. Церетели О.Д. Об одном случае суммируемости сопряженных функций.- Тр. Тбил.матем. ин-та, 1968, т.34, с.155-159.

54. Церетели О.Д. Метрическая характеристика множества функций, максимальные функции которых суммируемы.- Тр. Тбил.матем. инта, 1972, т.42, с.104-118.

55. Челидзе В.Г. Некоторые методы суммирования двойных рядов и двойных интегралов. Тбилиси, Изд-во ТГУ, 1977.

56. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.:ИЛ,1948.

57. Янушаускас А.И. Двойные ряды. Новосибирск:Наука, 1980.

58. Alexits G., Kralik D. Uber die Approximation mit starken de la Vallee-Poussinschen Mitteln.- Acta Math.Scien.Hung.,1965, v.l6, p.43-49.

59. Approximation and function spaces. Proceedings of the International Conference held in Gdansk, August 27-31, 1979.

60. Ash J.M. and Welland G.V. Convergence, uniqueness and summa-bility of multiple trigonometric series.-JAMS, 1972, v.163, p.401-436.

61. Ash J.M. and Gluck L. Convergence and divergence of series conjugate to a convergent multiple Fourier series.- JAMS, 1975, v.207, p.127-142.

62. Bagby R.J. A note on the strong maximal function.-Proc. of the Amer.Math.Soc., 1983, v.88, p.648-650.

63. Calderon A.P. On the behaviour of harmonic functions on the boundary.- TAMS, 1950, v.68, p.47-54.

64. Calderon A.P., Zygmund A. Note on the boundary values of functions of several complex variables.- Ann.Math.Studies, 1950, v.25, p.166-188.

65. Pava N. A. Weak type inequalities for product operators.-Studia Math., 1972, v.42, p.271-288.

66. Gomez M.E. Note on the strong maximal operator.-Studia Math., 1983, v.76, p.225-248.

67. Guzman M., Welland G.V. On the differentiation of integrals.-Rev.Un.Mat.Argentina, 1971, v.25, p.253-276.

68. Guzman M. An inequality for the Hardy-Littlewood maximal operator with respect to a product of differentiation bases.-Studia Math.,1974, v.49, p.185-194.

69. Hardy G.H. and Littlewood J.E. Sur la série de Fourier d'une fonction a carre sommable.-C.R., 1913, v.156, p.I307-I309.

70. Hardy G.H. and Littlewood J.E. On the strong summability of Fourier series. PLMS, 1926, v.26, p.273-286.

71. Hardy G.H. and Littlewood J.E. A maximal theorem with function-theoretic applications. Acta Math. ,1930,v.54, p.8I-H6.

72. Jessen B., Marcinkiewicz J., Zygmund A. Note on the differentiability of multiple integrals. FM, 1935,v.25, p.217-234.

73. Kolmogorov A.N. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les series de Fourier. F.M., 1925, v.7, p.23-28.

74. Krotov V.G. Strong approximation by Fourier series and differentiability properties of functions. Anal.Mathem., 1978, v.4, p.199-214.

75. Lebesgue H. Sur la representation trigonometrique approches des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz.-Bull.Soc.Math.France, 1910, v.38, p.184-210.

76. Leindler L. Uber die Approximation im starker Sinne. Acta Math.Acad.Sci.Hung., 1965, v.16, p.255-262.

77. Leindler L. On strong summability of Fourier series.II ActaMath.Acad.Sci.Hung.,1969, v.20, p.247-255. 8Ï. Leindler L. On structural properties of functions arising from strong approximation of Fourier series.-Anal.Mathem., 1977, v.3, p.207-212.

78. Leindler L. Strong and best approximation of Fourier series and the Lipschitz classes.-Anal.Mathem., I978,v.4,p.IOI-Il6.

79. Leindler L. Derivative functions and strong approximation of Fourier series.II.-1982, v.39, p.217-223.

80. Leindler L. and Nikishin E.M. Note on strong approximation by Fourier series.-Acta Math.Acad.Sci.Hung.,1973, v.24,p.223-227.

81. Marcinkiewicz J. Sur la sommabilite forte des series de Fourier.-JLMS, 1939, v.I4, p.162-168.

82. Marcinkiewicz J. Sur la sommabilite^H?l<j des series de Fourier.-C.R., 1939, v.208, p.782-784.

83. Marcinkiewicz J. Sur une methode remarquable de sommation des series double de Fourier.-Ann.scuola norm.super.Pisa, 1939, v.8, p.149-160.

84. Marcinkiewicz J. and Zygmund A. On the behaviour of trigonometric series and power series.-TAMS, 1941, v.50,p.407-453.

85. Marcinkiewicz J. and Zygmund A. On the summability of double Fourier series.-FM, 1938, v.32, p.II2-I32.

86. Menshov D.E. Sur l'unicité du développement trigonometrique. -C.R.,1916, v.163, p.433-436.

87. Oskolkov K.I. On strong summability of Fourier series and differentiability of functions.-Anal.Mathem.,1976, v.2, p.41-47.

88. Peterson G.E. and Welland G.V. Plessner's theorem for Rieszconjugates.- Pacif.J. of Math., 1975, v.60, p.307-317.

89. Robison G.M. Divergent double sequences and series.- TAMS, 1926, v.28, p.50-73.

90. Saks S. On the strong derivatives of functions of intervals.-FM, 1935, v.25, p.245-252.

91. Salem R. Sur certaines fonctions continues et les propriétés de leurs series de Fourier.- C.R.Acad.Sci.Çaris, 1935, v.201, p.703-705.

92. Schaeffer A.C. Entire functions and trigonometric polynomials. Duke Math.J.,1953, v.20, p.77-88.

93. Smirnov V.I. Sur les valeurs limites des fonctions analytiques.-C.R., 1929, v.I88,p.I3I-I33.

94. Sokol-Sokolowski K. On trigonometric series conjugate to Fourier series of two variables.- FM, 1947, v.34, p.166-182.

95. Steckin S.B. On the approximation of periodic functions by de la Vallee Poussin sums.-Anal.Mathem.,1978, v.4, p.61-74.

96. Stein E.M. A maximal function with application to Fourier series.- Ann.Math.,1958, v.68, p.584-603.

97. Stein E.M. On the limits of sequences of operators.- Ann. Math., 1961, v.74, p.140-170.

98. Stein E.M. Note on the class L .-Studia Math., 1969, v.32, p.305-ЗЮ.

99. Sunouchi G. On the strong summability of power series and Fourier series.-Tohoku Math.J.,1954, v.6, p.220-226.

100. Szabados J. On a problem of L.Leindler concerning strong approximation by Fourier series.- Anal.Mathem.,1976,v.2, p.155-161.

101. Taberski R. Strong summability of double Fourier series.-Bull, de L*Acad.Polon. des Sci.,1969, v.17, p.719-726.

102. Taberski R. Abel summability of double Fourier series.-Bull. Acad.Polon.Sci., 1980,v.18, p.307-314.

103. Totik V. On the modulus of continuity in connection with a problem of J.Sabados concerning strong approximation.-Anal. Mathem., 1978, v.4, p.145-152.

104. Totik V. On structural properties of functions arising from strong approximations of Fourier series.- Acta Sci.Math., 1979, v.41, p.227-251.

105. Wiener N. The ergodic theorem.- Duke Math.J., 1939, v.5, p.I-I8.

106. Zygmund A. On the summability of power series on the circle of convergence I.-FM, 1938, v.30, p.170-196.

107. Zygmund A. On the summability of power series on the circle of convergence II.-PLMS, 1942, v.47, p.326-350.

108. Zygmund A. On the boundary values of functions of several complex variables.-FM, 1949, v.36, p.207-235.

109. Zygmund A. On singular integrals.- Rendiconti di Matematica, 1957, v.16, p.468-505.