Исследование особого ряда и особого интеграла одной многомерной аддитивной задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511

Крахт Борис Вячеславович

ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБОГО РЯДА И ОСОБОГО ИНТЕГРАЛА ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ АДДИТИВНОЙЗАДАЧИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова..

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В.Н. Чубариков Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.П. Минеев

кандидат физико-математических наук,

доцент Л.П. Постникова

Ведущая организация:

Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

Защита диссертации состоится 15 декабря 2006 г. В 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 15 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность темы

Метод тригонометрических сумм был разработан И.М. Виноградовым1. В основе его метода лежат оценки моментов тригонометрических сумм Г. Вейля. И.М. Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм2. Данная задача была решена Г.И. Архиповым в начале 70-х годов прошлого века. Г.И. Архипов получил первые оценки двукратных сумм Г. Вейля для многочленов общего вида. В 1975 г. Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков3"4 дали обобщение результатов Г.И. Архипова на кратный случай.

К.К. Марджинишвили5 и Хуа Ло-Кен6 дали применение метода тригонометрических сумм к аддитивным задачам теории чисел. Это привело к новым постановкам задач, связанным с показателями сходимости особого ряда и особого интеграла рассматриваемых аддитивных проблем.

В 1976 г. В.Н. Чубариков7,8 получил оценки кратных тригонометрических интегралов и кратных полных рациональных

1 Виноградов И. М. Об одной общей теореме Варинга // Мат. сб. - 1924. - Т. 31. - С. 490507.

2 Виноградов И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Тр. МИАН. - 1937. - Т, 10.-С. 5-122.

3 Архипов Г.И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах //Докл. АН СССР. - 1975.-Т. 222, №5.-С. 1017-1019.

4 Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1976. - Т. 40. - С. 209-220.

5 Марджанишвили К.К. Об одновременном представлении чисел суммами полных первых, вторых, ...,«- ых степеней // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 193 7. - Т. 1. - С. 609-631.

6ХуаЛо - ген Аддитивная теория простых чисел //Тр. МИАН, — 1947. - Т. 22.

' Чубариков В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат. заметки. - 1976.20, №1.61-68.

8 Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле //Докл. АН СССР. -1976. - Т. 227, № 6. - С. 1308-1310.

тригонометрических сумм. Итоги данных исследований были подведены в его диссертации9.

В 1978 г. Г.И. Архипов, A.A. Карацуба, В.Н. Чубариков10 решили проблему Хуа Ло-Кена о точном значении показателя сходимости особого ряда и особого интеграла проблемы Терри. Итоги данных исследований по кратным тригонометрическим суммам были подведены в 1980 г."

В 1952 г. Хуа Jlo-Кен12 нашел точное значение показателя сходимости особого ряда в проблеме Терри для полной системы уравнений. В 1981 г. В.Н. Чубариков нашел точное значение этого показателя для неполной системы уравнений13.

В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И. Архипов, A.A. Карацуба, и В.Н. Чубариков14,15 продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Г. Вейля, равномерные по всем параметрам ( по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).

В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Г. Вейля составили содержание монографии

9 х1убариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы: Дис.... канд. физ.мат. наук. — М. -1977.

10 Архипов Г. И., Карцуба А. А., Чубариков В. Н. Показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри //Докл. АН СССР. - 1979-Т. 248, № 2. - С. 268-272.

11 Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы. // Тр. МИ АН. - 1980. - С. 151.

12 Hua Loo-keng. On the number of solutions of Tarry's problem // Acta Sei. Sinica. - 1952. - V 1, N l.-P. 1-76.

13 Чубариков В.Н. Об асимптотических формулах для интеграла И.М. Виноградова и его обобщений // Тр. МИАН. - 1981. - Т. 157. - С. 214-232.

14 Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических сумм //Докл. АН СССР. - 1980. -Т. 252, № 6. -С. 1289-1291.

13 Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1980,- Т. 44. - С. 723-781.

«Теория кратных тригонометрических сумм»16. В середине 80-х годов прошлого века В.Н. Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте17,18.

Исследования кратных тригонометрических интегралов были продолжены И.Ш. Джаббаровым", И.А. Икромовым20, М.А. Чахкиевым21 и др. Они получили оценки показателя сходимости особых интегралов для некоторых многомерных аддитивных задач.

Цель работы

Целью работы является нахождение оценок сверху и снизу показателей сходимости особых рядов и особых интегралов в многомерной аддитивной задаче с полной и неполной совокупностью простейших форм от двух переменных.

Методы исследования

В основу исследований был положен метод тригонометрических сумм. Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

16 Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат, лит., 1987.

17 Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами //Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 278, № 2. - С. 302—304.

18 Чубариков В.Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1985.-Т. 49, № 5.-С. 1031—1067.

" Джаббаров И.Ш. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. - 1994. -Т. 207.-С. 82-92.

20 Икромов И.А. On the convergence exponent of trigonometric integrals // Тр. МИАН. - 1997. -T.218.-C. 179-189.

21 Чахкиев M.A. О показателе сходимости особого интеграла многомерного аналога проблемы Терри // Изв. Российской АН. Сер. мат. - 2003. - Т. 67 (2). - С. 211 -224.

1. Найдены оценки сверху и снизу для показателя сходимости особого ряда в аддитивной задаче с полным набором простейших форм от двух переменных.

2. Найдено новое преобразование полной кратной рациональной тригонометрической суммы и получена оценка сверху ее абсолютной величины.. Доказаны теоремы о полиномиальных сравнениях по модулю, равному степени простого числа. Изучены свойства цепочки показателей и свойства решений системы сравнений в частных производных по модулю, равному степени простого числа. Изучена арифметическая природа особого ряда, связывающая значения суммы особого ряда с предельными значениями нормированной величины числа решений системы сравнений по модулю, равному степени простого числа.

3. Доказана теорема об оценке сверху и об оценке снизу для показателя сходимости особого ряда в аддитивной задаче с неполной совокупностью простейших форм заданной степени от двух переменных.

4. Доказана теорема об оценке сверху показателя сходимости особого интеграла многомерной проблемы Терри для системы форм одной степени.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы исследований могут быть применены к дальнейшим исследованиям тригонометрических сумм.

Апробация диссертации

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г.И. Архипова и В.Н. Чубарикова на механико-математическом факультете МГУ им. М.В.

Ломоносова, на Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике в Кисловодске в 2004 г. (2.05.2004 — 8.05.2004), а также были доложены на Четвертой Китайско-японской конференции по теории чисел, прошедшей в Академическом центре Шеньдунского университета в г. Вейхай (КНР) в 2006 г. (30.08.2006 - 3.09.2006).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 58 страницах. Список литературы включает в себя 73 библиографические ссылки.

Содержание работы

Во введении приведен краткий исторический обзор, даны постановки задач и изложены результаты диссертации.

В главе I получены оценки сверху и снизу для показателя сходимости особого ряда в аддитивной задаче с полным набором простейших форм от двух переменных. Параграф 1 этой главы посвящен обзору предварительной оценки показателя, сходимости особого ряда, полученный из оценки общей рациональной тригонометрической суммы, полученной В.Н. Чубариковым в 1976 г. Результат сформулирован в виде следующей теоремы:

00

Теорема 1. Особый ряд <Т0 = сходится при

е=1

2к > и(и + 2).

Доказательство данной теоремы полностью вытекает из следующей леммы:

Лемма 1.1. Пусть Г>\,п^,...,пг > 1 .- натуральные числа, («(«,,...,ПГ),. ..,а(0,..., 0)) - набор от = (я,+1)...(йг+1) целых

чисел, и пусть ..,*,) = ^...«^^ ...х'/ -

/,=0 /,=0

многочлен, коэффициенты которого, исключая свободный член а(0,...,0),

в совокупности взаимно просты с Тогда справедлива оценка

лг,-=0 *,=0

Во втором параграфе рассмотрено преобразование полной кратной рациональной тригонометрической суммы и получена оценка сверху ее абсолютной величины. Тригонометрическая сумма

п

где Ф(X,у) = ]Галх"-*у*,(а0,а1,...,а„,£>) = 1,

1=0

представляется в виде

s(qmx>y))=rls(p'>q>{q?x>qpy))'

P\Q

причем Q = Yl Р' • QP = Q/Pl' Р1 Н б-

р\в

Ввиду мультипликативности суммы £ (б, Ф (*>>"))> особый ряд (7

__оо

рассматриваемой задачи имеет вид <Т = \\о~р, где <7р ~

1=1

оо р'-1 р'-1

Е - £ ИФ'.'р)! •

М а„=0

(ОО.рН (°л.Р)=1

Х=1 >=1 V.

где ^ (х, >>) = £ а,*1"/ , (а0, а,,..., ап, р) = 1. Полную рациональную тригонометрическую сумму можно представить так: =«р | (*.*)). (1)

где (Со,?7о) ~ любой корень системы сравнений

причем для корня (¿¡0,1}й ) данной системы сравнений наибольший общий делитель коэффициентов многочлена

Р{Со + Р*Ло + РУ) ~ ^{Со'Чо)

делится в точности на рЫ[, т.е. коэффициенты многочлена

в совокупности взаимно просты с р, а величины Г, и рх определяются из соотношений:

Далее по той же схеме получаем

(йл)

5(^,1/,) = (х,,))

где в точности делит коэффициенты многочлена причем ) является корнем системы сравнений

Наконец, определим число /, зависящее от наборов

К0Рней соответствующих систем сравнений, определяется следующим образом:

»

у))х -0(шос1 р) у))^ — 0(шо(1р),

причем 1 < ^ < Г, и удовлетворяющее условиям

/ - м, -... - м/+1 < 1со +1 < / - и, -... - и,.

Сумму можно записать в следующем виде

(С.ло) (С, л,) { V Р Р Р )\

Третий параграф содержит леммы о полиномиальных сравнениях по модулю равному степени простого числа, изучены свойства цепочки показателей м,,м2,...,м( и свойства решений системы сравнений в частных производных по модулю равному степени простого числа.

Лемма 3.1. Пусть щ,и2,...,и( - величины, введенные в §2. Тогда справедливы неравенства

коэффициентами, в совокупности взаимно простыми с р. Тогда количество

Четвертый параграф посвящен арифметической природе особого ряда, в данном параграфе связываются значения суммы особого ряда с предельными значениями нормированной величины числа решений системы сравнений по модулю равному степени простого числа.

Лемма 4.1. Имеет место равенство

п>щ>и2 >...>и, >2.

Лемма 3.2 ' Пусть

форма степени п с целыми

наборов показателей формы /^(л:,^) не превосходит пр'.

2к

где n - количество решений системы сравнений

хг1у1= +• • • (т°<1 р),

«

ЬУГ1 ^х1+1упк;\ +...х2куп2-к'(тойрг),

где неизвестные л:,,пробегают полную систему сравнений по модулю рг,

F(x,y) = а0х" + ахх"~1у +... ■+ а^ху"'1 + апу".

Лемма 4.2. Справедливо следующее предельное соотношение

ap = \\mp-r{-*k-n-x)N(pr).

Пятый параграф данной главы посвящен сходимости особого ряда. В нем определяется мера множества рациональных тригонометрических сумм с заданной оценкой,,дается уточнение теоремы 1, которое сформулировано в виде основной теоремы о сходимости особого ряда, определяющая сверху показатель сходимости.

Теорема 2. Особый ряд сг сходится при

4А>и(и + 3) + 6.

В шестом параграфе содержится оценка снизу показателя сходимости особого ряда:

Теорема 3. Особый ряд <7 расходится при

4к <п2 + 2.

В главе II проводятся исследования оценок сверху и снизу для показателя сходимости особого ряда в аддитивной задаче с неполной совокупностью простейших форм заданной степени от двух переменных. В первом параграфе описываются полные рациональные тригонометрические суммы с выщербленной формой, рассматриваются предварительные оценки. Система уравнений в рассматриваемой задаче определяется следующим образом.

Пусть 0<m<r <...<S<n - натуральные числа и количество чисел m,r,...,S равно Л и пусть Л&П +1. Рассмотрим следующую систему из Л уравнений

'or+... +<уг=х:+ук-+:+...+

. <УГ+• • •+х[уГ = x[+ykz +...+хг2кУ"2;г х;уг +... + 4уг =х1+1уг+; +... + х*2куп2г

причем неизвестные xl,x2,...,x2k,yi,y2,...,у2к этой системы уравнений

могут принимать значения натуральных чисел от 1 до Р. Данная система уравнений называется неполной. Форма

/(х,у) = атХту"~т + arXry"~r + ... + asXsy"~s степени П называется

выщербленной, если число Л мономов в ней, отлично от П +1. Также в данном параграфе доказывается предварительная оценка показателя сходимости соответствующего особого ряда

Теорема 4. Пусть 0<m<r<...<s<n - натуральные числа и количество чисел m,r,...,S равно Л, причем Л П + 1. Тогда особый ряд

со

сг' = (¡2) сводится при

е=1

2к>у(Л + \),

где v = max(s,п-т)<п.

Второй параграф содержит доказательство теоремы об оценке снизу показателя сходимости особого ряда для неполной совокупности простейших форм от двух переменных. Данная оценка является новой для многомерных аддитивных задач.

Теорема 5.

1. Пусть т = 0, S = п. Тогда особый ряд <г' расходится при

Лк<Лп-Л + 3.

2. Пусть m = О. Тогда особый ряд сг' расходится при

2k<Än-m-...-r-t-...~s + \.

3. Пусть S = п. Тогда особый ряд О"' расходится при

2 к < m +... + г +1 +... + Ä +1.

п

4. Пусть m*0,s*n,0<m<...<r<1 — <t<...<s<n.

Тогда особый ряд с' расходится при

2к < m +... + г + (п -1) +... + (п - s) +1.

Глава III посвящена исследованию особого интеграла многомерной аддитивной проблемы варинговского типа об исследовании асимптотической формулы для количества решений системы уравнений. Доказана теорема об оценке сверху показателя сходимости особого интеграла для многочлена определенного вида.

Глава IV содержит асимптотическую формулу для количества

Jк п (Р) решений системы уравнений рассматриваемой многомерной

аддитивной задачи. Данная формула как раз выражается через особый ряд и особый интеграл, которые рассматриваются в предыдущих главах данной

работы, т.е. при фиксированном п~> 2 и k>kQ, где kQ=k0(ri) —

„31п п

некоторое натуральное число, имеющее порядок П , справедлива асимптотическая формула

Jkn(p) = Р4к~^а0в0 + o[pu'n["+)ys), где 8 = <5>(л) > 0.

+00 +00 1 1

2 к

—оо —«о О О

/ (х,;у) = а0х" + ахх"-ху +... + а^&Г1 + аяул\

00 ?о-1 9л-1

«о=2 I 2-2

2*8

Яо Яп

е=1

5

-'-А) =

] 1=1 у-1 т=0 Чт

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.Н. Чубарикову за постановку задач и большое внимание к работе, а также профессору Г.И. Архипову за ценные советы.

Публикации автора по теме диссертации

[1]. Крахт Б.В. "в показателе сходимости особого ряда в аддитивной проблеме варинговского типа // Евразийский мат. журнал. 2005. №3. С. 52 -73.

[2]. Крахт Б.В. Об одной кратной полной рациональной тригонометрической сумме // Веста. Моск. ун-та. Сер.1, Математика. Механика. 2006. №6. С. 48-51.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете

МГУ им. М.В. Ломоносова.

Подписано в печать /л//. ое>

Формат 60 х 90 1 /16 . Усл. печ. л. (1

Тираж 100 экз. Заказ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСОБЫЙ РЯД АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ С ПОЛНОЙ СОВОКУПНОСТЬЮ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ

§1.предварительная оценка показателя сходимости особого ряда.

§2. Преобразование полной рациональной тригономелрической суммы.

§3. Леммы о полиномиальных сравнениях по модулю равному степени простого числа.

§4. Арифметическая природа особого ряда.

§5. 1 еорема о сходимости 0с0б01 о ряда.

§6. Оценка снизу показа i еля сходимости особого ряда.

ГЛАВА II. ОСОБЫЙ РЯД АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ С НЕПОЛНОЙ СОВОКУПНОСТЬЮ ПРОСТЕЙШИХ ФОРМ ЗАДАННОЙ СТЕПЕНИ

§1. Полные рациональные тригонометрические суммы с выщербленной формой.

§2. Ol iehka снизу показа iеля сходимости особого ряда.

ГЛАВА III. ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ.

ГЛАВА IV. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ АДДИТИВНОЙ ЗАДАЧИ.

Настоящая диссертция посвящена нахождению показателя сходимости особою ряда и особого интеграла в многомерном обобщении проблемы Герри.

Метод григономегрических сумм был разработан И.М. Виноградовым [36] - [38]. В основе его метода лежат оценки моментов сумм Г. Вейля. И.М. Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм [30], [31]. Данная задача была решена Г.И. Архиповым в начале 70-х годов прошлого века. Г.И. Архипов получил первые оценки двукрашых сумм Г. Вейля для многочленов общего вида. В 1975 г. Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков [5], [6] дали обобщение результатов Г.И. Архипова на кратный случай (см. также [1] - [28], [60] - [67]).

К.К. Марджинишвили [52] и Хуа JIo-Кен [56] дали применение меюда тригонометрических сумм к аддитивным задачам теории чисел. Эго привело к новым постновкам задач, связанным с показателями сходимости особою ряда и особого интеграла рассматриваемых аддитивных проблем.

В 1976 г. В.Н. Чубариков [60], [61 ] получил оценки крашых тригонометрических ишегралов и крашых полных рациональных тригономегрических сумм. Итоги данных исследований были подведены в диссертации В.Н. Чубарикова [62].

В 1978 г. Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков [12], [13] решили проблему Хуа JIo-Кена о ючном значении показателя сходимости особою ряда и особого интеграла проблемы Герри. Итоги данных исследований по кратным тригонометрическим суммам были подведены в 1980 г. в мошлрафии [27].

В 1952 г. Хуа Ло-Кен [69] нашел точное значение показателя сходимости особого ряда в проблеме Терри для полной системы уравнений. В 1981 г. В.Н. Чубариков [64] нашел точное значение этого показателя для неполной системы уравнений.

В течение 80-х годов прошло! о столетия Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, и В.Н. Чубариков [15], [16] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Г. Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена).

В 1987 г. результаш всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Г. Вейля составили содержание монографии [28]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н. Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [65], [66].

Исследования кратных гри1 онометрических ингегралов были продолжены И.Ш. Джаббаровым [41], И.А. Икромовым [42], М.А. Чахкиевым [59] и др. Они получили оценки показателя сходимости особых интегралов для некоторых многомерных аддишвных задач.

Основу настоящей диссертации составляют оценки сверху и снизу показаIелей сходимости особых рядов и особых интегралов в многомерной аддишвной задаче с полной и неполной совокупностью проаейших форм от двух переменных.

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

В главе I получены оценки сверху и снизу для показа 1еля сходимости особого ряда в аддитивной задаче с полным набором простейших форм от двух переменных. Параграф 1 этой главы посвящен обзору предварительной оценки показателя сходимосш особого ряда, полученный из оценки общей рациональной тригонометрической суммы [60]. Результат сформулирован в виде следующей теоремы:

00

Теорема I. Особый ряд сходится при

2к>п(п + 2).

Доказательство данной теоремы полностью вытекает из следующей леммы:

Лемма 1.1. Пусп, Г > 1, Щ,. .,ПГ > 1 - нагуральные числа, (flr(wlj.,wr),.,a(0,.,0)) - набор т = (я, + l).(/7r +l) целых

I "г чисел, Q> 1, и пусть = Я.Х^

0 /,.=0 mhoiочлен, коэффициенты которого, исключая свободный член Я(0,.,0), в совокупности взаимно npocibi с Q. Тогда справедлива оценка q q 2.т1

0 хг-0

Во втором параграфе рассмотрено преобразование полной кратной рациональной тригонометрической суммы и получена оценка сверху ее абсолютной величины. Третий параграф содержит леммы о полиномиальных сравнениях по модулю равному степени простого числа, изучены свойства цепочки показателей uvii2,.,ut и свойства решений системы сравнений в частных производных но модулю равному аенени npocioio числа. Четвертый параграф посвящен арифметической природе особого ряда, в данном параграфе связываются значения суммы особого ряда с предельными значениями нормированной величины числа решений системы сравнений по модулю равному степени простого числа.

Пятый параграф данной главы посвящен сходимосш особою ряда. В нем определяется мера множества рациональных тригонометрических сумм с заданной оценкой, дается уточнение теоремы 1, которое сформулировано в виде основной теоремы о сходимости особого ряда, определяющая сверху показатель сходимости.

Теорема 2. Особый ряд <7 сходится при

4к > я(и + 3) + 6.

В шесюм параграфе содержится оценка снизу показагеля сходимости особого ряда:

Теорема3. Особый ряд <7 расходится при

4к<п2 + 2.

В главе II проводятся исследования оценок сверху и снизу для показателя сходимости особого ряда в аддитивной задаче с неполной совокупностью простейших форм заданной степени от двух переменных. В первом параграфе описываются полные рациональные тригонометрические суммы с выщербленной формой, рассматриваются предварительные оценки. Система уравнений в рассматриваемой задаче определяется следующим образом.

Пусть 0<т<Г <.<S<n - натуральные числа и количество чисел равно Я и пусть Я ^П + l. Рассмотрим следующую систему из Я уравнений х\ У\ +-~ + хкУк = хк+\Ук+\ +-- + Х2кУ2к Х\У\ +--- + ХкУк =Хк+\Ук+\ + + Х2кУгк

• • •

У\ +"' + ХкУк =Хк+\Ук+\ + Х2кУ2к причем неизвестные х{,х2,. .,х2к,ух,у2,.у2к эюй сис1емы уравнений могут принимать значения натуральных чисел от 1 до Р. Данная система уравнений называется неполной. Форма ( \ Ш И~Ш Г Н~Г s tt—s j \х,у) = атх У +агХ У +. + asx У степени П называйся выщербленной, если число Я мономов в ней, отлично oi п +1. Также в данном параграфе доказывается предварительная оценка показателя сходимости соответствующе! о особого ряда

Теорема 4. Пусть §<m<r<.<S<n - натуральные числа и количество чисел . равно Я, причем Я ^ П +1. Тогда особый ряд ос = ^ Ах ((2) сходится при

2к > у(Я + \), где v = max(s,n-m) <п.

В юрой параграф содержи i доказательство теоремы об оценке снизу показателя сходимости особого ряда для неполной совокупносш проаейших форм от двух переменных. Данная оценка является новой для многомерных аддитивных задач.

Теорема 5.

1. Пус1ь m = 0,S = П. Тогда особый ряд <т' расходная при

Ак<Яп-Я + 3.

2. Пусп. т = 0. Тогда особый ряд & расходится при

2к < Яп-т-г-t-.-s + \.

3. Пусть S = П. Тогда особый ряд а' расходится при

2k<m + . + r + t + . + s + \. п

4. Пусть m^0,s*n,0<m<.<r< — <t<.<s<n.

Тогда особый ряд & расходная при

2к < m +. + г + (п -1) +. + [п - s) +1.

1. Архипов Г.И. Кратные тригонометрические суммы и приложения: Дис.канд. физ.-мат. наук. -М., 1975.

2. Архипов Г.И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки. 1975. -№1. - С. 143-153.

3. Архипов Г И. Оценки двойных тригонометрических сумм Г. Вейля // Тр. МИАН 1976. - Т. 142. - С. 46—66.

4. Архипов Г. И. О среднем значении сумм Г. Вейля //Мат. заметки. -1978. -Т. 23, вып. 6. С. 785-788.

5. Архипов Г И, Чубариков ВН. О кратных тригонометрических суммах //Докл. АН СССР. 1975. - Т. 222, № 5. - С. 1017-1019.

6. Архипов Г.И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1976. - Т. 40. - С. 209-220.

7. Архипов Г И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Верхняя граница модуля кратой тригонометрической суммы //Тр. МИАН. 1977. - Т. 143. - С. 3-31.

8. Архипов Г. И., Карацуба А А Об интеграле И.М. Виноградова // Докл АН СССР. 1978. - Т. 239, № 4. - С. 389-391.

9. Архипов Г. И., Карацуба А А., Чубариков В Н Тригонометрические интегралы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1979. - Т. 43, № 5. - С. 971 -1003.

10. Архипов Г. И, Карацуба А А, Чубариков В Н. Об одной системе диофантовых уравнений // Докл. АН СССР. 1980. - Т. 252, № 2. - С. 275-276.

11. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических сумм // Докл. АН СССР. 1980. -Т. 252, №6.-С. 1289-1291.

12. Архипов Г.И, Карацуба А.А., Чубариков В И Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. mai. -1980. Т. 44. - С. 723-781.

13. Архипов Г И, Карацуба А. А. О локальном предсшвлении нуля формой // Изв. АН СССР Сер. мат. 1981. - Т. 45, № 5. - С. 948-961.

14. Архипов Г.И., Карацуба А.А. О представлении нуля формой в поле р -адических чисел // Докл. АН СССР. 1982. - Т. 262, № 1. - С. 11-13.

15. Архипов Г. И, Карацуба А. А Об одной задаче теории сравнений // УМН. 1982. - Г. 37, вып. 5. - С. 161-162.

16. Архипов Г.И. О значении особого ряда в проблеме Гильберта Камке // Докл. АН СССР. - 1981. - Т. 259, № 2. - С. 265-267.

17. Архипов Г И. О проблеме Гильберта Камке // Изв. AI1 СССР Сер мат. - 1984.-Т. 48, № 1.-С. 3-52.

18. Архипов Г. И. Исследования но проблеме Гильберта Камке: Дис. . доктора физ.-мат. наук. - М. - 1984.

19. Архипов Г.И, Житков А.Н. О проблеме Варинга с нецелым показателем // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. - Т. 48, №6. - С. 11381150.

20. Архипов Г.И., Чубариков ВН. Об арифметических условиях разрешимоеIи нелинейных систем диофантовых уравнений // Докл АН СССР.- 1985.-Т. 284, № 1.-С. 16-21.

21. Архипов Г.И., Карацуба А А., Чубариков В.Н. Кратные 1ри1 онометрические суммы. //Тр. МИАН. 1980. - С. 151.

22. Архипов Г.И, Карацуба А.А., Чубариков В И Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.

23. Архипов Г.И, Садовничий В А, Чубариков ВН. Лекции по математическому анализу // М.: Высшая школа, 1999.

24. Виноградов И.М Новый метод в аналитической теории чисел // Гр. МИАН. 1937. - Т. 10. - С. 5-122.

25. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. 1947. - Т. 23. - С. 3-108.

26. Виноградов И.М Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М.: Наука, 1980.

27. Виноградов И.М Особые варианты метода тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

28. Виноградов И.М Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

29. Виноградов И М. Основы теории чисел. М.: Паука, 1981.3 в.Виноградов И. М Об одной общей теореме Варинга //Mai. сб. 1924. -Г. 31.-С. 490-507.

30. Виноградов ИМ О представлении числа целым многочленом oi нескольких переменных // Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат. 1928. - № 4/5.-С. 401-414.

31. Виноградов ИМ Новая оценка в проблеме Варинга // Докл. АН СССР. 1934. - Т. 5. - С. 249-253.Виноградов ИМ., Карацуба А А. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. 1984. - Т. 168. - С. 4-30.

32. Воронин СМ. Карацуба А.А. Дзета-функция Римана // М.: Физмаглит., 1994.

33. Джаббаров И.Ш Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. 1994. - Т. 207. - С. 82-92.

34. Икромов И.A. On the convergence exponent of trigonometric integrals // Тр. МИАН. 1997.-T. 218.-C. 179-189.

35. Карацуба А.А. Основы аналитической геории чисел. М.: Наука, 1983.

36. Карацуба А А. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестн. МГУ. Сер. 1. 1962. - № 1. - С. 2838.

37. Карацуба А А. О системах сравнений // Изв. АН СССР. Сер. маг. -1965.-Т. 29.-С. 935-944.

38. Карацуба А.А. Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1966. - Т. 30. - С. 183-206.

39. Карацуба А.А. Метод тригонометрических сумм и теоремы о среднем: Дис. .доктора физ.-маг. наук. М. - 1966.

40. Карацуба А А Среднее значение модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР. Сер. Mai. 1973. - Т. 37, - С. 1203-1227.

41. Линник Ю В Оценки сумм Вейля по методу И.М. Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1942. - Т. 6 (1). - С. 41-70.50Линник Ю.В Оценки сумм Вейля. Докл. АН СССР. - 1942. - Т. 34, № 7.-С. 201-203.

42. Линник Ю В О суммах Вейля // Мат. сб. 1942. - Т. 12(57). - С. 28-39.

43. Стечкин С.Б. О средних значениях модуля тригонометрической суммы // Тр. МИАН. 1975. - Т. 134. - С. 283-309.

44. Титчмарш Е.К. Теория дзе1а-функции Римана//М.: ИЛ., 1953.

45. Хуа Ло ген Аддитивная теория простых чисел // Тр. МИАН. - 1947. -Т. 22.

46. Хуа Ло ген Метод трщ онометрических сумм и его применения в теории чисел // М.: Наука, 1964.

47. Чандрасекхаран К Арифметические функции. М.: Наука, 1975.

48. Чахкиев МА О показателе сходимости особого интеграла многомерною аналога проблемы Терри // Изв. Российской АН. Сер. маг. 2003. - Т. 67 (2). - С. 211-224.

49. Чубариков ВН О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат. замени. 1976.20, №1. 61-68.61 .Чубариков В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле // Докл. АН СССР. 1976. - Т. 227, № 6. - С. 1308-1310.

50. Чубариков ВН. Кратные тригонометрические суммы: Дис. . канд. физ.мат. наук. М. - 1977.

51. Чубариков В.Н. Асимптошческая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки. 1978. - Г. 23, № 6. - С 799-816.

52. Чубариков ВН Об асимптотических формулах для инте1рала И.М. Виноградова и его обобщений // Тр. МИАН. 1981. - Т. 157. - С. 214232.

53. Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы с просшми числами //Докл. АН СССР. 1984. - Т. 278, № 2. - С. 302—304.

54. Hardy G.H, Littlewood J.E Some problems of Diophantine approximation // Proc. Intern. Congr. Of Math. 1. Cambridge. 1912. - P. 223-229.

55. Hua Loo-keng On the number of solutions of Tarry's problem // Acta Sci. Sinica. 1952. - V 1, N 1. - P. 1-76.