О понятии монотонности в теории кратных тригонометрических рядов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГО од

/ 3 МЛП 1П93

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В.ЛОМОНОСОМ МЕШИКО-МАТШАТИЧВСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.51

Дьяченко Михаил Иванович

О ПОНЯТИИ МОНОТОННОСТИ В ТЕОРИИ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

01.01.01 - Математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА - 1993

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

B.Ф.Гапошкин

доктор физико-математических наук, профессор

C.А.Теляковский

доктор физико-математических наук

В.А.Юдин

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита состоится,^ 1993 г. в 16 час. 05 мин.

на заседании специализированного Совета Д 053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119 899, ГСП Москва, Ленинские горы, М1У, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ / Главное здание, 14 этаж/.

Автореферат разослан йЯд-ё/СЛ 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д 053.05.04 при МГУ доктор физико-математических наук Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что одним из наиболее интересных классов одномерных тригонометрических рядов является класс рядов с монотонными коэффициентами. Различным свойствам таких рядов уделено большое внимание в монографиях Н.К.Бари^ и А.Зигмунда*. При рассмотрении многомерной ситуации презде всего возникает вопрос об определении монотонности кратной чис-

о д к

ловой последовательности. В ряде работ, например в статьях изучались кратные тригонометрические ряды, коэффициенты которых монотонны в смысле Харди. Оказалось, что во многих отношениях такие ряды ведут себя точно так же, как и одномерные ряда с монотонными коэффициентами. В то же время, класс кратных рядов с монотонными в смысле Харди коэффициентами достаточно узок. Так, даже среди ядер Дирихле, только прямоугольные имеют коэффициенты, монотонные в смысле Харди на любом координатном квадранте.

В связи с этим, представляется актуальным рассмотрение существенно более широкого класса кратных тригонометрических рядов -рядов, коэффициенты которых монотонно стремятся к нулю по каждому индексу. Изучение этого класса оказалось тесно связанным с вопросами получения оценок сверху и снизу для норм ядер Дирихле в про-

'Еари Н.К. Тригонометрические рады. М.: Физматгиз, 196). 23игмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1,2. М.: Мир, 1965.

И.Е., Шнейдер A.A. Об условиях равномерной сходимости двойных рядов из синусов// Изв. вузов. Матем,- 1966.- № 4.- С. 44 -52.

4Бицадзе М.Г. О кратных тригонометрических рядах с монотонными ^коэффициентами// Сообщ. АН ГССР.- 1978.- Т.32, * 1.- С. 53 - 55. M eut г Т On Jouiù t&Unz, Une an h/a&L iitiM wiiL monûtont ux(fivtnl& // Picc. Amit Hatk.Sot. - WO - V ic3, J2 - /' 4lt-425.

странствах Lp (Тт), где 1 4 . Ранее многими математи-

ками находились асимптотические оценки норм ядер Дирихле вида оЗгв (■%-) при , где множество ß & как

для конкретных ß , так и для некоторых классов множеств. В этом направлении важные результаты для широкого класса множеств S были получены В.А.Единым6,7 и Л.КЬльзани и П.Сорди8. Тем не менее, в ряде случаев, и в частности, при исследовании свойств кратных рядов с монотонными по каждонАу индексу коэффициентами, необходимо иметь оценки норм ядер (х) при фиксированном Ц с ** (один из первых результатов здесь установлен в работе A.A.Юдина и В.А.Ццина9]. Автору удалось получить такие оценки для ограниченных U , содержащих вместе с каждой точкой К и параллелепипед ГО^К]/] ¿,Ш и установить с их помощью ряд

теорем для кратных тригонометрических рядов с~монотонными-по-

каждому индексу коэффициентами, причем оказалось, что эти ряды по своим свойствам во многом отличаются от рядов с коэффициентами, монотонными в смысле Харда.

Любопытным представляется и изучение задачи о свойствах рядов Фурье кусочно-монотонных функций многих переменных. Как устанавливается в диссертации, свойства таких рядов Фурье обладают определенной двойственностью по отношению к свойствам рядов с монотонными по каждому индексу коэффициентами.

Далее, в многомерном случае хорошо изучены (С, -средние Чезаро. Следует однако отметить, что у них есть определенные

''Юдин В.А. Поведение констант Лебега// Мат. заметки,- 1975,Т. 17, Ä 3.- С. 401 - 405.

7Цдин В.А. Нормы многомерных ядер Дирихле в Lp //В кн. Теория

приближения функций. Труды междунар. конф. Киев, 1983.- М., 1987.- С. 477 - 480.

QCMani L., ¿оаъ/i P.M. Lf-ntfLTM 0f KUnlA ок. Ha п-сктигисом*

teruii// TlatU. AmOi. MatK. Jx. -Wl ~ V. ' Р. Ш-Ш.

9Юдин A.A., Юдин В.А. Дискретные теоремы вложения и константы Лебега// Мат. заметки.- 1977,- Т. 22, № 3.- С.381 - 394.

недостатки. В частности, они не обладают свойством регулярности ни по отношению ко сходимости по кубам, ни по отношению ко сходимости по Прингсхейму. В связи с этим весьма актуальной представляется задача изучения других линейных средних кратных рядов Фурье, например, введенных Ж.Марцинкевичем1® однократных линейных средних, в дальнейшем активно изучавшихся Л.В.Жижиаш-вили {см., например,^).

Затрагиваются в диссертации и некоторые аспекты поведения одномерных тригонометрических рядов. Рассматривается задача П.Л.Ульянова о мере множества нулей тригонометрических рядов с монотонными коэфс[ициентами и строится непрерывная шкала классов монотонности.

Цель работы. Получение оценок сверху и снизу для норм ядер Дирихле (х) в пространствах £ ^ (Т™) ПРИ 1 ¿f> < , изучение вопросов сходимости и интегрируемости сумм кратных тригонометрических рядов с монотонными по каждому индексу коэффициентами. Исследование свойств рядов Фурье кусочно-монотонных интегрируемых функций многих переменных. Рассмотрение вопросов суммируемости почти всюду рядов Фурье интегрируемых функций многих переменных методами Марцинкевича. Получение новых результатов об одномерных тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами.

Общая методика работы. В диссертации используются различные методы теории функций действительного переменного, такие как применение максимальных функций для оценок мажорант, разбиение области интегрирования на обладающие определенными свойствами подобласти, применение различных неравенств.

"uuikiiWkiJ. Jta am miikodi Umcixfuaile. de лотжа^чт. Ш^л tf^cws de Fc*u£iftAnn. ¿шА ttcim, jlp Ji Пгд.-ШЧ. -У.д, M. -P. IM -iiS.

11Жижиашвили JI.В. Обобщение одной теоремы Марцинкевича// Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1968.- Т. 32, № 5.- с. 1112 - 1122.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Получены двусторонние оценки норм тригонометрических полиномов с монотонными по каждому индексу коэффициентами в пространствах £ (Т т) при

< уэ »о . Найдены неусиляемые оценки сверху норм

ядер Дирихле в /р (ТШ) при р< ^ через

"гиперболический радиус" множества % для широкого класса множеств И . Исследованы вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов с монотонными по каждому индексу коэффициентами. Изучены различные свойства рядов Фурье кусочно-монотонных интегрируемых функций многих переменных. Для широкого класса методов Марцинкевича установлена суммируемость почти всюду

рядов Фурье интегрируемых функцийГТешена~задача~П;Л;Ульянова-

о мере множества нулей сумм одномерных косинус-рядов с монотонными коэффициентами и получено существенное продвижение в аналогичной задаче для синус-рядов. В одномерном случае построена непрерывная "шкала монотонности" и установлены соответствующие теоремы для тригонометрических рядов.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в области кратных тригонометрических и ортогональных рядов.

Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на заседаниях семинаров по теории функций действительного переменного под руководством члена-корреспондента РАН П.Л.Ульянова и профессоров М.К.Потапова и Б.С.Кашина в МГУ, на научных семинарах в МИ РАН под руководством профессоров С.Б.Стечкина и С.А.Теляковского, в ТГУ под руководством члена-корреспондента АН Грузии Л.В.Жижиашвили, в Институте математики АН Болгарии под руководством профессора К.Иванова, на Всесоюз-

ных школах по теории функций в Саратове С1984, 1988, 1990} , в Ереване (198?) , в Одессе (1991) , в Воронеже (1991, 1993) , на расширенных заседаниях семинара ИПМ им. И.Н.Векуа в Тбилиси (1985, 1990] , на международной конференции по конструктивной теории функций в Варне (1991) .

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора /1] - [17] , список которых приведен в конце автореферата. Среди них статей, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых в общей сложности на 10 параграфов, и списка литературы. Нумерация теорем, лемм и формул -сквозная. Объем диссертации - 207 страниц машинописного текста. Библиография содержит 60 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Все встречающиеся ниже функции предполагаются 23С -периодическими по каждой переменной. Если функция ^(х) £ / (Тм), то

через Л(^) = /обозначается М -кратная последовательность ее коэффициентов Фурье по системе \ с •'¿¿^гл ♦ а

(¿п К' ^П <Ц10 ~ прямоугольные частичные суши ряда Фурье функции -/(-Х) , Для 71 £ 2, полагаем

П(п) = (Ии1+±)-. . '(^¡ч).

Через С("М-) , р) и т.д. обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от соответствующих параметров.

Во введении приводятся основные определения, обозначения, известные результаты по теме диссертации и формулируются доказываемые в работе теоремы.

В первой главе изучаются свойства кратных тригонометрических рядов с монотонными по каждому индексу коэффициентами.

Определение. Будем говорить, что Ж -кратный тригонометрический ряд

-X * <? ГУ

является рядом с монотонными по каждому индексу коэффициентами, если при /я! —♦ <=» и из того, что йзя^-Иг^

при т вытекает, что Лп > Лп"/ ^ . В дальнейшем,

для краткости, такие ряды будем называть рядами вида (1).

Первый параграф главы 1 посвящен оценкам норм ядер Дирихле и полиномов с монотонными по каждому индексу коэффициентами в

-пространствах—¿р(-Т—)-.--

Определение. Пусть ограниченное

. Тогда будем

говорить, что 21 ^, если из того, что /С£ 21 вытекает, что целочисленный параллелепипед [0> И

Основными результатами первого параграфа являются нижеследующие.

Теорема 1. Если Шг 2 и а р < ~гп7± » то найдется

постоянная (Р> такая, что для любого ^ имеем

т-х

НА И1р < С (г, ^ ,

где §(&) - - "гиперболический радиус" множест-

ва ы

2.Ш

Теорема 2. Если W и ¿prj , то найдутся

постоянные Ct (ptw) и Сл (f>; m) такие, что для любого 21 ё /f, имеем

Ct(M(Z(wFf<Щ «CJr,n)(Z<n/n)ff hei! / У «,„ 7 '

Оценки, аналогичные оценкам теоремы 2, установлены при р> и для полиномов с монотонными по каждому индексу

коэффициентами. Теоремы 1 и 2 обобщают и усиливают многие ране« известные утверждения. С помощью этих теорем во втором параграфе первой главы исследуются вопросы принадлежности сумм рядов вида (1) пространствам ¿^ (Гт) .

Пусть 1 < р и а = ~ ш -кратная

числовая последовательность. Тогда положим

Р'-г

"Ы'М У.

< о°

В диссертации, в частности установлено, что если 1 < ¡> функция (ТШ) и имеет ряд Фурье вида ( 1) , то

^ (%($)) ' ■г*алее» если р> ~т+{ и коэффициенты ряда

вида (X) удовлетворяют условию ^ (&) <, то этот ряд является рядом Фурье некоторой функции /(X/¿¿р

(Тп) . При ' ¿ш

этом последнее утверждение перестает быть верным при р < ^^ .

В третьем параграфе изучается сходимость по Прингсхейму всюду и почти всюду рядов вида . Основными результатами здесь являются теоремы о том, что если р > ^^ и коэффициенты ряда вида (1) удовлетворяют условию ^ ^а} < о<= , то этот ряд сходится по Прингсхейму почти всюду, и о том, что при любом •УП 2 2 существует расходящийся по кубам на множестве положительной меры ряд вида (\) , у которого ¿7Р (а) < при всех

В четвертом параграфе главы 1 получен критерий сходимости по кругам преобразований Фурье локально интегрируемых функций двух переменных, которые монотонны в смысле Харда на каждом координатном квадранте. Сформулируем его.

Теорема 11. Пусть функция двух переменных удов-

летворяет следующим условиям:

1. /(Л,^) определена при Ху £0 ;

2. к-т и ¿¡т. /(Х,у<>)-0 при всех 3с_с±0 5

3. - {(х -

при всех % , у , к таких, что

хк>С и >О ;

4. {(¿^¿Ц^,!]*).

Далее. пусть = • и = /0} .

Тогда, если у ~ I или у - -1 и

и

то предел

йш. // /Ме«***»¿ф, (з)

существует и конечен для всех . Если же J~i

или ^ и предел (3) существует и конечен в некоторой

точке (^¡у) £ ^ • то выполняется условие (2) .

Аналоги данного результата для размерности 7П>2 и для

кратных рядов Фурье неизвестны.

Во второй главе изучаются ряды Фурье кусочно-монотонных

функций. _

Определение. Пусть /€ Т* , а - < $ при ,

У У У V

а 0 это 7П -мерный вектор из нулей и единиц. Тогда скажем,

что функция , если при

и из того, ЧТО Х,у с и

К-

(-1) (-i) ^ Уу при , следует, что ^Гх) > /ф]

Если же Тт можно представить в виде конечного объединения непересекающихся параллелепипедов С&М, таких, что

сужение ^(х) на каждый из них является для некоторого функцией класса М$(к), , то говорят, что

В первом параграфе главы 2 изучаются коэффициентные свойства рядов Фурье функций /с*)* рмшр(тп; ПрИ i<[><<~ . Основные результаты здесь таковы.

Теорема 12. Бели функция (тт) и для некото-

рого рб (1, имеем Ур (&({))<** , то $(х)б ¿р (Тт)ш

Из теоремы Г.Харда - Дж.Литтльвуда вытекает, что обратное

утверждение справедливо при 1 * Р ^ 2 .

' {

Теорема 13. Вели , 3. <р и функция

(г*) , то для любого £ > О имеем

2

Теорема 15. Если Ш , <2<р<2+7п7± и функция

£ FM/iLp (Т ) . то для любого £ > после-

довательность коэффициентов Фурье Ct(f) £ ^ .

При этом верхние границы для р в теоремах 13 и 15 увеличить нельзя.

Второй параграф посвящен исследованию вопросов сходимости почти всюду рядов Фурье интегрируемых кусочно-монотонных функций. Основной результат здесь состоит в том, что ряд Фурье интегрируемой кусочно-монотонной функции -^(3-) сходится'по Прингсхейму в любой точке непрерывности ^(я) » не лежащей на гранях параллелепипедов монотонности или на их продолжениях, т.е. почти всюду. Здесь существенно, что /У^ монотонна именно на параллелепипедах с ребрами, параллельными осям коор-

- то -

динат, поскольку в диссертации построен пример L(co>2£jZJt

монотонной на треугольнике А ~ {(&,y)€[Of2J[f: y^îj, равной

нулю на [о} ¿Ж) n Д и такой, что ее ряд Фурье расходится по квадратам почти всюду.

В третьем параграфе главы 2 изучается поточечная сходимость рядов Фурье ограниченных кусочно-монотонных функций. Сформулируем основной результат этого параграфа.

Теорема 21. Пусть ^({.) - модуль непрерывности, причем

ixl (t) = и) (Si) при t . функция -f(t)£PM .точка

X. £ Т и / f(i)- f(x)\ £ и) fié-Jtlj при всех -t .

Тогда для любого вектора fteZ АЦ справедлива оценка

\Ш-L < Cfatfi^f-iéTrTr),

iystn J

где $ -Ж -тая степень оператора JS , действующего по формуле

7 м

при ÙL >0

В СО (il) = и]

и.

а £ - число параллелепипедов монотонности функции •

При этом оценка в теореме 21 не может быть усилена. Далее,

показано, что если множество А Т" псевдовыпукло (т.е. граница А имеет нулевую меру Лебега и пересечение внутренности А с любой прямой, параллельной координатной оси, либо является интервалом, либо пусто ) , то прямоугольные частичные суммы ряда Фурье характеристической функции (б/ рав-

т ж "

номерно на / ограничены постоянной, зависящей лишь от раз-

мерности Щ . Тем самым, установлено утверждение, двойствен-

12

ное одному результату С.А.Теляковского . В этом же параграфе изучается поведение рядов Фурье характеристических функций выпуклых множеств на границах этих множеств. Для двумерного случая дается исчерпывающее описание всех возможных ситуаций. В частности, справедливы такие утверждения.

Следствие 2. Если граница выпуклого замкнутого невырожденного множества А с всюду имеет касательную, то ряд

Фурье функции (£) сходится по Прингсхейму на множестве

а

, где и состоит не менее, чем из четырех, и не более, чем из восьми точек.

Следствие 3. Если ряд Фурье характеристической функции

замкнутого выпуклого невырожденного множества А С (- Ж, сходится по Прингсхейму всюду, то А является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям.

Третья глава диссертации посвящена средним Марцинкевича кратных рядов Фурье. Здесь доказывается, что если 171 >2 , положительная функция ^ на СО, , функция

= при/-¿и... .

непрерывна, монотонно возрастает на СО\ и

£М „ /

% Ш 4

то для любой функции (ЗС-) £ 1-(Т ) средние Марцинкевича

О

почти всюду сходятся К ^(л) при 1 —♦

12

Теляковский С.А.Равномерная ограниченность некоторых тригонометрических полиномов многих переменных// Мат. заметки,- 1987.Т. 42, № 1.- С. 33 - 39.

Отсюда вытекает, что при а? >0 (С^) -средние Марцинкевича рядов Фурье интегрируемых функций сходятся к ним почти всюду. Дтя 7п=Л этот факт был установлен Л.В,Жижиашвили11, который затем поставил соответствующую задачу и для Ю.&3 (си.^) .

В четвертой главе рассматриваются некоторые свойства одномерных тригонометрических рядов. Первый параграф посвящен изучению задачи П.Л.Ульянова о множествах N(£) и /У(д) нулей функций

= т' + £ а*."»**

¡М

= X

где i О при 'ft —» ос и CL^ Ф О , на интервале (Ог В.Ф.Гадошкиным14 были построены примеры, в которых множества /у^/у) и N(cj) имеют мощность континуума. В диссертации установлено, что

мер пи (N

в то время, как

Ж-1,1ST < лир ГШ (N(p) < f

( позднее А.С.Белов15 доказал, что ^« Mcf> m£>.l(M(ß)J ).

^^ижиашвили Л.В. Некоторые вопросы многомерного гармонического

анализа,- Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1983. '^Гапошкин В.Ф. О нулях тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами// Изв. вузов. Матем.- 1981.- J6 9.- С. 13-15.

15Белов A.C. Степенные ряды и кривые Пеано// Изв. АН СССР. Матем.- 1985.- Т. 49, № 4.- С. 675 - 704.

Во втором параграфе главы 4 вводится определение монотонности нецелого порядка.

Определение. Пусть число с{ъО . Тогда скажем, что

последовательность €С = / £ М , . если

"■'Ъ^О л

¿¿Ы и

П. -*<*»

= X ¿к'**0

!С=0

при = , где Ак - соответствующие числа

Чезаро.

Таким образом, - это класс стремящихся к нулю по-

следовательностей неотрицательных чисел, М^ - класс монотонно убывающих к нулю последовательностей и т.д.

В диссертации получен ряд результатов о свойствах косинус-рядов с коэффициентами из классов М^ , которые являются в определенном смысле промежуточными между известными результатами о свойствах косинус-радов с положительными, монотонными и выпуклыми коэффициентами. Установлена также окончательность полученных утверждений.

Публикации автора по теме диссертации

1. Дьяченко И.И. О рядах Фурье с монотонно убывающими коэффициентами и некоторых вопросах гладкости сопряженных функций // СообЩ. АН ГССР.- 1981.- Т.104, jT3.- С.533-536.

2. Dyachenko M.I. On some properties of trigonometric series with monotone coefficients. Anal. math. - 1984. - V.10, ЛЗ.-P. 193 -205.

3. Дьяченко M.И. О тригонометрических рядах с монотонными коэффициентами // Б кн. Теория функций и приближ. 4.2. Труды II Сарат. зим. шк.1984 г.- Саратов, 1986.- С.101-104,

4. Дьяченко М.И. О сходимости двойных тригонометрических рядов и рядов Фурье с монотонными коэффициентами // Мат. сборник.-1986.- Т.129, С.55-72.

5. Дьяченко М.И. Тригонометрические ряды с обобшенно-монотпнными коэффициентами // Изв. вузов. Мэтрм,- 198«.- »7.- С.39-50.

6. Дьяченко М.И. Константы Лебега ядер Дирихле монотонного типа и сходимость коатных тригонометрических рядов Фурье // Мат. заметки,- 1988.- Т.44, 16.- С.758-769.

7. Дьяченко М.И. О ( с ,<х ) -суммируемости кратных тригонометрических рядов Фурье // Сообщ. АН ГССР.- 1988.- Т.131, иг.- С.261-263.

8. Дьяченко М.И. О некоторых свойствах кратных рядов и преобразований Фурье // Труды МИАН.- 1989.- Т.190.- С.88-101.

9. Дьяченко М.И. Порядок роста констант Лебега ядер Дирихле монотонного типа // Вестник МГУ. Матем., мех. Сер.1.- 1989.--16.- С. 33-37 .

10. Djachenko M.I. Multiple trigonometric series with lexicographically monotone coefficients // Anal. math.-1990.-V.16, H3.-P.173-190.

И. Дьяченко М.И. Критерий сходимости по кругам преобразований Фурье монотонных функций двух переменных // Изв. вузов. Матем.-

1990,- .т.- С.18-27

12. Дьяченко М.И. Сходимость почти всюду кратных рядов Фурье монотонных функций // Мат. сборник,- 1991.- Т.182, ¿5.-С.622-637.

13. Дьяченко М.И. Выпуклые множества и кратные ряды Фурье // Труды МИАН.- 1991.- Т.200.- С.147-156.

14. Дьяченко М.И. Кусочно-монотонные функции многих переменных и теорема Харди-Литтльвуда // Изв. АН СССР. Сер. Матем.- 1991,-Т.55, ^6.-С.1156-1170.

15. Дьяченко М.И. Скорость сходимости по Прингсхейму рядов Фурье монотонных функций многих переменных // Вестник МГУ, Сер.1. -1992,- т. - С. 60-68.

16. Дьяченко М.И. Функции многих переменных, монотонные на псевдовыпуклых множествах // Мат. заметки. - 1992,- Т.52, N2.-С.37-42.

17. Дьяченко М.И. Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов II Усп. мат. наук,- 1992.- Т.47, ЛЪ.- С.97-162.