Тригонометрические ряды и полиномы с неотрицательными частными суммами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ РАН имени В.А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.5

Белов Александр Сергеевич

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ПОЛИНОМЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧАСТНЫМИ СУММАМИ

(01.01.01 математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физик» - математических наук

Москва, 2003 г.

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ивановского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.А. Теляковский; доктор физико-математических наук, профессор C.B. Конягин; доктор физико-математических наук, профессор М.И. Дьяченко.

Ведущан организация:

Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита состоится 9 октября 2003 года в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 в Математическом институте РАН имени В.А. Стеклова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, ул. Губкина, д. 8, МИРАН, конференц-зал, 9-ый этаж.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института РАН.

Автореферат разослан 29 августа 2003 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Л 002.022.01, д.ф.-м.н., профессор

В.А. Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Неотрицательные тригонометрические полиномы и тригонометрические ряды с неотрицательными частными суммами являются объектом математических исследований, по меньшей мере, на протяжении последних девяноста лет. Исследования Л. Фейера, Н. Штейнгауза, Д. Джексона, T. X. Гронуолла, У. X. Юнга, У. Рогозинского, Г. Сегё, П. Турана, А. Сельберга, С. Човла, Й. Катц-нельсона и других, посвященные этой тематике, давно стали классическими (см. монографии [Zl,2], [Bl], [El]). Важность изучения неотрицательных тригонометрических полиномов не вызывает сомнений. Например, значение для теории функций неотрицательных тригонометрических полиномов, получивших название ядер Фейера, широко известно. Однако, несмотря на достаточно продолжительные и постоянные исследования в этой тематике остается еще много неизученных вопросов, представляющих несомненный интерес. Настоящая диссертация продолжает классические исследования в этой области математики.

Оценки коэффициентов тригонометрического ряда через оценки снизу его частных сумм начали изучаться довольно давно. В 1965 г. С. Човла в работе [Cl] опубликовал результат, принадлежащий, как он пишет, А. Сельбергу и утверждающий, что если последовательность неотрицательных чисел {a*}fcLo удовлетворяет условию

Ет

ait cos(kx) > 0 для всех х и m = 1,2,..., (1)

то

Y?^ °к=0(п1~а+' ) для всех е > 0. (2)

В частности, если неотрицательная последовательность {а*}*^ монотонно стремится к нулю и верно (1), то

о„ = О ( п-0,+с ) для всех е > 0. (3)

Здесь постоянная а € (0,1) является единственным корнем уравнения

3ir/a

t~a cos<A = 0\ (4)

Постоянная а = 0,308... , хорошо известна в теории тригонометрических рядов и введена в работе К. Грандьота, В. Ярника, Б. Ландау и Дж. Е. Литтлвуда [G2], опубликованной в 1929 году.

_ 1 _ ос. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1

j БИБЛИОТЕКА I С-Петервург^—/. }

12 ¿<7

L

М. и Ш.-И. Изуми [II] обобщили теорему Сельберга, заменив условие вида (1) на условие

У^ ак сов(кх) > -Ст& для всех х и п = 1,2..... (5)

Они доказали, что если последовательность неотрицательных чисел Для некоторых ¡3 е [0,1) и С > 0 удовлетворяет условию (5), то 5Г=1 < 00 для всех 7 < пип{1 - /3, а} .

М. И. Дьяченко [02] в 1984 г. другим методом доказал частный случай теоремы Сельберга.

Човла [С1] рассмотрел также случай, когда условие (1) заменяется на условие

а*> 0 для всех х и га = 1,2,..., (6)

где функция / периодическая с периодом 1 и /(х) = 1 - 6х(1 - х) при х € [0,1]. В этом случае для неотрицательной последовательности он также получил соотношение вида (2), но вместо а в этом случае следует взять число а/ = 2 — \/3. Отметим, что

2 + ^ к~а соз(кх) > 0 при всех х и т = 0,1,2,____ (7)

С некоторой абсолютной постоянной вместо конкретного числа 2 неравенство (7) хорошо известно (см. [21, с. 307 и 592]) и, согласно А. Зигмунду, принадлежит Е. Литтлвуду, Р. Салему и М. Изуми. Из оценки (7) сразу вытекает, что соотношения (2) и (3) при £ < 0 уже могут не иметь места. Поэтому возникает вопрос о справедливости сформулированных выше результатов при е = 0.

Таким образом, приведенные результаты показывают необходимость дальнейших исследований: нахождение оценок, желательно не-улучшаемых, на коэффициенты {а*}]^ при заданных условиях вида (1), (5) или (6).

Отметим также результат X. Хелсона [Н1], коюрый у1верждаег, Что если частные суммы

Ет

(ак соз(«х) + 81п(&х)), ш > 0, (8)

тригонометрическою ряда

Еоо

(а* соа(кх) + Ьк 8т(*х)) (9)

ограничены в метрике пространства , в частности, если все они неотрицательны, то коэффициенты ряда (9) стремятся к нулю. Более того, в этом случае Салем и Зигмунд (см. [ZI, с. 456 и 597]) получили также неулучшаемую в порядковом отношении оценку роста 0(п/1пт») для суммы модулей первых п коэффициентов тригонометрического ряда (9). Эти результаты, а также исследовйния У. Дарсоу [D1], C.B. Конягина [К4] и других показывают необходимость получения оценок коэффициентов тригонометрического ряда или аналогичного функционального ряда, когда функция cos заменяется на достаточно произвольную функцию /, через равномерные оценки снизу частных сумм этого ряда. В частности, если все частные суммы тригонометрического ряда (9) неотрицательны, то что тогда можно сказать о коэффициентах ряда (9), о самом ряде (9) и о порядке роста различных норм его частных сумм, а также о сопряженном ряде? Аналогичные задачи, естественно, возникают и для кратных тригонометрических и функциональных рядов.

В 1953г. Туран (см. [В1, с. 239-242]) построил тригонометрический ряд по косинусам, все коэффициенты и все частные суммы которого положительны, но который не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом. С другой стороны, в 1965г. Катцнельсон [К2] дал отрицательное решение проблемы Штейнгауза-Литтлвуда: он построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье-Лебега. Заметим, что среди коэффициентов построенного им ряда бесконечно много и положительных и отрицательных. В связи с этими результатами автор в статье [2 ] поставил вопрос: обязан или нет тригонометрический ряд по косинусам, у которого все частные суммы неотрицательны на прямой и все коэффициенты также неотрицательны, быть рядом Фурье? Этот вопрос интересен также потому, что, как следует из результата П. Л. Ульянова [U1], если все частные суммы тригонометрического ряда по косинусам неотрицательны и его коэффициенты монотонны, то он обязан быть рядом Фурье; более того, М. И. Дьяченко [D2] показал, что в этом случае он обязан быть рядом Фурье некоторой функции из v при всех 1 < р < 1 + 2/(Зтг). Поэтому возникает задача выяснить важность условия монотонности коэффициентов в этом утверждении.

Исследованию частных сумм тригонометрического ряда на неотрицательность на некотором заданном промежутке посвящено довольно много работ. Пусть - произвольная последовательность действительных чисел. При всех целых неотрицательных п и

действительных х через

будем обозначать частные суммы, соответственно, косинус-ряда и синус-ряда

ак С08(кх) > 127=1 ак 8Й1(*а:) •

Известно, что Л. Фейер в 1910 г., как предположение, высказал утверждение:

£1-1 > 0 При всех хе(°>*) и " ^ 1 • (12)

В 1911 году Д. Джексон [Л] и в 1912 году Т. X. Гронуолл [03] опубликовали доказательства этого утверждения. Затем появилось довольно много различных доказательств утверждения (12) разных авторов. Дал свое доказательство и Фейер [Р1]. Очень короткое доказательство предложил Е. Ландау [1.1], [21, с. 106]. Оригинальное доказательство утверждения (12) и некоторых его обобщений принадлежит П. Тура-ну [Т1], [Т2]. Еще одно короткое доказательство предложили Р. Аски, Ж. Фитч и Г. Гаспер [А2].

В 1912 году У. X. Юнг [У1] доказал, что при /? = 0 сумма

= + £ тттг>0 при и <13>

У. Рогозинский и Г. Сегё [III] в 1928 г. установили (13) при /3 е (-1,1] и заметили, что есть такая постоянная /ЗЬ > 1, что (13) верно при всех ¡3 е (-1, /?о), а при > /?о найдется номер п и точка х такие, что 5п(0,х) < 0. При /? = /?о можно лишь утверждать, что Я„(/3,х) > 0 при п > 0. Г. Гаспер [в1] в 1969 г. определил константу /?0 как корень алгебраического уравнения и вычислил, что /?0 = 4,5678.... По поводу оценок (12) и (13) можно также посмотреть [Р1, с. 89-90, 290-292].

В 1958 году Л. Вьеторисом [VI] (см. [АЗ]) доказана следующая теорема, содержащая в себе как частный случай некоторые из приведенных выше результатов: если {ак}£10 - невозраствющая последовательность неотрицательных чисел, в] > 0 и

< (2* - 1)а2А_1 при *>],

(14)

то в обозначениях (10) верны утверждения

S„(x)>0 при всех ж 6(0, я-) и п>1 (15)

и

S„{x) > 0 при всех х € [0, я-) и п > 0. (16)

Из теоремы Вьеториса вытекает и (12), и (13) при всех ß € (—1,0].

В 1984 году Г. Браун и Е. Хьюитт [В2] обобщили теорему Вьеториса, доказав следующую теорему: если {a/t}£L0 - невозрастающая последовательность неотрицательных чисел, а0 > 0 и (2fc + 1)02* < 2ka2fc_i при всех к > 1, то в обозначениях (10) верно утверждение (16). Если же, кроме того, выполнено условие

«2* = в2*+1 при всех к > 1, (17)

то

■Sin-iOc) > 0 при всех х £ (0, тг) и n > 1, (18)

и S2n(x) > 0 при всех х 6 (0,7Г - ж/(2п)] и п > 1. В работах [В2] и [AI] в формулировке этой теоремы отсутствует условие (17). Поэтому обратим внимание на то, что без условия (17) неравенства (18) могут не выполняться. Отметим, что применяемый в упомянутых выше работах метод доказательства утверждений вида (15) и (16) (см. [В1, с. 239-242], [A3], [В2]) использует или специфический вид сумм (10), или знание поведения сумм рядов (И) для некоторых имеющих специфический вид коэффициентов.

Изложенные результаты делают интересной задачу получения как необходимых, так и достаточных условий для того, чтобы все частные суммы тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами были неотрицательны на прямой. Аналогичная задача возникает и для синус-ряда с монотонными коэффициентами на интервале (0, я-).

В последние 20 лет усилился интерес к изучению свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома при различных условиях на коэффициенты полинома. Для у > 1 обозначим

K{l) = inf{ - nun «k cos(*z) } , (19)

где нижняя грань берется по всем действительным {ajt}*Li таким, что либо а¡< = 0, либо а* > 1 и 1= 7- При натуральном п

положим _

М(п) = infj - ш <** соб(кх) } , (20)

где нижняя грань берется по всем действительным {ak}fcli таким, что либо Qfc == 0, либо а* > 1 и число тех к, для которых а* > 1, равно п. Величины (19) и (20) рассматривал A.M. Одлыжко [01], который показал, что К (у) = O^ylny)1/4) и М(п) = 0((п\пп)1!3).

Пусть п - натуральное число. Через ТГ+ обозначим множество всех тригонометрических полиномов вида

r»(*) = £Lafc соа(кх) (21>

с действительными коэффициентами, которые удовлетворяют условию Т„(х) > 0 при всех х, т.е. неотрицательных на всей прямой. При каждом натуральном п обозначим через W„ совокупность всех тригонометрических полиномов Tn € Т+ таких, что а* > 1 при всех Jfc = 1,..., п. Определим величину

М(п) = min{ e0 : Tn е W„ } . (22)

Минимум в экстремальной задаче (22) существует. Ясно, что М(п) < М{п) при всех натуральных п. C.B. Конягин [К5] доказал, что М(п) х М(п) х Inn при п > 2.

В силу приведенных результатов представляется интересной задача дальнейшего изучения функций (19), (20) и (22); в частности, порядковое решение экстремальной задачи (19), точное решение экстремальной задачи (22), исследование свойств соответствующих экстремальных полиномов, решение аналогичных экстремальных задач при дополнительных условиях на коэффициенты и так далее. Цель работы. Изучение тригонометрических и, более общо, функ-

циональных как рядов, так и полиномов, все или только некоторые частные суммы которых неотрицательны на прямой или заданном заранее промежутке. Основное внимание уделено следующим задачам.

1. Для тригонометрического полинома с неотрицательными на прямой или заданном интервале частными суммами получить точную по порядку оценку коэффициентов или различных функций от коэффициентов, например,, сумм коэффициентов. Рассмотреть аналогичную задачу в более общем случае, когда для тригонометрического полинома или ряда задайы равномерные оценки снизу его частных сумм. Получить в этом случае равномерную оценку сверху для его частных сумм.

2. Выяснить вопрос существования тригонометрического ряда по косинусам с положительными коэффициентами и положительными частными суммами, который не являлся бы рядом Фурье-Лебега.

3. Получить достаточно общее и одновременно достаточно простое условие на коэффициенты тригонометрического ряда по синусам с заданными монотонными коэффициентами для того, чтобы все его частные суммы были положительны на интервале (0, п).

4. Точно решить экстремальную задачу о минимуме свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома по косинусам, все коэффициенты которого не меньше единицы.

Методы исследования. Применяются как известные методы и результаты теории функций, так и новые методы, развитые в работе на основе понятий теории функций и функционального анализа. Характерной особенностью разработанных методов является то, что получаемые в диссертации на их основе результаты точны в том или ином смысле.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и получены новыми методами. Получена неулучшаемая равномерная оценка сверху для тригонометрического полинома и неулуч-шаемые оценки коэффициентов тригонометрического полинома через равномерную оценку снизу его частных сумм. Доказано существование тригонометрического ряда по косинусам с неотрицательными коэффициентами и положительными частными суммами, который сходится к нулю почти всюду и, в частности, не является рядом Фурье-Лебега. Найдены необходимые и достаточные условия на монотонные коэффициенты тригонометрического ряда по синусам для того, чтобы все его частные суммы были положительны на интервале (0, тг). Дано точное решение экстремальной задачи о минимуме свободного члена неотрицательного тригонометрического полинома по косинусам заданной степени, все коэффициенты которого не меньше единицы. Указаны приложения этого результата:

Теоретическая и практическая ценность. Основные результаты диссертации носят теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут найти применение в теории тригонометрических рядов, в теории функций при исследовании локализации нулей тригонометрического полинома, при оценке минимума в теории экстремальных задач на множестве неотрицательных тригонометрических полиномов.

Апробация работы. Результаты диссертации и развитые в ней ме-

тоды докладывались на научно - исследовательском семинаре по те-

ории функций действительного переменного в МГУ (руководители: П.Л. Ульянов и Б.С, Кашин) в 1992 и 2003 годах; на семинаре по теории функций действительного переменного в МГУ (руководители: В.А. Скворцов, Т.П. Лукашенко и Л.А. Балашов) в 1992 г.; на семинаре по теории функций в МГУ (руководители: C.B. Конягин, В.Б. Демидович и A.C. Кочуров) в 2002 г.; на математической школе по современным проблемам теории функций в г. Иркутске в 1987 г.; на математической школе по теории функций в г. Одессе в 1991 г.; на математических школах - конференциях по теории функций в г. Саратове в 1994, 1996 и 1998 годах; на математических школах - конференциях по теории функций в г. Воронеже в 1993, 1995 и 2003 годах; на международной конференции "Функциональный анализ, теория приближений, нелинейный анализ" в г. Москве в 1995 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18

работах автора, список которых (см. [1] - [18]) приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые разбиты, соответственно, на 12, 7 и 10 параграфов, и списка литературы, содержащего 59 наименований. Объем диссертации - 269 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация посвящена изучению тригонометрических и, более общо, функциональных как рядов, так и полиномов, все или только некоторые частные суммы которых неотрицательны на прямой или на заданном заранее промежутке. Изучаются различные вопросы, связанные с поведением частных сумм тригонометрического ряда, и, в частности, тригонометрические ряды, все частные суммы которых неотрицательны на прямой или интервале (0, я-). Ставятся и решаются в точном или порядковом смысле как известные, так и новые экстремальные задачи, связанные с неотрицательными тригонометрическими полиномами. Основное и самое существенное отличие изложенных в диссертации новых методов исследования от применявшихся к рассматриваемым вопросам другими авторами состоит в том, что получаемые результаты точны в том или ином смысле.

В первой главе диссертации получены оценки коэффициентов и оценки сверху частных сумм тригонометрических и, более общо, некоторых функциональных рядов с неотрицательными частными суммами. Также, что более общо, получены оценки коэффициентов и оценки сверху частных сумм тригонометрических и некоторых функ-

циональных рядов через оценки снизу частных сумм. Полученные в главе 1 результаты существенно обобщают и уточняют результаты А. Сельберга, С. Човла, М. и Ш.-И. Изуми, Й. Катцнельсона и других. Если функция / € ¿2*, 1 < Р < сю, то, как обычно, обозначаем

11/Нр = ( 5» /о' 1/(<)1рл)1/Я при 1 < р < оо, и ||Л|оо = eessup, |/(<)|. Для отрицательной части действительной функции / используется обозначение /~(ж) = — min{/(ж), 0} . Напомним, что число а = 0,30844377956... является единственным корнем уравнения (4).

В § § 1.2 — 1.10 изучаются тригонометрические ряды и полиномы с неотрицательными частными суммами. Пусть (8) - частные суммы тригонометрического ряда (9) с действительными коэффициентами, a Sm(x) = YÜk=i (efcsin(fcs) - bk cos(kx)), m > 0, - частные суммы сопряженного к нему ряда. Одним из основных результатов главы 1 является

Теорема 1.5.1. Пусть п - произвольное натуральное число, {v?(m)}m=i - любые действительные неотрицательные числа и выполнено условие

Sm(x) > -<р(т) при всех х и т = 1,...,п. (23)

Тогда справедливы оценки

||5п||с0<5(^(п) + г,1-«^;11 ^)+4|а0|п- (24)

и

Ц5.||во<18(^(п) + п1-«5;Гв1 £ё) + 1°1а°1п1"в- (25)

Заметим, что условие (23) эквивалентно условию ||5~ ||оо < у?(т) при всех т = 1,.. ,,г». В частности, в теореме 1.5.1 можно положить \р(т) = ||S~ Цоо • Тогда сразу получится

Теорема 1.5.2. Для каждого натурального числа п справедливы неравенства

№ <5 (115-11.+ П-Х;::1, (26)

и

ll^lloo < 18 (HS^-Цво+ »1— + (27)

Более того, в действительности теоремы 1.6.1 и 1.5.2 равносильны.

В пункте 1.2.3 для некоторых чисел {у(т)} , например, для <р(т) = С т13, /3 > 0, доказана неулучшаемость по порядку оценок (24) и (25) указанием конкретного примера. В §1.5 доказана неулучшаемость по порядку теоремы 1.5.1, а значит, и теоремы 1.5.2 для любой неубывающей последовательности {¡р{т) }£,=1.

Пусть п - натуральное число, а 7 и {¡р(т) }Ц,=1 - произвольные действительные числа. Через М(п,т,<р) обозначим совокупность всех тригонометрических полиномов

8п (ж) м а0 + (ак соа(кх) + Ь„ вт(кх)) (28)

с действительными коэффициентами, которые удовлетворяют условию а0 = 7 и условию (23), где, конечно, 5т (ж) - частные суммы полинома (28), которые задаются равенством (8). Из доказанного в §1.5 результата, в частности, вытекает

Следствие 1.5.3. Пусть п - произвольное натуральное число, и пусть выполнены условия 7 > 0 и 0 = у(0) < у>(1) < • • • < ¥>(п). Тогда верны порядковые соотношения:

8ир{||5п||те : ^е^Л.^^М+я'-^ ЙгИ»1"" (2»)

)=1 3

и

з=1 3

(30)

причем соответствующие положительные постоянные в порядковых соотношениях (29) и (30) являются абсолютными.

Таким образом, в случае неубывающей последовательности неотрицательных чисел { ч>(т) }Ц,=1 порядковое соотношение (29) показывает неулучшаемость по порядку оценки (24), а значит, и неравенства (26) на совокупности полиномов 5П 6 М(п , 7, <р). Анало! ично, порядковое соотношение (30) показывает неулучшаемость по порядку оценки (25), а значит, и неравенства (27) на совокупности полиномов

Sn € M(n ,7,ip). В частности, следствие 1.5.3 дает порядковое ре- * шение соответствующих экстремальных задач, которые выписаны в Левых частях соотношений (29) и (30).

В § 1.2 получено

Следствие 1.2.2. Пусть п - произвольное натуральное число и, в обозначении (8), выполнено условие

•Sm(s) > 0 при всех х и m = l,...,n. (31)

Тогда верна оценка

HSnlloo^aon1-*, (32)

где положительная постоянная А <4.

Следствие 1.2.2, конечно, является частным случаем теоремы 1.5.1, достаточно положить <р{т) — 0 при всех т = 1,.,.,п. Поскольку j ak | < ||S„||oo при всех n > 0, то из оценок (24) и (32) получаются соответствующие оценки на коэффициенты полинома (28). Например, для неотрицательной монотонно невозрастающей последовательности {a*}£L0 из (1) следует оценка (3) при е — 0. Этот результат, в отличие от ранее известных, точен в порядковом отношении. Более того, для произвольной последовательности неотрицательных чисел {а*}£10 из (1) вытекает оценка ]££_0 а* < 4аоп1-™ при всех п = 1,2,... , и, в частности, верно (2) при е = 0. Отсюда вытекает, что в оценках (2) и (3) можно взять е = 0, т.е. результат Сельберга и Човла [С1] доведен до неулучшаемого в порядковом отношении результата. Напомним, что неулучшаемость следствия 1.2.2 по порядку сразу вытекает из (7). То же самое относится и к результату М. и Ш.-И. Изуми [И]: из теоремы 1.5.1 следует, что если для некоторой последовательности действительных чисел {ak}*Lo и некоторых Р > 0 и С > 0 верно (5), то J2k=i = 0(W(n)), где функция

{п1-а, если 13 < 1-е»,

(1 + 1пп)п1-а, если /?=1-а, п? , если ¡3 > 1 — а.

Этот результат, как показано в главе 1, неулучшаем в порядковом отношении. Таким образом, такие утверждения, как теорема 1.5.1, являются и обобщениями и уточнениями полученных ранее и указанных выше результатов. В 5 1.2 также получена

Теорема 1.2.12. - Пусть п - произвольное натуральное число, положительное число S, и отрезок J = [ао,А>], ао < 0о. таковы,

что, в обозначении (8), выполнено условие <р(т) + Sm (z) > 0 при всех х € [«о — S у А> + и всех m = 1,..., п. Пусть п(8) - наибольшее целое число меньшее min{n + 1, 3jt/(2S)} . Тогда справедлива оценка

п-1 | , ,, n(S)

т=1 к—О

где положительная постоянная А< 4.

Теорема 1.2.12 показывает, что оценка снизу всех частных сумм (8) на некотором промежутке I позволяет получить оценку сверху частных сумм (8) на любом отрезке J, лежащем внутри промежутка /. Естественно, что при S = 2ir теорема 1.2.12 дает оценку (24).

В связи с результатами Дарсоу [D1] и C.B. Конягина [К4] возникают следующие задачи. Пусть для некоторого натурального п выполнено условие (31). Что тогда можно сказать о коэффициентах суммы 5п(х)? Если выполнено условие Sm(x) > 0 при всех х и m > 1, то что тогда можно сказать о коэффициентах ряда (9), о самом ряде (9) и о порядке роста чисел maxz Sm(х) при возрастании m? Более общая задача возникает, если мы рассмотрим два сегмента / и J, где J содержится во внутренности I. Если Sm(x) > 0 для всех х е I и m = 1,2,... , то что в этом случае можно сказать о росте чисел maXffg./ Sm(x) при возрастании m? Решения указанных задач даются следствием 1.2.2 и теоремами 1.5.1 и 1.2.12. Решения некоторых обобщений сформулированных выше задач даны в §§ 1.2 и 1.4. Аналогичные задачи (см. § 1.9) рассматриваются и для кратных тригонометрических рядов. В частности, справедлив кратный аналог следствия 1.2.2.

Таким образом, в главе 1 получены неулучшаемые оценки коэффициентов тригонометрического ряда и оценки сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу.

В $1.10 обсуждается взгляд на полученные в $$1.1, 1.2 и 1.4 результаты, как на порядковые решения соответствующих экстремальных задач, т.е. приводятся новые трактовки.

Наконец отметим, что в $$ 1.3,1.4,1.6,1.7 и 1.8 изучаются различные вопросы, связанные с поведением частных сумм тригонометрического ряда, и, в частности, тригонометрические ряды, все частные суммы которых неотрицательны. В частности, в $ 1.3 изучаются коэффициенты таких рядов. Полученные в результате оценки коэффициентов тригонометрических рядов с неотрицательными частными

суммами по порядку неулучшаемы. Отметим, что аналогичные оценки оказываются справедливыми и для рядов, которые отлич'аются от тригонометрических косинус-рядов тем, что функция cos заменяется на произвольную функцию, удовлетворяющую определенным условиям; в частности, в $1.11 даются оценки коэффициентов конкретных функциональных рядов с неотрицательными частными суммами. Отметим, что если /(х) = 1 - 6х (1 - х), то полученные там оценки коэффициентов уточняют утверждение, приведенное С. Човла в конце его статьи [С1].

Остановимся несколько подробней на § 1.7, где строятся тригонометрические ряды с неотрицательными частными суммами, которые не являются рядами Фурье-Лебега. Там доказана

Теорема 1.7.1. Можно построить тригонометрический косинус-ряд с положительными коэффициентами а„ cos(nz), у которого все частные суммы положительны на прямой и который не является рядом Фурье-Лебега.

В связи с теоремой 1.7.1 обратим внимание на доказанный в $ 1.3 результат, что если коэффициенты косинус-ряда неотрицательны и квазимонотонны, в частности, если они монотонно не возрастают, и все его частные суммы неотрицательны на прямой, то он является рядом Фурье функции / € при всех р € (1,1/(1 - а)), где а = 0.308... - корень уравнения (4). Из (7) следует, что последнее утверждение может не иметь места при р = 1/(1 - а). В частности, коэффициенты ряда, который удовлетворяет теореме 1.7.1, не могут, начиная с некоторого места, быть квазимонотонными.

В действительности, в $1.7 доказана более общая, чем теорема 1.7.1,

Теорема 1.7.2. Можно построить тригонометрический косинус-ряд с неотрицательными коэффициентами, у которого все частные суммы положительны на прямой и который сходится к нулю почти всюду.

Теорема 1.7.2 является основным результатом §1.7 и одним из главных результатов главы 1. Легко видеть, что теорема 1.7.1 вытекает из теоремы 1.7.2. При наложении условий на некоторые параметры, которые используются в доказательстве теоремы 1.7.2, заложен определенный произвол в их выборе. Бели эти параметры выбрать более специальным образом, то получится

Теорема 1.7.3. Пусть у - произвольная неотрицательная неубывающая функция, определенная на (0, +оо), такая, что

ip(v) —f +00 при v —v +oo. Тогда можно построить такой ряд ап cos(nx), который удовлетворяет всем требованиям теоремы 1.7.2 и card{ n>l:n<t»,an^O}< при всех v>0.

В § 1.8 речь идет о тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега.

Таким образом, полученные в §§ 1.7 и 1.8 результаты дополняют известную теорему Катцнельсона [К2].

В главе 1 в §§ 1.3 и 1.4 получены необходимые условия на коэффициенты тригонометрического ряда для того, чтобы все его частные суммы были неотрицательны. В главе 2, к описанию содержания которой мы теперь переходим, получены достаточные условия для того, чтобы все частные суммы тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами были неотрицательны. По сути здесь разработан новый метод, который позволяет не только получать новые результаты и передоказывать единым образом уже известные, а дает возможность получать неулучшаемые в некотором смысле результаты. В этом одно из основных отличий предлагаемого нами подхода от ранее применяемых другими авторами.

Сформулируем сначала основной результат главы 2. Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел {afe}£L0. , При всех целых неотрицательных п и действительных х будем исполь- } зовать обозначения (10) для частных сумм, соответственно, * косинус-ряда и синус-ряда (11). Основным результатом главы 2 явля- 1 ется следующая

Теорема 2.0.1. Пусть {a„}£L0 - монотонная последовательность неотрицательных чисел и a¡ > 0. Тогда, если

v-1)fc_1 í. ® пРи 6Сех " > * > (33)

то справедливы неравенства (15) и (16). Обратно, если

S2n(x)> 0 при всех х € (0,я-) и п>1, (34)

%о выполнено условие (33).

Заметим, что для неотрицательной последовательности {ап}£°=1 условие (33) эквивалентно условию ((2к - 1)а2&_1 - 2ка2к) > О при всех п > 1, Поэтому из условия (14) немедленно следует условие (33), т.е. из теоремы 2.0.1 теорема Вьеториса получается очевидным образом.

Теорема 2.0.1, в частности, утверждает, что из (34) вытекает (15). Поэтому утверждение (15) для монотонной последовательности {а„}™=1 эквивалентно утверждению

§„(х)> 0 при всех ¡г€(0,*г) и п>1. (35)

Обратим внимание на то, что в случае монотонной неотрицательной последовательности {а„}™=1', а! > 0, теорема 2.0.1 дает необходимое и достаточное условие (33) для выполнения утверждения (15), причем условие (33) оказывается также необходимым и достаточным и для выполнения утверждения (35). Таким образом, условия

ai > о и Y* (-1)*"1 каь :> 0 при всех n > 1

необходимы и достаточны для того, чтобы все частные суммы тригонометрического синус-ряда (11) были положительны на интервале (О.тг).

В главе 2 получены также новые условия на коэффициенты тригонометрического косинус-ряда (И) для того, чтобы все его частные суммы были положительны на прямой. На основе доказательства теоремы 2.0.1 излагаются основные идеи применяемого метода и, в основном, только та его техническая часть, которая требуется для доказательства теоремы 2.0.1 и показа возможностей предлагаемого метода.

Пусть квадратные скобки обозначают целую часть. При всех натуральных n будем пользоваться обозначением

"»asELafc-E^le*-^6rn+1-2n)a'»- где m=[2ri]-

Отметим, что j/j ав ао/3 и v„+i -и„ я | <Ц(п+1)/з] -«п при всех n > 1. При всех х > 0 определим функцию

аМ » i 2в° "РИ * 6 ^ '

I а» при х е [« - 1/2, n + 1/2), n > 1.

Важную роль при изложении метода играют функции, определенные при всех х > 0.

лЗтДЗ*) f7*H**)

М(х) = ! a(t) cœ(tx) dt и M4(x) = / a(t) coB{tx) dt. J 0 J 0

При всех цедых п > 0 и действительных х используем обозначения: До„ = о„ — o„+i,

vn(x) = О0 + ¿ Док sin( (к + i)

к—О

В § 2.4 получена

Теореме 2.1.5. Пусть последовательность ряет условиям

о„ > О и о„ > а„+1 при п > 1, 2ао >

условиям oq > ai, 2ао + aL > 4а2, и условию п > 5. Тогда верны утверждения (16),

М{х) > 0 при всех х € (0, тг) (37)

и

Vn(x) > 0 при всех х € [ ■ * ¿ , И и п > 1. (38)

L 2п + 3 '

В частности, если невозрастающая последовательность неотри-нательных чисел {ап}£°_0 удовлетворяет условиям ,

ао > 0, 2а0 + ai > 4йг , о0 + ai > a¡ + а3 + а4 (39)

U

2а„ > За3„_1 при всех п> 2, (40)

то верны утверждения (16), (37) и (38).

Утверждения вида (37) и (38) важны для доказательств. Обратим внимание на то, что из теоремы 2.1.5 получается (13) при всех 0 € (—1,2], поскольку условия (39) и (40) в этом случае выполнены. Отметим также, что теорема Брауна и Хьюитта может быть достаточно несложно получена из теоремы 2.1.5, причем при условиях теоремы Upayua и Хьюитта можно даже утверждать, что

S2n{x)> 0 при всех х £ (0,я- — яг/(2п+ 1)] и п>1.

В главе 2 излагаются основные идеи развитого в работах автора [И], [10], [15] и [16] (см. также [8], [9]) нового метода доказательства

х ) - °п+1 •

{an}£L0 удовлетво-

01, о0 > 0, (36) fn > 0 при всех

утверждений вида (15) и (16), в котором не требуется находить суммы рядов (11). Метод позволяет с единых позиций доказывать для случая монотонных коэффициентов как известные утверждения вида (15) и (16), включая результат Гаспера [01], так и новые, например, теоремы 2.0.1 и 2.1.5. Основная цель главы 2 - на примере доказательства теоремы 2.0.1 изложить идеи нового метода исследования частных сумм тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами на неотрицательность.

Одним из основных результатов, лежащих в основе метода, является

Теорема 2.1.1. Пусть последовательность {ап}£°=0 удовлетворяет условиям (36). Тогда, если выполнено условие (37), то выполнены и условия (16) и (38). Более того, теорема останется верной, если одновременно в (37), (16) и (38) знак " >" заменить на знак " >".

Теорема 2.1.1 доказана в §2.3. Еще один существенно важный результат, лежащий в основе метода, получен в § 2.3 и формулируется следующим образом.

Теорема 2.3.4. Пусть выполнены условия (36) и х е (0, ?г]. Тогда, если

М4(х) > 0 (41)

и

Зз.г/2*} (*) > 0, (42)

то справедливо утверждение

8„(х) > 0 при всех п > 0. (43)

При этом теорема останется верной, если одновременно в (41), (42) и (43) знак " >" заменить на знак ">".

Теоремы 2.1.1, 2.3.4 и еще несколько аналогичных теорем и составляют основу применяемого метода. Техническая часть метода состоит в различных способах доказательства утверждений типа (37), (41) и (42) в некоторой правой окрестности нулн, т.е. при всех х 6 (О, хо), где хо - некоторая точка из промежутка (0, п).

В §2.5 изучаются ряды (11) при условии (17). Здесь предполагается, что последовательность действительных чисел {сп}п°=а удовлетворяет условиям

с„ > 0 и с„ > с„+1 при п > 0, со > О

и а2п = агп+1 = с„ при всех я > 0. Ясно, что тогда условия (36) также будут выполнены.

Отметим также, что теорема 2.3.4 является весьма сильной и позволяет получить все упомянутые при изложении содержания главы 2 утверждения.

В главе 3 излагается точное решение экстремальной задачи (22), а именно: для всех натуральных п находится точное значение величины М(п); доказывается единственность экстремального тригонометрического полинома вида (21), на котором минимумом в задаче (22) достигается; соответствующий экстремальный полином, который далее обозначается через Vn(®). находится. Более того, изучаются некоторые свойства этих экстремальных полиномов. Изложены также некоторые приложения основного результата (см. далее следствие 3.1.2 и теорему 3.1.4).

Для формулировки основных результатов главы 3 положим

Ск = 2~2к(к\)-2{2к)1, *>0.

Для каждого натурального п введем обозначение

= \ | £l=o Cmi"{*."-*}е'** | = EL ак «»(**),

где

» — I 2

®0 — 2 ' Cmin{k,n-k} I

и

En—к

cmin{j,„_j}cmin{j4fc,n_j_fc} при к- 1,...,п. (46)

В $3.1.2 на основе формул (45) и (46) доказывается

Теорема 3.1.1. Для каждого натурального п полином (44) V„ € W„ и, более того,

2«S > «? > • • • > апт = апт+1 =••• = < = 1, (47)

где т — п — [п/2], причем

2ап0-а»>ап1-аЧ> - >апт~апт+1 = • • • = «Ц., - < = 0, (48)

при всех п > 2.

(44)

(45)

Из теоремы 3.1.1, а именно, из (47) и (48), в частности, вытекает) что полином (44) имеет монотонные коэффициенты, которые удовлетворяют условию выпуклости. Теорема 3.1.1 также утверждает, что полином (44) является допустимым в экстремальной задаче (22).

Основным результатом главы 3 является

Теорема 3.1.2. Для каждого натурального п справедливо равенство

г., ^ г» 1 ( V^K"-1)/2) 2 , 2 \

и полином Vn является единственным соответствующим экстремальным полиномом задачи (22).

Последнее утверждение теоремы 3.1.2 означает, что для любого полинома Т„ 6 Wn вида (21), который отличен от полинома Vn , справедливо неравенство а0 > М(п). Из теорем 3.1.1 и 3.1.2 вытекает, что экстремальный полином в задаче (22) имеет монотонные коэффициенты. Порядок величины М(п) дает оценка, доказываемая в главе 3, а именно

M(n) = iln(n + i)+Co + o(i),

где абсолютная постоянная Со = 0,845... связана с известной постоянной Эйлера формулой

*Co-ln8= lim ( V" }-lnn).

n-+oo \ 'fc=l k /

Для 7 > 1 вместе с функцией (19) будем также рассматривать функцию (функции такого вида введены автором в работе [13])

К1{7) = inf{ - min i Qfc cos(ix) } , (49)

где нижняя грань берется по всем действительным {о*})^ таким, что либо afc = 0, либо а* > 1, Y2T=i = 7 и а\ > аг > «з > • • • • Ясно, что 7) > К(7) при всех у > 1. Заметим также, что = К(7) = 7 при всех 7 6 [1,2), поскольку в этом случае и в сумме (19), и в сумме (49) будет только одно слагаемое с коэффициентом 7.

Из основного результата, т.е. теорем 3.1.1 и 3.1.2, будут получены описываемые далее результаты.

Следствие 3.1.2. Существуют положительные абсолютные постоянные С1 и Са тате, что

Сх (1+1117) < А'(7) < А'*(7) < (1п7+С2) при всех 7 > 1, (50) причем наилучшая постоянная Сг = 2я- — 1п 2. В частности,

К1(-у) ж К(7) ж 1 + 1п7 при 7 > 1. Более того, справедливо предельное соотношение

КН-1) 1

-- -—► — при 7 -+ оо.

1 + 1п 7 я-

В действительности, в главе 3 доказывается даже, что 7) = я,~1 1п7 + 0( 1п1п(7 + 2)) при всех 7 > 1. Последнее соотношение дополняет (50).

Отметим, что оценка снизу для величины (19) получается из положительного решения гипотезы Литтлвуда Конягиным С.В. [КЗ] и Мак Геем, Пино и Смитом [М1].

Используя известный результат Фейера (см. [Р1, отдел 6, §5, задача 40]) о представлении неотрицательных тригонометрических полиномов, из теоремы 3.1.2 в §3.9 будет получена

Теорема 3.1.4. Пусть п - произвольное натуральное число. Тогда для любого неотрицательного тригонометрического полинома (28) справедливо неравенство

.тш (^ + бП1/2<тгк«о, (51)

1ч«\л ш{4)

которое для тригонометрического полинома 5п(ж) =7 У„(х), где 7 > 0, превращается в равенство.

Таким образом, неравенство (51) является точным. Отметим уакже, что интерес к неотрицательным тригонометрическим полиномам (28) возник довольно давно (см. [Р1, отдел 6, §§3, 5, 7]). Например, хорошо известен результат Фейера, что для неотрицательного тригонометрического полинома (28) всегда верно неравенство (а1 + К )1'2 < пво, которое для ядра Фейера превращается в равенство. Неравенство (51) - это новый точный результат в этой классической теме.

Для каждого натурального п в главе 3 изучаются также нули полинома Ki ■ Указывается одно из приложений теоремы З.Г.4.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[AI] Askey R. Remarks on the preceding paper by Gavin Brown and Edwin Hewitt // Math. Ann. 1984. V. 268. P. 123-126. [A2] Askey R., Fitch J., Gasper G. On a positive trigonometric sums // Proc. Amer. Math. Soc. 1968. V.' 19. № 6. P. 1507. [A3] Askey R., Steinig J. Some positive trigonometric sums // Trans. Amer. Math. Soc. 1974. V. 187, № 1. P. 295-307. [Bl] Бари H.K. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. [В2] Brown G., Hewitt Е. A class of positive trigonometric sums // Math. ( Ann. 1984. V. 268. P. 91-122.

i [CI] Chowla S. Some applications of a method of A. Selberg // J. Reine

Angew. Math. 1965. Bd. 217. S. 128-132. ! [Dl] Darsow W. On boundedness of trigonometric series //J. London

Math. Soc. 1960. V. 35. № 2. P. 237-238.

[D2] Djacenko M.I. On some properties of trigonometric series with » monotone decreasing coefficients // Anal. Math. 1984. V. 10. Ш 3.

P. 193-206.

1 [El] Эдварде P. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. М.: Мир,

V 1985.

[Fl] Fejer L. Einige Sätze, die sich auf das Vorzeichen einer ganzen rationalen Funktion beziehen, nebst Anwendungen dieser Sätze auf die Abschnitte und Abschnittsmittelwerte von ebenen und räumlichen harmonischen Entwicklungen und von beschränkten Potenzreichen // Monatsh, für Math, und Phys. 1928. V. 35. P. 305-344.

[Gl] Gasper G. Nonnegative sums of cosine, ultraspherical and Jacobi polynomials // J. Math. Anal, and Appl. 1969. V. 26. № 1. P. 60-68. [G2] Grandjot K., Jarnik V., Landau E., Littlewood J.E. Bestimmung einer absoluten Konstanten aus der Theorie der trigonometrische Reihen // Ann. Mat. pura ed appl. 1929. V. 6. № 3. P. 1-7. [G3] Gronwall Т. H. Uber die Gibbssche Erscheinung und die triginomet-

rischen Summen sin x + i sin 2z -|-----(- £ sin nz // Math. Ann. 1912. V.

72. P. 228-243.

[Hl] Helson H. Proof of a conjecture of Steinhaus // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1954. V. 40. P, 205-206.

[II] Izumi M., Izumi Sh.-I. On some trigonometrical polynomials // Math.

Scand. 1967. V. 21. № 1. P. 38-44.

[Jl] Jackson D. Uber eine trigonometrische Summe // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1911. V. 32. P. 257-262.

[K2] Katznelson Y. Trigonometrie series with positive partial sums // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. V. 71. P. 718-719. [КЗ] Конягин C.B. О проблеме Литтлвуда // Изв. АН СССР. Сер. ма-тем. 1981. Т. 45, № 2. С. 243-265.

[К4] Конягин С.В. О пределах неопределенности тригонометрических рядов // Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 6. С. 770-784. [К5] Конягин С.В. Представление функций тригонометрическими рядами. Дис. ... докт. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1989. [LI] Landau Е. Uber eine trigonometrische Ungleichung // Math. Zeit. 1933. V. 37. P. 36.

[Ml] McGehee O.C., Pigno L., Smith B. Hardy's inequality and the Ll-norm of exponential sums // Ann. Math. Ser. 2. 1981. V. 113. № 3. P. 613-618.

[01] Odlyzko A.M. Minima of cosine sums and maxima of polynomials on the unit circle //J. London Math. Soc. 1982. V. 26. № 3. P. 412-420.

[PI] Полиа Г., Cere Г. Задачи и теоремы из анализа. Часть вторая. М.: Наука, 1978.

[Rl] Rogosinski W., Szegö G. Über die Abschnitte von Potenzreichen, die in einem Kreise beschrankt bleiben // Math. Zeit. 1928. V. 28. P. 73-94.

[Tl] Turan P. Uber die Partialsummen der Fourierreiche // J. London Math. Soc. 1938. V. 13. P. 278-282.

[T2] Turan P. On a trigonometrical sum // Annal. Soc. Polon. Math. 1952. V. 25. P. 155-161.

[Ul] Ульянов П.Л. Применение А -интегрирования к одному классу тригонометрич :ких рядов // Матем. сб. 1954. Т. 35. № 3. С. 469490.

[VI] Vietoris L. Uber das Vorzeichen gewisser trigonometrische summen У/ S.-B. Öster. Akad. Wiss. 1958. V. 167. P. 125-135; Teil II//Anzeiger Öster. Akad. Wiss. 1959. P. 192-153.

[Yl] Young W.H. On a certain series of Fourier // Proc. London Matn. Soc. 1912. V. 11. P. 357-366.

[Zl,2] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. Т. 2. М.: Мир, 1965.

Работы автора по теме диссертации

[1] Белов А. С. О коэффициентах тригонометрических рядов с неотрицательными частичными суммами // Матем. заметки. 1987. Т. 41. № 2. С. 152-158.

[2] Белов A.C. О коэффициентах тригонометрических косинус-рядов с неотрицательными частными суммами // Труды МИАН СССР. 1989. Т. 190. М.: Наука, 1989. С. 3-21.

[3] Белов A.C. О частных суммах тригонометрического ряда с выпуклыми коэффициентами // Матем. заметки. 1991. Т. 50. № 4. С. 21-27.

[4] Белов A.C. Об оценках сверху частных суммах тригонометрического ряда через оценки снизу // Матем. сб. 1992. Т. 183. № И. С. 55-74.

[5] Белов A.C. Об одной экстремальной задаче о минимуме тригонометрического полинома // Известия РАН. Серия матем. 1993. Т. 57. № 6. С. 212-226.

[6] Белов A.C. Неотрицательные тригонометрические полиномы и три-■> гонометрические ряды с неотрицательными частными суммами //

Тезисы докладов школы "Теория функций. Дифференциальные урав-у нения в математическом моделировании" (25 янв. - 3 февр. 1993 г.).

V Воронеж, 1993. С. 20.

[7] Белов A.C. Решение одной экстремальной задачи о минимуме тригонометрического полинома // Сб. "Фундаментальные проблемы математики и механики. Т. 1. Математика". МГУ, 1994. С. 21-23.

[8] Белов A.C. О коэффициентах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами // Сб. "Фундаментальные проблемы математики и механики. Т. 1. Математика". МГУ, 1994. С. 23-25.

[9] Белов A.C. О примерах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами // Сб. "Ивановский государственный университет - региональный центр науки, культуры и образования. Тезисы докладов юбилейной научной конференции" (11-12 янв. 1994 г.). Иваново, 1994. С. 197-198.

[10] Белов A.C. Новые примеры тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами // Сб. "Теория функций и приближений. Труды 7-ой Саратовской зимней школы (30 янв.-4 февр. 1994 г.). Часть 1". Саратов, 1995. С. 112-117.

[11] Белов A.C. О примерах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами // Матем, сб. 1995. Т. 186. № 4. С.

21-46.

[12] Белов A.C. О неулучшаемости некоторых оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу // Матем. заметки. 1995. Т. 58. № 3. С. 447-451.

[13] Белов A.C. Новые примеры неотрицательных тригонометрических полиномов с целыми коэффициентами // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 3. С. 581-612.

[14] Белов A.C. О тригонометрических рядах с неотрицательными частными суммами, которые не являются рядами Фурье-Лебега // Матем. заметки. 1996. Т. 59. № 1. С. 24-41.

[15] Белов A.C. Новый метод исследования частных сумм тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами на неотрицательность // Сб."Тезисы докладов Калужской международной конференции по теории приближения функций, посвященной памяти профессора П.П. Коровкина (26-29 июня 1996 г.)и. Калуга, 1996. С. 29-30.

[16] Belov A.S. A new method for exact solution of aft extremal problem on positiveness of partial sums of trigonometric series // Abstracts. International conference "Harmonic analysis and approximation". Nor Amberd, Armenia (September 18-25, 1998). Yerevan, 1998. P. 12-13.

[17] Белов A.C. О тригонометрических рядах с неограниченными снизу частными суммами // Вестник Ивановского госун-та. 2002. Вып. 3. Сер. "Биология. Химия. Физика. Математика". С. 110-117.

[18] Белов A.C. Об оценках для неотрицательных тригонометрических полиномов // Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы (26 янв.-2 февр. 2003 г.) "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2003. С. 31-32.

Белов Александр Сергеевич

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ПОЛИНОМЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧАСТНЫМИ СУММАМИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Подписано в печать 24.07.03. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,4. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 1549

Издательство "Ивановский государственный университет" 153025 Иваново, ул. Ермака, 39

Типография Ивановского энергоколледжа 153025 Иваново, у.ч. Ермака, 41, тел.: 37-52-44, 32-50-89

* 12 63 7

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧАСТНЫМИ СУММАМИ.

§1.0. Постановка задач и история их возникновения.

§1.1. Основные идеи оценки сверху коэффициентов функциональных рядов с условиями неотрицательности частных сумм.

§1.2. Об оценках коэффициентов тригонометрических косинус-рядов с неотрицательными частными суммами

1.2.1. Основные результаты.

1.2.2. История результатов.

1.2.3. Неулучшаемость результатов.

1.2.4. Основные идеи получения оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу.

§1.3. О тригонометрических косинус-рядах с монотонными коэффициентами и равномерно ограниченными снизу частными суммами.

1.3.1. Определения. Обозначения. Основные результаты.

1.3.2. Необходимые и достаточные условия.

§1.4. О коэффициентах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами.

1.4.1. Постановка задачи, формулировка результатов и обсуждение.

1.4.2. Доказательства теорем 1.4.1 и 1.4.2 и следствия 1.4.1.

1.4.3. О поведении частных сумм тригонометрического ряда с неотрицательными частными суммами.

§1.5. О неулучшаемости доказанных оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу.

§1.6. О тригонометрических рядах с неограниченными снизу частными суммами.

1.6.1. Постановка задачи и история вопроса. Формулировка и обсуждение основного результата.

1.6.2. Доказательство основной теоремы параграфа.

§1.7. О тригонометрических рядах с неотрицательными частными суммами, которые не являются рядами Фурье-Лебега.

1.7.1. Постановка задачи, формулировка результатов и обсуждение.

1.7.2. Доказательство теорем 1.7.2 и 1.7.3.

§1.8. О тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега.

1.8.1. Формулировка результатов и обсуждение.

1.8.2. Доказательство теоремы 1.8.1.

1.8.3. Доказательство теоремы 1.8.2.

§1.9. О переносе основного результата на кратные тригонометрические ряды.

§1.10. Об одной экстремальной задаче.

§1.11. Об оценках коэффициентов конкретных функциональных рядов с неотрицательными частными суммами.

ГЛАВА 2. О ПРИМЕРАХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧАСТНЫМИ СУММАМИ.

§2.0. Введение. Основной результат. История вопроса.

§2.1. Обозначения и формулировка результатов.

§2.2. Обозначения и некоторые тождества.

§2.3. Основная идея метода оценки снизу частных сумм тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами.

§2.4. Доказательство теоремы 2.1.2.

§2.5. Метод оценки снизу частных сумм специальных тригонометрических рядов.

§2.6. Доказательство теоремы 2.0.1.

ГЛАВА 3. ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ.

§3.0. Введение. Постановка задачи.

§3.1. Основные результаты. Формулировки и обсуждение.

§3.2. Доказательство теоремы 3.1.1.

§3.3. Схема доказательства теоремы 3.1.2.

§3.4. Доказательства лемм 3.3.2 и 3.3.3.

§3.5. Доказательства леммы 3.3.4.

§3.6. Доказательства леммы 3.3.5.

§3.7. Доказательства теорем 3.1.2 и 3.1.3 и следствия 3.1.3.

§3.8. Доказательства следствий 3.1.1 и 3.1.2.

§3.9. Доказательство и обсуждение теоремы 3.1.4.

Все три главы, из которых состоит диссертация, посвящены изучению тригонометрических и, более общо, функциональных как рядов, так и полиномов, все или только некоторые частные суммы которых неотрицательны на прямой или заданном заранее промежутке. Изучаются различные вопросы, связанные с поведением частных сумм тригонометрического ряда, и, в частности, тригонометрические ряды, все частные суммы которых неотрицательны на прямой или интервале (0,7г). Ставятся и решаются в точном или порядковом смысле новые экстремальные задачи, связанные с неотрицательными тригонометрическими полиномами. Основное и самое существенное отличие изложенных методов исследования состоит в том, что получаемые результаты неулучшаемы в том или ином смысле.

Результаты, изложенные в диссертации, в большей части уже опубликованы (см. статьи автора [В2 - В21] из списка литературы), в любом случае, основные.

Применяемые обозначения стандартны и напоминаются по ходу изложения. Нумерация обычна и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы.

Теперь перейдем к описанию содержания диссертации и точным формулировкам полученных автором результатов, а также к их обсуждению.

В первой главе диссертации получены оценки как коэффициентов, так и частных сумм тригонометрических и, более общо, некоторых функциональных рядов с неотрицательными частными суммами. Результаты этой главы были опубликованы автором в статьях [В2], [ВЗ], [В4], [В5], [ВТ], [BIO], [В11], [В14], [В17], [В18], [В21].

Пусть / - действительная функция, определенная на сегменте I = [О,А], где А > 0, и интегрируемая на нем. Будем писать / € Dq(I) , если функция / удовлетворяет следующим четырем условиям: а) /(0) = 1; 6) есть такое число s = s/ > 1, что функция / не возрастает на отрезке [0,A/s]; с) есть такое число До € (0,Д), что на интервале (0,До) функция / п.в. неотрицательна, а на интервале (Д0,А) функция / п.в. неположительна; d) функция / положительна в некоторой правой окрестности нуля и на интервале (max{A/s , Д0} , А) функция / не тождественна п.в. нулю.

В § 1.1 доказывается, что если функция / 6 А) (Л > то Уравнение А t~af(t)dt = 0 (1) имеет единственный корень а = а/ < 1, fj t~Qf(t)dt > 0 при всех v € (0, А), /0A/s Га f(t) dt > О и, более того, лД

7-а) / t~1f(t)dt> 0 при всех 7 € (-00 , а) U (а , 1). (2)

Jo

Условие (2) позволяет при заданной функции / легко оценивать и вычислять число а.

С функцией / 6 Dq(I) будет связываться положительная постоянная

Af = b1-* (1-a)-1 [J S t-"f(t)dty\ (3)

Кроме условий а), 6), с), d) на функцию / будем иногда накладывать дополнительное условие: существует такое число К — Кf > 0, что

1/0*1)- /(жг)| < К l^i ~ х2\ при всех хг , х2 в [0, A/s]. (4)

Вводится (см. § 1.1) и несколько более общий класс функций / € D(I), который содержит в себе все функции / Е Dq(I). Пока важно только знать, что обозначения (1), (3) и свойство (2) распространяются и на этот более общий класс функций.

Одним из основных результатов §1.1 является

Теорема 1.1.2. Пусть функция / G D(I) и удовлетворяет условию (4), п - произвольное натуральное число и действительные числа {Afcj^-o , 5 {(p(m)}m=i таковы, что выполнены условия

О = А0 < Ai < А2 < • • • < Ап , (5) L т * *

А А р(т) + S2 ак /(Afc х) > 0 при п.в. х £ ( --, — } к=0 Лт+l Лт ' и всех т = 1,., п — 1, m p(m) + ^ ak > 0 при всех m = 1,., n — 1, tfn) + 5>/(Afc*)>0 при n.e. x e

Тогда справедлива оценка n fe=o n-l

А/ (1+А'Д (2 - с)"1 ) Ajf« £ И"01 (" )+ m= 1 A/|a0|(A„/A1)1"°.

6)

Теорема 1.1.2 является довольно общей. Значительная часть главы 1 посвящена различным конкретным частным случаям теоремы 1.1.2. Наиболее важный пример функции / 6 Do(I) получаем в случае, когда f(x) = cosx, Д = Зтг/2, 5 = 3, А0 = тт/2, Kf = 1. (7)

Этот частный случай подробно рассмотрен далее в §§ 1.2 — 1.10. По сути большая часть главы 1 посвящена конкретному случаю (7). Только в §§1.2 и 1.11 кратко рассматриваются некоторые другие функции /. Прежде всего это связано со стремлением яснее изложить основные новые идеи, а не гнаться за количеством рассмотренных примеров. Оценка (6) интересна даже в случае

В этом случае вместо (6) имеем хотя и значительно более простую, но все еще содержательную оценку р(т) = 0 при всех m = l,.,n.

8)

Как частный случай общих результатов получена

Теорема 1.1.3. Пусть функция f £ D(I) и последовательность действительных чисел таковы, что afc ^ 0 пРи всех т = 1,2,. , и т АЛ д д

Q>k f(kх) > 0 при п.в. х £ (-р---7 , — ) и т > 1 шах{т + 1,ш} га/

Тогда ац > 0 и для всех натуральных п верна оценка k=Q $>fc< Afa0 п1 Q fc=0

Из полученных в §1.1 довольно общих результатов, в частности, из теоремы 1.1.3 в §§1.2, 1.3, 1.4 и 1.11 делаются следствия для конкретных функций /, которые существенно обобщают и уточняют результаты А. Сельберга, С. Човла, М. и Ш.-И. Изуми и других.

В § 1.2 более подробно рассмотрен частный случай доказанных теорем для конкретной функции (7). Это один из наиболее важных примеров функции / 6 -Do([О, Д]) • Обратим внимание, что и в §§ 1.2 - 1.10, и далее во введении при обсуждении результатов этих параграфов число а Е (0,1) является единственным корнем (см. также [Z1, с. 307]) уравнения г.Зтг/2 t~a costdt = 0. (9) о

J о

В этом частном случае положительная постоянная (3) равна

Л = (1-а)"1(у) (у Г* costdt) . (10)

Таким образом, в случае (7) выполняются все условия а), 6), с), d) и (4). Корень а 6 (0,1) уравнения (9) удовлетворяет (см. § 1.2) оценкам

- (П)

Этих простых оценок достаточно для всего дальнейшего изложения.

Хотя оценок (11) для всего дальнейшего изложения будет вполне достаточно, отметим, что а = 0,30844377956. Эта постоянная Появляется и при изучении некоторых других вопросов теории тригонометрических рядов. Например, постоянная Р = 1 — а - как единственный положительный корень уравнения /Q3tp sin tdt = 0, эквивалентного уравнению (9), введена в 1929 году в работе К. Гран-дьота, В. Ярника, Е. Ландау и Дж. Е. Литтлвуда [G2] при изучении поведения в окрестности нуля суммы тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами. Значение постоянной а с 15 знаками после запятой приведено в [L2]. Отметим также, что (см. (1.2.5)) для абсолютной положительной постоянной (10) верна оценка 1 < 31-а < А < 4.

Из теоремы 1.1.2 выводится все еще достаточно общая

Теорема 1.2.1. Пусть п - произвольное натуральное число и действительные числа {Afc}£0 , > {^(m)}m=i каковы, что выполнены условия (5),

ГГ1 ср(т) + ^^ ад. cos(Afc х) > 0 при х £ {0} U ^ и всех т = 1,., п — 1,

37Г 37Г „ 2Am+i 2Am fc=u

71" 37Г \

2А~'2Л/ ^ к—О

Тогда справедлива оценка ак < Al ¥>(")+

А \ к=0

71 — 1 - 1 " ттг=1 £ И"»)! - А£м) + А М (л7) ттг=1 где абсолютные положительные постоянные

Более того, в частном случае (8), если условие (12) выполнено и при х — 0, можно утверждать, что ао > 0 и верна оценка

П Д 1 —Q к=О 1

Из этой теоремы вытекает следующая важная

Теорема 1.2.4. Пусть п > I - произвольные натуральные числа и действительные числа ао , и {(р(т)}^п=1 таковы, что выполнено условие

- Зтг у?(ш) + «о + ak cos(k х) > 0 при всех х £ к=1 и всех т = /,., п .

SmJ

Тогда справедлива оценка ао + £ < 3 И»)| + 5"1-* 2 + Л |ао1 ( 7 ' k—l т=1

Более того, в частном случае tp(m) = 0 при всех т = 1,.,п (13) обязательно ао > 0 и верна оценка

1 —а ар + У^ ak < Л а0 ( у ) k=l

Частным случаем теоремы 1.2.4 является

Теорема 1.2.5. Пусть п - произвольное натуральное число и действительные числа {afc}£=0 таковы, что выполнено условие тп

Г^Ofc cos(A;х) > 0 при всех х и всех m = l,.,n. (14) k=о

Тогда справедлива оценка п ак<Аа0п1~а. (15) к=О

Верна и несколько более общая

Теорема 1.2.6. Пусть п - произвольное натуральное число и действительные числа 6 > О, {«/ь}£0 и {<t>(m)}m=i таковы, что выполнено условие т р(т) + ^^ а/с cos(k х) > О при всех х 6 [—<5 , <5] и всех т = 1,., п . к=о

16)

Пусть п(6) - наибольшее целое число меньшее minjrc + 1 , 37г/(2<5)}. Тогда справедлива оценка п 71-1 | , X, п(ё)

31^)1 + 5^"° (17) к=0 m= 1 к—О

Конечно, если 6 > 37г/2 , то в теореме 1.2.6 число п(б) = 0 . Поэтому теорема 1.2.6, как частный случай, содержит в себе вариант теоремы 1.2.4 при I = 1, достаточно взять д = 2тг .

Оказывается, оценка (15) неулучшаема в порядковом отношении. Это будет показано в пункте 1.2.3. Более того, далее в §1.5 будет доказано, что неулучшаемы в порядковом отношении также и оценки в теореме 1.2.4, а значит и в теореме 1.2.6.

Кратко остановимся на истории теорем, аналогичных теоремам 1.2.4 и 1.2.5, которая подробно изложена в пункте 1.2.2. В 1965 г. С. Човла в работе [С1] поместил доказательство результата, принадлежащего, как он пишет, А. Сельбергу и, по существу, утверждающему, что если последовательность неотрицательных чисел {ofcj^o удовлетворяет условию m

У" cik cos(kx) > 0 для всех х и m = 1,2,., (18) к=О то п О (п13 ) для всех (3 > \ — а. (19) fee 1

В частности, если неотрицательная последовательность монотонно стремится к нулю и верно (18), то ап = О ( п-7 ) для всех 7 < а. (20)

Конечно, в порядковых соотношениях вида (19) и (20) всегда предполагается, что п стремится к бесконечности.

М. и Ш.-И. Изуми [II] обобщили теорему А. Сельберга, по сути доказав, что если последовательность действительных чисел {ak}^L0 удовлетворяет условию Yl™=i > 0 при всех m = 1,2,. , в частности, если она неотрицательна, и для некоторых /3 G [0,1) и С > 0 выполнено условие т ак cos(kx) > — Cm13 для всех х и т = 1,2,., (21) к=1

ТО п т ah = О ( nu+l ) для всех у > тах{/3 , 1 — а} . т=1 А;=1

М. И. Дьяченко [D2] другим методом доказал частный случай результата А. Сельберга, показав справедливость оценки (20) при 7 < 2 (2 + Зтг)"1 < а.

Автор [В2] доказал, что для неотрицательной монотонно невозра-стающей последовательности {dk}kLo из (18) следует оценка (20) при 7 = а. Этот результат, в отличие от предыдущих, точен в порядковом отношении. Затем в работе [ВЗ] автор обобщил этот результат, доказав, что для произвольной последовательности неотрицательных чисел {ajt}bLo из вытекает оценка п

Як < 4а0 п1~а при всех п = 1,2,., (22) к=О и, в частности, верно (19) при (3 — 1 - а. Этот результат усиливает теорему А. Сельберга и является неулучшаемым в порядковом отношении. Обратим внимание на то, что теорема 1.2.5 обобщает и уточняет последний результат, а теорема 1.2.6 не только содержит в себе последний результат, но и обобщает и уточняет сформулированный выше результат М. и Ш.-И. Изуми: теорема 1.2.6 показывает, что если для некоторой последовательности действительных чисел {ofc}£L0 и некоторых положительных (3 и С верно (21), то ак = 0{W(n)), где функция

1п1~а , если (3 < 1 — а , l + lnn)n1-a , если /3=1-а, (23) п13 , если (3 > 1 — а .

Этот результат, как показано в § 1.2, неулучшаем в порядковом отношении. В возможности получать неулучшаемые в порядковом отношении результаты и состоит основное преимущество нашего метода по сравнению с методами, применяемыми другими названными выше авторами. Таким образом, такие теоремы, как теоремы 1.2.5, 1.2.4 и 1.2.6, являются и обобщениями и уточнениями полученных ранее и указанных выше результатов. Вопросы неулучшаемости по порядку доказанных в §1.2 результатов рассмотрены в пункте 1.2.3. В частности (см. пример 1,2.1), получена оценка т

2 + ^^ k~J cos(kx) > 0 при всех х , 7 > а и т > 0, (24) к= 1 которая с абсолютной постоянной А7 вместо конкретного числа 2 хорошо известна (см. [Z1, с. 307]) и, согласно А. Зигмунду (см. [Z1, с. 592]), принадлежит Литтлвуду, Салему и Изуми. Из оценки (24) и вытекает неулучшаемость теоремы 1.2.5 по порядку. Доказана также неулучшаемость теорем 1.2.2 и 1.2.4.

В пункте 1.2.4 получены оценки сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу. Это обобщения теорем пункта 1.2.1, которые позволяют по оценкам снизу частных сумм тригонометрического ряда указывать неулучшаемые по порядку оценки сверху. Например, следующий результат является обобщением и следствием теоремы 1.2.1.

Теорема 1.2.9. Пусть п - произвольное натуральное число и действительные числа » {Afc}fc=o ч {Gfc}fc=o i ? {^(m)}m=i maковы, что выполнены условия (5) и т р(т) + о,о + (ак cos(^k х) + bk х)) > 0 при всех к=1

ЗТГ 37Г

67Г 67Г \ х 6 \ '0 ~ 2Л~ ' Х° + 2Х~ ) U m = Тогда справедлива оценка п а0 4- ak cos(Xk х0) + Ьк sin(Afc х0)) < Ах <р(п)+ к=1 А2 Ajfe J2 ( ЛГ1 - АГ+\ ) + Л |а0| ( ^ )1а , т=1 где абсолютные положительные постоянные

Ч77

М = Л(1 - З0-1) „ A2 = a(I + w—^ те же, что и в теореме 1.2.1. Более того, в частном случае (8) обязательно ао > 0 и верна оценка Л„ \1-а а0 + cos(Xkx0) + bk sin(Afcx0)) < AaQ ^ J k=l *

Для формулировки других результатов будем далее обозначать т

Sibm(x) = а0 + ak cos(кх) + Ьк sin(kx)) при т > I — 1. (25) к=1

Одним из центральных результатов главы 1 является

Теорема 1.2.10. Пусть п > I. - произвольные натуральные числа и действительные числа х0 , ао , {ajt}£=/, и {^(т)}т=/ таковы, что, в обозначении (25), выполнено условие

37Г 37Г \

Х° ~ 2т ' 2т / и т = I,. ,п . Тогда справедлива оценка п-1 я„ы < 3 и«м+5 n1- Е ^+а м (у У~а т=1

Более того, в частном случае (13) обязательно ао > 0 и верна оценка

Л \ 1 —а 1)

Из теоремы 1.2.10 немедленно вытекает один из самых красивых результатов главы 1.

Следствие 1.2.1. Пусть п > I - произвольные натуральные числа и действительные числа a0, {ak)k=i {bk)k=i и {^(m)}m=f таковы, что, в обозначении (25), выполнено условие tp(m) + Siim(х) > 0 при всех х и т — 1,.,п. (26)

Тогда справедлива оценка шах $,„(*) < 3 \<р(п)\ + 5 n1-" J2 ^^ + А |а0| ( j У"" • (27) т=1

Более того, в частном случае (13) обязательно ао > 0 и верна оценка

1-а

Л \ 1 —a т ) •

Таким образом, оценка снизу (26) для сумм (25) позволяет получить оценку сверху (27), неулучшаемость которой доказывается в § 1.5. Для краткости будем (см. (25)) обозначать т

Sm(x) = 5i,m(or) = ак cos(kx) + bk sin(кх)) при m > 0. (29) к=1

Из следствия 1.2.1, в частности, вытекает

Теорема 1.2.11. Пусть п ~ произвольное натуральное число и действительные числа •> {^k}k=i и {^(m)}m=i таковы, что, в обозначении (29), выполнено условие р(т) + Sm(x) > 0 при всех х и т — 1,., п . (30)

Тогда справедлива ог^енка max |5п(х)| <31^)1 + 5^-° У" + А |а0| пх~а . (31) х ' ffl m=2

Для случая (8) теорема 1.2.11 превращается в

Следствие 1.2.2. Пусть п - произвольное натуральное число и действительные числа {аА?}/?=0 , {^e}/?=i таковы, что, в обозначении (29), выполнено условие

Sm{x) "> 0 при всех х и ш = 1,.,п. (32)

Тогда верна оценка max |Sn(z)| <Аа0п1~а. (33)

Наконец, приведем соответствующий вариант теоремы 1.2.6.

Теорема 1.2,12. Пусть произвольное натуральное число п, действительные числа 6 > О, {«Ar}fc—о ' {WaUi j {р(т)}т=1 и отрезок J = [с*о , А)] ^ /5о , таковы, что, в обозначении (29), выполнено условие р(т) + Sm(x) > 0 при всех х е [<*о - 6 ,/30 + 6] и всех т — 1,., п .

Пусть целое число п(б) определено так эюе, как в теореме 1.2.6. Тогда справедлива оценка

П-1 , / ч| п(б) max \Sn(x)\ < 3 |9(n)| + 5 n1"* £ S + A ( £ (4 + Я )^ ) .

X t J lit ^ . *

Теорема 1.2.12 показывает, что оценка снизу всех частных сумм (29) на некотором промежутке I = [ ао — 6 , /Зо + б ] позволяет получить оценку сверху частных сумм (29) на любом отрезке, лежащем внутри промежутка /. Естественно, что при 6 = 2т: теорема 1.2.12 переходит в теорему 1.2.11.

В §1.3, используя результаты §1.2, изучаются тригонометрические косинус-ряды с квазимонотонными коэффициентами и равномерно ограниченными снизу частными суммами. Пусть {dk}kL0 ~ последовательность действительных чисел и п

Sn(x) = ^ cifc cos(kx) при п ~ 0,1,. . (34) fc=0

Будем говорить, что частные суммы ряда оо ak cos(kx) (35) к=О равномерно ограничены снизу, если найдется такая вещественная постоянная С, что Sn(x) > —С при всех х и всех п > 0. Если все частные суммы тригонометрического ряда (35) неотрицательны, т.е.

Sn(x) > 0 ПРИ всех х и п = 1,2,., (36) то частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу. Поэтому изучение рядов вида (35) с равномерно ограниченными снизу частными д суммами сводится к исследованию свойств тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами.

Будем писать, что неотрицательная последовательность Е

М(в), где в - действительное число, если п~в ап > (п + I)-0 an+i при всех п > 1. Напомним, что последовательности из М(0) называются монотонными, а из М(в) - квазимонотонными.

В §1.3 изучаются свойства тригонометрического ряда (35) с равномерно ограниченными снизу частными суммами, у которого коэффициенты монотонны или, более общо, квазимонотонны. Исследуется вопрос, когда частные суммы ряда (35) с монотонными или квазимонотонными коэффициентами равномерно ограниченны снизу. Основные результаты этого параграфа опубликованы автором в работах [В2] и

ВЗ].

Отметим, что если при некотором натуральном п сумма n

Sn(x) - а0 + (ак cos(kx) + Ьк sin(кх)) (37) к=\ неотрицательна, т.е.

Sn{x) > 0 при всех х, (38) то

1 J / 2жк \ а0 + ап cos(пх) + bn sin(ni) = - > Sn ix +-J > 0 при всех х

ТЬ V ТЬ ' к=О и, значит,

К|2 + 1Ы2)1/2<ао. (39)

Поэтому, если верно (36), то а„| < а0 при всех п > 1. (40)

В частности, последовательность коэффициентов ряда (35) с равномерно ограниченными снизу частными суммами ограничена.

Если функция / € ^2тг, 1 < Р < °о ? то, как обычно, обозначаем

11/11, = = Г m]Pdt)1/P при (41) и

Цоо = = ess sup \f{t)\. (42) t

Если верно (36), то норма || Sn ||j — Qq не зависит от п. Поэтому по-известному результату Хелсона (см. [HI], [В1, с. 236], [Z1, с. 453, теорема 8.4], [Е1, с. 100-101, пункт 12.7.9]), если частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу, то его коэффициенты стремятся к нулю, а по результату Салема и Зигмунда (см. [Z1, с. 456, теорема 8.11]) 1 i ак I = О (п/In п). Из теоремы 1.2.5 вытекает

Теорема 1.3.1. Пусть все частные суммы тригонометрического ряда (35) неотрицательны. Тогда справедлива оценка п а/с < Лаonl~a при всех п> 1. (43) к—0

Обратим внимание, что если последовательность неотрицательна, то оценка (43) не только значительно сильнее оценки Салема и Зигмунда, но, как показывает ряд (см. (24)) с положительными частными суммами оо

2 + к~а cos(b) > (44) к=1 а она неулучшаема по порядку.

Из теоремы 1.3.1, в частности, вытекает

Следствие 1.3.1. Пусть неотрицательная последовательность {afc}fcLi £ М(в) при некотором 0 > 0, и выполнено условие (36). Тогда верна оценка ап < А (1 4- в) а0 п~а при всех п> 1. (45)

В частности, если неотрицательная последовательность не возрастает и выполнено условие (36), то ап < А а0 п~а при всех п > 1. (46)

Ряд (44) показывает, что оценки (45) и (46) неулучшаемы. Из сформулированных результатов следует

Теорема 1.3.2. Пусть - квазимонотонная последовательность неотрицательных чисел. Тогда для того чтобы частные суммы ряда (35) были равномерно ограничены снизу, необходимо, чтобы последовательность { ап па была ограничена, и достаточно, чтобы последовательность { ап па была невозрастающей.

Из следствия 1.3.1 выводится

Следствие 1.3.2. Если неотрицательная последовательность {afc)b=i квазимонотонна и частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу, то ряд (35) для любого £ € (0,7г) сходится равномерно на промежутке [е, 2ж — е] и является рядом Фурье своей суммы f{x) = 'Y^kLo ak cos(kx), причем верна оценка |/(я)| ^ !°о) + 8(1 + 160 )2 (ао + С) (7г/х )1-а при всех х 6 (0 , 7г]. В частности, функция при всех (0, (1-е*)-1). (47)

В силу (24) все частные суммы ряда (44) положительны на прямой. По теореме Харди и Литтлвуда ([В1, с. 657]) сумма ряда (44) при р = 1/(1 — а) не принадлежит пространству . Поэтому утверждение (47) при р = 1/(1 — а ) уже не обязано быть верным.

Теорема 1.3.3. Пусть последовательность неотрицательных чисел {flfc}^-! квазимонотонна и ап = 0( п~1) при п —> оо. (48)

Тогда частные суммы ряда (35) равномерно ограничены снизу.

Отметим, что в § 1.6 будет доказано, что порядок в условии (48) теоремы 1.3.3 улучшить нельзя. Одной из основных в § 1.3 является

Теорема 1.3.5. Если все частные суммы и все коэффициенты тригонометрического ряда (35) неотрицательны, то для любых целых чисел 0 < га < п справедлива оценка п т п + I)""1 ]Г ak < А (т + l)01"1 к=0 к=О U п т

Ш (n + 1)а1 У" ак < A inf (га + l)0"1 V ак . п—>оо ^—т> О z—' к=О ~ к=О

Из нее вытекает

Следствие 1.3.3. Если последовательность коэффициентов ряда (35) с равномерно ограниченными снизу частными суммами неотрицательна, то либо ак — о(п1~а), либо есть такие положительные постоянные С\ и Ci, что

Ст1-а<уП ak<C2nl~a ' ^ k— 1 при всех достаточно больших натуральных п. Также получено

Следствие 1.3.6. Пусть неотрицательная последовательность не возрастает. Тогда для того чтобы частные суммы ряда (35) были равномерно ограниченны снизу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие „ / пк\ ml > ак cos — > —<

П>1 V 2п J

-ос

Таким образом, следствие 1.3.6 дает необходимое и достаточное условие равномерной ограниченности снизу частных сумм тригонометрического ряда (35) с монотонными коэффициентами. В § 1.3 найдены и более простые условия равномерной ограниченности снизу частных сумм ряда (35).

По своему содержанию одним из основных в главе 1 является § 1.4. В нем изучаются тригонометрические ряды с неотрицательными частными суммами общего вида. Пусть оо ао 4- ^ (ak cos(kx) + bk sm(kx)) (49) к=1 тригонометрический ряд с действительными коэффициентами и т

Sm(x) = ар + (ak cos(кх) + Ък sin(fcx)), т> 0, (50) к=1

- его частные суммы, а т

Sm(x) = ^^ (ак sin(A;x) — Ьк cos(kx)), т> 0, (51) к=\ частные суммы сопряженного ряда.

Пусть, как и раньше, aG (0,1) — (единственный) корень уравнения (9). Будем также использовать обозначение (10).

Основные вопросы, которые рассматриваются в § 1.4, можно сформулировать следующим образом.

Пусть для некоторого натурального числа п выполнено условие 0 при всех х и m = l,.,n. (52)

Что тогда можно сказать о коэффициентах суммы Sn(x) ? Если выполнено условие

Sm{x) > о при всех х и т = 1,2,., (53) то что тогда можно сказать о коэффициентах ряда (49) и о самом ряде (49), а также его сопряженном ?

Результаты, изложенные в § 1.4, дают ответы на эти вопросы. Основной в § 1.4 является следующая

Теорема 1.4.1. Пусть п - любое натуральное число, {(^(т)}^^ произвольные неотрицательные числа и выполнено условие

Sm(%) > — 9{т) при всех х и т = 1,.,п. (54)

Тогда верны неравенства п-1

Р(т) т=1 U l|Sn|U<5(V(n) + n1-° £ ^l) + A\a0In1" m= 1 1 — а /

Из этой теоремы вытекает также одна из основных

Теорема 1.4.2. Для каждого натурального числа п , для которого выполнено условие (52), справедливы неравенства

Sn|U = max\Sn(x)\ < Аа0пх~а , (55) X

Sn||eo = max \Sn(x)\ < A (P^-) aQnl~a , (56) x \ l — а/

HSnllp < a0(An1~a)1~1/p при всех pG[l,oo), n

2al + Y/(al + bl)<2Aa20n1-«, fc=l k-1 k-'ial + bl)1'2 <9V2Aa0. k= 1

Напомним, что постоянная A € (1,4). Заметим также, что порядок п1~а в оценках (55) и (56) улучшить, как показывает ряд (44), нельзя. Из теоремы 1.4.2 будет получено

Следствие 1.4.1. Если все частные суммы ряда (49) неотрицательны на прямой, то (+ |bjt| )/к < оо и ряд (49) является рядом Фурье-Стилтьеса непрерывной функции ak sin(кх) - bk cos(кх) F(x) =а0 х + --—--—1, (57) к=1 причем и функция F(x) — ао х , и функция ос ^ak cos(kx^+ bk sm(kx) ^

А/ k=i принадлежат классу Lip а на прямой.

Отметим, что ряд (44) показывает неулучшаемость следствия 1.4.1, поскольку тогда и модуль непрерывности функции F(x) — а0 х, и модуль непрерывности функции Ф(ж) эквивалентны модулю непрерывности ш(6) = min{6a , 7га }, S > 0. Поэтому в терминах модуля непрерывности при условии (53) сказать о гладкости функций (57) и (58) ничего больше нельзя.

Следующие результаты о поведении частных сумм тригонометрического ряда с неотрицательными частными суммами дополяют теорему 1.4.2.

Теорема 1.4.4. Пусть все частные суммы тригонометрического ряда (49) с вещественными коэффициентами неотрицательны. Тогда для любых целых чисел 0 < т < п справедливы оценки Sn - Sm ||оо < А || Sm ||оо ^ У"0 '

59) Sn + iSn Цос / / 3 — 2a \ \ || Sm + iSm ||oo (n+ !)!-« + (ra -f-1 )1a • { }

II Sn || оо < С 4 4. M II Srn II oo (n + 1)1"0 > {m + iy~«

В частности, и HSnlloo <(А+1) inf 11 n + l)1-av m>0 (m + 1 )1-а lim п—*оо sn + iSn II lim / н м п-юо ( п + 1 )1 оо а inf \ 1-а / ) т>о

II Sm + iSm II оо m + l)1 а

Из теоремы 1.4.4, например, вытекает

Следствие 1.4.2. Если все частные суммы тригонометрического ряда (49) с вещественными коэффициентами неотрицательны, то выполнены либо условия г llSnlloo п V 11 Sn + iSn Hoc n. lim —-r^-;- =0 U lull —-—j- = 0 n-юо ( П + 1 )1-a ti ► oo (n+l)1-a либо условия n ^ • r ^n oo ^ Sn oo

0 < mf —-—-X-- < sup —iJ— '' ^ < oo n>0 (n + iy~a - n>0 (n + 1 y~a и

0 < inf

Sn + iSn || oo ^ || sn "H iSn ||

• с Jn ~r tJn oo ^ °n T oo ^ mf -— < sup -—-r-^— < oo . n>0 (n+l)1^ n>0 (n + 1)1""

Отметим, что, как уже говорилось выше, для ряда (44) условие (53) выполнено и (п+1 )°-1 || 5П ||оо ж 1. Поэтому оценки (59) и (60) по порядку ((n + l)/(m + l))1-a неулучшаемы. Конечно, теорема 1.4.4 обобщает теорему 1.3.5, а следствие 1.4.2 содержит в себе следствие 1.3.3.

В § 1.5 доказывается неулучшаемость полученных в §§ 1.2,1.3 и 1.4 оценок в самом общем случае. Как и в § 1.4, рассматривается тригонометрический ряд с действительными коэффициентами (49) и используются обозначениями (50) и (51) для его частной суммы и частной суммы сопряженного ряда соответственно. Так же как и раньше, число а 6 (0, 1) обозначает единственный корень уравнения (9).

Для действительной функции / будем использовать обозначения (х) = max{ f(x) ,0} , /-(*) = .- min{ f(x),0} для ее, соответственно, положительной и отрицательной частей. Для непрерывной периодической функции / (см. (42)), очевидно, ||/||оо = max* |/(ж)|.

Из теоремы 1.4.1 легко выводится

Теорема 1.5.1. Пусть п - произвольное натуральное число, {<£>(т)}^=1 - любые действительные неотрицательные числа и выполнено условие (54). Тогда справедливы оценки l|5„|U<5(9(n) + n1-<» J2 ^1)+4|а0|п1-° (61)

771= 1

• и 1 ll^lloo < 18 Ып) + nl~a ]Г ^ ) + 10 М п1~а ■ (62)

72 /

772=1

Поскольку числа неотрицательны, то условие (54) эквивалентно условию

Sm ||оо < <р(т) при всех m = l,.,n.

Поэтому теорема 1.5.1 и следующая теорема равносильны.

Теорема 1.5.2. Для каждого натурального числа п справедливы неравенства

S„||« < 5 ( US" |U + п1'» £ ) + 4|а0| п1-0 (63) т=1 U llSnll» < 18 (КIU + £ ) +10 М п1~а • («) т=1 -26

Хотя теоремы 1.5.1 и 1.5.2, по существу, одно и то же, но для обсуждения удобны обе эти формулировки. Цель § 1.5 — доказательство неулучшаемости по порядку теоремы 1.5.1, а значит, и теоремы 1.5.2 для любой неубывающей последовательности { ip(m) . Основной в этом параграфе является следующая

Теорема 1.5.3. Пусть п - любое натуральное число,

7 > 0 и 0 = (р(0) < <р( 1) < < <р(п) (65)

- произвольные действительные числа. Пусть к ао = 7 , ак = 1 к-а ( 27 + £ (<p(j) - ~ 1)) Г"1 ) + з=1 ^ (ip(k) — Lp(k — 1)) при всех к = 1,., п . Тогда верны оценки тп ak cos(fcx) > — y?(m) при всех х и т = 1,.,п,

А:=0 U т Л т ак> — kak> 2"37 ml~Q + t-—^ т -< т , fc=i fc=i m—1 2 7 ^ <p(m) + m1 Q ja 2 <p(j) j при всех m = 1,., n . j=i

Пусть n - натуральное число, a 7 и { ip(m) - произвольные действительные числа. Через М(п , j ,<р) обозначим совокупность всех тригонометрических полиномов (37) с действительными коэффициентами, которые удовлетворяют условию а0 = 7 и условию (54), где, конечно, Sm{x) - частные суммы полинома (37), которые задаются равенством (50).

Следствие 1.5.1. Пусть п - произвольное натуральное число и выполнены условия (65). Тогда для любой точки хо на прямой верны оценки: suplHSnlloo : Sn € M(n,7,^)} > sup{5n(^0) : Sn € M(n, 7,v)} > n-1

2~3 7 n1-* + 2"7 (<p(n) + nl~a £ ja~2 <P<J)) (66) j=i и

SUP{ ll5n|| oo • Sn 6 M(n , 7, v?) } > sup { Sn(xo) : Sn e M(n , 7, } > n-1

2-37nbe +2"7 (v9(n) + n1-a • (67) j=1

Отсюда и из теоремы 1.5.1 вытекает

Следствие 1.5.3. Пусть п - произвольное натуральное число, и пусть выполнены условия (65). Тогда верны порядковые соотношения: п-1 supjl^lU : Sn + j=1

68) и n-1 sup { Halloo : 5n € M(n , 7,9) } x <p(n) + n1"" £ ja~2 <p(j) + 7 я1'0 , i=i

69) причем соответствующие положительные постоянные в порядковых соотношениях (68) и (69) являются абсолютными.

Обратим внимание, что следствие 1.5.3 дает порядковое решение соответствующих экстремальных задач, которые выписаны в левых частях соотношений (68) и (69), а также порядковое решение экстремальных задач, которые выписаны в средних частях соотношений (66) щ и (67) для любой произвольно взятой и фиксированной ТОЧКИ #0 •

В случае неубывающей последовательности неотрицательных чисел { <р(т) порядковое соотношение (68) показывает неулучшаемость по порядку оценки (61), а значит, и неравенства (63) на совокупности полиномов Sn € М(п,7,у?). Аналогично, порядковое соотношение (69) показывает неулучшаемость по порядку оценки (62), а значит^ и неравенства (64) на совокупности полиномов Sn Е М( п , 7, <р).

В связи со следствием 1.3.1 и теоремой 1.3.3 возникает вопрос о том, для каких положительных последовательностей {cn}£L0 останется верной теорема 1.3.3, если условие (48) заменить на условие ап = 0(сп) при п —► оо. (70)

Оказывается, если последовательность положительных чисел {cn}£L0 удовлетворяет условию п сп —► оо при п —► оо, (71) то условие (48) в теореме 1.3.3 заменить на условие (70) нельзя. Это показывает следующая (см. [ВЗ, теорема 6])

Теорема 1.6.3. Для любой последовательности положительных чисел {сп}£°=0, которая удовлетворяет условию (71), можно построить монотонно стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел {ап}^0 так> что ап < сп при всех п > 0, (72) функция

1 v^ f(x) = -а0 +22 ап cos(пх) (73)

1 П=1 на интервале (0,2ж) непрерывна и неограничена ни снизу, ни сверху, и G при всех р G (0, оо). (74)

В частности, частные суммы ряда

-flo + cos(nx) п= 1 we являются равномерно ограниченными снизу. Пусть, как обычно,

Аап = А1 ап = ап — an+i, Aj ап = an - AJ1 an+i, n = 0,1,. , j = 2,3,. 1

Напомним, что последовательность {an}£L0 называется выпуклой, если А2 ап > 0 при всех п > 0. Если последовательность {an}£L0 выпукла и стремится к нулю, то она монотонно не возрастает и для функции (73) справедливо представление

В частности, в этом случае функция (73) неотрицательна на прямой. Поэтому возникает вопрос о том, можно ли ослабить условие (48) в теореме 1.3.3, заменяя его на условие (70), если заранее предполагается, что последовательность {ап}^0 является выпуклой. Оказывается, этого также сделать нельзя, поскольку верна (см. [В4, теорема 1])

Теорема 1.6.4. Для любой последовательности положительных чисел {cn}£L0 , которая монотонно стремится к нулю и удовлетворяет условию snp{ псп : п > 1 } = оо, можно построить монотонно стремящуюся к нулю выпуклую последовательность положительных чисел {ап}^=о так> что выполнено (72), функция (73) положительна на прямой, f(x) —► оо при х —» 0, и справедливо (74), но частные суммы ряда (75) не являются равномерно ограниченными снизу.

Цель § 1.6 — доказательство следующего, основного результата.

Теорема 1.6.5. Для любой последовательности положительных чисел {cn}£L0, которая удовлетворяет условию (71), можно построить монотонно стремящуюся к нулю выпуклую последовательность положительных чисел ^ак, что

А3 ап > 0 при всех j > 1 и п > 0

76) выполнено (72), функция (73) положительна на прямой и аналитична на интервале (0,27т), справедливо (74), но частные суммы ряда (75) не являются равномерно ограниченными снизу.

Таким образом, даже если предполагать заранее, что коэффициенты ряда (75) удовлетворяют условию (76), то условие (48) в теореме 1.3.3 нельзя заменить на условие (70) так, чтобы выполнялось (71).

В § 1.7 речь идет о тригонометрических рядах с неотрицательными частными суммами, которые не являются рядами Фурье-Лебега.

Штейнгаузом (см. [ТЗ], [HI], [В1, с. 236]) и Литтлвудом (см. [W1], [К2], [Е1, с. 100]) был возбужден интерес к следующему вопросу: обязан ли тригонометрический ряд, у которого все частные суммы неотрицательны на прямой, быть рядом Фурье? Поэтому в [Е1, с. 100] эта задача названа проблемой Штейнгауза-Литтлвуда.

В 1953г. Туран [ТЗ] (см. [В1, с. 239-242]) построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но который не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом. В связи с этим отметим (см. (24)), что все частные суммы ряда положительны на прямой, но этот ряд не является рядом Фурье функции с интегрируемым квадратом.

С другой стороны, в 1954г. Хелсон [HI] (см. также [В1, с. 236-239]; [Z1, с. 453]) доказал, что если частные суммы тригонометрического ряда ограничены в метрике пространства Z^*-, то коэффициенты этого ряда стремятся к нулю. Более того, в этом случае Салем и Зигмунд (см. [Z1, с. 456 и 597]) получили также неулучшаемую в порядковом отношении оценку роста 0(n/lnn) для суммы модулей первых тг коэффициентов тригонометрического ряда. В 1959г. М. Вейс [W1] показала, что существует тригонометрический ряд, который не является рядом Фурье, т.е. Фурье-Лебега, но частные суммы которого ограничены в метрике пространства Li* . Отметим, что если все частные суммы тригонометрического ряда неотрицательны на прямой, то его частные суммы ограничены в метрике пространства Ьъ-к , но обратное не всегда верно. Наконец, в 1965г. Катцнельсон [К2] дал отрицательное решение оо

77)

П— 1 проблемы Штейнгауза-Литтлвуда: он построил тригонометрический ряд, все частные суммы которого положительны на прямой, но кото-• рый не является рядом Фурье. Заметим, что среди коэффициентов . построенного им ряда бесконечно много и положительных и отрицательных. Отметим также, что все коэффициенты косинус-ряда (77) положительны. В связи с этими результатами автор [ВЗ, с. 18] поставил вопрос:

Обязан или нет тригонометрический ряд вида (35), у которого все частные суммы неотрицательны на прямой и все коэффициенты также неотрицательны, быть рядом Фурье?

Оказывается, не обязан. Доказательство этого и является основной целью § 1.7. В частности, будет доказана

Теорема 1.7.1. Можно построить тригонометрический косинус-ряд с положительными коэффициентами вида (35), у которого все частные суммы положительны на прямой и который не является рядом Фурье-Лебега.

В связи с этим результатом обратим внимание на то (см. следствие 1.3.2), что если коэффициенты ряда (35) неотрицательны и монотонно не возрастают и все его частные суммы неотрицательны на прямой, то он является рядом Фурье функции / 6 L^ при всех р € (1,1/(1 — а)), где а = 0,308. - корень уравнения (9). Таким образом, коэффициенты ряда, который удовлетворяет теореме 1.7.1, не могут, начиная с некоторого места, быть монотонными.

В § 1.7 будет доказана даже более общая, чем теорема 1.7.1,

Теорема 1.7.2. Можно построить тригонометрический ряд с неотрицательными коэффициентами вида (35), у которого все частные суммы положительны на прямой и который сходится к нулю i почти всюду.

Теорема 1.7.2 и является основным результатом § 1.7. Довольно легко (см. пункт 1.7.1) видеть, что теорема 1.7.1 вытекает из теоремы 1.7.2. Подробное доказательство теоремы 1.7.2 и является основной целью § 1.7.

При наложении условий на некоторые параметры, которые используются в доказательстве теоремы 1.7.2, будет заложен определенен ный произвол в их выборе. Если эти параметры выбрать более специальным образом, то получится

Теорема 1,7.3. Пусть (р - произвольная неотрицательная неубывающая функция, определенная на (0, +оо), такая, что <p(v) —► Ч-оо при v —> +оо. Тогда можно построить такой ряд вида (35), который удовлетворяет всем требованиям теоремы 1.7.2 и card{ п > 1 : п < v ,ап ^ 0} < <p(v) при всех v > 0.

В § 1.8 речь идет о тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега. Полученный здесь результат дополняет теорему 1.7.3. Будем тригонометрический ряд записывать в комплексной форме ос Cfce<fc*, Cfc = cfc, (78) k= — oo где черта над числом — переход к комплексно-сопряженному числу. Теорема 1.7.3 означает, что тригонометрический ряд может иметь сколь угодно длинные лакуны и удовлетворять условиям теоремы 1.7.2, т.е. для произвольной неотрицательной неубывающей и стремящейся к бесконечности функции <р, определенной на (0, +оо), можно построить ряд вида (78), у которого все частные суммы положительны на прямой, который не является рядом Фурье-Лебега и, к тому же, card{ k > 1 : к < v, |с*,| + |cfc| > 0 } < <p(v) при всех v > 0.

В § 1.8 будет доказана довольно несложная теорема 1.8.2, которая дополняет теорему 1.7.3, показывая, что даже в случае редкой заранее заданной лакунарности не всегда возможно построить тригонометрический ряд с неотрицательными частными суммами, который обладает этой лакунарностью и который не является рядом Фурье-Лебега.

Теорема 1.8.2. Пусть при некотором натуральном q все, кроме конечного числа, коэффициенты ряда (78), индексы которых кратны q, равны нулю. Тогда, если у ряда (78) бесконечное число частных сумм неотрицательно на прямой, то тригонометрический ряд (78) является рядом Фурье неотрицательной ограниченной функции.

В §1.8 также показывается, что теорема 1.8.2 и ее доказательство легко переносятся и на кратные тригонометрические ряды вида (78), но в этом случае векторный индекс к считается кратным q, если все компоненты индекса к, как вектора, кратны q. Более того, вместо частных сумм в теореме 1.8.2 можно брать, если угодно, и средние произвольного метода суммирования Теплица.

Результаты §1.8 опубликованы в работе автора [В 18].

В §1.9 следствие 1.2.2 переносится на кратные тригонометрические ряды, т.е. в § 1.9 будет получен кратный аналог следствия 1.2.2 из пункта 1.2.4.

Сначала введем соответствующие обозначения: Z - множество всех целых чисел; Z+ = {0,1,2,.}; к - натуральное число; если т = (m 1 ,. , гпк ) 6 Zj и n = (ni ,. , п^ ) Е Z+ , то запись т < п означает, что mj < nj при всех j = 1,., к ; — п = (—пi ,. , — п^ ); если, кроме того, х = {хг ,. , Xk) Е Шк, где Ш. - множество действительных чисел, то (пх) = П\Х\ + • • • + rikXk; Пп = п\.Пк] п = max{ni, 1} . .тах{тг/;, 1} . Пусть О' ег0х)

- кратный тригонометрический ряд с комплексными коэффициентами Cj такой, что cj = cj при всех j Е Ък. Тогда при всех т Е Z+ определен вещественный полином rn<j<rn

Кратным аналогом следствия 1.2.2 является следующая

Теорема 1.9.1. Для каждого п Е Z+, для которого выполнено условие

Sm(x) > 0 для всех х £Жк и всех 0 < т < п справедлива оценка max { Sn(x) :хе Rk } < Ак с0 (П+гс)1""", где а 6 (0,1) - корень уравнения (9), а абсолютная положительная постоянная А определяется формулой (10).

Отметим также, что индукцией по величине кратности можно получить и кратные аналоги следствия 1.2.1 и даже теорем 1.2.10, 1.2.11 и 1.2.12, но формулировки будут уже более громоздкими, а новых идей по сравнению с теоремой 1.9.1 не требуется. Поэтому мы ограничиваемся в § 1.9 только доказательством теоремы 1.9.1.

В §1.10 предыдущие результаты рассматриваются как решения соответствующих экстремальных задач, т.е. приводятся новые трактовки. Доказывается также, что теорема 1.2.5 и следствие 1.2.2, по существу, равносильны.

В § 1.11 даются оценки коэффициентов конкретных функциональных рядов с неотрицательными частными суммами.

В §§ 1.2 -1.10 рассмотрен достаточно подробно частный случай (7). В §1.11 кратко рассмотриваются другие частные случаи теорем из §1.1.

Прежде всего в §1.11 доказывается

Теорема 1.11.1. Пусть Д > 0, сегмент I = [0, Д], функция f € D(I), п - произвольное натуральное число и действительные числа {Afc}fc=o 1 {Qfc}fc=o удовлетворяют условиям (5) и т д д ак /(\к х)>0 при всех х Е { 0 } U ( -г-, — )

4 Аш+1 лт J и всех т = 1,., п — 1, ак /(Ад. х) > 0 при всех х £ { 0 } U ( -у- , ~~ ^ . s\n лп / к~0

Тогда ао > 0 и верна оценка п ч 1-е* ак Ъ. ао I fc=о п д . ак < Afdo ( д^") где число а = aj < 1 - единственный корень уравнения (1) и использовано обозначение (3).

Например, возьмем в теореме 1.11.1, что ч , W V л 3 0 л 1 2 In 3 — 3 In 2 s) = l-4<*>, Д = -, s = 3, A0 = i9 or»^-^-—, A = (2 — a) 31Q!, (79) где (x) - расстояние от x до ближайшего целого числа. Тогда функция / 6 Do( [О, Д]). Получим (см. также [ВЗ, следствие 8; В5, следствие 3.1])

Следствие 1.11.1. Пусть п - произвольное натуральное число и действительные числа удовлетворяют условиям т

У^ ah > 0 при всех т = 1,., п к=0 U

1 13 а* (Ь) < - £ а* привсех хв ( — , — ) к=О к=О и всех т = 1,., п .

Тогда ао > 0 и, в обозначениях (79), верна оценка п

Y^ak<AaQnl-a. (80) k=0

Теперь в теореме 1.11.1 возьмем /(я:) = 1 — 6ж(1 -х), A=i + -^=,5 = 2 + v/3, A0 = i- 1

2 2%/3' 2 2ч/з' а = 2->/3, i(2 + \/3 (81)

Тогда также функция / G D0( [О, А]). В результате получим (см. также [В5, следствие 3.2])

Следствие 1.11.2. Пусть п - произвольное натуральное число и действительные числа {afc}fc=0 удовлетворяют условиям А

2, ак f(kx) > 0 при всех х € 0 , — к=О и всех т = 1,., п . Тогда ао > О и, в обозначениях (81), верна оценка (80).

Отметим, что следствие 1.11.2 уточняет утверждение, приведенное С. Човла в конце его статьи [С1], где дополнительно предполагается неотрицательность чисел {afc}JL0 и утверждается только (19) в обозначениях (81).

Уже приведенные следствия 1.11.1 и 1.11.2 достаточно хорошо показывают, как применяется теорема 1.11.1 к конкретным функциям.

В главе 1 в §§ 1.2, 1.3 и 1.4 получены необходимые условия на коэффициенты тригонометрического ряда для того, чтобы все его частные суммы были неотрицательны. В главе 2, к описанию содержания которой мы теперь переходим, получены достаточные условия для того, чтобы все частные суммы тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами были неотрицательны. По сути здесь разработан новый метод, который позволяет не только получать новые результаты и передоказывать единым образом уже известные, а дает возможность получать неулучшаемые в некотором смысле результаты. В этом одно из основных отличий предлагаемого нами подхода от ранее применяемых другими авторами.

Сформулируем сначала основной результат главы 2. Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел • При всех целых неотрицательных п и действительных х через п п

Sn(x) = ^ ak cos(kx), Sn(x) = ^^ ак sin(fex) (82) fc=0 fc=о будем обозначать частные суммы, соответственно, косинус-ряда оо y^Qfc cos(kx) (83) fc=0 и синус-ряда оо

У^ sin(кх). (84) к=1

Основным результатом главы 2 является следующая

Теорема 2.0.1. Пусть {ап}^0 - монотонная последовательность неотрицательных чисел и а\ > 0. Тогда, если п

У (—ка/с > 0 при всех п > 1, (85) fc=i то справедливы следующие неравенства:

Sn(x) > 0 при всех х € (0,7г) и п > 1, (86) и

Sn(x) > 0 при всех х е [0, тг) и п > 0. (87)

Обратно, если $2п{х) > 0 при всех х £ (0,7г) и п > 1, (88) то выполнено условие (85).

Заметим, что Для неотрицательной последовательности условие (85) эквивалентно условию п

У^ ((2& - l)a2fc-i - 2ка2к ) > 0 при всех п > 1, (89) fc=i которое совпадает с условием > 0 при всех п > 1.

Поэтому в теореме 2.0.1 вместо (85) можно взять (89).

Теорема 2.0.1, в частности, утверждает, что из (88) вытекает (86). Поэтому утверждение (86) для монотонной последовательности {an}£Li эквивалентно утверждению

Sn(x) > 0 при всех х € (0,7г) и п > 1. (90)

Обратим внимание на то, что в случае монотонной неотрицательной последовательности {ап}(£=1 , а\ >0, теорема 2.0.1 дает необходимое и достаточное условие (85) для выполнения утверждения (86), причем условие (85) оказывается также необходимым и достаточным и для выполнения утверждения (90). Таким образом, условия п а\ > 0 и ^^ (—l)fc1 ka,k > 0 при всех п > 1 к= 1 необходимы и достаточны для того, чтобы все частные суммы тригонометрического синус-ряда (84) были положительны на интервале (0,7г).

Следует иметь в виду, что для любого натурального п из условия Sn(x) > 0 при всех х £ (0,7г) условие > 0, вытекает всегда, поскольку Sn(7r — х)/х —» Ylk=i ^ак при х +0.

Заметим также, что если монотонная неотрицательная последовательность {ап}^.]^ удовлетворяет условию (85), то она, очевидно, не возрастает.

В главе 2 получены также новые условия на коэффициенты тригонометрического косинус-ряда (83) для того, чтобы все его частные суммы были положительны на прямой. На основе доказательства теоремы 2.0.1 излагаются основные идеи применяемого метода и, в основном, только та его техническая часть, которая требуется для доказательства теоремы 2.0.1 и показа возможностей предлагаемого метода. Конечно, возможности предлагаемого метода значительно шире и он применим не только для доказательства теоремы 2.0.1. Но уже приведенные в главе 2 результаты достаточно хорошо, на наш взгляд, показывают силу изложенного метода.

Всюду в диссертации квадратные скобки обозначают целую часть.

При всех натуральных п будем пользоваться обозначением тп п—1 ^ ^ ^ Ylak ~ ак ~ Q (6ш + 1 ~ 2n)arn , где т = —- . (91) т п—1 к—0 к=т

Отметим, что ^ = а0/3 и 2 vn+1 - vn = - а[(п+1)/з] - ап при всех п > 1. (92)

Равенство (92) полезно при исследовании поведения чисел (91). При всех х > 0 определим функцию

Г 2а0 при х 6 [0,1/2), а(х) = < (93)

I ап при х Е [п — 1/2, п + 1/2), п > 1.

Важную роль при изложении метода будут также играть функции

Зтг/(2х)

М(х) = м2(х) = / a(t) cos(tx)dt, х>0 (94)

Jo и л7тг/(2х)

М4(х)= / a(t) cos(tx)dt, х > 0. (95)

Jo

При всех целых п > 0 и действительных х используем обозначения: Аап = aTl — an+i, п J

Уп(х) = а0 sin(|) + XI sin( + 2) ~ an+1' ^ k=0

Обозначения (82), (93), (94), (95) и (96) используются на протяжении всей главы 2.

В § 2.4 будет получена

Теорема 2.1.5. Пусть последовательность удовлетворяет условиям ап > 0 и ап> an+i при п > 1, 2ао > «1 , «о > 0, (97) условиям а0 > ai, 2a0 + ai > 4a2 , (98) и условию vn > 0 npw ecez гг > 5. (99)

Тогда верны утверждения

М(х) > 0 при всех х е (0, тг), (100) и

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

Sn(x) > О при всех х 6 [0,7г) и п > О (Ю1)

37Г \

Vn(x) > 0 при всех хв --о^) и п>1. (Ю2)

2п о '

В частности, если невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {an}^L0 удовлетворяет условиям ао>0, 2а0 + а>\ > 4а2 , а0 + > а2 + аз + а4 (ЮЗ) и

2ап > Зазп1 при всех п> 2, (Ю4) то верны утверждения (100), (101) и (102).

Прежде, чем перейти к обсуждению этих и других результатов главы 2, многие из которых получаются по ходу доказательства теоремы 2.0.1 и представляют самостоятельный интерес, остановимся на довольно богатой истории утверждений вида (86) и (87), которую принято начинать с 1910 года, когда JI. Фейер, как предположение, высказал утверждение:

V 8Ш(Ь) > 0 при всех a: G (0, тг) и п > 1. (105) ы к

В 1911 году Д. Джексон [J1] и в 1912 году Т. X. Гронуолл [G2] опубликовали доказательства этого утверждения. Затем появилось довольно много различных доказательств утверждения (105) разных авторов: см. JI. Фейер [Fl], Е. Ландау [L1] (см. также [Z1, гл. 2, теорема 9.4, с. 106]), П. Туран [Т1] и [Т2], Р. Аски, Ж. Фитч и Г. Гаспер [А2]. В 1912 году У. X. Юнг [Y1] доказал, что при /3 = 0 сумма k —— 1

У. Рогозинский и Г. Сегё [R1] в 1928 г. установили (106) при (3 G (-1,1] и заметили, что есть такая постоянная (30 > 1, что (106) верно при всех (3 € (—1, (Зо), а при (3 > (30 найдется номер п и точка х такие, что

Sn((3,x) < 0. При (3 = /30 можно лишь утверждать, что 5„(/3,х) > 0 при п > 0. Г. Гаспер [G1] в 1969 г. определил константу (30 как корень « алгебраического уравнения и вычислил, что /30 = 4,5678. По поводу оценок (105) и (106) можно также посмотреть [Р1, с. 89-90, 290-292].

В 1958 году J1. Вьеторисом [VI] (см. [A3]) доказана теорема, обобщающая некоторые из приведенных выше результатов и утверждающая, что если невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {flfcjfc^o ' > 0, удовлетворяет условию

2ка2к < (2к - l)a2fc-i при к > 1, (107) то в обозначениях (82) верны утверждения (86) и (87).

Из условия (107) немедленно следует условие (89). Поэтому из теоремы 2.0.1 теорема Вьеториса получается очевидным образом. Заметим, что из теоремы Вьеториса, а тем более и из теоремы 2.0.1, вытекает и (105), и (106) при всех (3 € ( — 1,0]. Сразу обратим внимание на то, что из теоремы 2.1.5 получается (106) при всех (5 £ (—1,2], по-# скольку условия (103) и (104) в этом случае выполнены.

В 1984 году Г. Браун и Е. Хьюитт [В23] обобщили теорему Вьеториса, доказав, что если невозрастающая последовательность неотрицательных чисел > ао > 0, удовлетворяет условию

2к + 1) cb2k < 2к a2k-i при к > 1, (108) то в обозначениях (82) верно утверждение (87); если же, кроме того, выполнено условие а2к — G2M-1 ПРИ всех к > \ , (109) то

52п-i(x) > 0 ПРИ всех х € (0,тг) и п > 1, (110)

И ~ / JT1 0 при всех И п - *' (Ш)

Следует отметить, что в работах [В23] и [А1] в формулировке этой теоремы отсутствует условие (109). Поэтому обратим внимание на то, что без условия (109) неравенства (110) и (111) могут не выполняться.

Применяемый в упомянутых выше работах метод доказательства утверждений вида (86) и (87) (см. [В1, с. 239-242], [A3], [В23]) использует или специфический вид сумм (82), или знание поведения суммы ряда (83) или (84) для некоторых имеющих специфический вид коэффициентов, а также преобразование Абеля. Различные приложения утверждений вида (86) и (87) имеются, например, в [SI], [Т2], [G1], [A3], [В23], [А1], [В 18].

В главе 2 излагаются основные идеи развитого в работах автора [В13] и [В12] (см. также [BIO], [В11], [1319]) нового метода доказательства утверждений вида (86) и (87), в котором не требуется находить ни сумму ряда (83), ни сумму ряда (84). Метод позволяет с единых позиций доказать все известные автору утверждения вида (86) и (87) для случая монотонных коэффициентов, включая результат Гаспера [G1], и даже обобщить их. Он, например, позволяет доказать (см. [В18]), что если в сформулированной выше теореме Брауна и Хьюитта условие (108) заменить на условие

2к + \)а2к < (2к- l + A)a2fc-i при fc>l, (112) то при А £ ( -1, А+ ] выполнены и условия (87) и (110), и условие ~ ( ^ 1

S2n(x) > 0 при всех х 6 (0,7Г — --- и п > 1, (113)

V 2п + 1 где А+ = 2,3308. - является корнем некоторого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Более того, при любом А > А+ сформулированное утверждение теряет силу. Таким образом, метод позволяет обобщить результат Брауна и Хьюитта до неулучшаемости. Однако в главе 2 мы ограничиваемся, в основном, доказательством теорем 2.0.1 и 2.1.5, поскольку основная цель главы 2 — изложить идеи нового метода исследования частных сумм тригонометрического ряда с монотонными коэффициентами на неотрицательность. Одним из основных результатов, лежащих в основе метода, является

Теорема 2.1.1. Пусть последовательность {«n}^Lo удовлетворяет условиям (97). Тогда, если выполнено условие (100), то выполнены и условия (101) и (102). Более того, теорема останется верной, если одновременно в (100), (101) и (102) знак " >" заменить на знак и »

Теорема 2.1.1 будет доказана в §2.3. В §2.4 будут даны достаточные условия на последовательность {ak}kLo Для того, чтобы вы-• полнялось условие (100). Значение утверждения (102) будет ясно из дальнейшего изложения в главе 2.

Еще один существенно важный результат, лежащий в основе метода, получен в § 2.3 и формулируется следующим образом.

Теорема 2.3.4. Пусть выполнены условия (97) их 6 (0,7г]. Тогда, если

МА{х) > 0 (114) и

-V/2*1 (*) > о, (115) то справедливо утверждение

Sn(x) > 0 при всех п >0. (Иб)

При этом теорема останется верной, если одновременно в (114), (115) и (116) знак " > " заменить на знак " >".

Теоремы 2.1.1, 2.3.4 и еще несколько аналогичных теорем и составляют основу применяемого метода. Техническая часть метода состоит в различных способах доказательства утверждений типа (100), (114) и (115) в некоторой правой окрестности нуля, т.е. при всех х £ (0, xq ), где :r0 ~ некоторая точка из промежутка (0, 7Г ].

Отметим также, что в силу (92) условия типа (99) для последовательности (91) доказываются довольно несложно. Например, пусть а0 = 1, ап = (2/3)* при (3fc - 1)/2 < п < (3*+1 - 1) и к > 0. Тогда условия (99), (ЮЗ) и (104) выполнены, и, значит, утверждение (101) верно в этом случае.

• В § 2.5 изучаются ряды (83) и (84) при условии (109). Здесь предполагается, что последовательность действительных чисел {cn}^L0 удовлетворяет условиям сп > 0 и сп > сп+1 при п> 0, со > 0 (И7) и

2п = 0-211+1 — Сп при всех п > 0. (118)

Ясно, что тогда условия (97) также будут выполнены.

При целых п > 0 воспользуемся обозначением т п ^ [П + 1-]

In = Ск ~ Y1 Ск + 3 ~ Ст ' где m = —. (119) с=0 к~т

Одним из основных следствий теоремы 2.1.1 является

Теорема 2.1.3. Пусть выполнены условия (117) и (118). Тогда, если справедливо (100), то верно (101), (110) и (113). Более того, теорема останется верной, если одновременно в (100), (101), (110) и (113) знак " > " заменить на знак " >" .

Из теоремы 2.1.3 будет получена

Теорема 2.1.4. Пусть выполнены условия (117), (118) и уп > 0 при всех п > 1. (120)

Тогда верны утверждения >0 при всех п > 2 ,

100), (101), (110) и (ИЗ).

Например, если взять сп = 22и(п\)2/(2п + 1)! при всех п > 0, то, как нетрудно доказать, верно (120). Поэтому теорема 2.1.4 содержит в себе упомянутый выше результат Брауна и Хьюитта (см. [В23]).

На основе теоремы 2.1.4 и будет получена теорема 2.0.1.

Отметим также, что теорема 2.1.3 является весьма сильной. Например, если выполнены условия

2к + \)ск < (2к - 1 + X)ck-i при к > 1, то в случае Л G ( — 1, Хм ] теорема 2.1.3 применима и будут выполнены и условия (101) и (110), и условие (113), где ,Ам = 2,3306. является корнем некоторого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Более того, при любом А > Хщ сформулированное утверждение теряет силу. Доказательство этого в главе 2 мы не приводим только потому, чтобы не отвлекаться от изложения основных идей метода. Хотя (см. лемму 2.4.9) некоторые простые примеры применения метода, не связанные непосредственно с доказательством теоремы 2.0.1, в главе 2 приводятся.

Пусть п - натуральное число и п g(ai,.,an) = -min ак cos(kx) при (аь ., а„) G Еп . (121)

X ' * к= 1

При действительных я:, ,. , ап , а\ ,. , а* имеем n n п к= 1 fc= 1 fc=l Поэтому всегда п ^(«i,., ап) - д(а\,., а*п) \ < \ак - а*к \. к= 1

Таким образом, функция д удовлетворяет условию Липшица на Rn и, в частности, непрерывна. Очевидно, что функция д выпукла на IRn . Будем рассматривать тригонометрические полиномы вида п тп(х) = ак cos(kx) (122) к=О с действительными коэффициентами.

Условимся говорить, что коэффициенты полинома (122) монотонны, если

2«о > > '' ■ > ап > 0.

Будем говорить, что коэффициенты полинома (122) удовлетворяют условию выпуклости, если

2ао — 0*1 > CL\ — CL2 > • • • > — «п •

Через Т+ обозначим множество всех тригонометрических полиномов вида (122), которые удовлетворяют условию

Тп(х) > 0 при всех х, (123) т.е. неотрицательных на всей прямой. Ясно, что условие (123) можно через функцию (121) записать в виде ао > д(аи . .,ап). (124)

Пусть Вп - произвольное непустое замкнутое подмножество Мп. Нас будет интересовать экстремальная задача вида

D{Bn , п) = min { g(ai,.,an) : (аь.,а„) е Вп } . (125)

Поскольку из условия (123) или, что то же самое, из условия (124) следует, что 2ао > max { |«fc| : к = 1,., тг } , то всегда д(сц,.,ап) > i max |afc|. (126)

Z k=l,.,n

Из (126) и непрерывности функции д немедленно вытекает, что образ д(Вп) —- замкнутое и ограниченное снизу множество на прямой. Поэтому минимум в (125) существует. Отметим, что экстремальная задача (125) может быть записана в виде

D(Bn , п) = min{ cio : Тп е Т+ ,(аь . ,а„) е Вп } .

Экстремальные задачи вида (125) являются классическими (см. [Р1, отдел 6, §§3, 5, 7]). Например, если Вп = {(ai,.,an) G : ох -)-----\-ап = 1} , то по известному результату Фейера (см. [Р1, отдел

6, §7, задача 50]) величина D(Bn,n) = l/п и единственный экстремальный полином в этой задаче - это полином с монотонными коэффициентами Г„(:г) = 2Fn(x)/n, где Fn(x) = \ + (1 - ) cos(кх) ядро Фейера. Если же взять Вп = { (ai,., ап) 6 1" : ai = 1} , то (см. [Р1, отдел 6, § 7, задача 52]) известен результат Фейера, что в этом случае величина D(Bn , п) = 1/(2 cos(7r/(n+2)), и можно показать, что экстремальный полином единствен и имеет монотонные коэффициенты.

Интересна также экстремальная задача (125) и в случае, когда Вп

- это множество всех точек Еп с натуральными координатами.

Решить точно экстремальную задачу (125) - это найти значение величины D(Bn , п) и все соответствующие экстремальные полиномы, а также исследовать множество всех этих экстремальных полиномов: единствен ли экстремальный полином, есть ли среди экстремальных полиномов хотя бы один с монотонными коэффициентами и так далее. Если точное решение найти сложно, то становится интересной задача определить порядок роста величины D(Bn ,п) с ростом п и указать полиномы, на которых реализуется этот порядковый рост - это порядковое решение экстремальной задачи (125).

В главе 3 диссертации рассматривается экстремальная задача (125) в случае п) £ ]R > 1 , . . . , °те > 1} (127) и дается ее точное решение в описанном выше смысле; в частности, находится экстремальный полином, который оказывается единственным, изучаются его свойства, например, доказывается, что он имеет монотонные коэффициенты, причем для краткости в случае (127) мы пользуемся обозначением М(п) = D(Bn , п).

Изложим теперь полученные в главе 3 результаты более подробно.

Для удобства обозначим при каждом натуральном п через Wn совокупность всех тригонометрических полиномов Тп е Т+ таких, что afc > 1 при всех к = 1,., п . Тогда

М(п) = min{ а0 : Тп € Wn } . (128)

Ясно, что экстремальная задача (128) - это задача (125) для множества (127). Поэтому минимум в (128), как доказано выше, существует, т.е. существует экстремальный тригонометрический полином вида (122), на котором минимум в задаче (128) достигается.

С.В. Конягин [К5, с. 47-49] доказал, что М(п) х Inп при п > 2. Заметим сразу, что этот результат будет уточнен в главе 3 (см. далее следствие 3.1.1).

В главе 3 излагается решение экстремальной задачи (128), а именно: Для всех натуральных п находится точное значение величины М(п)\ доказывается единственность экстремального тригонометрического полинома вида (122), на котором минимум в задаче (128) достигается; соответствующий экстремальный полином, который далее обозначается через Vn(x), находится. Более того, изучаются некоторые свойства этих экстремальных полиномов. Изложены также некоторые приложения основного результата (см. далее следствия 3.1.1 и 3.1.2, а также теорему 3.1.4). Содержание главы 3 почти полностью опубликовано в работе автора [Вб] (см. также [В17, § 1, с. 590], [В7], [В9]). Для формулировки основных результатов главы 3 положим

Ск = 2~2к (к\)~2 (2к)\, к> 0

129)

Для каждого натурального п введем обозначение п 2 п к- 0 k—Q где

1 n = 9 Cmin{fc,?i-fc> '

131) fc=0 и n — k ак=^1 Cmin{j>-j} + ПрИ fc = 1, . . . , П . (132) j=0

Введенные обозначения используются на протяжении всего дальнейшего изложения.

Сначала в §3.1.2 на основе формул (131) и (132) доказывается

Теорема 3.1.1. Для каждого натурального п полином (130)

Vn £ Wn

133) и, более того,

2aS > а? > • • • > < = <С+1 = ••• = < = !,

134) где т = п — [тг/2], причем

2aj - а? > а? - а? > ■ • • > - = ■ • • = - < = 0 , (135) при всея п > 2.

Из теоремы 3.1.1, а именно, из (134) и (135), в частности, вытекает, что полином (130) имеет монотонные коэффициенты, которые удовлетворяют условию выпуклости. В главе 3 (см. лемму 3.2.1) также доказывается, что т — к~ 1 aJJ = l + 2 X cj(cj+k ~ cn-j-k) при всех к = 1,., j=o

Г(» + 1)1

Условие (133) означает, что полином (130) является допустимым в экстремальной задаче (128).

Основным результатом главы 3 является

Теорема 3.1.2. Для каждого натурального п справедливо равенство п-1)/2] [п/2]

M(n) = aJ.= ±( £ cl+Y^cl) (136) fc=0 fc=0 и полином Vn является единственным соответствующим экстремальным полиномом задачи (128), т.е. для любого полинома Тп Е Wn вида (122), который отличен от полинома Vn , справедливо неравенство ао > М(п).

Положим п

М^(п) = min| — min^ afc cos(kx) : > > • ■ ■ > On > 1} , (137) fc=l т.е. рассматрим экстремальную задачу (125) с вп = { («1, • ■ •, On) е ai > «2 > • ■ • > ап > 1} .

Из теорем 3.1.1 и 3.1.2 вытекает, что экстремальный полином в задаче (128) имеет монотонные коэффициенты, т.е. экстремальный полином в задаче (137) тот же, что и в задаче (128), и М(п) = М^(п) при всех п > 1. Порядок величины М(п) дает следствие 3.1.1, которое утверждает, что

М(п) 1

1 + In п 7Г при п —► оо.

Более того, в главе 3 доказывается (см. формулы (3.8.7) и (3.8.37)) больше, а именно

MW = Iln(»+i)+C. + 0(i), где абсолютная постоянная Со = 0,845 . связана с известной постоянной Эйлера формулой 1 к Cq - In 8 = lim ^ £ ~ In11) • Для 7 > 1 обозначим оо

К (у) = inf| - min ak cos(kx) |, (138) fc=i где нижняя грань берется по всем действительным {^fc}^! таким, что либо ак = 0, либо ak > 1 и ak = 7 • Величину (138) рассматривал Одлыжко [01], который показал, что К(у) = О ((71П7)1/4 ).

Будем также при у > 1 рассматривать функцию (функции такого вида введены автором в работе [В 17]) оо

А'^7) = inf| - min ^ ak cos(kx) j , (139) x k= 1 где нижняя грань берется по всем действительным {с**;}^ таким, что либо ак = 0, либо ак > 1, YlT-л ак = 1 и ai > а2 > «з > ■ • • • Ясно, что K(l) ПРИ всех 7 > 1 •

Очевидно также, что

А'*(7) = К(у) = 7 ПРИ всех 7 € [1,2), поскольку в этом случае и в сумме (138), и в сумме (139) будет только одно слагаемое с коэффициентом 7.

Из основного результата, т.е. теорем 3.1.1 и 3.1.2, будут получены описываемые далее результаты.

Следствие 3.1.2. Существуют положительные абсолютные постоянные С\ и С2 такие, что

Ci (1 + In 7) < К (у) < К Чу) < i (1п7 Ч-С2) при всех у > 1, (140)

7Г причем наилучшая постоянная С2 = 27г — In 2 . В частности,

X К (у) X 1 + In 7 при у > 1. Более того, справедливо предельное соотношение к Hi) 1 — при у —► оо .

1 + In 7 7Г

Отметим, что оценка снизу для величины (138) получается из положительного решения гипотезы Литтлвуда Конягиным С.В. [КЗ] и Мак Геем, Пино и Смитом [М1].

Напомним, что Т+ - множество всех неотрицательных, т.е. удовлетворяющих условию (123), тригонометрических полиномов вида (122).

Теорема 3.1.3. Для любого натурального п и любого полинома Тп 6 Т+ вида (122) верно неравенство min Qfc < ,}, xQo; (141) l<fc<n - M(n) v ' которое превращается в равенство только для полинома Тп(х) = yVn(x) при некотором у > 0.

Теорема 3.1.3 - это, по существу, другая эквивалентная формулировка теоремы 3.1.2. Из теоремы 3.1.3 немедленно вытекает

Следствие 3.1.3. Для любого натурального п верно равенство max{min{aAr: k = 1,. .,n} : Тп е Т+, a0 = 1} = —т-т , (142)

М[п) где максимум берется по всем неотрицательным тригонометрическим полиномам вида (122) таким, что «о = 1 ■ При этом максимум в (142) достигается на единственном экстремальном полиноме вида (122) Vn(x) = Vn(x)/M(n).

Довольно очевидно, что следствие 3.1.3 - это еще одна эквивалентная формулировка теоремы 3.1.2.

Напомним, что вещественный тригонометрический полином п

Sn(x) = ао + ^ (afc cos(kx) -f sin(kx)) (143) fc=i называется неотрицательным, если

Sn(x) > О при всех X. (144)

Используя известный результат Фейера (см. [Р1, отдел б, §5, задача 40]) о представлении неотрицательных тригонометрических полиномов, из теоремы 3.1.3 в §3.9 будет получена (см. также теорему 3.9.1) Теорема 3.1.4. Пусть п - произвольное натуральное число. Тогда для любого неотрицательного тригонометрического полинома (143) справедливо неравенство min ( а\ + Ъ2к )1/2 < —1— а0 , (145)

1 <fc<n * М(п) v ' которое для тригонометрического полинома Sn(x) = yVn(x), где 7 > 0, превращаются в равенство.

Таким образом, неравенство (145) является точным и обобщает неравенство (141) с полиномов вида (122) на полиномы вида (143).

Отметим также, что интерес к тригонометрическим полиномам (143), которые удовлетворяют условию (144), возник довольно давно (см. [Р1, отдел б, §§ 3, 5, 7]). Например, хорошо известен результат Фейера, что для неотрицательного тригонометрического полинома (143) всегда верно неравенство а1 + Ъ1У'2<па0, k= 1 которое для ядра Фейера превращается в равенство. Неравенство (145) - это новый точный результат в этой классической теме.

Укажем одно из приложений теоремы 3.1.4. Пусть п - произвольное натуральное число и

- многочлен степени п с комплексными коэффициентами такой, что

Через 1(Р) обозначим множество значений, которые многочлен Р принимает на окружности { г : \z\ = 1 } , т.е. 1(Р) — { P(z) : \z\ = 1}. Как непрерывный образ окружности, т.е. компактного множества, множество 1(Р) является компактным, а значит его выпуклая оболочка на плоскости, которую мы будем обозначать через 1(Р), также (см. [R3, гл. 3, теорема 3.25]) является компактным множеством. В §3.9 доказывается, что справедливо такое

Следствие 3.9.1. Пусть п - произвольное натуральное число и коэффициенты многочлена (146) удовлетворяют условию (147). Тогда множество 1(Р) всегда содержит в себе круг { z : \z\ < М(п) } . Однако для любого 7 > М(п) множество 1{Р) не обязано содержать в себе круг { z : \z\ < 7 } .

Доказательство основной теоремы 3.1.2 основано на изучении некоторых свойств полиномов (130), т.е. полиномов Vn . В частности, доказана

Лемма 3.3.2. Для каждого натурального п полином Vn имеет на сегменте [0,7г] роено т = тг — [тг/2] нулей п

146) 1 при всех k = 1,., п .

147)

О < X™ < • • ■ < Хпт < 7Г причем каждый из этих нулей двойной кратности. Более того, при п = 2т — 1 нуль хг71п = 7г, а при п = 2т нуль х^ < ж .

Заметим, что из леммы 3.3.2 при всех п > 1 вытекает представление 2П 1 Y[(cosx - cosx^.ln{k n+1k}). fc= i

В силу леммы 3.3.2 для каждого натурального п существуют однозначно определенные (см. [Z2, гл. 10, §1, с. 8]) числа где т = п-[п/2],

148) которые в дальнейшем будем называть сопутствующими полиному Vn множителями, такие, что m , 1

J>£cosU*t) = \ п к= 1 ^ при при j = 0, j = l,.,m- 1.

Отметим, что А} = 1, А2 == 1. Положим т — 1

У^ 2cjt sin((m — 1/2 — /г)х) при п = 2m — 1, дп(х) = < к=0 т — 1

149)

У 2cfc sin((m — fe)a:) при п = 2т. к=0

В этих обозначениях имеет место

Лемма 3.3.3. Для каждого натурального п верно неравенство

1)J1 дп(х™) > 0 при всех j = 1,., m = п — [п/2], дп определяется формулой (149), причем'

150)

В §3.5 доказывается, что соответствующие полиному Vn множители (148) всегда положительны, т.е. будет доказана

Лемма 3.3.4. Для каждого натурального п сопутствующие полиному Vn множители А£ > 0 при всех k = 1,., п — [п/2].

Для каждого j = 0,1,. определим числа т со80'*2Ь гда гп = п-[п/2]. (151) к= 1

Из определения соответствующих полиному Vn множителей (148) следует, что /3q = 1 и /3" = 0 при j = 1,., m — 1. В §3.6 доказывается

Лемма 3.3.5. Для каждого натурального п числа № < 0 при всех j = п - [п/2],. ,п .

В §3.7, существенным образом используя леммы 3.3.2-3.3.5, мы и докажем теорему 3.1.2, которая является основным результатом этой главы. В доказательстве теоремы 3.1.2 также важно представление 2 Vn(x) = | fn(x) |2 , где г m —1

У^ 2ck cos((m — 1/2 — k)x) при n = 2m — 1, fn{x) = < k=0

• m —1 cm + 2c^cos((m — k)x) при n — 2m. k=о

Отметим также, что в §3.8 получаются различные оценки, связанные с полиномами Vn . Например, положим ф(п) = £ а% к=1

В §3.8 доказана (см. формулу (3.8.34)), оценка ф(п) = in-ibn + C + 0fiV

7Г 7Г \ П / где С - некоторая абсолютная постоянная.

В заключении обзора результатов главы 3 кратко поясним значение чисел (151) и суть леммы 3.3.5. Для этого рассмотрим функцию Лагранжа экстремальной задачи (128): п

L(ax,. ,ап; /Зь. ,/Зп) = д(аи ., ап) + ^ (Зк(ак - 1), к=1 определенную при всех действительных ai,., an; /3i,., /Зп . Для экстремальной задачи (128) условие регулярности Слейтера, очевидно, выполнено и, как уже доказано выше, экстремальный полином существует. Поэтому по известной теореме Куна-Таккера функция Лагранжа имеет в замкнутой выпуклой области

Я = {(аь., /Зп) € М2п : А < 0,., /Зп < 0 } седловую точку. В главе 3 по сути доказывается, что точка а™,., а"; /3™,., /Зп) является седловой точкой функции Лагранжа на Е. Действительно, поскольку /3£ (aJ — 1) = 0 при всех к = 1,., п, то из теоремы 3.1.1, оценок (3.7.3), а также из теоремы 3.1.2 и ее доказательства следует, что

Z(a?,.X;/3b.,/3n) при всех (аь ., ап; /Зь .,/Зп) £ i?. Таким образом, /3™,. ,/3£ - это множители Лагранжа экстремальной задачи (128).

Обратим также внимание на то, что некоторые свойства полиномов Vn , например, границы расположения нулей-(150) могут быть уточнены, но в стремлении к большей ясности изложения мы ограничились только свойствами, которые нужны для доказательства теорем 3.1.1 и 3.1.2.

Добавим, что излагаемый в главе 3 подход к точному решению экстремальной задачи (128) может быть применен и к некоторым другим экстремальным задачам вида (125), которые остались вне рамок нашего изложения.