Тригонометрические приближения функций и продолжения непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Колесников Виктор Сергеевич

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

И

ПРОДОЛЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

специальность 01,01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 0 ДЕК 2009

Саратов - 2009

003487488

Работа выполнена на кафедре математического анализа Ивановского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Белов Александр Сергеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Хромов Август Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент Бородин Петр Анатольевич

Ведущая организация: Институт математики и механики УрО РАН

нии диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Защита состоится Л 2009 г. в

на заседа-

Автореферат разослан

2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент

В.В. Корнев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Хорошо известно, что если 4- 0 и Ьк 4 0> то частные суммы ряда

f{x) = ^-+'£,akcoskx (1)

¿ n=l

сходятся при любом х, х ф 2пп, и частные суммы ряда

00 •

э(х) = Е hsmkx (2)

П=1

сходятся при любом X. Пусть

T„{f; i) = ^+í¡aí cos (кх) ¿ к=i

и

Тп{д\х) = ¿b¡Jsin(b) к—1

- полиномы наилучшего приближения в метрике соответственно функций f(x) и д(х).

Коэффициентные необходимые и достаточные условия равномерной сходимости (ограниченности) частичных сумм ряда (2), если Ьк 4- О, найдены Чонди и Джоллифом1 и Джоллифом2.

A.C. Белов3 нашел точные коэффициентные условия равномерной ограниченности снизу частных сумм ряда (1). Аналоги этих результатов для тригонометрических полиномов наилучшего приближения в метрике L\% при условиях A2a¡¡ > О, А> 0 делаются в диссертационной работе.

1Chaundy T.W., Jolliffe А.Е. The uniform convergence of a certain class of trigonometrical series / T.W. Chaundy., A.E. Jolliffe // Proc. London Math. Soc. - 1916. - V. 15. - P. 214-216.

2 Jolliffe A.E. On certain trigonometrical series which have a nessesary and sufficient condition for uniform convergence / A.E. Jolliffe // Cambridge Philosophical Soc. - 1919. - V. 19. - P. 191-195.

3Белов A.C. О частных суммах тригонометрического ряда с выпуклыми коэффициентами / Белов A.C. // Математические заметки. -1991. - Т. 50. № 4, - С. 21-27.

Также А.С Беловым4 установлено, что равномерная ограниченность снизу частных сумм ряда (1) будет гарантирована, если они бу-

Я-гг

дут ограничены снизу на последовательности

В диссертационной работе подобные вопросы для полиномов Tn(f: х) также исследуются. Также доказываются теоремы сходимости и равномерной сходимости полиномов Tn(f;x) и Тп(д\ х).

Во второй главе диссертационной работы рассматриваются продолжения непрерывных функций с компакта Е в метрическом пространстве X, такие, что модуль непрерывности продолженной функции ojx(i), 5 € R, и модуль непрерывности lüe(S) этой функции на компакте Е связаны неравенством:

шх{8) < Coje(S) (V<5 > 0). (3)

Находятся оценки наименьшей постоянной С = С(Е), удовлетворяющей этому неравенству.

Известная теорема Титце-Урысона5 утверждает, что любую непрерывную функцию /, заданную на замкнутом множестве Е, можно непрерывно продолжить на X с сохранением ее максимума и минимума.

Е. Макшейн6 доказал, что если f € Ыр(Е\ш), то функции ii(®) = inf(/(y)+W(p(®,y)))

и

F~(x) = sup (f{y) - и(р(х,у))),

ye Е

задающие продолжения / с Е на X, принадлежат классу Lip{X\и). Подобными вопросами занимался и В А. Мильман7. Компакт Е в банаховом пространстве X условимся называть С-вы-пуклым, если любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно

4Белов A.C. О коэффициентах тригонометрических косинус-рядов с неотрицательными частными суммами / Белов A.C. //. Тр. МИАН СССР. - 1989. - Т. 190. - С. 3-21.

БДьедонне Ж. Основы современного анализа. / Ж. Дьедонне - М.: Мир, 1964. - 430 с.

eMcShane Е. Extention of range of function / E. McShane // BulLAmer. Math.Sos. - 1934. - V.4. № 12. - P. 837-842.

7Мшп>ман B.A. Продолжение функций, сохраняющее модуль непрерывности / В.А. Мильман // Матем. заметки. -1997. - Т.61. № 2. - С. 23&-245.

непрерывно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось равенство ¿>) = ш.е(/, J).

Из результата Макшейяа легко следует, что выпуклый компакт является (7-выпуклым. В данной главе доказывается обратный результат. Также описываются все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.

Цель работы.

1. Получить коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы T„(f; х) и Тп(д; х) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке х ф 2тгп, п G N.

2. Получить точные условия на коэффициенты а^, к = 0,1,.., для равномерной ограниченности снизу полиномов Т„(/; х).

3. Выяснить, для каких последовательностей точек из условия ограниченности снизу последовательности Tn{f\xn) следует, что полиномы Tn(f; х) равномерно ограничены снизу. Выяснить, для каких последовательностей точек такой результат не имеет место.

4. Описать все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.

5. Для некоторых конкретных компактов Е на плоскости найти или оценить сверху и снизу постоянные С(Е).

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа, теории функций действительного переменного, теории приближения функций.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные из них состоят в следующем:

1. Получены коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы Тп(/; х) и Тп{д\х) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке х ф 2irn, п € N.

2. Получены точные условия на коэффициенты o¿, к = 0,1,.., для равномерной ограниченности снизу полиномов Tn{f\ х).

3. Доказано, что для последовательности точек хп = при а ф c¿o = 0.985..., где число ао определяется из системы двух уравнений, из условия ограниченности снизу последовательности

{Tn(f; не следует, что полиномы Tn(f] х) равномерно ограни-

чены снизу.

4. Описаны все банаховы пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.

5. Для некоторых конкретных компактов Е на плоскости найдены или оценены сверху и снизу постоянные С(Е).

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на семинарах по теории функций (руководитель профессор A.C. Белов), на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва 2000, 2001), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу , посвященной 90-летию Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2000), на Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004, 2006, 2008), на семинаре по теории функций (руководитель профессор A.JI. Лукашов, Саратов, 2006),на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертационная работа содержит 103 страницы и состоит из введения, двух глав, первая из которых содержит шесть параграфов, а вторая пять, и списка литературы, содержащего 27 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ, связанных с темой диссертации и формулируются результаты диссертации. Первая глава посвящена изучению приближения функций тригонометрическими полиномами, свойств наилучших приближений в метрике Ь\п, свойств коэффициентов наилучших приближений в метрике Ь\

В параграфе 1 главы 1 получены коэффициентные необходимые и достаточные условия для рядов (1) и (2) для того, чтобы полиномы Тп(/; я) и Тп(д\ х) равномерно сходились; были равномерно ограничены; сходились в каждой точке х ф 2тгп, п 6 N.

Теорема 1.1. Если Ьп 4- О, А2Ьп > О, ряд Ej*Li ^ сходится и g(x) = E^li bk sin (кх), то для равномерной ограниченности полиномов Tn(g-, х) необходимо и достаточно, чтобы числа nbn были ограничены.

Теорема 1.2. Если Ъп J, 0, А2Ьп > 0, ряд E^Li ^ сходится и д(х) = bk sin (кх), то для равномерной сходимости .полиномов Тп(д\х) необходимо и достаточно, чтобы nbn —> 0 при п —* со.

Теорема 1.3. Если Ьп 4- О, Д2Ьп > 0, ряд Ej^i ^ сходится и д(х) = SfcLi bfc sin (fca;), то последовательность полиномов Tn(g\x) сходится при любом х. Равномерная сходимость будет на промежутке (¿; 2тг— 5) при любом достаточно малом S.

Теорема 1.4. Если ак 4- 0, А2ак > 0, А3ак > 0 и f(x) = 21 + E^Li ßjt cos (fcx), то последовательность полиномов Tn(f; х) сходится при любом х не кратном 2тг. Равномерная сходимость будет на промежутке (<S>, 2тг — 5) при любом 5 £ (0, тг).

Теорема 1.5 Пусть ak I 0, А2ак > 0, Asak > О, к = 0,1, и f(x) = ^ + E£jLx dfccos (кх). Тогда для равномерной сходимости полиномов Tn(f]x) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

+ ак, и то же самое условие необходимо и достаточно для равномерной ограниченности полиномов Tn(f\ х).

В параграфе 2 главы 1 получены результаты, касающиеся ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в метрике

Теорема 1.6. Пусть невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {а«}^ удовлетворяет условиям

Аап > 0, Д2а„ > 0, Агап >0 (Vn > 0)

и

ап = 0(п-1) при п -> оо.

Тогда полиномы наилучшего приближения Тп(/; х) функции }{х) равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.7. Пусть монотонно стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {с„}^10 удовлетворяет условию вирп>1пСп = оо. Тогда можно построить стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел так, что

Аа„ > О, Д2ап > 0, Д3а„ > 0, о„ < сп (Уп > 0),

функция (1) положительна, / 6 ¿^ при всех р £ (0, оо), но полиномы наилучшего приближения Тп(/;х) не являются равномерно ограниченными снизу, то есть

т£ттТМ',х) = -оо.

В параграфе 3 главы 1 доказаны теоремы

Теорема 1.8. Пусть {ап}^10 - последовательность неотрицательных чисел и выполнены условия

Аап > 0, А2ап > 0, Д3а„ > 0, Д4ап > 0, п = 0,1....

Тогда полиномы Тп(/; х) — равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.9 Для любого а > 0, кроме, может быть, одного значения а.о = 0.985.., которое будет определено ниже, существует такая функция /(ж) вида (1), что последовательность {Г„{/; ограничена снизу, ■ но последовательность

{Тп(/; неограничена снизу.

В параграфе 4 главы 1 строится пример четной, 27Г-периодической функции, коэффициенты Фурье которой образуют монотонно убывающую, стремящуюся к нулю последовательность чисел, такой, что коэффициенты Фурье некоторых ее полиномов наилучшего равномерного приближения не образуют монотонно убывающую последовательность чисел.

В параграфе 5 главы 1 строится пример четной 2тг-периодической функции /(х), коэффициенты Фурье которой монотонны, такой, что

для всех, начиная с некоторого номера полиномов Т„ наилучшего приближения в метрике L1, коэффициенты Т„ не являются монотонно убывающими.

Параграф 6 главы 1 посвящен экстремальной задаче о минимуме четных и нечетных тригонометрических полиномов с фиксированными максимумами.

Пусть даны числа 1 > ai > > ... > ап > О,

™ / ' ч 1

Тп{х] ai,..., ап) = ~ + ai eos х + ... + ап eos пх,

_ , • ,1

Ьп{аъ..., ап) = - + ai + ... + ап,

А» (я) = ^ + eos х + ... + eos пх

— ядро Дирихле.

Теорема 1.11. а). Для любого х и дм любого натурального п существует такое к = 0,1, ...,п, что верно равенство

Тп(х;аи...,ап) 1

mm —гЪ-г^ = -TDk{x),

i>ai>a2>...>an>o Ln(au...,an) к + \ KW'

б). ■

min Ux-,ai,...,a) = _ 1 Х,1>щ>а2>.->ап>0 Ln(ai,...,an) 3

Пусть даны числа 1 = bi > b2 > ... > bn > 0,

M„(x-,b2,...,bn) = sino; + i>2sm2a; + ... + b„sw.nx,

Ln(b2,...,bn) = í+b2 + ...+bn, Dn(x) = sin а; + ■■• + sin nx

— сопряженное ядро Дирихле.

Теорема 1.12.

Мп(х;Ь2,...,Ьп) _ xe[0,r],l>h>->l:„>0,n>0 ¿n(b2, ...,b„)

Во второй главе диссертационной работы рассматриваются продолжения непрерывных функций с компакта Е в метрическом пространстве X, такие, что модуль непрерывности продолженной функции ujx(S) 5 е R и модуль непрерывности шц(5) этой функции на компакте Е связаны неравенством:

ux($)<CwE(S) (W > 0).

Находятся оценки наименьшей постоянной С = С(Е), удовлетворяющей этому неравенству.

В параграфе 1 главы 2 доказывается теорема 2.1. Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая на плоскости без самопересечений. Обозначим

а-а(тг\- «nun{t(»x>ga),i(ga,gi)}

Л - А{Ь) = Sup --г-,

хг,х2еб р(х 1,х2)

если Е — замкнутая кривая, и

A = A(S)= sup 4^1,

xl7x2ee p(xi ,х2)

если Е — незамкнутая кривая, где 1(х\, х2) — длина дуги кривой от точки х\ до X2, взятая в положительном направлении (против часовой стрелки). Тогда справедлива следующая

Теорема 2.1. Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая без самопересечений. Тогда справедливы оценки

А < С(Е) < -[-А],

где квадратные скобки означают целую часть числа, а С(Е) обозначает наименьшую константу С, удовлетворяющую неравенству (3).

В параграфе 2 доказывается, что для случаев, когда Е есть граница квадрата и эллипс, достаточно близкий к окружности С(Е) = 2 В параграфе 3 доказывается, что для окружности С(Е) = 2. В параграфе 5 доказывается

Теорема 2.3. а) Если банахово пространство строго нормировано, то в нем любой С-выпуклый компакт является выпуклым.

б) В любом банаховом пространстве X, которое не является строго нормированным, всегда существует С-выпуклый компакт, который не является выпуклым.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Сергеевичу Белову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения- / B.C. Колесников // Математические заметки. 2006. - Т. 79. № 6. - С. 870-878.

2. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций с компакта на плоскость / B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. - 1999. JV* 2. - С. 65-72.

3. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств / B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. - 2001. №4. - С. 53-58.

4. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Математика и ее приложения. - 2004. №. 1. - С. 93-96.

5. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций / B.C. Колесников // Тезисы докладов Международной школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимова. -Ростов-на-Дону, 2000. - С. 117-118.

6. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств / B.C. Колесников // Тезисы докладов Воронежской зимней матеметической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". - Воронеж, 2001. - С. 142-143.

7. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Вестник Тамбовского Университета. - Тамбов, 2003. - Т. 8. № 3. - С. 397-398.

8. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения одной бесконечно дифференцирунмой функции / B.C. Колесников // Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы "Современные методы теории функций и их приложения". - Саратов, 2004. - С. 99-100.

9. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения / B.C. Колесников // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы "Современные методы теории функций и их приложения". - Саратов, 2006. - С. 88-89.

10. Колесников B.C. Условия ограниченности и неограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем / B.C. Колесников // Тезисы докладов 14-й Саратовской зимней школы "Современные методы теории функций и их приложения". -Саратов, 2008. - С. 88-89.

Подписано к печати 12.11.2009 г. Формат 60x84/16. Бумага ксероксная. Печать ризографня. Гарнитура Тайме. Усл. печ. листов 0,7. Тираж 100 экз. Заказ № 2133.

Издательство ГОУ ВПО «ШГПУ» 155908, г. Шуя Ивановской области, ул. Кооперативная, 24 Телефон (49351) 4-65-94

Отпечатано в типографии ГОУ ВПО «Шз'йский государственный педагогический университет» 155908, г. Шуя Ивановской области, ул. Кооперативная, 24

Введение.1

Глава 1. Тригонометрические приближения функций.10

§1. Тригонометрические полиномы наилучшего приближения функций, представляющихся рядами по синусам или по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами

§2. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем.18

§3. Условия ограниченности и неограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем.29

§4. Примеры четных, 27г-периодических функций, коэффициенты Фурье которых образуют монотонно убывающую, стремящуюся к нулю последовательность чисел, таких, что коэффициенты Фурье некоторых их полиномов наилучшего приближения не образуют монотонно убывающую последовательность чисел.66

§5. Об одном примере бесконечно дифференцируемой функции .69

§6. Об одном свойстве тригонометрических полиномов и рядов по синусам и косинусам с монотонно убывающими коэффициентами.73

Глава 2. Продолжения непрерывных функций.79

§1. Продолжение с кривых (оценки постоянной С(Е) для кусочно-гладкой кривой) .80

§2. Продолжение с границ квадрата и эллипса, постоянная

С(Е) для квадрата и эллипса.85

§3. Продолжение с окружности, постоянная С(Е) для окружности .89

§4. Продолжение с точным сохранением модуля непрерывности в гильбертовых, пространствах.90

§5. Продолжение в банаховых пространствах. Характеристика строго выпуклых банаховых пространств.93

Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава посвящена изучению приближения функций тригонометрическими полиномами, свойств наилучших приближений в метрике Lp, свойств коэффициентов наилучших приближений в метрике Lp. Получены условия сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в L\ для некоторых классов функций.

Вторая глава посвящена изучению продолжений непрерывных функций, заданных на компактах метрических пространств.

Перейдем к подробному изложению результатов первой главы. Пусть f(x) - 2-7Г- периодическая функция, имеющая ряд Фурье оо + ^Г^ аь cos кх + Ък sin кх. (0.1) к=1 а" П

Обозначим Tn(/; х\р) — -j- + ^ cos кх + sin кх - тригонометричеfc=1 ский полином наилучшего приближения функции /в£р, 1<£?<оо. Для удобства положим Tn{f\x) = Тп(/;ж; 1) — полином наилучшего приближения функции / в L1 и <Sn(/;х) — Tn(f;x; 2) — частичная сумма ряда (0.1). Если функция f(x) непрерывна на интервале (0, 27г), то полиномы наилучшего приближения Tn(f]x) единственны (см. [9, с. 452-454]).

Пусть {ак}^-о — последовательность чисел. Условимся обозначать Аак — ак- a.k+1, Агак = Аг~1ак - Д^а^+ъ к = 0,1,., г = 1,2,.

Будем называть последовательность {a/cj-^Lg <7-монотонной, если все разности, до q-то порядка включительно, неотрицательны: Агак > 0, к = 0,1,., i = l.q. Для удобства выражения иногда вместо фразы 3-монотонная будем писать - трижды монотонная, и так далее, 2-монотонную последовательность принято называть выпуклой. Для n-монотонности последовательности достаточно потребовать только ее стремление к нулю и неотрицательность всех п-х разностей. Очевидно, что достаточно потребовать только неотрицательности всех п-х разностей.

Б. Надь (1938 г., см. [16]; [12], с. 92; [6], с. 50) доказал, что если коэффициенты Фурье ah, 0 < к < оо, четной 27г-периодической функции f(x) образуют неотрицательную трижды монотонную стремящуюся к нулю последовательность, то коэффициенты а£ полиномов Тп(/; х) вычисляются по формулам: оо ак = X (1)'(afe+2Kn+i) - afc+(2/+2)(n+i)), fc = 0, neiV, /=о см. также [12, с. 92]). Более того, верно равенство

М - ЗД; ж) = cos (п + 1)® Пг + с2 cos (кх) , п' г + fc=l где оо 2 XI (1)Zafc+(2i+l)(n+l)5

Z=0 оо и последовательность {c£}fc=0 - выпукла.

Также для нечетной 2 7г-периодической функции д(х) Надем же (1938 г., см. [16]; [12], с. 103; [6], с.

50) было установлено, что если Ьк образуют неотрицательную дважды

Еоо Ьъ к= 1 к сходится, то коэффициенты Щ. полиномов Тп(д\ х) вычисляются по формулам оо

Ьк = X} b-A- + (2i+2)(n+l))j к—1, .,П. (0.2)

1=0

Более того, верно равенство оо д[х) — Тп{д\ х) = sm(n-\-l)x^2XJDj(x), j=o где оо

В главе 1 исследуются вопросы сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения Тп(/;ж) в L для функций, которые разлагаются в ряд Фурье по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами. Находятся также точные значения следующих величин 1/2 + cos х -f ■ • • + ап cos па; mm mm mm vn И n>0 l>ai>-->an>0 x 1/2 + a\ + • • • + dT bi sin x + • • • + bn sin nx mm mm mm n>0 l>bi>--->bn>0 ж£[0,7г] &1 H-----b bn

В § 1 главы 1 доказаны следующие теоремы

Теорема 1.1. Если Ъп О, А2Ьп > 0, ряд ^t сходится и

9(х) = X^fcLi Ък sin (кх), то для равномерной ограниченности полиномов Тп(д\х) необходимо и достаточно, чтобы числа пЪп были ограничены.

Теорема 1.2. Если Ьп 4- О, А2Ъп > 0, ряд YlkLi ^к сх°дится и д(х) = X^fcLi bk sin (кх), то для равномерной сходимости полиномов Тп(д\х) необходимо и достаточно, чтобы nbn —> 0 при п —У оо.

Теорема 1.3. Если Ъп 4- 0; А2Ь п > 0, ряд к—1 ^к годится и g(x) — Ьк sin {кх), то последовательность полиномов Тп(д\х) сходится при любом х. Равномерная сходимость будет на промежутке 27г — при любом достаточно малом 5.

Теорема 1.4. Если ак 4. О, А2ак > О, АЗак > 0 и f(x) = ^ + X^fcLi ак cos (кх), то последовательность полинолюв Тп(/;ж) сходится при любом х не кратном 2тг. Равномерная сходимость будет на промежутке (5, 27г — (5) при любом 5 Е (0,7г).

Теорема 1.5 Пусть ак 4- 0; A> 0, АЗак > 0, к = 0,1,и f(x) = 4?- + Y^kLi ак cos (кх). Тогда для равномерной сходимости полиномов Tn(f\x) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд + ^Ук—\ак) и то же самое условие необходимо и достаточно для равномерной ограниченности полиномов Tn(f]x).

В § 2 главы 1 доказаны теоремы

Теорема 1.6. Пусть невозрастающая последовательность неотрицательных чисел {ttnj^Li удовлетворяет условиям

Аап > 0, А2ап > О, АЗап > О (Vn > 0), оо

0е) = у + ак COS к=1 U ап = 0(п-1) при п —> оо.

Тогда полиномы наилучшего приближения Тп(/;ж) функции f{x) равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.7. Пусть монотонно стремящаяся к нулю последовательность положительных чисел {cn}^L0 удовлетворяет условию sup псп = оо. п> 1

Тогда можно построить стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел {an}^L0 так, что

Аап > 0, Д2ап > 0, А3ап > 0, ап < сп (Vn > 0) , функция оо

0е) = у + ak cos положительна, f £ L^ при всех р £ (0, оо), ко полиномы наилучшего приближения Tn(f\x) не являются равномерно ограниченными снизу, то есть inf minTn(f]x) = — оо. n> 0 х

В § 3 главы 1 доказаны теоремы

Теорема 1.8 Пусть {an}^Lo ~ последовательность неотрицательных чисел и выполнены условия

Аап > 0, А2ап > 0, АЗап > 0, А4ап > 0, п = 0,1.

Пусть оо о) = у + afc cos fc=l

Тогда полиномы Тп(/;ж) — равномерно ограничены снизу.

Теорема 1.9 Для любого а > 0, кроме, люэюет быть, одного значения olq = 0.985., которое будет определено ниже, существует тикая функция f{x); что последовательность {Тп(/; ^щ;)} ограничена снизу, но последовательность

Tn(/; неограничена снизу.

В § 4 главы 1 строится пример непрерывной функции, имеющей монотонно убывающие коэффициенты Фурье, такие, что ее полиномы наилучшего приближения в метрике L°° имеют немонотонные коэффициенты Фурье.

В § 5 главы 1 построен пример функции f(x), коэффициенты Фурье которой образуют монотонно убывающую последовательность, но коэффициенты всех полиномов наилучшего приближения f(x) в L Tn(f\x) = Tn(f\x\ 1) не обладают свойством монотонного убывания.

Пусть даны числа 1 > а\ > а^ > . > ап > 0, 1

Тп(х\ ах,., ап) = - + а± cos х + . + ап cos пх, Л

Ln(ab .,a„) = i + oi + . + an, 1

Dn(x) = - + cos x + . + cos nx z ядро Дирихле.

В § 6 главы 1 доказаны теоремы

Теорема 1.11. а). Для любого х и для любого натурального п существует такое к — 0,1,., п, что верно равенство

Тп[Х] $1, CLn) 1 гл / \ mill -——--Г^- =

1>а1>а2>.-->ап>0 Ln(tti, ., ап) к + ^ б).

Тп(ж;аь .,an) 1 mm -г- = -l>ai>a2>.>an>0 hn (Oi, ., CLn J о

Пусть даны числа 1 = Ъ\ > 62 > ••• > Ьп >0,

Мп(х-: 62, •••) Ьп) = sin х + 62 sin 2х -{- . + Ьп sinпх,

Ln(b2, .,bn) = 1 + b2 + --■ + Ьп,

Dn{x) = sin ж + . + sin nx сопряженное ядро Дирихле. Теорема 1.12.

Мп(ж;62,.,6„) mm —=-- = хе[о,тг],1>б2>.>ьп>о,п>о Ln(62,., Ьп)

3 - л/33) ^30 - 2\/33 v J --— = цо = -0.184.

64

Следствие. Пусть а& 4- 0, & = 0,1,., && 4- 0, к = 1, 2,. и ряды + XlfcLi аА; X^fcLi ^fc сходятся. Тогда для всех х выполнено неравенство

ОО / оо у + CLk cos > -i f у + У^ Qfc fc=i V fc=i и для всех х Е [0,7г] оо / оо

У) bfc sin /еж > fj,Q I У^ 6fc fc=l \fc=l

Перейдем к подробному изложению результатов второй главы. Пусть Е - компакт в метрическом пространстве X, f - непрерывная функция, заданная на Е. Определенная при всех 5 > 0 функция coE(f-S)= sup \f(x1)-f(x2)\ (0.3)

Х!,Х2ЕЕ, p(x1,x2)<s называется модулем непрерывности функции f(x) на множестве Е.

Напомним, что функция си(<5) называется модулем непрерывности, если она возрастает, непрерывна, w(0) = 0 и + 62) < +^(^2), 62 > 0. Обозначим через Lip(E\uj) - класс функций, заданных на Е, таких, что выполнено неравенство f(Xl) - f(x2)I < и(р(хъх2)) (Ужьж2 G Е).

Напомним, что если Е — выпукло, то модуль непрерывности непрерывной функции / на Е всегда является модулем непрерывности в смысле приведенного выше определения.

Заметим также, что если Е - выпукло, то (см. ниже) любую непрерывную функцию / на Е можно продолжить на все метрическое пространство X с сохранением модуля непрерывности (см. ниже).

Компакт Е в банаховом пространстве X условимся называть С-выпуклым, если любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно непрерывно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось равенство wxifi = ^еЦ-, <5) Для любого положительного <5.

Известно (теорема Титце-Урысона см. [8]), что любую непрерывную функцию /, заданную на замкнутом множестве Е, можно непрерывно продолжить на X с сохранением ее максимума и минимума.

Е. Макшейн (1934 г., см. [15]) доказал, что если / Е Lip(E]Uj), то функции

F+{x)=M(f(y)+L,(p(x,y))) уеЕ и

F~(x) = sup (f(y) - w(p(x,y))), уеЕ задающие продолжения / с Е на X, принадлежат классу Lip(X\w). Этот же результат доказали Chipser J и Geher L. (1955 г.)

Мильман В.А. (1997 г., см. [10]) доказал, что если со - непрерывная неубывающая функция, такая, что u(t)Jt - не возрастает, то любую функцию / Е Ыр{Е\ш) можно так продолжить на все пространство X, что это продолжение F{x) будет принадлежать классу Lip(X\uS) (при этом не обязательно cu(0) = 0).

Если Е - выпуклый компакт и / - непрерывная функция на Е, то функция lje (/, 6) является модулем непрерывности, а значит, удовлетворяет условиям теоремы Макшсйна при — (/;$)■ Следовательно, / допускает продолжение с Е на все пространство X с сохранением модуля непрерывности (т.е. сox(f, S) = ше{/, 5), У5 > 0).

Таким образом, из результата Макшейна следует, что если Е -выпуклый компакт, то Е - С-выпуклый.

В главе 2 рассматриваются компакты Е в метрических пространствах Х: обладающие таким свойством, что любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось неравенство си х(/, 5) < 8), ' V<5 > 0 , 6eR. (0.4)

Рассматривается вопрос о нахождении наименьшей константы С (будем обозначать ее дальше С = С(Е)): которую можно взять в этом неравенстве. Даются оценки этих наименьших постоянных С(Е)в случае, когда Е - кусочно гладкая кривая на плоскости без самопересечений. Описываются пространства, в которых понятия выпуклости и С-выпуклости совпадают.

Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая на плоскости без самопересечений. Обозначим через 1(х 1,^2) - длину дуги кривой от точки х\ до Х'2. В случае замкнутой кривой кривая считается ориентированной в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.

Обозначим

Л-А(7Г\- Ах2,ХХ)}

У± — — ьир г ,

Х1,ГЕ2 еЕ р(х 1,Ж2) если Е — замкнутая ориентированная кривая, и

А = А(Е)= sup i^i если E — незамкнутая кривая. В § 1 главы 2 доказана

Теорема 2.1 Пусть множество Е есть кусочно-гладкая кривая без самопересечений. Тогда справедливы оценки

А < С(Е) < —[—А], где квадратные скобки означают целую часть числа.

В § 2 главы 2 доказывается, что в случае, когда Е является границей квадрата или эллипса, достаточно близкого к окружности, С{Е) = 2.

В § 3 главы 2 доказывается, что в случае, когда Е — окружность, С(Е) = 2.

В § 4 главы 2 доказана

Теорема 2.2. Если Е - невыпуклый компакт гильбертова пространства Н, то существует такая непрерывная функция f, заданная на Е, что для некоторых S > 0 и С > 1 при любом непрерывном продоллсении f на Н справедливо с > 1.

В § 5 главы 2 доказана

Теорема 2.3. а) Если банахово пространство строго нормировано, то в нем любой С-выпуклый компакт является выпуклым. б) В любом банаховом пространстве X, которое не является строго нормированным, всегда существует С-выпуклый компакт, который не является выпуклым.

1. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. / Ж. Дьедонне М.: Мир, 1964. - 430 с.

2. Крейн А.Е., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. / А.Е. Крейн., А.А. Нудельман М.: Наука, 1973.- 551 с.

3. Мильман В.А. Продолжение функций, сохраняющее модуль непрерывности / В.А. Мильман // Матем. заметки. 1997. - Т.61. № 2.- С. 236-245.

4. Стечкин С. Б. Избранные труды: Математика. / С.Б. Стечкин -М.: Наука. Физматлит. 1998. 384 с.

5. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А.Ф. Тиман М.: Физматгиз, 1960. — 624 с.

6. Chaundy T.W., Jolliffe А.Е. The uniform convergence of a certain class of trigonometrical series / T.W. Chaundy., A.E. Jolliffe // Proc. London Math. Soc. 1916. - V. 15. - P. 214-216.

7. Jolliffe A.E. On certain trigonometrical series which have a nessesaryand sufficient condition for uniform convergence / A.E. Jolliffe // Cambridge Philisophical Soc. 1919. - V. 19. - P. 191-195.

8. McShane E. Extention of range of function / E. McShane // Bull.Amer. Math.Sos. 1934. - V.4. № 12. - P. 837-842.

9. Nagy B. Uber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigonomet-rischen Entwicklungen / B. Nagy // 1. Periodischer Fall, Berichte der math. — phys. Kl. Acad, der Wiss. zu Leipzig. Bd. 90. 1938. P. 103-134.

10. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций с компакта на плоскость / B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. 1999. -№ 2. - С. 65-72.

11. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств /B.C. Колесников // Научные труды ИвГУ. 2001. - № 4. - С. 53-58.

12. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения /B.C. Колесников // Математические заметки. 2006. - Т. 79. № 6. - С. 870-878.

13. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Математика и ее приложения. 2004. - №. 1. - С. 93-96.

14. Колесников B.C. О продолжении непрерывных функций / B.C. Колесников // Тезисы докладов Международной школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимова. -Ростов-на-Дону, 2000. С. 117-118.

15. Колесников B.C. Об одной характеристике строго нормированных банаховых пространств /B.C. Колесников / / Тезисы докладов Воронежской зимней матеметической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2001. - С. 142-143.

16. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения / B.C. Колесников // Вестник Тамбовского Университета. 2003. - Т. 8. № 3. - С. 397-398.

17. Колесников B.C. О полиномах наилучшего приближения одной бесконечно дифференцирунмой функции /B.C. Колесников // Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы "Современные методы теории функций и их приложения". Саратов, 2004. - С. 99-100.

18. Колесников B.C. Об ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения /B.C. Колесников // Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы "Современные методы теории функций и их приложения". Саратов, 2006. - С. 88-89.

19. Колесников B.C. Условия ограниченности и неограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в среднем / B.C. Колесников // Математика и ее приложения: журнал Ивановского математического общества. 2009. - Вып. 1(6). - С. 59 - 82.