Обобщенные интегралы в теории рядов по мультипликативным системам и системам типа Хаара тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

московский государственный университет

им м. в.ломоносова

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.Б

королева. марша павловна

обобщенные интегралы в теории рядов по мультипликативным системам и системам типа хаара

(01.01.01 - математический анализ)

автореферат диссеращш на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Скворцов.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Московский государственный институт

электронной техники (технический университет).

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, мвханико-матемтический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математичесого факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 9 дЛ^О— 199¿г.

профессор В.И.Голубов, кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Рубинштейн.

Защита диссертации состоится

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Необходимость обобщения интеграла Лебега возникла в основном в связи со следующими проблемами анализа: с задачей восстановления первообразной функции по ее конечной производной и с проблемой вычисления коэффициентов сходящегося ортогонального ряда по его суше.

Несмотря на большую общность интеграла Лебега, он, будучи "абсолютным" интегралом, оказался недостаточно широким для решения указанных задач, в которых возникает необходимость интегрировать сильно колеблющиеся функции. В 1912 году А.Данжуа ввел более общий процесс интегрирования, чем лебеговский, и показал, что этот процесс полностью решает задачу восстановления функции по ее производной. В определении Данжуа применялся конструктивный метод, основанный на трансфинитном процессе. Позднее, независимо друг от друга, А.Данжуа и А.Я.Хинчин дали еще более общее определение интеграла, позволяющего восстанавливать первообразную функции не только по ее обыкновенной производной, но и по ее аппроксимативной производной. Н.Н.Лузин и А.Я.Хинчин ввели дескриптивные определения этих интегралов.

Независимо от Данжуа новое определение интеграла, не требующее понятия меры и основанное на других принципах, чем определение Данжуа, было дано 0.Перроном. Впоследствии была установлена эквивалентность интеграла Перрона и узкого интеграла Данжуа. Доказательство эквивалентности этих интегралов на отрезке можно найти в монографии С.Сакса [1].

Интересен еще один вариант определения интеграла Перрона, в котором интеграл определяется как предел некоторых римановских

1. Сакс С. Теория интеграла. - М., Ш1, 1949.

о

— <1 —

сумм. Такое определение интеграла было введено Р.Хенстоком [2], назвавшим этот интеграл обобщенным римановским интегралом ((ЗН-интегралом).

Вторая причина, вызвавшая необходимость обобщения интеграла Лебега, состояла в появлении теории единственности представления функций рядами по ортогональным системам.

Одно из направлений развития этой теории связано с восстановлением коэффициентов всюду сходящегося ортогонального ряда по его сумме. Для большинства классических ортогональных систем, -включая тригонометрическую систему, системы Уолша и Хаара, известно, что если ряд по такой системе сходится всюду к конечной суммируемой функции, то он является рядом Фурье-Лебега этой функции (см. 13], [4]). Для всех упомянутых систем этот результат обобщается на случай узкого интеграла Данжуа (эквивалентного интегралу Перрона) (см. [3], [5]). Сложнее обстоит дело в случае широкого интеграла Данкуа. Для одних систем (систем Хаара и Уолша) соответствующее обобщение возможно (см. [5]), для других (тригонометрическая система) строится противоречащий

2. Henstook Н. Definitions oi the Riemann type oi the variational integrals. - Proo. London Math. Soo., 1961, Л 3, p.402-418.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1,2. - M., "Мир", 1965.

4. Арутюнян Ф.Г., Талалян А.А. О единственности рядов по системам Хаара и Уолша. - Изв. АН СССР, серия матем., 1964, Т.28, № 6, с.1391-1408.

5. Арутюнян Ф.Г. Восстановление коэффициентов рядов по системам Хаара и Уолша, сходящихся к функциям, интегрируемым по Данжуа. - Изв. АН СССР, серия матем., 1966, т.30, № 2, с.325-344.

пример (см. [6]).

В 60-е годы начала активно разрабатываться теория единственности для рядов по системам Хаара и Уолша. Усилившийся интерес к этим системам вызван главным образом двумя обстоятельствами. Во-первых, он связан с возросшим использованием этих систем в прикладных вопросах - в теории кодирования, в цифровой обработке сигналов, в распознавании образов (см.[7]). Во-вторых, эти системы, прежде всего система Хаара, оказались полезными в решении многих задач общей теории ортогональных рядов.

Немного позднее в том же круге прикладных вопросов наряду с системой Уолша стали использоваться более общие мультипликативные системы. Кроме того, эти системы представляют большой интерес с точки зрения гармонического анализа, являясь системами характеров соответствующих компактных групп. С мультипликативными системами тесно связан впервые рассмотренный Н.Я.Виленкиным (см. [3]) другой класс ортогональных систем, называемых обычно системами типа Хаара и обобщающих классическую систему Хаара.

Как отмечалось, вопрос о восстановлении коэффициентов всюду сходящихся рядов Хаара и Уолша по их суммам был решен в случае, когда эти ряда сходятся к интегрируемой по Данжуа, в частности, суммируемой функции. Однако, для полного решения этого вопроса необходимо введение интеграла более общего, чем интеграл Данжуа.

Эта задача была решена В.А.Скворцовым в [9]. Им был

6. Скляренко В.А. 00 интегрируемых по Данжуа сушах всюду сходящихся тригонометрических рядов. - ДАН СССР, 1973, т.210, X 3, с.530-533.

7. Хармут X. Теория секвентного анализа. - М., "Мир", 1980.

8. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем. - Изв. АН СССР, серия матем., 1947, т.11, й 4, с.363-400.

построен интеграл перроновского типа, соответствующий производной относительно последовательности двоичных сетей, который восстанавливает коэффициенты всюду сходящихся рядов Хаара или Уолша. Позднее он же показал (см. [10]), что примитивная в смысле этого интеграла не обладает ^-свойством Лузина. Е.С.Байгожин в [11] сузил этот интеграл так, что он, решая ту же задачу о вычислении коэффициентов, обладает рядом хороших свойств, которыми не обладает двоичный перроновский интеграл, но обладает обычный интеграл Перрона.

Аналогичные вопросы возникают в связи с построением интегралов, позволяющих вычислять коэффициенты сходящихся рядов по мультипликативным системам и системам типа Хаара как коэффициенты Фурье их суш. Соответствующий перроновский интеграл, базирующийся на понятии производной относительно последовательности Р-ичных сетей, как и в двоичном случае не обладает ^-свойством. Более того, можно показать, что этот интеграл не обладает ^-свойством даже в случае, когда подинтетральная функция является конечной производной относительно последовательности р-ичных сетей от своего неопределенного интеграла.' Однако, в диссертации доказано, что можно дать более узкое определение Р-ичной производной и ввести соответствующий этой производной более узкий

9.' Скворцов В.А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследователь-

ностям частичных сумм. - ДАН СССР, 1968, т. 183, J6 4, с. 784-786.

10. Skvortsov V.A. Some properties of dyadic primitivies. - Leoture Notes in Math., 19S8, 7.1419, p.167-179.

11. Байгожин E.C. Обобщенные интегралы и задача восстановления коэффициентов некоторых всюду сходящихся ортогональных рядов. - Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., МГУ, 1992.

р-ичный интеграл, который решая задачу вычисления коэффициентов для рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара, обладает ^-свойством Лузина.

В 1984 г. Н.А.Бокаев в [12] установил следующее утверждение. Теорема А. Если для частных сумм s (х) ряда Е d 9 (х) по

п

системе типа Хаара с коэффициентами, удовлетворяющими в каждой точке отрезка [О, 1J условию

dn9Ja:;=Öfj!kJ, (1)

к

где (и0=7, тк= П ру (P3>i=0 ~ последовательность

чисел, с помощью которой строится система, типа Хаара.), всюду на СО, 1J, кроле, .бить может, некоторого счетного множества точек, выполнено соотношение lim S (x)=g(x), где g(x) - всюду конеч-

П->СО п

ная функция, интегрируемая по Перрону, то данный ряд является рядом Фурье-Перрона функции g(x) по системе типа Хаара.

Аналогичное утверждение справедливо и для рядов по мультипликативным системам Прайса.

Возникает естественный вопрос: можно ли теорему А обобщить на случай широкого интеграла Данжуа? В диссертации мы решаем его для случая ограниченной последовательности {рпо которой строятся рассматриваемые системы функций.

Цель работы. Дать конструкцию и изучить свойства некоторого обобщения интеграла Лебега, позволяющего вычислять коэффициенты всюду сходящихся рядов по мультипликативным системам Прайса и

12. Бокаев H.A. Некоторые вопросы единственности разложения функций в ряды по мультипликативным системам и системам типа Хаара. - Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., МГУ, 1984.

системам типа Хаара как коэффициенты Фурье их сумм. Рассмотреть некоторые вопросы единственности представления функций рядами по этим системам.

Научная новизна. Все полученные в работе результаты являются новыми. Основные из них следующие.

1. Построен обобщенный интеграл, который решая задачу вычисления коэффициентов всюду сходящихся рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара в случае ограниченности исходной последовательности обладает //-свойством Лузина; изучен ряд свойств построенного интеграла, установлена эквивалентность его различных определений.

2. Построен пример ряда по системе типа Хаара, показывающий, что теорема А, вообще говоря, не может быть обобщена на случай широкого интеграла Данжуа. Найдены условия того, что ряд по системе типа Хаара или системе Прайса, определяемой ограниченной последовательностью » является рядом Фурье в смысле широкого интеграла Данжуа.

Метода исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов обобщенного дифференцирования и интегрирования .

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах теории функций действительного переменного, гармонического анализа и их приложений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Теория функций действительного переменного" под руководством члена-корреспон-

дента РАН П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова, проф. М.И.Дьяченко, "Теория функций действительного переменного" под руководством проф. В.А.Скворцова, проф. Т.П.Лукашенко, на зимней математической школе по теории функций в Воронеже в 1995 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих в себя 8 параграфов, и списка литературы, содержащего 42 наименования. Общий объем работы - 133 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен обзор ранее полученных результатов по изучаемой теме и дано краткое изложение содержания диссертации.

В главе I строится интеграл, позволяющий вычислять коэффициенты всюду сходящихся рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара по их сушам.

В первом параграф данной главы приводятся наиболее существенные для дальнейшего изложения определения ¿¿-непрерывности и ^-дифференцируемое™ и строится соответствующий этим определениям р-ичный интеграл перроновского типа.

Для произвольной последовательности натуральных чисел

к-1

Р^р^^ц, j=0} 1,_____ положим П0=1, Ик= П Ру Обозначим

(2)

Множество всех р-ично-рациональных точек £ отрезка СО, 1]

к

обозначим через д. Точки, не являющиеся Р-ично-рациональными,

будем называть р-ично-иррациональными, их множество обозначим через J. К каждой р-ично-иррациональной точке, х€(0, 13 стягивается единственная последовательность {S(k)(х)>^_0= ={[ak(i), bk(x)]}k=0 вложенных отрезков вида (2). Если же х -р-ично-рациональная точка, то, начиная с некоторого к, к ней стягиваются две последовательности вложенных отрезков, левая и правая.

Определение I. Функцию Fix), определенную на fо, 13, назовем Q-непреравной слева (спраба) в произвольной точке хе[О, 13, если lim Fia.ix))=Fix) [lira Fibvix))=Fix)}, и Q-непрерывной - в

k-co к Чс->со к J

случае Q-непрерывности и слева, и справа в точке х. (В точках о и 1 определяется односторонняя Q-непрерывность.)

Определение 2. Будем говорить, что функция F{x), заданная на [о, 1], (¿-дифференцируема в точке хе[0, 1], если существуют и равны пределы

F(x)-F(a^(x)) F(\(x))-F(x)

»I x-^txj ' b^xj-i •

Q-производную Fix) в точке x обозначим через D^F(x).

Пределы по подпоследовательностям натуральных чисел в этих выражениях назовем Q-производными числами Fix) в точке х. Тем самым, в частности, будут определены нижнее fiqF(r) и верхнее 5qF(х) Q-производные числа.

Определение 3. Заданную на отрезке [а, $]<=[о, 13 функцию Mix) (т(х)) назовем Р ^мажорантой (Р ^минорантой) для функции }(х), определенной на [а, ßj, если й(а)=0 (т(а)=0), и для всех хе[а, ßj -о» *DQM(x)zf(x) (-ю> ^^(x^fix)).

Несложно доказать следущее утверждение.

Леша I. Если функция Fix), определенная на [0, 13, 6 каждой тонне х€[0, 11 удовлетворяет условию DQF{x)^0, то F не убивает

на [0, 1].

Определение 4. Функцию f(x), определенную на [а, ß]<[0, 1J, будем называть р ^интегрируемой на [а, ßj, если Inf U(ß)= =sup m(ß), где грани берутся соответственно по множеству всех Рд-мажорант и Р0-минорант f(x). Их общее значение назовем определенным р 0-ишегралам от f(x) по [а, ß] и обозначим

Корректность этого определения следует из леммы 1, так как разность Х(х)-ш(х) не убывает на [а, ß] и, в частности, Ü(ß)^m(ß)

Кроме того, в силу монотонности функции Н(х)-т(х) можно определить и неопределенный р^-интеграл Р(х), совпадающий с Inf H(x)=sup т(х).

Отметим следующее простое, но важное условие ^-интегрируемости функции, вытекающее непосредственно из определения 4.

Лемма 2. Для того, чтобы функция f(x), заданная на [а, ß]c[о, 1], была Р^-интегрируемой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для каждого е>0 иашисъ такие р^-мажорант " И(х) и pQ-MUHopamta т(х), что ii(ß)-n(ß)<s.

Справедлива следующая

Теорема 3. Для р^-интегрируемосш функции f(x) на [а, ßj достаточно существования для произвольного s>0 таких определенных на [а, ß] функций Н(х) и т(х), что

1. И(а)=т(а)=0;

2. DqM(x)>-<*> u T)Qm(x)<+*> всюду на fa, ßj за исключением некоторого счетного тожества А, на капором функции ми я Q-непреривны;

3. DQM(x)*f(x) и 3Qm(x)^f(x) Всюду на [а, ß], кроле некоторого множества в мери нуль;

4. ll(ß)-m(ß)<£.

Далее в этом параграфе изучаются основные свойства постро-

енного интеграла.

В § 2 рассматривается хенстоковский вариант определения интеграла, т.е. интеграл здесь определяется как предел римановских сумм по некоторому Оазису фильтра.

Через Д^ обозначим множество всех пар (х, [и, v]) таких, что точка хе[и, и]с[0, 1], а [и, VI есть отрезок с концами ак(х) и х или х и Ъ^(х), и назовем его (¿-дифференциальной базой. Для каждой пары (х, [и, V]) точку х назовем меткой. Будем рассматривать лишь конечные наборы Си±, в предположении, что отрезки [и±, , 1=1, з, не перекрываются.

Для произвольной положительной функции б(х), определенной на отрезке СО, 1], будем говорить, что набор согласован с 5(х), если 1>±-и±<8(х±) для каждого 1=1, э. Если, кроме того, набор я является разбиением отрезка

[а, $]<=[0, П, т.е. [а, и [и.., иЛ, то назовем его согласо-

1=1 1 1

ванным, с 8(х) 5-разбиением [а,

Несложно установить следующее утверждение. Леыыа 4. Для любой положительной функции х), определенной на СО, 1 ], и любого отрезка [а, Р^ГО, 11 найдется согласованное с ®(х) (¿-разбиение данного отрезка.

Определение 5. Функцию /(х), определенную на отрезке Га, Р.7СГ0, 13, назовем Н^-итегрируемоИ на [а, если найдется такое число I, что для любого е>0 существует положительная функция 6(х] на [а, (37 такая, что для произвольного й, согласованного с б(х) 0,-разбиения отрезка [а, р_7, справедливо неравенство 1Е f(xí)(ví-u1)-I\<s.. Число I назовем определенным //^-интегралом

1 гР

от функции /(х) по отрезку [а, и обозначим 1=(Нй)\ у(х)йх.

Основным результатом этого параграфа является

Теорема 5. Конечная Функция /(х) Р ^-интегрируема на

[a, (3J<=fO, П тогда и только тогда, когда она HQ-интегрирует на [a, 0J, причем

гР . . гР

(PQ)^f(x)dx=(HQ)jj(x)dx.

Кроме того, в данном параграфе приводится некоторое дескриптивное определение Яд-интеграла, т.е. описание класса //.-примитивных. Такого шипа дескриптивные определения обобщенных интегралов ранее рассматривались Р.Гордоном (см. [13]).

Определение 6. Функцию F(х), определенную на [0, 1], назовем АС^-фунщией на множестве Е<=[0, 1] {FeAO^E)), если для каждого s>о найдутся положительная функция QfrJ на Е и число тро такие, что для произвольного набора R={(x±, [иv±J)}¿„^¿q с метками из множества Е, согласованного с 5(х) и удовлетворяющего

з

соотношению 2 выполнено неравенство

£ IF(vJ-F(uJ\<e. 1=1 1 1

Определение 7. Будем говорить, что F(х) является функцией

со

класса AGGJiO, 1 J) (F(x)&A0Gr([О, 1J)), ест [0, 11= U £п так,

n=1

что F(x)eAOcfEri), n=1, 2, ...

Теперь мы можем сформулировать следующее утверждение. Теорема 6. Функция f(x) Н^-интегрирует на отрезке [0, 11 тогда и только тогда, когда существует функция F(x)€ACGq([0, 11) татЯу 'шо DQF(x)=f(x) почти всюду на [0, 11..

Центральным результатом § 3 данной главы является. Теорема 7. Если исходная последовательность fPj^j-o ограничена, то неопределенный р^-интеграл обладает N-свойством Лузина. В конце этого параграфа приведены два примера, показываю-

13. Gordon R. A desoriptive charaotreizations oi the generalized Rieman integrals. - Real Anal. Exo., v.15, 19S9, p.397-400.

щие, что на множестве непрерывных функций класс ACGQ([0, 11) значительно шире класса AGG"(C0, 13), но уже класса AGG([0, 11). Следовательно /^-интеграл (Р0~интеграл) шире классического пер-роновског.о интеграла, но уже широкого интеграла Данжуа.

Вторая глава диссертации посвящена рядам по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара. Здесь рассматривается задача восстановления коэффициентов сходящихся рядов по этим системам и изучаются некоторые вопросы единственности представления функций рядами по указанным системам.

Основные результаты главы II объединены единым методом -сведением вопроса о поведении сумм ряда по системе Прайса или системе типа Хаара к вопросу о р-ичной дифференцируемое™ некоторой функции, определяемой данным рядом. Поэтому основным аппаратом здесь являются Q-производныв, введенные в главе I, и производные относительно последовательности р-ичных сетей.

В § 1 приведены определения мультипликативных систем Прайса и систем типа Хаара, а также рассмотрены некоторые основные свойства этих систем.

Во втором и третьем параграфах данной главы рассматриваются свойства рядов по мультипликативным системам Прайса и системам типа Хаара, касающиеся Q-непрерывности и Q-диффэренцируемости и доказывается, что построенный в главе I яп-интеграл (или .PQ-интеграл) решав® задачу восстановления коэффициентов, а именно, доказана

00

Теорема 8. Пусть ряд Е с % (х) по системе Прайса, опреде-

п=о

ляелой ограниченной последовательностью сходимся всюду

на [0, 1), кроле, бшь может, некоторого множества r-=Q, к конечной функции f(x). Тогда f(x) Н ^-интегрируем на. [о, 1) и

cn=ivf f(xfiQ*Jdx> п=0> ь ...

J о

1

- I о -

Аналогом теоремы 8 для рядов по системе типа Хаара является

со

Теорема 9. Пусть ряд Е tí б (х) по система типа ¡Саара,

П=1

определяемой ограниченной последовжэлъностъю {р^}', сходится всюду на [0, 1), кроме, быть может, некоторого тожества T<=Q, к конечной функции g(x), и в каждой почке [0, 1) удовлетворяет условию (I). Тогда g(x) И^-интегрируема на [О, 1J и

dn=(HQ)^g(x)VJxJdx, п=1, 2, ...

В § 4 показано, что теорема А в таком виде, вообще говоря, не монет быть обобщена на случай широкого интеграла Данжуа. Построение примера, доказывающего несправедливость теоремы А для fl-интэграла содержит

Теорема 10. Существует ряд £¡ d 6 (х) по системе типа Хаара

п

при Pj=3, j=0, 1, ..., удовлетворяющий в каждой точке промежутка

СО, 1) условию (I), для которого всюду на [О, IX выполнено

соотношение lint S (x)=g(x) о некоторой функцией g, интегрируе-k-co "V.

мой в смысле широкого интеграла Данжуа, но который не является рядом Фурье-Данжуа функции g.

Однако, если в этой теореме условие сходимости подпоследовательности частичных сумм ряда с.номерами я заменить требованием сходимости всей последовательности частичных сумм, то справедлива

Теорема II. Если ряд £ d в (х) по системе типа Хаара,

п

определяемой ограниченной последовательностью {р^_0, сходится всюду на [0, 1), кроме, быть может, некоторого счетного множества Т, к некоторой функции g, интегрируемой в смысле широкого интеграла Данжуа, и всюду удовлетворяет условию (I), то данный ряд является рядом Фуръе-Данжуа данной функции g.

§ 5 посвящен доказательству утверждения, аналогичного теореме 11 для рядов по мультипликативным системам Прайса. Заметим, что теорема 10 также переносится на случай мультипликативной системы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.А.Скворцову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Королева М.П. О рядах по системам типа Хаара, сходящихся к функциям, интегрируемым по Данжуа. - Рукопись деп. в ВИНИТИ 13.01.95, № 113-В95, 39 с.

2. Скворцов В.А., Королева М.П. Ряды по мультипликативным системам, сходящиеся к функциям, интегрируемым по Данжуа. - Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тезисы докладов школы. Воронеж, 1935.

3. Королева М.П. Об одном обобщении интеграла Перрона. - Вестник МГУ, 1996, Л 2