О множествах относительной единственности ортонормированных систем и преобразований Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

1/,

ереванский государственный университет

На правах рукописи

талалян андраник Александрович

о множествах относительной единственности ортонормирования систем и преобразований фурье

(01.01.01. - Математический анализ)

. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ереван - 1991

Работа выполнена в отделе действительного анализа Института математики АН РА.

Научный руководитель - кандидат физ.мат. наук, доцент

ГЕВОРКЯН Г.Г.

Официальные оппоненты - доктор физ.-мат. наук

в.а.скворцов

кандидат физ.-мат. наук, доцент Р.А.АВЕТИСЯН

Ведущая организация - Тбилисский Государственный универ-

на заседании специализированного совета К U55.0I.I2 при Ереван ском Государственном университете по адресу: 375049, Ереван-4^ Мравяна I.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ереванского университета.

ситет

Защита состоится

часов

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного совета

АРУТШЯН Т.Н.

т!

Актуальность темы. Вопросы единственности занимают важное ----в исследованиях по теории тригонометрических и ортогональных рядов. Исследование этих вопросов началось с работ Кантора, Юнга, Валле-Пуссена, Д.В.Меньшова и продолжалось многими известными математиками (Н.К.Бари, Райхман, Зигмунд, Салем и др.). Эти исследования продолжались и в последние десятилетия (Кахан, Кацнельсон, Мичел, Сорди, Голзани, В.А.Скворцов, Ф.Г.Арутюнян, Р.И.Овсепян, Г.Г.Геворкян и др.).

Целью реферируемой работы является исследование множеств относительной единственности ортогональных рядов и интегралов Фурье и применение этих исследований для установления наличия особенности Карлемана у некоторых неполных ортогональных систем.

Научная новизна и методика исследования. Установлено существование множеств единственности относительно классов ^р для ортогональных систем, являющихся почти полными по рядам из . Получены теоремы о классификации .-множеств тригонометрических интегралов. Исследованы ряды по системам Хаара и Уолша с ограниченными в ^^ОД^ частичными суммами и получены достаточные условия для того, чтобы такие ряды были рядами Фурье интегрируемых по Лебегу функций.

Методика этих исследований опирается на известные методы изучения множеств единственности с применением общих методов метрической теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в дальнейших исследованиях вопросов единственности как общих, так и конкретных систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались

на семинаре отдела действительного анализа И-^тк^ута математики АН РА (руководитель А.А.Талалян), на семинаре карелы теории функций ЕГУ (руководитель Г.Г.Геворкян) и на расширенных заседаниях Института прикладной математики им.И.Н.Векуа Тбилисского Государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликованы три работы.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на 107 стр., состоит из введения, трех глав и библиографии. Библиография содержит 26 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ I'АБСТЫ.

Работа состоит из трех глав. Первые две главы в основном посвящены изучению множеств относительной единственности для ортогональных рядов и интегралов Фурье. Последняя глава посвя-цена изучению рядов Уолша и Хаара с ограниченными в норме

частными суммами, выявлению тех условий, при которых такие ряды являются рядами Фурье.

Теория единственности тригонометрических рядов представляет один из основных разделов общей теории тригонометрических рядов. 3 основ'-; возникновения и развития этой теории лежат теорема Клга о том, что счетное множество является 1С -множество;.: и построенный Д.Е.Меньшовым пример совершенного непустого мноу.естьа мири нуль, который не является . -множеством. В млиматичоской литературе -множества называются также мно-хьчтьамл единота-.-нности. Напомним определение Ц^ -множеств.

О и р ч д •:.* .1 е н и е I. .Множество Дс ЗТД нгкшип-•;тс.ч IX -множестьо.-.; для тригонометрической системы, если из ходимости к ¡¡у.-;: мэду на [-Ц^щЗ N Д т].;!го}!огл>'."рйчоох-»•<> ряд"

сю

-Г + ЧиПЭС

(I;

след;;? обращение в нуль всех коэффициентов П^ = 0,1.2...,

(: , П =1,2..., этого пяда. 41

Первые примеры непустых совершенных 1С -множеств были построит, Ратином и Н.К.Бари. В книга: .[э^ и [13^ можно найти подробное изложение теории Ц^ -множеств и посвященную этой теории обтирную литературу.

Отправным пунктом исследования множеств относительной единственности послужила теорема Зигмуща (см. £93СТР- 647), дая формулировки которой приведем (см. стр. 847).

Определение 2. Пус"\& 2 - некоторый класс тригонометрических рядов (I). божество ДС С~Л]~)ЗТЗ называется множес ?вом единственности относительно класса. 2 . илиЦ(З) -множеством, если из сходимости к нулю всюду НА Е-Лд]^ А любого тригонометрического ряда из класса 5 следует, обращение в нуль всех коэффициентов этого ряда.

Для заданной монотонно ^.'--чящейся к нулю последовательное!" 0 положительных • лее л обозначим через множество тригонометрических рядов (I), коэффициенты которых удовлетворяют условию 1А0|<£0 .• П. = 1,2.....

Теорема с" мунда утверждает, что для .тобого класса Б и для любого положительного существует1( (З^Ск^-мнсже-

зтво единственности, мера которого больше, чем .

В 1973 году Ках.аном и Кацне/ьсоном £19^ было установлено, иго для любого класса существует ц ^ -мно-

гьство меры ДЗТ •

Для формулировки теорем первой главы диссертации приведем несколько определений.

Определение 3. Пусть ^ - ортонормиро-

ванная на [сц ^ система. Измеримое множество Дс. [сц , О < /ЧА^ < (г^ ■) называется множеством единственности системы относительно классов ^р , , если не существу-

ет отличной от нуля и интегрируемой с квадратом на [а,Функции ^-(х,) . коэффициенты Фурье которой по этой системе

(К

(2)

удовлетворяют условию

РЗ р

(3)

П-1

для некоторого р . О ^ ^ <2. и = 0 почти всвду на

1>>£ЬА. •

Определение 4. Пусть <(П ~ ортонормиро-ъшшая на [/хД^ система и ^ЧМ > = 1,2..., положительная, :.:оното!шо строшщаяся к оо функция. Измеримое множество Дс

» называется множеством единствон-

системы относительно класса ^(М^Л > ссли

::■•• -¡/.Ц'¡стьуит отличной от нуля и интегрируемо!'! с квадратом на г;),(;гч-.с- ["о., функции ■^(ос^ , коэффициенты Фурье (2) которой ::о это!) системе удовлетворяют условии оо

X ^(«Ь^ШДс+оо м

Л. «А

Определение 5. Говорят, что ортонормированная на С&) система обладает особенностью Карлемана,

если существует непрерывная на [7а1 ^ функция ^(оС), коэффициенты Фурье которой по этой системе удовлетворяют условию СХ5 р

X —-р СХ) (5)

1Л-1

для всех Р< .

Определение б. Говорят, что ортонормированная на С01) система ^^(Х^ обладает - особенностью, если

существует непрерывная на Функция . коэффициенты

Фурье (2) которой по системе удовлетворяют условию

IX)

X = + , (6)

где. > О , ^оо при со .

Кацнельсоном [17^ было установлено, что для любого существует множество ДС^-ЛТ,Зг1 > • которое

является множеством единственности тригонометрической системы относительно классов ^.р , •

Л.Голзани (1] , [20] и Г.Г.Геворкяном этот результаь Кацнельсона был распространен на любые полные ортонормирсванные системы. При этом Л.Голзани установил также, что из факта существования множества единственности полной ортонормированной системы относительно классов ^р следует обладание этой системы особенностью Карлемана.

Общая теорема о том, что любая полная в [о, ортонормированная система обладает как'особенностью Карлемана, так и Ч/(ц)~ особенностью, впервые была установлена А.М.Олевским [з]

в 1963 году,

В первой главе приведенные выше теоремы Л.Голзани, А.М.Олев-ского и Г.Г.Геворкяна распространены на ортонормированные системы, которые не являются полными в метрике^ на всем отрезке ортогональности, но обладают свойствами полных систем на некоторых подмножествах отрезка ортогональности.

Определен,ие 7. Ортонормированная на (а, ^ систе-называется полной по рядам из ^ на множестве &) «У* 0 ' если ^ ^Ф® определенной на Е и инте-

грируемой „с квадратом на Е функции существует ряд

. с*з , . сумма которого в метрике

АдС^ > совпадает с ^рС) на Е

Определение 8. Ортонормированная т£(Х-11'] система называется почти полной по рядам из ¿д , если для любого 0 существует измеримое множество р с , » ^ЧЕ^!?на котором система ^^полна по рядам

Во втором параграфе первой главы доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.2.1. Пусть ортонормированная на ["0,1^ система полна по рядам из ^ на множестве Ее [0,1] ,

О • Тогда для любого £>о существует множество £.сЕ • А[(£)<£ , такое, что если ^х) С 0,13 и М^) = 0 поч~ ти вевду на множестве & 0([]о,1^Е)> то условие . ^ ОО

где - коэффициента Фурье функции ^ОС) по системе

и р< ^ , вшхолняется только тогда, когда -^рС) = 0 почти вевду на [ЬдЗ .

Теорема 1.2.2. Вели ортонормированная на £о,1] система -(^^(Х^ почти полна по рядам из £ , то для любого <£>о

И3

существует множество С , С . которое является

множеством единственности системы ^ ^ относительно классов

Теоремы 1.2.3 и 1.2.4 этой главы являются аналогами теорем 1.2.1 и 1.2.2, в которых классы £р заменены классами последовательностей

, для которых ^а^Ы-г-Нх» •

Теорома 1.2.4. Пусть ортонормированная на £о,1] система почти полна по рядам из и УйЧУ^^-оо при к\-7>оо . Тогда для любого £>0 существует множество фс [р»*]' , которое является множеством единственности системы ^^(х-)^ относительно класса

Из теорем 1.1.1 и 1.2.3 получается следующее обобщение вышеупомянутых результатов А.М.Олевского.

Вели ортонормированная на {0,1^ система (.Х)^ полна по рядам из ^ на некотором множестве£0,, »

то эта система обладает особенностью Карлемана и - осо-

бенностью для любой функции ^ХИп^т- 0 , при

Рассмотрены также подсистемы тригонометрической системы ви-

» 1 "К

Лв{&>ПзС ,поС^ . . К = 1,2..., гдеД^^^с ,

°° ПРИ • Обозначим для краткости любую

такую систему через ^^ ' Иэ тео-Рем ^-Г-Арутюняна , представляющих, в частности, распространение на системы известной теоремы Д.Е.Меньшова об "исправлении", выводится справедливость утверждений теорем 1.2.2 и 1.2.4 для систем и обладание этих систем особенностью Карлемана и - особен-

ностью. Сформулируем теоремы 1.2.8, 1,2,9.

Теорема 1.2.8. Для любого £>0 существует множество (^с^-Л^ЦТЗ ' £. ' которое является множеством

единственности системы ^^ относительно ¡слассов ,

Р<£ .

Теорема 1.2.9. Система -(^(сх^ обладает особенностью Карлемана.

В конце первой главы показано, что системы видаЛ&ипХч 4

Л1т1

^ , где к у,- Кпт|* 00 при п-?оо , полны по рядам из на всех интервалах {р^ЗТЗ > 0«^<ЗТ~

В отличие от рассмотренных в первой главе множеств относительной единственности, которые определяются с точностью множества меры нуль, рассмотренные во второй главе множества относительной единственности не обладают указанным свойством и, более того, в установленных в этой главе теоремах они имеют меру нуль.

В 1975 году Л.Ыичел и П.Сорди [б] доказали следующую теорему.

Теорем (Мичел-Сорди) существует множество Е С[ЧТГ> ТГЗ »

' ггакое' чт0 если тригонометрический ряц (I) сходится к нулю всюду на^пХ^ХКЕ и для неко~ торого 0 < р<: Д , то все коэффициенты этого ряда равны нулю.

3 работах [б^ , [7^ Г.Г.Геворкяном дана классификация рассмотренных в этой теореме множеств единственности относительно классов ^р , | < р^ ро , где ^^ - шожество ограниченных последовательностей, а в работе [¥] им рассмотрены аналогичные вопросы для интегралов Фурье. Для формулировки основной теоремы это;; работы приведем

) п р о д е л с и у. ¡¿южоство £ с (- ечэ^Оз^ называется -множеством 'л^итз.онностк тригономотричоского интеграла, осл/. из тсг^, чт^ £ и

^ = о (7)

Д-?^ -д

для всех 9С б-(-СО £ , следует, что ^(ос) = 0 почти всю-

ду на (-04 , оо ).

Теорема 2.3 (Г.Г.Геворкян). Для любого Р , »

существует множество £ » которое не является -множеством, ч

но является К р' -множеством для тригонометрического интеграла при всех • Для любого р , существует множест-

во Е , которое является Ц^к -множеством, но не является

у '

р/ -множеством для тригонометрического интеграла при всех

Следующие две теоремы второй главы представляют распространение теоремы 2.3 Г.Г.Геворкяна на случай, когда Р <Оо и доказываются по схеме доказательства этой теоремы.

Теорема 2.1.1. Для любого Р ,ДСр<СХ> существует множество Е • /Н.Е) = 0« которое не является. <7/р -множеством, но является Я^р/ -множеством для тригонометрического интеграла при всех р'<р •

Теорема 2.1.2. Для любого р , Д ^ р^ сосуществует множество Ё , 0, которое является -множеством, но

л I*

не является Ц р/ -множеством для тригонометрического интеграла при всех р'>р

В третьей главе рассматриваются ряды по системам Уолша

оО

ро л /а\

к=о К--1-

частные суммы которых обозначаются, соответственно, через ^(Х*)

и б'пМ-

В 1965 году Кацнельсоном был построен тригонометрический ряд, все частные суммы которого неотрицательны на{рЗГ)"ЗгЗ и который не является рядом Фурье интегрируемой по Лебегу функции. В дальнейшем Шиппом этот результат был распространен на ряды по системе Уолша, а в работах [Ъг} и [хз] Ф.Г.Арутюняна и Р.И.Овсепяна были установлены аналогичные теоремы для более широких классов ортогональных систем, включающих как вышеуказанные системы, так и базисы пространства С£о.1]; (^"^и все перестановки системы Уолша [хзЗ •

Основным результатом первой главы является Теорема 3.1.1. Вели 00 ,ГЪ=1.2...,

(в частности, если5^(Л)^0 . ГС £ 10,1] , П. = 1,2...,), где

,1

(9).

1 К-0 '

I п 1

о

то соответствующий ряд по системе Уолша является радом Фурье-Стильтеса некоторой непрерывной функции с|5(Ьс), имеющей ограниченное изменение на » т.е.

О

Из этой теоремы и из результатов В.А.Скворцова [гб] (см. такке |1бЗ ) следует, что если нормы в метрике всех

частных суш .^ВДряда по системе Уолша ограничены и если подпоследовательность ^.Бдъ^С)^ этих частных сумм при п-?е»э не сходится к .4-оо или к - сю ни на одном множестве мощности континуум, то этот рад является радом Фурье - Лебега интегрируе-

мой функции.

В третьей главе установлена также

Теорема 3.1.2. Для того, чтобы ряд (8) по системе Хаара был рядом Фурье-Стильтеса непрерывной функции с ограниченным изменением, необходимо и достаточно выполнение условий

В заключение выражаю благодарность доценту Г.Г.Геворкяну за постановку задач и постоянное внимание к моей работе.

ЛИТЕРАТУРА

1.A.<To(Wl, U-Uhce. о^ ит.ул<г-1геле Ц {р гЫ:коь<л»«л0 jP^.W). ДО -SU

2. Г.Г.Геворкян "О множествах единственности для полных ортонормированиях систем". Ыатем. заметки, 32, № 5,(1982), 651-656.

3. А.М.Олевский "О расходимости ортогональных рядов и о коэффициентах Фурье непрерывных функций по полным системам". Сибирский мат. журнал, 4, № 3, (1963), 647-656.

4. Ф.Г.Арутюнян "Некоторое усиление теоремы Д.В.Меньшова об "исправлении". Ыатем. заметки, т.35, Л I, (1984) 31-41.

6. Г.Г.Геворкян "О множествах единственности для некоторых ортогональных радов". Изв. АН АрмССР, сер. мат., т. ХУШ, № 6, ПЭЪЗ), 448-475.

7. Г.Г.Геворкян "Об fy р -множествах систем Хаара-Уолша и тригонометрической о.:г:ог.и". Изв. АН АрмССР, сер. мат., т. XX, Л 5, (1985), 325-34&.

8. Г.Г.Геворкян "О множествах относительной единственности для преобразования и интегралов Фурье". Сиб. мат. журнал, т.ХХУ1, Л 5 (1985), 47-61.

9. Н.К.Бари "Тригонометрические ряды". Москва, физыатгиз, 1961.

10. А.Зигмунд "Тригонометрические ряды", т.П, Москва, "Мир", 1965.

11.У КлАълпЬо^ ,,"К^опот£Ыс Зй-иеА \Х/(Ак

12. Ф.Г.Арутюнян "Представление измеримых функций почти всвду сходящимися рядами". Матем. сборник, 90 (132), Я' 4, (1973), 483-520.

13. Р.И.Овсепян "О представлении функций ортогональными рядами". ДАН АрмССР, т. Ш, К I, (1973), 3-7.

14. „ Оги ^Л^к ¿4-гсе»> ^¡АЬ

Ьис! И^)

15. В.А.Скворцов "Теоремы.единственности радов Хаара для методог суммирования". Мат. заметки, т. 9, № 4, (1971), 441-458.

16. В.А.Скворцов, А.А.Талалян "Некоторые вопросы единственности кратных рядов по системе Хаара и тригонометрической системе" Мат. заметки, т.46, )Ь 2, (1989), 104-114.

-Ыу^^-Ыс. г. I е»>. В чй?.дм осЛо

18. А.Зигмунд "Тригонометрические ряды". Москва, "Мир", т. I, 1965.

19.Лр'Ко^а.нй. Хк^к^Ьок, С«8» еи&^м^е.?» с1гти[к.

'Ч (£Ла О. ъ^и, С. И.Лс*с1 .Рсч'а

20. ъыуМлллЬ о^ fp ^^

-ИЗЧ-И^ J

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

Ан.А.Талалян "Об особенностях Карлемана и о множествах единственности ортонормированных систем относительно классов ". Известия АН АрмССР, математика, т. ХХШ, И 4, (1989), 377-392.

л

Ан.А.Талалян "О классификации Ц р -множеств тригонометрических интегралов". ДАН АрмССР, математика, т.89, № 3, (1989), 112-115.

Ан.А.Талалян "О рядах Уолша с ограниченными в част-

ными суммами". Доклады расширенных заседаний семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа, т.5, )5 2, (1990), ' 108-110.