О некоторых вопросах теории ортогональных рядов имногомерной полиномиальной интерполяции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

СГ)

ьгичиъь «чь-зишъ <шшиицрцъ

го

СЧ1

УЬпшчр]! [фшфиЦрт]

иидилкчиъ Црргпр иртт;11

Оррпср^Ош] ;шррЬр]1 игЬитр]шй ири^йш^шф ршсрЗиШгрлйшфи ]1йшьрир1ишд}1ш111 прп;> ЬшрдЬр^ йилфС

Л.01.01 - й'ифЬй'ишф^ийриО шОиифч й'шиОшц^тп^^шй'р ишифйшЦ]! Ьицдй'иШ штЬСи^ипишр^и

иьаипчФР

ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ

СААКЯН Арггур Артушоиич О некоторых «опросах теории ортогональных рядон и многомерной полиномиальной интерполяции

ЬРЬМДЪ - 1997

На прав;« рукописи

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физшачсматаческих наук по специальности 01.01 - математический анализ

ЕРЕВАН - 199 7

Работа выполнена в Институте Математики НАН Армении

Официальные оппоненты:

академик Польской Академии Наук,

доктор физико-математических наук, профессор 3. Чисельски доктор физико-математических наук, профессор C.B. Конягин доктор физико-математических наук, профессор Г.Г. Геворкян

В едущая организация:

Математический Институт им. В.А. Стеклова Академии Наук Российской Федерации

Защита состоится "/¿Л... часов на заседа-

нии специализированного совета 050 при Ереванском Государственном Университете по адресу: 375019 Ереван, ул. Алека Манукяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ-мат наук

Арутюнян

I. Общая характеристика работы

Ак1пуал1>ностъ темы. Диссертация посвящена изучению некото-

рых вопросов сходимости рядов Фурье по тригонометрической системе, всплеск системам и их приложениям и многомерной полиномиальной интерполяции. Возникшая еще в начале девятнадцатого века теория тригонометрических' рядов Пыла в центре внимания многих выдающихся математиков (Фурье, Риман, Данжуа, Лузин, Колмогоров, Меньшов, Зигмунд и др.) и до сих пор остается одной из актуальных областей теории функций. Многие проблемы л той теории, особенно в многомерном случае, остаются открытыми. Существенная часть исследований по тригонометрической системе Пыла подытожена в фундаментальных монографиях А. Зигмунда [G2] и Н.К. Бари [1].

Естественным обобщением теории тригонометрических рядов является теория ортогональных рядов, возникшгш в начале этого века и активно изучающийся в последние1 3-4 десятилетия. Она изучает, с. одной стороны, свойства, имеющие общий характер и остающиеся справедливыми для широкого класса ортонормированных систем и, с другой стороны, конкретные системы, приспособленные для решения конкркт-ных задач (отметим монографии С. Качмажа и Г. Штейнгауза. [19], A.M. Олевского [24], Б.С. Кашина и A.A. Саакяна [30]). В последние 10-15 лет очень интенсивно изучаются всплеск системы. Эти ортонормирован-ные системы, имеющие простое построение (все функции получаются из одной порождающей функции двоичными сжатиями и сдвигами) имеют множество применений как в теоретических (теория вроятностей, математическая физика и т.д.), т-лк и в практических (передача сигналов, обработка образов и т.д.) исследованиях (см. монографии И. Мейера [4G], Ч. Чюи [12] и И. Добаши [18]).

Полиномиальная интерполяция является одной из старейших областей математики. Интерполяционная формула была открыта Ньютоном в конце семнадцатого века, а чуть позже Лагранж получил свою формулу для интерполяционных полиномов, принимающих заданные значения в заданных точках. Несмотря на то, что полиномиальная интерполяция уже не является главным методом приближения, эта теория остается з центре внимания многих математиков и является одним и.з основных методов локального приближения (сплайны, конечные .элементы, куба-гурные формулы и т.д.).

Многомерная теория полиномиальной интерполяции возникла сравнительно недавно и здесь очень много нерешенных еще проблем. Она на-

много богаче одномерной теории так как здесь, с одной стороны, богаче класс множеств, где могут быть заданы параметры искомого полинома (точки, отрезки и т.д.) и, с другой стороны, сами параметры могут быть разные (значения, средние значения на отрезках и т.д.). Основные результаты теории многомерной интерполыции можно найти в монографиях P.A. Лоренца [39] и В.Д. Боянова, A.A. Акопяна, A.A. Саакяна [78].

Цель работы. Исследоване вопросов сходимости рядов Фурье функций имеющих ограниченную гармоническую вариацию, или после замены переменной. Нахождение оптимальной скорости роста степеней тригонометрических полиномов, образующих базис в пространстве непрерывных функций. Исследование проблем многомерной поточечной интерполяции полиномами.

Методы исследоааний. Применяются методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна и публикации. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты опубликованы в работах [6G]-[78].

Т соретическая и практическая значимость. Полученные результаты п р еде т an л я ю т теоретический интерес. Результаты и методы работы могут найти применение при изучении ортонормированных систем и при исследовании проблем многомерной полиномиальной интерполяции.

Аппробац-ия работпы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории функции действительного переменного в МГУ (руководители - B.C. Кашин, К.И. Осколков), на семинаре по математическому анализу в университете г. Дюисбурга (Германия, руководитель -К Иеттер), на математическом семинаре в университете г. Иена (Германия, руководитель - П. Освальд), на семинаре по теории приближений в университете г. Рострка (Германия, руководитель - Престин), на семинаре в Институте Математики Польской АН (руководитель - 3. Чисель-ски), lía семинаре по действительному анализу в Институте Математики HAH Армении (руководитель - A.A. Талалян), на школах по теории функций в Амберде (1987г.), в Одессе (1991г.), в Воронеже (1991г.), в центре Банаха в Варшаве (1086г., 1089г.), на международных конференциях по теории приближений в г. Вонешта Вода (Болгария, 1993г.), в г. Дортмунде (Германия, 1095г.), на Международном Математическом Конгрессе (Цюрих, 1994г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые делятся на 9 параграфов, и списка цитированной литературы.

Общий объем диссертации 180 страниц. Библиография содержит 89 наименований.

Прежде., чем перейти подробному описанию содержания диссертации, приведем ряд обозначений, которыми мы пользуемся ниже:

Rk - fc-мерное действительное евклидово пространство (Л := Л1);

Zk := {<тг = («[,... £ Rk : ai--целое число}, (Z :— Z1);

Z% := {n = (r*,,...,«*) € Zk : o, > 0}, (Z+ := Zj);

Hk(A), volk(A) - к-мерная мера Лебега измеримого множества А С

Л';

С(—тг,к)к - пространство непрерывных на Rk функций, 2я--перио-дических по каждой переменной;

С«(Л*) - пространство непрерывных на л* функций с компактным носителем;

7гп(Як) - пространство /¿-мерных полиномов суммарной степени < гс; Для конечной) множества Л* в Rk:

[Л'] - выпуклая оболочка множества Л';

#А - количество элементов конечной) множества А;

II. Содержания диссертации.

В параграфе 1.1 диссертации мы изучаем классы функций обобщенной ограниченной вариации и сходимость рядов Фурье по тригонометрической системе функций, которые имеют ограниченную вариацию в том или ином смысле. Хорошо известна следующая теорема Дирихле-Жордана (см., например, [1], стр. 121).

Теорема А. Если функция f имеет ограниченную вариацию на [0,27г], тогда

и) в каждой точке х 6 [0, 2п\ ряд (1.1) сходится к значению +

0) + /(* - 0)];

Г>) сели, кроме, того, /(ж) непрерывна в каждой точке отрезки [а, Ь] С [0, 2т], то ряд (1.1) сходится к f(x) равномерно на [«, ¿¡.

Эта теорема обобщалась многими авторами (см. [23], [44], [57], [34]), которые вместо обычной вариации рассматривали различные классы Уф

функций ограниченной Ф-вариации. Окончательный результат для этих классов получили Р. Салем [57] и Г. Гофман [23], доказавшие, что если Ф выпукла и Ф - дополнительная к ней в смысле Юнга функция, то для любой функции / € V<j> имеют место утверждения а) и б) теоремы А, если выполнено условие Ф(^) < оо. Необходимость этого условия

была доказана независимо К.И. Осколковым [4D] и А. Бернштейном [2].

В работе [35] Д. Ватерман рассмотрел новые классы функций ограниченной обобщенной вариации. Пусть Л = {А„, - возрастающая последовательность положительных чисел с условием ^^L, 1/А„ = оо. Говорят, что функция / имеет ограниченную Л-вариацию на отрезке [а, Ь], если

М/> [а, Ч) := sup > —^--- < оо,

где sup берется по всевозможным наборам непересекающихся интервалов (а„,Ьп) С (а,Ь). Через Voa(/i [°i Ц) обозначим этот sup при дополнительном условии, что Ь„ < а„+] для всех п — 1,2,..., или brt+] < ап для зсех п = 1,2,.... Через OABV (пространство функций ограниченной упорядоченной Л-вариации) обозначим пространство функций / с Vo\(f-, [а-> Ч) < В частности, когда Лп — п, тг = 1,2,..вместо A_Z?K и OABV пишут HBV (пространство функций ограниченной гармонической вариации) и OHBV соответственно. В работах [37] и [38] был поставлен вопрос:

Справедливо ли равенство ABV — OABV?

В вышеупомянутой работе [35] Д. Ватерман усилил результат Р. Салема и Г. Гофмана, доказав, что для любой функции ограниченной гармонической вариации имеют место утверждения а) и б) теоремы А.

Так как все определенные выше вариации инвариантны относительно гомеоморфной (непрерывной и взаимнооднозначной) замены переменной функции, то результат Ватермана, в частности, означает, что для непрерывных 27г-периодичес,ких функций имеет место включение

С(-к,к)ПНВУ С I/СУ,

где IIС17 - пространство функций / для которых ряд Фурье суперпозиции /от{х) равномерно сходится на [0,2тг] при любом гомеоморфизме отрезка [О, 27г]. В работах [36-38] был поставлен вопрос:

Имеет ли место равенство: С(—тг, тг) Л IIВУ — IIС V ?

Отрицательный отпет h;i первый вопрос при А = Н был получен К. Белим в [3]. Теорема 1.1.1 и следствие 1.1.2, доказанные в параграфе 1.1 дают окончательные (отрицательные) ответы на оба вопроса.

Вопросы сходимости кратных рядов Фурье функций ограниченной обобщенной вариации рассмотрены в параграфе 1.2. Для краткости изложения мы ограничились двумерным случаем, хотя все результаты этого параграфа справедливы в Rk, к > 1.

Для двойных рядов фурье в случае, когда их сходимость определяется по Прингсхейму, т.е. через прямоугольные частные суммы, аналог теоремы Дирихле-Жордана был доказан Г. Харди в [26]. Для этой цели им был определен класс функций ограниченной вариации на прямоугольнике. Б.И. Голубовым были введены классы Я,'^3 ф - аналоги классов \ф, и были найдены достаточные условия на функции <I>j, j — 1,2,3, обеспечивающие сходимость по прямоугольникам двойных рядов Фуре функций из этих классов (см. подробнее [25]).

Нами введен класс HBV функций ограниченной гармонической вариации для функций двух переменных (см. определение 1.2.1) и доказана теорема, обобщающая результат Б.И. Голубова:

Теорема 1.2.9. Пусть / £ HDV. Тогда

1) в каждой точке, где: существуют пределы f (х ±0,iy ±0), имеет место равенство

Ihn Sn м (/, X, y) = lYj(x± 0,!/ ± 0) ;

N,M — + oq 4 *—'

2) если f непрерывна в точках открытого множества Е С [—7г,тг]2, то сходимость равномерна на каждом компакте К С Е.

Заметим, что, в отличие от одномерного случая, ограниченность гармонической вариации функции не гарантирует существование пределов / (х ± 0,± 0). Центральную роль в доказательстве теоремы 1.2.9 игреат следующая теорема, доказывающая непрерывность гармонической вариации функции в точках ее непрерывности:

Теорема 1.2.7. Пусть / € HBV(D), D = I х Д. Тогда

а) если в точке (ж,у) £ D существует предел /(х + О,?; + 0),то

lim V/t(f; (.т, ж + е) х (у, у + е)) = 0;

£ —► О

б) если j(x, у) непрерывна в каждой точке открытого множества Е С D, то для любого компакта К С Е

lim Vn(f\ (х - е, х + е) х (у - £,у + ¿0) = О «—•о

равномерно по (х, у) Е К.

Отметим, что в работе А.И. Саблина [56] (независимо) была доказана теорема 1.2.9 при дополнительном условии, что имеют место утверждения а) и 6) теоремы 1.2.7. В работе О.Г. Саргсяна [59] уточнен пункт б) теоремы 1.2.9 (а также пункт б) теоремы 1.2.7), а именно, он доказал, что для равномерной сходимости по прямоугольникам ряда Фурье функции / £ HBV на компакте К С [—тг, х]2 достаточна ее непрерывность на этом компакте.

В параграфе 1.3 диссертации изучается вопрос равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной функции многих переменных после го-меоморфной (т.е. взаимнооднозначной и непрерывной) замены переменной. Хорошо известно, что ряд Фурье по тригонометрической системе непрерывной 27г-периодической функции /(х) может не сходится равномерно. Теорема Бора (см. [1], стр.303) гласит, что существует гомео-морфная замена переменной х — r(t), t 6 [—тг, тг] такая, что суперпозиция F = f о г имеет равномерно сходящийся ряд Фурье. Оригинальное доказательство этой теоремы было основано на методах теории комформ-ных отображений, что не позволяло обобщать ее как на многомерный случай, так и на другие системы. В работе [58] нами было предложено новое доказательство этой теоремы. Оказалось, что гомеоморфизм r(t) достаточно строить так, чтобы в разложении функции F по системе Фабера-Шаудера ненулевые коэффициенты были достаточно редкими (например, один коэффициент в каждой двоичной пачке). В многомерном случае мы применяем эту же идею относительно системы

B(2°(x-a)\Xk), а 6 [0, \}kD2~'Zk, л = 0,1..... ¡г е (0, l)fc, (1)

где 1?(а:|Х*)-линейный бокс сплайн с центром в начале координат. Это кусочно линейная непрерывная функция, определенная соотношением (см.[6]): для любой j 6 Cu(Rk)

( f(x)B(x\Xk)dx = f f(Uxl +---+tli+ixk+l)dU...dth+u

Jltk J{-\/2,1/2]* +1

\

где {т.\... - стандартный базис R.k и xk+l х1 + • • • +хк. Система (1) является многомерным аналогом системы Фабера-Шаудера и была построена 3. Семадени (см.[GO], стр. G3) несколько иным способом. Она является базисом в пространстве. С(0,1)*. Справедлива следующая

Теорема 1.3.1. Пусть / £ С(0, и 1 < .ч! < а-2 < • • • - последовательность натуральных чисел. Тогда существуют последовательность

и гомеоморфизм т(х) куПп [0,1]* такие, что коэффициенты cn(F) разложения суперпозиции F(x) := / о т(х) по системе (1) удовлетворяет условию:

£ < оо (3)

Доказав, что при подходящем выборе последовательности {.s,}, из условия (3) вытекает равномерная сходимость ряда Фурье функции F, (здесь весьма полезной оказалась интегральная формула (2)) мы отсюда выводим многомерный аналог теоремы Бора:

Теорема 1.3.3. Для произвольной функции / 6 С(—тг, тг)*"' существует гомеомо])фнзм т (х) куба [—я, я-]* такой, что ряд Фурье суперпозиции /от равномерно сходится по прямоугольникам и по сферам.

Аналогичное утверждение доказано для одномерной системы Уолша:

Теорема 1.3.6. Для произвольной функции f £ С (0,1) существует гомеоморфизм т (х) отрезка [0,1] такой, что ряд Фурье-Уолша суперпозиции / о г (х) равномерно сходится на [0,1].

Отметим, также, что гомеоморфизм г (ж) можно подобрать так, чтобы одновременно равномерно сходились ряды Фурье суперпозиции / о т (х) и по тригонометрической системе, и по системе Уолша.

Параграф 1.4 посвящен изучению вопроса полноты всплеск систем и их применнении для построения базиса из тригонометрических полиномов с оптимальным ростом их степеней. Как известно, всплеск - это функция ф сжатия и сдвиги которой порождают ортонормированную систему в L2(R):

Ф = Ы'мЬе^е* = 2*^(2*1 - £). (4)

Теория всплесков возникла в начале 80-х годов и сейчас является одной из наиболее активно развивающихся областей теории приближений (см. [46], [18]). В диссертации рассмотрены более общие системы в многомерном случае (отметим, что в этом случае полная всплеск система обязана быть порожденной несколькими функциями), но для краткости и простоты изложения мы приведем одномерные аналоги полученных результатов.

Мы изучаем пространстиво S(i') - замыкание в L2 линейной оболочки системы Ф с помощью функции Литтльвуда-Пэли:

Q(0 = <W0:=£ iv^OI2-

к&г

где ф - преобразование Фурье функции ?/>, Для всплеск систем, порожденных MRA (Multiresolution Analysis), полное описание этого пространства получено в [43], где доказано, что если

fio := {f : Q(0 = 0}, Í2, := {f : Q(£) - 1}, SI. := R' \ {Í2, U fi„}

и 1

JF(Sl) := {/ € L\R"): suppf С П},

тогда 5(Ф) = ЩПi), /i(íl.) = 0 и 5(Ф) 1 IF(Sl0). В общем случае справедлива

Теорема 1.4.1. Если Ф ортонормированная система вида (4), тогда

О-ЩПОСЗДС IF(Q, UÍ2») ii) IF(Slo) -L 5(Ф)

in) Если /i(üt) > 0, ro JF(ííi) ф S{Ф) ф IF{Qi U П,)

iv) Для произвольной функции / е L2(R) с [¡(suppf П ii») > 0, существует функция г/ 6 12(7?) такая, что |¿(£)| = \f{0\ ДРИ £ € R' и g не принадлежит 5(Ф).

Из этой теоремы непосредственно вытекает следующее следствие, обобщающее результат Ч. Чюи и К. Ши из [10], утверждавший, что для полных ортонормированных систем вида (4) имеет место равенство Q = 1 п.в. на R.

Следствие 1.4.2. В условиях теоремы 1.4.1:

i) Система Ф поли» тогда и только тогда, когда С){(,) = 1 п.в. на 7?.

И) IF(il) С 5(Ф) при некотором SI С R тогда и только тогда, когда Q С üi.

ш) 5(Ф) = IF(Ü) при некотором Л С Л. тогда и только тогда, когда //(«,) = 0 и П =

Ил теоремы 1.4.1 следует, что если /¿(П„) > 0, тогда существуют функции /, (/ £ L2 такие, что |/(£)| = |.<К01 для всех Ли при этом / £ £(Ф), а у $ 5(Ф). Так как любое инвариантное относительно сдвигов подпространство L2 имеет вид /^(П) при некотором ii С /?, отсюда вытекает, что пространство S('i') инвариантно относительно сдвигов тогда и только тогда, когда = Ü.

Центральную роль в доказательстве указанных результатов играет теорема 1.4.G, имеющая, на наш взгляд, самостоятельный интерес. Из этой теоремы легко вытекают также оценки для границ так называемых "Frame" систем полученные ранее в работах [15] и [17] (см. следствие 1.4.11).

Другим интересным следствием теоремы 1.4.G является теорема 1.4.12, которую можно назвать теоремой Пифагора для ортогональных разложений в L2. Согласно этой теореме, если подпространства V и Wk имеют ортонормированные базисы {</>(• — и — ibk)}i£7. со-

ответственно, то из ортогонального разложения V — (BkezWk вытекает равенство:

Аналогичная формула для всплеск систем порожденных MRA хорошо известна. В теореме 1.4.13 мы докалываем, что для произвольной неполной ортонормированной всплеск системы Ф вида (4) порожденной MRA существует вторая такая система, которая вместе с первой образует полную ортонормированную систему в Z2.

В конце параграфа 1.4 мы показываем, как с помощью всплеск систем можно построить ортонормированный базис для прострпанства непрерывных, 2л"-периоди- ческих функций С(0, 2ж), состоящий из тригонометрических полиномов с оптимальным ростом их степеней:

Теорема 1.4.14. Для произвольного s > 0 существуют тригонометрические полиномы Т„, п — 1,2,..,, образующие ортонормированный базис в пространстве С (О,2тг), при этом

deg(Tn)<i(l + £)n. (5)

Более того, для любого п, произвольный тригонометрический полином степени не выше (1/2)(1 — е)п содержится в линейной оболочке первых п функций этого базиса.

Эта теорема дает окончательный ответ на вопрос, имеющий долгую историю. Хорошо известно, что тригонометрическая система не является базисом в пространстве С(О,2тс). С другой стороны, из общей теоремы о стабильности базисов вытекает существование базиса в этом пространстве, состоящего из тригонометрнических полиномов Т„, п = 1,2,.... Вопрос о скорости возрастания степеней этих полиномов изучался во многих работах, начиная с 1014г., когда Фабер (см. [21]) доказал, что равенство degTn = [n/2j не может иметь места при бесконечно многих п. Общую постановку этой задачи можно найти в работах П.Л. Ульянова [31], [32]. Окончательный ответ был получен A.A. Приваловым, который доказал, что для любого базиса из тригонометрических полиномов существует число £ > 0 с условием deg Tn > |(l-f е) и, с другой стороны, построил для заданного £ > 0 базис с условием (5) (см. [51], [52]).

Для ортономированных базисов вопрос остовался открытым. Орто-нормированные базисы с различными скоростями роста степеней полиномов были построены в работах З.А. Чантурия ([11], »I+e), C.B. Боч-карева ([10], 4п), A.A. Привалова ([53], |п), П. Войтащика и JI. Возня-ковского ([61], |п) и др. Существенным шагом в этом направлении была работа К.И. Осколкова и Д. Офина [50] которые, впервые применив пе-риодизированные всплеск системы, получили оценку deg(T„) < (1 + ejn. В доказательстве теоремы 1.4.14 мы показываем, как применив вместо всплесков так называемые всплеск пакеты, можно получить оптимальный рост (5).

В параграфе 1.5 диссертации мы изучаем вопросы единственности всюду сходящихся переставленных рядов по тригонометрической системе, системе Уолша и по ортонормированным базисам пространства непрерывных функций С(0,1). Хорошо известна теорема В алло Пуссена

(rat. [1], стр. 08G), согласно которой, если ряд

«о

+ ^^ пп cos пх -f Ьп sin пх

всюду, кроме, быть может, счетного множества точек сходится к всюду конечной, суммируемой функции f(x), то .этот ряд является рядом Фурье функции f(x). Это, в частности означает, что если тригонометрический ряд всюду, кроме, быть может, счетного множества точек сходится к нулю, то его все коэффициенты равны нулю.

В работе [20] В.Я. Козлов построил пример тригонометрического ряда, некоторая подпоследовательность частичных сумм которого всюду на [0,27г] сходится к нулю, но не все коэффициенты этого ряда равны нулю. Однако множество коэффициентов построенного им тригонометрического ряда не ограничено. Вопрос о том, можно ли построить такой ряд со стремящимся к нулю коэффициентами, остается открытым.

До сих пор не решен также вопрос, поставленный в совместной работе С.В. Стечкина и П.Л. Ульянова [13]: обязаны ли коэффициенты тригонометрического ряда, который после некоторой перестановки сходится к нулю всюду на [0, 2тт], быть равными нулю.

Для системы Хаара {х'пМ} результат, аналогичный теореме Валле-Пуссена, не имеет места. Более того, Г. Фабером (см. [9]) был построен пример ряда по системе Хаара, который всюду на [0,1], кроме одной точки сходится к нулю, но не все коэффициенты которого равны нулю. В работе [4] Ф.Г. Арутюнян и A.A. Талалян определили естественный класс А, состоящий из рядов по системе Хаара:

оо

^önXnM,

В=1

коэффициенты которых удовлетворяют условию

lim lönJIXnWn1 = 0, ~ : Xnfa) Ф 0}.

К—.ОО

для произвольной точки х € [0,1]. Отмстим, что в класс А входят, в частности, все ряды по системе Хаара с равномерно ограниченными коэффициентами. В этой же работе была доказана

Теорема В. Если некоторая подпоследовательность частичных сумм ¡>яда по системе Хаара из класса А всюду на [0,1], кроме, быть

может, счетного множества то чех сходятся к всюду конечной, суммируемой функции j{x), то этот ряд является рядом Фурье функции /(х).

Отсюда, в частности следует, что подпоследовательности частичных сумм двух различных рядов из класса А не могут сходитсься к одной и той же интегрируемой функции всюду на [0,1], кроме, быть может, счетного множества точек. Тем не менее имеет место следующая теорема, доказанная В.А. Скворцовым в работе [14]:

Теорема С. Существуют два различных ряда из класса А, некоторые подпоследовательности частичных сумм которых: {Snk(х)}, -первого ряда и {Qmk - второго, всюду сходятся к конечной функ-

ции f(x).

Сравнивая теоремы В и С убеждаемся, что равенство = n¿ может выполняться только для конечного числа пар (к, г).

Ниже через Ф = {</>„(2)} J¡=1 мы обозначаем любую из следующих систем: а) Ортонормированный базис пространства С(0,1), в) Система Уолша,

с) Тригонометрическая система, определенная на [0,1]. Для этих систем справедливы теоремы:

Теорема 1.5.Х. Существуют ряды

оо оо

Х><' Ws), 5>Í?W*), a'1»*«?» (G)

л=1 n—í

и перестановки о^ — , а = 1;2 такие, что

1) lim c4,a) = 0, а = 1;2,

П—»00

2) Перес т явленные ряды

со со

«=1 п=1

всюду на [0,1] сходятся к одной и той же всюду конечной функции f(x) efe 0,1) для всех р 6 [1,2).

Теорема 1.5.2. Существуют ряды (6) с условием 1) теоремы 1.5.1 такие, что некоторые подпоследовательности частичных сумм:

{Snt(x)}^Ll - первого рядл И {фт*(г)}*^=1 -второго, сходятся к конечной функции f{x) всюду на отрезке [0,1].

Теорема 1.5.1 (для системы Хаара она Пыла доказана Г. М. Муше-гянои (см. [7], [8])) устанавливает, в пространствах ¿р(0,1), 1 < р < 2 для различных перестановок нет единствености, т.е. ряд, который после некоторой перестановки всюду сходится к данной конечной всюду функции /(г), не единственный. Это означает, в частности, что для тригонометрической системы существует перестановка при котором не верна теорема Валле-Пуссена (даже для сходимости всюду). Несмотря на это, некоторые из рассмотренных систем могут обладать свойством единственности, т.е. из сходимости всюду на [0,1] переставленного ряда S^Li ¿Mn) Wcji^) следует, что и„ = 0, п = 1,2, — Для системы Хаара это было установлено Г.М. Мушегяном в [G]. Более того, он доказал, что если переставленный ряд из класса А всюду, кроме , быть из класса А сходится всюду на [0,1], кроме, быть может, счетного множества точек к всюду конечной функции / £ £2(0,1), тогда он является рядом Фурье функции /.

Сравнивая этот результат с теоремой 1.5.1, мы обнаружим интересное "явление" для системы Хаара.: хотя при фиксированной перестановке имеет место единственность, но "интеграл", восстанавливающий коэффициенты всюду сходящегося ряда не совпадает, вообще говоря, с интегралом Лебега даже для функций из пространства Х7'(0,1), 1 < р < 2.

Теорема 1.5.2 показывает, что для различных подпоследовательностей частичных сумм в классе рядов со стремящимся к нулю коэффициентами нет единственности. Это, конечно, не означает, что нет единственности для фиксированной подпоследовательности частичных сумм. Например, для системы Хаара имеет место теорема 1.5.2 (см. теорему С), но как показывает теорема В, при фиксированных n*, к = 1,2,... ряд из класса А, частичные суммы которого по этим номерам сходятся всюду к конечной функции f(x), единственный.

Вторая глава диссертации посвящена многомерной полиномиальной интерполяции. В основном мы рассматриваем поточечную интерполяцию Эрмита. Для произвольного набора неотрицательных целых чисел М = {пь ..., па; п} и множества узлов Z — {z„ = (х„, ?/„)} J=1 С R2 интерполяционная задача Эрмита (fi,2) состоит в нахождении (един-

ственного) полинома Р £ тгп(Я2) (суммарной степени < п) такого, что

д{+>Р(г) , дх'ду■>

г+1<пи, г> = 1,...,л, (7)

для заданного набора чисел {А;0|1/}. Очевидным необходимым условием регулярности (разрешимости) этой задачи является равенство количества уравнений в (7) с размерностью пространтсва я"„(Л2). В последнем случав // называется интерполяционной схемой (Л/- € /5).

Интерполяционная схема М называется регулярной, если интерполяционная задача Эрмита (N,2) регулярна хотя бы для одного множества узлов 2 (тогда она оказывается регулярной для почти всех 2 относительно меры Лебега в Л2'; отметим, что регулярность для всех 2 возможно только в тривиальном случае интерполяции Тейлора в одной единственной точке, т.е. при 5 = 1). В противном случае схема называется сингулярной. Вопрос описания регулярных схем был поставлен в работе [40] и, несмотря на множество работ в этом направлении, до сих пор остается открытым.

Эквивалентное определение: схема У/ называется сингулярной, если для любого множества узлов существует ненулевой полином Р с условиями

Р€тгп(Д2), Рф 0, 0ЛГР\2=0. (8)

(т.е. имеет место (7) с А;^,, = 0). Это определение позволяет изучать проблему для произвольных (не только интерполяционных) схем, что и сделано в диссертации. Геометрически второе определение сингулярности означает существование алгебраической кривой степени < п, проходящий через заданное множество узлов 2 с кратностью ЛГ, т.е. через с кратностью п„. Поэтому изучаемая проблема является предметом исследований также для специалистов алгебраической геометрии (см., например, [28],[29], [48]).

Параграф 2.1 диссертации посвящен изучению детерминанта системы уранений (7) (относительно неизвестных коэффициентов полинома Р). Так как регулярность интерполяционной схемы эквивалентно тому, что этот детерминант не равняется нулю, то теорема 2.1.7 фактически описывает ме.тод определения регулярности интерполяционной схемы в зависисости от геометрических свойств множества пар (г,У), учавству-ющих в равенстве (7). Этот метод применялся также в ряде работ Дж. Лоренца и Р. Лоренца (см. [39], [41], [42]) при доказательстве регулярности равномерной интерполяции Эрмита, когда щ = ■ ■ • = п, = 3 или 4.

Он аналогичен хорошо известному в одномерном случае методу изучения интерполяционных матриц Биркгофа. (см., например, [22], [47]).

Применив теорему 2.1.7 мы доказали следующую теорему о диагональной интерполяции Биркгофа, когда в каждом узле 2„ полиномом степени п интерполируются только производные порядка пи — 1.

Теорема 2.1.9. Для регулярности диогональной интерполяционной задачи Биркгофа (А/, 2) при почти всех множествах узлов 2, необходимо и достаточно выполнение следующих условий Полня:

п*>1+2 + ---+3, з — 2,. ..,п.

"'•Пу <]

Необходимость этих условий вытекает из общего результата доказанного в [40]. На теорему 2.1.7 опирается также доказательство теоремы 2.2.5 о регулярности интерполяционных схем с условием

«10 <1, П) + 11'2 + п3 < п. (9)

(здесь и ниже мы считаем, что П) > п2 > • • • > п.,). Эта теорема ранее была доказана в [48] методами алгебраической геометрии.

Важную роль в исследованиях интерполяционных схем играет (см. [64], [27])

Теорема Пусть Я — {гц,..., п5; п} € 1Б, п\ > п2 > пз > 0. \) Если Т11 4- п2 = и + 1, тогда схемы N и

Xх - = (»1 - 1, п2 - 1, Пз,... ,п,\п - 1}

регулярны или сингулярны одновременно.

П) Если п| 4- гс2 < п 71.) 4- п2 + п3 = п 4- t (I 6 21), тогда схемы

N и

Я* = А/",* 2>3 = {п I - <,п2 -1,п Х,. . . ,П„\П - Ь}

регулярны или сингулярны одновременно.

Схемы А/"* и М* мы называем редукцией и квадратическим преобразованием схемы М соответственно. Аналогично определяются редукция и квадратическое преобразование относительно других членов схемы М. Отметим, что квадратическое преобразование может быть применено и

относительно нулевых членов схемы (тогда t > 0), которые, если это необходимо, могут быть добавлены к схеме. Квадратическое преобразование можно считать числовым аналогом известного в алгебраической геометрии квадратического преобразования алгебраических кривых (см. [33], теорема 7.2).

Теорема Б сводит изучение регулярности интерполяционных схем к следующим трем случаям:

1) 5 = 1, П1 = П + 1 2) П\ + П2 > П + 1 3) П1 + П2 + пз < п. (10)

Легко доказать, что в первом случае схема А[ регулярна, а во втором случае - сингулярна. Существует гипотеза (см. [29] и [67]), что в третьем случае он а регулярна. В настоящее время эта гипотеза доказана (см. [65], [27]) для схем, имевших "не очень много" членов больше единицы, точнее, удовлетворяющих условию:

Заметим, что из (9) вытекает условие (11), поэтому эта теорема является усилением вышеупомянутой теоремы 2,2.5.

Во второй части параграфа 2.2 мы приводим другой (числовой) подход к изучению интерполяции Эрмита. Мы рассматриваем классе, ЬС очевидно сингулярных схем Я с условием ^^ т„ < т + 1 (т.е. количество уравнений в (7) меньше количества неизвестных и поэтому существует полином с условиями (8)). Затем вводим понятие числовой кривой как схемы (также очевидно сингулярной; см. определение 2.2.7 и ниже) представимой в виде конечной суммы схем из ЬС. Мы предполагаем, что справедливо и обратное утверждение:

Гипотеза 2.2.8. Любая сингулярная схема является числовой кривой.

Оказывается, что эта гипотеза эквивалентна предыдущей (см. [65], [27]) и верна, в частности, для схем, которые имеют самое большее девять членов больше единицы. Отметим, что гипотеза 2.2.8 была высказана также в работе [55] (для интерполяционных схем).

Простейшая числовая кривая - это, конечно же, схема {1,1; 1). Важную роль в наших исследованиях играют простые числовые кривые

(И)

и-.Пу >1

(PNC), т.е. схемы, которые получаются ил {1,1; 1} применением конечного числа квадратических преобразований. Следующая теорема показывает, что квадратическое преобразование может быть применена относительно любых трех членов к любой простой числовой прямой, отличной от {1,1; 1).

Теорема 2.2.19. Пусть А = {оь ..., rv,; rv> G PNC, А ^ {1,1; 1}. Тогда

max (о, + rv,-) < г*.

I < 1 < J < ч 3 ~

Интересно отметить инвариантность относительно квадратических П1)еобразований важных числовых характеристик схем, таких как

S .4

а)77:= n^-rT+T+l; Ь) (jV,M) :=^n„m„-nm; с) (Af) := {М,Я).

1/=1 1

Инвариантность а) означает, что квадратическое преобразование интерполяционной схемы или числовой кривой является интерполяционной схемой или числовой кривой соответственно. Вторая величина (скалярное произведение схем) тесно связана с известной из алгебраической геометрии теоремой Безу, согласно которой если два полинома Р и Q степени п и m соответственно в точках г„ имеют нули порядка пи и т„ соответственно, то из условия (ЛГ,М) > 0 следует, что они имеют общий множитель (см. [33]). Оказывается, что этот алгебраический результат имеет свой чисто числовой аналог (см. [63], [27]): если числовые кривые N и М удовлетворяют условию (J\f,M) > 0,. тог да существует простая числовая кривая Л 6 NPC такая, что (Af,A) > 0 и (А4,А) > 0, или, что одно и то же Л содержится в канонических разложениях схем Af и М. (см. теорему Е ниже).

Как было отмечено выше в исследовании нуждаются схемы, удовлетворяющие третьему условию в (10), названные в диссертации базисными схемами (BS), а также схемы, которые становятся базисными после применения конечного числа квадратических преобразований (Э-базисные, BS*), или редукционных и квадратических преобразований (П-базисные, DSх"). Класс BS* Э-базисных схем характеризуется следующей теоремой:

Теорема 2.2.8. (i) Для того, чтобы схема jV была Э-базисной, необходимо и достаточно выполнение условий:

(Л,jV) < 0 длз всех А 6 PNC.

и) если ЛС/ б ВБ*, V — 1,... к, тогда

к

6 ВБ*,

где А„ £

Как вышеупомянутый числовой аналог теоремы Белу, так другие интересные результаты основаны на каноническом разложении схем, которое описывается следующей теоремой (см. [63], [27]).

Теорема Е. Для произвольной схемы М £ ВБХ* существуют конечное множество простых числовых кривых РЛ'С\г, Э-бизисная схема Л/"* и натуральные числа /ад = Ра,Я такие, что

£ ^лА-^МК (12)

с условиями ортогональности:

(А, В) — 0 для всех Л,В£РМС^, А ¿В, (А,ЛЛ) = 0 для чсех А<=РНСм. ^

Более того, разложение (12) с условиями (13) единственное.

В параграфе 2.3 диссертации мы изучаем свойства канонических разложений схем, рассматриваем вопросы разлагаемости числовых кривых, а также их приложение к алгебраическим кривым. Следующий результат показывает, что базисные схемы с 77 — 0, за одним исключением, не разлагаются на числовые кривые.

Теорема 2.3.1. Пусть для схемы ЛГ £ В Б* с ¿7=0 имеет место разложение:

ЛГ = ЛГ1 + ^£N0, 5 >2.

Тогда

АГ~\С0,

где Со = {1,..., 1; 3} -схема с девятью членами и А - наибольший общий делитель членов и степени схемы N. Более того,

X ~ А^о, £А, = А.

1=]

D следующих двух теоремах устанавливается максимальное количество простых кривых в каноническом разложении (12).

Теорема 2.3.12. Пусть (J\fj U А - ортогональное семейство схем с N G BS', А С PNC и

suppA С suppN, если Яь = ХЕ,Г (14)

Тогда

ft.suppAf — 1, если jV ~ {mj, mn; т\ + тг},

#А < d(M) := , . г.

\ #яиррМ — tysuppN , с проитивном. случае.

Более того, существует множество А' С PNC с условием (14) такое, что А С А', {Л/*} U А' - ортогональное семейство и #А' — d(Af).

Теорема 2.3.14. Допустим А - ортогональное семейство простых числовых КрИВЫХ с SUppA С U С Z+ л

du(A) := япр{#А' : А С А' С PNC, .чиррА'.С U, А' ортогонально}. Тогда

du(A) = #U- 1 или dv{A) = #V.

Завершает параграф 2.3 ряд приложений полученных результатов в алгебраической геометрии. Следующая теорема устанавливает связь между разложимостей алгебраических кривых и схем.

Теорема 2.3.26. Допустим схема Я сингулярна и для любого множества узлов 2 £ Р С Л'1', где volзяZ > 0, существует приводимый полином Р = Рг, удовлетворяющий (8). Тогда

Я = мх +лг2,

где схемы Mi ф 0 сингулярны.

В теореме 2.3.27 мы доказываем, что если А = {c*i,... , ft.,; а} £ PNC, то для почти любого множества узлов Т = {¿i,..., ¿„} существует единственая алгебраическая кривая Лт степени а проходящая через узлы с кратностью Более того кривая AT не содержит сингулярных

точек вне 7", квадратически эквивалентна прямой и следовательно является неприводимой. 'Аналогичные результаты получены для Э-базисных схем сАГ-Ои для сингулярных схем.

В параграфе 2.4 диссертации изучается интерполяция Эрмита в Rk при к > 2. Несмотря на кажущуюся схожесть, случай к > 2 существенно отличается от случая к — 2 и здесь не много результатов. Мы определили редукцию и квадратическое преобразование схем в Rk и доказали что они переводят регулярную (сингулярную) схему в регулярную (сингулярную). Для квадратическош преобразования доказательство аналогично случаю к = 2, а для редукции оно опирается на следующую теорему, имеющую самостоятельный интерес:

Теорема 2.4.7. Пусть Af = {гц,... ,пь',п} произвольная схема с условием

nj +----b nt = (к - 1)п + /, I > 0 (15)

и пусть Z — {zj,..., z*} С Rk - множество узлов с valk-\{Z] ф 0.

Тогда для любого полинома Р € irrl(Rk) с D^ Р| = 0 имеет место разложение:

Р = L'G, а; € Л*,

где G € 7rn_i(Rk) и L(x) =0, L £ n1(Rk) - уравнение гиперплоскости £ содержащего множество Z.

Основной результат параграфа 2.4 - описание регулярных схем с количеством членов < к + 2:

Теорема 2.4.13. Схема, Af = {гц,..., »} с 0 < п» < и регулярна тогда и только тогда, когда

щ + ...+nk+2 > kn+l. (1С)

Более того, если имеет место (10), то (Я, 2) регулярна при любом множестве узлов 2 с

volk{2\{z„}) !/= 1,...,А + 2.

Отсюда вытекает, что при к > 2 все интерполяцонные схемы с у словом л < А: + 2 сингулярны, за исключением нескольких очевидно регулярных схем. Для интерполяционных схем с условием .ч < А: + 1 этот результат был доказан в [39] (см. также [45] для к = 2).

В конце параграфа 2.4 мы доказываем результат (теорема 2.4.17), показывающий существенную разницу (для нашего подхода к изучению проблемы) между случаями /'■ = 2 и к > 2. Мы отмстили, что при к = 2 величина 77 инвариантна относительно двух преобразований: редукции и квадратического преобразования. В частности, они преобразуют интерполяционную схему в такую же схему. Теорема 2.4.17 показывает, что при к > ,1 это уже не так: величина Ж убывает при первом преобразовании и убывает (возрастает) после второго, если / > 0 (/ < 0), где I определяется равенгством (16).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бари Н.К., Тригонометрические ряды, Москва, "Физматгиз", 1961.

[2] Baernstein A., On the Fourier series of functions of bounded ^-variation,

Stadia Math., 42 (1972), 3, 243 248.

[3] Behia C., On ordered harmonic variation, Proc. Amer. Math. Soc., 80 (1980), G, 441-444.

[4] Арутюнян Ф.Г., Талалян A.A., О единственности рядов по системе Хаара и Уолша, Изв. АН СССР, сер. матем, 28 (19G4), 1391-1408.

[5] de Boor С., De Yore R., Approximation by smooth ultivariate splines, Trans. Amer. Math. Soc., 270, 1983, 775-788.

[6] Мушегян P.M., О восстановления коэффициентов всюду сходящегося

переставленного ряда Хаара, Мат. сборник, 130(172), (1986), No.l.

[7] Мушегян Г.М., О единственности всюду сходящегося переставленно-

го ортогонального ряда, Доклады АН СССР, 299 (1988), 1, 53-57.

[8] Мушегян Г.М., О коэффициентах всюду сходящихся рядов по системе

Хаара с переставленными членами, Изв. АН Арм. ССР, 13, (1978), 4, 275-300.

[9] Faber G., Uber die Orthogonal funetionen des Herrn Haar, Jahrebericht

Math. Vereinigung, 19, (1910), 104-112.

[10] Бочкарев C.B., Построение интерполяционного диа.дического базиса в пространстве непрерывных функций на основе ядер Фейера, Труды МИАН СССР, 172 (1985), 29-59.

[11] Ча.нтурия З.А., О базисах пространства непрерывных функций, ДАН СССР, 187 (1969), 284-286.

[12] Chui, С. К., An Introduction to WavcltU, Academic. Press, Boston, 1992.

[13] Стечкин С.Б., Ульянов П.Л., О множествах единственности, Изв. АН СССР, сер. матем. 26 (1962), 211-222.

В.А. Скворцов, О единственности: рядов Хаара по подпоследовательностям частичных сумм, Мат. заметки, 4 (1968) 707-714. Cliui, С. К. and Shi, X., Inequalities of Littlewood-Paley type for frames and wavelets, SIAM J. Math. Anal., 24 (1993), 263-277. Chui, С. K. and Shi, X., Inequalities on matrix-dilated Littlewood-Paley energy functions and oversampled affine operators, Texas A& M University, CAT Report #337, 1994.

Chui, С. K., Stockier, J. and Ward, J. D., Analytic wavelets generated by radial functions, Adv. Сотр. Math., 1995.

Daubechies, I., Ten Lectures on Wavelets, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1992. Качмаж С., Штейнгауз X., Теория ортогональных рядов, Москва, "Наука", 1958

Козлов В.Я., О полных системах ортогональных функций, Мат. сборник, 26(68), (1950), 351-364.

Faber, G., Uber die interpolatorische Darstellung stctiger Funktionen, Jber. Deutsch. Math.-Verein., 23 (1914), 192-210. Ferguson D.R., The question of uniqueness for G.D. Birkhoff interpolation problems, J. Approx. Theory, 2 (1969), 1-28. Goffman C., Everywhere convergence of Fourier series, Indiana Univ. Math. J., 20 (1970), 2, 107-112.

Olevski A.M., Fourier series with respect to general orthogonal systems, Springer-Verlag, Berlin, 1975.

Голубов Б.И., О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной обобщенной вариации, Сиб. Мат. журнал, 15 (1974), 2, 262-292.

Hardy G., On double Fourier series and especially those which represent double zeta-function with reale and inkommensurable parameters, Quart. J. Math., 37 (1906), 1, 53-79.

Hakopian H., Multivariate Polynomial Interpolation. Habilitation sur vey, Mathematical Institute of Polish Acad. Sci., Warsaw, (1994). Hirschowitz A., La methode de Horace pour le interpolation plusieurs variables, Man. Math. 50, 1985, 337-388.

Hirschowitz A., Cohomologie des diviseurs sur les surfaces rationelles, J. Reine Angew. Math., 397 (1989), 271-293.

Кашин B.C., Саакян А.А., Ортогональные ряды, Москва, Наука", 1984,

[31] Ульянов П.Л., Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов, УМН 19 (1964), 1, 3-G9.

[32] Ульянов П.Л., Метрическая теория функций, Труды Мат. Института им. Стеклова, 182 (198С), 5, 180-223.

[33] Walker R., Algebraic curves, Princeton, New Jersey, 1950.

[34] Wiener N., The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients, Massachusetts, J. Math., 3 (1924), 72-94.

[35] Waterman D., On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation, Studia Math., 44 (197G), 1, 107-117.

[36] Waterman D., On A-boumled variation, Studia Math., 57 (1976), 1, 33-45

[37] Waterman D., Л-hounded variation: resent results and unsolved Prob lems, Real Anal. Exchange, 4 (1978-79), 67-85.

[38] Waterman D., Generalized bounded variation - resent results and open questions, Real Anal. Exchange, 5 (1979-80), 1.

[39] Lorentz R.A., Multivariate BirkhofF Interpolation, Lecture notes in Mat. 1516, 1992, Springer-Verlag.

[40] Lorentz G.G., Lorentz R.A., Multivariate interpolation, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, Berlin, 1105, 1D84, 130-144.

[41] Lorentz G.G., Lorentz R.A., Solvability of bivariate interpolation II: Applications, Approx. Theory and its Appl., 3, 1987, 79-97.

[42] Lorentz G.G., Lorentz R.A., Bivariate Hermite interpolation and applications to algebraic geometry, Num. Math. 57 (1990), 669-680.

[43] Lorentz, R. A. and Madych, W. R., Translation and dilation invariant subspac.es of L2(R) and multiresolution analyses, preprint, 1995.

[44] Marcinkiewicz J., On a class of functions and their Fourier series. Compt. Rend. Soc. Sci. Varsowie, 20 (1934), 71-77.

[45] A. Le Mehaute, Interpolation et approximation par des functions polynomales par morceau dans 7in, Dissertation, Universite de Rennes, 1984.

[46] Meyer, Y., Ondelettes et Operateurs, I: Ondelettes, Hermann, Paris, 1990.

[47] Nemeth A.B., Mathematica (Cluj), 8 (190G), 315-333.

[48] Nagata M., On rational surfaces II, Mem. Coll. Sci. Kyoto, 33 (19G0), 271-293.

[49] Осколков К.И., Обобщенная вариация, индикатриса Банаха и равномерная сходимость рядов Фурье, Мат. Заметки, 12 (1972), 3, 313-324.

[50] Offin D., Oskolkov K.I., A note on orthonornial polynomial bases and wavelets, Constructive Approximation, 9, (1993), pp. 319-326.

[51] Привалов А.А., О росте степеней полиномиальных базисов и приближения тригонометрических проекторов, Мат. Заметки, 42, (1987), 2, 207-214.

[52] Привалов А.А., О росте степеней полиномиальных базисов, Мат. Заметки, 48 (1990), 4, 69-78.

[53] Привалов А. А., Об одном ортогональном тригонометрическом базисе, Мат. Сборник, 182 (1991), 3, 384-394.

[55] Paskov S.H., Singularity of bivariate interpolation, J. Approx. Theory, 75, (1992), 50-67.

[56] Саблин А.И., О равномерной сходимости кратного ряда Фурье, МГУ, 1986, 27стр., Рукоп. деп. в ВИНИТИ 03.11.86, 7527-В.

[57] Salem R., Essais sur les series trigonometriques, Actualite Sci. et in-dustr., 862 (1940), Paris.

[58] Саакян А.А., О свойствах коэффициентов Фурье суперпозиции функций, ДАН СССР, 248 (1979), 2, 302-306.

[59] Саркисян О.Г., О сходимости и явления Гиббса кратных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации, Известия НАН Армении, 28 (1993), 3, 3-20.

[60] Semadeni Z., Shauder bases in Banach spaces of continuous functions, Lecture Notes in Math., 918 (1982), 1-136.

[61] Wojtaszczyk, P. and Wozniakowski, K., Orthonormal bases in function spaces, Israel J. Math., 75 (1991), pp. 167-191.

[62] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, Москва, "Мир", 1965.

[63] Gevorgian O.V., Hakopian H.A., Sahakian A.A., Bivariate Hermite interpolation and numerical curves, Proc.of the International Conference on Open Problems in Approx. Theory, Voneshta Voda, (1993), Bulgaria.

[64] Акопян А.А., Геворгян О.В., Саакян А.А., О двумерной полиномиальной интерполяции, Мат.сборник, 183,(1992), 6, 111-126.

[65] Gevorgian O.V., Hakopian Н.А., Sahakian A.A., On the bivariate Hermite interpolation problem. Constructive Approximation, 11, (1995), 23-36.

Результаты диссертации содержатся в следующих работах:

[66] Саакян А.А., О теореме Бори для кратных тригонометрических рядов, Мат. Заметки, 40 (1989), 2, 94-103.

[67] Саакян А.А., Акопян А.А., Геворгян О.В., С) двумерной интерполяции Эрмита, Мат. Заметки, 48, (1990), 137-139.

[08] Саакян А.А., О функциях ограниченной Л-вариации, Доклады АН Арм. ССР, 81 (1985), 2, 54 58.

[G9] Саакян А.А., О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации, Изв. АН Арм. ССР, сер. мат., 21 (198С), 6, 517-529.

[70] Саакян А.А., Мушегян Г.М., С) единственности всюду сходящегося ле2)еставленного ряда по тригонометрической системе и по ортонор-мированным базисам пространства С(0,1), Изв. АН Арм. ССР, 22 (1987), 6, 543-584.

[71 ] Саакян А.А., Акопян А.А., Многомерные сплайны и полиномиальная интерполяция, Успехи Мат. Наук, 48, (1993), N.5(293), 3 -75.

[72] Sahakian A.A., Lorentz В.A., Orthogonal Trigonometric Schauder Bases of optimal degree for C(0, 2тг), Fourier Analisys and Applications, 1,

(1994), N.l, 103-112.

[73] Sahakian A.A., Gevorgian O.V., Hakopian H.A., Numerical curves and their applications to algebraic curves, Advanced Topics in Multivariate Approximation, (F. Fontanella, K. .letter, P.J. Laurent eds.) 1995, 97 112.

[74] Sahakian A.A., Gevorgian O.V., Hakopian H.A., Multivariate Hermite Interpolation, East Journal on Approximations, 1 (1995), 3, 357-371.

[75] Sahakian A.A., Gevorgian O.V., Hakopian H.A., Bivariate Hermite interpolation and numerical curves. Journal of Approximation Theory, 85

(1995), 3, 297-317.

[7G] Sahakian A.A., Gevorgian O.V., Hakopian H.A., Numerical curves and their applications to algebraic curves, Studia Math., 121 (1996), 3, 249-275.

[77] Саакян А.А., Лоренц P.А., О подпространствах, порожденных всплеск системами, Мат. Заметки, 63 (1998), 2.

[78] Bojanov B.D., Hakopian Н.А., Sahakian A.A., Spline Functions and Multivariate Interpolations, "Kluwer Academic Publishers", 1993.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие результаты:

1. Доказано, что кратный ряд Фурье функции / ограниченной гармонической вариации сходится по прямоугольникам к / (ж ± 0, у ± 0) в каждой точке, где существуют пределы / (х ± 0, у ± 0), и эта сходимость равномерна, если / непрерывна.

2. Доказан многомерный аналог теоремы Бора: Для произвольной функции / £ С(—7Г, тг)к существует гомеоморфизм г (ж) куба [—7г, 7с]* такой, что ряд Фурье суперпозиции /от равномерно сходится по прямоугольникам и по сферам. Аналогичное утверждение доказано для одномерной системы Уолша.

3. Изучено линейное замыкание в пространистве Ь2 линейной оболочки ортонормированных систем вида 2к/2ф(2кх — (.), к,1 6 X. Доказано, в частности, что ранее известное необходимое условие:

— ^ п.в., является также достаточным для полноты таких систем в I2.

4. Построен базис пространства непрерывных функций, состоящий из тригонометрических полиномов, с оптимальным ростом их степеней.

5. Для тригонометрической системы, системы Уолша и произвольного базиса пространства непрерывных функций доказано существование двух различных рядов по этим системам со стремящимся к нулю коэффициентами, котороые после некоторых перестановок сходятся всюду к одной и той же всюду конечной функции принадлежащей всем пространствам Ьр с р < 2.

0. Доказано существование двух различных рядов по указанным системам со стремящимся к нулю коэффициентами, таких, что некоторые подпоследовательности частичных сумм этих рядов сходятся к конечной функции /(х) всюду на отрезке [0,1].

7. Получено необходимое и достаточное условие для регулярности многомерной диагональной интерполяции Биркгофа.

8. Изучены свойства числовых кривых, связанных с двумерной интерполяцией Эрмита.

9. Получено необходимое и достаточное условие для регулярности к-мерной интерполяции Эрмита с к + 2 узлами.

Ц U" Ф il Ф ill- и

liinhüuiluuimipjmüiuiS uuiuiqvJLi bG libinbjuJi uipi)jmGpübpp.

1. U.iquignigi|bi l, up Ujilini фпфп]иш1{шб11 ишЬйшОшфиф huipiín-ü|il| фщфикфш^! f(x,y) 3)niûtiç|[)uij[i .1:>mpjb¡i ршррр jnipuipuiGjjmp ljbuiinii', npuibi) qnjnipjniü iiiüUO /(x±0,v±0) uuihiSuiGGbpp, nii)i]iulj-

l|jnitiGbpm| qinquid¡iunmí 1, —0,y ± 0) b ujjij qiiiqiuifymmpjniGji

liun]muutpiu¿i^] 1„ Lpli j {x,y)- p uiíipüijhuiin 1.:

2. lliquitjnií¡i|bi t f-Jipli pliiipbiîp puiqiiui¿u^i rjbujpniiL l¡uiiSuijuilpuG

/ еС(-л",я)к ,'}miül[cj|iiujli huiüuip qiijnipjmG mG[i [-я,я]* [иприШшрф r liniîUmînji.^liqû" uijGiqliuliG, np / ° r umvqUpiqnqJiglimjli 3mipjbli ¿uippji niipimGlujiiCi b ифЬ[ф4 úuiuliaiíjji qniü'ujpGbp|i Imnjiuuiupw¿mi¡i qniquiúj)-rnnuï bG / о r- [iG:

"biSuiü lupqjmGp ширцдшдЦЦ I. Guib Птуф гфш^шф huHJiuliuipqli hunîuip:

3. numiíüu)u[>pi(bi I. 2*'г у/(2*х-Г) mliupji oppnûnpiîuivjnpijuiô hujiíujljujpq¡] qöiujjiü pmi]iuüp¡] фш1{ш1$р L2(Я) wiupiuönipjniGnid: Uuiu-ОшффиицЬи uiupugnicjilbi I., up GuiJuliliGrmî hmjuiGJi = 1 uiG-hpuidb;>tn upujduiGp Giub ршЦафшр 1. tujjj hiutfuiliuipqli nilji^nipjmü liuníuqi !: (R) - rrnï:

4. tfiuimicjijbl L ишифбшйОЬр]) Мшршфф^О ¿шф iiiuGijiui} шб iiiübgnii hiiuiülj¡jmGiu¿uuliuiliiuü puiqúuiüquidGbpjig lpuqiïi]uic> piuqjiu mû-pGijhuiin ÍJmiGligJiuiGUpji uiuipmànippuGniiî:

5. lIGpGijliiuui .^inüljcjliiuGbpI] miupuiömpjiuG pujq])uûbp)i, ]iG¿mUu üuib ЬшО^тОи^шфифшО U Отуф huiiîuiliiupqbpji huidiup niuniiîGui-ujiiii¡Ui I; inünunim¡uinpjniG|Kj iibuin miîbGnipbj) qniquiúbui 2Uippbp¡i lîjim-IpnpjiuG hiupgp: ümjg t mpi]b|, np G2i]iuô huiúuilpupqbpml ЬрЦт тшррЬр ¿шррЬр тЬгрифп1иЬрпд hUina 1рирпц UG qniquníjimbi dJibGnijC f{x)

-IkiiGIiçjIiuijIiû, jiGn npniiî, / elf pnjnp p< 2 huitîuip:

6. UmujgiJb[ t uiGhpuidb^ui U piuijuiputp iqmjúuiG P¡ipl¡!in^)¡i ш01[-jniGuiqôtujliG JiGinbpupqjutgliuijli nbqni]jiupnipjujG huitîiup:

7. numüümulipijUi bü <bpü'lip[i |iGinbpujnuuig]iuijli hbin Ijtuiqijiut) рфифй Ipipbpji hiuinlinipjiHGGbpji:

8. Uiniugilb) 1. mühpwdb^m b piui]iupuip iqiujiîiuG k+ 2 ImiGqnijg-Gbpni| к ¿и1фш0[1 <bpityp[i [)ümbpiqn]ju.ig¡iuij|i nhqniijujpnipjuiG huiiiuip: