Ряды Фурье по ортогональным полиномам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСЮИИ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

■' од

2'| ОНГ ¡3;

На правах рукописи

ОСИЛЕНКЕР Борис Петрович

РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПОЛИНОМАМ

Специальность 01.01.01. Математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Харьков — 1994

Работа выполнена в Московском инженерно-строительном институте им. В. В. Куйбышева (Московском Государственном строительном Университете).

Официальные оппоненты:

академик АН Украины, доктор физико-математических наук, профессор Березанский Ю. М.,

доктор физико-математических наук, профессор Тихомиров В. М.,

доктор физико-математических наук, профессор Рвачев В.А.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный Университет.

Защита диссертации состоится « г>/. » . /0. . . 199^ г. в « У5 .» часов па заседании специализированного совета Д 016.27.02 в Физико-Техиическом институте низких температур АН Украины по адресу: 310164, г. Харьков, пр. Ленина, 47. Физико-Техннческий институт низких температур АН Украины.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-Технического института низких температур АН Украины.

Автореферат разослан « . 199^/ г.

/Учёный секретарь

специализироваиного совет д. ф.-м. н.

В. А. Ткаченко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЕОШ

Актуальность темы. Ортогональные полиномы были впервые эведенн П.Л.Чебышёвым в середине прошлого века в связи с проб-хеыой параболического' интерполирования. В ряде своих мемуаров 1.Л.Чвбнш6в не только рассматривает известные до него частные игучон - так называемые классические, ортогональные полиномы, -ю и строит общую теорию ортогональных полиномов.

В последние годы значительно возрос интерес к ортогональ-вм полиномам в связи с исследованиями в функциональном анализе (проблегца . Моментов,,спектральные свойства якобиевых матриц, модель самосопряженного оператора о простым спектрам), теории зероятностбй и математической статистике (процессы размножения I гибели, область марковских процессов, спектральные методы), з математической физике и квантовой механике (теория рассеяния, даючки Тода и Ленгмюра), физике (теория кристаллов, одномер-1ая теория твердого тела). Отметим также ряд приложений: в электротехника (теория электрических^ пей), спектральные метода расчета и проектирования систем электросвязи и управления.

Проблема вычислительной математики также приводят к ортогональным полиномам, удобным для аппроксимации функций и удов-1втворйсщ11Х проста» рекуррентным соотношения).!, позволяющим сра-знительно просто вычислять их, значения.

Настоящая, работа посвящена изучении радов Фурье по общ™ зртогональгам полином&ч.

Но теореме В.Ф.Николаава (1948), какова бы ни была ортого-1альная система полиномов, существует непрерывная функция та-<ая, что ее ряд Фурье по этой системе не сходится равномерно. ]дя рядов Фурье по ортогональным полиномам хорошо известны ана-юги теоремы А.Н.Колмогорова о расходимости почти всюду.

В связи о этими результатами ва«нув роль приобретает проблема суммируемости рядов Фурье по ортогональным полиномам по-1ти всюду и равномерно на промежутках непрерывности интегрируе-яых функций. В случае тригонометрической системы данная проблема подробно разработана (С.М.Никольсхий, 1548; Секефальви-Надь, [950; А,В.Ефимов, 19С0; С.А.Теляковский, 1964; Р.А.Тригуб,1974 {'многие другие). Проблема суммируемости почти всвду рядов .у-

рье по ортогональный полиномам функций поставлена

Г.Апексичем, который в своей книге."Проблемы сходимости ортогональных рядов" (IS63) отметил, что для рядов Фурье .суммируемых функций по общим ограниченным папгношельнш системам Ip^lín^) неизвестно утверждение о суммируемости почти всвдудаде дяя Метода Пуассона-Абеля. К.Гаццори (1953) доказал Ч^^СА'О)-суммируемость почти в саду рядов Фурье функций классов Lb (-í,i3 при t'l да локально ограниченным системам В кни-

ге G.ïreud "Orthogonal Polynomials" (ЮТ) поставлена задача изучения продифференфгрованных рядов по ортогональным полило--мша, возникающая ирг. обосновании катода Фур'ьэ. В частности, во многих приложениях зажну» роль играет теорема Фату об А*-сум-шруемости таких рядов. Для рядов Фурье во ультрасферическим полиномаманалог теоремы Фату получен Б.Маиенхоуптом и Е. Стайном (1265), и иш поставлена задача перенесения результатов на более общие системы.

Проблема сходимости в среднем рядов Фурье-Як о бв хорошо изучена (Г.Шдаард* IS46-I949; Дй.Нькдан, В.Рудад, 1952; Б.Ма-кенхоуит» 3S69; Б.Ы.Бадков, 1974)» В упоаякутой выше книге, Г. Фройда и в стаи© М.Ро£экйиЬй1 (I8S2) поставлена проблема нахождения весовых сцэвса чаатних су?.с.: рядов Фурье по общим орто-гональнш иотагомам (и более ойцан задача нахождения двухвесо-вых оценок).

Во многих проблемах гаршначэеиеЕга азелзза и его щшоаэ-ний важную роль играют оператора обо-бшнаогго ■. сдвига ( о. о, с. ), введенные Ж.Дельсартоэд в 1338 г. и елете&згш1Ч80ки изученные Б.М.Левитшюм. Дкекратша пшеркейшеекснш сиогеш' (гипвргруп-юг), ассощщрв&таз а орготоигш.лада дагшэаеш, впервые появившиеся в рабадгах Ю..М.Горосагового (195Е>^ в последние года интенсивна изучадааа-.(хеекаа работ ЮЛ. Береганского и А.А.Калш-ного; A.A.IiaiHesaœrOî _Д.И.Ез1:лзрмш;а и других). Для классических полиномов Як оби I о.о.с. .и структура ядра "формулы утю-

жения* глубоко иеследовахш {Л.Гегенбауэр; С:»Бэхнер,. 1952; Г.Б. Жвдко®, 1966; С„3»Ра$аяьеон, 1868$. Р.Эски иСт.Взйнгер, IS69; . rjTacnep, 1971; Ы.К.Потапов,. IS75; Т.Корквиндер-, 1274 .и другие). А.Шварц (1988) доказал универсальность гадаргрупп, построенных по системе I в случае полоаательных ядер. Поэтому представляет интерес изучена компактных непрерывных гипер-

групп по общиы ортогональным полиномам, не обладающих положительными ядрами.

Операторы одностороннего взвешенного сдвига играют важную роль в ряде вопросов гармонического анализа, так кок в они являются (при определенных условиях на веса) прямым аналогом конечномерной клетки Кордаиа. В Связи о этим ставится задача об оценке нормы операторов усеченного взвешенного сдвига в весовых лебеговых пространствах. -

Приведенные выше проблемы естественным образом возникают и при изучении кратных рядов <1даье. Переход к рассмотрению рядов в пространстве ТК. (т.»1)приводит к новнм эффектам, принципиальном изменениям. Так, например, в противоположность теореме Л. Карлесона-Р.Хаита, существует непрерывная функция двух переменных, для которой двойней тригонометрический ряд Фурье расходится всюду на ЗД]*' при суммировании по Иринсхейму (Ш.Фе^фор-шш, 1971), Фактически, тогда как одномерное ряды по классическим Полиномам изучены достаточно полно, в случае кратных рядов Фурьэ-Якоби до последнего времени был исследован лишь метод Пуассона-Абеля (Л. Кафарелли и К.Кальдерон, 1974), Отметим также, что кратные операторы сдвига по системе полиномов Якоби ранее не изучались.

. Аналогичные обстоятельства имею?, место я для рядов Фурье по ортонормировашшм матричным и операторным, полиномам, введенным Ы.Г.Крейком (1949) и Ю.М.Тярезансккм (1963) в связи о изучением .соответствующей проблемы-моментов. Они возникают в ряде приложений:"теория систем разностных уравнений, изучение операторов с конечно-кратным спектром, теория представлений. Исследование линейных операторов, порожденных методами суммирования или сдвигали по матричным и операторным полиномиальным системам, значительно затруднено ввиду их некоммутативное™, и до последнего времени но пронодилось (за исключением С,*" -теории). Цель работы. Исследовать вопросы сходимости и суммируемости рядов <£урье по одномерным, кратным, матричным и операторншл полиномам. Найти весовые оценки операторов обобщенного и взвешенного сдвигов по зтим системам. Рассмотреть приложения к проблеме моментов и к полиномиальному процессу Бубнова-Галерки-на.

Объект исследования. Одномерные, кратные, матричные и операторные полиномы.

Общая методика исследования. Б диссертации использованы общие метода и идеи современной теории функций и классического Функционального анализа. Существенную роль играют открытые н развитые в последние десятилетия одно- и двухвесовыэ оценки сингулярных интегралов. ■ "

Научная новизна. В диссертация получены следующие новые результаты:

1. Исследэваш линейные метода суммирования (дискретные я непрерывные) радов Фурье функций LjC-l.il по одномерным ортогональным полиномам Получены утверждения о А -суммируемости почти вскщу и равномерно на промежутках непрерывности функции | . Установлены аналоги теорем Фату. Даны приложения к восстановлению функции по ее £-моменгам.

2. Дня подкласса Р0 общих ортогональных полиномов (вюго-чагацего классические полинош Якоби и их обобщения получены одно- и двухвеоошо оценки частных сумм ряда Фурьа. Найдена оценка нормы операторов усеченного одностороннего сдвига по системе Дана оценка проекции линейных операторов в весовых лебеговых пространствах.

3. Введены операторы обобщенного квазиодвига по трем системам 1рД ^Д]^} полиномов, ортонормировании с весами ^С*), , соответственно. Для них установлены весовая оценка нормы, Структура свертки и обобщенная формула умножения. Отовда, в частности, вытекают соответствующие факты для оператора обобщенного сдвига, построенного по система 1р*,Кл€2») .

4. Получены оценки нормы оператора взятия частных суш для рядов Фурье по кратным системам ортогональных полиномов {Рл} (*\.€ 22*). Дано приложение к обоснованию полиномиального метода Бубнова-Галеркина для интегрального уравнения Фредголь-ма.

5. Для кратных.радов по ортогональным полиномам установлены результаты о линейных методах суммирования, операторах обобщенного квазисдвига и операторах усеченного сдвига. Дано приложение к восстановлению функции т. -переменных по ее моментам.

6. Изучены ряды Фурье по(ортогональным матричным полино-

мам, для которых доказаны результаты о линейных методах суммирования. Введен некоммутативный оператор обобщешого одвита и получена весовая оценка! нормы. Дано приложений к матричной проблеме моментов.

7. Для векторнозначных функций со значениями в банаховых UMD-пространствах получен ряд утверждений о сходимости, Л -оуммируемости рядов Фурье по скалярной оистеме -tp*} и операторе обобщенного квазиодвига.

8. Для радов Фурье по операторным полиномам даны оценки нормы операторов проектирования и одвига.

9. Получены новые представления билинейных и трилинейных . ядер по общим одномерным и матричшш ортогональным полиномам.

Приложения. Работа носит теоретический характер, приложения относятся к другим разделам анализа: классическая проблема моментов, теория интерполирования, полиномиальный метод Бубно-ва-Галеркина. Результаты могут быть применены в приложениях, иопользувдих интегральные, диффаронциальнкв, разностные и смешанные линейные уравнения.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конфэренциях по теории ортогональных полиномов и их приложениям (Коламбуо, США, IÜÖ9; Гранада, Попадая, 1991), по интерполяционным пространствам (Хайфа, Израиль, 1990), по экстраполяции и рациональной аппроксимации (Тенериф, Испания, 1992), по теории гипергруш (Сиэттл, США, 1993), на 29 Всесоюзных конференциях и школах, в том число, на Всесоюзной школе по теорга операторов в функциональных пространствах (Новгород, 1976, 1989; ¡.¡инок, 1982; Челябинск, 1986; Тамбов, 1937; Ульяновск, 1990), на Всеоовэной шкоде по теории функций и приближений (Саратов, 1984), на Всесоюзной школе по теории функций (Одесса, 1091), на Всесоюзной конференции по теории функций и функциональному анализу (Теберда, I9BÖ), на семинарах в ¡.ГУ под руководством членов-корреспондентов АН СССР профессоров Д.К.ьенывопа и П.Л.Ульянова, профессоров A.M.Олевоко-го и. Б.С.Кашина, профессоров А.Г.Костюченко и Б. М.Левитана; в 1.1Ш1 СССР на семинара под руководством профессоров О.Н.Бесова и Н.И.Лизоркина; в 1,атематичоском институте Ail Украины под руководством академика' Ю.М.Борезанского} на семинаре во ФТШТе под руководством академика В.МД'лрчонко; на семинаре в С-П ГУ

под руководством профессора Г,И.Натансона; на семинаре в ШСИ под руководством профессоров С.Я.Хавинсона и А.Л.Гаркави; на семинаре в Раггерс-Университете(Нью-Джерси, ША) под руководством профессоров БД'дкенхоупта и Р.Видена; на сешнаре в Мак Гилл-Университете (Мгнреал!., Канада) под руководством прс^оо-сора П.Кусиса; на.се. шнаре в Тулонском Ушверситете (Франция) под руководством профессора Я.Гилевича; на семинаре в Университете им. Карда Ш, (Мадрид, Испанки) под руководством Ф.Марчелано; на семинаре в Кардетон-Университоте (Оттава,. Канада) под руководством профессора М.Рамана; на сеадшаре в Сарагосском Университете (Испшыя) под руководством профессора Х.Гваделупа.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 работ. Основные ре зультаты диссертации изложены в I - 21к)

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на .285 страницах и состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 231 названия.

Результаты, полученные в диссертации, отражены в обзорах:

Е.М.Дынышн, Б.П.Осиленнер // Итоги науки и техники.

ВИНИТИ АН СССР.

Мат», анализ. - 1983. - 21. - С. 42-129.

P.Heval // Progress ia Approx. Theory (ed. A.Gonohar,

E.Saff). - 1990. - i. 79-104.

и в книге: Ю.Ы.Березанский, А.А.Калюжный. Гармонический ,

анализ в гпперкомгшэксных системах // Киев, Наукова Думка. -

1992.

- ь -

ОСНОВНОЕ ССЩРЗАШЕ РАБОТЫ

Б Гл.1 изучаются одпсморпыо ряды Фурм по ортогональны?.! полиномам.

В § I, имеющем вспомогательный характер, приведены без доказательств хорошо известные оценки норм классических сингулярных интегралов в взоовых лебагсшг пространствах;.

В § 2 изучаются линойше катода суммирования рядов Фурье по ортогональном полкнокем. Если {р-г } (п«з 2») - ортонормирован-ная с весом fCx) (вес - суммируемая положительная почти вевду

функция) на 1-1,11 система полиномов г»,-степени ( кратко: СНСП

' „ *

к „а * Ч^ъ" * ... , 'Лл>0 (не и Д

то справедлива ододувдге рекуррентное ооотиолоние

алрпСх|+(I) гдз л

Полинощ Р^С^ можно рассматривать как обобщенные собственные Фу1стщш (в 1г ) сингулярного разностного оператора

где 1Г» а» (а^, ак-»акм ♦ и* (ке2г; а.м=о)

и любой последовательности (5>ц}(к.в2+А,го)

Для функции 16введем рад Фурье по ОНСП (Р*) .

С помощью регулярной по Теплицу треугольной матрицы вещественных чисел _ . ... . .<>о _ 1

Л« (3)

построим последовательность Д-средних

. (4)

Изучается следующая задача: при каких условиях на элементы матрицы А и систему {.р^} 22.Л ряд (2) А - суммируем к

т.е. выполняется соотношение

^ К«(5)

Основным результатом в данном направлении является следующее утверздениэ.

Теорема I. Пусть СНСП удовлетворяет уоловия^

«по-х (6)

¿><1 (7) псо «.»о

а для элементов матрицы (3) выполняется оценка Надя

к» о

Тогда имеют меото следующие утверждения: 1} вСЛИ

то в каждой точке Лебега хч; (и, следовательно, почти всвду в («.,¿1 ) ряд Фурье {2) А -суммируется к ^Сх) ; 2) если, крот того,

^и* (9)

то для любой 1» $ -интегрируемой функции , непрерывной

на СсДз , разномерно на любом компакте кз для А -

средних (4) справедливо соотношение (5).

Этот результат применяется к задаче о восстановлении функции по ее % -мементшл.

Из теорема I вытекает (Ч^о)-суга1ируемость почти всюду рядов Фурье-Ноотачека (полином Паллачска - особый случай ортогональных полиномов1' и результат Г.И.Натансона2^ о сукшгруе-мости радов Фурье-Якоби методом, подобным способу Еврнштейна-Рогозинского.

Доказательство теорема I основано на следующем прздставле-ни ядер Баяле-Пуссена " . ^ *... „ ,

^ Г.Сегё. Ортогональные многочлены. 1.1.: ГИФМЛ. - 1932.

2) Г.И.Натансон // Ученые зап.4 ЛГШ. - 1958.-Т. 166.-С. 185-211.

- 10 -

для произвольной ШСП (аа^Л. полученном в (II-[3]:

51III ОВ^Р»6^

-Отсвда при 1« "X и Ентекавг- формула

31

независимо (и другим методом) полученная в ' и игращая ввяну» роль в исследовании: спектра разностного оператора I, . В § ЗГл.1 изучены среднкэ Пуассона-Абеля

Теорема 2. Иуоть выполняются предположения (6), (7),(9) к оущоствуэт положительная функция '•/„Сх) такал, что

МАТ?, "э^ Ц™^Ьсм /гп\

Тогда для любой функции

удовлетворяющей условия

, имеют место следу кадка утверждения:

1) в каядой точке непрерывности

справедливо соотно-шокио ЧСь*.)—» |.Схв1 (12)

как бы точка ЬСч*^ ш1 стремилась к , оставаяоь вну-

три области

2) в каядой точко Лебега х^сД) выполняется предельное равенство {12), когда точка ГДЬ/*-) стремится к по любому некасательному пути

[постоянная ^о не зависит от г, х. .

^ 3«ГотЬгоиак! *//_ Гао1£..Г.№№1. - 114. - ШЭ4у- Р.Я25-ЗЯ4,

В § 4 Гл.1 доказан следующий аналог теорэмн Фату. Теорема '3. Пусть выполняются условия теоремы 2 и, кро&а того, для коэффициентов рекуррентного соотношения (I) имеет место оценка

Као

Тогда в кадцой точкз :с6б(с.Д) , гдэ $ существует и конечна, по любому некасательному пун: Р (су.(13)) выполняется равенство , ,

^ I* и-» ? 1*Л

кТо

Доказательства теорем 2 и 3 основана на новше представлениях ядер Пуассона Р-.С-Ц^ и

Последний параграф (§ 5) Тл.1 носвяцэн цро&таиз еосоезх оценок частных сумм ряда Фурье фуикцза | по ШСП

Ыо^гд

Наминка, что пара хзеов прш:здле£:т А^-зя&ссу

Макенхоупта на цроаозутге (Ч, V] , если

В том случае, когда сЦ^Дг;йс~), то взс 00Са) прапздкегзт ¿«„„-классу Маквнхоупта.. ОЗсйпглзния: (и^и^сДгОД) иля «сА^Л^, соответственно. Если при некотором £ С^Н) - хаяоаикзтея (оэ^о^еД^Н^. то Рассмогрха щтонсфмзрозшшиэ

полиномиальные систоглы {р^Дрь асссцшроэшпшо с вееа'-г

, соответственно. Будеа гоиор^ть.что ортонорьшровакаая с г.эсс:л система палшкжав

принадлежит классу Р0 , если спрагеданвы елгдузшзо огаш-гк;

при отоа постоянные С>0 в этн£ опзнках но заьзаяг № хе>НИ) и кс 2,. Классу Рв принадлежат оезб-

кзнные полиномы Якоби

Теорема 4, Пусть ШСП (рн} М5») принадлежат классу Р„ . I) Если для пары весов щга иохотор^х тСич.<«») и

имеет маото условие ^

где постоянная С»0 на зависит 4 в ^Ом)11 •

2) Есля при некотором 1 (1<г< =•*) выполняется

•то существует постоянная £>0 , не зависящая от | и ,

такая, что „

Теорема 4 содержит новые результаты и для рядов Фурье-; Якоби. Отметим также, что Р.Керман (1993), иопользуя специфические свойства полиномов Якоби, доказал необходимость предположения (14) для справедливости оценки (15) в случае рядов Фурье--ЯйрбИ.

бедствие, Пусть ШСД (р^К^6^) принадлежит классу Ро; и вео удовлетворяет (14), Тогда система образует ба-

зис в весовом лебеговом пространстве С--±,-13 •

В главе П изучаются операторы сдвига по ортогональным полиномам. В §§<1-3 вводятся операторы обобщенного квазисдвига по трем, системш^ полиномов степени п. с

положительными старишии коэф^шиентами, ортономированным на С-1,11 о весам! . , соответственно. Эти си-

стемы удошгатворяют рекуррентным соотношениям (I) и

хк

Пусть "к"* Щ.

Тогда оператор обобщенного квазисдвига Т'' имеет вид

т* (м* £ ^рка),$ (17)

'х.,^ , - фиксировано). В частности, если полиномиальные системы {р*] , совпадают, то получается оператор обобщенного сдвига по ОНСЛГ

Введем обозначения

! . П.

Следующее основное утверждение Гл.П дает весовую оценку нормы оператора

Теорема 5, Лусгь ОНСП , ,1М(л.б24) обладает положительными ^-интегрируемым мажорантами

Ч^*}, (19)

и для последовательностей ^ц.^ и { К*1) (см. (18)) выполняется оценка ^

* |-0 (20)

Тогда имеют место следующие утверждения:

1) если

-л -«

то ортогональный ряд (17) сходится почти при всех х € С--М) для каждого фиксированного '¿еС-МУ

2) суша Т* ортогонального рада (17) допускает представление

Т1 {Ц» ( ^ Ак (-1<

где для ядра КС*,^) справедлива оценка

Д «цыщм ^»

причем постоянная С>0 не зависит от ;

3) еоли при некотором г , -иг<о», имеет место соотношение

¿аЙЁл^' ( :

V.-V ''

то существует постоянная С»о, не зависящая , такая,

что 1 ^ 1

- 14 -

Теорема 6 (обобщенная формула умножения). Иуоть ОШГ. (р^, удовлетворяет уоловиям (1Э) и для заданной последовательности ненулевых вещэотвенннх чисел у» { ^ \ (п. * Ж*) справедлива' оценка (20). Тогда пря каждом фиксированном ^ (0,1,1,... ) ш.'зет ыеото формула

гдэ **

.1

пра этом постоянная £»0 ш зависит от ■х^еС-М).

Отметим, что извзст1Шв р&нэй формулы умножения для полиномов Яноби и обобщенных полиномов Чебмгёва оодержали лишь одну систему ортогональных полиномов.

Доказательства теорем 5 я 6 ооноваяы на новом представлении трилинейного ядра - ."у

в £ Р^Ш X •> « ш),

установленном в § I Гл.П и имевдем сложный вид, причем в отличие от билинейных ядер Дирихле, Валле-Пуссена, Нуаооона "сингулярность ядра ЗХСт,^,!) расположена в точках Л**

Неотрицательная функция

называется "горбатой мажорантой" функции 170 переменной ^ в точка ^ , если выполняются следующие условия:

1) для всех «.«'Э, и ^¿ФЛ справедлива оценка К (VI) ;

2) для <Тиксированных п.«2?» и ^аСМ) функция но убывает на («Ь!) и нэ возрастает на ,

Лемма,?. Предположим, что'ШСП (Ы Л Удов-

летворяют условиям (19). Тогда функция

имеет на'промежутках и "горбатые мажоранты"

и в точках <4 , соответственно,

такге, что для "двугорбой мажоранты" состолкей из

- 15 -

^^^ и справедлива оценка.

где постоянная С'О не зависит от и

С помощью данного утверадения и леммы И.П.Натансона моено оценить мажоранты частных сумм ряда (17) через максимальную функцию Хардк-Лнттлвуда, » после чего применение весовых оценок для нормы 4* Дает оценку нормы оператора Т* .

Лемма 7 позволяет также установить весовую оценку для мажоранты . ^ - . ,

играющей важную роль в исследовании нваэипогенциалышх функций.

В § 4 изучаются операторы усеченного взвешенного (правостороннего) сдвига 1 ,

и их сопрянэнныэ операторы

у; ..

км

Для СНСП (^€"2.^ класса Р0 (при некоторых дополнительних условиях) установлены весовые оценки норы операторов Ма ( где Иа - оператор умножения на функцию йс*-) . В качестве следствия получается оценка нормы оператора

о А . ..

Тк* о^л-.м,

где ортонормированная система псишноиов Леяавдра;

»(/»Л заданные последовательности вещественных

чисел: если весовая функция сл I*) удовлетворяет условиям

«(»ЧбА^нЛ, М-*1)** и**) <ГАгС-и} (кк^ а для последовательностей • {н*| (« бЙ,)выполняетоя оценка

м

. го

В Гл.Ш диссертации изучаются кратные ряды Фурье по ортогональным полиномам. Пусть

1»ц ¿2., последователь-

ность одномерных полиномов степени <4 , ортонормированиях на промозутко [-^.П по весу и»!,!,...,»*) • Семейотво

Г ; г.,' ТН, Ч !> &)

будет ортонормированию! на кубе

по веоу

Каждой функции (Х^ сопоставь во кратный ряд Фурьэ по системе {р^ и« тгп

: ^, ^ (*«П (21):

'при атом сходимость ряда (21) понимается как предел при п.-»*»

(т.е. ~",ов )!последовательности прямоугольных частню:

сумм (сходимость по Прйнохеёму)

■ ' «.«о

.' В § I изучается поведений частных суш , в част-

ности, вопросы сходимости и оценки роста ; *) .

Вое йС*,,"»*,... ^приквдлояи: классу АгПт) (по

прямоугольникам), если он удовлетворяет -условии по кая-дой парешнной (С«!,..., ^равномерно относительно остальных переменных, Класс А^СЭ'4') введен В.М.Кокилашваля, Д.Куртцем, Ш. '«ефферманом и Е.Стайной; условие &>«Аг(3,"1Ш<ъ<вв) необходимо и достаточно для ограниченности кратного преобразования Гиль-борта в пространстве С!1*) (■кг««»). ^

Теорема 8. Пусть одномерные ШСП (Р^ ^ (Ч^^'Л'-Ц^-Л) принадлежат классу Р„ я для заданного веса

- 17 -

при всех К1 , С И к^^^в^кл) выполняется уоловие

Тогда душ любой функции | С Цу (I*1) справедлива оценка

где постоянная (¡.»О на зависит от функции | и .

Кратная полиномиальная оистаиа (п.е образует

базис по Принсхейму в весовом лебеговой пространстве ^(Г*) (д * х « <*>}, если для любой функции Су (Х*1) существует единственный ортогональный ряд ^Т^ (* р (х) такой, что

^¡Н-Ёс^кг'О.

Следствие. Пусть выполняются условия теоремы 8. Тогда ; кратная система { Р*. 1 в Ж *) образует бааио по Прщюхейыу в

В §§ 2 и 3 исследуются линейные методы суширования крат-' ных полиномиальных рядов Фурье.

С помощью "пространственной матрицы" вещественных чисел

Г 'ИчЧкЛ)

К т. / 4

А 8 •

кадцой функции (Х"5') по ее ряду Фурье (21) поставим в соответствие последовагальность прямоугольных Л4 -средних

Изучается следующая задача: при каких условиях на кратную, полиномиальную систему (пай^и элементы матрицы А14, линейный -процесс VI «.'.Л1"") аппроксю»мрует фужцию $ :

Введем следующую/символику. Обозначим через. С^*4" множество.

всех мультиинденсов, оостояздх из т. чисел, равных 0,14 : Символ , где

означает, что суммирование по. К; от 0 до »V; производится лишь для таких номэров I , что а,г о либо г,»1 . Символ

А К ^"(к^Ч)- »("чЛх!-.^ , означает операцию

взятия разности второго порядка лишь для номеров ч таких, что

либо , 0 то время как по остальным К; разноотн

йообщо не бэрутоя н аамэняэтоя на Л; . Если ивдеко «V огоутотвуот, то полегаем, что Д^Х1*1 есть вторая разность

от элемента по воем .

Разобьем мнояоотво С^ на даа подмножества

Палозии .

в. если в данном «V на I-том ме-

ГЧ"МИ1 . ото отоит I

1 — " .. _ И _ _ П _

-_« «. _ " - о

где определяется иа уоловйя , ... ,

при этом Обозначим

К.Н «.М V •

Следующие три утверждения показывают, что в отличие от теоремы Ш.Феффермана результаты о А"4-суммируемости по Прино-хейму справедливы и в Иг. -мерном случае. . Теорема 9. Пусть одномерные СНСД I Р^-Ч ( Ч а "2 .'Л'1ЛI ••• Л'

удовлетвори^, условиям (6),47), (9) (на промежутке [ц^с^П I» 4.>,...,*»».) и дая элементов матрицы А"4 выполняются следующие предподогания:

1) при каздоы фиксированном наборе к» (к»,*^—1К«0

Г ' • (23)

'. «и»* ■

2) имеет место оценка р

».«о -

Тогда для любой непрерывной на X • функции { равномерно на кавдоы компакте из справедливо ооотноаениэ (22).

Теорема 10. Пусть одномерные ШСП ОмЗ»'»**^,.

и элементы А1"" удовлетворяют предпалоаениям предыдущей теоремы. Если, кроме того, выполняются условия "согласования"

К?? ОйцЙ'Ч^Ч^М»".,»!1)' <24>

" ' 12 с №2 С1 >. :- о

то для . любой функции ^ ^ (Х*)удовлетворячдей

условию -. ■ у - ''■•-;'.."..''. '■■'.V1: '

I (Гм-й О»),

^ - почти всвду в Хо" справедливо соотношение (22). :

1>!ультишщекс ограниченно стремится к бес-

конечности, если и ?8'(в» 4) .

Как известно, существует периодическая - функция ^С*^-,^««^ 6 , ряд Фурье которой, по кратной тригонометри-

ческой система не суммируется всвду методом С^;4','1-!, но ограниченно (С/,*-,*,..., 11 - суммируется к £...х^) почти

всвду. .

»y.Tljk Пусть одномерные ШСП Ipâ; W^Z^U3!,!,...,*») удовлетворяет усяогиш (6), (7), (9), (24) ( на промежутка

C-l.i) ). Если для олемептоЬ матрицы Л14, внполнеттоя ооотиоааппэ (23) я сцвта

ГЛ *

1я\ Н«о >

то для лззбой функции I , удоелстворяэдэй (25), TL - почти 20ГЗ-ду a l^ ш,!зег мою предельное розёнотво (22), погда п. ог-рдшгшшо строится s бзсконочкостл.

Отметим, тго таорзш 3-ÏI. являются кошма л з случае крат-тал: рддоэ ^рьз-Якобз. ,

Лпаютячкаа утверэдепия еяролздшя л для оуг.зруойози ?л~со (21) моголе:? Пусссслг.-Аб'УШ.

В §§ 4 и б язучегя г.г -уэрнаэ оператору обобщенного пгааи-едкзга и усеченного одностороннего зезапвгаюго сдв-гга^ ^ Рг.си.;отр:г! три системы одкомэрпнх полшоиоз \,

tnls¿U> ортснор-'-фсзагакх на промежутке t-i.,1) с Есса?,я Р»? ("ü i Рь1Ч*11 . соответственно, и образуй?-; краткие полиномиальные система

opTCHojSffiipoEasat'e на ау<й Т5* с ввсакя

„. .. » m . Л ¿b

Д f w, 8tM•ñ fÍ4 ^'ü f»

Usa сэдаяной вослодопатсласостп введзм оператора

*ло (^-фиксированная точка, ^еГ)

У ^И^^СьЫг' (ксДП,

при ото!,! суша рада понижается как предал последовательности чаотных сумм по прямоугольникам (по ПринохеЁыу).

Получат аналоги одномерных результатов, при втоы, например, условие (20) в двумерном случае ишот вид •

*

к»*о м»

причем ЧЧ ^

КМ

даю,К\ ^Ц••'.«ч >V

коэффициенты рекуррентных соотношений для полиномов (Рп;,1*! • ^^ . • соответственно (сн.(1), (16) ). В § 6 Гл.Ш дано приложение результатов и методов Гл.Ш к полиномиальному методу Бубнова-Галеркина для интегрального уравнения Фредгодьш , *

Ы-1 (26) \

где в качестве координатной систем; взята ортонормированная с весом система полиномов

к

■ ?ня \ 0,1,-„Мпай.)

Л I

-4 -I

Если | ("1 - единственное регшшэ уравнения (26), а решение соответствующего варозденного уравнения

4

-1

то доказана оходтюсть полиномиального процесса Бубнова-Гатер-нина в пространства СуОМ^ (I41-4 я получеш априоргае оценки для • »К-К*. • через соотвэтотвукщзз кадлучгяе

приближения Е^СМ « Е.^'ЧКН^"^-

где

!

РГ'

р? 1-3.

Доказательства утсэрзаеигЗ осяовшм на полученной в § б весовой оценке двукратного прззбрззогаяая Гальборта в смешанных весогдх лобэговых пространствах (Г-АД'!1') .

Глава 1У диссертации посвядена изучению ряда вопросов гар-ко1ич9ского анализа дол матричнах а операторных ортогональных полиномов.

- 23 - '

Пусть оюдаэтричная патоЕиталъно-олреде-

лошая ыатргца-фупкцяя порода К* К {А< ) тш:ая, что

вое ее адаманты интегрируемы по Лебегу, и - систе-

ма матричных полиномов порядка ifsjf , ортонор.'ллроьаяных о: ; ■ весом ЕЛ^ :

где Ц - единичная квадратная матрица порядка Si . Имзет шс-ю трохчленноа рекуррентное штричноз ооотноагаш:е

* А, ^И^^^^Д^И^^о!^)

где ?»С*Л - постоянная обратная матрица, а матрица еычясллнгся по формула'.-; - ' ' t'

ч * ч

Каэдой матрица-функции для которой существу»!

матричные коэффициенты Фурьэ

Л 4

поставим в соответствие ряд Фурье по системе

£сй(р|9цСх) (28)'

- но

В § I получен порядок роста частных суш ряда Фурье (28) и рассмотрена задача о восстановлении матрицы-.функции Р(~) о помощью линейных средних ее ряда Фурье

где А.-' {1 - матрица (3).

Теорема. 12. Птюдполоаам. Что существует вещественная матрица - функция с не отрицательном элемента.',и такая, что . . при всох 3t«c-i,i) справедлива оценка

причем .

i и

-1 ч

где Ь - ненулевые вещественные постоянные квадратные матрицы пордцка К с конечными неотрицательными элемента;,от и $ (х) -транспонированная матрица для ФМ . Если для коэффициентов, рекуррентного соотношения (27) имеет место оценка

¿К, ^Кмднц^вй.)

н для элементов сум?,мрущей матрицы (3) выполняётся (8), то в каждой точке Лебега x.e(-i,i) матрицы - функции , удовлетворяющей условия ■

' -t

справедливо соотношение

К-»о» к

В частности, отсвда следует (С,Х>0) - суммируемость почти всюду рада Фурье (28) .

§ 2 вводится кэкощутативный бператор обобщенного сдвига Т^ по ортокормфэзшшаш матричным полинома ISkK^^S*) по формула

фиксировано)(30)

В отличие от скалярного случая абстрактная теория операторов Т^ не построена (для неограниченных о.o.e., задаваемых матричными мерами и действухятма а пространстве вектор-функций Л.И.Байнёрман4) доказал формулы Пяаншероля и обращения), пая подход, основанный на представления матричного ядра TjS^C&t (A^ZU), позволяет получить оценку нор-

мы fl

'4) ХЙ.ВайнеркЙ1 /У ДАН СССР. - 1988. - 302, Я I. - С. 14-18.

- 25 -

Теорема 13. Пуоть ортонормированная система матричных полиномов {ЭД удовлетворяет (29) и

Пусть, далее, для коэ#ициентов рекуррентного соотношения (27) шполшизтоя условия : '

Еоли для некоторого V ,1<г*ео ,'матрица - функция Р(*) и матричный вео ЦОД удовлетворяют предположениям , '

то эдеюг место следующие утверждения:

1) ортогональный матричный рдц (30) оходитоя почти всюду в (-1,1)1 при каждом фиксированном ^«(-4,4) ;

2) справедлива оценка

(А

ТЙЦ^ТЩЙ'ах

I

где окалярная постоянная с »о не зависит от матрицы - функции Р(.х> и переменной ,

; В § 3 Гл.1У исследуютоя ряды Фурье пекторнозначннх функций по скалярной системе о^тонормированных полиномов. ,

Для вектор - функции .

положим

Теорема 14. Пусть ортонормированная о веооа у С*} система полиномов 1рп.у принадлежит клабоу Р0 и при некотором

Ч. , , для весов ¡рс-я-1 я Со С*) выполняется уоловив

(14). Тогда

гдо постоянная с.»о не зависит от | ^ и ,

В случае конечной оистекы ультрасферических полиномов ка-ввоовоЗ вариант получен Б.Макеихоуптом и Е. Стейном^

Для вектор - функций ^ со значениями в банаховом ХГМО-простраяотзэ рассмотрены линейные магода оут-амрования рядов Фурьа по системе и введен оператор обобщенного ква-

зисдвига т1 , для которых получены результаты о А -сум- . мируемостй и установлена оценка норка. , " В последнем параграфе Гл. 1У для рядов фурье по операторным полиномам доказаны аналога теорем 4 (одноваоовой вариант) и 5.

Основные результаты диооертации опубликованы в следующих работах:

I. Осаленкер Б.П. О суммировании полиномиальных разложений Фурьа функций классов

// Докл. АН СССР. -

1972. - 202, » 3. - С. 529-531.

Ш

5)

В.МиокепЬоир*, Е.зге1п Н Тгапа. Атаг.МаЪН, Эос. - 118,.1» б. - Р. 17-92.

- 1965.

2. Осиленкер Б.П. О линейных методах суммирования раалосений .Фурье по ортрноршрованным многочленам Ц Докл. АН СССР. -

1973. I/-С. 40г42г:

3. Осиленкер Б»П, 0 сходимости и суммируемости разложений Фурье по ортоноршфовашшм полиномам, ассоциированным о разностными операторами второго порядка I) Сиб. матем.журн. - 1974. - 15, а 4. - С. й92-908. '

4. Осиленкер Б. П. Суммирование методом Пуаосрна-Абеля разложений по многочленам, ассоциированным о матрицей Якоби // Труды Н Всесоюзной Зимней школы по математическому программированию и смежным вопросам. Функциональный анализ я его приложения. М,, 1975. - С. 215-229,

5. Осиленкер Б.П. О линейных методах суммирования двойных полиномиальных разложений U ФА и его приложения. - 1977. -

; II, #1. - С. 77-78.

6. Осиленкер Б.П, 0 линейных процессах приближения функций многих переменных П В сб. "Исследования по теории функций многих вещественных переменных"* - Ярославль. Изд-во ЯГУ.-.

■ 1№. - С. 176-195. 'V- /

; 7. Осиленкер Б.П* 0 взвешенной полиномиальной аппроксимации линейными средними функций многих переменных jJ Докл. АН СССР> - 1979. - 247, й-6. - С. 1320-1324.

8. Осиленкер.Б.П. Весовые оценки мажорант линейных средних рядов Оурье по ортогональным полиномам // Успехи матом, наук. - то. - 35, Ji 5. - С. 239-240. ; ' . *

9. Осиленкер Б.П. Весовые оценки мажорант чезаровских средних рядов Фурье 1% -зиачных вектор - функций // ФА и его при-, ложения. - IS8I. - 15; № I. - С..00-81.

10. Осиленкер Б.П. Аппроксимация функций многих переменных о

: помощью средних Пуассона-Абеля кратных псшшониачьных разложений Фурье Ц Bull. Appl. Math., l-Udapaet, 1901. - 6388/01 (xix). - P. I-15.

11. Осиленкер Б.П, 0 взвешенной полиномиальной аппроксимации функций многих переменных // Сиб. матем. курн. - 1982. -23, ti 6. - С. I33-146. '

12. Осиленкер Б.П, 0 рядах Фурье по ортогональным полиномы,!

/У 'Груды Международной конф. по конструктивной теории функций, Варна, 1984; София, 1964, .- С. 61-65.

13. Осилеикер Б.П. О воестшшшэшш функция пг -поремошщх по ее степенным моментам // Докл..раса, оасед. нй-та прикладной математика им. И.Н.Векуа. - 1985. - I. - С. 103-105.

Л. Осщгегасдр Б.П, Оператор обобщенного сдвйга и структура свертки для ортогопалша; полиномов // Докл. АН СССР. -1988. - 298; 1з 5. - С. I072-I07S. •

15. ОсшгенкЬр Б.П. Об ортоаоргзцровшпшх полиномиальных базисах . в весовнх дебетовая пространствах )( Успехи ттем. nays. -

1988. - 43, .0 5. - С. 207-203.

16. Оскяевкор Б.П. Ряды Фурье по ортонормашшм матрячшм поли-вомаа // Извэстиа ВУЗов, Матеы.. - 1988. - й 2. - С. 50-60.

17. Осшгевкср Б. П. Оператор обобдззшЬго сдзига по ортогональным шгрдчшп поляно:.ж* }} Докл. АН СССР. - 1991. - 318, ia 2. — С. 282-284. .

IS. Oailoi&er В.?.' Tho representation of the trilinear Kaxml for сзаэгв1 orteogeml polynomials аай эошэ application // Jouxa. ЛррголйсдШс» ЕЪэ-огу. -' I99X. - 67, JP I, - P.93-II4.

19» Осшшшсср Б.П. Йдаза порш опвратора-обобщекного поктсрно-го квазисдвига по-орхогонзяьиш полиномам // ФА и ого при-" лозсеши. - ISS2. - 25, Я I. - С. 61-63. , : . •

20. ОйНоккег В.P. Iho Gonarallzod A-Translation in a aulti-ple orthogonal polynomial system // 1згаа1 Math. Conf. Его-ceedinaa. - 1992. - V.5. - P., 165-165, , ■

21. Osilenker D.?. Ganoxalised Trnaslation. Operator, Oonyolu-tion. 3trucit*ro and -tbalr Applications totha poljmoraial Approaiaa-tlon // Boo!: of Atatrcots, f!ath.- Corsrooa "Brtrn- • polation ge3 ScSie=nl A?p?ozin3tion", Tcnorife, Spain. _ *•-. IS92.

Подписано з штата 7.02.94. Формат 60x84 /16.Печать офсотная-11-15 Об^'г эт.-тая^ ТЛОО Eatas/^ /.■:...

' Московский государственная строительный университет.Типография ЬТСУ, 129337,. f,tocisa, Яросиназскоо й., 26.