Поведение частичных сумм тригонометрических рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ПОВЕДЕНИЕ ЧАСТИЧНЫХ СУММ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

РЯДОВ ФУРЬЕ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1998

Работа выполнена в отделе аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН.

Научный руководитель:

— доктор физико-математических наук, профессор Н. И. Черных. Официальные оппоненты:

— доктор физико-математических наук, профессор С. В. Конягин;

— доктор физико-математических наук В. М. Бадков.

Ведущая организация:

— Математический институт РАН им. В. А. Стеклова.

Защита диссертации состоится 2 О 1998 г. в ч. ОР м.

на заседании диссертационного Совета К 063.078.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете им. А.М.Горького по адресу: 620083, г. Екатеринбург, проспект Ленина 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского госуниверситета.

Автореферат разослан */ 7 ¿иуи'/Л-Г 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного совета К 063.078.03

кандидат физ.-мат. наук, . ^

доцент Пименов В. Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пусть Т = [-л-, л-). А > 0, <р : [Л,+оо) -* [0. -Нос) - неубывающая функция. Обозначим через ¡p(L) = ip(L)(T) множество всех измеримых по Лебегу 2;г-перноднческнх функций / таких, что

/^{\m\)dt < ОС,

т

где 9о - функция, совпадающая с ¡р на [А. +оо), и равная нулю в остальных точках полуинтервала [0,+оо). Заметим, что если при некоторых по > А и С > 0 для функций <pi(u) и ^('О выполняется неравенство if\(u) < и > u0. то ^{Ц С <pi(L).

Пусть

а о °°

— +^2(akcoskx+ bks'mkx) (1)

¿ k=i

- тригонометрический ряд Фурье функции / из класса L, a Sn(f,x) -его частичная сумма порядка п.

Определим также

<х

(ак sin кх — bk cos кх)

к=i

- сопряженный ряд рада (1) и 5П(/, г) - его n-ую частичную сумму.

В диссертации исследуется вопрос о поточечном поведении, и, в частности, о сходимости, ряда (1) в зависимости от принадлежности / к какому-нибудь классу <p(L). Поскольку даже непрерывность функции не влечет сходимость ее ряда Фурье в каждой точке, естественно рассматривать задачу о сходимости ряда (1) почти всюду (п.в.).

Задача 1. Найти как можно более общие условия на класс <p(L) (то есть, как можно более слабые условия на рост функция <р(и)), чтобы для любой } £ ifi(L) при п —► оо

Sn(f,x) f(x) п.в.

Для классов <p(L), в которых существуют функции / с неограниченно расходящимся на множестве положительной меры рядом Фурье, представляет интерес следующая задача о скорости роста Sn( f,x).

Задача 2. Для заданного класса ^р(Ь) найти как можно более медленно растушую последовательность {А„} такую,чтобы для всех / € почти всюду выполнялось соотношение

= о(А„).

Исследованию задач 1 и 2 посвящено большое число работ. В разное время этими задачами для разных классов занимались Харди, Лузин, Колмогоров, Литтлвуд, Пэли, Карлесон, Хант. Шёлин и др. Несмотря на полученные в этой тематике глубокие результаты, окончательного решения задач 1 и 2 до сих пор не получено. Продолжение исследований в этом направлении представляет несомненный интерес и продолжает оставаться актуальным.

Изложим историю исследования этих задач подробнее.

В 1913 году Г.Харди [13] доказал, что для ¡р(Ь) = Ь можно взять А„ = 1о§ га. К настоящему времени этот результат не улучшен, и не доказана его неулучшаемость. Имеет место следующее обобщение результата Харди на подпоследовательности последовательности частичных сумм рядов Фурье, полученное К.И.Осколковым [3]: если {&„} - фиксированная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, то для любой / € Ь справедлива оценка

&„(/,*) =о(1о§п) п.в. (2)

Причем, для последовательностей {£„}, удовлетворяющих условию

цДп)) > 0

" 1о§п

(этому условию удовлетворяют, например, последовательность к„ = 2", а также все последовательности, растущие быстрее) оценка (2) не-улучшаема. Отметим, что ранее Р.Хантом [15] был получен частный случай оценки (2): если ш£ > 1, то для / £ £ почти всюду

Началом исследований задачи 1 явилось высказывание Н.Н.Лузиным [1] в 1915 году гипотезы о том, что ряд Фурье любой функции из £2 сходится почти всюду.

В 1923 году А.Н.Колмогоров [16] построил пример суммируемой функции с рядом Фурье, неограниченно расходящимся почти всюду, а позднее [17] - пример функции из L с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке. Конструкция Колмогорова послужила в дальнейшем основой для получения отрицательных результатов в задачах 1 и 2. Й.Чень [9] установил, что в задаче 2 для y(L) = L последовательность {Ап} не может расти медленней, чем log log п. В.И.Прохоренко [4] и Й.Чень [10] построили функции из классов £(log+log+£)1_i, г > 0. с рядами Фурье, расходящимися почти всюду. Далее, К.Тандори [25] доказал, что для любого 0 < е .< 1 и любой последовательности положительных чисел \п = o((loglogn)I_£) существует функция / из класса L(log+ log+ L)e(T). такая что всюду на Т

sup-г-= +00, sup---= +СС.

п Лп п А„

Наилучший в настоящее время отрицательный результат в задаче 1 таков (Кернер [20], см. также [6]): если = o(loglogu) при и —> оо, то существует функция из класса Lrp(L) с расходящимся всюду рядом Фурье.

Самыми сильными "положительными" результатами в задаче 2 долгое время оставались оценка А.Н.Колмогорова - Г.А.Селиверстова [18] и А.И.Плеснера [22]: если / € L2(T), то для почти всех х € Т

Sn(f,x) = o((logn)l),

и ее обобщение на случай If (Г) (1 < р < 2), полученное Дж. Литтл-вудом и Р.Пэли [21]: если f е D^T) (1 < р < 2), то

Sn{f,x) = o((logn)p) п.в.

Что же касается задачи 1, то до середины 60-х годов не было даже известно, следует ли из непрерывности функции сходимость ее ряда Фурье почти всюду, пока в 1966 году Л.Карлесон не установил справедливость гипотезы Лузина. В работе [8] Карлесоном получены следующие результаты:

а) если / € £(log+ Z)l+i, 6 > 0, то

Sn(f, х) = o(bg bg тг) п.в.;

b) если / € Lf при p > 1, то

Sn(f, я) = o(log log log n) п.в.;

c) если / € X2, то ряд Фурье функции / сходится почти всюду. Доказательство утверждения а) подробно изложено в [7]. Другое доказательство утверждения с) было предложено Ч.Фефферманом [12]. Подробное изложение этого доказательства дано в [2].

Используя метод Карлесона, в 1967 году Р.Хант [14] распространил утверждение о сходимости п.в. рядов Фурье на функции из классов Lp, р > 1, и L(log+ L)'2. Обозначим через

il//(x)=sup|Sn(/,x)|, х ет,

п>0

максимальную функцию частичных сумм ряда Фурье (1) функции f{x). Хант доказал, что

1) ||ЗД < СрН/и,, 1 <р < ос]

2) ||M/»i < C/t/(^)|(log+ \f{x)\)4x + С;

3) тп{х 6 Г : Mf(x) > у} < С exp{-C(//||/|U}. У > 0.

Из утверждений 1) и 2) следует сходимость п.в. Sn(f.x) к f(x) для функций из соответствующих классов. Положим

г? e'int fit)

= J Vtldt>

M*f{x) = sup \S*(f,x)), xeT.

n>0

Основным результатом работы [14], из которого получены оценки 1)-3), является следующая оценка для характеристической функции хг произвольного измеримого множества F С (—7г, jt):

гп {х е Т : M*{XF, *) > у] < (ВР)"у-р • mF, (3)

где у > 0, 1 < р < ос, Вр < Const ■ р2/(р - 1). П.Шёлин [23] в 1969 году перенес оценку (3) на случай максимальной функции M\f(x)

частичных сумм ряда Фурье по системе Уолша. Далее в [23] доказано, что из (3) следует

т {г € Т : M'{Xf, х)>у}< С- log (■-) ■ mF, (4)

у \у/

О < у < 1/2, С — const, где в качестве М* могут быть взяты как M*f{x) - определенная выше максимальная функция модифицированных частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, так и Mf{x) ~ максимальная функция частичных сумм ряда Уолша.

Используя (4), Шёлин доказал, что если / € £(log+ L){log+ log+ L), то тригонометрический ряд Фурье и ряд Фурье-Уолша функции / сходятся почти всюду.

Рассмотрим теперь случай кратных тригонометрических рядов Фурье.

Пусть d > 2 - натуральное число, Td = [— ж, тт)л - ¿-мерный тор, Z*-целочнслеяная решетка в Rd, к = (ki,...,kj) G х = (xi,...,xj) 6 Ts, кх = k[Xi 4-... -)- k^xj,

Е wikt (5)

k^Z*

~ кратный тригонометрический ряд Фурье суммируемой на Td функции /, а

S„(/,r) = Snd(/,x)= Е

t=(fci.....ii):m«|t(|<B

- его n-ая кубическая частичная сумма.

Ряд (5) сходится по кубам (в случае d = 2 - по квадратам) в точке xq € Td, если последовательность 5„(/,аго) имеет предел при п —+ оо

Через = tp(L)(Td) обозначим множество всех измеримых функций, определенных на d-мерном торе и таких, что

/и,(|/(*)|)Л<оо.

Td

Здесь <р и (ра те же, что и в рассмотренном выше одномерном случае.

Сходимость почти всюду по квадратам рядов Фурье функций /(х) € L7{T2) была установлена Н.Р.Тевзадзе [5]. Ч.Фефферман [11] распространил этот результат на функции f{x) 6 Lp{Td), р > 1, d > 2, а

затем П.Шёлин [24] доказал, что если / € I(log+ L)d(\og+ log+ L)(TJ), то ее ряд Фурье сходится по кубам почти всюду. Для доказательства последнего результата Шёлия использовал свою теорему [23] о сходимости п.в. рядов Фурье функций из L(log+ ¿)(log+ log+ L) в одномерном случае.

Наилучший на сегодня результат, касающийся расходимости по кубам на множестве положительной меры кратных рядов Фурье функций из <p(L){Td), d > 2. принадлежит С.В.Конягину [19]: для любой функции <р(и) ~ о( »(log u)d~l\oglog и) при и —г оо существует /(х) £ ip(L){Td) с расходящимся всюду по кубам рядом Фурье.

Цель работы. Получение новых достаточных условий сходимости почти всюду и оценок скорости роста тригонометрических рядов Фурье функций одной переменной. Перенесение полученных результатов на функции многих переменных для случая сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье по кубам.

Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Установлено, что условие / G I(log+ £)(log+ log+ log+ L)(T) является достаточным для сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье функции /. Получены оценки скорости роста частичных сумм рядов Фурье для функций из классов, "лежащих между" ЦТ) и L(log+ L)(log+log+ log+ L)(T).

2. Доказана теорема о связи между классами сходимости почти всю-

ду в одномерном и многомерном случаях. Из этой теоремы и ре-

зультата о сходимости почти всюду простых рядов Фурье функций из класса £(log+ L)(log+ log4 log+ L)(T) следует сходимость почти всюду по кубам кратных рядов Фурье функций из классов ^log+L),'(log+log+log+I)(ri), d> 2.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные в работе идеи доказательств могут быть использованы для дальнейшего изучения вопросов сходимости почти всюду рядов Фурье, не только тригонометрических.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на совместном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН. (под рук. проф. Ю.Н.Субботина и проф. Н.И.Черных), на Международной конференции по теории функций памяти С.Б.Стечкина (Миасс, 1996 г.), на Международной школе С.Б.Стечкина по теории функций (Миасс, 1997 г.), на 27-й и 28-й Молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 1996 и 1997 гг.), на 9-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 1998 г.).

Публикации. Осповные результаты диссертации опубликованы автором в работах [26] - [30].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения ц трех глав. Объем диссертации - 72 страницы. Список литературы содержит 41 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен обзор работ, связанных с темой диссертации, и сформулированы осповные результаты диссертации.

В главе 1 сформулированы известные утверждения, используемые в последующих главах: теорема Стейна о пределе последовательностей операторов (теорема А), неравенство Колмогорова для сопряженных функций (теорема В) и ее обобщение на сопряженные функции многих переменных (теорема С), оценка Ханта для максимального оператора частичных сумм ряда Фурье характеристических функций

(теорема D), теорема о совпадении почти всюду множеств сходимости ряда Фурье и ряда с ним сопряженного (теорема Е) и. наконец, неравенство типа (\,у) Для оператора сопряжения (теорема F). Из этих результатов в качестве следствий получены утверждения (леммы 1.1 - 1.4), непосредственно применяемые в дальнейшем.

Глава 2 посвящена рассмотрению поведения частичных сумм рядов Фурье функций одного переменного. В п.1 доказан следующий основной вспомогательный результат.

Пусть Un(f,x), п g N. - последовательность операторов такого вида:

ад, X) = /Q„(x - t)f(t)dt, / G ЦТ),

T

где ядра Q„(t) : Т —> Л - непрерывно дифференцируемы на Т. Обозначим

СГ(/,х) = вир|ВД,г)|.

Теорема 2.1. Пусть непрерывная, неубывающая и неограниченная функция ф : [А, -Ьоо) —♦ [0,+ос), А > А, удовлетворяет условию

ф(и2) < Кф(и)

для некоторой постоянной К > 1. Предположим, что найдется константа Со > 0, такая что для характеристической функции Хг произвольного измеримого множества F С Т выполняются неравенства

т{хеТ:иг(хг,*)>у}<Со-ф(-)тГ, 0 < у < 1/А.

у \у/

Тогда для любой / £ Lip(L) log"1" log+ ф{Ь) почти всюду выполнено неравенство

U\f,x)<+oo.

В качестве следствий теоремы 2.1 и лемм 1.1-1.3 в п.2 получены теоремы о поведении (сходимости и скорости роста) частичных сумм рядов Фурье.

Теорема 2.2. Если f е I(log+I)(log+log+log+Z), то S„(f,x) -* f(z) почти всюду.

Теорема 2.2 является усилением результата Шёлина о сходимости почти всюду рядов Фурье функций из класса Z(log+ L)(log+ !og+1). В отличие от Хаита и Шёлина, при доказательстве теоремы 2.2 (на основе оценки (4)) мы аппроксимировали частичные суммы St(f.x) (к = 1,..., п) частичными суммами линейных комбинаций характеристических функций, не заботясь о приближении самих функций /. Из всех элементов доказательства основных результатов работы конструкция таких аппроксимаций представляет здесь наиболее существенное дополнение к методу Карлесона - Ханта - Шёлина исследования поведения частичных сумм рядов Фурье почти всюду.

Теорема 2.3. Пусть .4 > 4, непрерывная функция ф : [.4, +ос) —+ [О,+оо) такая, -что

1) ф(и) не убывает на [A,-foo);

2) функция (log и)/(ф(и)) не убывает на [А,+ос);

3) ф(и) = o(logu) при и —► +ос.

Тогда для каждой функциг1 f € Lu'(L) log log w(L) почти всюду справедлива оценка

Положим в (и) = ф(и) log log ф(и). В терминах в(и) утверждение теоремы 2.3 будет выглядеть так:

Теорема 2.3'. Пусть А > 4, непрерывная функция в : [.4. +ос) —► [О, +ос) такая, что

1) в(и) не убывает на [А, +оо);

2) функция (log и • log log 9(и))/(9(и)) не убывает на [А, +оо);

3) в(и) = o(log и ■ log log log и) при и —► +оо.

Тогда для каждой функции / £ Ьв(Ь) справедлива оценка

(6)

Теорема 2.3 (теорема 2.3') есть обобщение результата Харди [13] о том. что если / € Ь, то

$.(/,*•) = о(Ьеп) п.в..

Оценка Харди получается, если в теореме 2.3 положить ф{и) = 1 (или в теореме 2.3' 9(и) = 1). Вопрос о неулучшаемости оценок (6), также как и вопрос о неулучшаемости оценки Харди, остается на сегодняшний день открытым. Неясно также пока, можно ли усилить теорему 2.2, расширив класс функций со сходящимися почти всюду рядами Фурье.

В главе 3 мы обращаемся к проблеме сходимости кратных рядов Фурье. Здесь доказана теорема, позволяющая переносить результаты о сходимости почти всюду простых рядов Фурье функций из классов <р(Ь) на кратные ряды Фурье в случае сходимости по кубам.

Неотрицательную неубывающую, функцию ■ф(и) назовем медленно растущей, если при любом 6 > 0 функция ф{и)и~6 убывает при достаточно больших и.

Будем говорить, что функция V»: [0, +оо) —► [0, -Нос) удовлетворяет условиям (7), если

9(0) = 0, <р(и) выпуклая и возрастающая на 0 < и < оо, ¥?("*) вогнутая, и € [0, +оо).

Теорема 3.1. Пусть функция 11'(и) медленно растущая и пусть для всех натуральных (1 существуют константы щ, такие что функции

<рЛ(и) = иф(и + «¿)(1о§(и + ин))',~1 удовлетворяют условиям (7). Предположим, что для любой функции

Нт Б„и,х) - /(х) п.в.

Тогда для любого <1 > 1 если / € <рл(£)(Т<'), то ряд Фурье функции / и все его сопряженные ряды сходятся по кубам почти всюду.

Следующее утверждение есть следствие теорем 3.1 и 2.2.

Теорема 3.2. Если / € I(log+I)i(log+bg+log+I)(34'), d > 1, то

ряд Фурье функции f и все его сопряженные ряды сходятся по кубам почти всюду.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Николаю Ивановичу Черных за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Лузин H.H. Интеграл и тригонометрический ряд. М., 1915, 242 с.

2. Лукашенко Т.П. Сходимость почти всюду рядов Фурье функций, суммируемых с квадратом, М., изд-во МГУ, 1978, 109 с.

3. Осколков К.И. Подпоследовательности сумм Фурье интегрируемых функций // Современные алгебра, анализ, топология. Сборник статей. Посвящается академику Л.С.Понтрягину к его семидесятипятилетию. М., Наука, 1985, (Труды МИАН, т.167) с.239-260.

4. Прохоренко В.И. О расходящихся рядах Фурье // Мат. сборник, 1968, т.75 (117), №2, с.185-198.

5. Тевзадзе Н.Р. О сходимости двойного ряда Фурье функции, суммируемой с квадратом // Сообщ. АН ГССР, 1970, т.58, №2, с.277-279.

6. Хеладзе Ш.В. О расходимости всюду рядов Фурье функций из класса Lip(L) // Труды Тбилисского мат. института АН ГССР, 1989, т.89, с.51-59.

7. Черных Н.И. О поведении частичных сумм тригонометрических рядов Фурье // УМН , 1968, т.23, №6, с.3-50.

8. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta math., 1966, v.116, №1-2, p.135-157.

9. Chen Y.M. On Kolmogoroff's diver jent Fourier series // Archiv der Mathematik. 1963. v.14, №2, p.ll6-i"i9.

10. Chen Y.M. An almost ewerywhere divergent Fourier series of class L(log+ log+£)1-- // J. London Math. Soc., 1969, v.44, p.643-654.

11. Fefferman C. On the convergence of multiple Fourier series // Bull. Amer. Math. Soc., 1971, v.77, 3V«5, p.744-745.

12. Fefferman C. Pointwise convergence of Fourier series // Ann. Math.. 1973, v.98, p.551-571.

13. Hardy G.H. On the summability of Fourier series // Proc. London Math. Soc., 1913, v.12, p.365-372.

14. Hunt R.A. On the convergence of Fourier scries // Orthogonal expansions and their continuons analogues, SIU Press, Carbondale, Illinois. 1968, p.235-255.

15. Hunt R.A. An estimate of the conjugate function'// Stud, math., 1972, v.44, №4, p.371-37S.

16. Kolmogoroff A. Une série de Fourier - Lebesgtie divergente preque partout // Fund, math., 1923, v.4, p.324-328.

17. Kolmogoroff A. Une série de Fourier - Lebesgue divergente partout // C. r. Acad. sei. Paris, 1926, v.183, p.1327-1329.

18. Kolmogoroff A., SeliverstofFG. Sur la convergence des séries de Fourier // Rend. Accad. Naz. Lincei, 1926, v.3, p.307-310.

19. Konyagin S.V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes // Acta Sei. Math. (Szeged), 1995, v.61, p.305-329.

20. Kömer T.W. Ewerywhere divergent Fourier series // Colloquium Mai ematicum, 1981, v.45, JV'l, p.103-118.

21. Littlewood J.E., Paley R.E.A.C. Theorems on Fourier series and power series // (1) Journal London Math. Soc., 1931, v.6, p. 230-233, (11) Proc. London Math. Soc., 1936, v.42, p.52-89, (111) Proc. Loudon Math. Soc., 1937, v.43, p.105 126.

\

1-1

22. Plessner A. Uber Konvergenz von trigonometrischen Riehen // Journal für reine und angew. Math., 1926, v.155, p.13-25.

23. Sjölin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series // Arkiv fór mat., 1969, v.T, p.551-570.

24. Sjölin P. Convergence almost everywhere of sertain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv for mat., 1971. v.9. JN-1, p.65-90.

25. Tandori K. Ein Divergenzsats für Fourierreihen // Acta Sei. math.. 1969, v.30, p.43-48.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

26. Antonov N.Yu. Convergence of Fourier series // East Journal on Approximations. 1996. v.2, >2. p.187-196.

27. Антонов Н.Ю. О сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье // Молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики"'. Тезисы докладов конференции N 27.- Екатеринбург: УрО РАН. 1996. с.13.

28. Антонов Н.Ю. О поведении частичных сумм тригонометрических рядов Фурье // Молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезисы докладов конференции N 28.- Екатеринбург: УрО РАН, 1997. с.23-24.

29. Антонов Н.Ю. Сходимость почти всюду кратных рядов Фурье // Деп. в ВИНИТИ 24.11.97, №3444-В97.

30. Антонов Н.Ю. Сходимость почти всюду по кубам кратных тригонометрических рядов Фурье // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы,- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997, с.13.