Коэффициенты Фурье гладких функций и плотности упаковок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГБ ОН

2 7 МОИ Щ|кко-ТЕШЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР

АКАДЕМИИ НАУК УКРАИНЫ ИМ. Б. И. ВЕРКИНА

На правах рукописи

КОГлЛР Борис Давидович

КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ И ПЛОТНОСТИ УПАКОВОК

Специальность 01. 01. 01 - "Математический анализ"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математическюс наук

Харьков - 1994

Работа выполнена в Государственном научно-исследовательском проектно-консгрукторскок технологическом институте механизации труда в черной металлургии

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Кадец М. И. ; доктор физико-математических наук, профессор Твыан И Ф. •. доктор физико-математических наук, профессор Семаков Е.И

Ведущая организация - Институт прикладной математики и механики Академии наук Украины.

Защр'э диссертации состоится «. /3, ¿У 1994 Г.

в / £ часов на заседании специализированного ученого совета Д 016.27. 02 в Физико-техническом институте низких температур Академии наук Украины им. Б. И. Веркина по адресу-. 310164, г.Харьков, пр. Ленина, 47.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан _1994 Г.

И. о. ученого секретаря специализированного ученого совета

А

В. П. Котляров

«

ОЕНАЯ ХАРЛКТ Е РИС ТИКЛ РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследования по абболттои сходу» гти рядов Фурье и многие сопутствующие результаты прияе.ш к пс-ним-ли» ТОГО, ЧТО ЭТИ ряды СХОДЯТСЯ, вообще Говоря, ('■¡¡¡стрее, чем зг • диктуется предельным порядком убывания коэффициентов Фурье. Возни-юга неосходамость исследования более тонкого характера порядка убывания этих коэффициентов в зависимости от разностных свойств (гладкости) разлагаемой в ряд Фурье функции, ь частости, из теорем типа Бердагеана и Сасэ следует, что ло^лдок ¡/оыв^шш коэффициентов Фурье функции "в среднем" завышен-, степень этого превышения нуждается б изучении с тем, чтооы иметь возможность точнее оценивать скорость, сходимости ряда Фурье б различных метриках. -В связи с этим возникает проолема оценки множеств коэффициентов Фурье, которые стремятся к нулю с той или иной скоростью. В то же время стало ясно, что многие результчтн, связанные с коэффициентами Фурье, естественно получать дугея исследования спектров интегральных операторов Фредгольма.

Весьма актуальными являются проблемы определения плотностей оптимальных упаковок ограниченных множеств ограниченными множествами. До настоящего времени оценки таких плотностей давались, в основном, для всей плоскости или всего многомерного арифметического пространства: однако на практике обычно сталкиваются с упаковками ограниченных множеств, причем, как правило, задача решается' с помощь» различных модификации переоорэ. У всех используемых алгоритмов есть один существенный недостаток - необходимость установить момент прекращения его работьц этот момент можно определить с точно или приближенно) с помощью оценок сверху для плотностей упаковок. Такая задача - нахождение нетривиальной априорнои верхней границы для плотности упаковки - является достаточно загнои. ь частности, необходимо создать аппарат, гозволяюшда получать эффективные оценки плотностей упаковок.

К задачам нахождения оптимальных унаковок примыкает вопрос о нахождении минимальных групп-преобразовании, обеспечивающих равно-

составленность равновеликих многоугольников-, эта задача, решенная ранее в евклидовом случае, нуждается в дальнейшем исследовании. ,

Пель диссертации:

- исследование порядка убывания сингулярных чисел интегральных операторов;

- исследование скорости убывания коэффициентов Фурье и Фурье-Уолша гладких функции "в среднем";

■ введение и исследование новых плотностей множеств натуральных чисел;

- получение новых оценок плотностей упаковок ограниченных множеств трзнслятами ограниченного множества-,

- изучение связи этих оценок с преобразованиями и рядами

Фурье;

- опт-еделение всех - групп преобразования, обеспечивающих равносоставленность равновеликих многоугольников на сфере и эллиптическое плоскости.

1ееретическая, и методологическая основа работы - современные теории интегральных операторов, теории рядов Фурье, анади-•глческой теории чисел, комбинаторной геометрии.

Научная новизна и теоретическая значимость работы. Б работе получены следующие новые результаты:

- даны оценки спектров интегральных операторов Фредгольма б зависимости от разностных характеристик и поведения р- П -вариации ядер эгих операторов;

- получены оценки невозрзстзщих с по модулю) перестановок коэффициентов Фурье и Фурье-Уолша функции;

- введены новые плотности (псевдомеры) множеств натуральных чисел «чеззровские плотности);

- в терминах чезаровских плотностей множеств натуральных тлс-?д описаны множества коэффициентов Фурье, убывающих существенно '-•исттее, чем это диктуется гладкостью функции-,

- такие же множества коэффициентов Фурье описаны в терминах скоростей у/кБэкия к нулю допредельных выражений для асимптоткче-

''КДХ -''"С у ■

- ".ведена асимптотическая плотность множеств, состоящих из -г»ек целочисленных решеток в многомерных пространствах;

- б терминах асимхтготических плотностей подмножеств многомер-ре^егек -описаны коэффициенты_Фурье функции многих переменных;

- предложен метод функции с нулевым средним для получения

оценок сверху плотностей укладок ограниченных множеств;

- получены оценки сверху и точные оценки плотностей упаковок параллелотопов-,

- получены оценки сверху плотностей упаковок нечетких подмножеств многомерного арифметического пространства и многомерного тора:

■ установлена связь между получением нетривиальных оценок плотностей упаковок и убыванием коэффициентов Фурье-,

- решена проблема определения всех групп С} преобразовании, относительно которых равновеликие многоугольники являются 0- -раэ-носостэвленными на двумерной сфере и эллиптической плоскости.

Практическая ценность работы. Показана возможность применения спектров интегральных операторов к задаче распознавания образов. Полученные точные оценки плотностей оптимальных упаковок позволяют решать соответствующие задачи раскроя и контеинеризации. Оценки сверху плотностей упаковок позволяют определить моменты остановок алгоритмов перебора, дающих достаточно плотные укладки ограниченных множеств.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-30], докладывались (или публиковались в тезисах) на Международной математической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. Банахз (Львов, 1992), Всесоюзных конференциях по теории функций (Днепропетровск, 1985, 1990), IV, 1/п, хх Всесоюзных конференциях по теоретической кибернетике (Новосибирск, 1977; Иркутск, 1985; Волгоград, 1990), Всесоюзной конференции по комбинаторной геометрии (Батуми, 1985), IX Всесоюзной конференции по геометрии (Кишинев, 1988), Международной конференции "Лобачевский и современная геометрия" (Казань, 1992), Республиканской конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского (Одесса, 1992), Всесоюзных школах по теории операторов (Минск, 1978), по функциональному анализу (Воронеж, 1970, 1971), по суммированию рядов (Нальчик, 197О), посвященной 100-летаю со дня рождения Н. Н Лузина (Кемерово, 1983), V Всесоюзном семинаре по комбинаторному анализу (Москва, 1981), семинаре "Метода поисковой оптимизации и размещение геометрических объектов" (Харьков, 1976, 1981), Республиканской конференции "Математическое обеспечение проектирования в машиностроении" (Харьков, 1978), семинарах МГУ, Московского педагогического государственного университета, ДГУ. ДонГУ, Днепропетровского химико-технологического института, семи-

наре "Геометрические вопросы анализа" (Днепропетровск).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 139 работ. Общий объем - 173 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность задач, 'решению которых посвящена работа, сформулированы цели исследования и описаны основные результаты, которые выносятся на защиту.

Глава 1 посвящена оценкам спектров интегральных операторов Фредгольма и неубываниях (по модулю) перестановок коэффициентов рядов Фурье и Фурье-Уолша.

В § 1.2 исследуется задача о принадлежности интегральных операторов Фредгольма норм-адеалам. Предложен метод, основанный на использовании диадаческоа группы и ортонормированной системы Уолша. Решение одаог проблемы И. Ц. Гохберга и М. Г. Крегна дает

Теорема 1.1. Пусть ^¿o^jn, ё) и удовлетво-

ряет по переменной S условию , o<°t-á4 ■ тогда оператор

A; » определенный формулой

tAvKt) = lALt, s)W) is, iD

o

принадлежит норм-идеалу <Q¡, при p > ^н"'

Теорема 1.2. Пусть Aífc/SJf^ía^; а,й) и удовлетворяет по переменной £ условии , o<íoL-á. 1, в метрике $) , J ¿r 6Z Тогда оператор А , определяемый формулой (1), принадлежит норм-идеаду при Р>^(ТыРJ-

Теорема 1.3. Пусть Afcfvs) о, в) удовлетворя-

ет по переменной S условию Щ>а<. , oc«=t¿í, и является по этой переменной функцией ограниченной вариации равномерно по t . 1огда оператор Д ссм. d» является ядерным.

Из теорем\1.1-1.3 вытекают известные теоремы Бернштейна, Caca, Зигмунда. Б теореме 1. 3 нельзя отказаться от требования принадлежности ядра А & SÍ классу ¿Cy> <¿ , даже если оно абсолютно непрерывно; в то же время для принадлежности оператора норм-идеалам , р>4 , достаточно лишь ограниченной вариа-

ции ядра. (теорема 1. 4). В теоремах 1.1-1.3 можно заменить функциональные классы аналогичными, в которых условие Jbmraua- выполняется на диадическои группе-, тогда получаются следствия о коэффициентах Фурье-Уолша функции, заданной на (0,1 к

В § 1.3 рассматриватся вопрос об индивидуальных оценках син- . гулярных чисел {.s^J интегрального оператора Фредгольма через модуль непрерывности его ядра. При этом модули непрерывности рассматриваются в метриках L?¿a, i) , ÍP-(o,TJ , С (РЛ> и С(о,т) , и обозначаются соответственно через Oü(fi,IJ-) , CcCk/l^J , Cj(fi.C) и C*>CK,0).

Теорема 1.5. Пусть AQ¡$)€l?'Ca,£\a,tK оператор Д действует по формуле <1> и co(k¡") - модуль непрерывности функции Д (jt s) по второй переменной. Тогда

/V ^

Пусть U~(OjT'Oj)t ядро периодично с периодом Т по каждой

переменной) и оператор действует по формуле

-ÍA^sJ WÍÍS. о

Тогда

(А) « ^(А)

diy4aea)(l,L1)^ принадлежат Дэнфорду и Шварцу. Из те ремы 1.5 вытекает ряд следствия для рядов Фурье. Цусть {C¡) означает не-вэзраставдую перестановку модулей коэффициентов Фурье

Следствие 1.7. Пусть с модулями непрерыв-

ности «(.ft,!*) и ío(trC) ; тогда

Из следствия 1 7 вытекает известные творены Бершвтейва и Caca

о поведай» коаффициэнтов фуры. Теорема 1.7 позволяет па*учеть новью результаты о гтривгииигаости оператсроа нор»-кд»алг* Так,

I . Ь^+к • 1-0 A£€?f дм

з 1.4 посвящен индивидуальным оценкам невозрастанием (по модулю) перестановок коэффициентов рядов Фурье-Уолта. Б § 1. 5 исследуется порядок убывания сингулярных чисел интегральных операторов с дифференцируемыми ядрами, причем применяется метод М. Г. Креина в сочетании с некоторыми другими результатами.

Теорема 1.10. Пусть ядро интегрального опера-

тора с!) имеет <-в производную <в среднем) по переменной ^ ,

являющуюся ядром оператора А«

Если

р при р

Акбвъ 1

то

>

если

т о

'р при Р >

При — этот результат принадлежит М. Г. Крепну. Следствие. 1. 22. Пусть ядро А интегрального оператора имеет К-ун производную <в среднем) по переменной 5 , удовлетворяющую по этой переменной условию ¿¿уэ оС в

. Тогда

А при р>-

у

для'

для

£ 4 ;

^ ^ Я.

1. 23.. Пусть £ - £я"-периодическая функ-. производную с в среднем), пррад-< { , в Ъ'Со^к) .. Тогда для коэффициентов Фурье функции по тригонометрической системе справедливо неравенство

Следствие ция, | £ 2-П) и имеет лежащую классу

¡сМ

< + оо

при р>-

К+о1. + 4г

К+^-Н-*/'?'.

'для

ДЛЯ -1 <: ^ < Я.

Из этого следствия вытекает известный результат Caca, в котором рассматривается обычная производная. -

Следствие 1.25. Пусть ядро A&/S) интегрального оператора (1) имеет К-ю производную Aok(¿,s) такую, что

iraЪ. Аок Cl,s) < t00 ; ~b 5

тогда

Y

А£ при Р •

В § 1. 6 доказана теорема об "исправлении функции" для рядов Фурье-Уолша, аналогичная классической теореме Меньшова.

Теорема 1. 13. Пусть - измеримая функция, конечная почти всюду на [0,1]. Каково бы ни было бо , можно построить функцию , совпадающую с на множестве Е , пш ,

и такую, что ряд Фурье-Уолша функции ^(рс) сходется равномерно на fO.ll.

На деле доказывается несколько более сильный результат - множество Е можно выбрать таким образом, что и ряд Фурье по тригонометрической системе, и ряд Фурье-Уолша "исправленной" Функции сходятся равномерно на [0,1 j.

В § 1. 7 вводится понятие р - П -вариации функции / .заданной на Cai &Ц ; она вычисляется по формуле

= ^Z i h^-k^f,

а,' 4.«. <=(

где Suf> берется по всем разбиениям СР-Л1 на П частей. (В случае p=f это понятие введено и использовано Я А. Чантурия в вопросах равномерной и абсолютной сходимости рядов <»'у;ь<?> лнал ■ гично определяется р - ÍL -вариация функции-двух переменных A(t,$) по второй переменней ^

spt yfCA-M*)),

где Yp\A',m)L't) - р- п-вариация функции A(i, s) ;; ьторои переменной при фиксированной первой. Пусть Ао-^И, 5) - производная в среднем от A(t,s) по зтороя переменной, К £ 2. , К^О пусть Aol<(¿,s)é¿f(a,é' а,ё) и непрерывна по второй переменной-.

Теорема i. 14. Для любого fc и сингулярных чисел

оператора (1) с ядром A$/s) справедливо неравенство

5ДЛ) « О^ПА^С))^, (A; п))*).

Следствия i. 26 и i. 2? из теоремы I. 14 дают соответствующие оценки для невозрастания* «по модулю» перестановок коэффициентов Фурье и Фурье-Уолша функция. Ь них содержится ряд известных результатов; в частности, они "интерполируют" теоремы со абсолютной сходимости рядов Фурье, связанные с модулем непрерывности функции <Ьернштейн, Сас», и теоремы, связанные с ограниченной вариацией функции «Зигмунд, Салем». однако теорема i. 14 и следствия из нее содержат и много существенно новых результатов; так, из следствия 1. ?.ь вытекает абсолютная сходимость ряда Фурье функции C<-t < 2.тс, периодически проложенной с периодом 27Г «отметим, что и vab$ = f-*> ¡

«1.8 посвящен оценкам сингулярных чисел операторов, повышающих гладкость в анизотропном случае.

. Пусть

¡я'иеф

где О - мультииндекс целочисленной решетки У\ пространства

IR'1' , +, ; область CC/R*-

6 ¡** *

и удовлетворяет условиям, при которых возможно продолжение соответствующего класса функции на куб с ребрами, параллельными координатным осям. Пространство снабжено нормой

|М

ií=I

максимальное

пусть . С

подмножество Г при естественном частичном упорядочении мультиин-дексов ¡Г6 Л ■ Рассмотрим линеинык ограниченный- -оператор Т: •¿•Мр^Ы с ооласт-:?.) значении ЯСГ)С»/Мс1для некоторого .

Через Т обозначим оператг-р, задающим то же соответствие, что и оператор Т~ , но действующий из ^¿"'''УС/ в .

I е о .р в.м а 1. 1о. .„уеть (Т) - сингулярные числа оператора Т ' ; гигда д:я некоторой константы с >0«не зависящей

от ^ ) выполняются неравенства

где ^ = и-л) . _ ы , .

Теорем а 1. 16. Пусть Т:' ,

и для некоторого действительного числа р>0 Тб^СШ'^'^У^^'^) ; тогда

5/Т)==<Г) ^ И*00 •

где

-Н у.

3 г

й з 1. 9 приводятся замечания о точности оценок, подученных в !• 3-1. 5 и 1. 7. § 1. 9 посвящен вопросу о принадлежности норм-идезлак операторов с интегрируемыми ядрами-, здесь ограничения накладываются не на гладкость ядра, а на рост (в той или иной метрике) нормированных сооственных функции оператора.

В § 1. 11 рассматривается одно применение сценок спектра интегрального оператора к задаче о распознавании образов. Показано, как с помощью интегральных оператрров метод потенциальных функции в теории распознавания сводится к методу разделения в диагностическом пространстве.

Глава 2 посвящена исследованию вопроса о порядке убывания коэффициентов Фурье функция. заданных своими разностными свойствами (гладких функций). - ^

В § 2.1 приводится постановка задачи. Пусть {г € классу

периодических с периодом 2ТГ функция, К-я производная которых удовлетворяет условию . Для коэффициентов Фурье Сл. Функции

I по тригонометрической системе хорошо известен порядок убывания Однако для принадлежности функции соответствующему классу на нее необходимо наложить более жесткие условия. Такое положение оказывается правило* - в работе устанавливается, что точныV порядок убывания коэффициентов Фурье для функция конечно;? гладкости достигается на очень "бедном" множестве номеров Л 6 2 этих коэффициентов. Исходными мерами «на деле - рсевдсмерами». позволяющими оценить "размер" такого множества кокеров, явились логарифмическая и асимптотическая плотности и множества 7} С А/ «в теоремах 2.1, 2. 2 функции предполагается комплекс-

позначными, в остальных теоремах главы 2 - вещественнозначнымю. Теорема 2.1. Пусть и с>£> ;

тогда 1гш>„Я1=0.

Теорема 2.2. В условиях теоремы 2.1 Щ — О. Теоремы 2.1 и 2. 2 дают лишь грубую характеристику множества Т(Ь - ведь это множество зависит от К и о(. , а утвервдение < равенство О соответствующей плотности) игнорирует это обстоятельство. Возникает задача поиска более тонких признаков, с помощью которых можно было бы оценить убывание коэффициентов Фурье, взятых в их естественном порядке I ср. с результатами А. И. Рубинштейна и Б. И. Голубова о лакунарных подпоследовательностях номеров коэффициентов Фурье).

В § 2.2 дается характеристика множеств типа множества Ш через скорость стремления к О допредельных выражений в определениях асимптотической и логарифмической плотностей. Теорема 2. 3. Пусть л • с>С)

. Р6(0,

Ж г 7)1(1; {п€/У|

Тогда для любого £>0 р

N гьет,

Слева стоит допредельное выражение в определении асимптотической плотности, так что из <2> следует теорема 2.2. Конечно, если О <к+< , то множество с, р.) состоит лишь из конечного

числа элементов; легко однако показать, что утке при £ мошт быть бесконечным.

Теорема 2. 4. В условиях теоремы 2.3

Возникает вопрос о других характеристиках мноиества Щ. Ясно, что из теоремы 2.2 вытекает равенство О плотности по Шни-рельману мноиества 1?1 . Однако это множество еда -беднее" - его можно охарактеризовать в терминах баЬисов множеств натуральных чисел (введенных Шнирельманам). Приведем типичные результат с § 2.3).

Теорема 2.6. Пусть &л>0 - синус-коэффициенты функции I , АсЛ/ - множество положительной плотности по Шнирельмэну т(А) у о ; О.С.М - множество, содержащее все достаточно большие натуральные числа, С>О и

% =Г И с, у) - ДМ 1 с/ггГ} .

Тогда 71 не содержит никакого базиса t -го порядка множества А и никакого базиса ¿-го порядка множества С

В § 2. 4 вводятся и исследуются псевдомеры, с помощью которых дается характеристика множеств целых неотрицательных чисел, являющихся номерами коэффициентов Фурье гладких функций. Введем семейство плотностей, построенных на общих чезаровских методах суммирования равенством

тГп^ йгп а;;; >

если предел справа для множества 75: СДУиМ существует: здесь Ак

определяется разложением ¿Е. А— 6~х) . При б"=/ определение

<=о

дает известную асимптотическую плотность. Соответствующее среднее (интеграл) функции ^ целого неотрицательного аргумента определяется равенством

Теорема 2.7. Пусть ^ и /г - функции целого неотрицательного аргумента, ^(о)— ~ О , и

Если существует интеграл М ^Ср, О ^ /., и

< оо

г

И > < 1) П--< С,

то существует интеграл М ((-), причем

Следствие 2. 1. Пусть л, - функция натурального аргумента ,

л»

и выполняется (4). Тогда для люоого 6 £(о (Ц существует интеграл , причем

и-Ч

При & = 1 отсюда следует известная теорема ьинтнера. Среднее (интеграл) функции I натурального аргумента по логарифмической плотности обозначим через .

Теорема 2.8. Пусть и Я - функции натурального аргумента, задана формулой (3). Если существует М^С*}) , выполнено (4) и сходится ряд

-5- Яоо

¿- п

то существует , причем

П.— 1

Ь § 2. 5 даются характеристики скорости убывания коэффициентов Фурье гладких функции в терминах введенных плотностей.

Теорем а й 9. Пусть СвЯ^ , , С^О ,

тогда дяя люоого <5 £ _>'!.] выполняется равенство ШьЩ=

- О .

В теореме 2. 10 аналогичный результат получен для функций, для которых условие Липшица выполняется в метрике 0; . При этом ггш^Щ — О для множества Ш , определяемого формулой (5), причем . где бч^гг';!] и

£ 6 ^ 6 -+-■1 £ у, £ 2..

ч й й. 6 вводится понятие асимптотической плотности для цело-

Г =

к +о1 + £ при

при

т

и. 13

■численных решеток в (R . Это понятие используется для описания коэффициентов Фурье функций многих переменных в терминах их мультиивдексов. Пусть Л. - решетка целочисленных точен в , — - система таких конечных подмножеств А , что .С/ Bj —

. В, с с ; - мощность множества

■Асимптотической плотностью множества Ti^A по системе 71 называется предел (если он существует)

пиьП в(В)»цгЯ = --L-Z {.

Рассмотрим класс Л & , функция £ П переменных,

ZЯ" -периодических по каждой переменной, и таких, что существует

а . У/

и принадлежат L~C°,i7t,S-" 10,тк) все производные ^ ■ ^

где tj ■ Коэффициенты Фурье функции ' f по

тригонометрической системе обозначим через CV . к ■

Нетрудно видеть, что С'к —0((nuL:'~ ' ^j' отсюда следует, что

¡£>¿1 < ч- °° при . Как И ранее <а s§ 2.2, 2.3, 2.5)

К6Л ^

можно показать, что множество коэффициентов Фурье, нз которых достигается приведенная оценка, является очень "редким". Назовем систему правильно пересчитываемой, если элементы к решетки _Л могут быть занумерованы натуральными числами fС«) так, что (1) номера элементов 8>j больше номеров элементов Вj ^ Bj -,

(считая, что Во— 0 ); (2) отображение f: Л -^-W таково, что mat 1ки. Ясно, что такая нумерация возможна для всех

<6/£4* '

естественных систем (состоящих из параллелотопов с ограниченным отношением длин ребер, гомотетов выпуклого множества, в частности, шаров и т. д. ). ^

Г е о р е м а 2.11. Пусть (ё.Л6 , система явля-

ется правильно пересчитываемой, С< - коэффициенты Фурье функций ^ по тригонометрической системе, С > О , ? € (о; ~ + ,

Ш ICkI^CC»«*!^-!^};

тогда для любого £ >0 _1

Z ).

lTVnB/V f-лЛ У»

Следствие Я. 2. В условиях теоремы 2.11 (— 0.

Глава 3 посвящена оценкам плотностей .упаковок ограниченных множеств и смежным вопросам. В частности, предложен метод получения таких оценок с помощью преобразования и коэффициентов Фурье.

В §§ 3. 2, 3. 3 и 3. 6 рассматривается задача об упаковке прямоугольника полосками (их размеры выражаются натуральными числами), а также оценки сверху плотностей упаковок параллелотопов. Подученные результаты далеко развивают, известную теорему Де Бреина-Клэрнера.

Изучается вопрос о заполнении прямоугольного параллелотопа р С К , вершины которого находятся в узлах целочисленной решетки и ребра параллельны координатным осям, конгруэнт-

ными "брусками", т. е. параллелотопами, длины ребер которых равны 1 для У1-\ ребра и равны для одного из ребер. При этом

бруски укладываются в параллелотоп Р так, что их вершины принадлежат . а ребра параллельны координатным осям-, сами бруски не перекрываются, а их "вытянутые" ребра могут располагаться в любом направлении.

Ясно, что для максимального числа 14 брусков, которые можно поместить в параллелотоп Р с размером ^х — , е^-блУ,

л. , справедлива тривиальная оценка

В случае П- =2 , т. е. упаковки прямоугольника Р размером ^ х О а полосками размером 4 х & задача решена полностью с -остаток от деления на & ; оценка сверху принадлежит автору,, оценка снизу - л. Р. Харитсну).

Георема 3.1. Число полосок при плотнешпея упаковке прямоугольника полосками равно

-¡;(а<*гГ тьф., -Нх- £ ;о ] при /ш{оь

1фИ к > йц. .

Для произвольного П 6 Л/ справедлива Теорема 3. 2. Число брусков Л1 • при плотнеяшей упаковке параллелотопа Р брусками удовлетворяет нравенствам'

n h- ^^

Это существенное улучшение оценки с 6).

Следствие 3. 1 сКлэрнер - случай П~И , Де Брейн -общий случай). Для того, чтобы существовала укладка брусков, полностью заполняющая параллелотоп Р , необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере одно из чисел dj нацело делилось на &

В § 3. 4 решается проблема о классификации групп С- преобразования, дяя которых любые равновеликие многоугольники Q. -равно-составлены. Для евклидовой плоскости эта задача решена в работах Хадвигера и Глюра и Болтянского. Полный ответ на такой же вопрос для случая двумерного пространства положительной кривизны дают следующие теоремы.

Теорема 3.3. Если любые равновеликие многоугольники на эллиптической плоскости £2 Q. -равносостзвлены, то груша С совпадает с группой D всех движения плоскости {г2, .

I е о р о м а 3. 4. Если любые равновеликие многоугольники на сфере S2<c(R3 Сг -равносоставлены, то группа £ совпадает либо с группой OCs) либо с группой £0(3).

Отметим, что теоремы неверны для пространств t , ^ при Приведенные теоремы характеризуют возможность полной упаковки многоугольника треугольниками, полученными при разрезании конгруэнтного многоугольника.

В § 3.5 излагается метод функция с нулевым средним получения оцвнок сверху для плотности упаковки ограниченного измеримого множества Ç-CU*", nui С > О . другим измеримым ограниченным множеством Кс R*", глиК>0. Ясно, что для плотности упаковки справедливо тривиальное неравенство

« tpl "

Пусть укяадка множества С^С. (И. состоит из неперекрывающихся образов множества /К*' при изометрических преобра-

зованиях tf£_7", где - некоторая подгруппа группы O(t) . допустим, что наедена функция f: С. удовлетворяемая условия«: дяя любого Té

Çfc*)dx=0; <e>

о ^ Ц я^йч < ч. <9>

Тогда неравенство с 7) может быть улучшено.

Г е о р е м а 3. 5. Если существует функция ^ , удовлетворяющая .условиям ( 8), (9), то

Разумеется, для получения нетривиальных оценок плотности упаковки с!(С,К) неоохедимо уметь строить функции, удовлетворяющие приведенным условиям (функций! с нулевым средним».

о а ¿. 6 рассматривается сотая задача укладки прямоугольного параллелотопа Р <ребра Р уже не обязательно являются целочисленным ю множествами, сечения которых прямыми, параллельными координатным осям, представляют соооя конгруэнтные отрезки; в частности , это могут оыть пчрчлелотогты, цилиндры и т. д. Функция / из 3 3. 5 строится с помощью ортонпрмированной системы Радом-¡хера.

Пусть К" , 8=:(й,)...,8н)-. измеримо© множество Д С II?назовем -допустимым, рели для алел прямой £ , параллельной оси Оу . имеем А(\[=ё люо Д — С^'Ц'Как ооычно, И . {•¿3 , означают соответственна г го.1"/-') часть . дрог.ну»

»-.четь "Ь и расстояние от "Ь д1 бликчишего целого-, - пло-

тность укладки множества МСЙК ^-допустимыми множествами.

георема 3. в. Пусть Р {хб щ

аЛ"; любой укладки Р -допустимыми множествами справедлива

"•ленка

Иногда можно получить и точный результат. а - ) /

Теорема 3. 7. Если в условиях теоремы 3. 6 V —--¿-для . ^ = 1 . ТО

им-®-

Теорема 3. 8. Ь .условиях теоремы 3.2 число брусков /Л при плтнеяшея .укл'лдке параллелотопа Р удовлетворяет неравенствам

В § 3.8 предлагается метод построения функция с нулевым средним с помощью интегралов Фурье. Рассматривается задача нахождения плотности .укладки ¿/(С} К) измеримого множества £ ^ Я"" тран-слятами измеримого множества с подгруппа ¿72:о(а) в этом

случае - группа трансляций). Неравенство (7» при этом может быть улучшено.

Теорема 3.10. Пусть

г -¿}х.

. ТО

г -lAx. /

t л»

о

0< 0<WilC<i-oo]

индикаторная функция множества /ч . Если £6 f?*' - нуль функции Пусть

'- шар с центром в точке радиусом

гб/R,

¿¿и, - объем шара Щ (О) , - функция Еесселя ¡ервого рода

порядка к

Следствие 3.з. _

где . Itytlt равна одному из корней функции ■

Теорема 3. 10 и следствия из нее эффективны для "небольших" множеств и для множеств с "извилистой" границей. Даже з двумерном случае здесь получаются новые результаты.

В § 3. 9 исследуется вопрос о плотности упаковки ограниченного множества транслятами нескольких множеств-, при .этом используется одна модификация метода функции с нулевым средним. Построена задача линейного программирования, дающая оценку плотности упаковки более точную, чем известная оценка.

В § 3.10 метод, изложенный в § 3,8, применяется для ошнки возможности поместить одно множество К С IR в другое множество (^СГ .Хорошо известны условия «получаемые обычно методами интегральной геометрии), достаточные для того, чтобы круг можно можно было поместить в плоскую фигуру собственным ортогональны«

преобразованием. Метод функций с нулевым средним позволяет полз чагь необходимые условия для группы трансляция в П, -мерном слз чае. Приведем типичный результат. ^

Теорема 3.11. Если существует трансляция Т"; Я Н такая, что Сг . то

л — и>х ,

\е ¿¿к

с-

—С8х.

(ПиС - ^ К ^

где - корень функции Р<С*) . .

Г е о р е м а 3.12. Если существует трансляция Т: ^ такая, что С £ , то

I р —'¿$х ,

- адК ^ I \ е с^г ,

где - корень функции Р^СО

Из теорем 3.11 и 3.12 вытекат следствия позволяющие оценит; радиусы шаров, вписанного в многомерное тело и описанного вокру. него. Изучается вопрос о том, при каких условиях гомотет 'ЯН множества Н С К"' может быть помещен в Н с помощью трансляци с ясно, что для выпуклого тела при это можно осуществил

всегда). Получено необходимое условие существования такой трансляции (теорема 3.13).

§ 3.11 посвящен усилении) неравенства Боннезена, усиливающего, в свою очередь, классическое изопериметрическое неравенство; это достаточные условия для возможности поместить одну плоскув фигуру в другую ортогональным преобразованием. а

Теорема 3.14. Пусть замкнутая область С^С-Ш имеет площадь и периметр [_ , замкнутая область - площадь £ и периметр Ь ; Я - максимальное значение <Т€Я+ , при которой ТТд. можно поместить в 0- собственным ортогональным преобразованием, А - минимальное значение Ъ ¿К*, при котором £ можно поместить В'С^ собственным ортогональным преобразованием. Тогда

£1* - М х^ & А-Л}4: -

§ 3.13 посвящен оценкам плотности упаковки нечеткого подмножества [Я*" транслятами другого нечеткого подмножества /К*'. Нечетким подмножеством пространства (нечетким множеством А в Щ1" ) называется функция пренадлейсности К1^ [Р^ < обозначение А С. 1ЯК). в случае "обычных" множеств функция три-

надлежности совпадает с индикаторной функцией %-д . Транслятор нечеткого множества А на вектор Ъ £ /К."' называется нечеткое множество АШ с функцией принадлежности

Нечеткие множества ^ . </ ^у-уМ ^ образуют упа-

ковку (укладку) нечеткого множества £ с , если для любого ¿бУ^" N

= ' с)

)

Пусть ПЦН^Ц^уц,) ■ если функции М^^М^^Х^") , ///^''>0 .

то плотностью приведенной упаковки называется число

•■■,«)=(<; №№). ^ ' К"" У 4 '

Пусть С^К^/Я , ЦЦьЩкЦХЭ ; тогда очевидно неравенство (аналог неравенства <?)) для плотности упаковки (С, К) нечетк-т' множества (т трзнслятами нечеткого множества К :

ЛГгкк Г1М1

Ладим улучшение оценки (10). Пусть ^

Е (л) = {атГ г ^к(оое1 Хс!х

Ь- |)И,

- преобразование Фурье функции

Теорема 3.17. Пусть С.КС/Я*1 - нечеткие множеств.. 0< И/^к , О < Шк11<+ <р : «Л - корень функции Р, СЗ) .

' ' /к

тогда

Если функция принадлежности завесит только от .

т. е. существует такая функция ^: & . что ^(ЛггУ^хн) . г- £ £ 1Г является корнем уравнения

П.

.. Теорема 3. 17 дает возможность получать нетривиальные оценки плотности кратных упаковок "обычных" множеств, оценивать ."размерю" экологических, ниш и т. д.

Отметим, что к оценке кратных покрытий можно подойти по другому I g. 1.13). Пусть в К*1, задано семейство множеств ("обычных"), образующих покрытие с кратностью, не большей AJ .

Теорема 3.15. Пусть задано покрытие кратности не большей Д/ пространства /К* семейством, состоящим из транслятов выпуклого симметричного ограниченного множества-, тогда его можно разбить не более, чем на подсемейств, состоящих из попарно непересекающихся множеств <т. е. осуществляющих покрытие кратности не большей 1).

Теорема 3.16. Пусть задано покрытие кратности не Польшей N пространства семейством, состоящим из транслятов куба в i?*' . Тогда его можно разбить не более, чем на подсемейств, состоящих из попарно непересекающихся множеств.

В g 3.14 расматривэется задача о плотности упаковки нечеткого подмножества Cç П--мерного тора ~ТЛ трзнслятэми другого нечеткого множества КсТ*tT - окружность, состоящая из точек rWO». Бее приведенные выше определения модифицируэтя очевидным образом. В случае нечетких подмножеств Т" по сравнению со случаем нечетких подмножеств возникает существенная труд? ность - далеко не всегда можно гарантировать обращение в нуль преобразования Фурье функции, обращающегося теперь в набор коэффициентов Фурье. Легко получается "тривиальная" оценка для плотности упаковки d(Ç, К) , аналогичная (10), но с нормами в пространстве и(Т") ; 11.// ниже и означает норму в этом пространстве.

Теорема зла Пусть нечеткие множества,

о* HjU^ll <+ со , o^gp^it < + &> : тогда для любого мультишадэкез

г е 'л С К*

jj* ^ ^ ** Г м-*- îmauj 1

* 1ÏJ L im-IMJ«.)! J' -,ш

где Cz(f) - коэффициент Фурье функции

Возникает вопрос, при каких условиях теорема 3.18 улучшает (не ухудшает» оценку типа (10); это, во всяком случае« так, если

для неклторого мультийндекса Z 6 Л

Кмл 4 Тс^ЁмГ '

соотношение ( 12) часто является следствие* результатов, приведенных в главе 2. Гак, равенство нулю асиштотичвокл плотности множества коайрициенгоб Фурье с опрвделвшая* порядке*

убывания позволяет оценить сверху левую часть с 12) и установить эффективность оценки с 11).

§ 3.15 посвяшен применению метода функция с нулевым средним для оценки плотности упаковки множеств на плоскости Лобачевского. Роль трансляция здесь играют 71Г-трансляции - движения гиперболической плоскости, оставляющие неподвижной точку 1(Г абсолюта ЭД) с «9 - единичный круг на комплексной плоскости С с центром в начале координат). Пусть $>0 - корень уравнения : Ч.0 - корень уравнения , меньший, чем 1-.

/?. = = 0,423768.

Г е о р е м а 3.19. Пусть С Жс Н - измеримые множества, 0< УпаК , СсСЯХц(р) - кругу с центром в центре круга и неевклидовым радиусом Я„ . ьг&7)3 . Пусть £ € - нуль функции , т.е. о , число /V г^-гранслятов множества

|< , образующих упаковку множества Сг . удовлетворяет

неравенству с_^г0<г ,

А Сг

Здесь (гшМ и £ означают меру и преобразование Фурье на

плоскости Н

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены следующие основные результаты:

- даны оценки спектров интегральных операторов Фредгольма, решена проблема Гохберга-Крейна и задачи с более общими условиями, наложенными на ядро оператора;

- получены индивидуальные оценки невозрастакщих с по модулю) коэффициентов Фурье и Фурье-Уолша функций;

- введено понятие р - П -вариации и показана его эффективность для оценок сингулярных чисел операторов и коэффициентов Фурье;

- введены чезаровские плотности множеств натуральных чисел и показана эффективность их использования в различных вопросах;

- описаны множества коэффициентов Фурье и Фурье-Уолша, убывающих существенно быстрее, чем это диктуется гладкостью функции;

- предложен метод функций с нулевым средним для получения оданок плотностей упаковок ограниченных множеств; метод применен к

получению оценок в /R. для исследования плотностей упаковок одним и несколькими множествами, упаковок нечетких множеств, упаковок на плоскости Лобачевского-;

- установлена связь метода функций с нулевым средним с преобразованиями и коэффициентами Фурье;

- решена проплемэ о Q -равносоставленности на эллиптической плоскости и двумерной сфере.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

рао-'-т«:

Котляр 5. Д. Р?.лы Уолта и теорема Меньшова об исправлении • функции Изв. Art СССР. Сер. матем. - 1966. -Т. 30. - J6 5.

:-. Злзмин С. л. , Котляр Б. Л- Операторы Гильберта-Шмидта и абсолютная- сходимость рядов Фурье -'-'Изв. АН СССР. Сер. матем. 1У7С. - 1.34 - Л 1-С. 209-217.

3. ьрудньга iO. А. , Котляр Б. Д. Одна задача комбинаторной геометрии - -- Сю. мат. журнал. - 1970. - Г. XI. -.>6 5. - С. 1171-1173.

4. Блюмин С. Л. , Котляр Б. Д. О -числах интегральных операторов и о коэффициентах Фурье суммируемых функции Теория функции, Функц. анализ и их приложения. Твсп. межвед. сб. - Харьков. -1970. - Вып. 12. - С. .i-U.

.;>. Котляр Б. Д. О сингулярных числах интегральных операторов

- Докл. АН СССР. - 197в. - Т. 229. - JK 4. - С. 794-7S6.

ь. Котляр Б. Д. .Укладки параллелотопов ^ iv Всесоизн. конф. по пробл. теор. кибернетики: Тез. докл. - Новосибирск, 1977.

- С. 154-155.

7. Котляр Б. Д. Об укладках прямоугольных параллелотопов Кибернетика. - 1978. - 1.3. - Ji 2. - С. 133-135.

'8. Котляр Б. Д. О сингулярных числах интегральных операторов

- - Диффереяц. уравнения. - 1978. - Т. 14. - а 8. - С. 1473-1477.

9. Котляр Б. Д. Укладки прямоугольных параллелотопов^' .Успехи матем. каук. - 1978. - Т. 33. - Ьып. 5. - С. 164-165.

10. Козубенко Г. Н. , Котляр Б. Д. О сингулярных числах операторов, повышающих гладкость в анизотропном случае " Успехи матем. наук. - 1980. - I. 35. - Вып. 4. - С. 191-192.

11. Котляр Б. Д. О коэффициентах Фурье гладких функции многих переменных '•- йсслед. по теории функций многих веществ, переменных.

Иежвуз. сб. - Ярославль: Изд-во Яросл. ун-та, 1980. - С. 118-122.

, 12. Котляр Б. Д. Коэффициенты Фурье и плотности множеств натуральных чисел " Теория функций, функц. анализ и их приложения. Респ. межвед сб. - Харьков. - 1981. - Вып. 35. - С. 54-81.

13. Котляр Б. Д. , Семиренко Т. Н. О спектре операторов, повышающих гладкость // Укр.. матем. журнал. - 1981. Т. 33. - Л 6 - С. 5461.

14. Котляр Б. Д. Коэффициенты Фурье и чезаровские плотности множеств натуральных чисел/'' Всесоюзн. шк. по теории функций, посвященная 100-летаю со дня рождения академика Н. Н. Лузина (10-19 сентября 1983 г. ): Тез. докл. - Кемерово, 1983. - С. 61.

15. Котляр Б. Д. Об укладках параллелотопов и некоторых других множесв // Сиб. мат. журнал. - 1984. - Г. хху. - 2 - С. 222-225.

16. Котляр Б. Д. Об одном классе плотностей множеств натуральных чисел // Укр. мат. журнал. - 1984. - Т. 36. - « 2. - С. 160-165.

17. Котляр Б. Д. Коэффициенты Фурье и плотности подмножеств натурального ряда // Всесоюзн. конф. по теории функций, посвященная 80-летию С. М. Никольского. Днепропетровск, 29-31 мая 1985 г. : Программа. Перечень докл. и кр. сообщ. с зннот. - Днепропетровск, 1985. - С. 49.

18. Котляр Б. Д. Метод потенциальных функций в распознавании образов и интегральные операторы/^ Докл. АН УССР. Серия А. - 1985. -КЗ. - С. 63-65.

19. Котляр Б. Д Плотности укладок ограниченных множеств -V Первая конф. по комб. геометрии и ее приложениям: Научное направление конф. и тез. сообщ. - Батуми-. Изд-во Сабчета Адазрз, 1985. -С. 37. '

20. Котляр Б. Д. Оптимизация укладок ограниченных множеств VII Всесоюзн. конф. "Пробл. терет. кибернетики". 18-20 сентября 1985 г. : Тез. докл. 1 часть. - Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1985. - С. 104-105.

21. Котляр Б. Д Коэффициенты Фурье и плотности подмножеств натурального ряда Труды МИАН им. Стеклова. Т. С1ххх. Теория функций и смежные вопросы анализа. Труда конф. по теории функций, посвященной 80-летию академика С. М. Никольского. - М. : Наука, 1987. -С. 140-141.

22. Котляр Б. Д. Об одном геометрическом неравенстве // Укр. геометрический сб. - 1987. - Вып. 30. - С. 49-52.

23. Котляр Б. Д. Плотности укладок ограниченных множеств .

Сообщ. АН Грузинской ССР. - 1987. - Т. 126. - Л 3. - С. 369-372.

24. Котляр Б. Д. Неравенства типа неравенства Боннезена ;х Всесоюзн. геометрическая к.онф. Кишинев, 20-22 сентября 1988 г. : Тез. сообщ. - Кишинев: Штишща, 1988. - С. 164.

25. Котляр Б. Д. Преобразование Фурье и плотность упаковок Материалы Всесоюзн. конф. по теории функции. 26-29 июня 1990 г. Днепропетровск, 1991.' - С. 54-55.

26. Котляр Б. Д. 4 Оценки плотностей укладок ограниченных множеств-'^ Пробл. теор. кибернетики. Тез. докл. хх Всесоюзн. конф. (сентябрь 1990 г. ). Часть КЗ). - Волгоград, 1990. - С. 29.

27. Котляр Б. Д Об упаковках на плоскости Лобачевского " Лобачевский и современная геометрия. Казань, 18-22 августа 1992 г.

• Тез. докл. Часть 1. - Казань, 1992. - С. 44-45.

28. Котляр Б. Д Упаковки ограниченных множеств и коэффициенты Фурье - - Лобачевский и современная геометрия. Казань, 18-22 августа 1У92 г. - Тез. докл. Часть 1. - Казань, 1992. - С. 45.

29. Котляр Б. Д Плотности упаковок на плоскости Лобачевского Респ. научно-метод. конф. , посвященная 200-летав со дня рождения Н. И. Лобачевского. 3-8 сентября 1992 г. Тез. докл. Часть 1. Одесса: Изд-во ОГУ, 1992. - С. 72-73.

30. Котляр Б. Д. О плотности упаковки нечеткого множества Кибернетика и системный анализ. - 1993. -Л 5 - С. 25-33.