Экстремальные задачи для положительно определенных функций нескольких переменных с носителем в шаре тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

правах рукописи

Ефимов Андрей Владимирович

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ. ПЕРЕМЕННЫХ С НОСИТЕЛЕМ В ШАРЕ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005061565

Екатеринбург 2013 г.

1 з т 2013

005061565

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Института математики и компьютерных наук Уральского федерального университета имени первого Президента России Б.Н.Ельцина, г. Екатеринбург.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Арестов Виталий Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Горбачев Дмитрий Викторович, профессор кафедры прикладной математики и информатики механико-математического факультета ФБГОУ ВПО 'Тульский государственный университет", г. Тула.

доктор физико-математических наук старший научный сотрудник Шевалдин Валерий Трифонович, ведущий научный сотрудник отдела теории приближения функций ФГБУН "Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН", г. Екатеринбург.

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский

государственный университет" (национальный исследовательский университет), г. Челябинск.

Защита диссертации состоится «19» июня 2013 г. в II00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.04. на базе ФГБУН "Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН" по адресу: г.Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан с/У» А 2013 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета 'V Скарин В. Д.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертации изучается вариант задачи Турана на классе йщ непрерывных, положительно определенных функций с носителем в единичном шаре пространства Кт, нормированных в нуле единицей. Рассматриваемая в диссертации задача состоит в отыскании верхней грани интеграла по сфере заданного радиуса а, 0 < а < 1, с центром в начале координат пространства Ет на классе функций Ст. В качестве вспомогательной задачи, представляющей и самостоятельный интерес, исследуется структура положительно определенных радиальных функций с носителем в шаре; полученный в диссертации результат является обобщением известной теоремы Рудина [25] для бесконечно дифференцируемых функций из этого класса.

Задача Турана в ее классическом варианте заключается в следующем. Задано замкнутое, выпуклое, симметричное относительно начала координат тело £> с И"1. Рассматривается класс (?т(£)) непрерывных на М'", положительно определенных функций / с носителем вйис условием нормировки /(0) = 1. Задача заключается в отыс-

Задача была названа в честь венгерского математика П. Турана, который в начале 70-х годов прошлого века предложил одномерный вариант указанной проблемы в частной беседе с С. Б. Стечкиным [7]. Однако, как оказалось, многие важные случаи задачи были исследованы ранее.

В 70-е г., примерно в то же время, когда П. Туран обсуждал данный вопрос с С. Б. Стечкиным, американские исследователи уже изучали И^-версию задачи о нахождении точной верхней грани L2-нормы функции на классе Gm(-D) [13, 16, 23]. Такая задача возникла в области инженерной разработки радаров в "Jet Propulsion Laboratory" (NASA).

Один из первых вариантов задачи Турана возник в 30-е годы, когда К. JI. Зигель [27] рассмотрел случай шара и эллипсоида в Евкли-

кании величины sup f(x)dx на указанном классе.

/ f(x)dx, Jd

довом пространстве Rm и нашел точное значение sup j f(x)dx, равное j^L К. JI. Зигель подошел к задаче Турана в результате попыток усилить теорему Минковского о выпуклом теле, однако К. JI. Зигель пришел к выводу, что теорема Минковского не может быть улучшена путем решения этой экстремальной задачи. Тем не менее, К. JI. Зигель полностью решил задачу Турана для шара и установил несколько интересных приложений в теории чисел. В 2000 году с использованием других методов Д. В. Горбачев [3] переоткрыл результат К. JI. Зигеля.

В сороковые годы прошлого века вариант задачи, называемый в наши дни поточечной задачей Турана, появился в статье Р. Боаса и М.Каца [9]. Периодический аналог данной задачи, как частично установлено в [9] и более полно — только в [19], восходит еще ко временам К. Каратеодори [10] и JI. Фейера [15]. Поточечная задача Турана для пространства Rm была решена С. Ревесом и М.Колунцакисом [19].

В 1972 г. С. Б. Стечкин [7] решил исходную задачу Турана в классе положительно определенных периодических функций (одного переменного) с носителем на отрезке [—h, h] для h = 2n/N, N = 2,3,...; окончательное решение этой задачи получили В. И. Иванов, Д. В. Горбачев, Ю. Д. Рудомазина [4,5]. Решение классической задачи Турана для функций одного переменного на числовой оси (т = 1) еще в 1945 г. получили Р. Боас и М. Кац [9]. В 1997 г. задача для многомерного куба была решена Н.Н.Андреевым [1]; он также дал оценки величины экстремального значения задачи при т = 3, 4 для

октаэдра D = {t € Т"1: \ti\ + |£г| Н-----Н |£m| < h} на т-мерном торе

Тш. В 2001 г. В. В. Арестов и Е. Е. Бердышева решили задачу Турана для правильного шестиугольника на плоскости [2], а в 2002 г. — для класса выпуклых центрально симметричных многогранников, сдвигами которых можно покрыть пространство Rm [8]. Задаче Турана посвящено много работ С. Ревеса и М. Колунцакиса (см. [24] и приведенную там библиографию).

В 2003 году В. Эм, Т. Гнайтинг, Д. Ричарде [14] рассмотрели ва-

риант задачи Турана, в котором требовалось найти точную верхнюю грань среднего значения функции на сфере. В этом варианте D — шар радиуса 1. Они привели ряд оценок экстремального значения для сфер с радиусом в полунтервале [1/2; 1). Оценки не являются точными. В диссертационной работе рассматривается именно этот вариант задачи Турана.

Существует ряд задач, близких задаче Турана. Н.Н.Андреев, С.В.Конягин, А.Ю.Попов [1] изучали аналог одномерной периодической задачи Турана на классе функций f(x) = J2kLo ак cos без предположения неотрицательности коэффициентов {а*;}, но с условием Y.kLо М < 1- РЯД авторов рассматривали задачу Турана не на пространстве Rm, а на локально компактных абелевых группах; такая задача впервые упоминается в [16] и систематично изучается в [13]. Данный вопрос активно изучается М. Колунцакисом и С. Ревесом в [20,24].

Задачи Турана и близкие им по постановкам и методам исследования задачи нашли применение в изучении сферических упаковок пространства ®т [3,11,12], в аддитивной теории чисел [17,18,22,26], в теории характеристик Дирихле, экспоненциальных сумм [21] и во множестве других областей математики.

Цель работы. Основными целями работы являются: изучение варианта задачи Турана о наибольшем значении интеграла по сферам заданного радиуса с центром в начале координат т-мерного евклидова пространства по классу положительно определенных функций с носителем в единичном шаре пространства, нормированных в нуле единицей; обоснование сужения рассматриваемого класса функций до класса радиальных функций; исследование структуры положительно определенных радиальных функций с носителем в шаре; сведение исходной задачи к задаче на классе самосверток функций с носителем в шаре половинного радиуса; точное решение задачи в конкретных случаях.

Методы исследования. В работе применяются методы вещественного и комплексного анализа, теории тригонометрических рядов, теории субгармонических функций.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории функции действительно переменного и функциональном анализе, а также в учебном процессе при чтении специальных курсов.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации были представлены на летних Школах С. Б. Стечкина по теории функций (2010, 2011, 2012); международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 2011); 42-й всероссийской молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2011); международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2012); международной (44-й всероссийской) молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013). Автор выступал с докладами по теме диссертации на следующих научных семинарах: под руководством профессора В. В. Арестова в Уральском

федеральном университете (2010-2012), под руководством профессора Золтана Сасвари в Техническом университете Дрездена (2012), под руководством члена-корреспондента РАН Ю.Н.Субботина и профессора Н. И. Черных в Институте математики и механики УрО РАН (2013).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ [28 33]. Из них статьи [28,29] опубликованы в издании из списка, рекомендованного ВАК. Работы [30-33] являются тезисами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 79 страниц. Библиографический список содержит 55 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении даны базовые определения и обозначения, необходимые для изложения результатов диссертации. Кратко описана история возникновения и развития задачи Турана. Приведен обзор наиболее содержательных результатов, полученных в данной предметной области.

Пусть В — замкнутое центрально симметричное выпуклое тело в Ет, <Зт(0) — класс функций /: Мт -> К со следующими свойствами:

1) / € С(Кт);

2) эирр / С £>;

3) преобразование Фурье функции / неотрицательно:

/(*)= J /{х)е-2Шх <1х > 0, (1)

хеЕт

Отметим сразу, что поскольку преобразование Фурье функции / 6 неотрицательно и сама функция непрерывна в точке0, то

(см., например, [6, гл.1, §1, следствие 1.26]) преобразование Фурье

(1) этой функции суммируемо, имеет место формула

и, как следствие, справедлива оценка

|/(®)|</(0 ) = //(«)

(2)

Обозначим через (7т = С?т(£>) подмножество функций / из удовлетворящих дополнительному условию /(0) = 1.

В диссертации рассматривается следующий вариант задачи Ту-рана на классе Сгт(1В) положительно определенных функций с носителем в единичном шаре В = В™ пространства Ет. Требуется найти верхнюю грань

среднего значения функций / € С?т(В) по сфере 8а = §о'_1(0) радиуса а с центром в начале координат пространства Кт при 0 < а < 1.

Первая глава диссертации является важным этапом исследования задачи (3). Основным результатом этой главы является следующее утверждение. В формулировке этого утверждения используется операция свертки

пары функций дъ д2 6 И,2 (Мт); функцию д*д, д е Ь2 (Кт), называют самосверткой (функции д).

Ф т(а) = вир /еСт(В)

(3)

геЕт

Теорема 1. Произвольная радиальная функция из класса Ст(Ш,{1), т > 3, может быть представлена в виде конечной суммы или ряда

т

ч>(х) = Ю0**"*)^(4) к к 1=1

Шы{х) = I = 1,2,... ,171,

где ш/е и ак — радиальные веществепнозначные функции из1Ь2(Кт) с носителем в шаре радиуса 1/2, каждая из функций как функция радиуса г = |а:|, абсолютно непрерывна на отрезке [0,1/2], и частные производные шы(х) принадлежат пространству Ьг(Мт). При этом оба ряда в (4) сходятся в метрике С(Лт).

Данная теорема при дополнительном предположении бесконечной дифференцируемости и комплекснозначности всех упоминаемых в ней функций содержится в работе В. Рудина [25]. В.Эм, Т. Гнайтинг и Д. Ричарде в работе [14] посчитали ее обобщение на случай непрерывных функций очевидным. Однако в частном разговоре с автором данной диссертационной работы профессор 3. Сасвари, писавший тогда книгу о положительно определенных функциях, сообщил, что он писал В. Эму по поводу данного обобщения, и тот ответил, что не знает доказательства.

Теорема 1 играет существенную роль в данной работе при исследовании рассматриваемого варианта задачи Турана. При доказательстве теоремы 1 используется одна из лемм работы В. Рудина [25].

Центральное место в диссертации отводится второй главе, в которой исследуется задача Турана (3). Результатами данной главы являются следующие четыре утверждения.

Теорема 2. При всех 0<а<1ит^2в(3) можно ограничиться радиальными функциями.

Данная теорема позволяет сформулировать эквивалентную одномерную задачу. Обозначим через множество функций /: К+ —\ К со следующими свойствами:

1) / е С(М+);

2) зирр/ е [О, 1];

3) / имеет неотрицательное преобразование Бесселя

1

о

где .]р есть функция Бесселя.

В множестве Жт выделим класс Кт функций, удовлетворяющих дополнительному условию /(0) = 1. Одномерная задача состоит в том, чтобы на классе функций Кт найти величину

в силу теоремы 2 эта величина совпадает с (3).

Теорема 3. Для то > 3 при всех а 6 (0,1) в (3) существует экстремальная (радиальная) функция.

Ключевую роль в доказательстве данной теоремы играет случай т. = 3. Следующая теорема существенно сужает класс функций, на котором следует искать экстремум в (3).

Теорема 4. При т > 3 для всех значений а, 0 < а < 1, в (3) существует экстремальная радиальная функция. При этом все радиальные экстремальные функции представимы в виде самосвертки а*а функции а, обладающей свойствами: а — радиальная,

Следующие теорема дает точные значения (3) при 1/3 < а < 1 для т = 3.

Теорема 5. Пусть т = 3, ^ < а < 1. Тогда при ^ < а < 1

Фт(а) = вир{|/(а)|: / € Кт}, 0 < а < 1;

(6)

3

2

При д < о, < - значение Фз(а) является решением уравнения Основные результаты диссертации

В диссертации основными являются следующие результаты.

1. Изучена задача Турана о наибольшем значении интеграла по сферам заданного радиуса с центром в начале координат го-мерного евклидова пространства по классу положительно определенных функций с носителем в единичном шаре пространства. Доказано, что экстремальная функция является самосверткой радиальной функции с носителем в шаре половинного радиуса. Выписан интегральный оператор, для которого эта радиальная функция является собственной функцией, соответствующей наибольшему собственному значению, а само собственное значение с точностью до множителя является значением задачи.

2. Получено решение задачи Турана для трехмерного пространства с радиусом сфер ^1/3.

3. Доказано представление радиальной положительно определенной функции с носителем в единичном шаре евклидова пространства в виде конечной или счетной суммы самосверток радиальных функций с носителем в шаре половинного радиуса и частных производных первого порядка таких функций. Этот результат является обобщением одного из результатов В. Рудина.

Список литературы

[1] Андреев H.H., Конягин C.B., Попов А.Ю. Экстремальные задачи для функций с малым носителем // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №3. С. 323-332.

[2] арестов В. В., Бердышева Е. Е. Задача Турана для положительно определенных функций с носителем в шестиугольнике // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2001. Т. 7, №1. С.21-29.

[3] горбачев Д. В. Экстремальная задача для целых функций экспоненциального сферического типа, связанная с оценкой Ле-венштейна плотности упаковки R" шарами // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6. № 1. С. 71-78.

[4] Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю. Д.Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, №2. С. 92—111.

[5] Иванов В. И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Мат. заметки. 2006. Т. 80, №6. С. 934-939.

[6] стейн И., вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. // М.: Мир, 1974. 333 с.

[7] стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // Acta Math. Acad. Scient. Hungar. 1972. Vol.23, No.3-4. P.289-291.

[8] Arestov V.V., Berdysheva E. E. The Turan's problem for a class of polytopes // East J. Approx. 2002. Vol.8, No.3. P. 381388.

[9] Boas R., Kac M. Inequalities for Fourier Transforms of positive functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12. P. 189-206.

[10] Caratheodory C. Uber den Variabilitatsbereich der Fourier'schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen // Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 1911. Vol. 32. P. 193-217.

Ill Cohn H., Elkies N. New upper bounds for sphere packings // Ann. Math. 2003. Vol. 157, No. 2. P. 689-714.

12] Conway J.H., Sloane N.J.A. Sphere packings lattices and groups. // 3rd ed. New York: Springer-Verlag. 1998.

131 domar Y. An extremal problem for positive definite functions // J. Math, Anal. Appl. 1975. Vol.52. P.56-63.

14] Ehm W., Gneiting T., Richards D. Convolution roots of radial positive definite functions with compact support // Trans. Amer. Math. Soc. 2004. Vol.356. P.4655-4685.

15] fejer L. Uber trigonometrische Polynome //J. Angew. Math. 1915. Vol. 146. P 53-82.

161 garsia A., Rodemich E., Rumsey H. On some Extremal Positive Definite Functions // J. Math. Mech. 1969. Vol.18, No. 9. P. 805-834.

171 Gorbachev D.V., Manoshina A.S. Relation between Turan Extremum Problem and van der Corput sets // arXiv:0312.320. 2003.

18] kamae T., Mendes-France M. Van der Corput's difference theorem // Israel J. Math. 1978. Vol.31. P.335-342.

19] kolountzakis M.N., Revesz Sz. Gy. On pointwise estimates of positive definite functions with given support // Canad. J. Math. 2006. Vol. 58, No. 2. P. 401-418.

201 kolountzakis M. n., Revesz Sz. Gy. Turan's extremal problem for positive definite functions on groups // London Math. Soc. 2006. Vol.74. P.475-496.

[21] konyagin S.V., sharplinski I. Character sums with exponential functions and their applications // Cambridge University Press, Cambridge. 1999.

[22] MONTGOMERY H. L. Ten Lectures on the Interface between Analytic Number Theory and Harmonic Analysis // Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994.

[23] PAGE R. L. On computing some extremal periodic positive definite functions // Math. Comput. 1973. Vol. 27. P. 345-353.

[24] revesz Sz. Gy. Turan's extremal problem on locally compact abelian groups // arXiv:0904.1824. 2009.

[25] RUDIN W. An extension theorem for positive-definite functions // Duke Math. J. 1970. Vol.37. P.49-53.

[26] Rusza I. Z. Connections between the uniform distribution of a sequence and its differences // Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai. 1981. Vol.34. P. 1419-1443.

[27] SlEGEL C. L. Uber Gitterpunkte in konvexen Korpern und damit zusammenhangendes Extremalproblem // Acta Math. 1935. Vol. 65. P. 307-323.

Работы автора по теме диссертации

Публикации автора по теме диссертации, опубликованные в ведущих рецензируемых журналах, определенных ВАК

[28] ЕФИМОВ А. В. Вариант задачи Турана для положительно определенных функций нескольких переменных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, №3. С. 136-154.

[29] ЕФИМОВ А. В. Аналог теоремы Рудина для непрерывных радиальных положительно определенных функций нескольких пере-

менных // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, №4. С. 172-179.

Другие публикации

[30] ЕФИМОВ А. В. Вариант задачи Турана для положительно определенных функций нескольких переменных с носителем в шаре / / Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Международ, конф., посвящен, памяти В.К.Иванова, Екатеринбург, 31 окт. - 5 нояб. 2011 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. С.3&-37.

[31] ЕФИМОВ А. В. Вариант задачи Турана для положительно определенных функций нескольких переменных // Современные проблемы математики: тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции, Екатеринбург, 30 января - 6 февраля 2011 г. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. С. 131-133.

[32] ЕФИМОВ А. В. Аналог теоремы Рудина для радиальных функций // Материалы международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 34-36.

[33] ЕФИМОВ А. В. Аналог теоремы Рудина для радиальных положительно определенных функций // Современные проблемы математики: Тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2013. С. 262-264.

Подписано в печать 07.05.2013. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 50 экз. Заказ №

Отпечатано в типографии ИПЦ УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4

ФГАОУ ВПО Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

На правах рукописи

УР

Ефимов Андрей Владимирович

ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ С НОСИТЕЛЕМ В ШАРЕ

01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Арестов Виталий Владимирович

Екатеринбург 2013 г.

Оглавление

Введение 4

1° Классическая задача Турана........................................4

2° Одномерный случай задачи Турана................................6

3° Задача Турана для функций нескольких переменных......10

4° Варианты задачи Турана и близкие задачи............12

5° Постановка задачи и формулировка результатов диссертации . 14

6° Основные результаты диссертации................18

7° Список публикаций, докладов...................19

Глава 1. Аналог теоремы Рудина 20

§1.1 Введение и формулировка результатов..............20

§ 1.2 Теорема Рудина для непрерывных функций...........23

§ 1.3 Завершение доказательства теоремы В..............32

Глава 2. Один вариант задачи Турана 34

§2.1 Редукция к одномерной задаче ..................34

§ 2.2 Существование экстремальной функции в случае т > 3 . . . . 38 §2.3 Экстремальные свойства самосверток радиальных функций.

Доказательство теоремы 3.....................47

§ 2.4 Необходимые и достаточные условия экстремальности функции задачи для т > 3 .......................57

§2.5 Точные значения Фз(а).......................62

2.5.1 \<а< 1 ...........................63

2.5.2 \<а<1...........................65

Список литературы 71

Введение

В диссертации изучается вариант задачи Турана на классе непрерывных, положительно определенных функций с носителем в единичном шаре пространства Мт, нормированных в нуле единицей. Рассматриваемая в диссертации задача состоит в отыскании верхней грани интеграла по сфере заданного радиуса а, 0 < а < 1, с центром в начале координат пространства на классе функций Сто. В качестве вспомогательной задачи, представляющей и самостоятельный интерес, исследуется структура положительно определенных радиальных функций с носителем в шаре; полученный в диссертации результат является обобщением известной теоремы Рудина [46] для бесконечно дифференцируемых функций из этого класса.

1° Классическая задача Турана

Задача Турана в ее классическом варианте заключается в следующем. Задано замкнутое, выпуклое, симметричное относительно начала координат тело В С Рассматривается класс Ст(0) непрерывных на положительно

определенных функций / с носителем в D и с условием нормировки /(0) = 1.

Задача заключается в отыскании величины sup / f{x)dx на указанном клас-

JD

се.

Задача была названа в честь венгерского математика П. Турана, который в начале 70-х годов прошлого века предложил одномерный вариант указанной проблемы в частной беседе с С. Б. Стечкиным [20] (современное переиздание [19]). Однако, как оказалось, многие важные случаи задачи были исследованы ранее.

В 70-е г., примерно в то же время, когда П.Туран обсуждал данный вопрос с С. Б. Стечкиным, американские исследователи уже изучалиИ^-версию задачи о нахождении точной верхней грани Ь2-нормы функции на классе Gm(D) [31,35,44]. Такая задача возникла в области инженерной разработки радаров в "Jet Propulsion Laboratory" (NASA).

Один из первых вариантов задачи Турана возник в 30-е годы, когда К. JI. Зигель [49] рассмотрел случай шара в Евклидовом пространстве Мта и нашел точное значение sup [ f(x)dx, равное -—-. К. JI. Зигель подошел

Jd 2™

задаче Турана в результате попыток усилить теорему Минковского о выпуклом теле, однако он пришел к выводу, что теорема Минковского не может быть улучшена путем решения этой экстремальной задачи. Тем не менее, К. JI. Зигель полностью решил задачу Турана для шара и установил несколько интересных приложений в теории чисел. В 2000 году с использованием других методов Д.В.Горбачев [9] переоткрыл результат К.Л.Зигеля.

В сороковые годы прошлого века вариант задачи, называемый в наши

к

дни поточечной задачей Турана, появился в статье Р. Боаса и М.Каца [27]. Периодический аналог данной задачи восходит ко временам Л.Фейера [34], Е. Эгервари и О. Caca [33]. Поточечная задача Турана для пространствам771 была решена С. Ревесом и М. Колунцакисом [40].

Задачи Турана и близкие им по постановкам и методам исследования задачи нашли применение в изучении сферических упаковок пространства Rm [9,28,29], в аддитивной теории чисел [37,38,43,47], в теории характеристик Дирихле, экспоненциальных сумм [42] и других областях математики.

2° Одномерный случай задачи Турана

Даже для случая симметричного интервала в одномерном пространстве задача Турана оказалась достаточно трудной. Мы рассмотрим развитие проблемы с самого начала по настоящее время.

Интерес П. Турана к задаче мог прийти из области теории чисел, а именно Диофантовых приближений (заметим, что [2] начинается с предложения: "В связи с применением в теории чисел, П. Туран предложил следующую задачу..."). Рассмотрим хорошо известную теорему Дирихле об аппроксимации. Теорема утверждает, что для любого заданного а£М найдется хотя бы одно произведение вида па в диапазоне п — 1,... ,N и хотя бы одно целое число, такие что произведение па находится на расстоянии не более чем от этого целого числа. Доказательство, использующее анализ Фурье, представлено в [43, стр. 99] и в более общем виде объяснено в [26], но, как отмечено

в [43, стр. 105], идея восходит к К.Л.Зигелю [49]. Для обоснования связи с задачей Турана, представим кратко доказательство теоремы Дирихле.

Допустим, что мы хотим узнать, существуют ли произведения видагга;, а 6 К для фиксированного а попадающие в 5 - интервал целого числа, т.е. такие п, для которых ||па|| < 8 (где, как принято в теории чисел, ||ж|| = dist(x,Z)). Рассмотрим "треугольную" функцию Fix) = Fg(x) = (1 — для кото-

рой F(na) > 0 при ||па|| < S. Если мы сможем показать, что для произвольного 6 > для некоторого п 6 [1, А?"] выполняется неравенство F(na) > 0, то тем самым мы докажем точную форму теоремы Дирихле об аппроксимации (точность обусловлена тем, что ни для какого N £ N нельзя улучшить оценку, как показывает простой пример а — -щ^)- Положим S = ~~ или, поскольку F — четная и F(0) = 1, рассмотрим более симметричную сумму 25 + 1 =

метим, что Fs(t) = в частности с неотрицательными коэффициента-

ми F(k) = Ск мы можем записать F$ = Ylt=-оо ск^(кх), с0 = ö, Ck = где e(t) = e2mt. Достаточно показать, что S > 0. Используя ядра Фейера

<?n{x) = en=-iy(! - = лгтт (

sin(-K(N+l)x)

2

^ 0, мы приходим к

n=—N

к=оо n=N

оо n=—N

оо

= с0ам(0) + 2^СА;СГДГ(ка) ^ с0ам(0) = ¿(ЛГ + 1) > 1, к=1

что завершает рассуждения.

Если теперь вместо "треугольной" функции^ с 5 = взять другую положительно определенную функцию / с носителем, который лежит на [—6] /(0) = 1, то приведенное выше рассуждение с / вместо Е даст в > 0 при условии /(х)<1х > 6 даже для 6 =

С этой точки зрения вопрос П. Турана заключался в следующем: верно ли, что для любого к > 0 "треугольная" функция имеет наибольший интеграл среди всех положительно определенных функций с носителем в [—/г; к] и нормированных в 0 единицей. С. Б. Стечкин установил это для случая к = и по монотонности функции сумел сделать оценки для других значений к.

Исходно С. Б. Стечкин рассматривал задачу максимизации интеграла /о где /(х) — косинус полином с неотрицательными коэффициентами

относительно кх, к 6 Z+. Здесь и далее мы будем рассматривать эту задачу в несколько других терминах: будем максимизировать интеграл х и

считать, что /(ж) — косинус полином относительно 2тткх,к £ При этом

Введем обозначение. Пусть Т(к) — упомянутый выше экстремум. В таких обозначениях С. Б. Стечкин получил следующий результат:Т{к) — к + 0(к2). Эта оценка была далее улучшена Д. В. Горбачевым [11] и А. Ю. Поповым до к + 0{к3).

Соответствующая экстремальная функция Т^(к) на действительной оси, благодаря простому растяжению, зависит линейно от длины интервала и рав-

па ¡гТц{ 1) для любого интервала / = [—/г; /г], /г > 0. С другой стороны, уже из того, что Нт^о = 1> следует, что для единичного интервала [—1; 1] экстремальная функция должна быть "треугольной"функцией и Тд( 1) = 1. Следовательно, Тд(/г.) = Н. Фактически, этот случай был уже рассмотрен раньше Р. Боасом и М. Кацом в [27] как следствие их исследования поточечной проблемы.

Хорошо известно, что если /г не имеет вид то "треугольная" функция, в действительности, может быть немного улучшена. В самом деле, преобразование Фурье "треугольной"функции обращается в нуль в точках, кратных |,ив случае ^ ф N некоторые произведения выпадают за пределы Z. И тогда нули, которые в другом случае были бы двойными, превращаются в близкие, но несовпадающие нули, в результате чего в небольшом интервале между такими близкими нулями преобразование Фурье может быть отрицательным.

Эти отрицательные значения противоречат положительной определенности функций на М, но не на торе Т, где функции должны быть неотрицательными только в целых точках. С некоторыми вычислениями (так же используя симметричные пары нулей), такое улучшение треугольной функции в самом деле возможно. Данное наблюдение записано в статьях В. И. Иванова и Д.В.Горбачева [11,12].

Как указывалось выше, подсчет точных значений Т{К) начался с С.Б.Стечкина для случая /г = £ М, и это единственный случай, когда Т{К) — к. Значения Т{К) для других /г, уже отклоняющихся от этой простой формулы, были посчитаны для некоторых рациональных к в [11,16] и, в итоге,

для всех рациональных к в [12]. В. И. Иванов доказал непрерывность экстремального значения как функции от к, и, таким образом, завершил решение задачи Турана на торе. Фактически, указанные выше работы так же установили, что для [—к] к] С Т экстремальная задача Турана и экстремальная задача Дельсарта имеют одинаковые экстремальные значения и экстремальные функции. Заметим, что это совпадение в общем случае неверно.

3° Задача Турана для функций нескольких переменных.

Еще в 1930-е К. Л.Зигель [49] доказал, что для шара в М7П экстремальное значение в задаче Турана равно объему шара деленному на 2т. В 2000 году независимо с использованием других методов Д. В. Горбачев [9] переоткрыл результат Зигеля.

Как прямое обобщение работы С. Б.Стечкина, Н.Н.Андреев [1] высчитал константы Турана для кубов ф™ в Тт, получив кт + 0(кт+1). Более того, он сделал оценки для констант Турана для ¿¡-шаров О™ в Тт; его оценки асимптотически точны для т — 2. Д.В.Горбачев [10] одновременно уточнил и расширил эти результаты, доказав, что для любого центрально-симметричного тела В и для всех 0 < к < | мы всегда имеем Т^т(кО) = Ткт(£>) * кт + 0{кт+2).

В. В. Арестов и Е. Е. Бердышева [4] систематически исследовали многомерную задачу Турана, установив несколько важных свойств. В частности,

они доказали, что шестиугольник имеет константу Турана, равную одной четвертой собственной площади. Д. В. Горбачев [10] доказал, что для единичного шара Вт С Мт константа Турана равна 2~т\Вт\, где \Вт\ — объем шара.

Поскольку множество И центрально-симметрично и выпукло, то существует естественный аналог "треугольной"функции: самосвертка характеристической функции множества которая дает оценку 7®т(.0) ^ Во всех известных случаях такая самосвертка экстремальна, и Т^т(О) = Заметим, что это неверно на Тш уже при т = 1 для некоторых множеств В. Выпуклое тело из Кт, для которого самосвсртка характеристической функции является экстремальной С. Ревес [45] назвал доменом Турана-Стечкина, или телом Турановского типа, в то время как симметричные выпуклые тела в М771, для которых Т^т > — не Турановским телом, или не Туранов-ским доменом. Таким образом, выше упомянутый результат о шаре можно перефразировать, сказав что шар имеет Турановский тип.

К настоящему времени ни одного домена не Турановского типа неизвестно, хотя число доменов Турановского типа так же невелико (за исключением случая т = 1, где для интервалов решение известно).

В. В. Арестов и Е. Е. Бердышева [4,23] доказали, что если О С Мт — выпуклый политоп, покрывающий с помощью перемещений с решеткой Л С все пространство (это значит, что для всех Л £ Л, \-\-D не пересекаются по внутренностям и покрывают пространством771), то Тщ™ = Таким образом, класс доменов Турановского типа включает, по результатам В. В. Арестова и Е. Е. Бердышевой, выпуклые решетчатые покрытия.

М.Колунцакис и С.Ревес [39] доказали экстремальность самосвертки характеристических функций для всех спектральных выпуклых областей вКт. В [45] С. Ревес показывает, что все выпуклые политопы, покрывающие пространство, являются спектральными областями, тем самым передоказав результат В. В. Арестова и Е. Е. Бердышевой.

Для не обязательно выпуклых множеств дальнейшие результаты содержатся в [41] для Г,Г

4° Варианты задачи Турана и близкие задачи.

Существует ряд близких задач, тесно связанных с классической задачей Турана. Хорошо изучены две версии задачи Турана: И^-версия задачи Турана и поточечная задача Турана.

И^-версия задачи Турана о вычислении максимума Ьг-нормы функции возникла в прикладной науке в области проектирования радаров (неточность радаров и общее увеличение силы сигналов) [36,44]. Дальнейшие интересные результаты были получены в [31]. Тем не менее, уже на тореТ точные значения неизвестны, даже с учетом того, что Р. Пейдж [44] предоставил численные значения, близкие к оптимальным для случая /г =

Поточечный вариант задачи Турана заключается в максимизации значения функции /(г), / € Ст{Б) для заданного фиксированного 2 6 Для интервалов на Т или на К данный вопрос был изучен в [24] под названием "поточечная задача Турана" , хотя данный вопрос для сравнительно просто-

го случая интервала (—/г; /г) С К. уже был решен Р. Боасом и М. Кацом [27]. М. Колунцакисом и С. Ревесом решили поточечную задача Турана для пространства Мт и некоторых других [40].

Н.Н.Андреев, С.В.Конягин и А.Ю.Попов [2] изучали аналог одномерной периодической задачи Турана на классе функций /(х) — ]Сь=о ак 008 ^х без предположения неотрицательности коэффициентов {ак}, но с условием

ЕЕ=оЫ <

Близкой проблемой является задача Дельсарта [30], также известная под названием проблемы Логана, или проблемы Левенштейна. В ней вместо предположения об обнулении функции за пределами И предполагается неотрицательность функции за пределами данного множества. Обе экстремальные задачи применяются для получения плотности упаковок Евклидовых пространств шарами (см. [3,14,28,30]).

Существует несколько близких, но все же имеющих серьезные отличия проблем. Например, одна интересная задача [48], рассматривавшаяся несколькими авторами, состоит в отыскании максимума интеграла / /(х)с1х от действительнозначной функции / с носителем в [—1; 1], удовлетворяющей условию ||/||оо = 1, но вместо положительной определенности (которая наМ эквивалентна д*д) требовалась представимость ввиде / = д * д для некоторого д > 0 с носителем в интервале [—Мы не будем останавливаться на этих задачах.

Ряд авторов рассматривали задачу Турана на локально компактных абе-левых группах; такая задача впервые упоминается в [35] и систематически

изучается в [31]. Данный вопрос активно изучался М. Колунцакисом и С. Ревесом

5° Постановка задачи и формулировка результатов диссертации

В диссертационной работе рассматривается один из вариантов задачи Ту-рана для положительно определенных функций нескольких переменных с малым носителем. Пусть И —- замкнутое центрально-симметрическое тело в Кт, — класс функций /: —> М со следующими свойствами:

1) / 6 С(Мт);

2) эирр / С Д

3) преобразование Фурье функции / неотрицательно

Отметим сразу, что поскольку преобразование Фурье функции / € неотрицательно и сама функция непрерывна в точке0, то (см., например, [18, гл. 1, § 1, следствие 1.26]) преобразование Фурье (1) этой функции суммируемо, имеет место формула

в [41,45].

(1)

їєГ

и, как следствие, справедлива оценка

|/(я)|</(0)= /(*)<Й, 1ЄГ.

(2)

Обозначим через Ст = подмножество функций / из <^т(0), удовле-

творящих дополнительному условию /(0) = 1.

Мы будем рассматривать следующую модифицированную задачу Турана. В качестве носителя D возьмем т-мерный евклидов шар В = В™(0) единичного радиуса с центром в начале координат пространства Мш и будем искать точную верхнюю грань

среднего значения функций / € Ст(В) по сфере §а = радиуса а с

центром в начале координат пространства 1Кт при 0 < а < 1.

В 1945 г. Р. Боас и М. Кац [27] нашли величину (3) для одномерного случая. В 2003 г. В. В. Арестов, Е. Е. Бердышева и X. Беренс [24] рассмотрели периодический аналог последней задачи и получили двусторонние оценки для величины (3). В том же году В.Эм, Т. Гнайтинг и Д. Ричарде [32] привели ряд оценок для величины (3) на полуинтервале [1/2, 1).

Результатами данной работы являются следующие пять утверждений.

Теорема 1. При всех 0 < а < 1 и т ^ 2 в (3) можно ограничиться радиальными функциями.

Ф т(а) = эир

(3)

Теорема 2. Для т > 3 при всех а £ (0,1) в (3) существует экстремальная (радиальная) функция.

Теорема 2 для одномерного случая (т = 1) содержится в [27]. Следующая теорема существенно сужает класс функций, на котором следует искать экстремум в (3).

Теорема 3. При т > 3 для всех значений а, 0 < а < 1, в (3) существует