О взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса с другими классическими методами суммирования тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Хахинов Илья Вячеславович

О взаимосвязи методов суммирования

дискретными средними Рисса с другими классическими методами суммирования

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

На правах рукописи УДК 517.521

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

Москва — 2012

1 5 НОЯ 2012

005055046

005055046

Работа выполнена па кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент

Степапяпц Суреп Армепович Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук

профессор

Дьяченко Михаил Иванович МГУ имени М.В. Ломоносова профессор кафедры теории функции и функционального анализа кандидат физико-математических паук Костин Валентин Викторович ООО „СИДИКОМ НАВИГАЦИЯ" программист-разработчик Ведущая организация: „Московский государственный технический

университет радиотехники, электроники и автоматики" (МГТУ МИРЭА)

Защита диссертации состоится 7 декабря 2012 г. в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан 6 ноября 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 при МГУ, доктор физико-математических паук, профессор

В.Н. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Теория суммирования рядов является классической областью математического анализа, сформировавшейся как самостоятельное направление в конце XIX — начале XX века. Особое место в теории суммирования занимает изучение свойств методов суммирования, установление соотношений между различными методами. Центральным при этом является вопрос включения методов.

Пусть П и Л два метода суммирования.

ос

Будем говорить, что О С Л, если из того, что ряд ^ ап суммируем ме-

11=0

оо

тодом П к числу 5 следует, что ряд ^ ап суммируем методом Л к тому же

п=0

числу 5.

Рассматриваются две основные задачи, называемые задачей абелева типа и задачей тауберова типа.

Задача 1 (Абель).

Для двух данных методов О, и А выяснить имеет место включение П С Л или нет.

Задача 2 (Таубер).

Пусть известно, что О, С Л. Требуется найти уыовие (¡1) определенной формы такое, что на классе последовательностей, удовлетворяющих (Ч), справедливо обратное включение.

Такие условия называются условиями тауберова типа или условиями.

Настоящая диссертация посвящена изучению класса методов суммирования дискретными средними Рисса. Рассматриваются обе указанные выше задачи в том случае, когда одним из методов является метод суммирования дискретными средними Рисса.

В 1890 году итальянский математик Эрнесто Чезаро1 обобщил понятие сходимости числовых рядов, в результате чего, появился целый класс методов суммирования, названный в его честь. В литературе методы Чезаро обычно обозначаются (С, а), где а — порядок метода. В силу простоты определения и удобства свойств методы Чезаро получили широкое применение. Впоследствии их стали сравнивать с другими появляющимися методами суммирования.

В 1909 году венгерский математик Марсель Рисс2 несколько видоизменил определение метода суммирования Чезаро для целого порядка к. Классическое он рассмотрел в следующем виде

к _ 1 ^ fn-v + k\_

-¿('-¿тХ-^-О-^Ь

Далее, заменой всех знаменателей п +1, п + 2, ..., п + к на п, было получено новое среднее

!/=0

Соответственно, новое определение суммируемости приняло вид ап = S(Rd, к) Rn~> S при п +оо.

Очевидно, что здесь параметр к может принимать и любые действительные неотрицательные значения.

Рисс обнаружил,

что свойства новых полученных средних Пп для больших значений к не совпадают со свойствами соответствующих чезаровских средних. Отсюда естественным образом встает вопрос о взаимосвязи данного нового метода суммирования не только с соответствующим методом Чезаро, но и с другими известными методами суммирования. Новые средние

'Cesaro Е. Sur la multiplication des series /'/ Bull. Sei. Math. 1890. 14. № 2. 114-120.

2Riesz M. Sur la sommation des series de Diriclilet /'/' С. r. Acad. sei. A. 1909. 149. 18-21.

получили название дискретных средних Рисса, а соответствующий метод суммирования — метод суммирования дискретными средними Рисса.

Несмотря на то, что с момента определения методов (Rd, а) прошло более 100 лет, многие свойства методов Рисса остаются малоизучеными.

В качестве классических методов суммирования, с которыми сравниваются методы Рисса, например, можно рассматривать методы суммирования Чезаро (C,ß) с различными ß, ß > 0; метод суммирования Абеля (Л); методы суммирования Эйлера (Е, q) с различными q, q > 0; экспоненциальный и интегральный методы суммирования Бореля (В) и (В'), соответственно; и некоторые методы суммирования Вороного (W, рп) с последовательностью рп специального вида. Определения и основные свойства методов Чезаро, Абеля, Эйлера, Бореля и Вороного подробно рассмотрены в монографии Харди3 по теории расходящихся рядов.

Связям между методами Чезаро и Рисса одного порядка посвящено довольно много работ. Для наглядности приведем в хронологическом порядке основные результаты прямого (абелева) включения:

I. 1911 г. М.Рисс4: (С, а) С (Rd,a) для а- > 0;

II. 1923 г. М.Рисс5: (Rd.a) С (С, а) для 0 < а < 1; (Rd, 2) сильнее, чем (С, 2); (Rd, 3) сильнее, чем (С, 3);

III. 1956 г. А.Пейеримхофф6: (Rd, к) сильнее, чем (С, к), для любого нечетного к > 5;

IV. 1962 г. Б.Куттнер7: (Rd,a) С (С, а) для 0 < а < 2; (Rd,a) сильнее, чем (С. а), для а > 2.

3Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951 (М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006).

4Riesz M. Une nielhode de sommation equivalente a la methode des moyennes arithmétiques // С. r. Acad. sei. A. 1911. 152. 1051 1GM.

5Riesz M. Sur l'équivalence de certaines methodes de sommation // Proc. London Math. Soc. 1924. 22, N 2. 412-419.

ePoyrrimhoff Л. On i-onvcrgoncc fields of Nnrlund ninans // Proc. Лтгг. M .il h. Soc:. 1Ü56. 7. 333 317.

7Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n // J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354-364.

Из приведенных результатов видно, что с момента получения М.Риссом первого результата о связи новых методов суммирования с методами Чезаро до полного решения вопроса о взаимосвязи методов одного порядка прошло более 50 лет. В расширение данного вопроса, мы можем заметить, что если 0 < а < 2 и а < ß, то (Rd.a) С {C,ß). Это очевидно следует из результата IV и того факта, что (С, а) С (С, ß) при а < ß. Однако в ситуации, когда а > 2 и а < ß, нет результатов, на которые можно было бы опереться. При данных условиях вопрос о включении методов (Rd, а) и (С, ß) сохранял свою актуальность. Этот вопрос решен в первой главе диссертации.

Изучение тауберовых условий, появившихся в конце позапрошлого века в работах Таубера8, занимает значительное место в теории суммирования рядов и ее приложениях. Различные важные виды тауберовых условий, подходы к их исследованию и применению содержатся, например, в известных работах Харди9, Инга10, Caca11, Давыдова12, Ульянова13, каждая из которых в свою очередь повлекла за собой серию работ, посвященных соответствующему виду условий. Интерес здесь вызывает не только „алгебраическое направление, ставящее своей целью получение наиболее общих результатов, ... восходящее к Винеру и связанное с работами Гельфанда, Райкова, Годемана, Сегала и Бейрлинга" (цитата из работы Кореваара14), называемое в англоязычной литературе „general tauberian theorems". В диссертации вопрос рассматривается в классической постановке, идущей от Таубера и Харди, при этом будут

'Tauber A. Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen // Monatsh. Math, und Phys. 1897. 8. 273-277.

'Hardy G.H., Littlewood J.E. Tauberian theorems concerning power series and Dirichlel's series whose coefficinet ale positive // Pioc. London Math. Soc. 1914. 13. № 2. 174-101.

10Ingliam A.E. Some tauberiau theorems connected with the prime number theorem // J. London Matli. Soc. 1945. 20. 171-180.

"Szasz 0. Verallgemeinerung und neuer Beweis einiger Satze Tbuberscher Art // Münchner Sitzungsberichte. 1929. 325-340.

12Давыдов H.A. (с)-свойство методов Чезаро и Абеля-Пуассона и теоремы тауберова типа // Матем. сб. 1963. 60. № 2. 185-206.

"Ульянов П.Л. Сходимость и суммируемость // Труды Московского Мат. Общества. 1060. 9. 373-399.

"Korevaar J. Tauberian theorems // Simon Stevin. 1954. 30. № 3. 129-139.

изучаться не абстрактные классы методов суммирования, удовлетворяющие некоторым довольно общим условиям, но конкретные широко распространенные методы одного класса.

В 1897 году Таубер15 доказал, что условие ап = о^ является T(Ci0)((A))-условием, где (Л) — метод Абеля. Отсюда, в силу включения (С, а) С (Л) при любом а > 0, следует, что ап = о(^) является Г(С|0)((С,а))-условием при любом а > 0.

Следующий результат был получен Харди16, который в 1910 году показал, что ап - о(^) является Т(с,о)((С, а))-условием при любом а > 0 (в случае, когда „верхний" метод есть метод (Л)), этот результат тоже верен17).

Вопрос о том, насколько можно улучшить результат Харди, оставался открытым до 1948 года, когда Лоренц в своей работе18 наложил некоторое условие на последовательность {с„} и установил, что это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы соотношение ап = 0(сп) было г(с,о)(^)-условием, где П — один из методов (С, а) с а > 0 или метод (Л) (замечательно, что для каждого из этих методов условие оказалось одним и тем же). Лоренц отмечал, что в плане достаточности его результат не является новым; его можно получить, используя некоторые тауберовы условия работы Питта19. В дальнейшем результаты Лоренца обобщал на случай

15Tauber A. Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen // Monatsh. Math, und Phys. 1897. 8. 273- 277.

16Hardy G.H. Theorems relating to the suinmabiîity and convergence of slowly oscillating series // Proc. London Math. Soc. 1910. 8, № 2. 3Ü1-32Ü.

17Littlewood J.E. The converse of Abel's theorem on power series // Proc. Loudon Math. Soc. 1910. 9. № 2. 434 418.

18Lorentz G.G. Tauberiaii theorems and tauberiau conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. 63. .'Л 2, 226-234.

19Pitt U.E. General Tauberiau theorems // Proc. Loudon Math. Soc. 1938. 44. 243-288.

Т(С.Г1)(П)-условий при а > О Степанянц20,21,22.

В частности доказано22, что никакое условие вида ап = О(^), где lim wn = +00, не является Т(са){С. /3)-условием ни для каких а и ß (0 < а <

П-+ОО \ • I ■

ß). Утверждение будет только ослаблено, если в качестве верхнего метода мы возьмем методы дискретных средних Рисса (Rd,ß) или (Л).

Таким образом, условие Харди ап = является наилучшим с точ-

ки зрения порядка условием тауберова типа, связывающим'методы (С, а) и {C,ß), а также (С, а) и (Rd,ß) при а < ß. Открытым оставался вопрос, возможно ли усилить условие Харди, если порядок верхнего метода Рисса (Rd,ß) будет такой же, как порядок нижнего метода (С, а), то есть а — ß. Этот вопрос решен в третьей главе диссертации.

Цель работы.

Целыо настоящей диссертации является изучение связей между методами суммирования дискретными средними Рисса {Rd, а) и другими классическими методами суммирования. В работе будут рассмотрены как абелевы вопросы включения методов суммирования, так и тауберовы условия эквивалентности методов.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты:

1. Полностью решен вопрос абелева типа о включении методов дискретных средних Рисса произвольного порядка а > 2 методами Чезаро порядка ß, где ß > а, а также методом Абеля.

20Степанянц С.А. Теоремы тауберова типа для методов суммирования Чезаро // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. № 2. 40-44.

21Степанянц С.А. Теоремы тауберова типа и лакунарные условия для методов суммирования Чезаро и Рисса // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. К' 4. 41-45.

"Степанянц С.А. Необходимые условия тауберова типа для методов суммирования Чезаро // Изв. Высш. Учсби. Завод. Мат. 2005. № 10. 61-71.

2. Доказано, что методы суммирования дискретными средними Рисса (Кс1,а) несоизмеримы с методами Эйлера (£,<7), экспоненциальными и интегральными методами Бореля (В) и (В1), где а, ц > 0.

3. Определены новые методы Вороного специального вида, играющие важную роль в решении тауберова вопроса взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и методы Чезаро. Изучены взаимосвязи новых методов Вороного с методами дискретных средних Рисса.

4. Найдены тауберовы условия роста общего члена ряда, связывающие методы суммирования дискретными средними Рисса и методы Чезаро. Найденные условия являются в определенном смысле наилучшими.

Методы исследования.

В работе используются различные методы теории суммирования расходящихся рядов, а также математического и комплексного анализов. Важную роль в первой главе играет теория бесконечных матриц и пространств последовательностей. Во второй главе используется теория специальных функций, свойства биномиальных коэффициентов. В третьей главе существенное значение имеет теорема о свертках, позволяющая найти ассимптотическое поведение произведения бесконечных рядов.

Теоретическая и практическая ценность.

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты представляют интерес в теории суммирования рядов, математическом анализе и теории чисел.

Апробация результатов работы.

Основные результаты докладывались:

• Неоднократно, 2010-2011гг. на научном семинаре „Теория ортогональных и тригонометрических рядов" механико-математического факуль-

тета МГУ; рукодоводители профессор М.К. Потапои, профессор В.А. Скворцов, профессор Т.П. Лукашенко, профессор М.И. Дьяченко.

• 2012г. на 16-й Саратовской зимней школе „Современные проблемы теории функций и их приложения".

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в трех работах, список которых приведен в конце автореферата. Две работы опубликованы в журналах из списка ВАК. Работ в соавторстве нет.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, списка методов суммирования, трех глав и списка литературы, насчитывающего 39 наименований. Общий объем диссертации составляет 98 страниц.

Содержание диссертации.

Общая структура.

Диссертация состоит из списка методов суммирования, введения и трех глав, которые, в свою очередь, делятся на параграфы. Нумерация теорем двойная — первая цифра указывает помер главы, вторая -- номер теоремы внутри главы. Нумерация формул и вспомогательных утверждений (лемм) аналогична.

Список методов суммирования.

В приводимом списке содержатся определения всех рассматриваемых в работе методов суммирования и некоторые их свойства, выраженные в типичных для теории рядов терминах (эти термины также определяются в списке). Также приведены основные известные взаимосвязи этих методов.

Введение.

Во введении описана история рассматриваемой проблемы, изложено общее содержание диссертационной работы, кратко указаны основные результаты и методы их получения.

Глава 1 — Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и методов Чезаро разных порядков.

В главе 1 устанавливаются важные взаимосвязи, которые полностью решат вопрос о связи методов Чезаро и дискретных средних Рисса различных порядков.

В первом параграфе главы 1 рассмотривается метод суммирования дискретными средними Рисса порядка 2.

В данном параграфе будут доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.1. Пусть ¡3 — фиксированное число, такое, что ¡3 > 3.

Тогда (М, 2) С (С,/3).

Теорема 1.2. Пусть /3 фиксированное число, такое, что 2 < /3 < 3.

Тогда (11(1, 2) £ (С./З).

При доказательстве данных утверждений будут существенно использоваться матричные методы суммирования и их свойства, в частности, известная теорема Кожима-Шура23.

Во втором параграфе главы 1 рассматриваются методы суммирования дискретными средними Рисса порядка большего 2.

Для метода (Яй, а), где а > 2 и метода Чезаро (С, 8), где /3 > а справедливо следующее утверждение:

Теорема 1.4. Пусть а и /3 — фиксированные чиыа, такие, что 2 < а <

Р.

Тогда (В,й,а) <£ (С./З).

При доказательстве данного утверждения для любых фиксированных а

23Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М., 1900.

и ß, таких, что 2 < а < ß, будет построен пример ряда , который

суммируется методом дискретных средних Рисса (Rd, а) и не суммируется

методом Чезаро (C,ß).

Доказательство суммируемости ряда методом дискретных средних Рисса

00

будет основано на свойствах функции Р(х) = X) (n + ^)ахп. Интересный

п=о

факт, что сам Леонард Эйлер для целых а исследовал свойства данной функции в своей монографии24, изданной в Санкт-Петербурге в 1755 году! Л.Эйлер доказал, что при домножении функции Р(х) на (1 — х)а+1 в произведении получаются многочлены порядка а — 1 с симметричными коэффициентами. Коэффициенты при различных степенях х получили название эйлеровых чисел первого порядка, а сами полиномы — эйлеровых многочленов25.

Более подробно свойства приведенной выше функции Р(х) описаны, например, в работе Лаудена20. В главе 1 при доказательствах нам понадобится только факт, что внутри единичного круга функция Р(х) при каждом фиксированном а > 2 имеет по крайней мере один корень27 и количество корней конечно28.

Тем самым результаты главы 1 дают окончательный ответ на вопрос абе-лева типа о включении методов (Rd, а) произвольного порядка а методами (C,ß),rÄeß>a.

Точнее справедливы следующие взаимосвязи:

1) (С, а) С (Rd, а) при а > 0; Известный

ранее факт

2) (Rd, а) ~ (С. а) С (C,ß) при 0<а<2иа</?; Известный

24Eulc'.r L. Inslitulioucs calculi differentiate. Petrograd. 1755.

25Грэхем Р., Кнут Д., Паташннк О. Конкретная математика. М.: Мир. БИНОМ. Лаборатория зналий, 2006.

20Laivden D.F. The function nrzn and associated polynomials. // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1951. 47. № 2. 309-314

"Kuttner В. Он discontinuous Riesz means of type n /7 J. London Math. Soc. 19G2. 37, N 1. 354-364

28Miesner W., Wirsing E. On zeros of £(n + 1)*г" // J. London Math. Soc. 19G5. 40. 421 424

ранее факт

3) {Ей, 2)<£{С,в)

4) (Ш,2)с(С,/3)

5) (ІВД£(С,/3)

при 0 < /3 < 3;

при /3 > 3

при а > 2 и /3 > О

Теорема 1.2. Теорема 1.1. Теорема 1.4.

Таким образом метод суммирования дискретными средними Рисса порядка 2 является неким „переходным" методом суммирования между методами Рисса и Чезаро.

А именно:

• При порядке меньшем двух методы суммирования дискретными средними Рисса ведут себя эквивалентно методам Чезаро такого же порядка.

• Метод суммирования дискретными средними Рисса порядка два не эквивалентен методу Чезаро этого же порядка. И более того, не включается в методы Чезаро большего порядка вплоть до порядка три. То есть метод (Дй, 2) уже не эквивалентен методам Чезаро, однако все же отличается не критично и включается в методы Чезаро большего целого порядка.

• Начиная с порядка большего двух, методы суммирования дискретными средними Рисса не включаются ни в какие методы Чезаро, какого бы большого порядка мы их не брали.

Глава 2 — Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и других классических методов суммирования (кроме методов Чезаро).

Глава 2 будет посвящена взаимосвязям абелева типа методов суммирования дискретными средними Рисса с другими классическими методами суммирования. Этими методами будут метод Абеля (Л); методы Эйлера (Е^),

при д > 0; экспоненциальный и интегральные методы Бореля (В) и (В')\ и методы Вороного (]¥,рп) специального вида.

В параграфе 1 рассматриваются методы дискретных средних Рисса в сравнении с методами Абеля, Эйлера и Бореля.

Ранее было известно, что

О {А) £ а) Для любого а > 0;

11) (Ы, а) С (Л) при 0 < а < 2.

Для случая а > 2 в работе установлена следующая теорема:

Теорема 2.1. Пусть а > 2 — фиксированное число.

Тогда (М,а) £ (А).

Далее, для методов Эйлера и Бореля хорошо известно, что (Е, д) С (В) С (В') при д > 0 и, более того, метод (В) сильнее, чем метод (£, д), а метод (В1) сильнее, чем (В).

Кроме того, существуют ряды, которые для каждого фиксированного а > 0 суммируются методами Чезаро (С, а), но не суммируются методами Бореля (В) и (В1), а, соответственно, не суммируемые и методами Эйлера для любого <7 > О29. А также, наоборот, существуют ряды, суммируемые методами Эйлера (Е, q) для каждого фиксированного д > 0, которые в свою очередь не суммируются методами Чезаро (С, а) для любого а > 0.

Отсюда в силу (С, а) С (Лй, а) сразу же получаем, что существуют ряды, суммируемые методами суммирования дискретными средними Рисса (Ей, а) для каждого фиксированного а > 0 и не суммируемые экспоненциальным и интегральным методами Бореля (В) и (В'), а также методами Эйлера {Е, д) для любого 7 > 0.

В главе 2 устанавливается обратный случай. А точнее:

Теорема 2.2. Пусть > 0 — фиксированные числа.

Тогда существуют ряды, суммируемые {Е,д), но не суммируемые

29Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951 (М.: Коыкнига, 2000; М.: Факториал Пресс, 2006)

(.Rd,a).

При доказательстве теоремы 2.2. будет рассмотрен ряд специального вида и показано, что он суммируем методом Эйлера (Е, q) для любого q > 0. -

При этом в доказательстве будут существенно использованы некоторые тауберовы условия взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса с методами Чезаро. Эти условия будут получены в главе 3 независимо от доказательства теоремы 2.2.

Таким образом, методы дискретных средних Рисса несоизмеримы с методами Эйлера и экспоненциальным и интегральным методами Бореля. То есть существуют ряды суммируемые методами Эйлера (Е, q) для каждого порядка q > 0, а, соответственно, суммируемые экспоненциальным и интегральным методами Бореля (В) и (В'), но не суммируемые методами суммирования дискретными средними Рисса (Rd, а) ни для какого порядка а > 0.

Во второй части главы 2 рассматриваются методы суммирования дискретными средними Рисса по отношению к методам Вороного (Нерлунда) специального вида.

Пусть а > 2 фиксированное действительное число. Функция

00

Р(х) = ]Г(п + 1)ахп п=0

может быть рассмотрена как функция комплексного переменного и аналитически продолжена за границы единичного круга на всю комплексную плоскость с разрезом по положительной части действительной оси от 1 до +оо30. Представим а в виде а — 2т + г, где m — натуральное, а 0 < г < 2. Тогда

оо

известно, что функция Р(х) = l)0^" в круге |а;| < 1 имеет ровно m

п=о

корней31. Для определенности обозначим корни через 71,... 7„,.

30Kuttuer В. Oll discontinuous Riesz means of type n // J. London Math. Soc. 19G2. 37, N 1. 354-364

31Miesner W., Wirsing E. On zeros of £(n + l)fcz" // J. London Math. Soc. 1965. 40. 421-424

Определим функцию Р(х) следующим образом:

ОС ОС

Р(х) = ¿2 РпХ» =(Х-Ъ)...(Х- lm) £ Q(n

Хц

п=0 п=О

где — коэффициенты разложения в степенной ряд производящей функции метода Чезаро (С, а), то есть

<й"=(я;в

Мы покажем, что может быть корректно определен регулярный метод Вороного, который обозначим (Rd,a), производящей функцией которого будет Р(х).

Сравнивая (Rd,a) и (Rd,a), установим теорему:

Теорема 2.3. Пусть а > 2 — фиксированное действительное число.

Тогда (М,а) ~ (Rd,a).

Пусть теперь а > 2 — четное натуральное число. То есть а = 2т, где т

00

- натуральное. Тогда функция Р(х) = £ (п + 1)ахп в круге |х| < 1 имеет

п=0

ровно т корней и при этом -1 является корнем данной функции. Пусть для определенности 71, ... 7т—1 — корни внутри единичного круга и 7„, = -1. Определим функцию Р{х) следующим образом:

ОО 00

Р(Х) = Tl) • " • - 7m-l) £ Qn+1)Xn,

п=0 п-О

где

— коэффициенты разложения в степенной ряд производящей функции метода Чезаро (С, а + 1), то есть

п + а + 1

1 а + 1

Мы покажем, что может быть корректно определен регулярный метод Вороного, который обозначим (Rd,a), производящей функцией которого будет Р(х).

Этот метод (Да!, а) будет включать в себя метод суммирования дискретными средними Рисса (Д^, а).

Иными словами, будет доказана теорема:

Теорема 2.4. Пусть а>2— фиксированное четное натуральное число.

Тогда {Л<1,а) С (Ш,а).

Таким образом, из теорем 2.3 и 2.4 мы получаем, что существенную роль в свойствах методов суммирования Вороного играют нули производящей функции, расположенные внутри единичного круга и на его границе.

По итогам главы 2 получаем следующую таблицу взаимосвязей:

6) {М, а) с (Л) при 0 < а < 2;

7) (ДА а) £ (А) при а > 2;

8) (ДА а) £ (В') при а > 0;

9) (Ш, а) £ {В) при а > 0;

10) (М,а) £ (Е,д) при а, д > 0;

П) (Е,д)?(Ес1,а) при 5, а > 0;

12) (В)^(Л^а) при а > 0;

13) (В') £ (ДА а) при а > 0;

14) {Ш, а) ~ (Ш, а) при а > 2;

15) (Дс!, а) С {Ш, а) при а — четное

Глава 3 — Тауберовы взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса и методов суммирования Чезаро.

В главе 3 рассматриваются задачи тауберова типа для методов Чезаро и методов суммирования дискретными средними Рисса.

В первой части главы 3 доказывается утверждение, которое позволит обратить известное включение методов дискретных средних Рисса и методов Чезаро (С, а) С (Лс?, а) для случая, когда а > 2 — действительное число, не являющееся четным натуральным числом.

Теорема 3.2. Пусть

г) а > 2 — фиксированное чиыо, не являющееся четным натуральным числом;

iï) 7(а) ~ минимальный корень функции Р(х) = + 1)ах11, такой, что — 1 < 7(а) < 0;

Ни) £ — фиксированное число, такое, что 1 < £ < <7(а). ' Тогда условие ап = 0(£п) является Т(с,а){11<1,а)-условием. Интересно, что при четных натуральных а результат теоремы 3.2 становится неверным. Это связано с тем, что производящая функция Р(х) имеет нуль на границе единичного круга, а именно —1 является корнем функции

Рассмотрим случай, когда а — четное натуральное число. Положим г = а + 1 — е, где 0 < е < 1.

Во второй части главы 3 рассматривается ряд

Данный ряд не суммируем методом (С, г) и в тоже время суммируем методом

Таким образом будет установлена теорема. Теорема 3.3. Пусть

{) а — фиксированное четное натуральное числю;

п) г — фиксированное действительное число, такое, что а < г < а + 1. Тогда существует ряд члены которого удовлетворяют условию

ап = 0(пГ), суммируемый методом (Яд, а) и не суммируемый методом

Отметим, что в условиях теоремы 3.2 при четных а можно утверждать суммируемость ряда методом (С, а + 1). В главе 3 мы докажем соответству-

Р(х).

(Rd,a).

(С, г).

ющую теорему:

Теорема 3.4. Пусть

i) а > 2 — фиксированное число и а = 21 (I — натуральное число);

iï) 7(q) ~~ минимальный корень функции Р{х) = XX71 + 1)ахп, такой, что — 1 < 7(q) < 0;

?(<>) = |i|;

НИ) £ — фиксированное число, такое, что 1 < £ < q^;

Тогда условие ап = 0(£п) является T[c,a+i){Rd, а)-условием.

Объединяя результаты второй части главы 3, мы получаем, что существуют последовательности со степенным ростом, суммируемые методом дискретных средних Рисса четного порядка а и не суммируемые методами Чезаро порядка /3, где а < /3 < а + 1. При значениях /3, таких, что /3 > а + 1 становится верным включение (Rd,a) С (С, /3).

В условии теоремы 3.4 заменить условие ап = 0((п) на условие ап = О (ç^)) нельзя. В качестве примера, мы можем взять ряд, рассматриваемый при доказательстве теоремы 3.1.

Теорема 3.1. Пусть а > 2 — фиксированное число.

Тогда существует ряд ^ ап, суммируемый методом (Rd. а), такой, что ап = о иап^о (gfa)) .

Очевидно, что ряд ап из теоремы 3.1 не суммируем (С, /3) ни для какого /3 в силу лимитирующей теоремы для методов Чезаро.

Благодарности.

Автор выражает глубокую благодарность кандидату физико-математических наук Сурену Арменовнчу Степанянцу, под руководством которого проходила работа над диссертацией, за постановку задачи и постоянное внимание.

Работы автора по теме диссертации.

1. Хахинов И.В. О взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса. // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 5. 51-55.

2. Хахинов И.В. Тауберовы условия взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса. // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 50-55.

3. Хахинов И.В. Об эквивалентности методов Вороного. // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 16-й Сарат. зимней школы. Саратов: ООО „Издательство „Научная книга". 2012. 186.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ №^5

Список методов суммирования

Введение

Глава 1. Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и методов Чезаро разных порядков

1.1 Методы суммирования дискретными средними Рисса (Я(1,2)

1.2 Методы суммирования дискретными средними Рисса (Яс?, а) порядка а при а > 2.

Глава 2. Абелевы взаимосвязи методов дискретных средних Рисса и других классических методов суммирования (кроме методов Чезаро)

2.1 Взаимосвязь с методами Абеля, Эйлера и Бореля.

2.2 Взаимосвязь со специальными методами Вороного.

Глава 3. Тауберовы взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса и методов суммирования Чезаро

3.1 Тауберовы условия для методов одного порядка.

3.2 Тауберовы условия для меюдов суммирования дискретными средними Рисса четного порядка.

Пусть Г2 — некоторый метод суммирования числовых рядов, то есть правило, по которому ряду ^ ап мы сопоставляем (или пет) некоторое число. Суммируемость ряда к числу 5 методом О обозначается кратко: = 5(П). В дальнейшем мы всегда будем рассматривать методы удовлетворяющие свойству линейности (см. „Список методов суммирования" п.9).

Иными словами, пусть V — линейное пространство всех последовательностей. Тогда линейным методом суммирования О называется линейная функция / : IV —» К, где IV — линейное подпространство пространства V.

Таким образом множество V/ — есть множество последовательностей, суммируемых методом П и У\ IV — множество последовательностей, не суммируемых методом В дальнейшем множество IV для метода 12 будем обозначать И^п

Пусть и Л два метода суммирования.

Рассмотрим две основные задачи в теории методов суммирования рядов.

Задача 1 (Абель).

Для двух данных методов £2 и Л выяснить имеет место включение П С Л или нет.

Задача 2 (Таубер).

Пусть известно, что О, с А. Требуется найти условие (К) определенной формы такое, что на классе последовательностей, удовлетворяющих (IX), справедливо обратное включение, то есть Жд П IX С И7^.

Такие условия мы будем называть условиями тауберова типа или

Т($2)(Л)-усло1зиями. Таким образом условие (IX) будем называть Т^(А)-условием, если из того, что ]Рап = 5(А) и того, что последовательность {а„} удовлетворяет условию (IX), будет следовать, что ап = 5(П).

В 1890 году итальянский математик Эрнесто Чезаро [3] обобщил понятие сходимости числовых рядов, в результате чего появился целый класс методов суммирования (определение см. „Список методов суммирования" п.1), названный в его честь. В литературе методы Чезаро обычно обозначаются (С, а), где а — порядок метода. В силу простоты определения и удобства свойств методы Чезаро получили широкое применение. Впоследствии их стали сравнивать с другими появляющимися методами суммирования.

В 1909 году венгерский математик Марсель Рисс [18] несколько видоизменил определение метода суммирования Чезаро для целого порядка к. Классическое С* он рассмотрел в следующем виде к 1 А (п - V + к " *

Далее заменой всех знаменателей п + 1, п + 2, ., п + к на п было получено повое среднее и=0

Соответственно новое определение суммируемости приняло вид

Е ап = к) -Л 5 при п —> +оо.

Очевидно, что здесь параметр к может принимать и любые действительные неотрицательные значения.

Рисс обнаружил, что свойства новых полученных средних Вкп для больших значений к не совпадают со свойствами соответствующих чезаровских средних. Отсюда естественным образом встает вопрос о взаимосвязи данного нового метода суммирования не только с соответствующим методом Че-заро, но и с другими известными методами суммирования. Новые средние Вкп получили название дискретных средних Рисса, а соответствующий метод суммирования — метод суммирования дискретными средними Рисса.

Несмотря на то, что с момента определения методов (7М, а) пронтло более 100 лет. многие свойства методов Рисса остаются малоизученными.

Целью данной работы является изучение связей между методами суммирования дискретными средними Рисса (Вс1, а) и другими классическими методами суммирования. В работе будут рассмотрены как абелевы вопросы включения методов суммирования, так и тауберовы условия эквивалентности методов.

Определения и основные свойства методов суммирования дискретными средними Рисса можно найти в [1, 18, 19]. В работе [1] метод суммирования дискретными средними Рисса порядка а, который мы обозначили (Вс1, а), обозначается Ап.

В качестве классических методов суммирования, с которыми сравниваются методы Рисса, будем рассматривать методы суммирования Чезаро (С, /3) с различными /3, /3 > 0; метод суммирования Абеля (Л); методы суммирования Эйлера (Е, д) с различными д, д > 0; экспоненциальный и интегральный методы суммирования Бореля (В) и (В'), соответственно; и методы суммирования Вороного с последовательностью рп специального интересного для нас вида. Определения и основные свойства методов Чезаро, Абеля, Эйлера, Бореля и Вороного подробно рассмотрены в монографии по теории расходящихся рядов [36].

Связям между методами Чезаро и Рисса одного порядка посвящено довольно много работ. Для наглядности приведем в хронологическом порядке основные результаты прямого (абелева) включения:

I. 1911 г. М.Рисс [19]: (С, а) С для а > 0;

II. 1923 г. М.Рисс [20]: (ДЖ а) С {С, а) для 0 < а < 1; (М, 2) сильнее, чем (С, 2); (Яс1,3) сильнее, чем (С, 3);

III. 1956 г. А.Пейеримхофф [16]: (1М,к) сильнее, чем (С, к), для любого нечетного к > 5;

IV. 1962 г. Б.Куттнер [11]: (Ш, а) С (С, а) для 0 < а < 2; (М, а) сильнее, чем (С, а), для а > 2.

Из приведенных результатов видно, что с момента получения М.Риссом первого результата о связи новых методов суммирования с методами Чезаро до полного решения вопроса о взаимосвязи методов одного порядка прошло более 50 лет. В расширение данного вопроса, мы можем заметить, что если 0 < а < 2 и а < /3, то (11(1, а) С (С, /3). Это очевидно следует из результата IV и того факта, что (С, а) С (С, /3) при а < (3. Однако в ситуации, когда а > 2 и а < /3, нет результатов, на которые можно было бы опереться. При данных условиях вопрос о включении методов (Вв,, а) и (С, /3) сохраняет свою актуальность.

В главе 1 мы установим важные взаимосвязи, которые полностью решат вопрос о связи методов Чезаро и дискретных средних Рисса различных порядков.

В первом параграфе главы 1 мы рассмотрим метод суммирования дискретными средними Рисса порядка 2 (Пс1, 2). Забегая вперед, отметим, что метод с данным порядком будет являться неким „переходным" методом от методов Чезаро к методам Рисса.

В данном параграфе будут доказаны следующие утверждения:

Теорема 1.1. Пусть /3 — фиксированное число, такое, что ¡3 > 3.

Тогда {М,2) С (С,(3).

Теорема 1.2. Пусть ¡3 — фиксированное число, такое, что 2 < /3 < 3.

Тогда (М, 2) £ (С. /3).

При доказательстве данных утверждений будут существенно использоваться матричные методы суммирования и их свойства, в частности, вошедшая во все учебники по суммированию рядов теорема Кожима-Шура [30], известная также как теорема Теплица.

Во втором параграфе главы 1 мы рассмотрим методы суммирования дискретными средними Рисса порядка большего 2.

Для метода (Я(1,а), где а > 2 и метода Чезаро (С,/3), где (3 > а мы докажем следующее утверждение:

Теорема 1.4. Пусть а и ¡3 — фиксированные числа, такие, что 2 < а < ¡3.

Тогда (Лс/,а) £ (С, ¡3).

При доказательстве данного утверждения для любых фиксированных а и /3, таких что 2 < а < (3 будет построен пример ряда ап, который суммируется методом дискретных средних Рисса (Яд, а) и не суммируется методом Чезаро (С, /3).

Доказательство суммируемости ряда методом дискретных средних Рисса, оо будет основано на свойствах функции Р(х) = + 1)ахп. Интересный

71=0 факт, что сам Леопард Эйлер для целых а исследовал свойства данной функции в своей монографии [5], изданной в Санкт-Петербурге в 1755 году! Л.Эйлер доказал, что при домножении функции Р(х) на (1 — х)а+1 в произведении получаются многочлены порядка а —1 с симметричными коэффициентами. Коэффициенты при различных степенях х получили название эйлеровых чисел первого порядка, а сами полиномы — эйлеровых многочленов [261.

Более подробно свойства функции Р(х) можно найти, например, в работе [12]. В главе 1 при доказательствах нам понадобится только факт, что внутри единичного круга функция Р(х) при каждом фиксированном а > 2 имеет по крайней мере один корень [11] и количество корней конечно [15].

Тем самым результаты главы 1 дают окончательный ответ на вопрос абе-лева типа о включении методов (Rd, а) произвольного порядка а методами (С; ß), где ß > а.

Точнее справедливы следующие взаимосвязи:

1) (С. а) С (Rd. а) при а > 0; Известный ранее факт

2) (Rd, а) ~ (С. а) С (С. ß) при 0 < а < 2 и а < ß] Известный ранее факт

3) (Rd, 2) <£ (C,ß) при 0 < ß < 3; Теорема 1.2.

4) (Rd, 2) с (С. ß) при ß > 3 Теорема 1.1.

5) (Rd, а) <£ (С. ß) при а > 2 и ß > 0 Теорема 1.4.

Таким образом метод суммирования дискретных средних Рисса порядка 2 является неким „переходным" методом суммирования между методами Рисса и Чезаро.

А именно:

• При порядке меньшем двух методы суммирования дискретными средними Рисса ведут себя эквивалентно, методам Чезаро такого же порядка.

• Метод суммирования дискретными средними Рисса порядка два не эквивалентен методу Чезаро этого же порядка. И более того, не включается в методы Чезаро большего порядка вплоть до порядка три. То есть метод (Rd, 2) уже не эквивалентен методам Чезаро, однако все же отличается не критично и включается в методы Чезаро большего целого порядка.

• Начиная с порядка большего двух, методы суммирования дискретными средними Рисса не включаются ни в какие методы Чезаро, какого бы большого порядка мы их не брали.

Глава 2 будет посвящена взаимосвязям абелева типа методов суммирования дискретными средними Рисса с другими классическими методами суммирования. Как уже отмечалось этими методами будут метод Абеля (Л); методы Эйлера (Е,д), при д > 0; экспоненциальный и интегральные методы Бореля (В) и (В'); и методы Вороного {1У,рГ1) специального вида.

В параграфе 1 мы рассмотрим методы дискретных средних Рисса в сравнении с методами Абеля, Эйлера и Бореля.

Из взаимосвязей методов Чезаро с методами дискретных средних Рисса и Абеля вытекает:

О ^ а) для любого а > 0; и) (М, а) С {А) при 0 < а < 2.

Для случая а > 2 установим следующую теорему:

Теорема 2А. Пусть а > 2 — фиксированное число.

Тогда {ВЯ,а) <£ {А).

Далее для методов Эйлера и Бореля известно (см. [9, 36]), что (Е,д) С (В) С (В') при д > 0 и, более того, метод (В) сильнее, чем метод (Е,д), а метод (В') сильнее, чем (В).

В [36, глава 8] мы можем найти примеры рядов, которые для каждого фиксированного а > 0 суммируются методами Чезаро (С, а), по не суммируются методами Бореля (В) и (В1), а соответственно не суммируемые и методами Эйлера (Е, д) для любого д > 0. А также наоборот существуют ряды, суммируемые методами Эйлера (Е,д) для каждого фиксированного д > 0, которые в свою очередь не суммируются методами Чезаро (С, а) для любого а > 0.

Отсюда в силу (С, а) С (Яс/. а) сразу же получаем, что существуют ряды, суммируемые методами суммирования дискретными средними Рисса (Яс1, а) для каждого фиксированного а > 0 и не суммируемые экспоненциальным и интегральным методами Бореля (В) и (В1), а также методами Эйлера (£,<?) для любого д > 0.

В главе 2 мы докажем обратный случай. А точнее:

Теорема 2.2. Пусть а,д > 0 — фиксированные числа.

Тогда существуют ряды, суммируемые (Е,д), но не суммируемые {Яд, а).

При доказательстве теоремы 2.2. будет рассмотрен ряд специального вида и показано, что он суммируем методом Эйлера (Е,д) для любого д > 0. При доказательстве суммируемости методом (Е, д), в частности, используются биномиальные коэффициенты и некоторые их свойства, которые можно найти, например, в монографии [26].

Кроме того в части доказательства будут существенно использованы некоторые тауберовы условия взаимосвязи методов суммирования дискретными средними Рисса с методами Чезаро. Эти условия будут получены в главе 3 независимо от доказательства теоремы 2.2.

Таким образом мы получаем, что методы дискретных средних Рисса не соизмеримы с методами Эйлера и экспоненциальным и интегральным методами Вореля. То есть существуют ряды, суммируемые методами Эйлера {Е,д) для каждого порядка д > 0. а соответственно суммируемые экспоненциальным и интегральным методами Бореля (В) и (В'), но не суммируемые методами суммирования дискретными средними Рисса {Яд, а) ни для какого порядка а > 0.

Во второй части главы 2 мы будем рассматривать методы суммирования дискретными средними Рисса по отношению к методам Вороного (Нерлунда) специального вида.

Рассмотрим последовательность {рп}, где ро > 0, р„ > 0.

Пусть Pn = Y,Pi

7=0

Положим pmso + pm-lsl + . ■ • + p()sm pma,q + pm-\di + . . . + p0am

Im ~ ро + р\ + • • • + рт Ргп

Тогда последовательность {рп} определяет некий метод суммирования Вороного (IV, рп).

Если Ьт —> 5 при т —оо, то мы будем писать эс п=0

Хорошо известно, что условие гл необходимо и достаточно для регулярности метода Вороного (IУ,рп) [36, стр. 89].

Заметим, что последовательности {р,,} и {Рп} определяют функции

Vi?) = х11 и

P(x) = Y,PnXn.

Функция Р(х) называется производящей функцией метода (W,pri). В случае, когда метод (W,pn) — регулярен, ряды и Рп%п сходятся для |х| < 1 и при этих значениях х имеем р{х) = (1 - х)Р(х).

Нули функции Р(х) при \х\ < 1 заметно влияют на свойства методов суммирования Вороного (см. например, [16, 34]).

Известно [36, стр. 141, стр. 148]. что методы суммирования дискретными средними Рисса (Рс/, а) и методы Чезаро (С, /3) являются методами Вороного и (И7, соответственно, где р(») = (п + 1)" - п";

РЫ = (п + 1)«; и

3) / + £ р )

В дальнейшем, когда порядок метода суммирования не будет вызывать со

ТУ гл («) (Л г\(Р) мнения, будем писать просто р„, Рп, qv, подразумевая рп \ РТ1 , Цп , чп соответственно.

Очевидно, что методы регулярны. Тогда в круге < 1 для данных методов получаем п—0 п=0

00 00 / I /3\ 1 х" ч /3 Г (1 -х)^1'

7=0 г?—О 4 и 7 4 ;

Заметим, что <5(ж) не имеет нулей в единичном круге и на его границе.

Как уже отмечалось ранее внутри единичного круга функция Р(х) при каждом фиксированном а > 2 имеет по крайней мере один корень [11] и количество корней конечно [15]. Для натурального а известно [12]

7!=0 ^ ' где = (х - 71) • • • {х - 7«-1).

При этом для всех і = 1,., а — 1 корпи 7г расположены па отрицательной части действительной оси. Более того корни попарно симметричны относительно — 1, то есть если 7, — корень, то и также является корнем. Соответственно ~ = 7] Д^я некоторого где і может принимать значения от 1 до а — 1. А также —1 является корнем тогда и только тогда, когда а — четное натуральное число.

Далее рассмотрим методом суммирования дискретными средними Рисса {Я(і, а) и метод суммирования Чезаро {С, а) одного натурального порядка, выражая их, как методы суммирования Вороного (Ии (ІУ, дп) соответственно. Получаем

Р(х) = £ = х>+={х-'¡¡-■ = н=0 п=0 1 > (х - 71) • • • {х - 7а-і)$ї = п—0 ^ ' оо (х ~ 71) • • • (ж - 7а—і) XI ®пХП = (х-ъ)---(х~ 1а~і)Я(х).

11=0

Отсюда следует, что возможно выразить Рп через

Возникает вопрос, каким образом нули производящих функций влияют па взаимосвязи различных методов Вороного.

В данной работе при решении этого вопроса мы не будем ограничиваться натуральными значениями а, а рассмотрим общий случай.

Пусть а >2 фиксированное действительное число.

Функция сю

Р(х) = ^(п+1)ахп

71=0 может быть рассмотрена как функция комплексного переменного и аналитически продолжена за границы единичного круга на всю комплексную плоскость с разрезом по положительной части действительной оси от 1 до +оо [11]. Везде далее, где необходимо, будем предполагать, что данное аналитическое продолжение проделано.

Представим а в виде а = 2т + г, где т — натуральное, а 0 < г < 2. Тогда

ОС известно, что функция Р(х) — + 1)ахп в круге |х| < 1 имеет ровно т п=0 корней [15]. Для определенности обозначим корни через 71. .7,,,. Определим функцию Р(х) следующим образом:

ОС 00

Р(х) = РПХП = (х - Ъ) ■ ■ ■ (х - Ъп) X] Qfan, п=0 п=О где Qi^ — коэффициенты разложения в степенной ряд производящей функции метода Чезаро (С, а), то есть

Мы покажем, что может быть корректно определен регулярный метод Вороного, который обозначим (Rd.a), производящей функцией которого будет Р(х).

Сравнивая (Rd,a) и (Rd,a), установим теорему:

Теорема 2.3. Пусть а > 2 — фиксированное действительное число.

Тогда (Rd, а) ~ (Rd, а).

Пусть теперь су > 2 — четное натуральное число. То есть о- = 2т, где га ос натуральное. Тогда функция Р(х) = 4" 1)°ха в круге < 1 имеет п=О ровно т корней и при этом —1 является корнем данной функции [15]. Пусть для определенности 7i,. 7mi — корни внутри единичного круга и = —1. Определим функцию Р(х) следующим образом: ос ОС

Р(х) = ^Рпхп = (х-Ъ)---(х- 7,„-i) ¿g(u+1)in,

71=0 77=0 где — коэффициенты разложения в степенной ряд производящей функции метода Чезаро (С, а + 1), то есть

Мы покажем, что может быть корректно определен регулярный метод Вороного, который обозначим (Rd,a), производящей функцией которого будет Р(х).

Этот метод (Rd, а) будет включать в себя метод суммирования дискретными средними Рисса (Rd, а).

Иными словами, будет доказана теорема:

Теорема 2.4. Пусть а >2 — фиксированное четное натуральное число.

Тогда (Rd. а) С (Rd, а).

Таким образом, из теорем 2.3 и 2.4 мы получаем, что существенную роль в свойствах методов суммирования играют нули, расположенные внутри единичного круга и на его границе.

По итогам главы 2 получаем следующую таблицу взаимосвязей:

6) (Rd, а) С (А) при о < а < 2;

7) (Rd, а) £ (Л) при а > 2;

8) {Rd, а) <£. (В') при а > 0;

9) (Rd, а) <£ (В) при а > 0;

10) (Rd. а) £ (E,q) при а. q > 0;

Н) (E,q)ct(Rd,a) при q,a> 0:

12) (В) <£ (Rd, а) при (У > 0;

13) (В') £ (Rd, а) при а > 0;

14) (Rd, а) - (Rd,a) при а > 2:

15) (Rd,a) С (Rd, а) при а — четное натуральное число

В главе 3 мы рассмотрим задачи тауберова типа для методов Чезаро и методов суммирования дискретными средними Рисса.

Изучение тауберовых условий, появившихся в конце позапрошлого века в работах Таубера (см., например, [22]), занимает значительное место в теории суммирования рядов и ее приложениях. Различные важные виды тауберовых условий, подходы к их исследованию и применению содержатся, например,

13 таких известных работах, как [7, 8, 21, 27, 35], каждая из которых в свою очередь повлекла за собой серию работ, посвященных соответствующему виду условий. Отметим, что мы не будем касаться того „алгебраического направления, ставящего своей целью получение наиболее общих результатов, . восходящего к Винеру и связанного с работами Гельфанда, Райкова, Го-демана, Сегала и Бейрлинга" (цитата из [10]), называемого в англоязычной литературе „general tauberian theorems". А напротив, рассмотрим вопрос в классической постановке, идущей от Таубера и Харди, ибо изучаться будут не абстрактные классы методов суммирования, удовлетворяющие некоторым довольно общим условиям, но конкретные1 широко распространенные методы одного класса.

Будем говорить, ЧТО (U) является T(í2)(A)-yCJ10BneM, если любой ряд YLani суммируемый методом Л и такой, что {«„} удовлетворяет условию (U), будет суммируем и методом Q. Метод А при этом будем называть „верхним" методом, а Г2 — „нижним" методом.

Если нижний метод fl — обычная сходимость, то Т(п)(А)-условие есть просто тауберово условие для метода А.

Пусть — последовательность неотрицательных чисел. Обозначения а„ = 0(сп) и ап = о(сп) будем понимать в обычном смысле, то есть ап = 0(сп) тогда и только тогда, когда существует действительное положительное число М такое, что |а„| < Мсп для всех д; ап = о(сп) тогда и только тогда, когда для любого е > 0 существует N такое, что для любого п > N верно неравенство \ап\ < есп.

Мы сейчас приведем некоторые результаты, которые будут сформулированы в единой форме с использованием введенных обозначений. Заметим еще, что для краткости вместо слов „последовательность {сп} удовлетворяет условию И" будем писать ,,{cn} е IX".

В 1897 году в цитировавшейся уже работе [22] Таубером было доказано, что условие ап = является Т(с,о)((Л))-условием, где (Л) — метод Абеля. Отсюда в силу включения (С, а) С (А) при любом а > 0 следует, что ап = является Т(с,о)((С, а))-условием при любом а > 0.

Следующий результат был получен Харди, который в 1910 году (см. [6]) показал, что ап = является Т(с.о)((С, а))-условием при любом а > 0 (в случае, когда „верхний" метод есть метод (Rd,a) или (Л)), этот результат тоже верен [13]).

Вопрос о том, насколько можно улучшить результат Харди, оставался открытым до 1948 года, когда Лоренц в работе [14] наложил некоторое условие на последовательность {сп} и установил, что это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы соотношение ап = 0(сп) было T(c,o)(ty-условием, где Q — один из методов (С, а) с а > 0 или метод (А) (замечательно. что для каждого из этих методов условие оказалось одним и тем же). Лоренц отмечал, что в плане достаточности его результат не является новым; его можно получить, используя некоторые тауберовы условия работы Питта [17]. В дальнейшем результаты Лоренца обобщал на случай Т(с1Се)(П)-условий при а > 0 Степанянц (см. [31, 32, 33]).

В частности в работе [33] доказано, что никакое условие вида ап = О(^), где lim ш„ = +оо, не является Tic а){С, /3)-условием ни для каких а и ß п—юо '

0 < а < ß). Утверждение будет только ослаблено, если в качестве верхнего метода мы возьмем методы дискретных средних Рисса (Rd. ß) или (Л).

Таким образом условие Харди ап = является наилучшим с точки зрения порядка условием тауберова типа, связывающим методы (С, а) и (C.ß), а также {С, а) и (Rd, ß) при а < ß. Открытым остается вопрос, возможно ли усилить условие Харди, если порядок верхнего метода Рисса (Rd, ß) будет такой же, как порядок нижнего метода (С, а), то есть а = ß. Данному вопросу будет посвящена третья глава.

В первой части главы 3 мы докажем утверждение, которое позволит обратить известное включение методов дискретных средних Рисса и методов Чезаро (С, et) С (Rd, а) для случая, когда а > 2 — действительное число, не являющееся четным натуральным числом.

Теорема 3.2. Пусть i) а > 2 — фиксированное число, не являющееся четным натуральным числом; м) 7(а) ~ минимальный корень функции Р(х) — + 1)"жп, такой, что -1 < 7(а) < 0; ni)q{o) = / iiii) £ — фиксированное число, такое, что 1 < £ < q^;

Тогда условие ап = 0(£п) является T(c,a)(Rd, а)-условием.

В частности для любого фиксированного неотрицательного значения а, такого, что а ф 21, где I — натуральное, мы получаем, что условие ап — 0{гьг) при любом действительном г является T(c,a){Rd, а)-условием.

Интересно, что при четных натуральных а результат теоремы 3.2 становится неверным. Это связано с тем, что производящая функция Р(х) содержит пуль па границе единичного круга, а именно —1 является корнем функции Р(х).

Положим г = а + 1-е, где 0 < £ < 1. Во второй части главы 3 мы рассмотрим ряд и покажем, что данный ряд не суммируем методом (С, г) и в тоже время суммируем методом (Яд, а).

Таким образом будет установлена теорема. Теорема 3.3. Пусть г) а — фиксированное четное натуральное число;

И) г — фиксированное действительное число, такое, что а < г < а + 1. Тогда существует ряд члены которого удовлетворяют условию 0(пг), суммируемый методом (Rd,a) и не суммируемый методом, {С, г).

Отметим, что в условиях теоремы 3.2 при четных а можно утверждать суммируемость ряда методом (С, а + 1). В главе 3 мы докажем соответствующую теорему:

Теорема 3.4. Пусть г) а > 2 — фиксированное число и а = 21 (I — натуральное число); ы) 7(n) — минимальный корень функции Р(х) = 52(п + 1)аж"', такой, что — 1 < 7(а) < 0; ш) q(n) = ; iiii) £ — фиксированное число, такое, что 1 < £ < q^;

Тогда условие ап = 0(£п) является T^Ca+i){Rd. а)-условием.

Объединяя результаты второй части главы 3, мы получаем, что существуют последовательности со степенным ростом, суммируемые методом дискретных средних Рисса четного порядка а и не суммируемые методами Чезаро порядка /3, где а < (3 < а + 1. При значениях ¡3, таких, что /3 > а + 1 становится верным включение (Rd,a) С (С. 6).

В условии теоремы 3.4 заменить условие ап = 0(£п) на условие ап = О нельзя. В качестве примера мы можем взять ряд, рассматриваемый при доказательстве теоремы 3.1.

Теорема 3.1. Пусть а > 2 — фиксированное число.

Тогда существует ряд 52 суммируемый методом (Rd, а), такой, что

Очевидно, ЧТО ряд 52 °'П из теоремы 3.1 не суммируем ни для какого (3 в силу лимитирующей теоремы для методов Чезаро.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разбитых на параграфы (каждый параграф имеет самостоятельную нумерацию формул). Перед введением приведен список методов суммирования, используемых в работе.

1. Agnew R. On Riesz and Cesaro methods of summability // Trans. Amer. Math. Soc. 1933. 35. 532-548.

2. Agnew R. Equiconvergence of Cesaro and Riesz transforms of series // Duke Math. J. 1955. 22, N 3. 451-460.

3. Cesaro E. Sur la multiplication des series // Bull. Sci. Math. 1890. 14. № 2. 114-120.4| Cooke R. On mutual consistency and regular T-limits // Proc. London Math. Soc. 1936. 41, N 2. 113-125.

4. Euler L. Institutiones calculi differentialis. Petrograd. 1755.

5. Hardy G.H. Theorems relating to the summability and convergence of slowly oscillating series // Proc. London Math. Soc. 1910. 8, № 2. 301-320.

6. Hardy G.H., Littlewood J.E. Tauberian theorems concerning power series and Dirichlct's series whose coefficinct arc positive // Proc. London Math. Soc. 1914. 13. № 2. 174-191.

7. Ingham A.E. Some tauberian theorems connected with the prime number theorem // J. London Math. Soc. 1945. 20. 171-180.

8. Knopp K. Uber das Eulersche Summierungsverfahren // Math. Z. 1923. 18, № 1. 125-156.

9. Korevaar J. Tauberian theorems ,// Simon Stevin. 1954. 30. № 3. 129-139.1.l Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n // J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354-364.

10. Lawden D.F. The function YlnL\n'z" and associated polynomials. // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1951. 47. № 2. 309-314.

11. Littlewood J.E. The converse of Abel's theorem on power series // Proc. London Math. Soc. 1910. 9. JV« 2. 434-448.

12. Lorentz G.G. Tauberian theorems and tauberian conditions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. 63. № 2. 226-234.

13. Miesner W., Wirsing E. On zeros of + 1 )kz11 // J. London Math. Soc. 1965. 40. 421-424.

14. Peyerimhoff A. On convergence fields of Norlund means // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. 7. 335-347.

15. Pitt H.R. General Tauberian theorems // Proc. London Math. Soc. 1938. 44. 243-288.

16. Riesz M. Sur la sommation des series de Dirichlet // C. r. Acad. sei. A. 1909. 149. 18-21.

17. Riesz M. Une methode de sommation équivalente a la methode des moyennes arithmétiques // C. r. Acad. sei. A. 1911. 152. 1651-1654.

18. Riesz M. Sur l'équivalence de certaines methodes de sommation // Proc. London Math. Soc. 1924. 22, N 2. 412-419.

19. Szasz O. Verallgemeinerung und neuer Beweis einiger Satze Tauberscher Art // Münchner Sitzungsberichte. 1929. 325-340.

20. Tauber A. Ein Satz aus der Theorie der unendlichen Reihen // Monatsh. Math, und Phys. 1897. 8. 273-277.

21. Toeplitz 0. Uber allgemeine lineare Mittelbildungen // Pr. mat. i fiz. 1911. 22. 113-119.

22. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

23. Вороной Г.Ф. Дневник одиннадцатого съезда русских естествоиспытателей и врачей. Петербург, 1902.

24. Грэхем Р., Кнут Д., Паташпик О. Конкретная математика. М.: Мир. БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

25. Давыдов H.A. (с)-свойство методов Чезаро и Абеля-Пуассона и теоремы тауберова типа // Матем. сб. 1963. 60. № 2. 185-206.

26. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие. — 13-е изд., испр. — М.: Изд-во Моск. ун-та, ЧеРо, 1997.

27. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М.: Изд-во Мир, 1965.

28. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М., 1960.

29. Степанянц С.А. Теоремы тауберова типа для методов суммирования Чезаро /'/ Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1993. .V 2. 40-44.

30. Степанянц С.А. Теоремы тауберова типа и лакунарные условия для методов суммирования Чезаро и Рисса // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1996. № 4. 41-45.

31. Степанянц С.А. Необходимые условия тауберова типа для методов суммирования Чезаро //' Изв. Высш. Учебн. Завед. Мат. 2005. № 10. 61-71.

32. Степанянц С.А. К вопросу включения методов дискретных средних Рисса // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. 4. 12-17.

33. Ульянов П.Л. Сходимость и суммируемость // Труды Московского Мат. Общества. 1960. 9. 373-399.

34. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИЛ, 1951 (М.: Комкнига, 2006; М.: Факториал Пресс, 2006).

35. Хахинов И.В. О взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса. // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 5. 51-55.

36. Хахинов И.В. Об эквивалентности методов Вороного. // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 16-й Сарат. зимней школы. Саратов: ООО „Издательство „Научная книга ". 2012. 186.

37. Хахинов И.В. Тауберовы условия взаимосвязи методов Чезаро и методов дискретных средних Рисса. // Вест. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 4. 50-55.